Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Lợi KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2008 LỜI CẢM ƠN Xin bày tỏ nơi lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Chân thành cảm ơn đến: TS Đoàn Hữu Hải, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tơi suốt khoa học Thạc sĩ TS Nguyễn Xuân Tú Huyên, TS Trần Lương Công Khanh, ThS Vũ Như Thu Hương giúp dịch tài liệu tham khảo tiếng Pháp Một lần xin cảm ơn sâu sắc TS Nguyễn Xuân Tú Huyên giúp dịch luận văn sang tiếng Pháp Ban Giám hiệu Thầy Cô Trường THPT Trần Hưng Đạo, THPT Ngôi sao, THPT Giồng Ông Tố, THTH ĐHSP, THPT Long Trường TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tơi hồn thành thực nghiệm luận văn Ban Giám hiệu, Lãnh đạo chuyên viên phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt khóa học Ban Chủ nhiệm khoa Tốn, Lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN - SĐH giúp đỡ, tổ chức tốt lóp học chúng tơi Các bạn học viên cao học khóa 16 chia niềm vui, khó khăn q trình học tập, nghiên cứu Gia đình người thân động viên, giúp đỡ suôi thời gian học tập Nguyễn Hữu Lợi DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BKHTN : Ban khoa học tự nhiên CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp C : SGK Đại số Giải tích CTCLHN năm 2000 CTPB : Chương trình phân ban M : SGK Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, CTPB SBT : Sách tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên TCTH : Tổ chức tốn học THPT : Trung học phổ thơng DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 : So sánh khái niệm cần định nghĩa bậc đại học phổ thông Bảng 2.2 : số lượng nhiệm vụ dạng hàm số Bảng 3.1: Các kiểu nhiệm vụ họp đồng didactic Bảng 3.2 : Thống kê lời giải học sinh Bảng 3.3 : Thống kê lời giải học sinh Bảng 3.4 : Thống kê lời giải học sinh MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC 1.1 Các định nghĩa hàm mũ http://fr.wikiversity.org/wiki/ Fonction_exponentielle ([16]) 1.1.1 Tiếp cận phổ thông 1.1.2 Các định nghĩa: 1.2.1 Định nghĩa hàm mũ e 11 1.2.2 Định nghĩa hàm mũ số a 14 1.2.3 Ứng dụng hàm mũ 17 1.2.4 Các tổ chức toán học liên quan khái niệm hàm mũ 18 1.3 Khái niệm hàm số mũ giáo trình Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France, 1960 ([15]) 22 1.3.1 Định nghĩa hàm mũ 22 1.3.2 Định nghĩa ax 24 1.3.4 Đồ thị hàm mũ 25 Chương 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY 27 2.1 Mục tiêu chương 27 2.2 Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thông 27 2.2.1 Sách chỉnh lí hợp năm 2000 ([C]) 27 2.2.2 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, ban khoa học tự nhiên ([M]) 43 Chương 3: THỰC NGHIỆM 56 3.1 Mục tiêu chương 56 3.2 Phương pháp nghiên cứu 56 3.3 Thực nghiệm giáo viên 57 3.3.1 Hình thức thực nghiệm 57 3.3.2 Bảng câu hỏi thực nghiệm giáo viên (Xem phụ lục 1) 57 3.3.3 Phân tích bảng câu hỏi thực nghiệm giáo viên 57 3.3.4 Phân tích trả lời giáo viên 58 3.4 Thực nghiệm học sinh 59 3.4.1 Hình thức thực nghiệm 59 3.4.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) toán thực nghiệm 59 3.4.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) tốn thực nghiệm 72 KẾT LUẬN 77 PHỤ LỤC 80 MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Hiện nay, hàm số mũ vấn đề có liên quan ln chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn Trung học phổ thông Tuy nhiên, thay đổi sau đáng ý: - Trong chương trình chỉnh lí hợp năm 2000, khái niệm đưa vào sách giáo khoa "Đại số Giải tích" lớp 11, trước đưa vào khái niệm đạo hàm lớp 12 - Với chương trình phân ban hành, hàm số mũ đưa vào giảng dạy lớp 12, sau học đạo hàm Những nhận xét dẫn tới gợi hỏi ban đầu sau : Khái niệm hàm số mũ đưa vào chương trình Tốn phổ thơng nào? Với vai trị gì? Vì có thay đôi vê hàm sô mũ hai thời kì? Mục đích nghiên cứu phạm vi lí thuyết tham chiếu Mục đích luận văn tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt Để thực nhiệm vụ này, vận dụng khái niệm công cụ didactic toán: quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức tốn học, chuyển đổi didactic (thuộc lí thuyết nhân chủng học), hợp đồng didactic, biến didactic, (thuộc lí thuyết tình huống) Trong phạm vi lí thuyết chọn, câu hỏi nghiên cứu nêu phát triển trình bày lại cách cụ thể sau: - Ở cấp độ tri thức khoa học (ứng với thể chế dạy học bậc đại học) 1, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số mũ có đặc trưng nào? Có hướng tiếp cận khái niệm này? Đặc trưng chúng? - Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thể chế dạy học bậc THPT, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số mũ có đặc trưng nào? Có tương đồng khác biệt so với khái niệm hàm số mũ trình bày giáo trình đại học hai thời kì khác thay đổi chương trình nói trên? Ý nghĩa khác biệt này? Có ràng buộc đối tượng kiến thức gắn liền với khái niệm hàm số mũ? Những qui tắc hợp đồng đặc trưng cho ràng buộc tồn tại? - Mối quan thể chế với hàm số mũ ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân tương ứng học sinh? Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu mà thực luận văn là: Tiến hành nghiên cứu so sánh khái niệm hàm số mũ hai thể chế: Chúng xem tri thức giảng dạy bậc đại học tri thức gần với tri thức khoa học - Thể chế dạy học toán bậc đại học (xem thể chế tri thức khoa học) - Thể chế dạy học toán THPT (nơi tri thức cần giảng dạy) Ở cấp độ lại có phân tích so sánh chương trình SGK hai thời kì khác lịch sử dạy học toán trường phổ thơng Kết đạt từ phân tích làm sở cho đề xuất câu hỏi giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng chúng kiểm chứng qua thực nghiệm Giả thuyết nghiên cứu tồn qui tắc hợp đồng trình bày cuối chương 2, kết phân tích ràng buộc quan hệ thể chế đối tượng tri thức gắn liền với khái niệm hàm số mũ Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần sau đây: - Phần mở đầu: trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu tổ chức luận văn - Chương 1: Khái niệm hàm sô mũ cáp độ tri thức khoa học Chương chúng tơi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số mũ bậc đại học Cụ thể phân tích việc trình bày khái niệm hàm số mũ hai giáo trình Tốn đại học Nêu nhận xét tìm từ hai giáo trình - Chương 2: Khái niệm hàm số mũ cấp độ tri thức cần giảng dạy Mục đích chương phân tích chương trình SGK qua hai thời kì trước sau năm 2005 để làm rõ mối quan hệ thể chế khái niệm hàm số mũ Từ làm rõ ràng buộc thể chế qui tắc hợp đồng liên quan đến khái niệm Tổng hợp kết chương chương để đề xuất giả thuyết nghiên cứu - Chương 3: Thực nghiệm Triển khai thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết nghiên cứu mà đề chương - Phần kết luận: trình bày tóm tắt kết đạt chương 1, 2, mở hướng nghiên cứu luận văn Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Trong chương chúng tơi tìm hiểu đặc trưng cấp độ tri thức khoa học khái niệm hàm mũ khái niệm liên quan Các tài liệu dùng phân tích chương : - Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân - Các hàm thông dụng, Guy Lefort, Viện Đại học Sài gịn, 1975 [5] - Bài tập Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân - Các hàm thơng dụng, Guy Lefort, Viện Đại học Sài gòn, 1975 [6] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France, 1960 [15] http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction exponentielle [16] Các giáo trình ([5], [6], [15]) chọn phân tích với lí chúng trình bày chi tiết khái niệm hàm mũ Ngồi tài liệu internet ([16]) góp phần làm rõ thêm kết phân tích Mặt khác, việc phân tích giáo trình khác cho phép làm rõ tiến trình đưa vào khái niệm hàm mũ đặc trưng cấp độ đại học Từ làm phong phú thêm sở tham chiếu cho phân tích sách giáo khoa phổ thơng trình bày chương Sau phân tích giáo trình tài liệu đề cập 1.1 Các định nghĩa hàm mũ http://fr.wikiversity.org/wiki/ Fonction_exponentielle ([16]) Tài liệu trình bày số cách định nghĩa hàm mũ với mục sau: Tiếp cận phổ thông Các định nghĩa 2.1 Đồng cấu liên tục 2.2 Phương trình vi phân 2.3 Chuỗi Chi tiết mục sau: 1.1.1 Tiếp cận phổ thông "Nếu a số thực n số nguyên, "a mũ n " "a lũy thừa n": exp a (n) = an = a.a a  n Ta mở rộng định nghĩa cho số không nguyên Ta chứng minh hàm mũ hàm ngược hàm logarit log a hàm lượng giác biểu diễn cách đơn giản hàm mũ Các hàm cỏ đạo hàm nguyên hàm đơn giản xuất nhiều lời giải phương trình vi phân " Như vậy, theo cách tiếp cận hàm mũ xuất phát từ khái niệm lũy thừa nguyên, sau "mở rộng" cho số không nguyên Sự mở rộng theo qui ước hàm mũ với số mũ không nguyên lũy thừa với số mũ không nguyên Ở tài liệu không giải thích thêm số mũ khơng ngun, theo số mũ thực Mặc dù tài liệu cho hàm mũ hàm ngược hàm logarit, theo định nghĩa hàm logarit không sở cho định nghĩa hàm mũ Cũng mà tài liệu chúng tơi khơng tìm thấy định nghĩa cho hàm logarit Mục cịn cho ta biết hàm mũ e sau: "Tồn số a cho hàm mũ với số hàm ngược logarit Nepear ln Với số này, đạo hàm hàm mũ (ex)=ex" Như e số hàm logarit nêpe 1.1.2 Các định nghĩa: 1.1.2.1 Định nghĩa "2 Đồng cấu liên tục Một cách tự nhiên, ta tìm cách mơ tả đồng cấu liên tục f : ℝ → ℝ* (hoặc f :ℂ → ℂ * ) Nói cách khác, ta tìm ánh xạ liên tục f thỏa phương trình hàm: f(u+v) =f(u) f(v) Một cách cần thiết, f có đạo hàm thỏa mãn phương trình vi phân: f'(x) =f'(0)-f(x) Bằng cách đặt f'(0) = 1, ta xác định f sai khác số nhân Phương trình hàm suy f(0)=1 nên f xác định cách nhất" Không giống cách tiếp cận phổ thông trên, định nghĩa không dựa vào khái niệm lũy thừa khái niệm logarit Tuy nhiên thấy rằng, ngầm ẩn phía sau định nghĩa tính chất lũy thừa "f(u+v) - f(u) f(v) " Như theo định nghĩa này, hàm mũ độc lập với hàm logarit Khái niệm đạo hàm sử dụng định nghĩa Ngồi ra, định nghĩa cịn cho ta thấy f (x) = f(x), nghĩa hàm số mũ định nghĩa hàm mũ e Tuy nhiên khái niệm số khơng có định nghĩa Điều cuối nói rằng, định nghĩa cho thấy tồn hàm số  f (u + v) = f (u) f (v)  f có tính chất  f ' = f chưa biểu diễn tường minh  f ’ = f (0) =  ( ) cho hàm 1.1.2.2 Định nghĩa "2.2 Phương trình vi phân Định nghĩa thứ hai tương đương với định nghĩa trước, ánh xạ có đạo hàm f : ℝ → ℝ* thỏa mãn phương trình vi phân: f’(x)=f(x )với f(0) = Định nghĩa tổng quát hóa nhóm Lie " Định nghĩa xem hệ định nghĩa trên, giả thiết ban đầu giới hạn ánh xạ có đạo hàm Sau xác định hàm thỏa điều kiện "f’(x) =f(x) vớif(0)=1 " 1.1.2.3 Định nghĩa "2.3 Chuỗi Cuối cách áp dụng phương pháp tìm nghiệm giải tích phương trình vi phân tuyến tính, ta định nghĩa hàm mũ exp x → ex tổng chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ vô hạn: ∞ exp(x) = ∑ n=0 xn ” n! Định nghĩa sử dụng đến khái niệm lũy thừa: exp(x) tổng vô hạn hàm lũy xn thừa Ngầm sử dụng đến khái niệm giới hạn tổng S n = ∑ Không xuất khái i = n! n niệm logarit định nghĩa Kết luận tài liệu [16]: Tài liệu cho thấy số cách định nghĩa hàm số mũ cách định nghĩa kiểu đồng cấu liên tục, phương trình vi phân, chuỗi Mặc dù tài liệu nêu định nghĩa chưa đầy đủ tính chất hàm tài liệu cho thấy phạm vi ảnh hưởng hàm mũ toán học lớn 1.2 Khái niệm hàm mũ giáo trình Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân - Các hàm thông dụng, Guy Lefort, Viện Đại học Sài gòn, 1975 ([5]) 10 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 ... [5]: Hàm mũ e định nghĩa sở hàm logarit nêpe Khái niệm lũy thừa thực số e định nghĩa từ hàm mũ e Hàm mũ số a định nghĩa thông qua hàm mũ e Từ khái niệm lũy thừa thực số a xây dựng sở hàm mũ số. .. 2.2.1.1 Khái niệm hàm số mũ [C] Khái niệm hàm số mũ đưa vào SGK theo tiến trình sau: 27 Chúng bước  tiến trình với định nghĩa hàm số mũ sau đây([C,tr.l51]): "Hàm số mũ số a (a>0 a ≠0), hàm số xác... sánh khái niệm cân định nghĩa bậc đại học phổ thông Cấp độ Đại học Phổ thông Khái niệm cần định nghĩa Cơ sở để định nghĩa - Hàm mũ - Hàm logarit - Lũy thừa - Các tính chất hàm mũ - Hàm số mũ -