Dạy học khái niệm vi phân ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Ngọc Ẩn DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Ngọc Ẩn DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực LỜI CẢM ƠN Lời trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người ln động viên, tận tình hướng dẫn tơi mặt nghiên cứu khoa học góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn Tơi trân trọng kính lời cảm ơn đến:  PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương Mỗi thầy tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu cho chúng tơi didactic Tốn thật sinh động, cụ thể đầy ý nghĩa  Đặc biệt, TS Vũ Như Thư Hương, sau chun đề Hợp đồng Didactic, cịn dành buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp kỹ cần thiết tin học trình bày luận văn Và chân thành biết ơn:  Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn - Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập  Các bạn lớp cao học khóa 24 chia sẻ, động viên để hoàn thành luận văn  Sở GD&ĐT tỉnh Tiền Giang, Ban Giám Hiệu, thầy cô trường THPT Vĩnh Kim – Tiền Giang tạo điều kiện mặt giúp tham gia khóa học Đặc biệt, thầy Hồ Quang Đức hỗ trợ nhiều mặt chuyên môn  Thầy học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tiền Giang trường THPT Chợ Gạo – Tiền Giang tạo điều kiện giúp đỡ tiến hành thực nghiệm Cuối cùng, quên cơng ơn người thân gia đình Đó là, cha mẹ hai em tạo điều kiện tốt nhất, hậu phương vững giúp tơi n tâm hồn thành khóa học Trịnh Ngọc Ẩn MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục thuật ngữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình vẽ MỞ ĐẦU Chương PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ 10 1.1 Lần đầu xuất kí hiệu dy dx 13 1.2 Tiếp cận định nghĩa vi phân .14 1.2.1 Hoạt động tiếp cận .14 1.2.2 Định nghĩa vi phân 17 1.3 Phân tích tổ chức tốn học 20 1.4 Kết luận chương 30 Chương PHÂN TÍCH CÁC SÁCH GIÁO KHOA TỐN PHỔ THƠNG 34 2.1 Phân tích chương trình .34 2.2 Phân tích sách giáo khoa 35 2.2.1 Hoạt động tiếp cận .35 2.2.2 Định nghĩa vi phân 36 2.2.3 Ứng dụng vi phân vào tính gần 39 2.3 Phân tích tổ chức tốn học 41 2.3.1 Các kiểu nhiệm vụ chương trình chuẩn .41 2.3.2 Các kiểu nhiệm vụ chương trình nâng cao 45 2.3.3 Các kiểu nhiệm vụ sách giáo khoa Việt Nam tham chiếu với giáo trình Mỹ .48 2.4 Kết luận chương 52 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 55 3.1 Đối tượng thực nghiệm hình thức thực nghiệm 55 3.2 Nội dung thực nghiệm 55 3.2.1 Thực nghiệm .56 3.2.2 Thực nghiệm .57 3.3 Phân tích a priori 62 3.3.1 Tổ chức thực nghiệm 62 3.3.2 Phân tích a priori thực nghiệm 62 3.3.3 Phân tích a priori thực nghiệm 65 3.4 Phân tích a posteriori 68 3.4.1 Phân tích a posteriori thực nghiệm 68 3.4.2 Phân tích a posteriori thực nghiệm 80 3.5 Kết luận chương 88 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT CT: Chương trình GT_M: Giáo trình Mỹ HS: Học sinh KNV: Kiểu nhiệm vụ SBT: Sách tập SGK: Sách giáo khoa SGK_CB: Sách giáo khoa giải tích 11 SGK_NC: Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao SGK_VN: Sách giáo khoa Việt Nam SGV: Sách giáo viên THPT: Trung học phổ thông tr : Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1.1 Thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào kiểu nhiệm vụ GT_M 31 Bảng 1.2 Bảng liệt kê ý nghĩa vi phân qua phân tích tổ chức tốn học 32 Bảng 2.1 Bảng tham chiếu việc thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào kiểu nhiệm vụ GT_M SGK_VN 49 Bảng 2.2 Bảng tham chiếu ý nghĩa vi phân xuất thơng qua tổ chức tốn học 50 Bảng 3.1 Thống kê câu trả lời HS câu hỏi 1a 69 Bảng 3.2 Thống kê câu trả lời HS việc tính 𝑑𝑑 câu hỏi 1b 71 Bảng 3.3 Thống kê câu trả lời HS việc tính 𝑑𝑑 câu hỏi 1b 73 Bảng 3.4 Thống kê câu trả lời HS ý nghĩa 𝑑𝑑 𝑣à 𝑑𝑑 câu hỏi 1b 74 Bảng 3.5 Thống kê câu trả lời HS câu hỏi 1c 76 Bảng 3.6 Thống kê câu trả lời HS cho đề tính gần câu hỏi 1c 77 Bảng 3.7 Thống kê câu trả lời HS câu hỏi 79 Bảng 3.8 Thống kê chiến lược giải nhóm pha 81 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Trang Hình Xây dựng vi phân từ toán xác định tiếp tuyến Hình 1.1 Qui trình mơ hình toán học 11 Hình 1.2 Minh họa định nghĩa vi phân 19 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát  Từ kết khoa học luận Theo tác phẩm Giới thiệu lịch sử toán học Howard Eves (1969) “phép lấy vi phân nói bắt nguồn từ việc giải toán vẽ tiếp tuyến đường cong tìm giá trị cực đại cực tiểu hàm số” [5, tr.375] Theo Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “mặc dầu có nhiều nhà tốn học dần tiếp cận với phép tính vi – tích phân, Newton – Leibniz coi người phát minh phép tính vi – tích phân cách độc lập” [1, tr.23] Tiếp tuyến đạo hàm cổ điển đơi với gắn liền với hai nhà tốn học Newton, Leibniz Tuy nhiên tiến trình xây dựng hai khái niệm hai nhà toán học khác nhau: - Newton xây dựng khái niệm đạo hàm từ toán vận tốc tức thời từ khái niệm này, ông giải toán tiếp tuyến - Leibniz xuất phát từ việc giải toán tiếp tuyến đưa khái niệm vi phân xây dựng đạo hàm theo khái niệm Leibniz cho người dùng kí hiệu dy để đạo hàm dx Chúng tơi tìm số nghiên cứu đề cập đến kết tri thức luận liên quan đến mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm: - Khóa luận nghiệp vụ N.Chaboud D.Hedde (2000) với nhan đề: Tiếp tuyến đạo hàm phải cặp? - Luận văn thạc sĩ Bùi Thị Thu Hiền (2007) với nhan đề: Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm Từ câu hỏi đặt ra: 88 nhiên, 21/21 nhóm sử dụng vi phân để tính gần đúng, làm tiêu biểu nhóm sau: Ở thực nghiệm chúng tơi trình bày trên, 42 học sinh THPT Chợ Gạo khơng có học sinh sử dụng vi phân để tính gần em tính theo hướng xấp xỉ 4, 001 Hầu hết 4,001 ≈ = Bước qua thực nghiệm 2, sau tiến hành thực tình pha 1, lại thể chế lại pha cuối kết quan sát từ xấp xỉ ∆y ≈ dy qua trình vận dụng biến đổi người học hồn tồn tính gần 4, 001 mà khơng cần phải nhớ cơng thức SGK cách máy móc 3.5 Kết luận chương Dưới ảnh hưởng khái niệm đạo hàm, đa số em giải thích ∆𝑥 số gia biến số Cũng giống kết Chung Thị Kim Hạnh điều tra quan niệm học sinh chương trình chuẩn ý nghĩa kí hiệu dx dy, kết quan sát cho thấy phần lớn học sinh không hiểu ý nghĩa kí hiệu Phần lớn học sinh không nhớ công thức dx = ∆x giống phân tích chúng tơi chương kí hiệu dx để lại “bí ẩn lớn” cho người học công thức dy = f ' ( x ) dx lại 89 em quan tâm nhớ rõ Nguyên nhân công thức cịn sử dụng lại để tính tích phân, dạng tập xuất kì thi Khẳng định kiểm chứng qua việc học sinh nhớ công thức dy = f ' ( x ) dx khơng tính dy cho giá trị cụ thể x dx Ứng dụng vi phân vào tính gần chương trình nâng cao đặc biệt quan tâm thực tế sau học xong, khơng cịn lưu lại học sinh Thực nghiệm muốn hình thành nghĩa hình học vi phân.Thực nghiệm cho thấy lựa chọn tình cơng thức hàm đồ thị (C) vắng mặt lại yêu cầu tính lượng tăng tương ứng y đồ thị (C) x tăng lượng nhỏ từ x0 đến x0 + ∆x Tình làm thay đổi chiến lược từ việc tính đồ thị (C) sang việc sử dụng tiếp tuyến thay cho hàm số lân cận tiếp điểm Từ làm nảy sinh nghĩa hình học vi phân Pha thể chế quan sát học sinh sử dụng ∆y ≈ dy để thực yêu cầu tốn làm nảy sinh cơng thức tính gần vi phân nhờ xấp xỉ 90 KẾT LUẬN Việc tiến hành phân tích giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals (seventh edition) Mỹ, với kết có dùng làm sở tham chiếu cho SGK_VN, kết từ thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt đầu luận văn Cụ thể sau: Trong chương 1, nghiên cứu mối quan hệ thể chế khái niệm vi phân GT_M, nhận thấy: - Khái niệm vi phân nảy sinh từ toán tiếp tuyến đường cong: Vi phân 𝑑𝑑 hiểu thay đổi nhỏ giá trị 𝑥, giống ∆𝑥 (số gia biến số hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) Vi phân 𝑑𝑑 hiểu thay đổi đường xấp xỉ tuyến tính, xác định tích đạo hàm hàm số với vi phân 𝑑𝑑 - Mối quan hệ đạo hàm vi phân: Đạo hàm hàm số tỉ số vi phân vi phân biến phụ thuộc chia cho vi phân biến độc lập (khi dx khác 0) - Mối quan hệ vi phân số gia thể hiện: Vi phân biến số số gia biến số, vi phân hàm số xấp xỉ số gia hàm số 𝑑𝑑 ≈ ∆𝑦 (hay nói cách khác: số gia hàm tiếp tuyến ứng với thay đổi dx xấp xỉ số gia hàm f ứng với ∆x) Sự xấp xỉ tác giả khai thác theo hai phương diện đại số đồ thị Trong chương 2, chúng tơi tiến hành phân tích việc dạy học khái niệm vi phân thể chế dạy học Việt Nam sở tham chiếu GT_M, kết phân tích cho thấy: - Khái niệm vi phân nảy sinh từ định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Các SGK_VN định nghĩa loại vi phân (đó vi phân hàm số), vi phân biến số không định nghĩa Ngồi ra, khơng định nghĩa 𝑑𝑑 = ∆𝑥 mà suy luận từ hàm số 𝑦 = 𝑥 Rồi sau đó, khơng lần nhắc đến kí hiệu 𝑑𝑑 - Xấp xỉ 𝑑𝑑 ≈ ∆𝑦 đề cập mặt tính tốn số phương diện đồ thị hồn tồn vắng bóng Do đó, ý nghũa hình học vi phân - Chương trình nâng cao quan tâm đến việc dạy học vi phân nhiều chương trình chuẩn Bên cạnh đó, vai trị tính gần nhấn mạnh mục tiêu 91 chương trình nâng cao kiến thức lẫn kĩ Chính vậy, sau phân tích thể chế dạy học Việt Nam, đặt hai câu hỏi nghiên cứu học sinh nâng cao sau: Câu hỏi 1: Học sinh sau học chương trình nâng cao hiểu vi phân? Họ có biết vai trị vi phân tính tốn gần hay khơng? Câu hỏi 2: Nếu đặt học sinh vào tình tính gần phải huy động ý nghĩa hình học vi phân, yếu tố mơi trường giúp người học hình thành ý nghĩa này? Trong chương 3, xây dựng câu hỏi thực nghiệm để làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm vi phân tìm hiểu ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân họ Chúng chia làm hai thực nghiệm: + Thực nghiệm 1: Điều tra quan niệm hiểu biết học sinh ý nghĩa vi phân + Thực nghiệm 2: Xây dựng tình huy động ý nghĩa hình học vi phân - Kết điều tra thực nghiệm chứng tỏ học sinh không quan tâm đến khái niệm vi phân, ứng dụng vi phân vào tính gần khơng hiểu ý nghĩa khái niệm Điều đặt cho thực nghiệm xây dựng tình cho phép học sinh tiếp cận nghĩa vi phân - Kết thực nghiệm cho thấy hình thành ý nghĩa hình học vi phân cho học sinh nâng cao học sinh hoàn toàn tính gần việc huy động nghĩa hình học vi phân qua tình chúng tơi xây dựng trước Luận văn dù ý nghĩa hình học vi phân khơng diện thể chế dạy học THPT hình thành cho học sinh THPT Việc thiết kế tình làm nảy sinh khái niệm vi phân từ ý nghĩa hình học hướng tiếp cận giúp học sinh hứng thú việc học tập phù hợp với quan điểm dạy học “phát huy tính tích cực học sinh” Đây hướng nghiên cứu gợi từ luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân vi phân lịch sử”, Tạp chí khoa học, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM, 4(38), tr.14-26 Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách tập Đại số Giải tích 11 Nâng Cao, Nxb Giáo dục Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm dạy học Toán Vật lý trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Howard Eves (1993), Giới thiệu lịch sử toán học (bản tiếng Việt), Nxb Khoa học Kĩ thuật, Tp Hồ Chí Minh Chung Thị Kim Hạnh (2015), Nghiên cứu việc dạy học khái niệm vi phân trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Cần Thơ Trần Văn Hạo (2007), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 Cơ Bản, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo (2010), Đại số Giải tích 11 Cơ Bản, Nxb Giáo dục Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM 10 Đồn Quỳnh (2009), Đại số Giải tích 11 Nâng Cao, Nxb Giáo dục 11 Đoàn Quỳnh (2009), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 Nâng Cao, Nxb Giáo dục 12 Vũ Tuấn (2007), Sách tập Đại số Giải tích 11 Cơ Bản, Nxb Giáo dục 13 Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM 14 Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic ∆x toán học vật lý, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM 15 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2012), “Số gần dạy học tốn bậc phổ thơng”, Tạp chí khoa học, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM, 37 (71), tr.103-113 Tiếng Anh 16 James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals (seventh edition), Cengage Learning Tiếng Pháp 17 Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam, Nxb Université Joseph Fourier PHỤ LỤC PHIẾU SỐ Mã số : Câu Cho kiện sau: hàm = số y f= ( x) 0, 02 x , giá trị x = ∆x = a) Bạn viết đoạn ngắn để giải thích cho HS lớp 11 biết ∆x =0, 02 có nghĩa gì? b) Bạn tính dx dy Nếu tính dx dy, viết đoạn ngắn để giải thích cho HS lớp 11 biết chúng có nghĩa gì: Nếu khơng tính dx dy, bạn giải thích khơng thể trả lời: c) Hãy kể hai tập khác mà bạn học có liên quan đến kiện cho Bài tập 1: Bài tập 2: PHIẾU SỐ Mã số : Câu Khơng sử dụng máy tính cầm tay, bạn trình bày chi tiết cách tính gần 4, 001 Nếu khơng tính được, bạn cho biết sao: PHIẾU SỐ Trường: Nhóm: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) điểm M với x = Cho đường thẳng (d) có phương trình = y x − tiếp xúc với (C) điểm M (Xem hình vẽ bên dưới) Biết giá trị x tăng thêm lượng nhỏ từ thành 1,001 Hãy tính gần lượng tăng tương ứng giá trị y = f ( x ) Câu trả lời nhóm (ghi rõ bước tính tốn) : Bằng sử dụng tính chất tốn học, giải thích nhóm trả lời : Khái niệm vi phân Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) điểm M với x = Cho đường thẳng (d) có phương trình = y x − tiếp xúc với (C) điểm M Biết giá trị x tăng thêm lượng nhỏ từ thành 1,001 Hãy tính gần lượng tăng tương ứng giá trị y = f ( x ) Các kí hiệu ∆𝑥, ∆𝑦, 𝑑𝑑 𝑑𝑑 minh họa hình vẽ sau: Khi ∆𝑥 = 𝑥 – 𝑥0 = 0,001 nhỏ khơng có cách tính xác ∆𝑦 = 𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑀𝑀, người ta thường tính ∆𝑦 thơng qua tiếp tuyến (d): 𝑑𝑑 = 𝑦(𝑥)– 𝑦(𝑥0 ) = (2𝑥 – 1)– (2𝑥0 – 1) = 2(𝑥 − 𝑥0 ) = 2∆𝑥 = 2.0,001 = 0,002 Khi 𝑥 thay đổi lượng ∆𝑥 = 0,001 từ điểm M , lượng tăng tương ứng giá trị y = f ( x ) gần 0,002 Một cách tổng quát, ta xét đường cong (C) có phương trình y = f(x)  Ta kí hiệu : ∆x số gia biến x, biểu thị thay đổi nhỏ x; ∆y = 𝑓(𝑥+∆𝑥) – 𝑓(𝑥) số gia hàm số y = f(x), biểu thị thay đổi giá trị y hàm số f x thay đổi lượng nhỏ ∆x  Ta định nghĩa dx = ∆x vi phân biến số x; dy vi phân hàm số y = f ( x ) dy thay đổi giá trị y đường thẳng tiếp tuyến với đường cong P x thay đổi lượng nhỏ ∆𝑥 Để tính dy, ta xét tam giác vng PSR, ta có: tanα = RS/PS ⇒ 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 = 𝑡𝑡𝑡𝑡×𝑃𝑃 = 𝑓’(𝑥)∆𝑥 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑑 (Chú ý rằng: hệ số góc tiếp tuyến tanα đạo hàm 𝑓’(𝑥) tiếp điểm P)  Khi ∆𝑥 nhỏ dy ≈ ∆y Ta có điều quan trọng sau: Khi ∆x nhỏ ∆y dy gần 𝒅𝒅 = 𝒇’(𝒙)𝒅𝒅 PHIẾU SỐ Trường: Nhóm: Cho hàm số = y f= ( x) x có đồ thị (C) điểm M có x = Cho đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) điểm M Biết giá trị x tăng thêm lượng nhỏ từ thành 4,001 a) Hãy tính gần lượng tăng tương ứng giá trị y = f ( x ) b) Khơng sử dụng máy tính bỏ túi, bạn tính gần 4, 001 ... đầu vi? ??c nghiên cứu khoa học luận thể chế dạy học Vi? ??t Nam, chọn đề tài Dạy học khái niệm vi phân trường trung học phổ thông để thực nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Cụ thể nghiên cứu khái niệm vi. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Ngọc Ẩn DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14... làm thay đổi cách dạy lý tồn khái niệm sở khác [16, tr.XI] Vì vậy, khai thác tốt giáo trình hữu ích cho chúng tơi vi? ??c thực đề tài dạy học khái niệm vi phân trường trung học phổ thông Cuối cùng,