Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ********************* NGUYỄN THÀNH LONG NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số : 60.14.10 Người hướng dẫn : TS Năm 2004 LÊ VĂN TIẾN ĐẶT VẤN ĐỀ NHỮNG GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT Giới hạn khái niệm sở Giải tích – nội dung chiếm vai trò quan trọng dạy học toán trường phổ thông bậc đại học Theo nghiên cứu Lê Văn Tiến (2000), dù trải qua nhiều cải cách, giải tích cần giảng dạy trường THPT Việt Nam giải tích “Đại số hóa tăng cường”, nghóa Giải tích đặt sở chủ yếu kó thuật chất đại số Người ta tránh đến mức tối đa quy trình, kó thuật đặc trưng giải tích : chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ Dấu ấn bật tư tưởng xấp xỉ dường xuất số định nghóa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ , N hay ,  Thế nhưng, đến lượt mình, dấu ấn bị loại bỏ khỏi chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 hành Bản đề cương chỉnh lí hợp ba sách giáo khoa Toán THPT (trang 7) yêu cầu cách rõ ràng : không dùng ngôn ngữ (, ) để định nghóa khái niệm giới hạn dãy số giới hạn hàm số, định nghóa giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số Quan điểm lần nhấn mạnh chương trình thí điểm (2004) Như vậy, vấn đề xấp xỉ gần hoàn toàn bị loại bỏ dạy học Giải tích Tuy nhiên, M.Legrand (1991) M.Artigue (1993) làm rõ : Đi vào Giải tích, hiểu xấp xỉ trung tâm vấn đề lớn giải tích, đồng thời trung tâm phương pháp kỹ thuật phạm trù Những nhận xét dẫn tới câu hỏi khởi đầu sau :  Làm hình thành học sinh tư tưởng xấp xỉ qua việc dạy học khái niệm giới hạn Giải tích đại số hóa, mà không cần đưa vào cách tường minh định nghóa theo ngôn ngữ ,  ?  Vấn đề toán học làm cho việc xây dựng tình cho phép nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ?  Những tình cụ thể cần thiết lập ?  Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh học sinh đối diện với tình MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt mục đích nhắm tới luận văn Cụ thể hơn, nhiệm vụ :  Tìm kiếm số kiểu toán làm điểm tựa cho việc xây dựng tình nêu  Tiến hành xây dựng số tình cụ thể cho phép làm nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ  Thiết lập triển khai công đoạn học tập đặt sở tình xây dựng  Quan sát, thu thập phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ xem yếu tố xấp xỉ nảy sinh học sinh tình PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU, PHƯƠNG PHÁP VÀ GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU Nhiều nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học chứng tỏ khái niệm toán học đó, nghiên cứu cho phép làm rõ không số kiểu toán, kiểu tình khái niệm xuất tác động cách ngầm ẩn hay tường minh, mà đối tượng, khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm góp phần vào nảy sinh phát triển Tổng quát hơn, cho phép làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm Việc xây dựng tình công đọan học tập thông qua tình bị ràng buộc đặc trưng khoa học luận đối tượng toán học liên quan, mà bị chi phối ràng buộc hệ thống dạy học toán trường phổ thông Do vậy, làm rõ yếu tố khoa học luận ràng buộc sư phạm khái niệm giới hạn cần thiết nghiên cứu Để làm điều đó, thấy cần thiết đặt nghiên cứu phạm vi Didactic Toán Cụ thể, điểm tựa lý thuyết khái niệm lý thuyết trường quan niệm, lý thuyết nhân chủng học lý thuyết tình khái niệm : Trường quan niệm khái niệm toán học, quan hệ thể chế đối tượng tri thức, tổ chức toán học, hợp đồng didactic, biến didactic,tình huống, … Từ đó, trình bày lại câu hỏi đặt sau :  Những đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn phân tích, tổng hợp làm rõ qua công trình nghiên cứu có ? Những kiểu toán, kiểu tình cho phép khái niệm giới hạn xuất tác động ? Những đối tượng toán học khác góp phần vào việc nảy sinh tiến triển khái niệm ? Vấn đề toán học điểm tựa cho việc xây dựng tình cho phép nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ?  Mối quan hệ thể chế khái niệm giới hạn hình thành tiến triển ? ràng buộc đối tượng giới hạn ?  Dưới ràng buộc khoa học luận ràng buộc sư phạm làm rõ trên, làm xây dựng triển khai tình ? Với lựa chọn biến tình ?  Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh học sinh đối diện với tình thiết lập ? Từ phân tích trên, phương pháp nghiên cứu mà chọn :  Tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm giới hạn để làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm này, đặc biệt toán, tình khái niệm giới hạn nảy sinh tác động cách ngầm ẩn hay tường minh, đối tượng đặt điều kiện cho nảy sinh khái niệm giới hạn  Phân tích chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành, để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn, qua ràng buộc sư phạm đối tượng Các kết đạt từ hai nghiên cứu cho phép đề giả thuyết công việc sau : Về mặt toán học, vấn đề tính diện tích hình phẳng sở việc thiết lập tình cho phép làm nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ Giả thiết tiền đề cho công việc sau luận văn  Thiết lập tình công đọan didactic cho phép nảy sinh số yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ Các tình công đoạn dựa tình sở sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a;b] với a  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho, trục hoành Ox hai đường thẳng x =a x = b.”  Thực nghiệm : Triển khai lớp 11 công đoạn học tập dựa tình xây dựng Quan sát, thu thập phân tích số liệu Thực nghiệm có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thích đáng giả thuyết nghiên cứu sau : “Các tình tính diện tích hình phẳng chọn cho phép làm nảy sinh học sinh vài yếu tố cấu thành nên nghóa khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ, vắng mặt định nghóa hình thức theo ngôn ngữ ,  ” TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN Luận văn bao gồm phần :  Đặt vấn đề  Chương : Đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn  Chương : Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn dạy học Toán trường trung học phổ thông  Chương : Thực nghiệm  Kết luận chung CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH Chương mục đích thực nghiên cứu gốc khoa học luận lịch sử hình thành phát triển khái niệm giới hạn Chúng tổng hợp phân tích kết có từ số công trình nghiên cứu khoa học luận, nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm này, cụ thể để tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :  Khái niệm giới hạn xuất tác động kiểu toán, kiểu tình ? Nó có đặc trưng ?  Những đối tượng, khái niệm toán học có liên quan góp phần làm nảy sinh phát triển khái niệm giới hạn ?  Phạm vi toán học mà từ xuất tình tạo nên nghóa khái niệm giới hạn ? đặc biệt nghóa gắn liền với quan điểm xấp xỉ ?  Có quan niệm khác khái niệm giới hạn ? Các công trình nghiên cứu khoa học luận mà tiến hành phân tích : CORNU B (1982) , CORNU B (1983) , ROBINET J (1983) , TROUCHE L (1996) , FICHTENGÔN G.M (1977) II.- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Có thể nói, lịch sử hình thành khái niệm giới hạn xuất khái niệm vô hạn (thế kỷ VI trước công nguyên) chương trình số học hóa giải tích Weierstrass (thế kỷ XIX)ø Lịch sử chia thành ba giai đoạn chủ yếu mà đề cập Giai đoạn : Từ thời Hi Lạp cổ đại đến đầu kỷ XVII Tiến trình khái niệm vô hạn Ngay từ kỷ VI TCN, thời trường phái Pythagore, kiện khám phá số vô tỉ phá vỡ tương ứng số hữu tỉ độ dài, đồng thời dẫn đến phát đoạn thẳng vô ước Đó lần toán học gặp phải khái niệm vô hạn : dùng thuật toán Euclide để tìm ước chung d a b độ dài đoạn thẳng vô ước với thuật toán trở nên vô hạn Để giải vấn đề này, nhà Pythagoriste giả thiết đoạn thẳng vô ước có ước chung bé, phần tử đơn giản nhất, xem điểm (đoạn thẳng tập hợp vô hạn yếu tố “không chia nhỏ được”) Đây thể quan niệm nguyên tử (atomiste) cho số, không gian, thời gian vật chất có yếu tố ban đầu chia nhỏ Tuy nhiên, có quan niệm ngược lại  quan niệm liên tục (continuiste), cho đối tượng chia vô hạn Zénon (495 – 430 TCN) đưa nghịch lý vạch mâu thuẫn hai quan niệm Ở đơn cử nghịch lý : + Nghịch lý “Mũi tên bay đứng yên thời điểm” : Nếu thời gian tạo khoảng nguyên tử chia mũi tên chuyển động luôn bị đứng yên khoảng thời gian mũi tên vị trí cố định Vì điều khoảng thời gian nên suy mũi tên đứng yên (dù bay) + Nghịch lý “Chia đôi” : Nếu đoạn thẳng chia nhỏ vô hạn có chuyển động Vì để hết đoạn thẳng đó, trước hết cần phải đến trung điểm, để làm việc trước hết phải đếán điểm phần tư, để làm việc lại phải đếán điểm phần tám trước, tiếp tục đến vô hạn Suy chuyển động kể từ lúc bắt đầu Những nghịch lý hoàn toàn ý định giải mâu thuẫn đó, dẫn đến hậu nhà toán học thời loại bỏ tính vô hạn nguyên tử (vô bé) khỏi chứng minh hình học Vấn đề tính độ dài đường tròn diện tích hình tròn ý Vào khoảng năm 430 TCN, Antiphon cho cách liên tiếp nhân đôi số cạnh đa giác nội tiếp đường tròn hiệu số diện tích hình tròn với diện tích đa giác cuối không Cùng thời gian đó, với ý tưởng tương tự, Hippocrate de Chios ngầm ẩn “cho qua giới hạn” để chứng minh tỉ số diện tích S1/S2 hai đường tròn bình phương tỉ số hai đường kính d1/d2 chúng : S1/S2 = d12/d22 (*) Eudoxe (408 – 355 TCN) đề xuất phương pháp (sau gọi phương pháp vét cạn) để tính diện tích thể tích (như chứng minh hệ thức (*) nêu trên, chẳng hạn) Phương pháp thừa nhận tính chia hết vô hạn đại lượng theo nguyên tắc (sau đặt tên tiên đề Archimède) : “Nếu từ đại lượng mà bỏ phần không nhỏ nửa nó, từ chỗ lại bỏ phần không nhỏ nửa nó, v.v cuối lại đại lượng nhỏ đại lượng cho trước loại” Archimède (287 – 212 TCN) áp dụng xuất sắc phương pháp vét cạn để giải toán độ dài, diện tích, thể tích mà thí dụ điển hình tính diện tích S hình viên phân parabol (segment parabolique) sau : GG Ông chứng minh diện tích s tam giác ABC ½ diện tích hình bình hành bBCc nên lớn ½ diện tích S Ông tiếp tục dựng tam giác HAC có HK//AM Khi diện tích tam giác AHC 1/8 diện tích s nên tổng diện tích hai tam giác AHC BGA ¼ diện tích s Sau tiếp tục Như diện tích đa giác nội tiếp hình viên phân parabol tổng diện tích tam giác dựng, nghóa : s + ¼ s + 1/42 s + + 1/4n-1 s + Nhưng ông tính tổng n số hạng đầu : U = s + ¼ s+ 1/42 s + +1/4n-1 s thêm vào phần dư 1/3 1/4n-1 s sử dụng tính chất : s + ¼ s + 1/42 s + + 1/4n-1 s + 1/3 1/4n-1 s = 4/3 s Nếu số cạnh đa giác nội tiếp tăng lên phần dư 1/3 1/4n-1 s bé mong muốn diện tích S = 4/3 s Ông chứng minh công thức phản chứng:  Nếu S > 4/3 s : mâu thuẫn với Có n tam giác Điều U = 4/3 s  1/3 1/4n-1 s < 4/3 s  Neáu S < 4/3 s : nghóa 4/3 s  S > Có tam giác thứ m có diện tích Mà U > 4/3 s sm = 1/4m-1 s < 4/3 s  S sm > 1/3 sm = 4/3 s  U Dẫn đến S < U Điều mâu thuẫn, U diện tích đa giác nội tiếp hình viên phân parabol có diện tích S Thế phương pháp vét cạn dùng để chứng minh kết biết trước Vậy làm mà Archimède biết kết (công thức tính diện tích hình viên phân parabol chẳng hạn) để chứn g minh phương pháp vét cạn ? Đó bí ẩn mà đến đầu kỷ XX khám phá Ông dùng phương pháp tính mà ý tưởng : Để tìm diện tích (hoặc thể tích) cắt thành số lớn dải phẳng mỏng song song (hoặc lớp mỏng song song) Như độ lớn xem hợp số lớn phận nguyên tử mà trước tư tưởng hình thành Démocrite (460-380 TCN) dù chưa chặt chẽ (So với phương pháp đại giới hạn phương pháp chặt chẽ hóa giống phép tính tích phân nay) Nhưng cách biểu diễn phương pháp bị người đương thời phê phán gay gắt Ngay Archimède cho kết thu phương pháp chưa đủ sức thuyết phục, thiết phải chứng minh lại phương pháp vét cạn Cách chứng minh, theo phương pháp vét cạn, bao hàm ý tưởng lý thuyết giới hạn sau Nó chứa đựng yếu tố quan trọng khái niệm giới hạn : tìm giá trị gần đại lượng với độ xác Nhưng phương pháp vét cạn đề cập đến đại lượng hình học không nêu bật ý tưởng đại lượng biến thiên bất kỳ, ý tưởng cho qua giới hạn (do lẫn tránh vô hạn) Quả thực, phương pháp vét cạn cho phép họ tránh sử dụng vô hạn chứng minh (bằng lập luận phản chứng) Ngay đến cuối kỷ XVIII, mà Lagrange cho giới hạn không làm tác động vô hạn (“La limite ne met pas en jeu l’infini”, theo CORNU B (1983), trang 52) Đó điều khác với lý thuyết giới hạn xây dựng vào kỷ XIX Sau Archimède, lịch sử xảy dồn dập biến cố tưởng chừng vùi lấp tư tưởng nhà toán học cổ Hi Lạp Mãi đến kỷ XVI tư tưởng nhà toán học châu u biết đến, kế thừa phát triển Từ bắt đầu thời kỳ mà đề cập đến khái niệm vô hạn không bị coi cấm kỵ trước Képler (1571 – 1630) đồng đường tròn với đa giác có số cạnh vô hạn tính diện tích hình tròn cách lấy tổng vô hạn diện tích tam giác vô bé (có cạnh đáy cạnh đa giác đỉnh tâm hình tròn) S(hình tròn) =  S(tam giác) = ½ ( cạnh đa giác đều) R = ½ 2R R = R2 Cavaliéri (1598-1647) đề xuất phương pháp chia (indivisibles) vào năm 1635, có nguồn gốc từ ý tưởng Démocrite, để tính diện tích thể tích Do ông không xác định rõ nên ta tạm hiểu : Cái chia mẫu phẳng cho trước dây mẫu chia hình khối cho trước thiết diện phẳng khối Một mẫu phẳng coi tạo tập hợp vô hạn dây song song hình khối tạo tập hợp vô hạn thiết diện phẳng song song So sánh chia tạo nên hình, mà việc xác định tỉ số kích thước chúng sở phương pháp chia Roberval (1602 – 1675) để tính diện tích hình phẳng giới hạn cung cycloit đề phương pháp chia (độc lập với Cavaliéri) cách xem xét cấp số cộng vô hạn Khác với tiền bối tăng số cạnh đa giác nội tiếp hay ngoại tiếp chênh lệch hình cần xét (về mặt diện tích) nhỏ lượng cho trước, Roberval cho số vô hạn đa giác phủ kín toàn thể hình phẳng xét Có nguồn gốc từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vô hạn (tổng chuỗi số), có từ thời Archimède (tính tổng chuỗi 1/4n), kế tục Oresme (1323 – 1382) ông tính  Nhóm hoàn chỉnh ý tưởng “phân hoạch” có từ hoạt động trước : Chứng minh công thức tổng quát tính “tổng tích phân Sn” (ngầm ẩn) áp dụng cho giá trị cụ thể (rất lớn) n  Về so sánh sai số , thực theo phương diện :  Trong chiến lược S6.1 : So với hoạt động 2, xuất thêm cách so sánh lập luận (protocole câu 121) : “Diện tích nhiều sai số nhỏ nên sai số nhóm nhỏ sai số nhóm 5”  Giữa chiến lược khác : Cách so sánh trực tiếp cách thiết lập bất đẳng thức sai số phát triển thành bất đẳng thức giá trị gần thừa : “ Bởi nhóm tính S6 nhỏ nhóm, mà S6 giá trị gần thừa nên S6 có sai số nhỏ nhất” (protocole câu 167) Đây cách so sánh tối ưu , mong đợi hoạt động 3, nhóm sử dụng Cách so sánh trực quan với việc minh họa sai số tự động biến  Qua pha thực nghiệm, nhóm hiểu :  Có thể tính giá trị gần (trong làm mình) có sai số nhỏ (xem protocole câu 168 - 173)  Có thể tính gần diện tích S hình cho vớiù sai số nhỏ số dương (xem protocole câu 174 - 181) 5.2 Sự xuất tiến triển yếu tố xấp xỉ Sau buổi thực nghiệm (với kịch gồm pha), ghi nhận nhận thức học sinh xuất yếu tố sau : 1) Xấp xỉ hình học : Chia hình thang cong thành nhiều hình thang cong nhỏ tốt để xấp xỉ hình thang cong nhỏ với hình thang (vuông) Nhóm ghi rõ phương pháp làm : «Ta chia hình thang cong thành nhiều hình thang nhỏ Nếu chia nhiều ta có giá trị gần với diện tích S hình thang cong » 2) Tổng hữu hạn (có thể phát triển thành tổng vô hạn) xấp xỉ đại lượng : Xấp xỉ diện tích hình (chưa tính được) với tổng số lớn diện tích hình nhỏ (tính được) “ n lớn S gần S (dththc)” (bài làm nhóm 1) “Cho n lớn coi sai số 14/3 diện tích hình” “Nếu n lớn tổng gần với diện tích hình thang cong S” (protocole câu 105 , 149) 3) Vô bé (liên quan đến phương pháp vét cạn, giới hạn dãy số) : thể yêu cầu sai số tính giá trị gần (xấp xỉ với giá trị xác) : sai số nhỏ, sai số nhỏ nữa, sai số nhỏ tùy ý “n lớn sai số nhỏ , sai số không” (protocole câu 30) “Thế n = 100 nhỏ coi 0” (protocole câu 107) nhiều sai số nhỏ ” “Diện tích (protocole câu 121) Nhận thức gần với quan điểm xấp xỉ giới hạn dãy số (un) L : ”Khi n lớn un  L bé” (bằng trực quan) 5.3 nh hưởng việc lựa chọn giá trị biến chiến lược Qua hoạt động thực nghiệm, xuất có 2/7 chiến lược giải nêu phân tích tiên nghiệm BẢNG THỐNG KÊ SỐ NHÓM CHỌN CHIẾN LƯC GIẢI Chiến lược S5.3 Chiến lược S6.1 Hoạt động Hoạt động 3 Hoạt động a) Sự vắng mặt chiến lược khác giải thích lựa chọn giá trị biến :  Nhóm chiến lược tính xác S1,S2,S3 xuất giá trị chọn f(x) hàm số bậc hai đối tượng thực nghiệm học sinh lớp 11  Biến V2 có giá trị giấy trắng (không kẻ ô vuông) ngăn cản chiến lược S4 “lưới ô vuông” Cách tính nhập môn diện tích đưa vào lớp (Tiểu học) không quan tâm học sinh cấp THPT  Với lựa chọn, hoạt động : “tính giá trị gần thừa” nêu rõ yêu cầu vừa nội dung (giá trị gần thừa) vừa số lượng (tính giá trị ) có tác dụng gần phong tỏa chiến lược S5 Chỉ có hai nhóm nghó đến chúng giấy nháp : chiến lược “cung tròn” (S5.2) nhóm 2, nhóm chiến lược “đoạn thẳng” (S5.1) nhóm b) Trong 4/5 nhóm chọn chiến lược S6.1 có nhóm thay đổi chiến lược giải từ hoạt động sang hoạt động sau : Hoạt động Hoạt động Hoạt động Nhóm S5.3 S5.3 S6.1 Nhóm S5.3 S5.3 ; S6.1 S6.1 Do đâu mà chiến lược S6.1 lại có sức hấp dẫn Một nguyên nhân giá trị chọn biến đặc trưng Cụ thể :  Với lựa chọn : “Tìm phương pháp để tính giá trị gần thừa” (trong hoạt động 3) có tác dụng hai mặt : vừa phong tỏa chiến lược S5 (đã nêu phần a)) vừa tạo thuận lợi cho chiến lượïc S6 “phân hoạch” chiến lược S5.3 “hình quen thuộc”  Với lựa chọn : “So sánh sai số để tìm sai số nhỏ nhất” (trong hoạt động 3) khiến chiến lược S6 tỏ ưu hẳn chiến lược S5.3 Điều thể pha thảo luận  Biến V3 : “Đoạn [a,b] = [0,2] ” làm tăng thêm tính khả thi chiến lược S6 : Khi phân hoạch đoạn [0,2] thành n phần nhau, dễ xác định điểm chia x = 0, 2/n, 4/n, , 2(n-1)/n, 2n/n = dễ tính giá trị hàm số tương ứng : , 1+ 4/n2 , 1+ 16/n2 , , 1+ 4(n-1)2/n2 , Sự tiện lợi nhóm khai thác :  nhóm : với n tổng quát từ hoạt động  nhóm : với n = 10 (trong HĐ3)  nhóm : với n = 2,4,8,16 (trong HĐ3)  nhóm : với n = 128 (trong HĐ2) với n = 1,2,4,8 (trong HĐ3) c) Chiến lược phân hoạch có dạng : chiến lược S6.1 « hình thang » chiến lược S6.2 « hình chữ nhật » Trong làm, nhóm chọn chiến lược S6.1 mà không chọn chiến lược S6.2 Trong giấy nháp, chiến lược S6.2 thoáng qua lần nhóm (trong HĐ2) chiến lược S6.1 lại có dạng thể khác : phân hoạch đoạn [1,5]  trục Oy hai nhóm 5, nhóm tính kết S  4,8537 Vì chiến lược S6.1 “hình thang” lại lấn át hoàn toàn chiến lược S6.2 “hình chữ nhật” ? Câu trả lời tìm câu thảo luận pha : “Vì bọn em thấy giống hình thang” “Vì vẽ hình chữ nhật em thấy sai số lớn vẽ hình thang” (protocole câu 183, 185) 5.4 Về xuất ký hiệu x làm nhóm Trong suốt ba hoạt động thực nghiệm, nhóm dùng ký hiệu x để độ dài phần phân hoạch đoạn [0,2] thành n phần nhau, điểm chia x = 0, x, 2x, ,nx cuối thay x = 2/n Nhằm tìm hiểu nguyên tượng (sử dụng ký hiệu x), vấn riêng học sinh đại diện nhóm sau thực nghiệm kết thúc Em cho biết “Do có nghiên cứu trước phần Giới hạn–Liên tục sách giáo khoa, em biết x = x  xo để hiệu hai hoành độ” Như học sinh , x đơn ký hiệu để độ dài, ý nghóa đích thực đại lượng biến thiên (số gia biến số) sách giáo khoa trình bày Đồng thời ý tưởng giới hạn dù em nghiên cứu qua không để lại dấu ấn làm nhóm Một minh chứng không xảy việc “kết cuối tính theo x cho x tiến tới 0” mà có “thay x 2/n để tính kết cuối theo n áp dụng với giá trị cụ thể n” Nhờ biết sử dụng ký hiệu x, nhóm thuận tiện phân họach đoạn [0,2] điểm x = 0, x, 2x, ,nx dễ dàng tính tung độ tương ứng y = , 1+ x2, 1+ 4x2, , 1+ n2x2 Đó lý để nhóm mạnh dạn phân hoạch đoạn [0,2] từ pha hoạt động hoàn chỉnh pha hoạt động Kết luận phần thực nghiệm Hoạt động đưa tình tính diện tích hình thang cong, làm ngắt quãng hợp đồng didactic tính diện tích (Tính diện tích tìm giá trị xác nó) Kiểu nhiệm vụ tình thực học sinh lớp 11 : Với công thức đại số tính gần (tính xấp xỉ) diện tích hình thang cong mà Hoạt động cho phép triển khai việc tính giá trị gần cách xấp xỉ hình thang cong hình hình học Nhiều giá trị gần tính đến việc so sánh sai số chúng bắt đầu đề cập với phương tiện trực quan hình minh họa sai số Hoạt động 3đưa việc so sánh sai số thoát khỏi phạm vi hình học cách so sánh giá trị gần thừa để tìm giá trị xấp xỉ tốt với diện tích hình thang cong có làm nhóm Đỉnh điểm ý tưởng xấp xỉ tính giá trị gần với sai số nhỏ nữa, nhỏ số dương nhỏ tùy ý học sinh lónh hội Như thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi đề ban đầu Nói cách khác, mục đích thực nghiệm đạt được, KẾT LUẬN CHUNG Qua tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm giới hạn chương I, có nhận xét sau : 1.1 Tính diện tích hình phẳng động làm nảy sinh phát triển khái niệm giới hạn Đây toán thuộc phạm vi hình học mà nhiều trường hợp cụ thể giải phương pháp vét cạn phương pháp chia Những phương pháp đạt thành định giải tổng quát toán Với phát minh Hình học giải tích chuyển toán từ phạm vi hình học sang phạm vi đại số : hình phẳng đưa hình thang cong giới hạn đường xác định phương trình đại số Cũng tính diện tích hình parabol cách làm Fermat, Pascal thiên đại số có ý nghóa khác hẳn so với cách làm Archimède trước túy hình học Cùng vớiø phát triển việc nghiên cứu đại lượng biến thiên thể qua công trình Newton, Leibniz, toán tính diện tích hình phẳng giải cách cho qua giới hạn Dường có tương ứng diện tích (thuộc phạm vi hình học) với giới hạn (thuộc phạm vi số) : diện tích thể khái niệm giới hạn lónh vực hình học 1.2 Trong quan điểm khái niệm giới hạn, quan điểm xấp xỉ cho phép dẫn đến định nghóa khái niệm giới hạn Giới hạn , ban đầu công cụ để giải toán Chính nhờ quan điểm xấp xỉ mà trình khái niệm hóa tư tưởng giới hạn hoàn thiện Có thể nói xấp xỉ số dẫn đến định nghóa giới hạn việc tính diện tích dẫn đến xấp xỉ hình học (phương pháp vét cạn , phép phân hoạch minh chứng) Như việc chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số khái niệm giới hạn chuyển từ xấp xỉ hình học sang xấp xỉ số (Tương tự Pascal đối chiếu không chia hình học với số số học) Tóm lại ta có đường dẫn đến tiếp cận khái niệm giới hạn sau : tính diện tích  xấp xỉ hình học  xấp xỉ số  định nghóa giới hạn Qua phân tích chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 chương II lưu ý đến ràng buộc thể chế khái niệm giới hạn sau : 2.1 Các toán giới hạn chủ yếu giải dựa định lý đại số giới hạn Thể chế mong muốn học sinh việc thao tác kỹ thuật có chất đại số để tìm giới hạn, không trọng đến kỹ thuật có chất giải tích Học sinh quan tâm đến việc tìm giới hạn dãy số hay hàm số cho tìm hiểu nội dung ý nghóa khái niệm giới hạn 2.2 Các toán giới hạn chủ yếu thuộc phạm vi số đại số Sự thiếu vắng phạm vi hình học, học yêu cầu giảm tải chương trình, làm hội thể ý nghóa lịch sử khái niệm giới hạn Từ ràng buộc thể chế đồng thời vào đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn, đưa vào thực nghiệm công đoạn didactic gồm tình tính diện tích hình thang cong (theo kịch bản) Yêu cầu thực nghiệm tính kết diện tích hình thang cong cách mà tính giá trị gần diện tích đánh giá sai số tương ứng Phạm vi hình học toán thực nghiệm nhằm tạo môi trường tương tác nhận thức học sinh với ý tưởng giải toán Quá trình thực nghiệm cho thấy học sinh vừa biết thực thao tác đại số (khi tính giá trị gần đúng) vừa nhận thức yếu tố ban đầu xấp xỉ (khi so sánh sai số ) Đại số hóa xấp xỉ hai mặt biện chứng nhận thức khái niệm giới hạn nói riêng giải tích nói chung Trong ràng buộc thể chế dù nhấn mạnh đến quan điểm đại số hóa tiếp cận quan điểm xấp xỉ Chúng nghó nghiên cứu để xây dựng hệ thống tình nhằm tăng cường quan điểm xấp xỉ dạy học giải tích trường THPT Đó hướng mở rộng luận văn PROTOCOLE PHA GV Một cách tình cờ, nhóm Các nhóm khác chuẫn phát biểu ý kiến « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Nhóm tính diện tích hình thang cong chưa ? cách tính không ? HS Chưa, sai số lớn HS2 Nhóm em tính cách lấy hình chữ nhật nhỏ cộng với tam giác diện tích cung AB GV Vậy toán giải chưa ? HS Chưa, sai số, diện tích cung AB GV Bây đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) « Một học sinh nhóm lên bảng trình bày cách tính diện tích S2 cách chia hình nhiều tam giác » Các nhóm khác có ý kiến không ? Tính diện tích hình thang cong chưa ? HS Khó tính được, phải chia nhiều lần GV Như hay không ? HS Không 10 GV Nhóm bảo được,nhóm bảo không,còn nhóm khác ? 11 HS Không tính 12 GV Ai giải thích ? 13 HS5 Mỗi lần đặt trung điểm sai số giảm xuống 14 GV Có đồng ý không ? 15 HS Đồng ý, chấp nhận 16 GV Tính diện tích hình thang cong chưa ? Vì ? 17 HS Chưa, sai số 18 HS Chưa, đường cong không đường thẳng 19 HS Chưa, sai số nhỏ cách tính dài dòng 20 HS Chưa, không tính phần diện tích cong 21 GV Như có nhóm cho không tính Bây đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Nếu chia nhỏ đường cong coi đường thẳng không ? 22 HS Như sai số 23 HS1 Vẫn sai số sai số nhỏ 24 HS Sai số tăng lên cộng nhiều sai số nhỏ thành sai số lớn 25 HS Chia n lần sai số tăng lên n lần 26 GV Thày hỏi câu : Qua phát biểu nhóm sai số tăng, lớn hay nhỏ chưa thống tất thống có sai số toán, tính diện tích hình thang cong chưa ? bị trừ Coi lại 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 HS HS GV HS1 GV HS1 GV HS1 GV HS1 HS nhỏ GV Chưa, sai số Chỉ tính gần lớn tí Thống tính hay không? Nhóm tính sai số ? n lớn sai số nhỏ, sai số không Vậy sai số ? Thay n số tính sai số Vậy tính diện tích gần hay diện tích xác ? Diện tích gần toán giải chưa ? Chưa Sai số nhỏ Nếu ta hạ xuống trung điểm sai số Nhóm có chấp nhận không ? Tổng kết lại : Có nhóm đồng ý tính được, n lớn sai số không, diện tích diện tích hình thang cong Có nhóm không đồng ý, chưa tính Có nhóm cho tìm sai số nhỏ Bây đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Các em có đồng ý với nhóm không ? 39 HS Sai số lớn 40 HS Không, chưa tính diện tích hình thang cong 41 HS3 Nhóm em tính diện tích hình thang cong không kịp Có sai số 42 GV Như không tính xác phải không ? 43 HS Đồng ý 44 GV Đến nhóm « Nhắc lại nội dung làm nhóm » (xem phụ lục) Tương tự, cách giải sai số Tổng kết lại, có nhóm tính xác diện tích hình thang cong ? 45 HS Không, sai số 46 HS Cho em hỏi, phần muốn bỏ hình có phải ¼ hình elip không ? 47 GV Nếu hình elip ? 48 HS Do ta tính diện tích hình elip nên tính phần bỏ 49 GV Được rồi, ta dừng lại đây, có trở lại sau Sang phần Lúc tất thống tính xác, mà tính gần Trong hoạt động yêu cầu tính gần PHA 50 GV Đây toán mà khoảng 300 năm trước công nguyên, Archimède làm Nào tất nhìn lên bảng, xem làm nhóm Nào, em nhóm lên trình bày 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 79 80 81 82 83 84 85 HS2 Nếu làm theo cách tụi em sai số nhiều «Trình bày nội dung áp phích nhóm 2» GV Các nhóm theo dõi, không hiểu hỏi HS2 Chia hai để sai số nhỏ GV Em lấy tam giác lớn này, chia đôi tính S = Các em có ý kiến không ? HS Sai số lớn GV S2 diện tích phần màu đỏ có phải giá trị gần S không ? HS2 S2 chưa tìm có sai số nhỏ tức sai số S5 nhỏ sai số S4 HS (Cười) Sai GV Có đồng ý không ? HS Không GV Tính giá trị gần chưa ? HS Tính sai số phải có giá trị tuyệt đối HS2 Do giá trị gần thiếu nên không cần ghi giá trị tuyệt đối HS Nhưng S2 giá trị gần thừa HS2 Xin sửa lại sai số 5S GV Vậy kết em chưa ? HS Đúng GV Sai số S1 phần ? HS2 Phần gạch đỏ trừ phần gạch đỏ GV So sánh hai sai số S4 với 5S chưa ? HS Chưa GV Dù nhớ cách tính nhóm Bây đến nhóm Nhóm trình bày rõ ràng tính S1 = 4,8 ; S2 = Không biết sai số lại so sánh sai số , ? HS4 Được hình vẽ sai số S2 lớn sai số S1 GV Như trực giác phải không ? HS4 Phải GV Các nhóm đồng ý hay không đồng ý ? ( ) Vậy có nhóm không đồng ý, nhóm đồng ý Trực giác thấy có cần phải chứng minh không ? Bây đến nhóm HS3 «Trình bày nội dung áp phích nhóm 3, tính S1= 4,86 » 78GV «Kiễm chứng lại (đúng) » Các em có ý kiến không ? HS Tại biết HH’ = ? HS3 Do chiếu xuống trục hoành HS Chiếu H xuống Ox có không ? HS Chiếu H xuống Oy có phải không ? HS Có thể tính từ hàm số y = x2 + GV Nhóm tính S2 = 4,82 HS Sao tính SQKP = 0,32 ? 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 HS3 GV HS5 HS HS5 GV HS HS5 GV Tính hai cạnh góc vuông chiếu xuống trục hoành, trục tung Bây đến nhóm Phải nói cách làm nói đến kết Chia EF thành 128 lần Tính S128 (diện tích hình thứ 128) Tính y = 2,000244141 sai, y phải  = Chấp nhận Vậy nhóm tính nhầm ? x128l hoành độ Đồng ý Vậy nhóm tính phải không ? Dù kết S1 không đúng, cách tính đáng ý HS5 Nhóm em áp dụng nhầm diện tích tam giác vào hình thang ! GV Bây đến S2 = 4,75 Tính sai số ? ( ) Không Đến nhóm ( ) Các em nhóm hội ý lâu ! HS1 Chia đoạn [0,2] n lần, có n hình thang mà đường cao x « Nội dung áp phích nhóm 1» « Bổ sung kết S = 14/3 + 4/3n2 , » GV Vậy S1 ? HS1 Cho n = 100 : S1 = 14/3 + 4/30000 , sai số 4/30000 GV Đánh giá mặt phương pháp chưa ? HS Đúng GV Đó S1, S2 tính chưa ? HS1 Cho S2 = 14/3  4/30000 GV Taïi thay dấu + dấu  ? HS1 Cho n lớn coi sai số 14/3 diện tích hình Do 4/3n2 sai số nhỏ, cộng hay trừ ? HS 4/3n2 HS1 Thế n = 100 Chia 100 phần 4/30000 = 0,000133 nhỏ coi GV Các nhóm có hiểu chưa ? HS (Cười) Rồi GV Thôi vụ  để xét lại sau Có đáng tranh cãi tranh cãi ? Tổng kết lại, qua làm nhóm ta thấy có cách tính :  Cách : Chia thành nhiều hình thang  Cách : Ghép hình trừ Sang hoạt động 3, em làm toán tiếp Có thể sử dụng phương pháp mới, phương pháp , bạn PHA 111 GV Chúng ta nhóm Để khỏi giờ, thày trực tiếp giới thiệu « Nội dung áp phích nhóm » Sai số S1,S2 bé ? 112 HS5 Sai số S2 bé S1 113 GV Như vậy, lấy cuối S4 = 4,6875 tổng diện tích hình thang Hãy kiễm tra diện tích ? 114 HS SDQXC 115 GV « Kiễm chứng SCDQX = 45/128 » Đến nhóm 4, tính S4 cách chia làm 16 phần Nhóm trình bày cách tính S12 ? 116 HS4 chia 16 1/8 đường cao hìnhthang Muốn tính S12 phải tính S11 trước ! 117 HS Tại không tính ngang xương ? 118 HS5 Hồi nhóm chúng em tính ngang xương mà nhóm không ? 119 GV Trong lúc em tính, nghe thày hỏi : Có thể so sánh sai số S4 nhóm với sai số S4 nhóm trước mà không cần nhìn đáp số không ? 120 HS Không so sánh 121 HS Diện tích nhiều sai số nhỏ nên sai số nhóm nhỏ sai số nhóm 122 HS5 Nhưng mà làm làm chả đượïc Phải có kết ! 123 GV Chúng ta xem em tính ? 12/16 x, tính y ; 13/16 x, tính y S12 0,59 Vậy S12 hay sai ? 124 HS Tính tính S13 S12 125 GV Vậy muốn tính S12 ? 126 HS Lui lại 127 GV Như S13 0,59 tổng thể chấp nhận S4 = 4,67 không ? 128 HS Được 129 GV Bây đến nhóm Một em nhóm lên trình bày làm nhóm Cần giải thích thật rõ ràng để nhóm khác theo dõi 130 HS3 Chia hình thành 10 hình nhỏ hình thang có đường cao 2/10 = 0,2 Với x = 0,2 ta tính y1 = 1,04 Và tính tới y10=5.Cộng diện tích 10 hình thang nhỏ ta S1=5,006 Tổng quát ta có công thức tính gần với S = h/2 [y1 + yn + 2(y2 + + yn-1)] 131 HS Tính sót hình thang nhỏ 132 HS3 Đã tính đủ từ y1 đến y10 mà ! 133 HS Từ y1 đến y10 có hình thang Còn thiếu cạnh yo = 134 HS3 Đúng ! Vậy nhóm em tính thiếu S1 rồi, công thức tổng quát sai 135 GV Vậy nhóm có sai sót tính S1 Tuy nhiên ý tưởng muốn tổng quát hóa thành công thức tính gần hay Ta trở lại vấn đề sau Bây đến nhóm 2, em lên trình bày ? 136 HS2 Nhóm em tính S1 = cách lấy diện tích hình chữ nhật lớn trừ diện tích tam giác lớn trừ cho hai diện tích tam giác BNK MNK 137 HS Kết giống kết nhóm chúng em 138 GV Các em giải thích lại giống không ? 139 HS Giống diện tích hình thang Nhóm tính cách trừ nhóm chúng em tính cách cộng lại 140 GV Các em đồng ý với giải thích em không ? 141 HS Đồng ý ! 142 GV Vậy nhóm tiếp tục trình bày 143 HS2 Tương tự thế, ta tính S2 = 4,875 cách lấy S1 trừ cho hai diện tích tam giác KIT MIT 144 HS Tại SKIT = SMIT = 1/16 ? 145 HS2 Bởi SKIT = ½ IT.KH mà KH = ½ , IT = ID = ¼ nên SKIT = 1/16 146 HS IT ID T đâu phải trung điểm IH ! 147 HS2 Ừ ! Vậy kết sai ! 148 GV Nhóm giải toán cách “trừ dần” Đó ý tưởng hay tính toán mắc sai lầm Tình trạng nhóm vừa Bây cuối đến nhóm Xin mời nhóm 149 HS1 Ta chia n lần hình cho Vậy hình thang nhỏ có đường cao x.Tính diện tích hình thang nhỏ : S1, S2, S3, , Sn Nhận thấy Sn S1 có dạng (n  n)x Vậy tổng S1 + S2 + + Sn có dạng này, 4/3n mà x = 2/n, rút gọn ta kết 14/3 + Nếu n lớn tổng gần với diện tích hình thang cong S Cho n = 100 , ta giá trị gần S1 = Cho n = 105 , giá trị gần S2 = Cho n = 110 , S3 = Cho n = 111115 , S4 = 2 150 HS Nhóm nói đến công thức tính + + + n + + + n Những công thức từ đâu ? Có không ? 151 HS1 Những công thức biết hồi học cấp II Sách Đại số lớp 11 có nhắc lại 152 HS Khi cho n = 111115, dùng máy tính tính S4 = 4,666666667 có “8 số 6” Sao kết nhóm có tới “11 số 6” lận ? 153 HS1 Máy tính tới 12 số lẻ thập phân Do 14/3 + 4/3n2 lớn 14/3 số 4/3n2 Khi n = 111115 4/3n2 nhỏ, S4 lớn 14/3 ít, mà 14/3 = 4,666 nên bọn cho 4,666666666667 có “11 số 6” chữ số cuối lấy 154 GV Trở lại yêu cầu toán, em thấy làm nhóm so với nhóm khác ? 155 HS Rất tổng quát, có công thức tổng quát 156 GV Như nhóm trình bày xong làm Ta thống với có cách giải toán ? 157 HS Có cách : Một chia thành tam giác Hai chia thành hình thang 158 HS Có cách : Một chia thành nhiều hình thang nhỏ Hai từ hình lớn chia thành nhiều tam giác, hình thang 159 HS Có thể gộp lại cách : Chia hình thang cong dùng phép cộng theo phép trừ để tính 160 GV Gộp lại chia hình Nhưng chia ? 161 HS Theo phép cộng theo phép trừ Vậy lại có cách 162 GV Như hoạt động nhóm làm theo cách hoạt động :  Cách : Chia hình thang cong thành nhiều hình thang nhỏ Cộng diện tích hình thang nhỏ lại  Cách : Trừ lần tam giác hình thang lớn hình thang cong Các em đồng ý không ? 163 HS Đồng ý ! 164 GV Như có nhóm tính giá trị gần thừa S1, S2, S3, S4 Kết nhóm có sai số tuyệt đối nhỏ nhóm với ? 165 HS Nhóm 166 GV Tại nhóm ? 167 HS Bởi nhóm tính S4 nhỏ nhóm, mà S4 giá trị gần thừa nên S4 có sai số nhỏ 168 GV Vậy nhóm nhóm thắng Thày hỏi nhóm này, em tính S4 nhỏ không ? 169 HS2 Thì em tiếp tục trừ thêm tam giác 170 GV Thế nhóm 4, em để S4 nhỏ ? 171 HS4 Bọn em chia thành nhiều hình thang nữa, chẳng hạn chia thành 20 hình phải tính toán nhiều có không ? 172 GV Còn nhóm 1, để S4 nhỏ ? 173 HS1 Bọn em chọn n lớn 111115, ví dụ n = 1000000 174 GV Như dù theo cách em tính S4 nhỏ Bây em ý nghe thày hỏi câu quan trọng : Các em tính gần diện tích S hình cho vớiù sai số nhỏ số dương không ? 175 HS Chỉ nhóm làm ! 176 GV Tại ? 177 HS Nhóm có công thức tổng quát cần n lớn Còn nhóm khác tính hình nên sai số nhỏ phải tính nhiều hình nhỏ nên 178 GV Đó trở ngại mặt kỹ thuật tính toán Nếu xét mặt ý tưởng tính diện tích gần với sai số nhỏ không ? 179 HS Được, phải có nhiều thời gian 180 GV Vậy hay không ? 181 HS Dạ 182 GV Vậy em bước đầu hiểu việc tính diện tích thời Archimède Ông tính gần diện tích phần parabol diện tích đa giác nội tiếp với sai số nhỏ tùy ý, nghóa chênh lệch hai diện tích nhỏ mong muốn tăng số cạnh đa giác Đến kỷ 17, nhà toán học tính diện tích parabol cách lấp đầy vô số hình chữ nhật « Vẽ hình minh họa bảng » Tính tổng diện tích hình chữ nhật đơn giản dễ khái quát thành công thức tổng quát theo n Còn em lấp đầy hình thang nên tính toán gặp rắc rối nhiều Tại em lại chia hình thành hình thang mà nhóm nghó đến hình chữ nhật ? 183 HS Vì bọn em thấy giống hình thang 184 HS Khi giải thích đề toán, thày nói S diện tích hình thang cong 185 HS Vì vẽ hình chữ nhật em thấy sai số lớn vẽ hình thang 186 GV Bây thày tóm tắt lại hai buổi thực nghiệm vừa qua Trong hoạt động 1, em thấy tính xác diện tích S với kiến thức mà em có Sang hoạt động 2, em bắt đầu tính gần diện tích S với sai số minh họa hình vẽ Đến hoạt động 3, em biết tính diện tích gần thừa với sai số nhỏ Qua em tin tưởng tính diện tích gần với sai số nhỏ Như em tiếp cận gần với diện tích S Điều gợi ý tốt, giúp ích cho em học đến khái niệm Giới hạn học kỳ II Thực nghiệm đến chấm dứt, thày cảm ơn tham gia tích cực, đầy nhiệt tình tất em ( ) ... KHÁI NIỆM GIỚI HẠN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG I. MỤC ĐÍCH Mục đích chủ yếu chương làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán trường trung học phổ thông với khái niệm giới hạn. .. từ sau Bài toán tính đạo hàm khởi đầu cho phát triển khái niệm giới hạn Chính phép tính vi phân, xuất khái niệm giới hạn thiếu Không thể nghiên cứu khái niệm giới hạn “tỉ số giới hạn? ?? mà lại... khoa học luận khái niệm giới hạn  Chương : Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn dạy học Toán trường trung học phổ thông  Chương : Thực nghiệm  Kết luận chung CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC