nghiên cứu didactic về khái niệm cực trị của hàm số trong dạy học toán ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Quang Thắng LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Quang Thắng Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc đến Thầy, Cơ Khoa Tốn – Tin, lãnh đạo chun viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp tơi hồn thành chương trình học luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hồi Châu Luận văn khơng thể hồn thành khơng có hướng dẫn tận tình Cơ Tơi xin trân trọng cám ơn: - PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent bỏ công từ Pháp sang Việt Nam để góp ý hướng nghiên cứu đề tài giải đáp thắc mắc nghiên cứu Didactic Tốn cho chúng tơi - Ban giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Thủ Thiêm tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn - Các thành viên lớp Didactic Tốn khóa 19 giúp đỡ tơi suốt khóa học Và cuối vợ tơi, khơng có em bên anh anh khơng thể hồn thành luận văn Cảm ơn em! Phan Quang Thắng DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGV : Sách giáo viên SGKC : Sách giáo khoa chuẩn 12 SGKNC : Sách giáo khoa nâng cao 12 GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài câu hỏi ban đầu: .1 Phạm vi lý thuyết tham chiếu: .2 2.1 Lý thuyết nhân chủng học: 2.2 Hợp đồng didactic: .4 3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc luận văn: Chương .8 KHÁI NIỆM CỰC TRỊ Ở BẬC ĐẠI HỌC 1.1 Khái niệm cực trị hàm biến: .8 1.2 Thuật tốn tìm cực trị hàm biến: 10 1.3 Các tổ chức tốn học có liên quan: 14 1.4 Kết luận chương 1: 16 Chương 17 QUAN HỆ THỂ CHẾ .17 VỚI KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 17 2.1 Khái niệm cực trị hàm số chương trình tốn lớp 12 hành: 17 2.2 Đối tượng cực trị hàm số sách giáo khoa chuẩn: 19 2.2.1 Khái niệm cực trị hàm số: .19 2.2.2 Thuật tốn tìm cực trị hàm số: 22 2.2.3 Các tổ chức toán học: 28 2.2.4 Lớp hàm số liên quan đến đối tượng cực trị hàm số xem xét: .35 2.3 Đối tượng cực trị hàm số sách giáo khoa nâng cao: 36 2.3.1.Khái niệm cực trị hàm số: 37 2.3.2 Thuật tốn tìm cực trị hàm số: 38 2.3.3 Các tổ chức toán học: 44 2.3.4 Lớp hàm số liên quan đến đối tượng cực trị hàm số xem xét: .47 2.4 Kết luận chương 2: 48 Chương 50 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .50 3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên: .50 3.1.1 Phân tích a priori: 51 3.1.2 Phân tích a posteriori : 52 3.2 Thực nghiệm dành cho học sinh: 55 3.2.1 Nội dung toán thực nghiệm: .55 3.2.2 Phân tích a priori : 58 3.2.2 Phân tích a posteriori : 64 KẾT LUẬN CHUNG 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 PHỤ LỤC 73 Phụ lục 1: Phiếu xin ý kiến giáo viên .73 Phụ lục 2: Bài toán thực nghiệm học sinh 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài câu hỏi ban đầu: Khi nghiên cứu khái niệm cực trị hàm số trình bày sách giáo khoa nâng cao 12 (SGKNC), chúng tơi thấy SGKNC đưa tốn tìm cực trị hàm số f ( x ) = x Để tìm cực trị hàm số này, SGKNC trình bày sau: Hàm số cho xác định liên tục R − x với x < Ta có f ( x ) =   x với x ≥ −1 với x < Do f '( x ) =  1 với x > (Hàm số f khơng có đạo hàm x = ) Sau bảng biến thiên : Vậy hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu hàm số f(0)=0 (trang 15) Trong toán này, hàm số f ( x ) = x đạt cực tiểu x = hàm số liên tục R đạo hàm hàm số đổi dấu từ + sang – qua x0 = Tuy nhiên − x với x < lại dẫn học sinh áp dụng cách làm hàm số f ( x ) =  − x − với x ≥ − x với x < −2 x với x < đến sai lầm Hàm số f ( x ) =  có đạo hàm f '( x ) =  − x − với x ≥ −1 với x > đổi dấu qua x0 = lại không đạt cực trị x = : y x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm thuật tốn tìm cực trị mà SGKNC đưa áp dụng lớp hàm số liên tục Trong hàm số − x với x < không liên tục x = nên không thuộc phạm vi hợp thức f (x) =  − x − với x ≥ thuật toán Từ ghi nhận ban đầu này, đặt câu hỏi xuất phát: - Sách giáo khoa giải tìm cực trị hàm số khơng liên tục học sinh có cơng cụ để giải tốn tìm cực trị hàm số khơng liên tục? Phạm vi lý thuyết tham chiếu: Chúng đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, cụ thể “Lý thuyết nhân chủng học” khái niệm “Hợp đồng didactic” Sau đây, chúng tơi trình bày sơ lược số khái niệm “Lý thuyết nhân chủng học” khái niệm “Hợp đồng didactic” Đồng thời, chúng tơi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng cho lựa chọn 2.1 Lý thuyết nhân chủng học: • Quan hệ cá nhân Một đối tượng O tồn cá nhân X Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … R(X, O) Những khái niệm trình bày sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố Didactic toán” tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến rõ cách thức mà X biết O Mỗi người cá nhân, thời điểm xác định lịch sử nó, tập hợp mối quan hệ cá nhân với đối tượng mà biết Dưới quan điểm này, học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Sự học tập làm thay đổi người • Quan hệ thể chế Một cá nhân X khơng thể tồn lơ lửng mà ln ln phải thể chế I Từ suy việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải đặt thể chế I có tồn X Hơn thế, I O phải có quan hệ xác định Đối tượng O tồn độc lập thể chế Nói cách khác, O sống mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) O phát triển có lý tồn (raison d’être), ni dưỡng quan hệ, ràng buộc Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trị I, … Phân tích sinh thái phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) Hiển nhiên, thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R (I, O) Một câu hỏi đặt làm để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học cung cấp cho cơng cụ để thực cơng việc • Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm mà Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chavallard, praxeologie gồm thành phần [T, τ , θ , Θ ], đó: T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa công nghệ công nghệ θ Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tiến hành thơng qua việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O: “Mối quan hệ thể chế với đối tượng […] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định” Hơn thế, theo Bosch M Chevallard Y, việc nghiên cứu tổ chức tốn học gắn liền với O cịn cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X (tồn I) với O, vì: “Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Như vậy, với công cụ Lý thuyết nhân chủng học chúng tơi phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán Việt Nam với đối tượng tính tốn đại số, đối tượng hàm số hai đối tượng có quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng nêu Điều cho phép trả lời câu hỏi ban đầu mà đặt 2.2 Hợp đồng didactic: Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy – học mô hình hóa quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng Nó tập hợp quy tắc (thường không phát biểu tường  V '3b : Không cho công thức hàm số Nếu chọn giá trị V '3a học sinh sử dụng kĩ thuật đạo hàm bậc để để xét cực trị hàm số Do chiến lược S BT ưu tiên sử dụng Nếu chọn giá trị V '3b học sinh cịn sử dụng chiến lược STT , S ĐT , S ĐN Trong thực nghiệm chọn giá trị V '3b 3.2.2 Phân tích a posteriori : Chúng tơi tiến hành thực nghiệm tốn tốn 139 học sinh (kí hiệu HSTĐN) bốn lớp 12A2,12A3,12A7,12A8 trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, TPHCM theo học chương trình nâng cao 3.2.2.1 Phân tích sản phẩm thu tốn 1: Bảng thống kê chiến lược giải: Chiến lược SĐH1 Chiến lược Chiến lược Không trả lời Tổng khác SĐT 133 139 Như trình bày phân tích a-priori, hàm số mà đưa hàm số không liên tục x = nên áp dụng kĩ thuật SĐH1 để giải Tuy kết thực nghiệm cho thấy có tới 133/139 (chiếm 95,68%) học sinh sử dụng chiến lược để giải toán Chỉ có 1/139 học sinh sử dụng chiến lược SĐT để giải cho kết đúng: Trích dẫn làm HSTĐN121:(chiến lược SĐH1 ) −  x − neáu x < y=  x + neáu x ≥ y1 =− x − ( x < 0) y= x2 + x < : y1 ' =−1 < x ≥ : y2 ' = x y2 ' = ⇔ x = ⇒ y = Bảng biến thiên: x −∞ +∞ - y '1 + y '2 y' - + +∞ +∞ y Vậy hàm số đạt cực tiểu x = Trong lời giải này, HSTĐN121 trình bày rõ ràng bảng biến thiên lập nhận thấy đạo hàm hàm số đổi dấu từ + sang – nên kết luận hàm số đạt cực tiểu Việc kiểm tra tính liên tục hàm số khơng tiến hành HSTĐN121 áp dụng thuật tốn tìm cực trị hàm số liên tục Trích dẫn làm HSTĐN122:(Chiến lược SĐH1 ) Đạo hàm x = : f ( x) − f (0) x2 + − = lim+ = lim = x lim x →0 + x →0 x →0 + x−0 x lim− x →0 f ( x) − f (0) −x −1−1 = lim− = +∞ x →0 x−0 x Hàm số khơng có đạo hàm x = −1 neáu x < y' =  2 x neáu x ≥ Bảng biến thiên: x −∞ y' +∞ - + y Hàm số đạt cực tiểu x = ; yCT = Trong lời giải này, HSTĐN122 có xét tới tồn đạo hàm hàm số HSTĐN122 chứng minh hàm số khơng có đạo hàm Tuy nhiên sau HSTĐN122 sử dụng bảng biến thiên để kết luận toán bảng biến thiên lại thể y '(0) = 3.2.2.2 Phân tích sản phẩm thu toán 2: Bảng thống kê chiến lược giải: Chiến lược S LT Chiến lược S BBT 20 Chiến lược SQT 110 Chiến lược khác Không trả lời Tổng 139 Trong 139 sản phẩm thu được, chúng tơi thống kê thấy có tới 110/139 (chiếm 79,14%) học sinh sử dụng chiến lược SQT Như đa số học sinh khơng kiểm tra tính liên tục hàm số nên sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số liên tục đoạn để giải Có 8/139 (chiếm 5,76%) học sinh sử dụng chiến lược S LT (là chiến lược xuất hiện) có kiểm tra tính liên tục lại kết luận liền hàm số khơng đạt GTLN, GTNN mà khơng nêu rõ lí Chỉ có 20/139 (chiếm 14,39%) học sinh sử dụng bảng biến thiên để giải cho đáp số đúng, lời giải việc xét tính liên tục hàm số Trích dẫn làm HSTĐN100: (chiến lược SQT ) Tập xác định: D = R \ {1} Xét hàm số [0;2]: Đạo hàm: = y' −2 < ∀x ∈ D ( x − 1) y (0) = +1 = −1 −1 y= (2) +1 = −1 max y = x = [0;2] y = −1 x = [0;2] Trích dẫn làm HSTĐN1: (chiến lược S LT ) Tập xác định: x ≠ Hàm số không liên tục đoạn [0;2] ⇒ Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ x = y khơng xác định Trích dẫn làm HSTĐN39: (Chiến lược SQT ) Tập xác định: D = R \ {1} = y' −2 < ∀x ∈ D ( x − 1) (Học sinh lập bảng biến thiên hàm số R, sau gạch bỏ quay sử dụng qui tắc tìm cực trị hàm số đoạn để giải) Xét đoạn [0;2]: y (0) = −1 y (2) = Vậy: max y = x = ; y = −1 x = [0;2] [0;2] Từ kết thu toán nhận thấy: Đa số học sinh không kiểm tra tính liên tục hàm số tìm cực tri hay GTLN, GTNN hàm số Do học sinh áp thuật tốn tìm cực trị thuật tốn tìm GTLN, GTNN ngồi phạm vi hợp thức, từ dẫn đến lời giải sai Như kiểm chứng phần lại hợp đồng nêu giả thuyết H1: Về phía học sinh: RE: Học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra tính liên tục tìm cực trị hay tìm GTLN, GTNN hàm số 3.2.2.3 Phân tích sản phẩm thu tốn 3: Chúng tơi thực nghiệm tốn 80 học sinh (kí hiệu HSNHH) hai lớp 12A1, 12A2 trường THPT Nguyễn Hữu Huân, TPHCM theo học chương trình nâng cao Bảng thống kê chiến lược giải: Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến Không lược lược lược lược lược trả Tổng STT S ĐT S ĐN S BT khác lời 0 30 44 80 Trong 80 sản phẩm thu được, nhận thấy hàm số cho đồ thị có tới 44/80 (chiếm 55%) học sinh sử dụng chiến lược S BT Khi sử dụng chiến lược này, học sinh chuyển từ hình thái biểu đạt hàm số đồ thị sang hình thái biểu đạt bảng biến thiên để tìm cực trị Có 30/80 học sinh sử dụng chiến lược S ĐN Tất học sinh sử dụng chiến lược cho hàm số câu a), b), e) đạt cực trị x0 hàm số liên tục khoảng lân cận chứa x0 giá trị hàm số x0 lớn bé khoảng lân cận Hàm số câu c), d) không liên tục x0 nên học sinh cho không đạt cực trị Chúng tơi nhận thấy khơng có học sinh sử dụng chiến lược STT hay S ĐT hàm số mà chúng tơi đưa dễ dàng nhận thấy điểm cực trị đồ thị Trích dẫn làm HSNHH10: (chiến lược S BT ) Trích dẫn làm HSNHH25: (chiến lược S BT ) Trích dẫn làm HSNHH60: (chiến lược S ĐN ) Kết câu cho thấy: hàm số cho đồ thị, học sinh có xu hướng chuyển từ đồ thị qua bảng biến thiên để tìm cực trị Nguyên nhân đồ thị sách giáo khoa đưa mang tích minh họa cho định nghĩa thuật tốn tìm cực trị Từ chúng tơi kiểm chứng giả thuyết H2: Kĩ thuật sử dụng đồ thị học sinh huy động tìm cực trị hàm số KẾT LUẬN CHUNG Qua phân tích chương trình sách giáo khoa giải tích 12 kết thu từ thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt luận văn Khi tìm cực trị hay tìm GTLN (GTNN) hàm số, học sinh áp dụng thuật tốn mà khơng quan tâm tới việc xét tính liên tục Đồ thị mà sách giáo khoa đưa vào mang tính chất minh họa cho định nghĩa thuật tốn tìm cực trị Những điều phát biểu qua hai giả thuyết :  Giả thuyết H1: Liên quan đến tốn tìm cực trị hàm số, tồn quy tắc hợp đồng didactic sau: - Về phía giáo viên: RP: Giáo viên có trách nhiệm chọn hàm số liên tục để yêu cầu học sinh tìm cực trị hay tìm GTLN, GTNN hàm số - Về phía học sinh RE: Học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra tính liên tục tìm cực trị hay tìm GTLN, GTNN hàm số  Giả thuyết H2: Kĩ thuật sử dụng đồ thị học sinh huy động tìm cực trị hàm số Qua thực nghiệm, kiểm chứng tính thỏa đáng H1 H2 Những hạn chế hướng mở đề tài: Luận văn chưa xây dựng đồ án dạy học để giúp học sinh thấy tầm quan trọng việc xét tính liên tục hàm số tìm cực trị hay GTLN (GTNN) hàm số Vấn đề nói vừa hạn chế vừa hướng nghiên cứu cho luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (2006), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, NXB Giáo dục [2] ĐỒN QUỲNH (Tổng chủ biên) (2009), Đại số Giải tích 12 nâng cao , NXB Giáo dục [3] ĐOÀN QUỲNH (Tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên Đại số Giải tích 12 nâng cao , NXB Giáo dục [4] LÊ ANH TUẤN (2009), Một nghiên cứu didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học [5] NGUYỄN HUY ĐOAN (Tổng chủ biên) (2009), Bài tập Đại số Giải tích 12 nâng cao , NXB Giáo dục [6] TRẦN VĂN HẠO (Tổng chủ biên) (2009), Giải tích 12, NXB Giáo dục [7] TRẦN VĂN HẠO (Tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên Giải tích 12, NXB Giáo dục [8] TRẦN VĂN HẠO (Tổng chủ biên) (2009), Giải tích 11 , NXB Giáo dục [9] VŨ TUẤN (Chủ biên) (2009), Bài tập Giải tích 12 , NXB Giáo dục [10] VŨ TUẤN – PHAN ĐỨC THÀNH - NGƠ XN SƠN (1987), Giải tích tốn học, tập 1, NXB Giáo dục SONG NGỮ VIỆT-PHÁP [11] Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán (Éléments fondamentaux de Didactique des Mathématiques), NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh PHỤ LỤC Phụ lục 1: Phiếu xin ý kiến giáo viên Kính thưa quí thầy cơ! Tờ phiếu mà q thầy cầm soạn thảo nhằm khảo sát khó khăn giáo viên học sinh dạy học khái niệm cực trị hàm số Chúng biết ơn q thầy dành chút thời gian để trả lời câu hỏi phiếu 1) Khi học sinh làm tốn tìm cực trị hàm số y = f ( x) , bước mà q thầy u cầu học sinh làm ? 2) Khi học sinh làm tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) đoạn [a; b] , bước mà quí thầy u cầu học sinh làm ? − x − neáu x < 3) Cho tốn: Tìm cực trị hàm số y =   x + neáu x ≥ Q thầy hướng dẫn học sinh làm tốn nào? Xin cảm ơn q thầy cơ! Phụ lục 2: Bài tốn thực nghiệm học sinh Lớp : Trường: Phần nháp Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số sau: −  x − neáu x < y=  x + x ≥ Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = Trả lời x +1 đoạn [ 0;2] x −1 Lớp : Trường: Bài toán : Dưới số hàm số cho đồ thị Em cho biết hàm số có đạt cực trị điểm x0 hay khơng Giải thích ý kiến em (Xem đồ thị đính kèm ) a) x0 = −1 b) x0 = c) x0 = −1 d) x0 = e) x0 = Trả lời ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ CỦA BÀI TOÁN a) x0 = −1 y x -3 -2 -1 -1 -2 -3 b) x0 = y x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 c) x0 = −1 y x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 d) x0 = y x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 e) x0 = y x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 ... VỚI KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 17 2.1 Khái niệm cực trị hàm số chương trình tốn lớp 12 hành: 17 2.2 Đối tượng cực trị hàm số sách giáo khoa chuẩn: 19 2.2.1 Khái niệm cực trị hàm số: ... hành, khái niệm cực trị hàm số yêu cầu: Về kiến thức: - Biết khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị hàm số - Biết điều kiện đủ để hàm số có cực trị Về kĩ năng: - Biết cách tìm điểm cực. .. nên hàm số đạt cực trị điểm x = Dễ thấy hàm số y = x khơng có đạo hàm điểm x = Như vậy, hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số , hàm số khơng có đạo hàm (trang 12) Về điều kiện đủ để hàm số