5. Cấu trúc của luận văn:
2.2.2. Thuật tốn tìm cực trị của hàm số:
SGKC đã nêu điều kiện cần để hàm số cĩ cực trị :
Nếu hàm số y f x= ( ) cĩ đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f x'( ) 00 = .
(trang 14)
Điều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị được SGKC phát biểu thơng qua hai định lí là định lí 1 và định lí 2:
Định lí 1:
Giả sử hàm số liên tục trên khoảngK =(x0−h x; 0+h)và cĩ đạo hàm trên
KhoặcK x\ { }0 , với h>0.
a) Nếu f x'( ) 0> trên khoảng(x0−h x; )0 và f x'( ) 0< trên khoảng ( ;x x0 0 +h) thì
0
x là một điểm cực đại của hàm số f x( ).
b) Nếu f x'( ) 0< trên khoảng (x0−h x; )0 và f x'( ) 0> trên khoảng ( ;x x0 0+h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x( ).
(trang 14)
Nĩi cách khác f x'( )đổi dấu từ - sang + khi x qua x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0, khi f x'( ) đổi dấu từ + sang - khi x qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. Muốn tìm cực trị của hàm số ta chỉ cần xét dấu của đạo hàm bậc nhất tuy vậy SGKC lại minh họa định lí 1 bằng bảng biến thiên:
Lựa chọn này cĩ thể giải thích do SGKC muốn rèn luyện cho học sinh cách lập bảng biến thiên và “đọc bảng biến thiên” của một hàm số để phục vụ cho việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở những bài sau.
Từ định nghĩa và định lí 1, chúng ta cĩ thể suy ra thuật tốn tìm cực trị của hàm số
f trên khoảng K như sau:
- Tìm tập xác địnhD. Xét xemK ⊆Dvà f cĩ liên tục trênKkhơng?. - Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm và kết luận cực trị.
Định lí 2:
Giả sử hàm số y f x= ( )cĩ đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0−h x; 0+h) với
0
h> . Khi đĩ :
a) Nếu f x'( ) 00 = ; f x''( ) 00 > thì x0 là điểm cực tiểu. b) Nếu f x'( ) 00 = ; f x''( ) 00 < thì x0 là điểm cực đại. (trang 16)
Định lí 2 chỉ áp dụng được đối với hàm số cĩ đạo hàm tới cấp 2.
Như vậy, chúng tơi nhận thấy cả hai định lí này SGKC đều phát biểu đối với lớp các hàm số liên tục.
Dựa vào hai định lí về điều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị, SGKC đã nêu ra hai thuật tốn tìm cực trị của hàm số thơng hai quy tắc là quy tắc I và quy tắc II:
Quy tắc I:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f x'( ). Tìm các điểm f x'( ) bằng 0 hoặc khơng xác định.
x '( ) f x ( ) f x 0 x −h x0 0 x +h - + CT f x '( ) f x ( ) f x 0 x −h x0 0 x +h + - C f Đ
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các đểm cực trị.
(trang 16)
Định nghĩa chỉ phát biểu cho lớp các hàm số liên tục trên khoảngKchứa x0. Định lí 1 cũng chỉ phát biểu cho những hàm số liên tục trênK. Do đĩ hiển nhiên quy tắc I chỉ áp dụng được cho lớp hàm này. Tuy nhiên, khi sử dụng quy tắc I, bước đầu tiên học sinh cần làm là tìm tập xác định của hàm số. Việc SGKC khơng nĩi gì về điều kiện áp dụng quy tắc I cĩ thể dẫn đến chỗ học sinh khơng chú ý đến điều kiện đĩ. Chẳng hạn trở lại với bài tốn tìm cực trị của hàm số mà chúng tơi đã nêu ra ở phần mở đầu: − < = − − ≥ 2 với 0 ( ) 1 với 0 x x f x x x
Theo định nghĩa, rõ ràng hàm số khơng đạt cực trị tại x0 =0. Đây là hàm số khơng liên tục tại x0 =0nhưng đạo hàm của nĩ vẫn đổi dấu khi qua x0 =0. Như vậy, hàm số này khơng thuộc phạm vi hợp thức của quy tắc I.
Quy tắc II:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f x'( ). Giải phương trình f x'( ) 0= và kí hiệu xi(i=1,2,...) là các nghiệm của nĩ.
3. Tính f x''( ) và f x''( )i .
4. Dựa vào dấu của f x''( )i suy ra tính chất cực trị của các điểm xi. (trang 17)
Cũng như thuật tốn tìm cực trị thứ nhất, thuật tốn tìm cực trị thứ hai (sử dụng đạo hàm bậc 2) được phát biểu sau khi học sinh được học định nghĩa và định lí 2 về đều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị, mà định nghĩa và định lí 2 được phát biểu cho lớp các hàm số liên tục nên hiển nhiên quy tắc II cũng chỉ áp dụng cho lớp các hàm số này. Theo SGKC, khi sử dụng thuật tốn này, học sinh chỉ tìm tập xác định của hàm số
mà khơng cần kiểm tra hàm số cĩ liên tục hay khơng. Việc tìm cực trị của hàm số phải dựa vào dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm xi (các điểm xi cĩ đạo hàm bậc nhất triệt tiêu). Nếu f x''( ) 0i > thì hàm số đạt cực tiểu tại xi, nếu f x''( ) 0i < thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Về GTLN (NN) trên đoạn, SGKC thừa nhận định lí về mối liên hệ giữa tính liên tục với GTLN (NN) của hàm số trên đoạn đĩ:
Định lí:
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều cĩ GTLN và GTNN trên đoạn đĩ. (trang 20)
Sau đĩ SGKC đã trình bày bài tốn tìm GTLN (NN) của hàm số dựa vào đồ thị thơng qua ví dụ:
Ví dụ 2: (trang 20)
Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx a) Trên đoạn ;7 6 6 π π b) Trên đoạn ; 2 6 π π Giải
a) Trên đoạn ;7 6 6 D π π = , ta cĩ: 1 7 1 ( ) ; ( ) 1; ( ) 6 2 2 6 2 y π = y π = y π = − Từ đĩ max 1; min 1 2 D D y= y= − b) Trên đoạn ; 2 6 E π π = , ta cĩ: 1 3 ( ) ; ( ) 1; ( ) 1; (2 ) 0 6 2 2 2 y π y π y π y π = = = − =
vậy max 1; min 1
E E
y= y= −
Đồ thị được sử dụng ở đây khơng phải là một cơng cụ để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn, nĩ chỉ được đưa ra để minh họa cho kĩ thuật mà SGKC sẽ nêu ra ở phần sau: Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b , ta chỉ việc tìm tại các điểm đầu mút a b, và tại các điểm nằm trên đoạn [ ; ]a b đạt cực trị địa phương. Thực ra nếu sử dụng đồ thị để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn, chúng ta chỉ cần tìm điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đĩ, lúc này điểm cao nhất ứng với GTLN của hàm số trên đoạn và điểm thấp nhất ứng với GTNN của hàm số trên đoạn.
Trước khi trình bày thuật tốn tìm GTLN (NN) trên đoạn [ ; ]a b , SGKC đã trình bày hoạt động 2 (trang 21):
Cho hàm số ( ) 2+2 nếu -2 1 nếu 1< 3 x x f x x x − ≤ ≤ = ≤ cĩ đồ thị như hình vẽ.
Hãy chỉ ra GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ 2;3]− và nêu cách tính.
Hoạt động được SGKC đưa ra với mục đích “giúp học sinh phát hiện ra quy tắc tìm GTLN, GTNN trong trường hợp hàm số khơng đơn điệu trên [ ; ]a b ”(SGV trang 41).
Tuy vậy theo chúng tơi, hoạt động này khơng thể giúp học sinh phát hiện ra quy tắc tìm GTLN, GTNN được, lí do là nhìn vào đồ thị của hàm số này, học sinh cĩ thể chỉ ra ngay GTLN và GTNN của hàm số tương ứng với điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn. Do đĩ qua hoạt động này, đồ thị tiếp tục khơng phải là cơng cụ để tìm GTLN và GTNN của hàm số. Nĩ chỉ được đưa ra nhằm mục đích minh họa cho kĩ thuật tìm GTLN, GTNN mà SGKC đưa ra.
SGKC đã đưa ra phần nhận xét :
Nếu đạo hàm f x giữ nguyên dấu trên đoạn '( ) [ ; ]a b thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đĩ f x( )đạt được GTLN và GTNN tại các đầu mút của đoạn.
Nếu chỉ cĩ hữu hạn các điểm x (i xi <xi+1) mà tại đĩ f x bằng 0 hoặc khơng '( )
xác định thì hàm số y= f x( ) đơn điệu trên mỗi khoảng ( ;x xi i+1). Rõ ràng GTLN(GTNN) của hàm số trên đoạn [ ; ]a b là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a b , và tại các điểm x nĩi trên. i
(trang 21)
Từ nhận xét, SGKC đã đưa thuật tốn tìm GTLN,GTNN trên đoạn thơng qua quy tắc:
Quy tắc:
1. Tìm các điểm x x1, ,...,2 xn trên khoảng ( ; )a b tại đĩ f x'( ) 0= hoặc f x'( )
khơng xác định. 2. Tính f a f x f x( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )1 2 f xn f b . 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.Ta cĩ: [ ; ] ( ) a b M max f x= ; [ ; ] min ( ) a b m= f x . (trang 22)
Thuật tốn được SGKC nêu ra trong phần II.2 “quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn” của bài. Do đĩ hiển nhiên quy tắc được áp dụng cho lớp các hàm số liên tục trên đoạn. Tuy nhiên, trong quy tắc việc xét tính liên tục của hàm số trên đoạn khơng được SGKC nhắc đến. Điều này cĩ thể dẫn đến sai lầm nếu học sinh áp dụng cho hàm số nằm ngồi phạm vi hợp thức của quy tắc, đĩ là lớp các hàm số khơng liên tục trên đoạn.