5. Cấu trúc của luận văn:
2.3. Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa nâng cao:
Chúng tơi sẽ lần lượt xét sự cĩ mặt của đối tượng O – “cực trị của hàm số” trong phần lý thuyết và phần bài tập.
2.3.1.Khái niệm cực trị của hàm số:
Sách giáo khoa nâng cao 12 (SGKNC) định nghĩa cực trị như sau:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D⊂R) và x0∈D.
a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
( ; )a b chứa điểm x0 sao cho ( ; )a b ⊂D và
0
( ) ( )
f x < f x với mọi x∈( ; ) \a b { }x0 . Khi đĩ f x( )0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
( ; )a b chứa điểm x0 sao cho ( ; )a b ⊂D và
0
( ) ( )
f x > f x với mọi x∈( ; ) \a b { }x0 . Khi đĩ f x( )0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Trong định nghĩa của SGKNC, hàm số f chỉ cần xác định trên tập D(SGKC yêu cầu xác định và liên tục). Theo định nghĩa này, những hàm số khơng liên tục vẫn cĩ khả năng cĩ cực trị.
Qua đồ thị này, tính địa phương của cực trị được thể hiện rõ. Hàm số đạt cực trị tại những điểm mà trên đồ thị tiếp tuyến tại nĩ song song với trục hồnh hoặc đồ thị tại điểm đĩ bị “gãy”.
Về GTLN, GTNN của hàm số, SGKNC12 xây dựng như SGKC12.
2.3.2. Thuật tốn tìm cực trị của hàm số:
SGKNC đã nêu điều kiện cần để hàm số cĩ cực trị thơng qua định lí 1:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đĩ nếu f cĩ đạo hàm tại x thì 0
0
'( ) 0
f x = .
(trang 11)
SGKNC đưa ra ví dụ minh họa điều ngược lại của định lí 1 cĩ thể khơng đúng:
Chẳng hạn hàm số 3
( )
f x = x , f x'( )=3x2 và f '(0)=0. Tuy nhiên hàm số f khơng đạt cực trị tại điểm x=0, vì f x'( )>0 với mọi x≠0 nên hàm số f đồng biến trên R .
SGKNC cĩ đưa ra chú ý về hàm số khơng cĩ đạo hàm tại x0 nhưng vẫn đạt cực trị tại điểm đĩ (SGKC khơng trình bày):
Hàm số cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm. Chẳng hạn hàm sốy x= xác định trên R . Vì f(0)=0 và f x( )>0 ∀ ≠x 0
Dễ thấy hàm số y x= khơng cĩ đạo hàm tại điểm x=0.
Như vậy, một hàm số chỉ cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm.
(trang 12)
Về điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị, SGKNC phát biểu thơng qua hai định lí :
Định lí 2 :
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( ; )a b chứa điểm x0 và cĩ đạo hàm trên các khoảng ( ;a x0) và ( ; )x b0 . Khi đĩ :
a) Nếu f x'( )<0 với mọi x∈( ;a x0) và f x'( )>0 với mọi x∈( ; )x b0 thì hàm số
f đạt cực tiểu tại điểm x0.
b) Nếu f x'( )>0 với mọi x∈( ;a x0) và f x'( )<0 với mọi x∈( ; )x b0 thì hàm số
f đạt cực đại tại điểm x0.
(trang 12)
Định lí 2 được SGKNC phát biểu đối với lớp các hàm số liên tục. SGV của chương trình nâng cao khẳng định khơng thể bỏ qua giả thiết hàm số liên tục tại điểm x0
được nêu trong định lí 2 và SGV đưa ra ví dụ : Ví dụ : (SGV trang 31) Hàm số : = − < ≥ 1 nếu 0 ( ) nếu 0 x x f x x x
Xác định và cĩ đạo hàm trên các khoảng (−∞;0) và (0;+∞) '( ) 1
f x = − với mọi x<0 và f x'( )=1với mọi x>0
Tuy nhiên x=0 khơng phải là điểm cực trị của hàm số f . Khơng thể áp dụng định lí 2 cho trường hợp này vì hàm số f khơng liên tục tại x=0.
Qua ví dụ này ta thấy, định lí chỉ phát biểu đối với lớp các hàm số liên tục. Dựa vào định lí 2, SGKNC đưa ra thuật tốn thứ nhất để tìm cực trị thơng quy tắc 1 :
Quy tắc 1 :
1. Tìm f x'( ).
2. Tìm các điểm xi ( i=1, 2,... ) tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm.
3. Xét dấu f x'( ). Nếu f x'( ) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
(trang 14)
Định lí 2 về điều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị được SGKNC phát biểu cho lớp các hàm số liên tục. Quy tắc 1 được suy ra từ định này nên hiển nhiên quy tắc 1 chỉ áp dụng cho lớp các hàm số liên tục. Trong quy tắc này, SGKNC khơng nhắc tới việc kiểm tra tính liên tục của hàm số. Điều này cĩ thể dẫn đến sai lầm nếu học sinh áp dụng quy tắc cho hàm số ngồi phạm vi hợp thức, đĩ là hàm số khơng liên tục. Dùng quy tắc 1, để tìm cực trị của hàm sốy= x (là hàm số liên tục trên R) , SGKNC làm như sau :
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.
Ta cĩ : khi 0 ( ) khi 0 x x f x x x − < = ≥ Do đĩ : '( ) 1 khi 0 1 khi 0 x f x x − < = >
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x= 0 và giá trị cực tiểu là f(0)=0
Định lí 3 :
Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm cấp một trên khoảng ( ; )a b chứa điểm x0,
0
'( ) 0
f x = và f cĩ đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f ''(x0)<0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. b) Nếu f ''(x0)>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0. (trang 15)
Định lí 3 yêu cầu hàm số f cĩ đạo hàm cấp một trên khoảng (a ;b). Do đĩ định lí này cũng chỉ phát biểu đối với hàm số liên tục.
Dựa vào định lí 3, SGKNC đã đưa ra thuật tốn tìm cực trị thứ hai thơng qua quy tắc 2 :
Quy tắc 2
1. Tìm f x'( ).
2. Tìm các nghiệm xi ( i=1, 2,... ) của phương trình f x'( )=0. 3. Tìm f ''( )x và tính f ''( )xi
Nếu f ''( )xi <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi. Nếu f ''( )xi >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
(trang 16)
Ở phần Bổ sung kiến thức, SGV (trang 38) đã chứng minh định lí 3 là hệ quả của định lí 2, và cũng khẳng định : quy tắc 1 mạnh hơn quy tắc 2, cĩ nhiều trường hợp áp dụng được quy tắc 1 nhưng khơng áp dụng được quy tắc 2. SGV đưa ra ví dụ cụ thể :
Ví dụ : (SGV trang 38) Tìm cực trị của hàm số 4 ( ) f x =x 3 '( ) 4 f x = x ∀ ∈x R '( ) 0 0 f x = ⇔ =x 2 ''( ) 12 f x = x , f ''(0) =0
Ta khơng áp dụng được quy tắc 2 và trở lại quy tắc 1 : Vì f x'( )đổi dấu từ âm sang dương khi x tăng, qua điểm 0 nên hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x=0
(hiển nhiên từ định nghĩa cực trị của hàm số , cĩ thể thấy ngay rằng x=0 là điểm cực tiểu của hàm số 4
( )
f x =x )
SGV đã nêu ra trường hợp khơng thể áp dụng quy tắc 2 để tìm cực trị, đĩ là khi đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số tại điểm x0đều triệt tiêu. Tuy nhiên phần này chỉ được nêu ra trong phần bổ sung kiến thức của SGV, liệu giáo viên cĩ nhấn mạnh cho học sinh điều này hay khơng ? Ngồi ra, chúng tơi cĩ nhận thấy chỉ cĩ một bài tập trong SGKNC12 đưa ra khơng thể áp dụng quy tắc 2 để giải :
Bài tập 11e (trang 17) : Tìm cực trị của hàm số ( ) 5 3 2
5 3
x x f x = − +
Lời giải của SGV (trang 35) chỉ trình bày cách giải theo quy tắc 1, cịn việc khơng áp dụng được quy tắc 2 thì SGV khơng nĩi tới.
Như vậy, SGV đã cho rằng quy tắc 1 mạnh hơn quy tắc 2, đĩ là do quy tắc 1 cĩ thể xét được cực trị của hàm số tại điểm cĩ đạo hàm bậc 2 triệt tiêu. Tuy nhiên, chúng tơi nhận thấy quy tắc 1 cũng cĩ điểm hạn chế, đĩ là trường hợp hàm số cần tìm cực trị là hàm số siêu việt, việc xét dấu đạo hàm khĩ khăn, lúc này quy tắc 2 lại phát huy tác dụng.
Về thuật tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số, SGKNC12 xây dựng như SGKC12. SGKNC12 cĩ đưa thêm kĩ thuật tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng định nghĩa :
Muốn chứng tỏ số M (hoặc m ) là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số f trên tập D cần chỉ rõ :
b) Tồn tại ít nhất điểm x0∈D sao cho f x( )0 =M (hoặc f x( )0 =m). (trang 18)
SGKNC minh họa kĩ thuật này bằng ví dụ, tuy nhiên số lượng bài tập sử dụng kĩ thuật này để giải là rất ít.
Ví dụ 1 : (trang 18)Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2
( ) 4
f x = −x Giải
Tập xác định của hàm số là [−2; 2]. Hiển nhiên 0≤ f x( )≤2 với mọi
[ 2; 2] x∈ − . ( ) 0 2 f x = ⇔ = ±x và f x( )= ⇔ =2 x 0 Do đĩ: [ ] 2 2;2 min 4 0 x x ∈ − − = [ ] 2 2;2 max 4 2 x x ∈ − − =
Việc dùng bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng cũng khơng được nêu phương pháp giải tường minh mà chỉ thơng qua ví dụ.
Ngồi ra, đối với kiểu nhiệm vụ tìm GTLN (NN) trên đoạn, ngồi việc dùng quy tắc để giải SGKNC cịn đưa ra kĩ thuật dùng bảng biến thiên.
Ví dụ 2 (trang 19): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 ( ) 3 3 f x =x − x+ trên đoạn 3;3 2 − Giải 2 '( ) 3( 1) f x = x − ; f x'( )= ⇔ = ±0 x 1
Bảng biến thiên trên đoạn 3;3 2
−
Từ bảng biến thiên: 3 3; 2 max ( ) ( 1) 5 x f x f ∈ − = − = 3 3; 2 min ( ) ( 3) 15 x f x f ∈ − = − = −
Giống như SGKC, đồ thị được SGKNC dùng để minh họa cho định nghĩa cực trị . Nĩ khơng là cơng cụ để tìm cực trị hay GTLN, GTNN của hàm số.
2.3.3. Các tổ chức tốn học:
Kiểu nhiệm vụ T1:“ Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y f x= ( )”
Kĩ thuậtτ1ĐN;τĐĐ
1 ; τ1ĐH1; τ1ĐH2 :(giống SGKC)
Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật SGK SBT Tổng
1 T 1 τĐN 1 0 1 τĐĐ 1 1 0 1 1 1 τĐH 19 10 29 1 τĐH2 6 5 11
Bảng 2.3.3.1: Thống kê số lượng bài tập thuộc T1
Kiểu nhiệm vụ “Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y f x= ( )” cĩ 42 bài, trong đĩ việc sử dụng kĩ thuật 1
1
τĐH và τ1ĐH2 chiếm số lượng lớn (40 bài). Điều này chứng tỏ bài tốn tìm cực trị dựa vào tính đơn điệu hay định nghĩa cực trị của hàm số khơng được SGKNC quan tâm nhiều.
Chúng tơi nhận thấy khi sử dụng kĩ thuật 1 1
τĐH hay τ1ĐH2 để tìm cực trị, việc xét tính liên tục của hàm số được SGKNC thực hiện ngầm ẩn thơng qua việc tìm tập xác định của hàm số.
Đồ thị được SGKNC đưa vào nhằm mục đích minh họa cho định nghĩa. Đồ thị khơng phải là cơng cụ để học sinh tìm cực trị .
So với giáo trình [a] mà chúng tơi đã nghiên cứu ở chương 1 thì kĩ thuật 1 1
τĐH được SGKNC trình bày đầy đủ, SGKNC cịn yêu cầu học sinh lập thêm bảng biến thiên trong kĩ thuật này. Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc cao chỉ được SGKNC trình bày đến đạo hàm cấp 2.
Kiểu nhiệm vụ T :2 “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên khoảng ( ; )a b ” Kĩ thuậtτ2ĐH(sử dụng đạo hàm) và N 2 Đ τ (sử dụng định nghĩa) (giống SGKC)
Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật SGK SBT Tổng
2 T τ2ĐH 9 8 17 N 2 Đ τ 1 0 1
Bảng 2.3.3.2: Thống kê số lượng bài tập thuộc T2
Đối với kiểu nhiệm vụ “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên khoảng ( ; )a b ” cĩ 18 bài, trong đĩ sử dụng kĩ thuật τ2ĐH chiếm 17 bài, kĩ thuật
N 2
Đ
τ chỉ cĩ 1 bài. Điều này chứng tỏ SGKNC quan tâm tới việc tìm GTLN, GTNN trên khoảng bằng đạo hàm nhiều hơn. Kĩ thuật N
2
Đ
τ ít được sử dụng.
Kiểu nhiệm vụ T :'2 “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ; ]a b ”
Kĩ thuậtτ'2QT:(sử dụng quy tắc) (giống SGKC) SGKNC bổ sung thêm hai kĩ thuật mới là:
Kĩ thuật τ'2BBT: (sử dụng bảng biến thiên)
- Tính đạo hàm.
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ ; ]a b . - Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Cơng nghệ: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số. Ví dụ 2 (trang 19): Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 3 ( ) 3 3 f x = x − x+ trên đoạn 3;3 2 − Giải 2 '( ) 3( 1) f x = x − '( ) 0 1 f x = ⇔ = ±x
Bảng biến thiên trên đoạn 3;3 2 − : Từ bảng biến thiên: 3 3; 2 max ( ) ( 1) 5 x f x f ∈ − = − = ; 3 3; 2 min ( ) ( 3) 15 x f x f ∈ − = − = − Kĩ thuật N 2 'Đ τ :(sử dụng định nghĩa)
- Tìm số M (hoặc m ) sao cho f x( )≤M (hoặc f x( )≥m) ∀ ∈x [ ; ]a b . - Tìm điểm x0∈[ ; ]a b sao cho f x( )0 =M (hoặc f x( )0 =m).
- [ ]; max ( ) a b f x =M ; [ ]; min ( ) a b f x =m.
Cơng nghệ: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số. Ví dụ 1 (trang 18)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2
( ) 4
f x = −x Giải
Tập xác định của hàm số là [−2; 2]. Hiển nhiên 0≤ f x( )≤2 với mọi
[ 2; 2] x∈ − . f x( )= ⇔ = ±0 x 2 và f x( )= ⇔ =2 x 0 Do đĩ: [ ] 2 2;2 min 4 0 x x ∈ − − = [ ] 2 2;2 max 4 2 x x ∈ − − =
Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật SGK SBT Tổng
2 ' T '2 QT τ 9 5 14 2 'BBT τ 3 3 6 N 2 'Đ τ 1 0 1
Kiểu nhiệm vụ “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ; ]a b ” cĩ 21 bài, trong đĩ việc sử dụng kĩ thuật N
2
'Đ
τ chỉ cĩ 1 bài, kĩ thuật
2
'BBT
τ cĩ 6 bài, cịn lại kĩ thuật τ'2QT chiếm số lượng lớn (14 bài).
Điều này chứng tỏ, đối với kiểu nhiệm vụ T'2, SGKNC chỉ quan tâm tới kĩ thuật
2
'QT
τ (dùng qui tắc) để giải, kĩ thuật N 2
'Đ
τ và τ'2BBT khơng được quan tâm nhiều. Kĩ thuật τ'2QTchỉ cĩ phạm vi áp dụng đối với lớp các hàm số liên tục trên đoạn và được SGKNC trình bày như trong giáo trình [a] mà chúng tơi đã nghiên cứu ở chương 1.
2.3.4. Lớp các hàm số liên quan đến đối tượng cực trị của hàm số được xem
xét:
Ở phần này, chúng tơi sẽ xem xét tới lớp các hàm số liên quan đến đối tượng cực trị mà SGKNC đưa vào.
Số lượng hàm số mà SGKNC sử dụng cĩ liên quan đến đối tượng cực trị được chúng tơi thống kê trong bảng sau:
Hàm số cĩ đạo hàm
và liên tục Hàm số khơng cĩ đạo hàm nhưng cĩ liên tục Hàm số khơng cĩ đạo hàm và khơng liên tục
13 2 0
Chúng tơi nhận thấy liên quan tới đối tượng cực trị, phần lớn hàm số được xem xét thuộc lớp các hàm số cĩ đạo hàm và liên tục, đây là các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ cĩ đạo hàm, hàm số lượng giác và liên tục trên từng khoảng của tập xác định. SGKNC sử dụng hai kĩ thuật 1
1
τĐH vàτ1ĐH2 để tìm cực trị của những hàm số này. Chỉ cĩ 2 hàm số khơng cĩ đạo hàm nhưng liên tục được xem xét, đĩ là các hàm số chứa trị tuyệt đối. Kĩ thuật 1
1
τĐH được sử dụng khi tìm cực trị của hai hàm số này. Lớp hàm khơng cĩ đạo hàm và khơng liên tục khơng được SGKNC xem xét và tất nhiên kĩ thuật để tìm cực trị đối với lớp hàm số này cũng khơng được nĩi đến.