5. Cấu trúc của luận văn:
2.2.1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Trước khi đưa ra khái niệm cực trị của hàm số, sách giáo khoa chuẩn 12 (SGKC) đã đưa ra hoạt động 1: (trang 13)
Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đĩ mỗi hàm số sau cĩ giá trị lớn nhất (nhỏ nhất): a) y= − +x2 1 trong khoảng (−∞ +∞; ) b) ( 3)2 3 x y= x− trong các khoảng ( ; )1 3 2 2 và 3 ( ; 4) 2
Phần đầu của hoạt động này nhằm mục đích cho học sinh quan sát trên đồ thị những điểm tại đĩ hàm số đạt GTLN hay GTNN (đồ thị của các hàm số quen thuộc). Tính chất địa phương của cực trị biểu hiện ở việc chọn các khoảng lân cận của điểm cực trị. Trong hoạt động này, các hàm số mà SGKC đưa ra đều là hàm số liên tục, đồ thị của chúng là những“đường liền nét”, và việc chỉ ra GTLN, GTNN khơng cĩ gì khĩ khăn. Như vậy, đồ thị chỉ đĩng vai trị minh họa khái niệm cực trị mà SGKC đưa ra. Phần sau của hoạt động nhằm thiết lập cho học sinh mối liên hệ giữa đạo hàm cấp một và cực trị của hàm số.
Khái niệm cực đại, cực tiểu (địa phương) của hàm số được SGKC định nghĩa như sau :
Cho hàm số y f x= ( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (cĩ thể a là −∞, b
là +∞ ) và điểm x0∈( ; )a b .
a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f x( )< f x( )0 với mọi x∈(x0−h x; 0+h) và
0
x x≠ thì ta nĩi hàm số f x( ) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f x( )> f x( )0 với mọi x∈(x0−h x; 0+h) và
0
x x≠ thì ta nĩi hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại x0.
(trang 13)
SGKC chỉ định nghĩa cực trị đối với lớp các hàm số liên tục.
Về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị tuyệt đối) của hàm số SGKC định nghĩa:
Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x= ( ) trên D nếu f x( )≤M
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x= ( ) trên D nếu f x( )≥m
với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho f x( )0 =m. (trang 19)
Học sinh đã được học định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số trong Đại số 10 nên định nghĩa này được nêu ra nhằm mục đích “giúp học sinh nhớ kĩ khái niệm GTLN và GTNN” (SGV trang 40). SGKC trình bày kĩ thuật sử dụng “đạo hàm” để tìm GTLN, GTNN. Cụ thể sau định nghĩa SGKC đưa ra ví dụ về tìm GTLN(NN) trên khoảng: Ví dụ 1: (trang 19) Tìm giá trị GTLN, GTNN của hàm số:y x 5 1 x = − + trên khoảng (0;+∞). giải Trên khoảng (0;+∞) ta cĩ: 2 2 2 1 1 ' 1 x y x x − = − = 2 ' 0 1 0 1 y = ⇔ x − = ⇔ =x Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0;+∞) hàm số cĩ giá trị cực tiểu duy nhất, đĩ cũng là GTNN của hàm số.Vậy
(0;min) f x( ) 3
+∞ = − (tại x=1). Khơng tồn tại giá trị lớn nhất của f x ( ) trên khoảng (0;+∞).
Lời giải bài tốn này sử dụng bảng biến thiên của hàm số. Điều này cĩ thể gây khĩ khăn cho học sinh trong việc xác định GTLN (NN). Phương pháp tổng quát để tìm
x ' y y 0 1 +∞ 0 + - -3 +∞ +∞
GTLN (NN) trên khoảng khơng được SGKC trình bày. Tuy vậy SGV trang 41 cĩ nêu chú ý: “Giáo viên nên nhắc cho học sinh biết rằng để tính GTLN, GTNN trên một khoảng, ta khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng đĩ rồi rút ra kết luận”.