Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng trong chương trình trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thu Hiền MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thu Hiền MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNGDẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn động viên suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô: PGS TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh giảng didactic bổ ích Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến thầy cô trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy lớp Cao Học khóa 21 Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot TS Alain Birebent lời góp ý cho đề cương luận văn, quý thầy cô hội đồng bảo vệ luận văn lời góp ý chân tình, sâu sắc Xin kính chúc quý thầy cô dồi sức khỏe hạnh phúc Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học, khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn anh chị lớp didactic toán khóa 21 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn, đặc biệt em Vũ, Tú Trang Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp hoàn thành khóa học Luận văn quà đặc biệt dành tặng cho hai cô gái nhỏ Nguyễn Phương Bảo Tâm Nguyễn Phương Bảo Phúc vừa chào đời Người thực hiện: Trần Thị Thu Hiền MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài câu hỏi ban đầu Khung lí thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương I KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÔNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10 Khái niệm tích vô hướng sách giáo khoa Hình học 10 Khái niệm công sách giáo khoa Vật lí 10 16 Kết luận chương I 26 CHƯƠNG II THỰC NGHIỆM 28 1.Mục đích thực nghiệm 28 Hình thức thực nghiệm 28 Xây dựng tình thực nghiệm 28 3.1 Tiểu đồ án didactic 28 3.2.Dàn dựng kịch .29 Phân tích tiên nghiệm 31 4.1 Biến didactic, biến tình giá trị chúng 31 4.1.1 Biến tình 31 4.1.2 Biến didactic .31 4.2 Các chiến lược 32 4.3 Phân tích kịch 34 Phân tích hậu nghiệm 35 Pha 35 Pha 37 Pha 41 Pha 42 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC PHỤ LỤC 2: BÀI LÀM CỦA HỌC SINH DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên KNV : Kiểu nhiệm vụ TVH : Tích vô hướng THPT : Trung học phổ thông HS : Học sinh MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi ban đầu Là giáo viên dạy Toán trường THPT, nhận thấy đa số học sinh cảm thấy áp lực đến trường nhiều, học môn chồng chéo môn kia, kiến thức chưa thật có liên kết chặt chẽ, liên thông Ngoài kiến thức môn Toán thực có ứng dụng thực tế không, hay nhất, em nghe nói Toán học môn học nhờ sử dụng kết Toán học người ta coi công cụ đắc lực để giải vấn đề Vật Lý, Hóa học… vấn đề thể qua học SGK? Hoặc theo tinh thần cải cách SGK Bộ Giáo Dục Đào Tạo viết Những vấn đề chung đổi giáo dục THPT môn Toán, NXB Giáo Dục 2007, trang ghi: “tích hợp nội dung để tiến tới giảm số môn học…tinh giản nội dung tăng cường mối liên hệ nội dung…” , hay trang 27 ghi: yêu cầu đổi SGK phải “đảm bảo tính liên môn… môn học hỗ trợ lẫn nhau, tránh trùng lặp, mâu thuẫn”.Một vài lý với tò mò thân, giới thiệu kiến thức giới thiệu cho em, thường phải tìm hiểukiến thức có ứng dụng gì, từ đâu mà người ta nghĩ nó… Và với câu trả lời thỏa đáng, thực niềm vui lớn lao niềm vui, động lực đáng cho HS đến trường.Với khái niệm TVH hai vec tơ năm lớp 10 vậy, muốn có câu trả lời thỏa đáng cho câu hỏi em Với câu hỏi thứ nhất: nguồn gốc xuất khái niệm TVH, câu hỏi lớn mà không đủ điều kiện để nghiên cứu không đủ thời gian không tìm tài liệu tiếc điều Tuy nhiên, SGK Hình Học 10 Nâng cao trang 46có viết: Héc-man Grat-xơ-man (Hermann Grassmann 1808- 1877), nhà toán học người Đức, cha đẻ tích vô hướng hai vec tơ mà ông ký hiệu 𝑢 �⃗ việc nghiên cứu thủy triều dẫn ông tới khảo sát vec tơ Trần Thị Thu Hiền �⃗ Chính 𝑣 Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Vì có nhận xét khái niệm công “nguồn cảm hứng” để hình thành khái niệm TVH khái niệm TVH đời xuất phát từ nhu cầu tìm công cụ để giải vấn đề vật lý? Nhận xét làm rõ cách tìm lịch sử hình thành khái niệm TVH Tuy nhiên, không thực lý Mặc dù muốn tìm mối liên hệ, cách thể khái niệm TVH chương trình THPT Chúng ta nhận thấy Tích vô hướng hai vectơ khái niệm quan trọng chương trình trung học phổ thông môn Toán hành Việt Nam.Trong luận văn mình, tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012) rõ vai trò công cụ tích vô hướng hai vectơ việc dạy học môn Hình học lớp 10 Đó TVH dùng để: Chứng minh công thức hình chiếu Chứng minh định lý côsin tam giác thường Xây dựng phương trình tổng quát đường thẳng Chứng minh vectơ vectơ phương đường thẳng Tính số đo góc hai đường thẳng Ngoài ra, sử dụng để giải toán hình học phẳng như: Chứng minh tính chất hình học: chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, chứng minh tam giác vuông cân, chứng minh bốn điểm nằm đường tròn,… Tính toán: tính diện tích hình phẳng, tính số đo góc tam giác, tính số đo góc hai đường thẳng,… Tìm quĩ tích Tuy nhiên, tác giả đề cập vai trò công cụ điều kiện sinh thái cho phép khái niệm tích vô hướng hai vectơ sống chương trình Hình học 10 Chúng muốn đề cập đến vai trò công cụ khái niệm tích vô hướng hai vectơ chương trình trung học phổ thông nhằm làm rõ khái niệm Điều khiến chọn đề tài “Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng chương trình trung học phổ Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… thông”làm chủ đề cho luận văn Chúng mong muốn tìm hiểu nghĩa tích vô hướng hai vectơ có HS khắc sâu sau họ học khái niệm hay không Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp nên thực việc nghiên cứu đề tài rộng lớn thú vị Hơn nữa, khái niệm TVH hai vectơ không gian lớp mở rộng tự nhiên khái niệm TVH hai vectơ mặt phẳng lớp 10 không tạo thêm thay đổi chất khái niệm Chúng xin hạn chế lại việc tìm hiểu chương trình lớp 10 với mong muốn với vấn đề đặt Chúng đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ hai khái niệm tích vô hướng hai vectơ công chúng thể tính liên môn việc dạy học hai môn: Toán(mà cụ thể môn Hình học)và Vật lí trường phổ thông Chúng quan sát vấn đề xảy môn Hình học 10 Vật lí 10 sau: Khái niệm tích vô hướng hai vectơ đưa vào dạy học môn Hình học 10 §2 “Tích vô hướng hai vectơ” chương II “Tích vô hướng hai vectơ ứng dụng” Mở đầu này, SGK Hình học 10 đề cập: Trong vật lí, ta biết có lực 𝐹⃗ tác động lên vật điểm O làm cho vật di chuyển quãng đường s = OO’ công A lực 𝐹⃗ tính theo công thức: �������⃗� cosφ 𝐴 = �𝐹⃗ � �𝑂𝑂′ Trong �𝐹⃗ � cường độ lực 𝐹⃗ tính Niutơn (viết tắt N), �������⃗� độ dài vectơ 𝑂𝑂′ �������⃗ tính mét (m), �𝑂𝑂′ góc hai vectơ �������⃗ 𝑂𝑂′ 𝐹⃗ , công A tính Jun (viết tắt J) Trong toán học, giá trị A biểu thức (không kể đơn vị đo) gọi tích vô hướng hai vectơ 𝐹⃗ �������⃗ 𝑂𝑂′ (Hình học 10, tr.41) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Khi quan sát SGK môn Vật lí cấp trung học sở trung học phổ thông, nhận thấy khái niệm công học đưa vào dạy học môn Vật lí lớp Tuy nhiên, SGV Vật lí nói rõ: trưng công học thông qua ví dụ cụ thể Công thức tính công A = F.s học lớp trường hợp đặc biệt (phương lực tác dụng trùng với phương Ở lớp 8, không đưa định nghĩa công học mà nêu dấu hiệu đặc chuyển dịch) (SGV Vật lí 8, tr.72) Phải đến lớp 10, HS học định nghĩa khái niệm công học lực có xét tất trường hợp công SGK Vật lí lớp 10 Vậy tác giả SGK lại không định nghĩa công khái niệm TVH Từ đây, đặt câu hỏi ban đầu sau: - HS lớp 10 có thực nhận mối liên hệ hai khái niệm tích vô hướng công học sau họ học định nghĩa khái niệm công học? Khung lí thuyết tham chiếu Chúng lựa chọn phạm vi chuyên ngành Didactic Toán để thực việc nghiên cứu Cụ thể, sử dụng khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học” lí thuyết nhân chủng học khái niệm “tiểu đồ án”, “phân tích tiên nghiệm”, “phân tích hậu nghiệm” lí thuyết tình Mục đích nghiên cứu Chúng xác định khái niệm: - Mối quan hệ thể chế R(I,O ),R(I,O ) với I thể chế dạy học phổ thông môn Hình học Vật lí lớp 10 hành Việt Nam, O đối tượng tích vô hướng hai vectơ, O đối tượng công học Trong luận văn này, gọi thay cụm từ “thể chế dạy học phổ thông môn Hình học Vật lí lớp 10 hành Việt Nam” “thể chế” hay “thể chế dạy học phổ thông lớp 10” Ngoài ra,cũng luận văn này, cụm từ “công học” “công” sử dụng Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… mặt nghĩa, cụm từ “tích vô hướng hai vectơ” “tích vô hướng” sử dụng mặt nghĩa - Mối quan hệ cá nhân R(X,O ), R(X,O ) với X HS Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu chọn vàcâu hỏi đặt ban đầu, đặt lại câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời chúng mục đích nghiên cứu luận văn này: CH1 Các khái niệm tích vô hướng hai vectơ công trình bày thể chế dạy học môn Hình học Vật lí lớp 10 hành Việt Nam? Chúng có mối liên hệ với nào? CH2 HS hiểu mối liên hệ hai khái niệm tích vô hướng công sau họ học định nghĩa khái niệm công lớp 10? Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Nhằm đạt mục đích nghiên cứu đề ra, xác định phương pháp nghiên cứu sau: Để trả lời cho câu hỏi CH1, nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tích vô hướng hai vectơ côngthông qua việc phân tích chương trình SGKVật lí, Hình học lớp 10 hành Việt Nam Chúng mối liên hệ chênh lệch việc học tậpliên môn Hình học Vật lí lớp 10 Những điều trình bày chương I “Tích vô hướng công thể chế dạy học phổ thông lớp 10” Để trả lời câu hỏi CH2, tiến hành thực nghiệm đối tượng HS lớp 10 nhằm làm rõ suy nghĩ họvề mối liên hệ tích vô hướng công thông qua phiếu thực nghiệm Từ đó, diện họ nghĩa hình hoc (tích vô hướng hai vectơ)của khái niệm công, thiết kế dãy tình để giúp họ hiểu rõ nghĩa đó, phần đảm bảo tính liên môn hai môn Hình học Vật lí lớp 10 Những điều trình bày chương II “Thực nghiệm” Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Chương I KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÔNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10 Mục đích chương trả lời cho câu hỏi CH1: “Các khái niệm tích vô hướng hai vectơ công trình bày thể chế dạy học phổ thông môn Hình học Vật lí lớp 10 hành Việt Nam? Chúng có mối liên hệ với nào?” Để trả lời câu hỏi này, tiến hành phân tích chương trình sách giáo khoa hành Tài liệu phân tích gồm có: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006); Chương trình giáo dục phổ thông môn Vật lí (2006); sách giáo khoa, sách tập sách giáo viên Hình học; sách giáo khoa Vật lí 8, sách giáo khoa, sách tập sách giáo viên Vật lí 10 Chúng tiến hành đối chiếu, so sánh với sách giáo khoa, sách tập sách giáo viên Hình học 10 Vật lí 10 Nâng cao Khái niệm tích vô hướng sách giáo khoa Hình học 10 Trong SGK Hình học 10, khái niệm tích vô hướng hai vectơ trình bày §2 “Tích vô hướng hai vectơ” chương II “Tích vô hướng hai vectơ ứng dụng” (học kì I lớp 10) Nội dung §2 trình bày thông qua đề mục: - Định nghĩa - Các tính chất tích vô hướng - Biểu thức tọa độ tích vô hướng - Ứng dụng Mục đích §2: - Học sinh nắm định nghĩa tích vô hướng hai vectơ tính chất tích vô hướng với ý nghĩa vật lí tích vô hướng Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… - Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng để tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vectơ chứng minh hai vectơ vuông góc với (Sách Giáo viên Hình học 10, tr.41) Ứng dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng trình bày chi tiết luận văn tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012) Trong khuôn khổ luận văn này, quan tâm đến định nghĩa tính chất tích vô hướng 1.1 Định nghĩa tính chất tích vô hướng SGK Hình học 10 mở đầu học ví dụ, ứng dụng tích vô hướng thực tế: Trong vật lí, ta biết có lực 𝐹⃗ tác động lên vật điểm O làm cho vật di chuyển quãng đường s = OO’ công A lực 𝐹⃗ tính theo công thức: �������⃗� cosφ 𝐴 = �𝐹⃗ � �𝑂𝑂′ Trong �𝐹⃗ � cường độ lực 𝐹⃗ tính Niutơn (viết tắt N), �������⃗� độ dài vectơ �������⃗ �𝑂𝑂′ 𝑂𝑂′ tính mét (m), góc hai vectơ �������⃗ 𝑂𝑂′ 𝐹⃗ , công A tính Jun (viết tắt J) Trong toán học, giá trị A biểu thức (không kể đơn vị đo) gọi tích vô hướng hai vectơ 𝐹⃗ �������⃗ 𝑂𝑂′ (Hình học 10, tr.41) Ngay sau ví dụ mở đầu, SGK đưa định nghĩa tích vô hướng: Định nghĩa �⃗ Tích vô hướng 𝑎⃗ 𝑏�⃗ số, Cho hai vectơ 𝑎⃗ 𝑏�⃗ khác vectơ kí hiệu 𝑎⃗ 𝑏�⃗, xác định công thức sau: (Hình học 10, tr.41) Trần Thị Thu Hiền 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = |𝑎⃗| �𝑏�⃗� cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… đó, khái niệm góc hai vectơ, kí hiệu �𝑎⃗, 𝑏�⃗� trình bày §1 “Giá trị lượng giác góc từ Oo đến 180o” Cụ thể, SGK định nghĩa: Cho hai vectơ 𝑎⃗ 𝑏�⃗ khác vectơ �0⃗ Từ điểm O bất kì, ta vẽ �����⃗ � với số đo từ 0o đến 180o gọi góc 𝑂𝐴 = 𝑎⃗ �����⃗ 𝑂𝐵 = 𝑏�⃗ Góc 𝐴𝑂𝐵 hai vectơ𝑎⃗ 𝑏�⃗ Ta kí hiệu góc hai vectơ 𝑎⃗ 𝑏�⃗ �𝑎⃗, 𝑏�⃗� Nếu ���⃗ �𝑎⃗, 𝑏�⃗� = 90° ta nói 𝑎⃗ 𝑏�⃗ vuông góc với nhau, kí hiệu 𝑎⃗ ⊥ 𝑏 𝑏�⃗ ⊥ 𝑎⃗ (Hình học 10, tr.38) Sau định nghĩa tích vô hướng, SGK ý: ���⃗khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗ a)Với 𝑎⃗ 𝑏 b) Khi 𝑎⃗ = 𝑏�⃗ tích vô hướng 𝑎⃗ 𝑎⃗ kí hiệu 𝑎⃗2 số gọi bình phương vô hướng vectơ 𝑎⃗ Ta có 𝑎⃗2 = |𝑎⃗| |𝑎⃗| cos 0° = |𝑎⃗|2 (Hình học 10, tr.41) Tiếp theo ví dụ củng cố định nghĩa: Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Khi ta có (h.2.9) 𝑎 , �����⃗ 𝐴𝐶 �����⃗ 𝐶𝐵 = 𝑎 𝑎 cos120° = − 𝑎2 , �����⃗ 𝐴𝐵 �����⃗ 𝐴𝐶 = 𝑎 𝑎 cos60° = ������⃗ 𝐴𝐻 �����⃗ 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑎 cos90° = (Hình học 10, tr.42) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Ngoài ví dụ nói trên, SGK có hoạt động “nhằm củng cố định nghĩa tích vô hướng hai vectơ, đồng thời kết hợp ôn giá trị lượng giác góc hai vectơ” (Sách Giáo viên Hình học 10, tr.58) Tuy nhiên, SGK, hoạt động lại nằm mục2 Các tính chất tích vô hướng Về tính chất tích vô hướng, SGK thừa nhận tính chất sau đây: Với ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏�⃗, 𝑐⃗ số k ta có: 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ 𝑎⃗ (tính chất giao hoán); 𝑎⃗ �𝑏�⃗ + 𝑐⃗� = 𝑎⃗ 𝑏�⃗ + 𝑎⃗ 𝑐⃗ (tính chất phân phối); (𝑘𝑎⃗) 𝑏�⃗ = 𝑘 �𝑎⃗ 𝑏�⃗� = 𝑎⃗ (𝑘𝑏�⃗); 𝑎⃗2 ≥ 0, 𝑎⃗2 = ⟺ 𝑎⃗ = �0⃗ (Hình học 10, tr.42) Các tính chất chứng minh chi tiết SGV Từ tính chất này, SGK suy tính chất hệ quả: (𝑎⃗ + 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 + 2𝑎⃗ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ; (𝑎⃗ − 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 − 2𝑎⃗ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ; �𝑎⃗ + 𝑏�⃗��𝑎⃗ − 𝑏�⃗� = 𝑎⃗ − 𝑏�⃗ (Hình học 10, tr.42) Tới đây, SGK đưa hoạt động Ngoài ra, SGK hoạt động để củng cố tính chất Chúng tự hỏi, liệu có phải tính chất tích vô hướng có tương tự với tính chất phép nhân hai số thực mà SGK lại trình bày “gọn nhẹ” hay không Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Sau giới thiệu tính chất tích vô hướng, SGK trình bày lại ứng dụng tích vô hướng vật lí: Ứng dụng Một xe goòng chuyển động từ A đến B tác dụng lực 𝐹⃗ Lực 𝐹⃗ tạo với hướng chuyển động góc 𝛼, tức �𝐹⃗ , �����⃗ 𝐴𝐵� = 𝛼 (h.2.10) ���⃗1 ���⃗ ���⃗1 vuông Lực 𝐹⃗ phân tích thành hai thành phần 𝐹 𝐹2 𝐹 góc với �����⃗ 𝐴𝐵 , ���⃗ 𝐹2 hình chiếu 𝐹⃗ lên đường thẳng AB Ta có ���⃗2 CôngAsinh lực 𝐹⃗ A= 𝐹⃗ �����⃗ ���⃗1 + 𝐹 ���⃗2 � �����⃗ 𝐴𝐵 = 𝐹⃗ = ���⃗ 𝐹1 + 𝐹 𝐴𝐵 = �𝐹 ���⃗ ���⃗2 �����⃗ 𝐹1 �����⃗ 𝐴𝐵 + 𝐹 𝐴𝐵 = ���⃗ 𝐹2 �����⃗ 𝐴𝐵 ���⃗1 không làm cho xe goòng chuyển động nên Như lực thành phần 𝐹 không sinh công Chỉ có thành phần ���⃗ 𝐹2 lực 𝐹⃗ sinh công làm cho xe goòng chuyển động từ A đến B Công thức A= 𝐹⃗ �����⃗ 𝐴𝐵là công thức tính công lực 𝐹⃗ làm vật di chuyển từ A đến B mà ta biết vật lí (Hình học 10, tr.43) Ứng dụng sử dụng kết sau: phân tích vectơ theo hai vectơ không phương (cụ thể hai vectơ vuông góc), tính chất kết hợp tích vô hướng Chú ý “Với 𝑎⃗ ���⃗ 𝑏 khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗” Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Tuy nhiên, câu hỏi đặt là: Tại lại phải phân tích lực 𝐹⃗ thành hai thành phần ���⃗ ���⃗2 ? 𝐹1 𝐹 Đối chiếu với SGK Hình học 10 Nâng cao, nhận thấy phần định nghĩa tính chất tính vô hướng trình bày tương tự Một số điểm khác biệt kể sau: - Khái niệm góc hai vectơ trình bày §2 “Tích vô hướng hai vectơ” - SGK Hình học 10 - Nâng cao không trình bày ý sau định nghĩa tích vô hướng Thay vào đó, SGK đưa hoạt động “Trường hợp tích vô hướng hai vectơ 𝑎⃗và𝑏�⃗ 0?” - Các tính chất tích vô hướng phát biểu thành định lí Ngoài tính chất gặp SGK Hình học 10, SGKHình học 10 - Nâng cao giới thiệu thêm tính chất phân phối phép trừ: 𝑎⃗ �𝑏�⃗ − 𝑐⃗� = 𝑎⃗ 𝑏�⃗ − 𝑎⃗ 𝑐⃗ - SGK Hình học 10 - Nâng cao chứng minh tính chất hệ số yêu cầu học sinh chứng minh hai tính chất lại - Sau trình bày tính chất tích vô hướng, SGK Hình học 10 - Nâng cao giới thiệu toán, có ứng dụng tích vô hướng để chứng minh tính chất hình học ứng dụng tích vô hướng để tìm tập hợp �����⃗ Gọi B’ hình chiếu điểm Đặc biệt, từ toán “Cho hai vectơ������⃗ 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 B lên đường thẳng OA Chứng minh �����⃗ 𝑂𝐴 �����⃗ 𝑂𝐵 = �����⃗ 𝑂𝐴 �������⃗ 𝑂𝐵′”,SGK thể chế hóa thành công thức hình chiếu: �������⃗ gọi hình chiếu vectơ �����⃗ Vectơ 𝑂𝐵′ 𝑂𝐵 đường thẳng OA �������⃗ gọi công thức hình chiếu Công thức �����⃗ 𝑂𝐴 �����⃗ 𝑂𝐵 = �����⃗ 𝑂𝐴 𝑂𝐵′ (Hình học 10 - Nâng cao, tr.49) 1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến tích vô hướng Trong phần này, phân tích ví dụ tập đưa vào sách giáo khoa sách tập Hình học 10 Việc phân tích hệ thống tập cho phép diện tổ chức toán học gắn liền với khái niệm tích vô hướng Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… 1.2.1 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T : Tính tích vô hướng hai vectơ �����⃗ Ví dụ Tam giác ABC vuông C có AC = 9, CB = Tính �����⃗ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 GIẢI �����⃗ �����⃗ � �𝐴𝐶 �����⃗ � cos (𝐴𝐵 �����⃗ , 𝐴𝐶 �����⃗ ), 𝐴𝐵 �����⃗ 𝐴𝐶 = �𝐴𝐵 𝐴𝐶 �����⃗ , �����⃗ cos�𝐴𝐵 𝐴𝐶 � = (h.2.8) �����⃗ = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Vậy �����⃗ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 92 = 81 (Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79) Kĩ thuật 𝝉𝟏 : Áp dụng công thức định nghĩa 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = |𝑎⃗| �𝑏�⃗� cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� Công nghệ 𝜽𝟏 : Định nghĩa tích vô hướng 1.2.2 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T :Chứng minh đẳng thức chứa tích vô hướng Ví dụ Cho O trung điểm đoạn thẳng AB M điểm tùy ý ������⃗ = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2 Chứng minh ������⃗ 𝑀𝐴 𝑀𝐵 GIẢI ������⃗ 𝑀𝐵 ������⃗ + �����⃗ ������⃗ + 𝑂𝐵 �����⃗ � ������⃗ = �𝑀𝑂 Ta có 𝑀𝐴 𝑂𝐴� �𝑀𝑂 �����⃗ ) + �����⃗ �����⃗ �����⃗ = ������⃗ 𝑀𝑂2 + ������⃗ 𝑀𝑂 (𝑂𝐴 �� ��� + �� 𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵 �0⃗ �����⃗ = �0⃗ �����⃗ �����⃗2 ) (vì �����⃗ 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 𝑂𝐴 �����⃗ 𝑂𝐵 = −𝑂𝐴 Vậy ������⃗ 𝑀𝐴 ������⃗ 𝑀𝐵 = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2 (vì �����⃗ 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴2 , ������⃗ 𝑀𝑂2 = 𝑂𝑀2 ) (Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79) Kĩ thuật 𝝉𝟐 : đó, vế trái đẳng thức biểu thức liên quan đến tích vô hướng, vế phải số thực biểu thức liên quan đến độ dài vectơ Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… - Phân tích vectơ thành hai vectơ không phương - Sử dụng tích chất phân phối tích vô hướng, tính chất bình phương vô hướng vectơ để biến đổi biểu thức liên quan đến tích vô hướng vế trái thành số thực biểu thức liên quan đến độ dài vectơ vế phải Công nghệ 𝜽𝟐 : kĩ thuật phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, tính chất phân phối tích vô hướng, tính chất bình phương vô hướng vectơ �⃗ �𝒃⃗ 1.2.3 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T :Chứng minh hai vectơ 𝒂 vuông góc với Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a AD = 𝑎√2 Gọi K trung ������⃗ vuông góc với �����⃗ điểm cạnh AD Chứng minh 𝐵𝐾 𝐴𝐶 GIẢI Gọi M trung điểm cạnh BC Ta có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √2𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎√3 �����⃗ = (h.2.12) Cần chứng minh ������⃗ 𝐵𝐾 𝐴𝐶 ������⃗ = �����⃗ ������⃗ = �����⃗ Ta có 𝐵𝐾 𝐵𝐴 + 𝐵𝑀 𝐵𝐴 + �����⃗ 𝐴𝐷 �����⃗ 𝐴𝐶 = �����⃗ 𝐴𝐵 + �����⃗ 𝐴𝐷 �����⃗ = �𝐵𝐴 �����⃗ + �����⃗ �����⃗ + �����⃗ ������⃗ 𝐴𝐶 Vậy 𝐵𝐾 𝐴𝐷 � �𝐴𝐵 𝐴𝐷 � 1 = �����⃗ 𝐵𝐴 �����⃗ 𝐴𝐵 + �����⃗ 𝐵𝐴 �����⃗ 𝐴𝐷 + �����⃗ 𝐴𝐷 �����⃗ 𝐴𝐵 + �����⃗ 𝐴𝐷 �����⃗ 𝐴𝐷 2 = −𝑎⃗2 + + + �𝑎√2� = 2 �����⃗ = Ta có ������⃗ ������⃗ 𝐴𝐶 Do 𝐵𝐾 𝐵𝐾 vuông góc với �����⃗ 𝐴𝐶 (Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.82) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… Kĩ thuật 𝝉𝟑 : - Phân tích vectơ thành hai vectơ không phương - Chứng minh 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = - Kết luận hai vectơ 𝑎⃗ 𝑏�⃗ vuông góc với Công nghệ 𝜽𝟑 : kĩ thuật phân tích vectơ thành hai vectơ không phương, tính chất tích vô hướng: 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗ ⟺ 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = �⃗ 1.2.4 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụT : Tính tích vô hướng���⃗ 𝒂𝒃 �⃗, �𝒃⃗) suy giá trị góc (𝒂 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính �����⃗ 𝐴𝐵 �����⃗ 𝐴𝐶 suy giá trị góc A (Bài tập 2.16a, Bài tập Hình học 10, tr.85) GIẢI �����⃗ − �����⃗ Ta có 𝐵𝐶 = �����⃗ 𝐵𝐶 = (𝐴𝐶 𝐴𝐵 )2 �����⃗ �����⃗ = �����⃗ 𝐴𝐶 + �����⃗ 𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐶 𝐴𝐵 �����⃗ = Do �����⃗ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 �����⃗ +𝐴𝐵 �����⃗ −𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 82 +52 −72 = 20 �����⃗ = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 cos 𝐴 = 5.8 cos𝐴 = 20, Mặt khác �����⃗ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 suy cos𝐴 = 20 40 = ⟹ 𝐴̂ = 60° (Bài tập Hình học 10, tr.103) Kĩ thuật 𝝉𝟒 : - Sử dụng công thức tính chất hệ tích vô hướng để tính 𝑎⃗ 𝑏�⃗ Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic khái niệm tích vô hướng… [...]... Hình học và Vật lí lớp 10 Những điều này sẽ được trình bày trong chương II “Thực nghiệm” Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng Chương I KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÔNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10 Mục đích của chương này là trả lời cho các câu hỏi CH1: “Các khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và công được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học phổ thông. .. Hình học 10 và Vật lí 10 Nâng cao 1 Khái niệm tích vô hướng trong sách giáo khoa Hình học 10 Trong SGK Hình học 10, khái niệm tích vô hướng của hai vectơ được trình bày ở bài §2 Tích vô hướng của hai vectơ” tại chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” (học kì I lớp 10) Nội dung bài §2 được trình bày thông qua 4 đề mục: - Định nghĩa - Các tính chất của tích vô hướng - Biểu thức tọa độ của tích. .. tích vô hướng - Biểu thức tọa độ của tích vô hướng - Ứng dụng Mục đích của bài §2: - Học sinh nắm được định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của tích vô hướng cùng với ý nghĩa vật lí của tích vô hướng Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng - Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để tính độ dài của một vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm,... Hình học 10, tr.79) Kĩ thuật 𝝉𝟐 : trong đó, vế trái của đẳng thức là một biểu thức liên quan đến tích vô hướng, vế phải là một số thực hoặc một biểu thức liên quan đến độ dài vectơ 1 Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng - Phân tích các vectơ thành hai vectơ không cùng phương - Sử dụng tích chất phân phối của tích vô hướng, tính chất của bình phương vô hướng của một vectơ... 𝑂𝐴 𝑂𝐵′ (Hình học 10 - Nâng cao, tr.49) 1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến tích vô hướng Trong phần này, chúng tôi phân tích các ví dụ và bài tập được đưa vào sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 10 Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra sự hiện diện của các tổ chức toán học gắn liền với khái niệm tích vô hướng Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng 1.2.1... (Hình học 10, tr.42) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng Ngoài ví dụ nói trên, SGK còn có hoạt động 1 “nhằm củng cố định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, đồng thời kết hợp ôn về các giá trị lượng giác của góc giữa hai vectơ” (Sách Giáo viên Hình học 10, tr.58) Tuy nhiên, trong SGK, hoạt động 1 lại nằm trong mục2 Các tính chất của tích vô hướng Về các tính chất của tích. .. viên Hình học 10, tr.41) Ứng dụng của biểu thức tọa độ của tích vô hướng đã được trình bày khá chi tiết trong luận văn của tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012) Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến định nghĩa và tính chất của tích vô hướng 1.1 Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng SGK Hình học 10 mở đầu bài học bằng ví dụ, một ứng dụng của tích vô hướng trong thực tế: Trong vật... nghiên cứu như sau: Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với các đối tượng tích vô hướng của hai vectơ và côngthông qua việc phân tích chương trình và các SGKVật lí, Hình học lớp 10 hiện hành ở Việt Nam Chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ cũng như những chênh lệch trong việc học tậpliên môn Hình học và Vật lí lớp 10 Những điều này sẽ được trình bày trong chương I Tích vô hướng. .. Hình học 10 Nâng cao, chúng tôi nhận thấy phần định nghĩa và các tính chất của tính vô hướng được trình bày tương tự Một số điểm khác biệt có thể kể ra như sau: - Khái niệm góc giữa hai vectơ được trình bày ngay trong bài §2 Tích vô hướng của hai vectơ” - SGK Hình học 10 - Nâng cao không trình bày chú ý sau định nghĩa tích vô hướng Thay vào đó, SGK đưa ra hoạt động 2 “Trường hợp nào thì tích vô hướng. .. ta đã biết trong vật lí (Hình học 10, tr.43) Ứng dụng sử dụng các kết quả sau: phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương (cụ thể là hai vectơ vuông góc), tính chất kết hợp của tích vô hướng và Chú ý “Với 𝑎⃗ và ���⃗ 𝑏 khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗ 𝑏�⃗ = 0 ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗” Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là: Tại sao lại phải phân tích lực