Một nghiên cứu didactic về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lý Tấn Tài MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lý Tấn Tài MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Chun ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Chân thành cảm ơn đến: PGS.TS Lê Thò Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ suốt khoá học Thạc só Ban Giám hiệu Trường THPT Phú Quốc tạo điều kiện cho suốt thời gian học tập; đồng nghiệp quan tâm, chia sẽ; thầy cô tổ Toán – Tin Trường THPT Phú Quốc giúp đỡ hoàn thành thực nghiệm luận văn này, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, lãnh đạo chuyên viên phòng SĐH giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho Các bạn học viên, đặc biệt bạn học viên didactic khóa 20 thông cảm, chia sẽ, động viên giúp đỡ vượt qua khó khăn thời gian học tập, nghiên cứu Gia đình người thân động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập Lý Tấn Tài DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT M1 : Sách giáo khoa lớp M2 : Sách giáo khoa lớp M3 : Sách giáo khoa lớp 12 – chương trình nâng cao SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thơng HS Học sinh DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Căn bậc n số thực Bảng 1.2 Các định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ 14 Bảng 2.1 So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa bậc đại học bậc THPT 28 Bảng 2.2 So sánh định nghĩa lũy thừa số hàm số lũy thừa cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức giảng dạy 29 Bảng 2.3 Bảng mơ tả kiểu nhiệm vụ lũy thừa hàm số lũy thừa 30 Bảng 2.4 Thống kê tần số xuất kiểu nhiệm vụ M1 34 Bảng 2.5 Thống kê tần số xuất kiểu nhiệm vụ M2 40 Bảng 2.6 Thống kê tần số xuất kiểu nhiệm vụ M3 52 Bảng 2.7 Sự tiến triển tổ chức tốn học 53 Bảng 3.1 Thống kê chiến lược giải tốn học sinh 67 Bảng 3.2 Thống kê chiến lược giải tốn học sinh 68 Bảng 3.3 Thống kê chiến lược giải tốn học sinh 70 MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng Mục lục MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Khái niệm lũy thừa tài liệu [2] .4 Khái niệm lũy thừa tài liệu [3] .8 Khái niệm lũy thừa tài liệu [1] .9 CHƯƠNG KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC 16 Khái niệm lũy thừa thể chế dạy học THCS 16 1.1 Phân tích chương trình 16 1.2 Phân tích sách giáo khoa .17 Khái niệm lũy thừa thể chế dạy học THPT 19 2.1 Phân tích chương trình 19 2.2 Phân tích sách giáo khoa .20 Các tổ chức tốn học lũy thừa số hàm số lũy thừa 30 3.1 Các tổ chức tốn học M1 .30 3.2 Các tổ chức tốn học M2 .34 3.3 Các tổ chức tốn học M3 .40 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM .57 Đối tượng hình thức thực nghiệm 57 Phân tích tiên nghiệm (a priori) tốn thực nghiệm 57 2.1 Bài tốn tốn 57 2.2 Bài tốn 63 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) tốn thực nghiệm .67 KẾT LUẬN 73 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Phụ lục MỞ ĐẦU CÂU HỎI MỞ ĐẦU Khái niệm lũy thừa đưa vào chương trình phổ thơng từ lớp 6, lũy thừa bậc n (n số tự nhiên) số thực a tích n thừa số a: a n = a.a .a    n thừa số Đến lớp 12, lũy thừa mở rộng với số mũ ngun âm, số mũ hữu tỷ, số mũ vơ tỷ Cùng với mở rộng phạm vi số mũ, điều kiện số có thu hẹp tương ứng Sự thay đổi gây khơng khó khăn cho học sinh từ dẫn đến sai lầm mắc phải việc tiếp nhận khái niệm Chẳng hạn, sai lầm học sinh đồng hàm chứa với hàm lũy thừa; sai lầm dùng máy tính bỏ túi tính giá trị lũy thừa với số mũ hữu tỉ có số âm cho giá trị xác định, lũy thừa khơng tồn theo định nghĩa hành Trước thực tế vậy, chúng tơi đặt câu hỏi: Q’1: Trong hệ thống dạy học, lũy thừa số hàm số lũy thừa xây dựng nào? Có cách tiếp cận nào? Q’2: Trong chương trình phổ thơng, lũy thừa số hàm số lũy thừa trình bày nào? Q’3: Những ràng buộc chương trình có tác động đến học sinh học khái niệm này? KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Chúng tơi đặt phạm vi lý thuyết didactic tốn Cụ thể chúng tơi sử dụng khái niệm: chuyển đổi didactic; quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức tốn học lý thuyết nhân chủng học; hợp đồng didactic Chuyển đổi didactic: nhằm làm rõ chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri thức cần giảng dạy, xem chuyển đổi có phù hợp với mục tiêu đưa vào khái niệm hay khơng? Lý thuyết nhân chủng học: phân tích tổ chức tốn học liên quan đến khái niệm lũy thừa hàm số lũy thừa từ làm rõ mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân hai khái niệm Hợp đồng didactic: tìm quy tắc hợp đồng ngầm ẩn giáo viên học sinh từ giải mã cho cách ứng xử giáo viên học sinh giải kiểu nhiệm vụ có liên quan CÂU HỎI NGHIÊN CỨU Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, câu hỏi ban đầu chúng tơi cụ thể hóa thành câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa hàm số lũy thừa trình bày nào? Có cách tiếp cận nào? Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, khái niệm lũy thừa hàm số lũy thừa xuất tiến triển nào? Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân học sinh giải kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khái niệm ? MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt mục Cụ thể: thứ nhất, tìm hiểu hình thành tiến triển khái niệm lũy thừa hàm số lũy thừa chương trình phổ thơng; thứ hai, xác định sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa số hàm số lũy thừa; thứ ba, xác định nguồn gốc sai lầm để từ có điều chỉnh cách dạy học, nhằm mang lại hiệu cao giảng dạy Để đạt mục đích này, chúng tơi đề phương pháp nghiên cứu sau: Ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tơi phân tích nhằm làm rõ cách tiếp cận khái niệm lũy thừa hàm số lũy thừa Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng tơi phân tích chương trình, sách giáo khoa tổ chức tốn học liên quan đến lũy thừa số hàm số lũy thừa cấp độ THCS THPT nhằm làm rõ hình thành tiến triển chúng qua khối lớp Kết phân tích cấp độ tri thức khoa học tri thức cần giảng dạy, chúng tơi đặt giả thuyết nghiên cứu Cuối cùng, chúng tơi xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đặt TỔ CHỨC LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, chương phần kết luận Phần mở đầu, chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn Chương 1, trình bày kết phân tích cách xây dựng lũy thừa số hàm số lũy thừa số giáo trình đại học Chương 2, trình bày kết phân tích chương trình, sách giáo khoa, tổ chức tốn học THCS THPT gắn với lũy thừa số hàm số lũy thừa Đặt giả thuyết nghiên cứu Chương 3, trình bày câu hỏi thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm phân tích hậu nghiệm câu hỏi thực nghiệm Phần kết luận, trình bày kết qủa đạt luận văn đề cập hướng nghiên cứu mở từ luận văn Chương KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu chương Chương tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa hàm số lũy thừa trình bày tài liệu bậc đại học? Chúng có cách tiếp cận nào? Tài liệu tham khảo Jean - Marie Monier (2009), Giải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội [1] Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry [2] Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series [3] Chúng tơi chọn tài liệu để phân tích tài liệu trình bày chi tiết lũy thừa số hàm số lũy thừa, tài liệu trình bày cách khác xây dựng lũy thừa số hàm số lũy thừa Khái niệm lũy thừa tài liệu [2] Tài liệu trình bày lũy thừa với số mũ ngun dương, số mũ khơng, số mũ ngun âm số mũ hữu tỉ; khơng trình bày lũy thừa với số mũ thực hàm số lũy thừa Các kiến thức lũy thừa với số mũ ngun dương, số mũ khơng, số mũ ngun âm số mũ hữu tỉ trình bày cụ thể chứng minh chi tiết Lũy thừa với số mũ ngun dương Cho a số thực n số ngun dương, an tích n thừa số a; a gọi số n gọi số mũ Lũy thừa với số mũ ngun dương có tính chất sau: a) Quy tắc nhân: cho a số thực m, n số ngun dương a m a n = a m + n b) Quy tắc chia: cho a số thực khác khơng; m, n số ngun dương cho m > n am = a m−n n a Nếu a ≠ n > m am = n−m n a a c) Quy tắc lũy thừa lũy thừa: cho a số thực m, n số ngun dương ( a m ) = a m.n n d) Quy tắc lũy thừa tích: cho a, b số thực, n số ngun dương ( ab ) n = a nb n e) Quy tắc lũy thừa thương: cho a, b số thực, b ≠ n số a n an ngun dương   = n b b Lũy thừa với số mũ khơng Lũy thừa với số mũ khơng xuất mở rộng điều kiện m quy tắc chia hai lũy thừa số: a ≠ m = n, giả sử cơng thức am = a m − n n a an −n a n= a0 = trường hợp số mũ khơng, thì= n a Từ tài liệu [2] đưa định nghĩa: ∀ a ∈ ℝ a ≠ 0, a0 =1 Lũy thừa với số mũ ngun âm Lũy thừa với số mũ ngun âm xuất mở rộng điều kiện n quy tắc nhân hai lũy thừa số: a ≠ m = -n, giả sử cơng thức n a= , từ suy a m a n = a m + n trường hợp số mũ âm a n a −= a−n = an Từ tài liệu [2] đưa định nghĩa: cho a số thực khác khơng n số ngun dương, a − n = an Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ định nghĩa dựa bậc n số thực Định nghĩa bậc n: cho n số ngun dương lớn a số thực bất kì, bậc n a số b cho bn = a Theo định nghĩa này, kết bậc n số thực a tóm tắt sau: Bảng 1.1 Căn bậc n số thực n chẵn n lẻ Có hai bậc n a Giá trị dương kí hiệu: a>0 n Có bậc n a, a kí hiệu: Giá trị âm kí hiệu: − a n a n Có bậc n Có bậc n a, a=0 a, kí hiệu n = kí hiệu n = Có bậc n a, a Nếu a m n có nghĩa cơng thức ( a n ) = a nm m m m m m  1n  n n n a a=  a  Như vậy, a lũy thừa bậc m a n thay n = n   Từ tài liệu [2] đưa định nghĩa – định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: • Định nghĩa m tối giản; số thực a giả sử n Cho m, n số ngun, n > phân số a khơng âm n chẵn, a m n m  1n  lũy thừa m a Tức a =  a    n m n Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất lũy thừa với số mũ ngun dương Nhận xét tài liệu [2] Lũy thừa với số mũ ngun dương a n tích n thừa số a Các tính chất lũy thừa với số mũ ngun dương suy từ tính chất phép nhân tập số thực Lũy thừa với số mũ 0, số mũ ngun âm số mũ hữu tỉ mở rộng từ lũy thừa với số mũ ngun dương theo hướng bảo tồn tính chất lũy thừa với số mũ ngun dương: + Lũy thừa với số mũ 0: a = (a ≠ 0) + Lũy thừa với số mũ ngun âm a-n nghịch đảo an: a − n =  1n  + Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a= a=  a    r m n m (a ≠ 0) an m phân số tối n giản bậc n a tồn Do tài liệu [2] khơng trình bày lũy thừa với số mũ vơ tỉ nên chúng tơi chưa biết cách tiếp cận định nghĩa từ cách định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ Khái niệm lũy thừa tài liệu [3] Tài liệu trình bày khái niệm lũy thừa số (lũy thừa với số mũ ngun dương, số mũ khơng, số mũ ngun âm số mũ hữu tỉ lũy thừa với số thực bất kì), khơng trình bày hàm số lũy thừa Lũy thừa số Tài liệu [3] khơng trình bày cụ thể lũy thừa với số mũ ngun tài liệu [2] Các kiến thức trình bày ngắn gọn sau: Nếu x số thực bất kì, ta biết xk (với k số ngun dương ≥ 2) định nghĩa tích k thừa số, tất x Ta kí hiệu: x1 nghĩa nó; x ≠ 0, x0 1, x-k (k = 1, 2, 3, …) Vì xp định nghĩa cho k x số ngun p Định nghĩa thỏa quy tắc sau: x p x q = x p + q , x p y p = ( xy ) ; ( x p ) = x pq Từ quy tắc suy quy tắc khác q p Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ định nghĩa dựa bận n số thực Tài liệu [3] khơng trình bày định nghĩa bậc n số, mà đưa nhận định: Cho a số thực dương, bậc n a số thực mà lũy thừa bậc n a Từ nhận định này, tài liệu [3] đưa định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu m tỉ: Cho a > 0, a n = n a m (m , n ∈ ; n > 0) Lũy thừa với số mũ thực Q trình định nghĩa lũy thừa với số mũ thực tóm tắt sau: Cho (x n ) dãy hữu tỉ đơn điệu tăng, (y n ) dãy hữu tỉ đơn điệu giảm cho: xn ≤ yn với n hiệu số d n = y n – x n tạo thành dãy có giới hạn Khi ta dãy khoảng lồng thắt dần, khoảng thứ n ( xn ; yn ) Dãy khoảng lồng thắt dần kí hiệu ( xn | yn ) Dãy khoảng lồng thắt dần có giao nhất, giả sử s kí hiệu: ( xn | yn ) = s Cho ( xn | yn ) = s dãy khoảng lồng thắt dần số thực dương a Khi ( a xn | a yn ) với a > ( a yn | a xn ) với a < dãy khoảng lồng thắt dần, chúng có giao phần tử δ Ta kí hiệu: δ = as Sau đó, tài liệu [3] đưa nhận xét: s số hữu tỉ định nghĩa hồn tồn phù hợp với định nghĩa xây dựng trước Nhận xét tài liệu [3] Các kiến thức lũy thừa với số mũ ngun trình bày giống tài liệu [2] m n Lũy thừa với số mũ hữu tỉ định nghĩa cho số dương: a = ( a) n m Lũy thừa với số mũ thực định nghĩa cho số dương, khái niệm định nghĩa thơng qua giới hạn dãy số: aα giới hạn dãy số ( a xn ) , ( xn ) dãy số hữu tỉ có giới hạn α Khái niệm lũy thừa tài liệu [1] Lũy thừa số Tài liệu khơng trình bày định nghĩa tính chất lũy thừa với số mũ ngun Tuy nhiên phần nhận xét mà tài liệu nêu sau định nghĩa hàm số mũ số e: “Mệnh đề: exp1 = e n Cho tới lúc kí hiệu et định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ* Ta thấy expt trùng với et hai trường hợp này” (Giải tích 2, tr.6) Đoạn trích chứng tỏ tài liệu [1] thừa nhận định nghĩa tính chất lũy thừa với số mũ ngun Lũy thừa với số mũ định nghĩa thơng qua hàm số mũ số a Q trình tóm tắt theo sơ đồ sau: Hàm số logarit nêpe → Hàm mũ → Hàm logarit số a → hàm mũ số a → Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực Hàm logarit nêpe Hàm logarit nêpe, ký hiệu ln, ánh xạ từ *+ vào ℝ định nghĩa sau: x dt t ∀x ∈  , ln x =∫ * + Hàm mũ Vì ánh xạ ln : *+ →  liên tục, tăng nghiêm ngặt, lim ln = +∞ , +∞ lim ln = −∞ , nên ánh xạ ln có ánh xạ ngược, ánh xạ ngược gọi hàm mũ, + ký hiệu exp :  → *+ Sau xây dựng xong hàm mũ, tài liệu [1] đưa nhận xét: “Cho tới lúc n kí hiệu et định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ* Ta thấy expt trùng với et hai trường hợp Như thác triển kí hiệu et cho trường hợp t ∈ ℝ cách đặt: ∀x ∈ , et =exp t ” (Giải tích 2, tr.10) Hàm logarit số a Hàm logarit số a, kí hiệu log a , ánh xạ từ *+ vào ℝ xác định ln x ln a sau: ∀x ∈ *+ , log a x = Hàm mũ số a log a Hàm mũ số a, kí hiệu exp a , ánh xạ từ ℝ vào *+ ngược với ánh xạ Hàm số mũ số a có tính chất sau: , y exp a x ⇔= x log a y • ∀( x, y ) ∈ (  × *+ ) = • ∀x ∈ , exp a x =e x ln a • Hàm số exp a thuộc lớp C ∞  ∀x ∈ *+ , ( exp a ) '( x) =( ln a )( exp a x ) • exp a (0) = exp a ( x ) exp a ( y ) • ∀( x, y ) ∈  , exp a ( x + y ) = exp a x • ∀x ∈ , exp a (− x) = • ∀a ∈ (1; +∞) \ {1}, ∀x ∈ , exp x = a exp a x Sau xây dựng xong hàm mũ số a, tài liệu [1] nhận xét: “Cho đến lúc kí hiệu ax định nghĩa ( a ∈ *+ x ∈ ℤ hay , x ∈ * ), x a = e Trong trường hợp đó, ta có: ln ( a x ) = x ln a , ax = exp a (x)  ln ( exp a x ) = x ln a Như vậy, ta thác triển kí hiệu ax trường hợp x ∈ ℝ cách định nghĩa: ∀x ∈ , a x =exp a x ” (Giải tích 2, tr.12) Sau đó, tài liệu [1] trình bày lại tính chất exp a thay kí hiệu exp a x a x Như vậy, aα giá trị hàm số exp a α, với a số thực dương α số thực Hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa định nghĩa thơng qua hàm số mũ số e: “Cho α ∈ ℝ, hàm số lũy thừa với số mũ α ánh xạ từ *+ vào ℝ, kí hiệu pα xác định sau: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x ” (Giải tích 2, tr.15) Vì hàm số lũy thừa định nghĩa thơng qua hàm số mũ nên hàm số lũy thừa có đầy đủ tích chất hàm số mũ Tài liệu [1] trình bày chi tiết hàm số lũy thừa p α : → , ta thác triển liên tục phải hàm Nếu α > eα ln x  x → 0+ số p α cách đặt p α (0) = Ánh xạ pα thuộc lớp C ∞ (0 ; +∞) : α α ln x  ' (α −1) ln x α e= α eα −1 pα ( x) = e = x ∀x ∈ (0; +∞),  α −2  pα''=  ( x) α (α − 1) x Nếu α > p α khả vi pα' (0) = → +∞ Nếu α < p α khơng khả vi pα' (0)  x → 0+ Bảng biến thiên hàm số p α : Trường hợp α < 0 x ' Trường hợp α > +∞ x – pα ( x) +∞ ' + pα ( x) +∞ +∞ pα ( x) pα ( x) 0 Đồ thị hàm số lũy thừa Nhận xét tài liệu [1] Lũy thừa với số mũ ngun khơng trình bày, ngầm ẩn chúng hiểu tài liệu [2] [3] Lũy thừa với số mũ thực định nghĩa cho số dương: aα giá trị hàm số exp a α Mặc dù lũy thừa với số mũ thực định nghĩa khơng theo hướng mở rộng tài liệu [2] [3] α số ngun định nghĩa hồn tồn phù hợp với kiến thức lũy thừa biết trước Như vậy, tính chất lũy thừa bảo tồn Hàm số lũy thừa định nghĩa thơng qua hàm mũ số e: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x Hàm số lũy thừa có tập xác định (0 ; +∞) với số mũ α, hàm số đơn điệu Kết phân tích cho thấy xuất độc lập lũy thừa số hàm số lũy thừa Chúng kết việc xây dựng hàm số mũ số a Kết phân tích tài liệu [1] có nét tương đồng với kết luận mở rộng khái niệm lũy thừa luận văn “Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thơng” Nguyễn Hữu Lợi Kết tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa luận văn tóm tắt sau: Có tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ ngun dương sang số mũ thực: Tiến trình 1: “hàm logarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa số e → hàm mũ số a → lũy thừa số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22) Trong tiến trình này, lũy thừa với số mũ thực trước hết định nghĩa cho số e Các tính chất ex (x ∈ ℝ) sở để xây dựng hàm mũ số a (a > 0) Lũy thừa với số mũ thực định nghĩa từ hàm số mũ số a, tính chất lũy thừa suy từ tính chất hàm số mũ số a Tiến trình 2: “hàm lơgarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa thực số e → lũy thừa thực số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ trường trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22) Trong tiến trình này, lũy thừa với số mũ thực trước hết định nghĩa cho số e, kết sở để xây dựng lũy thừa với số mũ thực số a (a > 0) Tính chất lũy thừa với số mũ thực số a suy từ tính chất ex Kết phân tích cho thấy tiến trình xây dựng lũy thừa số tài liệu [1] giống tiến trình luận văn Nguyễn Hữu Lợi KẾT LUẬN Lũy thừa với số mũ ngun dương định nghĩa tích n thừa số a: a n = a.a .a Tính chất lũy thừa với số mũ ngun dương suy từ tính   n thừa số chất phép nhân tập số thực Lũy thừa với số mũ số mũ ngun âm mở rộng từ lũy thừa với số mũ ngun dương theo hướng bảo tồn tính chất lũy thừa với số mũ ngun dương + Lũy thừa với số mũ 0: a = (a ≠ 0) + Lũy thừa với số mũ ngun âm a −n a−n = nghịch đảo a n : (n ∈  + ) an Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: kết lũy thừa với số mũ hữu tỉ tóm tắt sau: Bảng 1.2 Các định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ Định nghĩa  1n  a= a=  a    r m n m Định nghĩa m n a= a= r m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + , phân số m n n a m a > , m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + Định nghĩa aα = exp a α a > tối giản a n tồn Lũy thừa với số mũ thực: kết lũy thừa với số thực tóm tắt sau: Bảng 1.3 Các định nghĩa lũy thừa với số mũ thực Định nghĩa aα = lim a rn lim rn = α , a > Định nghĩa a x = exp a x a > Hai định nghĩa hai cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vơ tỉ Các quy tắc tính lũy thừa bảo tồn với số mũ Hàm số lũy thừa định nghĩa dựa vào hàm số mũ số e: [...]... bày khái niệm lũy thừa của một số (lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số thực bất kì), không trình bày về hàm số lũy thừa Lũy thừa của một số Tài liệu [3] không trình bày cụ thể về lũy thừa với số mũ nguyên như tài liệu [2] Các kiến thức này được trình bày ngắn gọn như sau: Nếu x là một số thực bất kì, ta biết rằng xk (với k là số nguyên dương... xét về tài liệu [2] Lũy thừa với số mũ nguyên dương a n là tích của n thừa số a Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính chất của phép nhân trên tập số thực Lũy thừa với số mũ 0, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ được mở rộng từ lũy thừa với số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương: + Lũy thừa với số mũ 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) + Lũy. .. và n > m thì am 1 = n−m n a a c) Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì ( a m ) = a m.n n d) Quy tắc lũy thừa của một tích: cho a, b là các số thực, n là số nguyên dương thì ( ab ) n = a nb n e) Quy tắc lũy thừa của một thương: cho a, b là các số thực, b ≠ 0 và n là số a n an nguyên dương thì   = n b b Lũy thừa với số mũ không Lũy thừa với số. .. chất của exp a khi thay kí hiệu exp a x bởi a x Như vậy, aα là giá trị của hàm số exp a tại α, với a là một số thực dương và α là một số thực bất kì Hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số e: “Cho α ∈ ℝ, hàm số lũy thừa với số mũ α là ánh xạ từ *+ vào ℝ, ở đây được kí hiệu là pα và được xác định như sau: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x ” (Giải tích 2, tr.15) Vì hàm số. .. Hàm số lũy thừa có tập xác định là (0 ; +∞) với mọi số mũ α, và là hàm số đơn điệu Kết quả phân tích trên cho thấy sự xuất hiện độc lập của lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa Chúng đều là kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a Kết quả phân tích tài liệu [1] có những nét tương đồng với kết luận về sự mở rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông” của. .. tiến trình này, lũy thừa với số mũ thực trước hết được định nghĩa cho cơ số e Các tính chất của ex (x ∈ ℝ) là cơ sở để xây dựng hàm mũ cơ số a (a > 0) Lũy thừa với số mũ thực bất kì được định nghĩa từ hàm số mũ cơ số a, các tính chất của lũy thừa cũng được suy ra từ tính chất của hàm số mũ cơ số a Tiến trình 2: hàm lôgarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa thực cơ số e → lũy thừa thực cơ số a” (Nguyễn Hữu... văn của Nguyễn Hữu Lợi KẾT LUẬN 1 Lũy thừa với số mũ nguyên dương được định nghĩa là tích của n thừa số a: a n = a.a .a Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính   n thöøa soá chất của phép nhân trên tập số thực 2 Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương + Lũy. .. chứng tỏ tài liệu [1] đã thừa nhận định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ bất kì được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số a Quá trình này có thể được tóm tắt theo sơ đồ sau: Hàm số logarit nêpe → Hàm mũ → Hàm logarit cơ số a → hàm mũ cơ số a → Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực Hàm logarit nêpe Hàm logarit nêpe, ký hiệu là ln, ánh xạ từ *+ vào ℝ định nghĩa như sau:... cơ số dương: aα là giá trị của hàm số exp a tại α Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa không theo hướng mở rộng như trong tài liệu [2] và [3] nhưng khi α là số nguyên thì định nghĩa này hoàn toàn phù hợp với các kiến thức về lũy thừa đã biết trước đó Như vậy, các tính chất của lũy thừa được bảo toàn Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm mũ cơ số e: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x Hàm. .. vậy, a là lũy thừa bậc m của a n thay n bằng thì = n   Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa 2 – định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ: • Định nghĩa 2 m tối giản; số thực a và giả sử n Cho m, n là các số nguyên, n > 0 và phân số a không âm khi n chẵn, thì a m n m  1n  chỉ lũy thừa m của a Tức là a =  a    1 n m n Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên