Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông vectơ hình học và vectơ vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngơ Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG: VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngơ Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG: VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ Chun ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Vectơ khái niệm tảng nhiều ngành tốn học đại, đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, Nó mang lại cơng cụ hiệu cho việc nghiên cứu hình học sơ cấp Khơng phạm vi tốn học, vectơ sử dụng rộng rãi lĩnh vực vật lý kỹ thuật Ở Việt Nam, khái niệm vectơ đưa vào từ đầu năm lớp 10 chương trình tốn học phổ thơng nhằm cung cấp cho học sinh cơng cụ để nghiên cứu hình học, đồng thời phục vụ cho việc học mơn vật lý Cụ thể vectơ sử dụng ba lớp 10, 11, 12 để biểu diễn nghiên cứu đại lượng vật lý Liên quan đến khái niệm vectơ, chúng tơi tìm thấy số cơng trình nghiên cứu didactique đề cập đến phương diện đối tượng phương điện cơng cụ nó: Lê Thị Hồi Châu (Luận án tiến sĩ, 1997), Đỗ Cơng Đốn (Luận văn thạc sĩ, 2002), Võ Hồng (Luận văn thạc sĩ, 2002), Hồng Hữu Vinh (Luận văn thạc sĩ, 2002) Kết nghiên cứu cơng trình cho thấy học sinh gặp khó khăn việc chiếm lĩnh khái niệm vectơ sử dụng cơng cụ vectơ phạm vi hình học Cụ thể, tác giả Lê Thị Hồi Châu vạch khó khăn mà học sinh thường gặp học tập phần vectơ: - Khó khăn việc vượt khỏi mơ hình mêtric để xem xét đặc trưng định hướng vectơ - Khó khăn việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng vectơ - Khó khăn việc hiểu chất kép đại số - hình học phép tốn vectơ Hơn thế, tác giả chứng tỏ ngồi nguồn gốc khoa học luận, khó khăn bị làm cho trầm trọng thêm lựa chọn chuyển đổi sư phạm Các cơng trình mà chúng tơi kể nghiên cứu vectơ phạm vi hình học mà chưa đề cập đến khái niệm vectơ phạm vi vật lí Mặc khác cơng trình nghiên cứu khái niệm vectơ chương trình: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 Trong chương trình hành chương trình phân ban áp dụng từ năm 2006 tồn quốc Thực tế dẫn chúng tơi đến câu hỏi sau: Khái niệm vectơ đưa vào chương trình hình học lớp 10 hành có thay đổi so với chương trình trước đó: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 chương trình chỉnh lý hợp năm 2000? Trong dạy học vật lý trường phổ thơng, vectơ đưa vào sử dụng nào? Học sinh gặp vectơ vật lý trước hay sau đối tượng nghiên cứu dạy học tốn? Khi sử dụng cơng cụ vectơ vật lí học sinh gặp phải thuận lợi hay khó khăn gì? Việc nghiên cứu vectơ hình học có ảnh hưởng đến việc học tập khái niệm có liên quan đến vectơ vật lí khơng? Đó câu hỏi mà chúng tơi đặt lý mà chúng tơi chọn đề tài “Một nghiên cứu didactic dạy học vectơ trường phổ thơng : vectơ hình học vectơ vật lí” để trả lời câu hỏi Lý thuyết tham chiếu: Để trả lời cho câu hỏi chúng tơi đặt nghiên cứu khn khổ lý thuyết didactic, cụ thể thuyết nhân học Trong thuyết nhân học, chúng tơi sử dụng khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” “praxéologie ” Để thuận lợi việc trình bày, từ sau chúng tơi quy ước gọi: I1: thể chế dạy học hình học THPT theo chương trình sách giáo khoa hành I2 : thể chế dạy học vật lí trường phổ thơng theo chương trình sách giáo khoa hành Nghiên cứu quan hệ thể chế cho chúng tơi biết đối tượng tri thức “vectơ” xuất đâu, tồn nào, có vai trò thể chế I1 I2 Nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “vectơ vật lý” cho chúng tơi biết cách hiểu học sinh khái niệm vectơ, từ trả lời cho câu hỏi “ Khi sử dụng cơng cụ vectơ vật lí học sinh gặp phải thuận lợi khó khăn gì?” Mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân xác định thơng qua việc nghiên cứu “praxéologie ” 3 Mục đích nghiên cứu: Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn chúng tơi cụ thể hóa câu hỏi khởi đầu mà việc trả lời chúng mục đích đề tài: Q1 Trong thể chế I1, mối quan hệ thể chế với khái niệm vectơ có đặc trưng nào? Q2 Trong thể chế I2, mối quan hệ thể chế với đối tượng vectơ có đặc trưng nào? Vectơ đưa vào sao, gắn với nghĩa gì, sử dụng vật lý? Những tổ chức vật lý có liên quan đến vectơ ? Những kiểu nhiệm vụ đòi hỏi học sinh hiểu khái niệm vectơ đặc biệt hai đặc trưng định hướng vectơ? Q3 Những khó khăn mà học sinh gặp phải sử dụng cơng cụ vectơ vật lí? Phương pháp nghiên cứu: - Trước hết, chúng tơi phân tích chương trình sách giáo khoa hình học hành nhằm thấy mối quan hệ thể chế đối tượng vectơ thể chế I1 Trên sở tham khảo kết nghiên cứu vectơ chương trình cải cách giáo dục chương trình chỉnh lí hợp tác giả : Lê Thị Hồi Châu, Đỗ Cơng Đốn Hồng Hữu Vinh Chúng tơi có thay đổi hay khơng đặc trưng vai trò vectơ thể chế I1 với thể chế dạy học vectơ theo chương trình hình học: chương trình cải cách giáo dục chương trình chỉnh lí hợp Kết thu cho phép chúng tơi trả lời cho câu hỏi Q1 - Tiếp đến chúng tơi phân tích chương trình sách giáo khoa, sách giáo viên vật lý phổ thơng hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tơi cố gắng làm rõ tổ chức vật lý gắn với đối tượng vectơ Nghiên cứu cho phép chúng tơi trả lời cho câu hỏi Q2 Q3 - Từ kết đạt chúng tơi nghiên cứu thiết lập hệ thống câu hỏi thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết mà chúng tơi đưa khó khăn học sinh sử dụng vectơ vật lý Tổ chức luận văn: Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận chương sau : Chương 1- Vectơ dạy học hình học trường phổ thơng Chương 2- Vectơ dạy học vật lý trường phổ thơng Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm CHƯƠNG : NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC Bắt đầu từ năm 2006, chương trình phân ban áp dụng nước Qua chương trình tốn THPT gồm có: chương trình chuẩn chương trình nâng cao; tương ứng có hai sách giáo khoa Ở chúng tơi sử dụng cơng cụ thuyết nhân học để phân tích chương trình chuẩn nhằm làm rõ đặc trưng vai trò vectơ thể chế I1 Chúng tơi so sánh với vai trò vectơ thể chế dạy học hình học theo chương trình cải cách giáo dục năm 1990 chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 (mà chúng tơi gọi tắt chương trình trước năm 2006) 1.1 Vectơ chương trình hình học THPT trước năm 2006 Trước hết vectơ nghiên cứu với tư cách đối tượng tốn học chương trình hình học 10 Cụ thể, chương trình đưa vào khái niệm vectơ, phép tốn vectơ, tọa độ vectơ Tiếp đến, vectơ sử dụng làm cơng cụ để xây dựng định nghĩa tọa độ điểm Sau đó, cơng cụ vectơ dùng để nghiên cứu hệ thức lượng, phép dời hình đồng dạng Các kiến thức vectơ mặt phẳng chương trình hình học 10 dùng làm sở để đưa vào phương pháp tọa độ mặt phẳng khơng gian chương trình hình học 12 1.1.1.Vectơ chương trình hình học hành Về mặt cấu trúc, chương trình hình học hành có số thay đổi trình tự đưa vào kiến thức Tuy nhiên so với chương trình cũ mục đích việc dạy học vectơ khơng thay đổi, đưa vào nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp để nghiên cứu hình học: phương pháp vectơ Qua đó, chương trình hình học 10, trước hết vectơ nghiên cứu với tư cách đối tượng Sau đó, cơng cụ vectơ dùng để chứng minh hệ thức lượng tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ mặt phẳng Trong chương trình hình học 11, cơng cụ vectơ sử dụng để nghiên cứu phép biến hình Các khái niệm vectơ mặt phẳng mở rộng vào khơng gian nhằm cung cấp cơng cụ để nghiên cứu quan hệ vng góc khơng gian Cơng cụ vectơ tiếp tục sử dụng làm sở để đưa vào phương pháp tọa độ khơng gian chương trình hình học 12 Ngồi mục tiêu chương trình “Giới thiệu cho học sinh số ứng dụng vật lý Trong vật lý 8, học sinh học cách biểu diễn lực vectơ dừng lại cách biểu diễn Khi có kiến thức vectơ học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức học chương trình THPT.”(SGV hình học 10 trang 22) 1.1.2 Vectơ với tư cách đối tượng sách giáo khoa hành Các khái niệm liên quan đến vectơ trình bày “Chương I Vectơ” SGK hình học 10 Trong chương này, tác giả đưa vào khái niệm vectơ, tổng hiệu hai vectơ, tích vectơ với số, hệ trục tọa độ Chúng tơi phân tích cách đưa vào khái niệm vectơ SGK hình học 10 hành sở so sánh với cách đưa vào khái niệm vectơ SGK thuộc chương trình cải cách giáo dục chương trình chỉnh lí hợp (mà chúng tơi gọi tắt SGK trước năm 2006) Trong tốn học, để định nghĩa khái niệm vectơ hình học người ta định nghĩa qua hệ tiên đề khơng gian vectơ, qua lớp tương đương đoạn thẳng định hướng qua lớp tương đương cặp điểm thứ tự Trong chương trình tốn trung học, khái niệm vectơ thường trình bày theo tư tưởng lớp tương đương đoạn thẳng định hướng lớp tương đương cặp điểm Theo xu hướng này, khái niệm vectơ xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến khái niệm vectơ buộc Trong chương trình hình học trước năm 2006 lựa chọn xây dựng khái niệm vectơ qua khái niệm vectơ buộc theo sơ đồ trình bày: định nghĩa vectơ đoạn thẳng có hướng, sau định nghĩa hai vectơ phương, mơ tả hai vectơ hướng, định nghĩa độ dài (hay mơđun) vectơ, cuối định nghĩa hai vectơ Trong khái niệm vectơ tự đưa vào cách tường minh hay ngầm ẩn Khi nghiên cứu SGK hành chúng tơi thấy khơng có thay đổi việc đưa vào khái niệm vectơ so với SGK trước năm 2006 Đầu tiên SGK định nghĩa: “Vectơ đoạn thẳng có hướng.” (SGK hình học 10 trang.4) Tiếp đến, tác giả đưa vào khái niệm giá vectơ: “Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ đó.” (SGK hình học 10 trang 5) Từ tác giả định nghĩa hai vectơ phương, mơ tả khái niệm hai vectơ hướng, ngược hướng “Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng nhau” (SGK hình học 10 trang 5) B A C D Q R P F S E Hình 1.3 uuur uuur uuur “Trên hình 1.3, hai vectơ AB , CD phương, có hướng từ trái sang phải Ta nói AB uuur uuur uuur CD hai vectơ hướng Hai vectơ PQ RS phương có hướng ngược Ta uuur uuur nói: Hai vectơ PQ RS hai vectơ ngược hướng.” (SGK hình học 10 trang 5) “Nếu hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng” (SGK hình học 10 trang 5) Định nghĩa độ dài vectơ từ định nghĩa hai vectơ nhau: “Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài r r vectơ a kí hiệu | a |.”(SGK hình học 10 trang 7) r r r r “Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài, kí hiệu a = b ”(SGK hình học 10 trang 6) Khái niệm vectơ tự đưa vào ngầm ẩn: r r r r “Vectơ kí hiệu a , b , x , y ,…khi khơng cần rõ điểm đầu điểm cuối nó”(SGK hình học 10, tr.4) r r uuur uuur “… vectơ–khơng Ta kí hiệu vectơ-khơng Như = AA = BB =…” (SGK hình học 10 trang 6) Các phép tốn vectơ định nghĩa vectơ tự Như vậy, SGK hành đưa vào khái niệm vectơ thơng qua khái niệm vectơ buộc Khái niệm vectơ tự khơng trình bày tường minh Theo tác giả: “Vì lí sư phạm định nghĩa vectơ, ta khơng đề cập đến khái niệm vectơ tự Tuy nhiên định nghĩa hai vectơ giáo viên cần hiểu hai vectơ thuộc lớp tương đương sau xây dựng tọa độ vectơ tất vectơ có tọa độ, thơng qua tọa độ ta dùng vectơ tự do” (SGV hình học 10 trang 23) Sau định nghĩa nêu tính chất phép nhân vectơ với số SGK đưa mệnh đề việc phân tích vectơ qua sở: r r r r r “Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích cách r r r theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số h, k cho = x + kb ”(SGK hình học 10 trang 16) Mệnh đề sở để xây dựng khái niệm tọa độ vectơ hệ trục tọa độ vng góc 1.2 Vectơ với tư cách cơng cụ sách giáo khoa hành 1.2.1 Cơng cụ vectơ SGK hình học 10: Cơng cụ vectơ dùng để chứng minh hệ thức lượng tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ mặt phẳng Để đưa vào hệ thức lượng tam giác, trước hết SGK đưa vào khái niệm tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng tích vơ hướng để tính độ dài vectơ, góc hai vectơ, khoảng cách hai điểm Nhờ đó, tác giả chứng minh định lí cơsin, cơng thức độ dài đường trung tuyến tam giác…Trong ứng dụng tích vơ hướng, SGK có đề cập đến ứng dụng vật lý: ur “Trong vật lí, ta biết có lực F tác động lên vật điểm O làm cho vật di ur chuyển qng đường s = OO’ cơng A lực F tính theo cơng thức: ur uuuur ur ur A = F OO ' cos ϕ (hình 2.8) | F | cường độ lực F tính Niutơn (viết tắt N), | ur uuuur uuuur uuuur OO ' | độ dài vectơ OO ' tính mét (m), ϕ góc hai vectơ OO ' F , cơng A tính Jun (viết tắt J) Trong tốn học, giá trị A biểu thức (khơng kể đơn vị đo) gọi tích vơ hướng ur uuuur hai vectơ F OO ' ”(SGK hình học 10 trang 41) Điều cho thấy ý nghĩa vật lý tích vơ hướng hai vectơ Để xây dựng phương pháp tọa độ mặt phẳng, từ chương I tác giả đưa vào kiến thức sở phương pháp tọa độ: khái niệm trục tọa độ hệ trục tọa độ vng góc, tọa độ điểm tọa độ vectơ trục hệ trục Về khái niệm tọa độ vectơ SGK trình bày sau: r uuur r Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA = u gọi A , A2 R R R R hình chiếu vng góc A lên Ox Oy Ta có uuur uuur uuuur uuur r uuuur r OA = OA1 + OA2 cặp số (x;y) để OA1 = xi , OA2 = y j Như r r r r u= xi + y j Cặp số (x;y) gọi tọa độ vectơ u đối r với hệ tọa độ Oxy viết u = ( x; y ) Số thứ x gọi hồnh độ, số r thứ hai gọi tung độ vectơ u ” (SGK hình học 10 trang 23) r u A2 r j r O i A r u A1 Ở cặp số (x; y) phân tích vectơ qua sở Sau đưa khái niệm tọa độ vectơ vectơ biểu diễn thơng qua tọa độ phép tốn vectơ thực tọa độ vectơ Tọa độ điểm định nghĩa sau: M2 M ( x; y ) “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ uuuur vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục đó” (SGK hình học 10 trang 23) r j O ri M1 Việc đưa vào khái niệm tọa độ vectơ, tọa độ điểm sở để xây dựng phương pháp tọa độ mặt phẳng chương III Từ đó, người ta nghiên cứu đường thẳng, đường tròn đường elip Cơng thức tính độ dài đoạn thẳng góc hai đường thẳng suy từ tích vơ hướng hai vectơ Phương trình đường thẳng, cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng xây dựng dựa vào khái niệm vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình đường tròn đường elip thiết lập mà khơng cần có can thiệp trực tiếp vectơ (gián tiếp người ta sử dụng vectơ thơng qua cơng thức tính độ dài đoạn thẳng) 1.2.2 Cơng cụ vectơ SGK hình học 11 Cơng cụ vectơ dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự, chứng minh tính chất phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm phép vị tự Để nghiên cứu quan hệ vng góc khơng gian, SGK đưa vào khái niệm vectơ khơng gian Trong khái niệm vectơ, phép tốn vectơ định nghĩa tương tự mặt phẳng Tiếp theo, tác giả đưa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng Sau đó, SGK xây dựng khái niệm tích vơ hướng hai vectơ khơng gian Từ đó, cơng cụ vectơ dùng để chứng minh hai đường thẳng vng góc điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.2.3 Cơng cụ vectơ SGK hình học 12 Trên sở khái niệm vectơ khơng gian giới thiệu Hình học 11, SGK xây dựng phương pháp tọa độ khơng gian Các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ vectơ, tọa độ điểm hệ trục xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng Các khái niệm phương trình tổng qt mặt phẳng, phương trình tham số đường thẳng, cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng xây dựng dựa vào vectơ thơng qua khái niệm vectơ pháp tuyến mặt phẳng, vectơ phương đường thẳng Ngồi việc xét vị trí tương đối hai mặt phẳng, hai đường thẳng dựa vào kiến thức vectơ 1.3 Các tổ chức tốn học liên quan đến vectơ Như phần phân tích chương trình ra, SGK 11 12 cơng cụ vectơ chủ yếu sử dụng để xây dựng kiến thức phần lý thuyết, đồng thời sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc phần tập SGK hình học 11 Do phần chúng tơi phân tích SGK Hình học 10, 11 nhằm làm rõ vai trò vectơ tổ chức tốn học liên quan đến vectơ Nghiên cứu SGK chúng tơi thấy tổ chức tốn học hình thành từ kiểu nhiệm vụ sau: T1 Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài vectơ) T2 Xác định tọa độ vectơ T3 Chứng minh đẳng thức vectơ T4 Tính tích vơ hướng T5 Phân tích (biểu thị) vectơ qua hai vectơ khơng phương T6 Xác định điểm tập hợp điểm thỏa hệ thức vectơ T7 Chứng minh hai điểm trùng T8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng T9 Chứng minh hai đường thẳng vng góc So với SGK trước năm 2006, SGK hành bỏ kiểu nhiệm vụ: Tìm tỉ số điểm chia đoạn thẳng Chứng minh đường thẳng di động qua điểm cố định Chứng minh đường thẳng đồng quy Dưới chúng tơi làm rõ tổ chức tốn học thiết lập SGK từ kiểu nhiệm vụ Khi phân tích, chúng tơi dừng thành phần cơng nghệ, chúng tổ chức tốn học phận có chung Θ lý thuyết vectơ tập số thực R với phép tốn đại số Tổ chức tốn học gắn với T1 - Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài vectơ) T1 gồm kiểu nhiệm vụ sau : • T 11 : Tìm vectơ phương hướng với vectơ vectơ cho trước R R Ví dụ: Cho lục giác ABCDEF có tâm O B r uuur a) Tìm vectơ khác vectơ phương với OA A uuur b)Tìm vectơ vectơ AB D O Kỹ thuật τ 11 : Dựa vào hình vẽ tính chất hình học R C F R E hình, vectơ phương hướng với vectơ vectơ cho trước Cơng nghệ θ 11 : định nghĩa vectơ, hai vectơ phương, hai vectơ hướng, hai vectơ R R • T 12 : Xác định vectơ tổng vectơ hiệu (vẽ vectơ tổng vectơ hiệu; tính độ dài vectơ tổng R R vectơ hiệu) Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB điểm M nằm A B cho AM > MB Vẽ vectơ uuur uuur uuur uuur MA + MB MA − MB uuur uuur uuur uuur Cho tam giác ABC cạnh a Tìm độ dài vectơ AB + BC AB - BC Kỹ thuật t12 : dựa vào định nghĩa tổng hiệu hai vectơ để vẽ vectơ tổng vectơ hiệu Dựa R R vào tính chất hình học hình để tính độ dài vectơ Cơng nghệ θ 12 : định nghĩa tổng hiệu hai vectơ R R Tổ chức tốn học gắn với T2 - Xác định tọa độ vectơ T2 gồm hai kiểu nhiệm vụ • T 21 : Tìm tọa độ vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị hệ trục tọa độ Đề-cac vng góc R R Ví dụ: Tìm tọa độ vectơ sau: r r a) a = 2i r r b) b = −3 j r r r ur r r c) c= 3i − j d)= d 0, 2i + j Kỹ thuật τ21 : Trong biểu thức cho, xác định hệ số vectơ đơn vị trục Ox, Oy Nếu R R hệ số theo thứ tự x, y tọa độ vectơ cho (x, y) r r r r Cơng nghệ τ21 : u = ( x; y ) ⇔ u = xi + y j R R • T 22 : Tìm tọa độ vectơ thỏa mãn hệ thức vectơ cho trước R R r r r Ví dụ: Cho a = (2;1), b =− (3; 4), c = (−7; 2) r r r r a) Tìm tọa độ vectơ u = 3a + 2b − 4c r r r r r b) Tìm tọa độ vectơ x cho x + a = b − c Kỹ thuật τ22 : Tính tọa độ vectơ cách dùng cơng thức tọa độ vectơ R R r r r r r u + v, u − v, ku r r r r r Cơng nghệ θ 22: định nghĩa tọa độ vectơ, tọa độ vectơ u + v, u − v, ku R R Tổ chức tốn học gắn với T3 - Chứng minh đẳng thức vectơ Kỹ thuật: τ31 : Biến đổi vế thành vế cách dùng quy tắc điểm R R τ32 : Dùng quy tắc ba điểm kết hợp với hệ thức trung điểm hệ thức trọng tâm để R R R R biến đổi vế thành vế biến đổi hai vế vectơ Cơng nghệ θ : R R - Các định nghĩa: vectơ nhau, vectơ-khơng, phép cộng hiệu hai vectơ, phép nhân vectơ với số - Tính chất phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với số - Tính chất tích vơ hướng uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur - Quy tắc điểm:Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN + NP = MP , MN = ON − OM - Hệ thức trung điểm: uur uur r Hệ thức 1: Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = Hệ thức 2:Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có: uuur uuur uuur MA + MB = MI Hệ thức trọng tâm: uuur uuur uuur r Hệ thức 1: Điểm G trung điểm tam giác ABC GA + GB + GC = Hệ thức 2:Nếu G trung điểm tam giác ABC với điểm M ta có: uuur uuur uuur uuuur GA + GB + GC = 3MG Ví dụ: (Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ31 ) Chứng minh với bốn điểm A, B, C, D, ta có: R R uuur uuur uuur uuur AB + CD = AD + CB (Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ32 ) Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD tứ R R uuuur uuur uuur uuur uuur giác ABCD Chứng minh rằng: 2MN = AC + BD = BC + AD Tổ chức tốn học gắn với T4 - Tính tích vơ hướng a) Có hai kiểu nhiệm vụ gắn với T4: T 41 : Cho trước độ dài đoạn thẳng, số đo góc Tính tích vơ hướng R R T 42 : Cho tọa độ vectơ, tính tích vơ hướng R R b) Kỹ thuật giải τ41 : dùng định nghĩa R R τ42 : dùng biểu thức tọa độ tích vơ hướng R R c) Cơng nghệ θ : R R Định nghĩa tích vơ hướng Các tính chất tích vơ hướng d)Ví dụ: (Kiểu nhiệm vụ T 41 , kỹ thuật τ41 ) Cho tam giác vng cân ABC có AB = AC = a Tính tích vơ R R R R uuur uuur uuur uuur hướng AB AC , AC.CB r r (Kiểu nhiệm vụ T 42 , kỹ thuật τ42 ) Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a = (-3;1) b =(2;2), r r tính tích vơ hướng a b R R R R Tổ chức tốn học gắn với T5 - Phân tích (biểu thị) vectơ qua hai vectơ khơng phương a) Hai kiểu nhiệm vụ T5: T 51 : Cho trước hai vectơ khơng phương Hãy biểu thị vectơ khác qua hai vectơ R R T 52 : Cho tọa độ vectơ Hãy biểu thị vectơ qua hai vectơ khơng phương R R b) Kỹ thuật: τ51 : dùng quy tắc ba điểm,hệ thức trung điểm hệ thức trọng tâm để phân tích vectơ R R theo hai vectơ cho trước r r r r r r r τ52 Để phân tích vectơ c theo a b ta tìm số h k cho = c + kb theo a R R r b c) Cơng nghệ θ : R R r r r Mệnh đề: “Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích r r r r r cách theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số h, k cho = x + kb ” Quy tắc ba điểm Nhận xét: “ Hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ nhau” r r r r r Cơng thức tính tọa độ vectơ u + v, u − v, ku Tổ chức tốn học gắn với T6 - Xác định điểm tập hợp điểm thỏa hệ thức vectơ Kỹ thuật τ6 : Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm hệ thức trọng tâm để rút gọn hệ R R thức cho dạng: uuur uuur uuur uuur MA = k AB Vậy M nằm AB cho MA = k AB uuuur uuur AM = BC Vậy M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM uuur uuur r MA + MB = Vậy M trung điểm AB uuuur r AM = Vậy M ≡ A Cơng nghệ θ : R R Định nghĩa: vectơ-khơng, vectơ nhau, Quy tắc ba điểm uur uur r Hệ thức trung điểm: I trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = Tích vectơ với số tính chất Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:”Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k uuur uuur khác để AB = k AC uuur uuur uuuur r Ví dụ: Cho tam giác ABC Tìm điểm M cho MA + MB + 2MC = Tổ chức tốn học gắn với T7: chứng minh hai điểm trùng a) Có hai kiểu nhiệm vụ T7 xem xét SGK: T 71 : Chứng minh đoạn thẳng có trung điểm R R T 72 : Chứng minh hai tam giác có trọng tâm R R b)Kỹ thuật giải: uur r τ71 : Để chứng minh I ≡ I’ ta chứng minh II ' = R R τ72 : Tính tọa độ trọng tâm G G’ tam giác ABC A’B’C’, suy G G’ có tọa độ R R nhau, từ kết luận G ≡ G’ c)Cơng nghệ θ : R R Định nghĩa vectơ-khơng Quy tắc ba điểm Hệ thức trung điểm Hệ thức trọng uuur uuur uuuur r Điều kiện cần đủ để hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm là: AA ' + BB ' + CC ' = Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC: G( x A + xB + xC y A + yB + yC ) ; 3 d)Ví dụ: uuur uuur (Kiểu nhiệm vụ T 72 , kỹ thuật τ71 ) Chứng minh AB = CD trung điểm hai đoạn R R R R thẳng AD BC trùng (Kiểu nhiệm vụ t 72 , kỹ thuật τ71 ) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm R R R R cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm (Kiểu nhiệm vụ t72 , kỹ thuật τ72 ) R R R R Cho điểm A(-4;1), B’(2;4), C’(2;-2) trung điểm cạnh BC, CA AB tam giác ABC Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ trùng Tổ chức tốn học gắn với T8 - chứng minh ba điểm thẳng hàng Kỹ thuật τ8 : Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta làm sau: R R uuur uuur -Phân tích vectơ AB, AC theo hệ vectơ uuur uuur -So sánh rút AB = k AC -Kết luận A, B, C thẳng hàng Cơng nghệ θ : R R Định nghĩa tích vectơ với số Tính chất phép nhân vectơ với số Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho uuur uuur AB = k AC Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn AG K điểm cạch AB cho AK = AB uur uuur uur uuur r uuur r uuur a) Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo = a CA = , b CB b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng Tổ chức tốn học gắn với T9: chứng minh hai đường thẳng vng góc uuur uuur Kỹ thuật τ9 : Để chứng minh AB⊥CD ta chứng minh AB.CD = R R Cơng nghệ θ : R R Định nghĩa tích vơ hướng Các tính chất tích vơ hướng rr r r Chú ý: a.b = ⇔ a ⊥ b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Ví dụ:Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(4;2) Chứng tỏ OA vng góc với AB từ tính diện tích tam giác OAB Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC AB ⊥ BD Gọi P Q trung điểm AB CD Chứng minh AB PQ hai đường thẳng vng góc Thống kê số tập tương ứng với kiểu nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Bài tập Tổng cộng T1 2 T2 T3 10 12 T4 T5 T6 3 T7 3 T8 T9 1 Nhận xét: - Kiểu nhiệm vụ T1 nhằm giúp cho học sinh hiểu khái niệm vectơ, đặc trưng vectơ (phương, hướng, độ dài), vectơ nhau, vectơ đối phép tốn vectơ Các kỹ thuật giải nhiệm vụ kiểu nhiệm vụ rút từ yếu tố cơng nghệ trình bày tường minh phần lý thuyết Trong tất tập vấn đề xác định phương, hướng, độ dài vectơ đặt mối liên hệ với vectơ khác dựa vào tính chất hình học hình SGK có giới thiệu tập ứng dụng phạm vi vật lí liên quan đến việc xác định vectơ tổng hai vectơ ur uuur uuur ur ur uuuur “Cho ba lực F = MA , F = MB F = MC tác động vào vật điểm M vật đứng ur ur ∧ ur n Cho biết cường độ F , F 100N AMB = 600 Tìm cường độ hướng lực F ” (Bài tập 10 SGK Hình học trang 12) - Kiểu nhiệm vụ T2 nhằm mục đích củng cố định nghĩa tọa độ vectơ cơng thức tọa độ r r r r r vectơ u + v, u − v, ku Trong tập thuộc kiểu nhiệm vụ vectơ cho dạng phân tích theo hai vectơ đơn vị hệ trục tọa độ vng góc cho trước tọa độ Khơng có tập cho ngơn ngữ hình học tổng hợp Kỹ thuật để giải đơn giản áp dụng trực tiếp định nghĩa cơng thức - Kiểu nhiệm vụ T3 giúp học sinh rèn luyện kỹ biến đổi hệ thức vectơ thành hệ thức vectơ Tương tự SGK 2000 số lượng tập thuộc kiểu nhiệm vụ nhiều so với kiểu nhiệm vụ khác Điều cho thấy u cầu rèn luyện kỹ biến đổi hệ thức vectơ u cầu trọng tâm Kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ khơng đưa tường minh mà ngầm ẩn qua lời giải ví dụ tập - Mục đích kiểu nhiệm vụ T4 giúp học sinh biết cách vận dụng định nghĩa biểu thức tọa độ để tính tích vơ hướng hai vectơ Kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ đơn giản vận dụng định nghĩa cơng thức để tính Vì phần lý thuyết khơng trình bày cơng thức hình chiếu nên khơng có tập liên quan đến việc sử dụng kỹ thuật để tính tích vơ hướng - Kiểu nhiệm vụ T5 khơng xuất SGK năm 2000 SGK 2000 khơng đưa vào định lí phân tích vectơ qua sở Trong kiểu nhiệm vụ t 51 đề cho dạng ngơn ngữ vectơ, kỹ R R thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp vectơ Trong kiểu nhiệm vụ t 52 đề cho ngơn ngữ R R tọa độ, kỹ thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp tọa độ Các kỹ thuật khơng trình bày tường minh mà ngầm ẩn qua lời giải ví dụ tập Yếu tố cơng nghệ trình bày tường minh SGK - Kiểu nhiệm vụ T6 nhằm mục đích rèn luyện việc chuyển ngơn ngữ từ vectơ sang hình học tổng hợp ngược lại đồng thời rèn luyện kỹ biến đổi hệ thức vectơ Kỹ thuật khơng trình bày tường minh SGK hành mà ngầm ẩn qua lời giải tập - Các kiểu nhiệm vụ từ T7 đến T9 liên quan đến phương diện cơng cụ vectơ Các tập thuộc kiểu nhiệm cụ cho ngơn ngữ tổng hợp, ngơn ngữ vectơ ngơn ngữ tọa độ Nếu đề cho ngơn ngữ tổng hợp ngơn ngữ vectơ kỹ thuật để giải tương ứng dựa vào phép biến đổi vectơ, đề cho ngơn ngữ tọa độ kỹ thuật giải chủ yếu dựa vào cơng thức tọa độ vectơ tọa độ điểm Dựa vào kết thống kê ta thấy số lượng tập liên quan đến phương diện cơng cụ vectơ Điều cho thấy việc sử dụng vectơ để giải tốn khơng xem mục đích quan trọng [...]... hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước R R Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O B r uuur a) Tìm các vectơ khác vectơ 0 và cùng phương với OA A uuur b)Tìm các vectơ bằng vectơ AB D O Kỹ thuật τ 11 : Dựa vào hình vẽ và tính chất hình học của R C F R E hình, chỉ ra các vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước Công nghệ θ 11 : định nghĩa vectơ, hai vectơ cùng... AB - BC Kỹ thuật t12 : dựa vào định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ để vẽ vectơ tổng và vectơ hiệu Dựa R R vào tính chất hình học của hình để tính độ dài của các vectơ này Công nghệ θ 12 : định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ R R Tổ chức toán học gắn với T2 - Xác định tọa độ của vectơ T2 cũng gồm hai kiểu nhiệm vụ con • T 21 : Tìm tọa độ của một vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa... trò của vectơ trong các tổ chức toán học liên quan đến vectơ Nghiên cứu các SGK này chúng tôi thấy các tổ chức toán học được hình thành từ những kiểu nhiệm vụ cơ bản sau: T1 Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ) T2 Xác định tọa độ của vectơ T3 Chứng minh một đẳng thức vectơ T4 Tính tích vô hướng T5 Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương T6 Xác định một điểm... cùng phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng R R nhau • T 12 : Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu (vẽ vectơ tổng hoặc vectơ hiệu; tính độ dài của vectơ tổng R R hoặc vectơ hiệu) Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB Vẽ các vectơ uuur uuur uuur uuur MA + MB và MA − MB uuur uuur uuur uuur Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tìm độ dài của các vectơ AB + BC và AB - BC Kỹ... đồng phẳng và sự phân tích duy nhất của một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng Sau đó, SGK xây dựng khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Từ đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1.2.3 Công cụ vectơ trong SGK hình học 12 Trên cơ sở khái niệm vectơ trong không gian được giới thiệu ở Hình học 11, SGK... về vectơ, các đặc trưng của vectơ (phương, hướng, độ dài), vectơ bằng nhau, vectơ đối và các phép toán vectơ Các kỹ thuật giải quyết các nhiệm vụ của kiểu nhiệm vụ này được rút ra từ yếu tố công nghệ được trình bày tường minh trong phần lý thuyết Trong tất cả các bài tập vấn đề xác định phương, hướng, độ dài của vectơ được đặt trong mối liên hệ với các vectơ khác và dựa vào tính chất hình học của hình. .. của hình SGK có giới thiệu một bài tập ứng dụng trong phạm vi vật lí liên quan đến việc xác định vectơ và tổng của hai vectơ ur uuur uuur ur ur uuuur “Cho ba lực F 1 = MA , F 2 = MB và F 3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng ur ur ∧ ur yên Cho biết cường độ của F 1 , F 2 đều là 100N và AMB = 600 Tìm cường độ và hướng của lực F 3 ” (Bài tập 10 SGK Hình học trang 12) - Kiểu nhiệm vụ... hai vectơ Phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được xây dựng dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng Phương trình đường tròn và đường elip được thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực tiếp của vectơ (gián tiếp thì người ta đã sử dụng vectơ thông qua công thức tính độ dài một đoạn thẳng) 1.2.2 Công cụ vectơ trong SGK hình. .. tích vectơ R R theo hai vectơ cho trước r r r r r r r τ52 Để phân tích vectơ c theo a và b ta tìm các số h và k sao cho = c ha + kb theo a và R R r b c) Công nghệ θ 5 : R R r r r Mệnh đề: “Cho hai vectơ a và b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích r r r r r một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho = x ha + kb ” Quy tắc ba điểm Nhận xét: “ Hai vectơ. .. vectơ u ” (SGK hình học 10 trang 23) r u A2 r j r O i A r u A1 Ở đây sự duy nhất của cặp số (x; y) là do sự phân tích duy nhất của một vectơ qua cơ sở Sau khi đã đưa khái niệm tọa độ của vectơ thì vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó và các phép toán vectơ cũng được thực hiện trên tọa độ các vectơ Tọa độ của điểm được định nghĩa như sau: M2 M ( x; y ) “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M