một nghiên cứu didactic về biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê trong dạy học toán ở phổ thông

Mục tiêu giảng dạy Thống kê mô tả trong chương trình là cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về phương pháp thu gọn và trình bày dữ liệu thống kê thông qua biểu đồ hoặc các tham số

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2011

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã s ố : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2011

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gởi lời cảm ơn đến:

 TS Vũ Như Thư Hương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng như niềm tin trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS

Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy những tri thức quý báu và truyền thụ hứng thú và

niềm say mê đối với chuyên ngành diadactic Toán cho chúng tôi trong suốt quá trình

học tập tại trường

 PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot đã có những góp ý và chỉ dẫn về

luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về didactic Toán

Bên cạnh đó, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến:

 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Đức Tân, huyện Hàm Tân, tỉnh Bình Thuận đã giúp đỡ và tạo mọi thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập cao

học tại trường ĐHSP

 Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 18 đã luôn chia sẽ và giúp đỡ cũng

như động viên tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Lời cuối cùng, xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất, gởi đến gia đình thân yêu của tôi, đã luôn bên cạnh, hổ trợ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Nguyễn Thị Thanh Hoàng

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

M Ở ĐẦU 6

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 6

2 Khung tham chiếu lý thuyết và mục đích nghiên cứu 8

3 Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu 9

4 Phương pháp nghiên cứu - Tổ chức của luận văn 9

Chương 1: NGHIÊN CỨU BIỂU ĐỒ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC 11

1.1 Đặc trưng khoa học luận của tri thức biểu đồ 11

1.1.1 Biểu đồ hình cột 11

1.1.2 Biểu đồ tổ chức 12

1.1.3 Đa giác tần số, tần suất 13

1.1.4 Biểu đồ hình quạt 14

1.2 Mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu 16

1.2.1 Mốt 17

1.2.2 Số trung vị 18

1.2.3 Số trung bình cộng 18

1.2.4 Phương sai, độ lệch chuẩn 21

1.3 Kết luận chương 1 29

Chương 2:NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC 31

TRI TH ỨC BIỂU ĐỒ 31

2.1.BIỂU ĐỒ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 7 31

2.1.1 Phần lý thuyết 31

2.1.2 Phần bài tập 33

2.1.3 Một vài kết luận 38

2.2 Biểu đồ trong chương trình toán lớp 10 39

2.2.1 Phần lý thuyết 42

2.2.2 Phần bài tập 52

2.2.3 Một vài kết luận 61

2.3 Kết luận chương 2 62

CHƯƠNG 3: NGHIÊN C ỨU THỰC NGHIỆM 64

3.1.THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT 64

3.1.1Giới thiệu thực nghiệm 64

3.1.2 Bài toán thực nghiệm 64

3.1.3 Phân tích a priori 66

3.1.3.1 Phân tích câu h ỏi 1 66

3.1.3.2 Phân tích câu h ỏi 2 68

3.1.4 Phân tích a posteriori 71

3.1.4.1 Phân tích câu h ỏi 1 (kiểm chứng R1) 71

3.1.4.2 Phân tích câu h ỏi 2 (kiểm chứng R2) 73

3.1.5 Một vài kết luận 75

3.2 THỰC NGHIỆM THỨ HAI 76

3.2.1 Mục đích 76

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 77

3.2.2.1 Gi ới thiệu thực nghiệm 77

3.2.2.2 Dàn d ựng kịch bản 77

3.2.3 Phân tích apriori 85

3.2.3.1 Phân tích các bi ến 85

3.2.3.2 Phân tích các chi ến lược và những cái có thể quan sát được 89

3.2.4 Phân tích a posteriori 97

3.3 Kết luận chương 3 109

K ẾT LUẬN 111

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 113

PH Ụ LỤC 115

M Ở ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong sách giáo khoa mới hiện hành tại Việt Nam, một số kiến thức Thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy một cách có hệ thống trong chương trình Toán ở phổ thông, bao

gồm ba nội dung chính sau:

• Các khái niệm cơ bản của Thống kê mô tả

• Các phương pháp biểu diễn dữ liệu thống kê

• Các tham số đặc trưng của mẫu số liệu

Mục tiêu giảng dạy Thống kê mô tả trong chương trình là cung cấp cho học sinh các

kiến thức cơ bản về phương pháp thu gọn và trình bày dữ liệu thống kê thông qua biểu đồ

hoặc các tham số đặc trưng của mẫu số liệu Trong đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến tri

thức biểu đồ, với những ghi nhận ban đầu như sau:

- Biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của các số liệu thống kê “Biểu đồ

dùng hình ảnh, đường nét và màu sắc biểu thị cho mức độ của hiện tượng, thể hiện được khái quát các đặc điểm về cơ cấu, mối liên hệ, so sánh và xu hướng biến động … của hiện tượng, giúp người xem nhanh chóng và dễ dàng tiếp cận vấn đề được trình bày.” (Hà Văn

Sơn (2004), Giáo trình lý thuyết thống kê - Ứng dụng trong quản trị và kinh tế, NXB Thống

kê) Chính vì vậy mà biểu đồ có vai trò quan trọng trong việc dạy học thống kê, nhất là đối

với học sinh bước đầu tiếp cận với nội dung toán học này

- Có nhiều loại biểu đồ dùng biểu diễn dữ liệu thống kê Mỗi loại biểu đồ có đặc trưng riêng về cách thức biểu thị dữ liệu, về đặc điểm của dữ liệu được trình bày, cũng như chúng

có vai trò và ý nghĩa riêng tùy theo mục đích sử dụng của người dùng Do đó, người dùng

cần phải nắm được các đặc trưng của từng loại biểu đồ, để đảm bảo đạt hiệu quả tốt nhất trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê bằng biểu đồ

- Nếu như biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của dữ liệu thống kê, thì các tham số đặc trưng lại là công cụ thu gọn, nó cho biết những thông tin ngắn gọn và khái quát về dữ liệu thống kê Từ bảng dữ liệu thống kê ban đầu, ta có thể tóm tắt và sắp xếp các

số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất Từ đó ta có thể tính được các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, hoặc có thể vẽ biểu đồ biểu diễn dữ liệu Đồng thời, từ biểu đồ ta có

thể khôi phục lại bảng phân bố tần số, tần suất và tính được các tham số đặc trưng Ngoài ra,

qua xem xét một số tài liệu về thống kê, chúng tôi thấy rằng từ biểu đồ ta có thể chỉ ra các tham số đặc trưng của dữ liệu thống kê một cách trực tiếp mà không phải thông qua bảng phân bố tần số, tần suất như trên Như vậy, giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu

số liệu có mối liên hệ với nhau, thể hiện theo sơ đồ sau:

Như vậy, xuất phát từ biểu đồ, ta có hai “con đường” để xác định các tham số đặc trưng của mẫu số liệu:

- Một là từ biểu đồ ta khôi phục bảng phân bố tần số (tần suất) để tính các tham số đặc trưng;

- Hai là đi trực tiếp từ biểu đồ đến các tham số đặc trưng

Tuy nhiên, qua xem xét sách giáo khoa (chương trình mới hiện hành) về nội dung

thống kê, chúng tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày hoàn toàn tách biệt hai tri thức biểu

đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu Điều đó thúc đẩy chúng tôi xem xét đến mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của dữ liệu thống kê, mong muốn tìm hiểu xem chương trình và sách giáo khoa quan tâm như thế nào về mối liên hệ đó?

Xuất phát từ các ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi chọn đề tài này, nghiên cứu về tri

thức biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ở Việt nam, với mong muốn trả lời các câu hỏi xuất phát sau:

• Trong thống kê mô tả, biểu đồ có những đặc trưng gì, có vai trò như thế nào trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê? Biểu đồ và các tham số đặc trưng của

mẫu số liệu liên hệ với nhau như thế nào trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê?

• Biểu đồ được trình bày như thế nào trong nội dung thống kê được đưa vào

giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ở Việt Nam? Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến nhận thức của học sinh về tri thức

biểu đồ trong quá trình học toán thống kê?

2 Khung tham chi ếu lý thuyết và mục đích nghiên cứu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của lý thuyết didactic toán để giải quyết các câu hỏi trên Cụ thể:

Để xem xét tri thức biểu đồ được đưa vào như thế nào trong chương trình dạy học toán phổ thông ở Việt Nam, chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân chủng học Chúng tôi vận

dụng lý thuyết về quan hệ thể chế R (I, O) nhằm xác định mối quan hệ của thể chế dạy học toán ở bậc trung học phổ thông với tri thức biểu đồ, cụ thể: tri thức biểu đồ xuất hiện như

thế nào trong chương trình và sách giáo khoa? Nó được trình bày ra sao và có ý nghĩa gì? Điều này là cơ sở để chúng tôi giải thích các ràng buộc và ảnh hưởng của nó lên quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức này

Quan h ệ thể chế R (I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể

ch ế I có với tri thức O Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, tồn tại ra sao và có vai trò gì, … trong I?

Quan h ệ cá nhân R(X, O) của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua l ại mà X có thể có với O Quan hệ này chỉ rõ cách thức mà cá nhân X biết về đối tượng O: nghỉ

gì v ề O, hiểu về O như thế nào, thao tác và sử dụng O ra sao, …?

Mu ốn nghiên cứu quan hệ cá nhân R(X, O) ta cần đặt nó trong một quan hệ thể chế R(I, O)

nh ất định

Để vạch rõ các đặc trưng của quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với tri thức đồ

thị thống kê, chúng tôi sử dụng khái niệm praxéologie của Bosch M và Chevallard Y (1999)

Theo Chevallard, m ỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, , ,τ θ Θ], trong

đó T là kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật cho phép giải T, θ là công ngh ệ giải thích cho ký thuật τ , còn

Θ là lý thuy ết giải thích cho công nghệ θ M ột praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán h ọc được gọi là một tổ chức toán học

Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ cho phép chúng tôi làm rõ các mối quan hệ R (I, O) của thể chế I với tri thức O và quan hệ R (X, O) mà cá nhân X có được với tri thức O Cụ thể, việc xác định các kiểu nhiệm vụ liên quan đến biểu

đồ cho chúng tôi thấy được vai trò của biểu đồ cũng như mức độ quan tâm của thể chế dành cho tri thức này Các kỹ thuật được sữ dụng cho biết cách thức thao tác và sử dụng biểu đồ Các phân tích trên sẽ giúp chúng tôi hiểu được quan hệ cá nhân mà cá nhân X có được đối

với tri thức biểu đồ, đồng thời cho phép giải thích những ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân

Vi ệc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ

m ối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X có được với tri th ức O

Bên cạnh đó, để làm rõ những ràng buộc của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và

giải thích những ứng xữ của học sinh liên quan đến tri thức biểu đồ, chúng tôi vận dụng lý thuyết hợp đồng didactic

H ợp đồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của học sinh và giáo viên v ề các đối tượng tri thức toán học Thông thường, nó là tập hợp các qui tắc phân chia và

gi ới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng

d ạy

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tôi giải thích các ứng xử của giáo viên

và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hành động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích rõ ràng và chính xác các sự kiện mà ta quan sát được trong quá trình dạy học

3 Câu h ỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

L ựa chọn của thể chế, cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của học sinh về tri thức biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê?

Nh ững quy tắc hợp đồng didactic nào liên quan đến biểu đồ được hình thành trong quá trình d ạy - học?

Việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi trên chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này

4 Phương pháp nghiên cứu - Tổ chức của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và ba chương lớn:

Ph ần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu và các câu hỏi xuất phát, khung tham

chiếu lí thuyết, phần trình bày câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Chương 1: Nghiên cứu biểu đồ ở cấp độ tri thức khoa học

Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích và tổng hợp các kết quả từ một số công trình nghiên cứu đã được công bố, các giáo trình lý thuyết thống kê sử dụng ở bậc đại

học trong và ngoài nước, nhằm chỉ ra một số yếu tố về đặc trưng khoa học luận của tri thức

biểu đồ Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ được tìm thấy trong các tài liệu trên cho phép chúng tôi làm rõ vai trò và ý nghĩa của biểu đồ trong việc

biểu diễn dữ liệu thống kê, đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu Các kết quả có được trong chương này là cơ sở để chúng tôi tham chiếu khi phân tích về tri thức biểu đồ trong thể chế dạy học toán phổ thông ở Việt Nam

Chương 2: Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học tri thức biểu đồ

Trong chương này, chúng tôi thực hiện phân tích thể chế, bằng cách phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên, tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế và phân tích ảnh hưởng của nó lên quá trình dạy học Phân tích sâu sách giáo khoa, chúng tôi nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức biểu đồ, xem xét các kiểu nhiệm vụ liên quan đến chúng, những kỹ thuật nào được sử dụng, kỹ thuật nào được ưu tiên, đồng thời chỉ ra các quy tắc hợp đồng didactic hình thành trong quá trình dạy học đối với tri thức này Tổng

hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả thuyết nghiên cứu

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Việc tiến hành thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết nêu ra Chúng tôi dự kiến sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh trung học phổ thông, sau khi

học xong nội dung thống kê trong chương trình toán lớp 10 Việc hợp thức các giả thuyết nêu ra sẽ cho phép chúng tôi làm rõ được phần nào quan hệ cá nhân của học sinh với tri

thức biểu đồ Chúng tôi dự kiến thực hiện hai thực nghiệm:

Thực nghiệm thứ nhất: kiểm chứng các giả thuyết nêu ra liên quan đến các hợp đồng didactic rút ra được trong chương 2

Thực nghiệm thứ hai: Nếu kết quả thực nghiệm thứ nhất cho phép chúng tôi hợp thức

giả thuyết nghiên cứu nêu ra, chúng tôi sẽ thực hiện thực nghiệm thứ hai, nhằm mục đích hình thành mối liên hệ giữa biểu đồ biểu diễn dữ liệu thống kê và tham số đặc trưng của

mẫu số liệu, cụ thể chúng tôi lựa chọn số trung bình cộng

Phần kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Chương 1: NGHIÊN CỨU BIỂU ĐỒ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Trong chương này, chúng tôi xem xét tri thức biểu đồ ở cấp độ tri thức khoa học,

nhằm mục đích chỉ ra được các đặc trưng của mỗi dạng biểu đồ, vai trò, mục đích và ưu thế

của từng dạng trong việc biểu diễn dữ liệu thống kê Đồng thời, chúng tôi tìm hiểu, phân tích và chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ với các giá trị tham số đặc trưng của mẫu số liệu Các

kết quả có được sẽ là cơ sở để chúng tôi tham chiếu khi tiến hành phân tích tri thức biểu đồ trong chương trình và sách giáo khoa toán hiện hành bậc trung học ở Việt Nam

1.1 Đặc trưng khoa học luận của tri thức biểu đồ

Trong phần này, chúng tôi sử dụng kết quả phân tích khoa học luận về tri thức biểu

đồ trong tài liệu sau:

[A] Tăng Minh Dũng (2009), Dạy học thống kê và vấn đề đào tạo giáo viên, luận văn

thạc sĩ giáo dục học

Những kết quả này tác giả đạt được khi tiến hành phân tích đặc trưng khoa học luận

về tri thức biểu đồ từ các tài liệu sau:

- Dodge Y (2006), Premiers pas en statistique, Springer

- Freedman D., Pisani R., Purves R (1988), Statistics, W W Norton &

cột, biểu đồ tổ chức, đa giác tần số, tần suất và biểu đồ hình quạt

Chúng tôi tóm tắt các kết quả chính sau đây của tác giả Tăng Minh Dũng

1.1.1 Bi ểu đồ hình cột

Biểu đồ hình cột được sử dụng để biểu diễn dữ liệu thống kê trong trường hợp biến

thống kê là biến định tính hoặc biến định lượng rời rạc

([A], trang 14)

Để vẽ biểu đồ hình cột, người ta dựng các cột hình chữ nhật theo chiều đứng hoặc chiều ngang trên cùng một trục biểu diễn các giá trị khác nhau của biến đang xem xét Chiều cao (hoặc chiều dài) của cột thể hiện số lượng phần tử của giá trị tương ứng mà cột biểu

Chiều cao của các hình chữ nhật được xác định bằng cách chia giá trị tần suất cho độ

rộng của lớp ghép Do đó, trục đứng trong biểu đồ tổ chức không phải là thang đo theo đơn

vị chiều cao, mà mang một ý nghĩa hoàn toàn khác: thang mật độ

Thu nhập (nghìn đô-la)

Bi ểu đồ tổ chức thu nhập bình quân gia đình nước Mỹ năm 1973

([A], trang 18)

Như vậy, về hình thức, biểu đồ tổ chức và biểu đồ hình cột đều biểu diễn dữ liệu

bằng các hình chữ nhật Tuy nhiên, có sự khác biệt về mặt bản chất giữa hai dạng đồ thị

thống kê này Biểu đồ tổ chức biểu diễn các giá trị tần suất thông qua diện tích của các hình

chữ nhật, chứ không phải qua chiều cao như trong biểu đồ hình cột

Trong trường hợp các lớp ghép có độ rộng bằng nhau, chiều cao của các hình chữ

nhật sẽ tỉ lệ với tần suất của các lớp ghép Điều này dễ dẫn đến sự nhầm lẫn về đặc trưng

của biểu đồ tổ chức và biểu đồ hình cột

1.1.3 Đa giác tần số, tần suất

Đa giác tần số-tần suất dùng biểu diễn dữ liệu thống kê trong trường hợp biến thống

kê là biến định lượng liên tục, hoặc là biến rời rạc (có nhiều giá trị khác nhau) được ghép

lớp đều nhau, nghĩa là các lớp ghép có độ rộng bằng nhau Nó có dạng đường gấp khúc và thường được bổ sung vào biểu đồ tổ chức, với mục đích xem xét sự tiến triển của các số liệu

thống kê

([A], trang 22

Để vẽ đa giác tần số-tần suất, người ta dựng các điểm có “tọa độ” (c i ; n i) (hoặc (c i ;

f i)), với c i là tâm của lớp ghép C i và n i (f i ) là t ần số (tần suất) của lớp ghép C i (i=1,2, ,n)

Đặc biệt, người ta bổ sung thêm hai lớp ghép “tưởng tượng” với độ rộng bằng độ rộng của các lớp ghép đã có là C 0 vào trước lớp ghép C 1 và C n+1 vào sau lớp ghép C n, rồi xác định

thêm hai điểm (c 0 ;0) và (c n+1 ;0) Sau đó, nối các điểm trên với nhau bằng các đoạn thẳng

tạo thành đường gấp khúc, đó là đa giác tần số, tần suất

Trong trường hợp đã có biểu đồ tổ chức, thì đa giác tần số-tần suất được dựng bằng cách nối các trung điểm các cạnh trên của các cột hình chữ nhật, đồng thời cũng bổ sung hai

trung điểm của hai lớp ghép “tưởng tượng” như trên

Đường gấp khúc xây dựng như trên tạo với trục ngang (trục biểu diễn giá trị của

biến) một miền đa giác khép kín Do đặc điểm các lớp ghép có độ rộng bằng nhau nên diện tích miền đa giác giới hạn này tỉ lệ với tổng tần số (tần suất) các giá trị của biến biến thống

kê đang xem xét

Hình ảnh đường gấp khúc của đa giác tần số-tần suất tạo ưu thế cho người đọc xem xét sự tiến triển của tần số, tần suất của các lớp ghép, đồng thời, nó cũng cho phép dự đoán được hình dáng của đồ thị hàm mật độ lý thuyết của biến thống kê

1.1.4 Bi ểu đồ hình quạt

Biểu đồ hình quạt được sử dụng trong trường hợp biểu diễn bảng phân bố tần suất,

thể hiện sự phân bố của các thành phần trong một tổng thể

Bi ểu đồ thể hiện chất lượng nghiệp vụ của một nhóm nhân viên ([A], trang 16)

Một hình tròn biểu diễn cho một tổng thể Người ta chia hình tròn thành các hình

quạt từ tâm, mỗi hình quạt biểu diễn cho một giá trị khác nhau của biến đang xem xét, có

diện tích tỉ lệ với tần suất của giá trị đó

Để xây dựng biểu đồ hình quạt, người ta phải chuyển đổi tần suất của mỗi thành phần thành tỉ lệ của hình quạt so với toàn bộ hình tròn, bằng cách tính góc ở tâm của hình quạt theo công thức: 0

- Trường hợp các số liệu thống kê có sự chênh lệch thấp, biểu đồ hình quạt không

tạo thuận lợi cho việc quan sát và so sánh mức độ phổ biến giữa các giá trị của

biến thống kê

- Trường hợp biến thống kê đang xem xét có nhiều hơn 5 hay 6 giá trị khác nhau thì ta nên xem xét đến một loại đồ thị thống kê khác có khả năng biểu diễn tốt hơn là sử dụng biểu đồ hình quạt

Tóm lại, mỗi dạng đồ thị thống kê có những đặc trưng riêng về cách thức biểu thị dữ

liệu, đặc điểm của dữ liệu cũng như ưu thế riêng về mục đích sử dụng, được tóm tắt trong

bảng sau:

Đặc trưng của các dạng đồ thị thống kê

Đồ thị

th ống kê

Tình hu ống sửdụng Đặc trưng Đặc điểm của dãy

rạc

-So sánh sự phổ biến của các dữ liệu khác nhau trong dãy

Chiều cao (hoặc chiều dài) cột

-Mô tả cấu trúc thành

phần (cơ cấu) của dữ liệu -So sánh tỉ trọng giữa các thành phần

Diện tích hình quạt biểu diễn

có rất nhiều giá trị khác nhau) được ghép lớp

-Xem xét phân bố dữ liệu -So sánh hai dãy số liệu -Dự đoán đường cong hàm mật độ lý thuyết

có rất nhiều giá trị khác nhau) được ghép lớp, các các lớp ghép có độ rộng

Đường gấp khúc (bổ sung cho

biểu đồ tổ chức) nối trung điểm của các đoạn thẳng giới

hạn phía trên biểu đồ tổ chức

Diện tích giới hạn bên dưới đường gấp khúc tỉ lệ với tổng

số quan sát

(Bảng 1.5, [A], trang 23)

1.2 M ối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu

Trong phần này, chúng tôi tìm hiểu, phân tích và chỉ ra mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, cụ thể là xem xét trên biểu đồ, các tham số đặc trưng

của mẫu số liệu thể hiện như thế nào và dựa vào biểu ta có thể “đọc” các tham số đặc trưng

của mẫu số liệu như thế nào? Tương tự như đối với biểu đồ, chúng tôi chỉ quan tâm đến các tham số xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa toán bậc phổ thông ở Việt Nam, cụ

thể:

- Các tham số định tâm gồm: mốt, số trung vị, số trung bình cộng

- Các tham số đo độ phân tán gồm: phương sai, độ lệch chuẩn

Trong các phân tích ở mục này, chúng tôi sử dụng các tài liệu sau:

[B] Freedman D., Pisani R., Purves R (1988), Statistics, W W Norton & Company,

Inc

[C] David A Kenny (1987), Statistics for the social and behavioral sciences, Little,

Brown Company (Canada) Limited

1.2.1 M ốt

Mốt được định nghĩa là giá trị có tần số lớn nhất

“M ốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong bảng số liệu” ([C], trang 43)

Như vậy, để xác định mốt, ta lập bảng phân bố tần số (tần suất) và xác định giá trị có

tần số (tần suất) lớn nhất

Về mối liên hệ giữa biểu đồ và mốt, chúng tôi tìm thấy trong [C] chỉ ra:

“Trên đồ thị biểu diễn sự phân bố của dãy số liệu, mốt là giá trị tương ứng với điểm cao nh ất (đỉnh) của đồ thị.”

([C], trang 44)

Như vậy, khi biểu diễn dữ liệu thống kê bằng biểu đồ, ta có thể quan sát được hình ảnh của mốt, cụ thể:

- Trên biểu đồ hình cột, mốt là giá trị tương ứng với cột cao (dài) nhất

- Trên biểu đồ tổ chức, mốt là giá trị tương ứng với hình chữ nhật có diện tích lớn

1.2.2 S ố trung vị

Số trung vị được định nghĩa:

“S ố trung vị là giá trị chia mẫu số liệu thành hai nữa, 50% dữ liệu nằm dưới trung

v ị và 50% dữ liệu nằm trên trung vị.” ([C], trang 44)

Để xác định số trung vị, ta cần xếp mẫu số liệu thành một dãy các giá trị rời nhau theo một thứ tự nhất định (không giảm hoặc không tăng) Khi đó, số trung vị là giá trị nằm

giữa dãy số liệu

“S ố trung vị được xác định theo các bước sau:

- X ếp các số liệu thành một dãy thứ tự

- S ố trung vị là giá trị của số liệu ở chính giữa dãy

+ N ếu n (kích thước mẫu) là số lẻ thì số trung vị là giá trị thứ (n+1)/2

+ N ếu n là số chẳn thì số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ (n/2) và thứ (n/2 +1) Nghĩa là số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa dãy.” ([C], trang 48)

Về mối liên hệ giữa biểu đồ và số trung vị, chúng tôi tìm thấy trong [D] trình bày như sau:

“Trên bi ểu đồ, số trung vị có thể được biểu thị bằng đường thẳng chia biểu đồ thành hai n ữa có diện tích bằng nhau” ([C], trang 44)

Số trung bình cộng được định nghĩa là trung bình cộng của tất cả các số liệu thống

kê, và được kí hiệu là x

“S ố trung bình cộng được tính bằng tổng của tất cả các số liệu chia cho số lượng quan sát – kích thước mẫu: x x

n

=∑ ” ([C], trang 45) Trong trường hợp dữ liệu được biểu diễn bằng bảng phân bố tần số, số trung bình

cộng được tính như sau:

- “ Nhân giá tr ị x với tần số tương ứng

- C ộng các kết quả tích có được ở trên

- Chia t ổng cho kích thước mẫu” ([C], trang 50)

Trong trường hợp số liệu được ghép lớp, người ta sử dụng giá trị đại diện của lớp ghép, đó là “điểm chính giữa” của lớp ghép, tính bằng trung bình cộng của hai giá trị đầu mút của lớp ghép

“Điểm chính giữa của các lớp ghép có thể được dùng để thay thế cho các giá trị để nhân v ới tần số của lớp ghép” ([C], trang 50)

Về ý nghĩa của số trung bình cộng:

Số trung bình cộng thể hiện mức bình quân mà biến quan sát đạt được, là mức cân

bằng giữa các số liệu

“S ố trung bình cộng là điểm cân bằng của phân phối” ([C], trang 44)

Do đó, khi biểu diễn dữ liệu bằng biểu đồ thì:

“Giá tr ị trung bình biểu thị bằng đường thẳng đi qua trọng tâm của biểu đồ.”

([C], trang 45)

Như vậy, mối liên hệ giữa biểu đồ tổ chức và số trung bình cộng được thể hiện qua vị trí cân bằng trên trục ngang của biểu đồ

Trong trường hợp dữ liệu thống kê có tính chất là dãy đối xứng, lúc đó, biểu đồ tổ

chức có dạng đối xứng qua một trục thì số trung bình cộng là giá trị tại vị trí trục đối xứng

“Xét bi ểu đồ tổ chức của dãy số đối xứng: 1, 2, 2, 3 Khi đó, biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng qua trục tại giá trị 2, đó là số trung bình cộng.”

([B], trang 62)

Trong biểu đồ tổ chức dang xét ở trên, nếu thay đổi giá trị 3 trong dãy số, tăng lên thành 5 hay 7, thì số trung bình cộng của dãy số sẽ thay đổi (tăng lên), lúc đó, vị trí biểu

diễn cho số trung bình cộng sẽ dịch chuyển sang phải

“Hãy tưởng tượng hình chữ nhật tại vị trí giá trị 3 trượt sang phải trên một sợi dây căng, đến vị trí 5 hoặc 7 Khi đó, sự đối xứng của biểu đồ bị phá vỡ, trục cân bằng cũng xê dịch sang phải, tương ứng số trung bình cộng của dãy số cũng sẽ tăng lên.” ([B], trang 62)

(S ố trung Số trung bình cộng được đánh dấu bằng mũi tên)

Quan sát sự thay đổi của số trung bình cộng xét trong ví dụ trên, ta thấy phần có diện tích nhỏ hơn sẽ nằm xa vị trí số trung bình cộng, phần diện tích lớn hơn nằm gần vị trí số trung bình cộng hơn, theo một tỉ lệ khoảng cách nhất định đảm bảo sự “cân bằng” xãy ra ngay tại vị trí số trung bình cộng

“Bi ểu đồ tổ chức cân bằng ngay tại số trung bình cộng.” ([B], trang 64]

([B], trang 63)

Đặc biệt, khi biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì mốt bằng số trung vị và bằng số trung bình cộng, đồng thời đó chính là giá trị tương ứng trên trục ngang tại vị trí trục đối

xứng của biểu đồ

Trong trường hợp biểu đồ tổ chức lệch về phía bên trái, số trung bình cộng lớn hơn

số trung vị và số trung vị lớn hơn mốt

(Mode: m ốt, Median: số trung vị, Mean: số trung bình cộng)

([C], trang 48)

Ngược lại, trong trường hợp biểu đồ tổ chức lệch về phía bên phải, giá trị trung bình

sẽ nhỏ hơn số trung vị và số trung vị nhỏ hơn mốt

(Mode: m ốt, Median: số trung vị, Mean: số trung bình cộng)

([C], trang 48)

1.2.4 Phương sai, độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn là hai tham số được dùng để đo độ phân tán của dãy số

liệu, được tính dựa vào độ lệch của các số liệu so với số trung bình cộng

Tuy nhiên, khi tính độ lệch giữa các số liệu so với số trung bình cộng thì ta có tổng các độ lệch luôn bằng 0 Do đó, thay vì tính trung bình của các độ lệch, người ta tính trung bình của các bình phương độ lệch

“Phương sai, được kí hiệu là s 2

, b ằng tổng bình phương độ lệch của các giá trị so

v ới số trung bình cộng chia cho kích thước mẫu trừ một.”

n ([C], trang 63)

Trong công thức trên, người ta sử dụng kích thước mẫu trừ đi 1 với lý do để đảm bảo phương sai không xác định khi kích thước mẫu bằng 1

“N ếu chia cho kích thước mẫu n thì phương sai luôn bằng 0 trong trường hợp mẫu

s ố liệu bằng 1 Tuy nhiên, nếu mẫu số của công thức tính phương sai là (n – 1) thì phương sai không xác định khi kích thước mẫu bằng 1” ([C], trang 65)

Khi tính phương sai, người ta sử dụng bình phương các độ lệch, do đó, làm bình phương đơn vị của độ lệch Để trở về đơn vị ban đầu, người ta lấy căn bậc hai của phương sai và định nghĩa là độ lệch chuẩn

“Độ lệch chuẩn, ký hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai”

[A, trang 68]

Như vậy, nếu càng nhiều dữ liệu tập trung càng gần “khu vực” giá trị trung bình thì

độ lệch chuẩn của dãy số liệu càng nhỏ và ngược lại Do đó, nếu đỉnh của đồ thị càng cao và

độ dốc của đồ thị càng lớn thì độ lệch chuẩn càng nhỏ và ngược lại, nếu đỉnh của đồ thị càng thấp và độ dốc của đồ thị càng thấp thì độ lệch chuẩn càng lớn

Ngoài ra, [B] cũng cung cấp công thức cho phép tính độ lệch chuẩn dựa vào dãy số

liệu:

( )2

x x SD

Tóm lại, giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu có mối liên hệ qua lại

với nhau Mối liên hệ đó cho phép xác định hoặc ước lượng trực tiếp giá trị các tham số trên

biểu đồ, mà không cần phải lập lại bảng tần số, tần suất, tức là không qua bước trung gian là

sử dụng bảng số liệu để tính theo các công thức được cung cấp Tuy nhiên, điều đó có thật

sự được quan tâm hay không? Chúng tôi tiến hành tìm hiểu và phân tích về các tổ chức toán

học liên quan đến biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu để làm rõ điều này

Các tổ chức toán học liên quan đến mối liên hệ giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng

của mẫu số liệu được chúng tôi tìm thấy trong [B] và [C]:

• T t.tv : Tính s ố trung vị của mẫu số liệu

- Kĩ thuật τt tv. 1:

- Xếp các số liệu thành một dãy thứ tự

- Số trung vị là giá trị của số liệu ở chính giữa dãy

+ Nếu n (kích thước mẫu) là số lẻ thì số trung vị là giá trị thứ (n+1)/2

+ Nếu n là số chẳn thì số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ (n/2) và

thứ (n/2 +1)

Y ếu tố công nghệ θt tv. 1: Định nghĩa và cách xác định số trung vị

- Kĩ thuật τt tv. 2: Xác định vị trí đường thẳng chia biểu đồ thành hai nữa có diện tích

bằng nhau Số trung vị là giá trị tương ứng tại vị trí đó Chú ý các trường hợp sau:

- Nếu biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì số trung vị là giá trị tương ứng tại vị trí

trục đối xứng,

- Nếu biểu đồ tổ chức lệch về bên phải (trái) thì số trung vị có xu hướng lệch sang bên phải (trái)

Y ếu tố công nghệ θt tv. 2: Trên biểu đồ, số trung vị biểu thị bằng đường thẳng chia

biểu đồ thành hai nữa có diện tích bằng nhau

• T t.tb : Tính s ố trung bình cộng của mẫu số liệu

- Kĩ thuật τt tb. 1: Tính tổng tất cả các số liệu thống kê và chia cho kích thước mẫu Trường hợp số liệu ghép lớp thì lấy điểm chính giữa lớp ghép làm giá trị đại diện cho

lớp ghép đó

Y ếu tố công nghệ θt tb. 1: Định nghĩa và cách tính số trung bình cộng

- Kĩ thuật τt tb. 2: Xác định (hoặc ước lượng) vị trí cân bằng (trọng tâm) của biểu đồ Khi đó, số trung bình cộng là giá trị tại vị trí cân bằng (đường thẳng đi qua trọng tâm)

Y ếu tố công nghệ θt tb. 2: trên biểu đồ tổ chức, giá trị trung bình là vị trí “cân bằng”

Kĩ thuật τt tb. 2 thường được sử dụng trong trường hợp mẫu số liệu thống kê được trình bày bằng biểu đồ tổ chức, nhất là khi không có đầy đủ số liệu chi tiết trên biểu đồ,

Kĩ thuật này cũng cho thấy mối liên hệ giữa biểu đồ và số trung bình cộng của mẫu

số liệu: từ biểu đồ, ta có thể chỉ ra số trung bình cộng mà không phải sử dụng bảng số liệu

thống kê như trong kĩ thuật τt tb. 1

• T s.tb-tv : So sánh s ố trung bình cộng và số trung vị của mẫu số liệu

- Kĩ thuật τs tb tv. − 1: trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng số liệu, bảng phân bố,

ta thực hiện các bước sau:

- Tính số trung vị theo kĩ thuật τt tv. 1

- Tính số trung bình cộng theo kĩ thuật τt tb. 1

- So sánh số trung bình và số trung vị

Y ếu tố công nghệ θs tb tv. − 1:

- Định nghĩa và cách tính số trung vị và số trung bình cộng

- Phép toán so sánh

- Kĩ thuật τs tb tv. − 2: sử dụng kĩ thuật τt tb. 2 và τt tv. 2 để tính (ước lượng) số trung bình

cộng và số trung vị rồi so sánh Chú ý các trường hợp sau:

- Nếu biểu đồ tổ chức có dạng đối xứng thì số trung vị bằng số trung bình cộng, và

là giá trị ngay tại trục đối xứng đó

- Nếu biểu đồ tổ chức lệch về phía bên trái, số trung vị nhỏ hơn số trung bình cộng, ngược lại, nếu biểu đồ tổ chức lệch về phía bên phải, số trung vị lớn hơn số trung bình cộng

Y ếu tố công nghệ θs tb tv. − 2: tính chất và mối liên hệ giữa số trung vị, số trung bình

cộng và biểu đồ tổ chức

Kĩ thuật τs tb tv. − 2 được sử dụng trong trường hợp mẫu số liệu được biểu diễn bằng biểu

đồ, nhất là trong các trường hợp không có thông tin chi tiết về các số liệu

- ( )2

i

x x SD

n

−

= , với n là kích thước mẫu

Y ếu tố công nghệ θt SD. 1: định nghĩa và cách tính độ lệch chuẩn

Ví d ụ: Sau đây là đường vẽ biểu đồ tổ chức của ba dãy số liệu Hãy lựa chọn mỗi biểu đồ với

m ột trong các mô tả sau:

• T s.SD : so sánh độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu

-K ỹ thuật τs SD. 1: tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu theo kĩ thuật τt SD. 1 rồi so sánh

Y ếu tố công nghệ θs SD. 1: cách tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu và phép toán so sánh

-K ỹ thuật τs SD. 2:

So sánh độ lệch chuẩn dựa vào hình dáng biểu đồ tổ chức: nếu đỉnh của đồ thị càng cao

và độ dốc của đồ thị càng lớn thì độ lệch chuẩn càng nhỏ và ngược lại, nếu đỉnh của đồ thị càng

thấp và độ dốc của đồ thị càng thấp thì độ lệch chuẩn càng lớn

Y ếu tố công nghệ θs SD. 2: ý nghĩa của độ lệch chuẩn và biểu thị của nó trên biểu đồ tổ

chức

Kĩ thuật τs SD. 2 sử dụng trong trường hợp cần ước lượng để so sánh độ lệch chuẩn của hai

mẫu số liệu dựa vào biểu đồ tổ chức, khi không có thông tin chi tiết và đầy đủ về số liệu thống

kê, ví dụ:

Sau đây là phát họa biểu đồ tổ chức của ba dãy số liệu […]

d Độ lệch chuẩn (SD) của biểu đồ tổ chức (i) nhỏ hơn độ lệch chuẩn (SD) của biểu đồ

t ổ chức (iii), đúng hay sai, giải thích?

- Hãy v ẽ biểu đồ tổ chức minh họa cho các trường hợp sau:

a Giá tr ị trung bình lớn hơn mốt

b Giá tr ị trung bình nhỏ hơn trung vị

c Số trung vị nhỏ hơn mốt

d Có hai giá trị mốt ([C], trang 54)

Kĩ thuật τm hd. :

- Nếu mốt bằng số trung vị và bằng giá trị trung bình thì biểu đồ tổ chức có dạng đối

xứng, khi đó mốt, số trung vị, giá trị trung bình là giá trị ngay tại vị trí trục đối xứng

- Nếu giá trị trung bình lớn hơn số trung vị và số trung vị lớn hơn mốt thì biểu đồ tổ

chức lệch về phía bên trái

- Nếu giá trị trung bình sẽ nhỏ hơn số trung vị và số trung vị nhỏ hơn mốt thì biểu đồ

tổ chức lệch về phía bên phải

Y ếu tố công nghệ θm hd. : tính chất của mốt, số trung vị và giá trị trung bình trên biểu đồ

tổ chức

Chúng tôi không tìm thấy kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mốt của mẫu số liệu Tuy nhiên, có thể thấy mốt là giá trị tham số dễ nhìn thấy và xác định được trên biểu đồ so với các tham số khác Các tổ chức toán học liên quan đến việc tìm hay ước lượng, so sánh số trung vị,

số trung bình, độ lệch chuẩn trên biểu đồ (cụ thể là biểu đồ tổ chức) tạo điều kiện cho ta thấy rõ

hơn mối liên hệ qua lại giữa biểu đồ và các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, đồng thời cho phép hiểu sâu hơn định nghĩa cũng như thấy được ý nghĩa của các tham số đó

1.3 K ết luận chương 1

- Biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của các giá trị của biến Mỗi loại biểu

đồ có những đặc trưng riêng về cách thức biểu diễn dữ liệu, về đặc điểm của mẫu số liệu

và về mục đích sử dụng Biểu đồ hình cột biểu diễn dữ liệu của biến định tính và định lượng rời rạc, có ưu thế trong việc so sánh mức độ phổ biến giữa các giá trị của biến;

Biểu đồ hình quạt cho một hình ảnh về tỉ lệ của các thành phần trong một tổng thể; Biểu

đồ tổ chức và đa giác tần số, tần suất dùng biểu diễn dữ liệu trong trường hợp dữ liệu ghép lớp, nó cũng cho phép người dùng xem xét sự phân bố của dữ liệu, sự tiến triển của hàm mật độ, và dự đoán đường cong hàm mật độ lý thuyết Như vậy, việc biểu diễn dữ

liệu bằng biểu đồ sẽ mang lại hiệu quả tốt nếu như ta lựa chọn được loại biểu đồ thích

hợp với đặc điểm của dữ liệu và mục đích của việc biểu diễn Do đó, việc nắm rõ các đặc trưng cũng như ưu thế của từng loại biểu đồ là điều quan trọng và cần thiết đối với

người sử dụng

- Nếu như biểu đồ cho một hình ảnh trực quan về sự phân bố của mẫu số liệu, thì các tham số đặc trưng lại là một công cụ thu gọn mẫu số liệu thống kê, cho biết những thông tin ngắn gọn và khái quát về mẫu số liệu Giữa biểu đồ và các số đặc trưng của mẫu số

liệu có mối liên hệ với nhau, được xây dựng dựa trên định nghĩa, ý nghĩa của các tham

số đó và cách thức biểu thị dữ liệu của biểu đồ Xét sơ đồ biểu thị mối liên hệ giữa các công cụ biểu diễn, tóm tắt dữ liệu thống kê như sau:

Sơ đồ trên cho thấy: giữa bảng phân bố tần số (tần suất) và biểu đồ có mối quan hệ hai chiều, tức là từ bảng phân bố tần số, ta vẽ được biểu đồ và ngược lại, từ biểu đồ, ta có thể lập

lại bảng phân bố (trong những trường hợp cụ thể) Đồng thời, từ bảng phân bố ta tính được các tham số đặc trưng của mẫu số liệu Như vậy, xuất phát từ biểu đồ, ta có thể tính các tham số đặc trưng của mẫu số liệu bằng con đường trở về bảng phân bố Ngoài ra, giữa biểu đồ và các

tham số đặc trưng của mẫu số liệu lại có mối liên hệ với nhau, đó là liên hệ “từ biểu đồ, chỉ ra các tham số đặc trưng” Do đó, từ biểu đồ, ta cũng có thể tính (hay ước lượng) một cách trực

tiếp các tham số đặc trưng của mẫu số liệu mà không phải thông qua bảng dữ liệu thống kê Điều này đặc biệt có ý nghĩa khi cần xác định, ước lượng, so sánh các tham số hay so sánh các

mẫu dữ liệu với nhau trong trường hợp không có thông tin chi tiết và đầy đủ về số liệu thống

kê

Chương 2:NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC

TRI THỨC BIỂU ĐỒ

Trong chương này, mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán

bậc trung học ở Việt Nam với đối tượng biểu đồ Chúng tôi quan tâm đến thể chế dạy học toán theo chương trình và sách giáo khoa mới hiện hành (được đưa vào giảng dạy từ năm 2000 đối

với lớp 7 và từ năm 2003 đối với lớp 10) Cụ thể, trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập của chương trình toán ở lớp 7 và ở

lớp 10 liên quan đến nội dung thống kê được giảng dạy, chỉ ra được sự lựa chọn của thể chế đối

với tri thức biểu đồ, những ràng buộc và ảnh hưởng của nó lên việc học tri thức biểu đồ ở học sinh

2.1.BI ỂU ĐỒ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 7

Biểu đồ được trình bày trong nội dung một bài học (§3) trong chương III, phần đại số, sách giáo khoa Toán lớp 7, tập hai

Mục tiêu dạy học đặt ra đối với tri thức biểu đồ là học sinh có kĩ năng dựng được biểu

đồ biểu diễn mối liên hệ giữa các giá trị của dấu hiệu và tần số của nó, đồng thời, dựa vào biểu

đồ đó để nhận xét, đánh giá sơ bộ về sự phân bố của dữ liệu

“Lập được bảng tần số, biểu diễn được bằng cột đứng các mối liên hệ nói trên và nhận xét sơ bộ sự phân phối các giá trị của dấu hiệu.”(SGV toán 7, trang 3)

2.1.1 Ph ần lý thuyết

Sách giáo khoa trình bày hai loại biểu đồ: biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình chữ nhật

Mở đầu bài học về biểu đồ, sách giáo khoa trình bày :

“Ngoài b ảng số liệu thống kê ban đầu, bảng “tần số”, người ta còn dùng biểu đồ để cho

m ột hình ảnh cụ thể về giá trị của dấu hiệu và tần số.”

(SGK Toán 7, t ập hai, trang 13)

Như vậy, biểu đồ xuất hiện với vai trò là một hình thức mô tả trực quan mối quan hệ

giữa các giá trị của dấu hiệu và tần số tương ứng Cùng với bảng số liệu thống kê ban đầu, bảng

tần số, biểu đồ là một hình thức biểu diễn các dữ liệu thống kê

Như vậy, sách giáo khoa trình bày tường minh và chi tiết các bước tiến hành dựng biểu

đồ đoạn thẳng với số liệu thống kê cho bằng bảng tần số Ở đây, chúng tôi nhận thấy sách giáo khoa sử dụng hệ trục tọa độ Oxy khi dựng biểu đồ đoạn thẳng Học sinh đọc các giá trị của dấu

hiệu trên trục hoành và tần số của chúng dựa theo chiều cao của các đoạn thẳng tương ứng (giá

trị trên trục tung)

Tuy nhiên, sách giáo khoa không được giải thích gì thêm về hình ảnh các “đoạn thẳng” trong biểu đồ, cụ thể là nó biểu diễn cho cái gì, nó có ý nghĩa gì trên biểu đồ? Điều đó làm chúng tôi tự hỏi rằng, học sinh hiểu như thế nào về hình ảnh các đoạn thẳng trên biểu đồ? Liệu

rằng học sinh có nhận biết được hình ảnh các đoạn thẳng đó biểu diễn cho sự phân bố của các giá trị của dấu hiệu? Hay học sinh chỉ quan tâm đến các số liệu trên biểu đồ, và xem các đoạn

thẳng như là đường nối giúp cho việc quan sát và đọc tần số của các giá trị được dễ dàng hơn?

b) Bi ểu đồ hình chữ nhật:

“? Hãy d ựng biểu đồ đoạn thẳng theo các bước sau:

a) Dựng hệ trục toạ độ, trục hoành biểu diễn các giá

tr ị của x, trục tung biểu diễn tần số n (độ dài đơn vị

trên hai tr ục có thể khác nhau)

b) Xác định các điểm có toạ độ là các cặp số gồm giá

tr ị và tần số của nó: (28;2) ; (30;8) ; )Lưu ý: giá trị

viết trước, tần số viết sau)

c) N ối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng

hoành độ Chẳng hạn điểm (28;2) được nối với điểm

(28;0) ;

Bi ểu đồ vừa dựng là một ví dụ về biểu đồ đoạn thẳng

(h.1).” (SGK Toán 7, tập 2, trang 13)

Biểu đồ hình chữ nhật được giới thiệu trong mục “Chú ý” trong bài:

“… lo ại biểu đồ như hình 2 (các đoạn thẳng được thay bằng các hình chữ nhật, cũng có khi các hình ch ữ nhật được vẽ sát nhau để dễ nhận xét và so sánh), đó là biểu đồ hình

ch ữ nhật”

(SGK toán 7, tập 2, trang 13,14)

Như vậy, biểu đồ hình chữ nhật được trình bày thông qua một hình ảnh minh họa, nó chỉ khác với biểu đồ đoạn thẳng về hình thức, là các đoạn thẳng được thay bằng các hình chữ nhật Sách giáo khoa không trình bày tường minh và chi tiết về cách dựng biểu đồ hình cột và không yêu cầu học sinh biết vẽ loại biểu đồ này Quan sát hình ảnh biểu đồ hình cột, chúng tôi thấy

trục ngang không đảm bảo tỉ lệ của trục tọa độ, trục đứng được chia tỉ lệ tính từ gốc O và biểu

thị cho số lượng phần tử của biến tương ứng với các giá trị biểu diễn trên trục ngang Do đó, đặc trưng biểu đồ hình chữ nhật là chiều cao của các cột thể hiện số lượng phần tử của các giá

trị Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy, các giá trị của dấu hiệu biểu diễn trong biểu đồ hình chữ nhật đều là các giá trị rời rạc Như vậy, biểu đồ hình chữ nhật ở đây chính là biểu đồ hình cột mà chúng tôi trình bày trong chương 1

2.1.2 Ph ần bài tập

Các tổ chức toán học liên quan đến biểu đồ được tìm thấy trong sách giáo khoa và sách bài tập của bộ sách lớp 7:

• T V.ĐT : V ẽ biểu đồ đoạn thẳng

Kĩ thuật τ V.ĐT :

- Lập bảng “tần số” từ bảng bảng số liệu thống kê ban đầu (nếu đã có bảng tần số thì bỏ qua bước này)

- Dựng hệ trục toạ độ, trục hoành biểu diễn các giá trị của x, trục tung biểu diễn tần

số n (độ dài đơn vị trên hai trục có thể khác nhau)

- Xác định các điểm có toạ độ là các cặp số gồm giá trị và tần số của nó: (x;n)

- Nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ

Y ếu tố công nghệ θ V.ĐT : chiều cao của các đoạn thẳng thể hiện số lượng phần tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu

• TĐ.TS : Đọc giá trị tần số từ biểu đồ

Ví dụ:

Hãy quan sát bi ểu đồ ở hình 3 (đơn vị của các cột là triệu người) và trả lời các câu hỏi:

A Năm 1921, số dân của nước ta là bao nhiêu?

(SGK Toán 7, t ập hai, trang 14)

Kĩ thuật τ Đ.TS : đọc các giá trị của dấu hiệu trên trục ngang (trục hoành) và chiều cao của các đoạn thẳng (cột hình chữ nhật) tương ứng là tần số

Y ếu tố công nghệ θ Đ.TS : chiều cao của các đoạn thẳng (cột hình chữ nhật) thể hiện

số lượng phần tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu

• T BTS : L ập bảng “tần số” dựa vào biểu đồ đoạn thẳng

Kĩ thuật τ BTS :

- Xác định tần số của các giá trị theo kỹ thuật τ Đ.TS

- Lập bảng tần số gồm hai dòng: dòng giá trị của dấu hiệu và dòng tần số tương ứng

Y ếu tố công nghệ θ BTS : khái niệm bảng “tần số”

• T NX : Nh ận xét dãy số liệu dựa vào biểu đồ

Kiểu nhiệm vụ này có 2 kiểu nhiệm vụ con:

 T NX.TS : Nh ận xét sự phổ biến của các giá trị

Kĩ thuật τ NX.TS : kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ này không được trình bày tường minh

và rõ ràng, nhưng thông qua các bài tập và lời giải trình bày trong sách giáo viên, có

thể thấy thể chế mong đợi học sinh có thể “đọc” từ biểu đồ đoạn thẳng các dữ kiện sau:

- Số lượng các giá trị khác nhau của dấu hiệu (nhiều, ít, …)

(SGK Toán 7, t ập hai, trang 14)

Kĩ thuật τ NX.SS : đọc các giá trị của dấu hiệu trên trục ngang (trục hoành), số lượng

phần tử của các giá trị là chiều cao của các hình chữ nhật tương ứng và so sánh, tính

độ tăng (giảm) của các giá trị hay số lượng phần tử các các giá trị

Y ếu tố công nghệ θ NX.SS : chiều cao của các hình chữ nhật thể hiện số lượng phần

tử ứng với từng giá trị của dấu hiệu

Thống kê các bài tập sách giáo khoa và sách bài tập, chúng tôi tìm thấy số lượng các

kiểu nhiệm vụ như sau:

Từ kết quả thống kê chúng tôi nhận thấy thấy kiểu nhiệm vụ T V.ĐT chiếm ưu thế hơn

hẳn so với các kiểu nhiệm vụ còn lại Điều này cho thấy thể chế chú trọng vào việc hình thành

và rèn luyện kĩ năng vẽ biểu đồ đoạn thẳng cho học sinh Ngoài ra, chúng tôi nhận xét thấy

kiểu nhiệm vụ này luôn gắn liền với bảng phân bố tần số và biểu đồ được dùng với mục đích

biểu diễn bảng “tần số”

Sự có mặt của kiểu nhiệm vụ T BTS tạo điều kiện cho học sinh nhận thấy mối liên hệ

giữa bảng “tần số” và biểu đồ đoạn thẳng theo chiều ngược lại: từ biểu đồ đoạn thẳng cho trước, ta lập lại bảng “tần số”

Trong bài tập 13 (SGK toán 7, tập hai, trang 15) liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ T Đ.TS

và T NX.SS , chúng tôi thấy một hình ảnh khác về biểu đồ hình chữ nhật:

(SGK toán 7, t ập hai, trang 15)

Trong biểu đồ trên, các cột được dựng trên một trục ngang, không có trục tung của hệ

trục Oxy Chúng tôi nhận thấy không có sự chia tỉ lệ trên trục ngang: khoảng cách giữa các cột đều bằng nhau, trong khi giá trị các năm không cách đều nhau Điều đó theo chúng tôi là sẽ ảnh hưởng đến việc quan sát và đánh giá về sự phân bố của dữ liệu trên biểu đồ Trong trường hợp này, cách biểu diễn như trên cho một hình ảnh không chính xác về mức độ tiến triển của hiện tượng (dân số nước ta) theo thời gian Tuy nhiên, biểu đồ này lại được sử dụng trong kiểu nhiệm vụ TNX.SS

Như vậy, việc so sánh nhận xét về dãy số liệu biểu diễn trên biểu đồ chỉ ở mức độ là đọc

và so sánh thông qua các số liệu ghi trên biểu đồ, chứ chưa có sự kết hợp việc quan sát và nhận

thấy sự biến động của dãy số liệu thông qua “hình ảnh” biểu diễn của dãy số liệu từ biểu đồ

Về đặc điểm của mẫu số liệu, chúng tôi thấy trong tất cả các ví dụ và bài tập liên quan đến biểu đồ, các số liệu thống kê đều là các giá trị số rời rạc Điều này là hợp lý với nội dung

giới hạn của chương trình và sách giáo khoa:

“Ta ch ỉ xem xét, nghiên cứu các dấu hiệu mà giá trị của nó là các số, tuy nhiên, cần lưu

ý r ằng không phải mọi dấu hiệu đều có giá trị là số”(SGK Toán 7, tập hai, trang 7)

2.1.3 M ột vài kết luận

- Có hai loại biểu đồ được đưa vào chương trình, tương ứng với đặc điểm mẫu số liệu của

biến định lượng rời rạc, đó là biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình chữ nhật Đặc trưng

của biểu đồ đoạn thẳng (biểu đồ hình chữ nhật) là chiều cao của các đoạn thẳng (các cột hình chữ nhật) biểu diễn số lượng phần tử ứng với các giá trị của dấu hiệu

- Biểu đồ được đưa vào với mục đích chính là hình thức biểu diễn bảng “tần số” một cách

trực quan Các yêu cầu của kiểu nhiệm vụ TĐ.TS và TNX chỉ dừng lại ở mức độ đọc số

liệu trên biểu đồ Vai trò “hình ảnh” của biểu đồ chưa được khai thác khi cần nhận xét

và đánh giá sự phân bố của dãy số liệu

- Chương trình và sách giáo khoa chú trọng việc hình thành và rèn luyện kĩ năng vẽ biểu

đồ đoạn thẳng, không yêu cầu học sinh biết vẽ biểu đồ hình chữ nhật Điều này cho thấy, sách giáo khoa chưa chỉ ra được ưu thế giữa hai loại biểu đồ trong việc biểu diễn dữ liệu

thống kê, tương ứng với các mục đích sử dụng khác nhau

2.2 Bi ểu đồ trong chương trình toán lớp 10

Chương trình toán lớp 10 dành trọn vẹn chương V trình bày nội dung thống kê mô tả

Về nội dung dạy học thống kê mô tả, sách giáo khoa ôn tập lại các khái niệm cơ bản của

thống kê mô tả đã được học ở chương trình toán lớp 7, đồng thời tiếp tục cung cấp cho học sinh

một số khái niệm mới, như tần suất, bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, biểu đồ tần số (tần

suất) hình cột, đường gấp khúc tần số (tần suất), biểu đồ hình quạt, khái niệm cùng cách xác định số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu

Mục đích dạy học thống kê mô tả được trình bày trong sách giáo viên:

“Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những kiến thức, kĩ năng ban đầu về các phương pháp trình bày các số liệu thống kê, phương pháp thu gọn các số liệu thống kê

nh ờ các số đặc trưng

Góp ph ần giáo dục ý thức và kĩ năng vận dụng thống kê vào cuộc sống.”

(SGV Toán 10, trang 122)

Như vậy, thống kê mô tả được đưa vào trong chương trình dạy học toán ở lớp 10 bao

gồm hai nội dung chính:

- Phương pháp biểu diễn dữ liệu thống kê: biểu diễn dữ liệu bằng bảng phân bố và bằng

biểu đồ

- Phương pháp thu gọn dữ liệu thống kê: dùng các tham số đặc trưng

Về nội dung biểu đồ, chúng tôi thấy sách giáo khoa trình bày 3 loại biểu đồ sau: biểu đồ hình cột, đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt So với lớp 7, chương trình lớp 10 cung cấp thêm nhiều loại biểu đồ dùng cho việc biểu diễn dữ liệu thống kê

Mục tiêu của việc dạy học biểu đồ là:

“Rèn luy ện các kĩ năng cơ bản sau:

Đọc và vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột, đường gấp khúc tần suất, tần số (mô tả bảng

t ần suất, tần số ghép lớp)

Đọc biểu đồ hình quạt”

(SGV Toán 10, trang 127)

Như vậy, chương trình và sách giáo khoa chú trọng đến việc rèn luyện các kĩ năng đọc

và vẽ các loại biểu đồ, với mục đích là mô tả bảng tần số, tần suất ghép lớp

Trước khi học biểu đồ, học sinh được cung cấp các kiến thức về số liệu ghép lớp, lập

bảng phân phối tần số, tần suất ghép lớp Điều bày tương ứng với việc chuyển từ nghiên cứu các biến định tính và biến định lượng nhận các giá trị rời rạc sang việc nghiên cứu các biến định lượng liên tục Tuy nhiên, sách giáo khoa không yêu cầu học sinh biết cách tiến hành phân

lớp dãy giá trị của dấu hiệu, các ví dụ và các bài tập đều cho mẫu số liệu với các lớp được phân trước

“Không yêu c ầu học sinh nhận biết được khi nào phải lập bảng phân bố ghép lớp, cách phân l ớp khi lập loại bảng này”

Hãy l ập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp như sau:

Em hãy l ập bảng phân bố tần số với các lớp ghép sau: [29,5;40,5), [40,5;51,5), [51,5;62,5), [62,5;73,5), [73,5;84,5), [84,5;95,5]” (SGK Đại số 10, trang 113)