một nghiên cứu didactic về dạy và học phân số ở bậc tiểu học lào

* Tính chất cơ bản của phân số Giáo trình đề cập hai tính chất cơ bản của phân số: - “Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được mộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người Hướng Dẫn Khoa Học

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành cảm ơn, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người đã mang lại cho chúng tôi những tri thức, những kinh nghiệm quí báu về tư duy, kiến thức Didactic Toán và hợp đồng Didactic Toán, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành Luận văn đúng thời hạn

Xin chân thành cảm ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Khoa Toán - Tin, Phòng Khoa học công nghệ - sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và làm Luận văn

Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành “ Lý luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán ”

Xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp học Didactic Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh thì giúp đỡ tôi về mọi mặt

Do điều kiện thời gian và năng lực, chắc chắn Luận văn còn nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồng nghiệp góp ý để Luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn

SAYSOPHA VATTHANA

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Khung lý thuyết tham chiếu 2

IV Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG I 3

ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC VIỆT NAM 3 I Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam 3

II Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học 5

1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học 5

2 Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng 20

III Kết luận chương I 25

CHƯƠNG 2 26

ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ 26

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC LÀO 26

I Nội dung sách giáo khoa Lào 26

II Kết luận chương II 44

CHƯƠNG III 45

THỰC NGHIỆM 45

I Mục đích của thực nghiệm 45

II Tổ chức thực nghiệm 45

III Phân tích tiên nghiệm 46

IV Phân tích hậu nghiệm 56

1 Mô tả thực nghiệm 56

2 Phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm 56

V Kết luận chương III 59

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY VÀ

HỌC PHÂN SỐ Ở BẬC TIỂU HỌC LÀO

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Phân số chiếm một vi trí quan trọng trong chương trình toán ở trường tiểu học và là kiến thức không thể thiếu được trong đời sống Tuy nhiên thực tế dạy học chỉ ra rằng, trong các đối tượng tri thức gắn liền với phân số như các phép tính phân số, so sánh phân số luôn đặt ra những khó khăn cho học sinh

sự cần thiết, vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá trình truyện thụ tri thức gắn liền với phân số, phép tính các loại phân số, và như vậy những khó khăn của học sinh trong việc học tập khái niệm này

Ở nước Lào dã có những chiến lược đổi mới chương trình, nội dung giáo dục và phương pháp giảng dạy cho giáo viên Nhưng trong chương trình hiện tại thì chương trình SGK vẫn đang trong giai đoạn triển khai biên soạn và thử nghiệm

Chúng tôi nghĩ rằng việc nghiên cứu về đối tượng phân số đặc biệt là phép tính và so sánh phân số sẽ cho hiểu rõ hơn điều kiện và ràng buộc trên đối tượng này trong thể chế dạy học tiểu học Lào

Vì vậy, việc nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi học về phân số

là điều cần thiết không những giải thích được thực tế dạy học các phân số và cải thiện việc dạy này mà cung cấp những hiểu biết sư phạm về đối tượng này cho nhà soạn chương trình và viết sách, nhất là trong bối cảnh đổi mới sách giáo khoa Lào hiện nay

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài này là nghiên cứu sách giáo khoa bậc tiểu học của nước Lào, về việc giảng dạy và học về phân số, tài liệu hướng dẫn của giáo viên, một số tài liệu khác và quan trọng nhất là thực tế giảng dạy phân số ở bậc tiểu học để trả lời những câu hỏi sau đây:

1 Phân số đã được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán tiểu học ở những lớp nào? Phân số được giới thiệu trong chương trình sách giáo khoa bậc tiểu học như thể nào ?

2 Những sai lầm thường gặp của học sinh Lào khi học về phân số ? Chúng xuất phát từ những nguyên nhân nào ?

3 Làm thể nào để khắp phục những khó khăn đó ?

III Khung lý thuyết tham chiếu

Cơ sở lý luận của luận văn này chủ yếu đựa vào:

 Lý thuyết nhân chủng học

 Hợp động Đidactic

 Lý thuyết tình huống

IV Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:

 Tổng kết về mối quan hệ thế chế với đối tượng phân số đã được nghiên cứu

CHƯƠNG I ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU

HỌC VIỆT NAM

Trong chương này chúng tôi tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của

Dương Hữu Tòng (2012)

I Khái ni ệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam

Giáo trình Đỗ Đình Hoan đề cập các nội dung sau :

Việc xây dựng số mới có dạng a (b 0 )

b= ≠ như trên làm cho các phương trình có dạng b x a b× = ( ≠0) luôn luôn có nghiệm

* Tính chất cơ bản của phân số

Giáo trình đề cập hai tính chất cơ bản của phân số:

- “Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một

số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho”

- “Nếu ta nhân hay chia số bị chia và số chia của một phép chia với cùng một số tự nhiên khác 0 thì giá trị của thương vẫn không thay đổi”

* Rút gọn phân số

Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Rút gọn phân số” được mô hình như sau:

* Qui đồng mẫu số các phân số

Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm bội số, bội số chung, bội

số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Qui đồng mẫu số các phân số” được mô hình như sau:

Chú ý: Việc qui đồng mẫu số các phân số chỉ tiến hành trên các phân số

có mẫu số bé hơn hoặc bằng 10

• So sánh các phân số

• So sánh hai phân số cùng mẫu số

Nhờ phương tiện trực quan, việc so sánh hai phân số được quy về việc

so sánh hai tử số như cách so sánh hai số tự nhiên

* So sánh phân số với 1

Viết số 1 thành phân số có tử số và mẫu số đều bằng mẫu số của phân

số, rồi so sánh hai phân số có cùng mẫu số Nhưng ì tử số của phân số biểu thị

số 1 bằng mẫu số của phân số đã cho, nên việc so sánh phân số với 1 được quy

về so sánh tử số với mẫu số của phân số đã cho

* So sánh hai phân số khác mẫu số

- Hướng giải quyết:

+ Qui đồng mẫu số hai phân số đã cho

+ So sánh hai phân số cùng mẫu số đã qui đồng (so sánh hai tử số)

Từ đó rút ra kết luận về so sánh hai phân số đã cho

Cộng trừ hai phân số

Giáo trình đề cập như sau:

- Cộng hai phân số cùng mẫu số Tổng nhiều phân số cùng mẫu số Tổng của số tự nhiên và phân số, hoặc tổng của phân số và số tự nhiên

- Cộng hai phân số khác mẫu số

- Trừ hai phân số cùng mẫu số, trừ hai phân số khác mẫu số, số tự nhiên trừ đi phân số, phân số trừ đi số tự nhiên

Nhân hai phân số

Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép nhân phân số với số tự nhiên, trên cơ sở đó chuyển thành phép nhân phân số với phân số Chẳng hạn,

4× = × =4 1 4

- So sánh, đối chiếu: tử số của phân số chỉ kết quả của phép nhân với tử

số của hai phân số; mẫu số của phân số chỉ kết quả phép nhân các mẫu số của hai phân số trong các phép nhân

- Nêu kĩ thuật nhân hai phân số: tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số

- Qui tắc này có thể mở rộng cho việc nhân nhiều phân số

Chia hai phân số

Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép chia phân số cho số tự nhiên, trên cơ sở đó chuyển thành phép chia phân số cho phân số Chẳng hạn: 1 3

2 ÷ rồi viết thành 1 3

2 ÷ 1

Bằng phương tiện trực quan, HS nhận thấy rằng: 1 3 1

2÷ =6 Hình thức

hóa: 1 3 1 1 1

2 ÷ = × = 2 3 6 Sau đó, nêu quy tắc tổng quát

* Các tính chất của phép toán trên phân số

Vì tập hợp phân số là sự mở rộng tập hợp số tự nhiên nên mọi tính chất phép toán trên số tự nhiên đều áp dụng được trên phân số Trong SGK, các tính chất này được đưa vào phần luyện tập thực hành Chẳng hạn:

- Tính chất giao hoán của phép cộng, của phép nhân

- Tính chất kết hợp của phép cộng, của phép nhân

- Một tổng nhân một số, một số nhân một tổng

II Khái ni ệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học

1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học

a Cách hình thành khái niệm phân số trong SGK

SGK hình thành khái niệm phân số như sau:

Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần Ta nói: Đã

tô màu vào năm phần sáu hình tròn

Ngoài ra, SGK còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu

số thông qua nhận xét sau: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số” Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang” Chúng ta thấy xuất hiện ở đây một quy tắc (R1) của hợp đồng didactic: Khi tính toán với các phân số, HS không có trách nhiệm kiểm tra mẫu số khác

0, nhưng HS có nhiệm vụ phải đưa ra một kết quả theo yêu cầu của bài toán

Có lẽ cũng vì ảnh hưởng của hợp đồng này mà SG 2006 đưa ra chú ý như sau:

“GV chỉ nên cho HS nhận biết phân số có tử số và mẫu số đều là số tự nhiên, mẫu số phải khác không Chưa nên giải thích gì thêm”

Ngoài ra, SGK còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia của hai

số tự nhiên mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ

TỰ NHIÊN”:

“Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh”

SGK trình bày: 3 4 3

4

÷ = Đến đây, ta thấy được cách giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách

mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ toán học

Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra tình huống như trên có từ thực tiễn cuộc sống Đó là kết quả của những phép chia không hết Chứng tở, trong thực

tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh khái niệm số mới – phân số

Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: Khái niệm phân số ra đời cho phép thực hiện mọi phép chia thông qua nhận xét sau trong SGK: “Thương của phép chia

số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số

bị chia và mẫu số là số chia” Ngầm ẩn sau đó, phân số ra đời còn có một ý nghĩa khác Nó cho phép mọi phương trình đại số dạng a x b× = luôn có nghiệm Thêm ào đó, nhận xét này cho chúng ta thấy một quy tắc (R2) của hợp đồng didactic: Có thể coi dấu gạch ngang của phân số như dấu chỉ phép chia (:)

Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu lên mối quan hệ của một phần tử của tập

N với tập số Q*: “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số

tự nhiên đó à có mẫu số bằng 1” Mối quan hệ sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi thực hiện các phép tính sau này

- Tiếp đó, cần dạy HS tính chất cơ bản của phân số, SGK trình bày chủ đề: phân số bằng nhau Kiến thức này rất cần thiết cho việc học quy đồng mẫu

số các phân số, so sánh hai phân số, làm tính ới các phân số Phân số bằng nhau được tác giả giới thiệu qua mô hình trực quan:

- Chia hai băng giấy bằng nhau Băng giấy thứ nhất được chia thành 4 phần, lấy 3 phần Băng giấy thứ 2 được chia thành 8 phần, lấy 6 phần

số đó” Kết luận này cho HS một quy tắc (R3) ngầm ẩn của hợp đồng didactic:

Để tìm một phân số bằng một phân số đã cho, có thể nhân hay chia tử số à mẫu

số của một phân số đó với cùng một số tự nhiên khác 0 Điều này được thấy rõ qua việc phân bố bài tập trong SGK Có tới 3 bài tập gồm nhiều câu có liên quan đến kết luận trên Có thể nói rằng, nhờ quy tắc này mà HS có được điều kiện thuận lợi để giải quyết các bài tập có liên quan đến dạng toán này

Khác với SGK 2003, SGK hiện hành đưa thêm hai nội dung có liên quan đến phân số là rút gọn và quy đồng mẫu số các phân số

Bên cạnh được học so sánh hai phân số cùng mẫu số, HS cũng được học

so sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số Vì ở

tiểu học, HS chưa được học ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất nên để tìm mẫu số chung ta chỉ việc nhân hai mẫu số với nhau

b Tổ chức toán học liên quan đến khai niệm phân số

Kiểu nhiệm ụ T1: “Tìm phân số bằng phân số đã cho”

SGK đề cập nhiều bài tập có liên quan T Chẳn hạn, câu B bài tập 1 như sau:

2 ;18 3 56; ;3

3 = 8 60 = 32 = 4 4 16 =

* Đặc trưng của nhiệm vụ: phân số mới cần tìm được cho mẫu số hay tử

số

Kĩ thuật 1:

+ Nếu phân số mới cho biết mẫu số, tìm số để mẫu số của phân số thứ nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với mẫu số của phân số thứ hai

Sau đó, nhân (hoặc chia) tử số của phân số thứ nhất với số vừa tìm được

để có được tử số của phần số thứ hai

+ Ngược lại, nếu phân số mới cho biết tử số, tìm số để tử số của phân số thứ nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với tử số của phân số thứ hai

Sau đó, nhân (hoặc chia) mẫu số của phân số thứ nhất với số vừa tìm được để có được mẫu số của phân số thứ hai

Công nghệ θ1: Yếu tố công nghệ của kiểu nhiệm vụ này được để cập tường minh trong SGK ở trang 111:

* Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho

* Nếu chia hết tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho

Kiểu nhiệm vụ T2: “Rút gọn phân số”

Một ví dụ cho kiểu nhiệm vụ được tình bày trong SGK:

Vậy: 18 1

54 = 3

Kĩ thuật 2: được nhắc đến một cách rõ ràng ở trang 113, SGK, như sau: Khi rút gọn phấn số có thể làm như sau:

* Xét xem tử số à mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1

* Chia tử số à mẫu số cho số đó

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản

Công nghệ θ2: Hai phân số bằng nhau

Lý thuyết O2: Yếu tố công nghệ θ1 sẽ là yếu tố lý thuyết để giải thích cho công nghệ θ2

Kiểu nhiệm vụ T3: “Quy đồng mẫu số hai phân số”

Sau đây là đoạn trích trong SGK

Nhận xét: Khi quy đồng mẫu số hai phân số 1 à2

3v 5

* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số 1

3nhân với mẫu số của phân số 2

5

* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số 2

5 nhân với mẫu số của phân số 1

Khi quy đồng mẫu số hai phân số ta có thể làm như sau:

* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai

* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất

Khi một trong hai mẫu số chia hết cho mẫu số còn lại, ta có một kĩ thuật

3b

τ như sau:

Giả sử phân số thứ hai có mẫu số chia hết cho mẫu số của phân số thứ nhất

* Tìm số sao cho mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số đó bằng mẫu

số của phân số thứ hai

* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số vừa tìm được để được phân bố mới có mẫu số phân số thứ hai Giữ nguyên phân số thứ hai

Để hiểu rõ hơn về kĩ thuậtτ3b, chúng tôi xin trích dẫn một ví dụ trong SGK

Ví dụ: Quy đồng hai phân số 7 à 5

6v 12

Ta thấy: mẫu số của phân số 5

12chia hết cho mẫu số của phân số 7

6(12 : 6)

Ta có quy đồng hai phân số 7 à 5

Công nghệθ3: Mẫu số chung của hai phân số, hai phân số bằng nhau

Lý thuyết O3: Phép nhân hai số tự nhiên, tính chất cơ bản của phân số Kiểu nhiệm vụ T4: “So sánh hai phân số”

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số có cùng mẫu số, hai phân số

có cùng tử, hai phân số khác mẫu số

Dựa trên đặc trưng trên, chúng tôi chia thành 3 kiểu nhiệm vụ nhỏ như sau: So sánh hai phân số cũng mẫu số, so sánh hai phân số khác mẫu số, so sánh hai phân số cùng tử số

Kiểu nhiệm ụ T4a: “So sánh hai phân số cùng mẫu số”

Chúng tôi đưa ra một ví dụ trong SGK đại diện cho kiểu nhiệm vụ:

Ví dụ: So sánh hai phân số 2 à3

5v 5

Kĩ thuật τ4a được trình bày tường minh trong SGK như sau:

Muốn so sánh hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần so sánh hai tử số: phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn; phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn; nếu tử

số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau

Công nghệθ4a: được trình bày trong SGK:

Trong hai phân số cùng mẫu số:

* Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn

* Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn

* Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau

Lý thuyết O4a: Cách hình thành khái niệm phân số, so sánh hai số tự nhiên

Kiểu nhiệm ụ T4b: “So sánh hai phân số khác mẫu số”

Một ví dụ đại diện cho kiểu nhiệm vụ này được làm rõ trong SGK:

Nhìn trên hình vẽ ta thấy: phần tô màu chỉ phân số 3

4 nhiều hơn phần tô màu chỉ phân số 2

3, nên 2 3

3 < 4 Công nghệ - lý thuyếtθcd1: phần tô màu chỉ phân số 3

4 nhiều hơn phần tô màu chỉ phân số 2

3, nên 2 3

3<4 Công nghệ - lý thuyếtθcd1: phần tô màu chỉ phân số nào nhiều hơn lớn hơn thì lớn hơn So sánh diện tích của hai hình

* Nhận xét:

Rõ ràng, kĩ thuật này mang đến cho HS tính trực quan cao Tuy nhiên,

kỹ thuật này không cho phép HS giải quyết bài toán có phân số không thực sự à

mẫu số của phân số lớn Thật vậy, khi mẫu số của phân số càng lớn thì học sinh

sẽ gặp khó khăn trong việc chi nhỏ đối tượng Tóm lại, cách giải này có tính trực quan, cho phép dự đoán kết quả,nhưng chưa góp phần giải quyết chung cho mọi cặp phân số khác mẫu số

Kĩ thuật τqdm được phát biểu trong SGK như sau:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh tử số của hai phân số mới

Công nghệ 4b: Quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số

Lý thuyết O4b: Hai phân số bằng nhau, cách hình thành khái niệm phân

số, so sánh số tự nhiên

* Nhận xét:

- Kĩ thuật qđm cho phép HS giải quyết chung bài toán đối với mọi cặp phân số khác mẫu số Đây cũng là cách giải mà SGK mong muốn HS cần nắm vững Kĩ thuật này đòi hỏi phải liên hệ kiến thức đã học trước đó: quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số

- Quá trình HS huy động các kiến thức đã học và có liên quan đến vấn

đề cần giải quyết không chỉ giúp HS làm quen với cách giải quyết một vấn đề của bài học mà còn giúp HS nhận ra sự cần thiết phải chuẩn bị các kiến thức trước đó Đó chính là logic của chương trình SGK Toán 4 Chẳng hạn, để dạy bài: “So sánh hai phân số khác mẫu số” thì phải chuẩn bị trước “Quy đồng mẫu

số hai phân số” và “So sánh hai phân số cùng mẫu số” Đây cũng là

Từ

8

71

7 1 và

Qua đoạn trích trên chúng tôi đề xuất một kỹ thuật τssl khi so sánh hai phân số mà có một phân số lớn hơn 1 và phân số còn lại nhỏ hơn 1

Lý thuyết θssl: Tính chất bắc cầu của tập số Q*

, > <

d

c b

Kiểu nhiệm vụ T4c : “So sánh hai phân số cùng tử số”

Nói chung, kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong phần hình thành kiến thức mới như hai kiểu nhiệm vụ trên Nó chỉ được nhắc đến thông

- So sánh hai mẫu số của hai phân số

- Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn

Công nghệ θqdrđược trình bày dưới dạng in nghiêng trong sách giáo khoa như một ghi nhớ mà học sinh cần thuộc:

Trong hai phân số có tử số bằng nhau, phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó lớn hơn

Nhận xét trên cho thấy một quy tắc (R4) của hợp đồng didactic: Khi so

sánh hai phân số khác mẫu số thì có thể quy đồng tử số của chúng rồi so sánh các mẫu số

Lý thuyết Θqdtta biết tính chất sau: Với a,b,c là các số tự nhiên khác 0 và

a < Yếu tố lý thuyết khá trừu tượng so với

học sinh tiều học Do đó nó khong được nhắc đến trong SGK cũng như SGV

Kiểu nhiệm vụ T5 : “Sắp xếp các dãy phân số theo thứ tự từ bé đến lớn”

Bài tập 3: So sánh hai phân số có cùng tử số:

b) So sánh hai phân số

11

8 và 14

9 và

9

8

; 11

9

Sau đây là một ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ này Nó được trình bày tróng SGK:

* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: các phân số được cho có cùng mẫu số hoặc không cùng mẫu số

* Kỹ thuật τ5:

- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không

- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì sắp xếp các phân số được quy về như là sắp xếp các tử số

-Nếu các phân số không cùng mẫu số thì phải quy đồng mẫu số Sau đó tiếp tục thực hiện như bước 2

* Công nghệ θ5: So sánh hai phân số cùng mẫu số, so sánh hai phân số không cùng mẫu số

* Lý thuyết Θ5: Quan hệ thứ tự của cấp số Q*

Kiểu nhiệm vụ T6: “Cộng hai phân số”

* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ hai phân số được cho có cùng mẫu số hoặc không cùng mẫu số

* Kỹ thuật τ6:

- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không

- Nếu các phân số cùng mẫu số thì ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số

- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân

số đó rồi cộng hai phân số đó

Bài tập 4: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn:

4

3

; 6

5

; 7

5

; 7

4

; 7

6 )

3

2 b) a

Bài tập 1: SGK: Tính

25

7 25

35 8

7 4

5 5

3 3

2 ) + + + d) +

8

3 c) 4

3 b) a

Kỹ thuật τ6được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 126, 127

* Công nghệ θ6: Cộng hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số

* Lý thuyết Θ6: Định nghĩa phép cộng trên tập số Q*

Kiếu nhiệm vụ T7 “Cộng một số tự nhiên với một phân số” hoặc

“Cộng một phân số với một số tự nhiên”

*Kỹ thuật τ7:

- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1

- Sau đó, quy về cộng hai phân số không cùng mẫu số

* Công nghệ θ7: Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số

là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, cộng hai phân số không cùng mẫu số

* Lý thuyết Θ7: Mối quan hệ giữa 1 phân tử thuộc tập N và tập Q*, định nghĩa phép cộng trên tập số Q*

Kiểu nhiệm vụ T8 : “Trừ hai phân số”

* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số được cho có cùng mẫu số hoặc không cùng mẫu số, số bị trừ bao giờ cũng lớn hơn số trừ

*Kỹ thuật τ8:

- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không

- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì ta trừ các tử số với nhau và giữ nguyên mấu số

Bài tập 1: SGK: Tính

2 5

3

2 3

21

12 c) 4

3 b) a

Bài tập 1: SGK: Tính

49

12 5

3 4

3 4

7 ) 16

7 16

15

49

17 d) 5

9 c) b

a

Bài tập 1: SGK {Tr.130}: Tính

5

33

27

88

33

15

4

3

5 d) c)

6

5 b) a

- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân

số, rồi trừ hai phân số đó

Kỹ thuật τ8được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 129,

130

*Công nghệ θ6: trừ hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số

* Lý thuyết Θ6: Định nghĩa phép trừ trên tập số Q*

Kiểu nhiệm vụ T9 : “ Trừ một số tự nhiên cho một phân số” hoặc “ trừ một phân số cho số tự nhiên”

* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ số bị trừ lớn hơn số trừ

*Kỹ thuật τ9được trình bày minh bạch trong sách giáo viên trang 222

*Công nghệ θ9: mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử sồ

là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, trừ hai phân số không cùng mẫu số

* Lý thuyết Θ9: Mối quan hệ giữa 1 phần tử thuộc tập N và tập Q* định nghĩa phép trừ trên tấp số Q*

Kiểu nhiệm vụ T10: “Nhân hai phân số”

*Kỹ thuật τ10được trình bày tường minh trong SGK ở trang 132 Muốn

nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mấu số nhân với mẫu số

*Công nghệ θ10: được trình bày thông qua gợi ý cách giảng dạy cho GV

thông qua đoạn trích sau trong SGK:

- GV gợi ý để HS: Từ phần trên, ta có diện tích hình chữ nhật là:

3 2

12

37 c 3

14 b)5 a

Bài tập 1: SGK Tính

7

1 3

8 2

1 7

6 5

4

8

1 d) x

2

1 c) x

9

2 b) x

a

Giúp HS quan sát hình vẽ và phép tính trên, nhận xét:

* Lý thuyết Θ10: Định nghĩa phép nhân trên tập số Q*

Kiểu nhiệm vụ T11 : “Nhân một số tự nhiên với một phân số”

Bài toán:

Một rổ cam có 12 quả Hỏi 2/3 số cam trong rổ là bao nhiêu quả cam?

* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: số cho ban đầu là một số tự nhiên, không là một phân số

*Kĩ thuật τ 12 được phát biểu tường minh trong SGK: muốn tìm 2/3 của

số 12 ta lấy số 12 nhân với 2/3

Qua nghiên cứu kỹ thuật τ 12 ta thấy kiểu nhiệm vụ T12 liên hệ mật thiết với T11

* Công nghệ θ12: bài toán tìm một trong các phần bằng nhau của một số

* Lý thuyết Θ12: cách hình thành khái niệm phân số, phép nhân trên tập sô Q* Kiểu nhiệm vụ T13 : “Chia hai phân số”

*Kỹ thuật τ13được trình bày tường minh trong SGK ở trang 135 Để

thực hiện phép chia hai phân số lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược

Qua xem xét kỹ thuật τ13ta thấy kiểu nhiệm vụ T13 được quy về kiểu nhiệm vụ T10

Công nghệ θ13: Chúng tôi không tìm thấy yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ thuật trên trong SGK lẫn SGV Do đó chúng tôi mô hình hóa một yếu tố công nghệ θ13bên dưới đây Ví dụ: 3 5: = × =3 8 24

Bài tập 2: SGK.Tính

2

1 : 4

3 : 8

5 : 7

3 )

3

1 c) 7

8 b) a

Có thể giải thích rõ hơn như sau:

* Lý thuyết Θ13: Định nghĩa phép chia trên tập số Q*

Kiểu nhiệm vụ T14 “Chia một số tự nhiên cho một phân số” hoặc

“chia một phân sô cho một số tự nhiên”

*Kỹ thuật τ : 14

- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1

- Sau đó quy về chia hai phân số

*Công nghệ θ14: Mối quan hệ giữa 1 phần tử thuộc tập N và tập Q*, định nghĩa phép chia trên tập số Q*

Kiểu nhiệm vụ T15 “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó”

1 : b)4 a

7

5 : 3 )

Bài tập 2 (Luyện tập chung) SGK TÍnh

4:5

:3

:7

5)

3

2 c) 2

1 b) a

và tỉ số của hai số đó” thì sơ đồ vẽ “số phần bằng nhau của hai số cần tìm” là một phần của lời giải

2 Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng

HS khi có bước chuyển dạy học số tự nhiên sang dạy học khái niệm phân số

Các khó khăn, sai lầm liên quan đến các kiểu nhiệm vụ của phân số và những nguyên nhân có thể

a) Kiểu nhiệm vụ T 1 : “Tìm phân số bằng phân số đã cho”

Ví dụ:

6 3

2 Ο

= HS có thể đưa ra lời giải là 4 HS thường tìm số soa cho

số đó cộng với 3 sẽ bằng 6 (3+□=6) và sau đó cộng tử số với phân số vằ tìm được để có số cần tìm (3+2=5) Hay nói khác đi, để tìm một phân số mà bằng với phân số đã cho các em thường suy luận “cộng” hơn là suy luận “nhân”

b) Kiểu nhiệm vụ T 4 “So sánh hai phân số” và Kiểu nhiệm vụ T5 :

Nói chung, hai kiểu nhiệm vụ này có thể được gọi tắt là sắp thứ tự độ lớn của các phần số Một quan niệm sai lầm của nhiều HS là các phân số có tử

số và mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn

Đôi khi việc so sánh các phân số mà chỉ xem xét đến việc so sánh các mẫu số của các phân số Điều này có thể giải thích được là do HS xem tử số và mẫu số của một phân số như hai số tự nhiên không liên hệ gì nhau

Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

9

2

; 3

2

; 5 2

Câu trả lời có thể của HS là:

9

2

; 5

2

; 3

Ngoài ra chung tôi cũng dự đoán một khó khăn sai lầm khác của các em khi tiếp cận bài tập so sánh các phân số Chẳng hạn, hãy cho 5 số x sao

c)Kiểu nhiệm vụ T 6 : “Cộng hai phân số”

Qua nghiên cứu kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi dự đoán sẽ có nhiều học sinh sẽ tiến hành cộng các phân số bằng cách “ trên cộng trên, dưới cộng dưới” hay theo ngôn ngữ toán học là “tử số cộng tử số, mẫu số cộng mẫu số” ví dụ:

Chúng tôi cũng đề xuất những nguyên nhân có thể có của sai lầm này:

- Học sinh không xem các phân số để biểu diễn số lượng nhưng quan niệm hai phân số bao gồm 4 số tự nhiên có thể được kết hợp lại theo cách này hoặc cách khác Mỗi phân số được xem là hai số tự nhiên ngăn cách bởi một đường gạch ngang (-) Do đó, có lẽ chấp nhận được nếu cộng các tử số với nhau để có tử số của tổng và cộng các mẫu số một cách tương tự

- Học sinh nhầm lẫn quy tắc cộng hai phân số với quy tắc nhân hai phân số Trẻ xem việc ứng dụng mô hình nhân các số tự nhiên dẫn đến thành công trong trường hợp nhân hai phân số Do đó mô hình này có thể áp dụng được khi cộng hai phân số với nhau Hay nói khác đi, các em đã đồng hóa một thuật toán mới thành một thuật toán đã biết hay tương tự đã có trước đó Một số học sinh đã tự thiết kế quy tắc chỉ thích hợp trong một số trường hợp, do đó quy tắc này không được tổng quát hóa Các quy tắc này có nguồn gốc đúng

đắn, nhưng học sinh không hiểu sao chúng không đúng cho mọi trường hợp

- Học sinh xem 4 số tự nhiên trong phép công hai phân số như hai cặp: tử số với tử số, mẫu só với mẫu số Do đó các em tin rằng cách thích hợp

để thực hiện phép cộng là cộng các cặp lại với nhau, tức là: tử số cộng tử số,mẫu số cộng mẫu số Học sinh xem cách làm này tương tự cách cộng với số

tự nhiên

- Có thể tồn tại ở trẻ một quy tắc hành động không đúng đắn:

d b

c a d

c b

a

+

+

= +

d) Kiểu nhiệm vụ T8: “Trừ hai phân số”

Tương tự như trường hợp cộng hai phân số, các em bị ảnh hưởng bởi các phép toán của số tự nhiên khi trừ hai phân số Ngoài ra trẻ cũng có khuynh hướng xử lý các tử số và các mẫu số trong các phân số như các số tự nhiên phân biệt Do đó câu trả lời có thể của các em như sau:

2

3 3

1 5

4 − = Nếu các em thao tác như ví dụ này thì các em thực hiện theo quy tắc không chính xác sau:

Nhứng lời giải có thể có cho ví dụ trên như sau :

53

3 3

1 5

4

; 3

3 3

1 5

4

; 5

3 3

1 5

tử số nhưng phải giữ lại mẫu số của một trong hai phân số hoặc giữ lại cả hai

e)Kiểu nhiệm vụ T 9 : “Trừ một số tự nhiên cho phân số” hoặc “Trừ một phân số cho một số tự nhiên”

Một quan niệm có thể xảy ra ở học sinh khi các em được yêu cầu thực hiện kiểu nhiệm vụ T9 các em tin rằng không thể thực hiện được khi trừ một số

tự nhiên cho một phân số Ví dụ

Nhiều em có thể tỏ ra khó chịu khi thực hiện T9 bỡi lẽ trước đó các em

đã quen với: số tự nhiên trừ số tự nhiên, phân số trừ phân số Trong tâm trí em luôn tự hỏi: sao lại có trường hợp số tự nhiên trừ phân số hay phân số trừ số tự nhiên chứ? Hay nói khác đi, tồn tại một quan niệm ở các em là: “số gì thì trừ số ấy”

f) Kiểu nhiệm vụ T 10 “Nhân hai phân số”

Mô hình thao tác trên các số tự nhiên tuy không cho lời giải đúng khi

cộng, trừ hai phân số nhưng lại đưa đến câu trả lời thích đáng trong trường hợp nhân hai phân số Nói như vậy không đồng nghĩa với việc học sinh sẽ không gặp khó khăn sai lầm khi thực hiện nhân hai phân số

Để dự đoán được điểu này, chúng tôi đưa ra ví dụ và câu trả lời giả định như sau:8 3 7 6 42

7 × = × = 4 8 8 8 Do bị ảnh hưởng của các thao tác khi cộng hay trừ các phân số khác mẫu số học sinh cố gắng biến đổi phân số thứ hai sao cho có cùng mẫu số với phân số thứ nhất trước khi thực hiện phép nhân

Nguyên nhân dẫn đến sai làm như trên là do các em đã vận dụng kỹ thuật của một kiểu nhiệm vụ đã biết vào nhiệm vụ mới không phù hợp Thêm vào đó, các em cũng cố gắng “chế biến” để cho phù hợp các điều kiện mô hình trước đó

Ngoài ra, chúng tôi cũng dự đoán sẽ tồn tại ở các em một quan niệm không chính xác về phép nhân như sau: “Tích luôn luôn lớn hơn các thừa số” Quan niệm này có được là do các em quen với các phép nhân mà trong đó các thừa số là các số tự nhiên Nhưng khi các em làm que với các phép nhân phân

số thì quan niệm trên sẽ là một trở ngại Chẳng hạn 1 1 1

g) Kiểu nhiệm vụ T 12: “Tìm phân số của một số”

Chúng tôi thấy được một quy định ngầm ẩn của SGK có liên quan kiểu nhiệm vụ này là các số mà cần tìm phân số của nó đều là các số tự nhiên Chúng tôi không tìm thấy bất kỳ một bài tập nào mà số này là phân số Chính

vì lẽ đó, chúng tôi dự đoán học sinh sẽ gặp phải khó khăn khi các em tiếp cận với tịnh huống mà số là phân số

Chẳng hạn, tình huống dạy học như sau:

Em có một nữa của cái bánh Em cho bạn ¼ số bánh mà em có Hỏi em

đã cho bạn bao nhiêu phần của cái bánh.?

h)Kiểu nhiệm vụ T 13 : “Chia hai phân số”

Có thể nói trong các phép tính đối với phân số, phép chia hai phân số là phức tạp và khó nhận thức được đối với nhiều học sinh Bởi lẽ các em thường được dạy và phải cố găng học thuộc quy tắc “đảo ngược và nhân” – một điều

mà các em bắt buộc nhớ, mau quên và không rõ được nguyên nhân, quy trình

do đâu mà có

Từ những nhận xét trên, chúng tôi xin trình bày một khó khăn sai lầm

mà học sinh có thể mắc phải như sau:

Ví dụ: Tính

3

1 : 9

2

Lời giải của các em có thể là

3

2 3 : 9

1 : 2 3

1 : 9

2 = =

Những nguyên nhân có thể dẫn các em đến khó khăn sai lầm như trên:

Do các em quen quan niệm mỗi phân số gồm tử số và mẫu số nên khi thực hiện phép chia các em tiến hành “tử số chia tử số, mẫu số chia mẫu số”

- Thêm vào đó các em đã quen với quy trình nhân hai phân số với nhau Vì thế, các em đã vận dụng “quy trình” đó vào chia hai phân số Có thể biết được mô hình này chỉ phù hợp cho phép nhân mà không đúng đắn cho phép cộng, phép trừ, phép chia phân số

- Các em đã hành động theo quy tắc sai lầm:

d b

c a d

c b

a

:

: : =

Một sai lầm khác có thể có trong lời giải của học sinh tiểu học Nhiều học sinh nghĩ rằng phép chia chỉ có tính chất giao hoán trên trả lời:

1 1 : 2

4 2 = bởi vì 1 1: 1 1: 1x4 2

4 2 = 2 4 = 2 1 =

Hay có một lời giải thích khách cho câu trả lời: 2

2

1 : 4

4 2

1 : 4

1

=

= x nói cách khác, khi bài toán có những số liệu không phù hợp mô hình đã biết hay kiến thức cũ học sinh sẽ xử lý bằng cách lựa chọn các phép tính mà các em thường dùng

Bên cạnh đó, có thể tồn tạo ở trẻ quan niệm “Chia một số nhỏ hơn cho một số lớn hơn là không thể thực hiện được” Quan niệm này chỉ phù hợp cho các phép chia các số tự nhiên Lý do giải thích cho quan niệm này là các em đã làm việc quá nhiều với các phép chia có số bị chia lớn hơn số chia ở các khối lớp 1,2,3 Vì lẽ đó quan niệm này vẫn đồng hành cùng với học sinh khi các em tiếp cận với phép chia phân số

Một quan niệm khác cũng tồn tại với quan niệm trên là “thương của phép chia luôn luôn nhỏ hơn số bị chia” Câu trả lời của các em đa số là

“thương lớn hơn số bị chia”.Câu tra lời này chỉ đúng khi cac em làm việc với các số tự nhiên Nhưng nó sẽ là một vấn đề đối với trẻ khi các em thực hiện phép chia phân số

III K ết luận chương I

Việc phân tích mối quan hệ thể của khái niệm phân số ở bậc tiểu học Việt nam đã cho phép tác giả Dương Hữu Tongf (2012) chỉ ra một số kiểu nhiệm vụ và một số ảnh hưởng của số khái niệm số tự nhiên gắn liền với chúng Kết quả phân tích đãcho phép tác giả đặt ra một giả thuyết nghiên cứu sau đây

Việc họcc tập khái niệm số tự nhiên trong một thời gian dài đã ảnh hưởng đến học sinh trong khi học phân số và điề này đã kéo theo cho học sinh một số khó khăn sai lầm khi học phân số

I Nội dung sách giáo khoa Lào

Chúng tôi xin dịch và trích dẫn bài đầu tiên giới thiệu phân số trong SGK Toán 3 của Lào

Bài 43 Phân số

I Hoạt động

1 Phần bôi màu trong hình nào liên quan đến phân số đã cho

1 2

1 3

1 4

1.) Mối hình chia ra mấy phần bằng nhau ?

2.) Mối hình có phần bôi màu mấy phần ?

3.) Phần bôi màu mối hính viết phân số nào ?

3 Hãy quan sát hình dưới đây và trả lời câu hỏi

1.) Mối hình có mấy nhóm ?

2.) Mối hình có mấy nhóm bôi màu đen ?

3.) Nhóm bôi màu đen của mối hình viết bằng phân số nào ?

4 Hãy quan sát hình dưới đây rồi viết phân số cho đúng trên dấu chấm

3 6

5 5

6

Nội dung

Hình này diễn đến phần chia 3 phần bằng nhau Có phần

bôi màu đen 2 phần còn phần có màu đen là 2 trong 3 của hình

2 trong 3 viết bằng 2

3 gọi là hia phần ba

2 gọi là tử số và 3 gọi là mẫu số

Chia dấu chấm 6 nhóm bằng nhau, có nhóm dấu chấm

màu đen 1 nhóm mà bằng 1 trong 6 của tất

cả nhóm

1 trong 6 viết bằng 1

6 ; 1 gọi là tử số và 6 gọi