một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy toán ở trung học phổ thông

Những thắc mắc trên đã thúc đẩy chúng tôi chọn chủ đề: “Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy Toán ở trung học phổ thông” với những câu hỏi xuất phát như sau: - Cấp số nhân được đưa v

Diệp Văn An Lạc

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN

TRONG DẠY TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Diệp Văn An Lạc

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN

TRONG DẠY TOÁN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Vũ Như Thư Hương, người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến,

TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức về Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường ĐHSP

TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Thủ Thiêm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường ĐHSP TP.HCM Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic Toán khóa 21, những người đã cùng tôi học tập, chia sẻ vui buồn và những khó khăn trong khóa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, luôn khuyên, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt

DIỆP VĂN AN LẠC

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát 1

II Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu 1

III Phương pháp nghiên cứu 3

IV Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1: CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC 6

1.1 Khái niệm cấp số nhân 7

1.2 Kết luận 12

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN 14

2.1 Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 15

2.1.1 Khái niệm cấp số nhân trong M1 15

2.1.2 Các tổ chức toán học 23

2.1.3 Kết luận 30

2.2 Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007) 32

2.2.1 Cấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao 32

2.2.1.1 Khái niệm cấp số nhân trong M2 32

2.2.1.2 Các tổ chức toán học 38

2.2.1.3 Kết luận 53

2.2.2 Cấp số nhân trong bộ sách Cơ Bản 55

2.2.2.1 Khái niệm cấp số nhân trong M3 56

2.2.2.2 Các tổ chức toán học 57

2.2.2.3 Kết luận 64

2.2.3 Kết luận 66

2.3 So sánh cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành 68

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 72

3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 72

3.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm 73

3.2.1 Xây dựng bài toán thực nghiệm 73

3.2.2 Phân tích chi tiết bài toán thực nghiệm 75

3.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm 84

3.4 Kết luận 90

KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân

trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 31 Bảng 2.2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân

trong bộ sách Nâng Cao 54 Bảng 2.3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân

trong bộ sách Cơ Bản 65 Bảng 3.1: Thống kê bài làm bài tập 1 của các học sinh 84 Bảng 3.2: Thống kê bài làm bài tập 2 của các học sinh 87-88

MỞ ĐẦU

I Lí do ch ọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một đối tượng chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông Ở bậc trung học phổ thông, chương trình toán lớp

11 hiện hành giới thiệu cho học sinh một loại hàm số mới, đó là dãy số Thực tế giảng dạy cho thấy gắn liền với đối tượng dãy số, học sinh luôn được giới thiệu về đối tượng cấp số nhân Vậy khái niệm cấp số nhân được định nghĩa như thế nào?

Nó được giới thiệu cho học sinh ra sao?

Những thắc mắc trên đã thúc đẩy chúng tôi chọn chủ đề: “Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy Toán ở trung học phổ thông” với những câu hỏi xuất phát

như sau:

- Cấp số nhân được đưa vào chương trình toán trung học phổ thông hiện hành như thế nào? Có sự tiến triển gì so với cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán trung học phổ thông chỉnh lí hợp nhất năm 2000?

- Cách trình bày của sách toán lớp 11 hiện hành có ảnh hưởng gì đến học sinh khi học khái niệm cấp số nhân?

- Các vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở chương trình toán trung học phổ thông được trình bày như thế nào ở bậc đại học?

II M ục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng Hợp đồng didactic và Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm như: mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O, mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O, tổ chức toán học

 Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy Sự

mô hình hóa này do nhà nghiên cứu lập ra

Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy Hợp đồng didactic là một công cụ nghiên cứu thực tế dạy học và sai lầm của học sinh

 Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O

Kí hiệu R(X,O)

Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà X có thể duy trì đối với O: nghĩ về O, thao tác O, có biểu tượng về O,…

Mối quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà

X biết O

 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O

Kí hiệu R(I,O)

Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà I có thể duy trì đối với O: nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O,… Mối quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối với mối quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I Mối quan hệ thể chế đó (với đối tượng O) phụ thuộc vào vị trí p mà cá nhân chiếm trong thể chế I

 Tổ chức praxeólogie

Thuyết nhân học của Didactic xem mỗi hoạt động của con người như là việc

thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu T nào đó, nhờ vào một kĩ thuật , được giải

thích bởi một công nghệ θ Đồng thời, công nghệ này cho phép xác định kĩ thuật,

thậm chí tạo ra nó, và đến lượt mình, công nghệ lại giải thích được nhờ vào lí thuyết



Tổ chức praxeólogie là bộ gồm bốn thành phần [T,,θ,], trong đó khối [T,]

là khối kĩ thuật, khối [θ,] là khối lí thuyết

Tổ chức praxeólogie được hình thành từ kiểu nhiệm vụ T Khi T là kiểu nhiệm

vụ của toán học thì praxeólogie gắn liền với nó là praxeólogie toán học (hay tổ chức toán học)

Các praxeólogie là công cụ nghiên cứu R(I, O), nghiên cứu thực tế dạy học Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày lại dưới đây các câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

- Q0: Ở cấp độ đại học, khái niệm cấp số nhân được trình bày như thế nào?

- Q1: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân?

- Q2: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành, mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân? Cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển gì so với cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000?

- Q3: Những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành có ảnh hưởng gì đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân?

III Phương pháp nghiên cứu

Đầu tiên, chúng tôi sẽ phân tích giáo trình toán ở đại học để tìm hiểu cách trình bày một số vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở cấp độ đại học Kết quả thu được sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q0

Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số

và Giải tích 11, tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với đối tượng cấp số nhân Từ kết quả phân tích được, chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q1 Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân Qua đó chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q2 Tổng hợp các kết quả thu được, chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết

đó

Việc kiểm chứng được tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3

IV C ấu trúc của luận văn

Luận văn gồm năm phần: phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận

- Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lí thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

- Trong chương 1, chúng tôi trình bày một nghiên cứu về cấp số nhân ở cấp độ đại học

- Trong chương 2, chúng tôi tiến hành nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân Dựa vào kết quả thu được, chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu

- Trong chương 3, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm trên học sinh lớp 11 để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đưa

ra

- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được và nêu hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này

CHƯƠNG 1:

CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC

Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về đối tượng cấp số nhân ở cấp độ đại học Chúng tôi chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu:

- Giáo trình Giải tích 1 (Jean – Marie Monier, 2009, người dịch: Lý Hoàng Tú)

- Giáo trình Giải tích 3 (Jean – Marie Monier, 2002, người dịch: Nguyễn Văn Thường)

Đây là những giáo trình nằm trong bộ giáo trình Toán gồm bảy tập của tác giả Trong hai giáo trình nêu trên thì định nghĩa cấp số nhân được trình bày ở giáo trình Giải tích 1 Sở dĩ chúng tôi chọn các tài liệu này vì đây là những giáo trình có ý nghĩa trong việc tra cứu, như lời của Giáo sư H.Durand đã dành cho tài liệu:

[…] Tôi đã nói về vai trò cơ bản mà một cuốn giáo trình, được sử dụng trong một thời gian dài như một công cụ tra cứu, có thể có trong việc hình thành một trí tuệ khoa học trẻ trung Như vậy cấu trúc, cách biên soạn và trình bày một cuốn giáo trình

là những yếu tố cơ bản: ở đây chúng ta chỉ được phép tạo ra một cái gì hoàn hảo Đó chính là công việc mà J-M Monier đã hoàn thành, với một trình độ hiểu biết, một cách lựa chọn và sự kiên trì tuyệt vời, từ bản thảo đầu tiên tới những công việc sửa chữa cuối cùng, tới từng chi tiết, trước khi hoàn chỉnh Các tập sách này đáp ứng đúng một nhu cầu thực sự hiện có, và tôi tin chắc rằng chúng sẽ được đón chào nồng nhiệt từ đối tượng của chúng là các sinh viên – và chắc chắn là cả những người khác nữa – những người sau này sẽ nói rằng: “Tôi đã học được nền tảng Toán học trong các cuốn Monier!” (trích “Lời tựa” trong giáo trình Giải tích 1)

Do việc tìm kiếm giáo trình đại học có trình bày cấp số nhân gặp nhiều khó khăn nên chúng tôi không có thêm tài liệu khác để phục vụ cho quá trình nghiên cứu Điều này có thể sẽ làm cho nghiên cứu trong chương có hạn chế nhất định

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi kí hiệu giáo trình Giải tích 1 là M 01,

giáo trình Giải tích 3 là M 03

1.1 Khái niệm cấp số nhân

Khái niệm cấp số nhân được đưa vào M 01 ở chương 3: “Dãy số” Cụ thể, khái niệm cấp số nhân bắt đầu xuất hiện ở mục “3.1.4 Các ví dụ sơ cấp về dãy” Ghi

nhận này cho thấy việc xuất hiện của cấp số nhân ở M 01 như là một ví dụ đặc biệt

về dãy số

Định nghĩa dãy số được trình bày ở M 01 như sau:

Một dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K (K = R hoặc C); thay cho ký hiệu

( )

:

u N→K

 , ta thường ký hiệu ( )u n n N∈ hay (u n n) ≥0 hay (u n n)

Một dãy thực (tương ứng: phức) là một dãy (số) sao cho:

, n

n N u R

∀ ∈ ∈ (tương ứng: C)

Với mỗi n N∈ , u nđược gọi là số hạng thứ n của dãy

Mỗi ánh xạ từ {n∈N n; ≥n0} vào K, với n0∈ cố định cũng gọi là một dãy (số); K

phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các u n << từ một thứ tự nào đó trở đi >> (M 01, tr 49)

Như vậy, dãy (số) là một ánh xạ với tập nguồn là tập các số tự nhiên N hoặc tập

{n∈N n; ≥ n0} với n0 cố định và tập đích K là tập các số thực ( K R= ) hoặc tập

các số phức ( K C= ) Khi các số hạng của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức Để thay cho việc sử dụng kí hiệu

n trong mỗi số hạng un cho ta biết thứ tự của số hạng này trong dãy, chẳng hạn: u0

là số hạng thứ 0 của dãy, u1 là số hạng thứ 1 của dãy,… Trong trường hợp:

Mỗi ánh xạ từ {n∈N n; ≥n0} vào K, với n0 ∈ cK ố định cũng gọi là một dãy (số)

Nhận xét: Dựa vào định nghĩa dãy ( )u n n N∈ , chúng tôi nhận thấy trong định nghĩa

“Mỗi ánh xạ từ {n∈N n; ≥ n0} vào K, với n0∈ K cố định cũng gọi là một dãy (số)” có chi tiết “với n0∈ K cố định” chưa chính xác Theo chúng tôi, lẽ ra sẽ là

“với n0∈ N cố định” Có thể đây là sự nhầm lẫn trong việc in ấn

Sau khi đề cập đến các vấn đề liên quan đến sự hội tụ của dãy, M 01 đã đưa ra năm ví dụ sơ cấp về dãy Cấp số nhân là một trong các ví dụ đó:

2) Dãy nhân

 Định nghĩa Một dãy ( )u n n N∈ trong K được gọi là dãy nhân (hoặc cấp số nhân)

nếu và chỉ nếu tồn tại r K∈ sao cho:

Như vậy, cấp số nhân là tên gọi khác của dãy nhân ở cấp độ đại học Cấp số

nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0)

và cho cả hai trường hợp của tập đích: K C = hay K R= Công bội r của cấp số nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi Không có ràng buộc nào đối với công bội r Nó thường được xác định duy nhất, chỉ khi cấp số nhân là dãy (u n n N) ∈ có u n = , 0 ∀ ∈ n N thì công bội không duy nhất Hệ thức

Một mệnh đề liên quan đến cấp số nhân ( )n

Sau khi trình bày năm ví dụ sơ cấp về dãy, M 01 đã đưa ra 19 bài tập Có thể vì cấp số nhân chỉ là một ví dụ sơ cấp về dãy nên nó hiếm có cơ hội xuất hiện trong

các bài tập Có hai bài tập có sự xuất hiện của cấp số nhân (r n)n:

3.1.13 Khảo sát (sự hội tụ, giới hạn nếu có) các dãy xác định bởi:

n k

n

l l k

1 2

z z

n n

k k

r r

3.4.1 Dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi

Đó là các dãy ( )u n n N∈ trong K sao cho tồn tại 2

Vậy là xuất phát từ dãy ( )u n n N∈ trong đó ∀ ∈n N u, n+1 =au n + b (với a≠ ) ta 1

có thể xây dựng được một cấp số nhân Cụ thể dãy ( )v n n N∈ xác định bởi

− là một cấp số nhân với công bội a Hơn nữa, dựa vào cấp

số nhân ( )v n n N∈ này, ta sẽ xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy

(u n n N) ∈ đã cho Như vậy, khi “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi” không phải là dãy cộng thì bằng cách thông qua cấp số nhân ta sẽ dễ dàng tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy này

Sau đó, qua tài liệu M 03, chúng tôi nhận thấy cấp số nhân ( )n

n N

r ∈ tạo thành chuỗi lũy thừa trong K:

1) Chuỗi lũy thừa trong K

 Định nghĩa

Với mọi r thuộc K, chuỗi

0

n n

r

≥

∑ được gọi là chuỗi lũy thừa

 Định lý Cho r K∈ Chuỗi lũy thừa

0

n n

n n

Trong đó khái niệm chuỗi, chuỗi hội tụ được định nghĩa như sau:

1) Khái niệm chuỗi

 Định nghĩa 1 Chuỗi với số hạng trong E là mọi cặp (( )u n n N∈ , (S n n N) ∈ ) tạo nên bởi một dãy ( )u n n N∈ có các số hạng thuộc E và dãy ( )S n n N∈ định nghĩa là:

0 ,

Một chuỗi số (tương ứng: thực; tương ứng: phức) là một chuỗi với các số hạng

thuộc K (tương ứng: R; tương ứng: C)

Phần tử u ngọi là phần tử thứ n (hoặc: số hạng tổng quát) của chuỗi, và Sn gọi là

tổng riêng thứ n của chuỗi

Chuỗi được ký hiệu là

0

n n

u

≥

∑Đối với một dãy (u n n n) ≥ 0 với chỉ số “xuất phát” là n 0 , n0∈N, ta cũng dùng các thuật ngữ như trên

 Định nghĩa 2

1) Ta nói rằng chuỗi

0

n n

u

≥

∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy ( )S n n N∈ các tổng riêng hội tụ

(trong E), và trong trường hợp này thì giới hạn của dãy ( )S n n N∈ được gọi là tổng

của chuỗi

0

n n

u

≥

∑ phân kỳ khi và chỉ khi nó không hội tụ (M 03, tr 269, 270)

(ghi chú: E chỉ một K – kgvđc, với kgvđc là viết tắt của không gian vectơ định chuẩn)

Như vậy, dãy ( )u n n N∈ có các số hạng thuộc E sẽ tạo nên chuỗi với các số hạng trong E Khi các số hạng của chuỗi đều thuộc tập R thì ta có chuỗi số thực, khi các

số hạng của chuỗi đều thuộc tập C thì ta có chuỗi số phức Chuỗi sẽ hội tụ khi dãy (S n n N) ∈ các tổng riêng hội tụ Khái niệm tổng của chuỗi

0

n n

u

+∞

=

∑ Nó chính là giới hạn của dãy các

tổng riêng Chuỗi lũy thừa

0

n n

(tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập đích: K C = hay K R= Cấp

số nhân còn được gọi là dãy nhân Công bội của cấp số nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi, và không bị ràng buộc nào Công bội của một cấp số nhân có thể duy nhất hoặc không duy nhất Đối với cấp số nhân ( )u n n N∈ thì: mối

liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r được thể hiện qua hệ thức

ẩn: 1

0

11

n n

k

k

r r

- Cấp số nhân có sự liên hệ với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi

Sự liên hệ này thể hiện như sau:

Từ dãy ( )u n n N∈ có ∀ ∈n N u, n+1 = au n + b (với a≠1), ta xây dựng được cấp số nhân ( )v n n N∈ với ,

n n

CHƯƠNG 2:

MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN

Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân Thể chế mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học toán lớp

11 hiện hành và thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Qua đó, chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi Q1, Q2

Để thực hiện việc nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào các tài liệu sau:

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001)

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001)

- Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 (Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh, 2001)

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), 2007)

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), 2009)

- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), 2006)

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2011)

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Vũ Tuấn (Chủ biên), 2006)

- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2006)

Bên cạnh đó, trong quá trình phân tích, để một vài nội dung được rõ hơn, chúng tôi

đã tham khảo thêm hai tài liệu sau:

- Sách giáo khoa Toán 7, tập một (Phan Đức Chính (Tổng Chủ biên), 2003)

- Sách bài tập Toán 7, tập một (Tôn Thân (Chủ biên), 2011)

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu sau:

M 1 Đại số và Giải tích 11

E 1 Bài tập Đại số và Giải tích 11

TL Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11

M 2 Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

E 2 Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

G 2 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

M 3 Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

E 3 Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

G 3 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

M 4 Toán 7, tập một

E 4 Bài tập Toán 7, tập một

2.1 C ấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M 1 , E 1 , TL để nghiên cứu Trong

đó E 1 được biên soạn đi kèm với M 1, dùng để đưa ra đáp số hoặc hướng dẫn cách

giải cho tất cả các bài tập trong M 1 Ngoài ra E 1 còn đề nghị thêm một vài bài tập sau mỗi chương

2.1.1 Khái ni ệm cấp số nhân trong M 1

- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương III: “Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân” Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chúng tôi tìm thấy câu trả lời cho một trong những thắc mắc trên qua định nghĩa dãy số:

Định nghĩa Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên

u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

u 2 được gọi là số hạng thứ hai

…

u m được gọi là số hạng thứ m (hay số hạng cuối) (M1, tr 88)

 Một hàm số u xác định trên tập hợp N * các số tự nhiên khác không được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số)

Tập giá trị của dãy số u gồm vô số phần tử

u(1) = , u1 u(2) =u2, …, ( )u n =u n,…

Người ta thường viết dãy số u dưới dạng

u u1, 2, ,u n,

Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số u

u 1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

u 2 được gọi là số hạng thứ hai

…

u n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số u

Người ta còn kí hiệu một cách ngắn gọn dãy số u là (u n ) hay nếu không thể nhầm lẫn thì ta còn kí hiệu dãy số u là u n (M 1, tr 89)

Như vậy, dãy số hữu hạn là một hàm số xác định trên tập hợp M gồm hữu hạn

số tự nhiên khác không đầu tiên; dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số) là một hàm số xác định trên tập hợp N*các số tự nhiên khác không Thay cho cách gọi u(k) là giá

trị của hàm số u tại k, M 1 đã kí hiệu ( )u k =u k và gọi u k là số hạng thứ k của dãy

số Điều này cho thấy cách chọn tập hợp M như trong định nghĩa nhằm tạo thuận lợi cho việc đưa ra cách xác định thứ tự các số hạng của dãy số thông qua chỉ số k của mỗi số hạng u k Ngoài việc được viết dưới dạng khai trển u u1, 2, ,u n, dãy số u còn được kí hiệu là ( )u n hay u n (nếu không thể nhầm lẫn) Liệu cách kí hiệu dãy số

u là u có gây kh n ó khăn cho học sinh hay không? Bởi vì u n được gọi là số hạng tổng quát của dãy số

Qua định nghĩa trên, chúng tôi nhận thấy khái niệm dãy số hữu hạn được đưa vào

M 1, tuy nhiên ở cấp độ đại học nó không được đề cập trong M 01 và M 03 Dãy số vô

hạn được đưa vào M 1 chính là dãy thực được nêu ở M 01, trong đó chỉ số n của các

số hạng un nhận giá trị nhỏ nhất là 1

Một dãy số được cho như thế nào? Chúng tôi tìm được câu trả lời như sau:

Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau đây:

a) Cho số hạng tổng quát u n của nó bằng công thức

Ví dụ: Cho dãy số (u n ) với u n ( 1)2n 1

n

+

−

= (M 1, tr 90) b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

Ví dụ: Cho dãy số (u n ) với u n là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối

10−n (M 1, tr 90)

c) Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là

1) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

2) Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

Trong các ví dụ và bài tập, M 1 thường cho dãy số theo cách 1 và cách 3

- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân đã lần lượt xuất hiện Bài

“Cấp số nhân” được mở đầu bằng định nghĩa cấp số nhân:

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi

số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi gọi là công

bội (M 1, tr 100)

Định nghĩa trên cho thấy cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp Gắn liền với ràng buộc này, khái niệm công bội đã xuất hiện Công bội của cấp số nhân là số không đổi và không bị ràng buộc nào hết

Liên quan đến định nghĩa cấp số nhân, ở TL có nêu:

Có SGK cũ yêu cầu công bội q≠ , 0 q≠ , 1 u1≠ vì nếu 0 q= 0 thì cấp số nhân trở thành u1, 0, 0 , còn nếu q= 1 thì cấp số nhân trở thành u u u1 , 1 , 1 , Đó là những trường hợp tầm thường Nếu u1 = 0 thì cấp số trở thành 0, 0, … Nó không có công bội duy nhất (Điều này không có tương tự trong cấp số cộng)

Như đã trình bày trong mục trên, đưa thêm các giả thiết đó vào thì sẽ làm phức tạp hơn phần biện luận khi phải xét đến cấp số nhân (vì phải loại các trường hợp q= và 0 1

q= ) Để giảm tải, chúng tôi đã không đặt các giả thiết đó vào định nghĩa của cấp số

nêu ở M 1 giống với định nghĩa cấp số nhân ứng với dãy thực nêu ở M 01, chỉ có điều

trong M 1 thì chỉ số n trong các số hạng un nhận giá trị nhỏ nhất là 1, còn trong M 01

thì chỉ số n trong các số hạng un nhận giá trị nhỏ nhất là 0 Việc định nghĩa cấp số

nhân ứng với dãy phức không được đề cập ở M 1

Bằng cách kí hiệu công bội là q, M 1 đã đưa ra công thức biểu diễn mối liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội của cấp số nhân:

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có

1

u + =u q (n = 1, 2,…) (M 1, tr.100)

Công thức trên là một hệ thức truy hồi Như vậy, cấp số nhân có thể xem là dãy

số cho bằng phương pháp truy hồi như sau:

trong đó a và q là những số cho trước: a là số hạng đầu, q là công bội

Liệu có điều gì đặc biệt đối với cấp số nhân có số hạng đầu u1 = ? 0

Nếu u 1= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,…, 0,… (M 1, tr.100)

Trong trường hợp này, mọi số hạng của cấp số nhân đều bằng không và công bội

là một số thực bất kì Ở cấp độ đại học, M 01 đã đề cập trường hợp này

Để phân biệt cách viết dạng khai triển của cấp số nhân với cách viết dạng khai

triển của dãy số, M 1 đưa vào kí hiệu sau:

Để chỉ rằng dãy số (u n ) là một cấp số nhân đôi khi người ta dùng kí hiệu

ở đầu Ở cấp độ đại học, kí hiệu

không được đề cập trong M 01 và M 03

Tiếp đó, M 1 đề cập đến vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Gọi số hạng đầu là u 1 , và công bội là q≠ 0 Ta hãy tính số hạng tổng quát u n Ta có

Định lí Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:

u n=u q1. n−1 (q≠ ) (M0 1, tr.101)

Định lí trên được áp dụng cho những cấp số nhân có công bội q≠ Định lí cho 0thấy mối liên hệ giữa các đại lượng: số hạng bất kì u n, chỉ số n, số hạng đầu u và 1

công bội q Bằng phương pháp quy nạp, M 1 đã chứng minh định lí này

Liên quan đến định lí trên, TL có nêu:

Dãy số ( )u n là một cấp số nhân với công bội q≠ 0 nếu và chỉ nếu

Như vậy, M 1 không trình bày phần đảo TL giải thích điều này như sau:

Trong SGK, để giảm tải, chúng tôi không giới thiệu phần đảo (TL, tr 52)

Tuy nhiên, đối với học sinh tương đối khá, TL có nêu:

Nếu trình độ của học sinh tương đối khá thì giáo viên có thể giới thiệu cả phần đảo

Định lí Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối

đối với cấp số nhân hữu hạn), đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:

u k = u k−1.u k+1 (k≥ 2) (M 1, tr.101)

Định lí này cho thấy mối liên hệ giữa ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

Bằng cách sử dụng định lí về số hạng tổng quát, M 1 đã chứng minh định lí Chúng

tôi nhận thấy tính chất này không được đề cập ở M 01 và M 03

Sau đó M 1 trình bày tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân:

Cho một cấp số nhân với công bội (1)

Định lí trên đã được chứng minh trong M 1 Định lí giúp ta có thể xác định tổng

n số hạng đầu của cấp số nhân theo số hạng đầu và công bội của nó Vấn đề tổng n

số hạng đầu của một cấp số nhân được trình bày ứng với cấp số nhân có công bội

1

q≠ Khi đó tổng được tính bởi công thức 1

1.1

n n

q S q

u

=

∑ Trong khi đó M 1 không đưa vào cách viết gọn này

Khi cấp số nhân có q= 1 thì ta tính tổng n số hạng đầu của nó như thế nào?

Chúng tôi tìm thấy lời giải thích ở cuối trang 102 M 1 như sau:

Nếu q= thì cấp số nhân là dãy số u 1 1 , u 1 ,…, u 1 ,… Khi đó

1 1 1 1

n

S = + + +u u u =nu

Tiếp theo, qua chương IV: “Giới hạn”, M 1 đề cập việc tính tổng của cấp số nhân

vô hạn có công bội q với q < : 1

Cho cấp số nhân vô hạn ( )u n có công bội q, với q < 1 ; khi đó tổng S n của n số hạng đầu của nó bằng

1 1

n

n n

u u q

Kết luận:

Cấp số nhân xuất hiện gắn liền với: định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng của cấp số nhân, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với q < Những phân tích trên cho thấy cấp số 1nhân hoạt động dưới dạng đối tượng

+ Kiểu nhiệm vụ T12000được phát biểu trong M 1

+ Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T12000(đều trong M 1)

(ghi chú : trong luận văn này, chúng tôi thống kê số lượng câu ứng với kiểu nhiệm vụ theo nghĩa đó là số lượng nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ đó)

Lời giải mong đợi

8 9

n n

+ Tổng cần tính được cho dưới dạng một biểu thức hoặc cho bằng lời

+ Có 5 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T2

1 2+ +2 + + 2n =2n+ −1 Do đó, nếu nhìn ở khía cạnh chứng minh đẳng thức thì

ví dụ 1 này chứng tỏ cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ

c) Kiểu nhiệm vụ T 3 2000 : “Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó”

- Kĩ thuật 3 2000 :

Chúng tôi nhận thấy với tất cả các câu ứng với kiểu nhiệm vụ này, E 1 không

trình bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp số Do đó, chúng tôi xin trình bày kĩ thuật 32000

như sau:

+ Từ các hệ thức đã cho, sử dụng công thức 1

1

n n

+ Kiểu nhiệm vụ T32000được phát biểu trong M 1

+ Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T3

Chúng tôi nhận thấy với tất cả các câu ứng với kiểu nhiệm vụ này, E 1 không

trình bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp số Do đó, chúng tôi xin trình bày kĩ thuật 42000

như sau:

+ Xác định số hạng đầu u 1 và công bội q

+ Tính u k =u q1 k−1 với k =2,3, ,n (giả sử cấp số nhân có n số hạng)

+ Kiểu nhiệm vụ T42000được phát biểu trong M 1

+ Có 5 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T42000(đều trong M 1)

e ) Kiểu nhiệm vụ T 5 2000 : “Tính tổng của cấp số nhân vô hạn (với q < )” 1

+ Tổng cần tính được cho dưới dạng biểu thức hoặc phát biểu bằng lời

+ Có 5 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T52000(đều trong M 1)

Chúng tôi thấy có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ này Tuy vậy E 1 không trình bày

lời giải mà chỉ đưa ra đáp án Do đó, chúng tôi xin trình bày kĩ thuật 62000như sau:

+ Viết số hạng un+1 theo n

+ Lập tỉ số n 1

n

u u

+

+ Chứng minh tỉ số n 1

n

u u

+ Kiểu nhiệm vụ T62000được phát biểu trong E 1

+ Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T6

Vậy dãy a n =2.3n lập thành một cấp số nhân

g ) Kiểu nhiệm vụ T 7 2000 : “Tính giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân”

+ Kiểu nhiệm vụ T72000được phát biểu trong E 1

+ Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T72000 ( trong E 1)

thể hiện trong ví dụ 4 (M 1, tr 103):

Tục truyền rằng hoàng tử Ấn Độ Xiram cho người phát minh ra trò chơi cờ vua (bàn cờ gồm 64 ô) được phép tự chọn phần thưởng cho mình Người này xin hoàng tử thưởng cho số thóc tính theo cách sau:

Bỏ vào ô thứ nhất 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba 4 hạt, ô thứ tư 8 hạt, v.v…Số hạt thóc

cứ gấp đôi mỗi khi chuyển sang ô tiếp theo cho đến ô thứ 64

Khi đó tổng số hạt thóc của phần thưởng là tổng số 64 số hạng của một cấp số nhân có

u 1 = 1 và q = 2

64

64 64

Điều này chứng tỏ cơ chế công cụ của cấp số nhân khá mờ nhạt

- Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai

số hạng liên tiếp

- Bảng thống kê số lượng câu ứng với các kiểu nhiệm vụ:

Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Bài tập

trong M 1

Bài tập trong E 1 Tổng cộng

Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:

+ Kiểu nhiệm vụ T22000, T42000, T52000 chiếm số lượng câu nhiều nhất (5/25 câu)

+ Các kiểu nhiệm vụ T62000, T72000chiếm số lượng câu ít nhất (1/25 câu) Hai kiểu nhiệm vụ T62000, T72000chỉ xuất hiện trong E 1 Điều này chứng tỏ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 không chú trọng vấn đề nhận diện cấp

số nhân, tính giá trị biểu thức

+ Số lượng câu tập trung nhiều ở phần bài tập: chiếm 18/25 câu

+ Không có kiểu nhiệm vụ nào nổi trội

Những kết luận nêu trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q1 đã được đặt ra trong phần mở đầu

2.2 C ấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007)

2.2.1 C ấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M 2 , E 2 , G 2

2.2.1.1 Khái niệm cấp số nhân trong M 2

- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương 3: “Dãy số Cấp số cộng và Cấp số nhân” Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N *được gọi là một dãy số

vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số) (M2, tr.101)

Định nghĩa trên cho thấy dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp N* Liệu khái niệm giá trị của hàm số có còn được dùng đối với dãy số hay không?

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số; u(1) được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), u(2) được gọi là số hạng thứ hai;…

Người ta thường kí hiệu các giá trị u(1), u(2), … tương ứng bởi u 1 , u 2, … (M 2, tr

101, 102)

Như vậy, đối với dãy số thì khái niệm giá trị của hàm số được thay bằng khái niệm số hạng của dãy số Cụ thể là với *

k∈N , giá trị u(k) được gọi là số hạng thứ

k của dãy số và được kí hiệu là u k Chỉ số k trong mỗi số hạng u k cho ta biết thứ tự của số hạng đó trong dãy số

Thay cho việc sử dụng kí hiệu hàm số đối với dãy số, M 2 đã đưa ra kí hiệu sau:

Người ta thường kí hiệu dãy số u=u n( ) bởi ( )u n , và gọi u n là số hạng tổng quát của dãy số đó

Người ta cũng thường viết dãy số ( )u n dưới dạng khai triển:

1

u , u2,…, u n,… (M 2, tr.102)

Như vậy M 2 kí hiệu dãy số u=u n( ) là (u n) Chúng tôi nhận thấy cách kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất hàm số của dãy số Sau sự xuất hiện của dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn cũng có điều kiện xuất hiện:

CHÚ Ý Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương

đầu tiên (m tùy ý thuộc N *) là một dãy số Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng: u 1 , u 2 , …, u m ); vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn; u 1 gọi là số hạng đầu và u mgọi là số hạng cuối (M 2, tr 102)

Dãy số hữu hạn là hàm số xác định trên tập hợp gồm hữu hạn số nguyên dương đầu tiên Khi dãy số có m số hạng thì số hạng um còn được gọi là số hạng cuối của dãy số

Những ghi nhận trên cho thấy định nghĩa dãy số trong M 2 giống trong M 1 Chúng tôi thắc mắc: một dãy số được cho như thế nào? Lời giải đáp cho thắc

mắc này được tìm thấy ở M 2 trang 103:

Các cách cho một dãy số

Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó Từ

đó, người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

Chẳng hạn: “Cho dãy số ( )u n với 1

n

n u n

−

= + ”

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói: Cho dãy số bằng quy nạp)

Ví dụ 3 Xét dãy số ( )u n xác định bởi u1 = 1 và với mọi n≥ 2

u n= 2u n−1+ 1

Cách 3: Diễn đạt bằng lời bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

Trong các ví dụ và bài tập, M 2 thường cho dãy số theo cách 1 và cách 2

- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân lần lượt xuất hiện Bài:

“Cấp số nhân” được mở đầu bằng một bài toán trong thực tế:

Xét bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn

bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi”

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và

giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%

a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

b) Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ ngày

gửi? (M 2, tr 115, 116)

Dựa vào dữ kiện và yêu cầu của bài toán, M 2 tiếp tục trình bày:

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng, kể từ ngày gửi Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

thấy: để giải quyết bài toán đặt ra, M 2 đã xây dựng dãy số ( )u n mà trong đó, kể từ

số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004 Dựa vào gợi ý của M 2, học sinh có thể biết được: ở câu a cần tính u 6 và ở câu b cần tính u N12 hững ghi nhận nêu trên cho thấy M 2 đã le lói cơ chế công cụ

ngầm ẩn của cấp số nhân trong việc giải bài toán này Việc đưa bài toán này vào M 2

còn giúp học sinh hiểu được sự hiện diện, cũng như ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống

Tiếp theo M 2 trình bày định nghĩa cấp số nhân: