Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Phạm Lương Quý NGHIÊN CỨU SINH THÁI CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành : Lý luận phương pháp giảng dạy Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Phép tính tích phân nội dung quan trọng chương trình Giải tích lớp 12 ln xuất đề thi tú tài đề thi đại học Những chướng ngại mà học sinh gặp phải tính tích phân bắt nguồn từ chất khoa học luận khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng khái niệm có liên quan? Câu hỏi khiến chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái phép tính tích phân giảng dạy Tốn trung học phổ thơng Khung lý thuyết tham chiếu Mục đích luận văn tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi nói Để làm việc này, chúng tơi đặt lý thuyết nhân chủng học didactic sử dụng cách tiếp cận sinh thái Với khung lý thuyết tham chiếu chọn, phát biểu lại câu hỏi ban đầu sau: Những điều kiện sinh thái phép tính tích phân xây dựng chương trình trung học phổ thơng? Trong thực hành giải tốn, điều kiện vận hành nào? Điều đem đến hệ gì? 2.1 Lý thuyết nhân chủng học Lý thuyết nhân chủng học với tư tưởng chủ đạo xem đối tượng tri thức toán học sinh vật sống nghĩa có nảy sinh, tồn tại, tiến triển, đi, có mối quan hệ ràng buộc với đối tượng khác Q trình lý thuyết hố nhân chủng học tốn học gắn liền với việc “đặt vấn đề sinh thái học” (Problématique écologique) Theo Chevallard (1989), thể chế cho, tri thức O không tồn cách tách rời mà tác động qua lại với đối tượng thể chế khác Những đối tượng đặt điều kiện ràng buộc cho tồn hoạt động tri thức O thể chế Nói cách khác chúng hình thành nên mơi trường sinh thái O Theo Boch Chevallard (1999) “cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích đề cập đến địi hỏi tạo đối tượng tri thức khác cần dạy Sự mơ tả tri thức tốn học khơng phải địi hỏi cấu trúc làm sẵn mà diễn đạt nhờ đối tượng hình thành nên Nhưng đối tượng này, trì mối quan hệ qua lại theo thứ bậc cho phép nhận cấu trúc sinh thái khách thể 2.2 Quan hệ thể chế quan hệ cá nhân Theo Chevallard (1989), “một tri thức tồn xã hội trống rỗng, tri thức xuất thời điểm định, xã hội định gắn với thể chế định đó” Nói cách khác, tri thức tri thức thể chế Ngoài ra, đối tượng tri thức sống thể chế khác nhau, để tri thức tồn thể chế cần phải tn thủ số đòi hỏi định thể chế Điều kéo theo phải tự thay đổi, khơng khơng thể trì thể chế thể chế cộng đồng, thực công việc Lý thuyết nhân chủng học tri thức, chủ yếu dựa vào thuật ngữ : đối tượng, cá thể thể chế khái niệm thể chế rõ hệ thống thực tiển xã hội Trong phạm vi lý thuyết hoá này, đối tượng tri thức O coi tồn mà cá nhân hay thể chế nhận biết tồn Chính xác hơn, người ta nói đối tượng O tồn thể chế I có mối quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O tập hợp tất tác động qua lại mà I có với O nghĩa : nói O, mơ O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O … Quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O, nói chung phản ảnh diễn I liên quan đến số phận O, cho biết O xuất đâu I, O hoạt động giữ vai trị I Cũng thế, đối tượng O tồn với cá nhân X có quan hệ cá nhân từ X đến O mà ta gọi quan hệ R(X,O), quan hệ cá nhân R(X,O) toàn tác động qua lại mà X thực với O, thể cách mà X biết O, nói việc học cá nhân X tri thức O quan hệ R(X,O) thay đổi : bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại) thay đổi (nếu tồn tại) Trong thể chế định, quan hệ thể chế tri thức gắn liền với vị trí thành tố thể chế Nếu thể chế dạy học, người ta phải xét đến : quan hệ thể chế thầy giáo quan hệ thể chế học sinh Quan hệ thể chế thầy giáo xác định mà thể chế đòi hỏi người thầy phải thực quan hệ thể chế học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi người học sinh phải thực Số phận đối tượng tri thức đặt vận động thời thể chế Khi đối tượng tri thức cần dạy O đưa vào mối quan hệ thể chế với đối tượng thiết lập Quan hệ tồn suốt thời gian mà đối tượng O cịn mục đích thua việc dạy học Quan hệ thể chế gọi quan hệ thể chế thức với đối tượng O Như vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I đối tượng tri thức O cho phép hiểu O xuất đâu cách thể chế I, O tồn sử dụng I Nó cho phép nắm bắt tốt quan hệ thể chế thầy giáo học sinh O, quan hệ cá nhân thầy giáo học sinh với tri thức O khơng hồn tồn độc lập với quan hệ thể chế Trong thể chế dạy học, thua việc dạy học tri thức tiếp nhận với cá nhân X Ý định thể chế làm thay đổi quan hệ cá nhân học sinh với tri thức để trở nên phù hợp với quan hệ thể chế Điều dẫn đến chỗ phải thiết lập phân định, thể chế dạy học nào, thời điểm định, đối tượng thực thua việc dạy học với đối tượng khác (đã có ích khơng cịn ích lợi nữa, hay đối tượng không thua việc dạy học có diện đó) Theo quan niệm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ vai trò quan trọng thể chế dạy học.Về mặt này,Chevallard rõ : “vấn đề trung tâm việc dạy học nghiên cứu quan hệ thể chế, điều kiện hệ Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân vấn đề mặt thực tiễn, thứ yếu mặt khoa học luận việc dạy học” (1989) Với lý thuyết nhân chủng học, có cơng cụ làm việc để nghiên cứu ràng buộc thể chế có ảnh hưởng đồng thời đến sống tri thức đến quan hệ chủ thể thể chế tri thức 2.3 Hợp đồng Didactic Hợp đồng didactic : quy tắc địa phương nghĩa tri thức Theo quan điểm didactic, thua chung giáo viên học sinh lớp tri thức, kế hoạch bên tri thức khác Điều trước hết vị trí khơng đối xứng họ quan hệ didactic : giáo viên khác với học sinh chỗ giáo viên “giả định biết”, chỗ “giả định có khả năng” đốn trước học sinh phải học Trách nhiệm bên đối tác tình giảng dạy không giống : giáo viên phải giảng dạy đó, cách đó; học sinh phải học để biết biết Những bên có quyền làm hay khơng làm tri thức chi phối tập hợp qui tắc có tường minh chủ yếu ngầm ẩn Ta thấy thí dụ kết phép tính số học, có lời giải chấp nhận hay khơng chấp nhận tuỳ trường hợp tuỳ nước Hợp đồng didactic mơ hình hố quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy Sự mơ hình hố nhà nghiên cứu lập G Brousseau (1980) trình bày khái niệm sau : “Trong buổi học có mục đích dạy cho học sinh kiến thức định, học sinh hiểu tình giới thiệu, câu hỏi đặt ra, thông tin cung cấp, ràng buộc áp đặt, tuỳ theo giáo viên thực hiện, có ý thức hay không, cách lặp lặp lại thực tiễn giảng dạy Trong thói quen này, ta quan tâm đặc biệt đến đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng didactic tập hợp cách ứng xử (chuyên biệt) thầy học sinh trông đợi tập hợp ứng xử học sinh mà thầy trơng đợi” Ta nói hợp đồng didactic tập hợp quy tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên, tri thức toán giảng dạy Những điều khoản hợp đồng – không công bố có khơng phải dạng tồn văn, thực tế chúng khơng thuộc loại cơng bố – tổ chức nên mối quan hệ mà Thầy trị ni dưỡng đối mặt với tri thức Hợp đồng chi phối quan hệ thầy trò kế hoạch, mục tiêu, định, hoạt động đánh giá sư phạm Chính hợp đồng lúc vị trí tương hỗ đối tác nhiệm vụ phải hoàn thành rõ ý nghĩa sâu sắc hoạt động tiến hành, phát biểu lời giải thích Nó quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà học tập nhà trường phải trải qua Phải làm đây? Nhìn vào đâu để biết thành cơng? Phải làm ta khơng thành cơng? Đã cần phải biết để thành cơng ? Phải nói đây? Vừa qua đáng phải làm khác? Có biết câu hỏi mà câu trả lời phụ thuộc vào hợp đồng didactic Ta nắm ý nghĩa lối đạo cách ứng xử giáo viên học sinh, cần cho phân tích didactic, biết gắn kiện quan sát vào khuôn khổ hợp đồng didactic để giải thích Chẳng hạn, ta gắn kiện “học sinh không kiểm tra lại phát biểu gì” với tồn hợp đồng didactic, theo “giáo viên ln ln có nhiệm vụ kiểm tra hợp thức hố câu trả lời học sinh” Như vậy, học sinh đưa câu trả lời sai, phép chứng minh sai, dĩ nhiên có nguy bị thầy cho điểm Hợp đồng didactic ngầm ẩn nói cho phép học sinh khơng quan tâm kiểm tra trả lời cho câu hỏi đặt mà khốn việc cho giáo viên (Theo Comiti – 2000 – Hợp đồng Didactic – giảng cho lớp Thạc sỹ - ĐHSP Tp HCM Đại học Joseph Foutier) Vấn đề để thấy hiệu ứng hợp đồng didactic? tình định? thời điểm định? Người ta làm theo cách tiến hành sau : D1: tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) tình khác lạ (ta gọi tình tình phá vỡ hợp đồng) D2: phân tích thành phần hệ thống giảng dạy thực tế Làm để đặt thành viên chủ chốt vào tình khơng quen thuộc? Người ta tiến hành theo nhiều cách: Thay đổi điều kiện sử dụng tri thức Việc sử dụng tri thức toán bật giải tốn, người ta biến đổi đặc trưng toán Lợi dụng học sinh chưa biết cách vận dụng số tri thức Có nhiều trường hợp: i) trình học, nhằm lúc học sinh chưa nắm số cách vận dụng tri thức ii) lợi dụng thay đổi thể chế (như chương trình học, trình độ học sinh), làm thay đổi cách vận dụng tri thức Đặt ngồi phạm vi tri thức bàn đến sử dụng tình mà tri thức khơng giải Đó trường hợp vấn đề địi hỏi mơ hình hố từ ngữ tốn học (những vấn đề gọi cụ thể) Các tiêu chí cho phép chọn cách mơ hình hố phán xét giá trị cách mơ hình hố chọn nằm ngồi phạm vi tốn học khơng phát biểu việc dạy tri thức Đặt giáo viên trước ứng xử học sinh không phù hợp với điều giáo viên mong đợi Chẳng hạn câu trả lời khác lạ cho tốn Thơng qua việc phân tích thành phần hệ giáo dục thực tế, xác định quy tắc hợo đồng didactic Có nhiều cách để xác định qui tắc hợp đồng didactic ta phối hợp chúng với Sau vài ví dụ :  Nghiên cứu câu trả lời học sinh lớp học  Phân tích ước định Nhờ ta thấy rõ trách nhiệm học sinh việc sử dụng tri thức Phân tích tập giải giảng dạy ưu tiên sách giáo khoa sách tập qua ta thấy rõ quy tắc ngầm ẩn mà học sinh sử dụng Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi luận văn này, chọn điều kiện sinh thái phép tính tích phân phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp phép tính đạo hàm Với điều kiện sinh thái, thực điều tra khoa học luận đối chiếu với việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt Nam để rút đặc trưng điều kiện thể chế Việt Nam Từ đó, chúng tơi hình thành giả thuyết nghiên cứu tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết Tổ chức luận văn Ngoại trừ phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương nghiên cứu phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp phép tính nguyên hàm Cấu trúc chương giống nhau: điều tra khoa học luận, phân tích chương trình sách giáo khoa, đặc điểm khái niệm, thực nghiệm Sau số tổ chức tốn học mà chúng tơi đề cập đến luận văn 4.1 Tổ chức toán học Hoạt động toán học trường hợp đặc biệt hoạt động xã hội Vấn đề đặt mô tả, giải thích thực tế xã hội ? Cái cho phép mơ hình hố thực tế Một cách mơ tả, giải thích dựa vào khái niệm “tổ chức toán học” (Organismes mathématiques hay praxéologies mathematiques) mà xem xét đưới 4.1.1 Praxéologie Theo Chevallard, trình lý thuyết hoá bao gồm định đề nhân chủng học phát biểu sau : Định đề : Toàn thực tiễn chủ thể đưa vào phân tích, theo quan điểm khác theo phương pháp khác nhau, hệ thống nhiệm vụ tương đối giới hạn tách từ dòng chảy thực tiễn Định đề : Việc thực nhiệm vụ vận dụng kỹ thuật Định đề : Để tồn thể chế, kỹ thuật phải xuất cho hiểu được, thấy phải lý giải Tương ứng với định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm praxéologie Đó gồm thành phần sau : 1- T : kiểu nhiệm vụ, gồm nhiệm vụ t 2- τ: kỹ thuật để hồn thành nhiệm vụ t 3-  : Cơng nghệ để lý giải cho kỹ thuật τ 4-  : lý thuyết để giải thích  cịn gọi công nghệ công nghệ  Khi T kiểu nhiệm vụ tốn học tổ chức [ T, τ, ,] gọi tổ chức toán học Sự xuất praxéologies cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể chế Cách tiếp cận chương trình sách giáo khoa theo quan điểm praxéologies toán học cho phép ta thấy giải thích mối liên hệ phần lý thuyết phần tập, đồng thời giúp làm rõ quan hệ thể chế I tri thức O mà ta xem xét, cụ thể O xuất nào, giữ vai trị I Thực vậy, phân tích, phải trả lời câu hỏi sau : * Về kiểu nhiệm vụ T : có nêu lên cách rõ ràng khơng ? đâu ? lý đưa T vào có làm rõ khơng ? Hay T xuất cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động ? T có mối liên hệ với phần toán học khác Giả sử T kiểu nhiệm vụ đó, ta đặt trước câu hỏi Q : làm để thực nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T ? Vấn đề tìm câu trả lời R cho câu hỏi Q Như để tìm câu trả lời cho Q trước hết tìm cách làm, nghĩa tìm mà ta gọi kỹ thuật  (technique) * Về kỹ thuật τ : có nêu lên cách rõ ràng không ? hay phát thảo ?  sử dụng khơng ? phạm vi sử dụng  nào, tương lai  ? T  tạo thành “khối” [T , ] mà ta gọi khối thực hành kỹ thuật (pratico-technique), thường đồng với cách làm, kỹ (savoir – faire) Ở cần lưu ý ba điểm : Thứ : kỹ thuật  - cách làm cho phép thành công phần T Ta ký hiệu phần P() gọi tầm ảnh hưởng kỹ thuật, dẫn đến thất bại phần T \ P(), thế, có kỹ thuật vượt lên kỹ thuật khác Thứ hai : kỹ thuật  không thiết algorit hay gần algorit, chí Nhưng dường tồn khuynh hướng algorit hố kỹ thuật, q trình hồn thiện kỹ thuật đơi khó mà dừng lại thể chế đó, kiểu nhiệm vụ Thứ ba : thể chế I, kiểu nhiệm vụ T xác định, nói chung tồn kỹ thuật nhất, hay số kỹ thuật, thể chế thừa nhận, dù thực tồn kỹ thuật khác, thể chế khác Cần phải phân biệt rõ thuật toán trường hợp đặc biệt kỹ thuật * Về yếu tố công nghệ - lý thuyết : Việc mơ tả, giải thích cho kỹ thuật  có đặt khơng ? hay kỹ thuật  tự rõ ràng, tự nhiên ? Hình thức giải thích có gần với hình thức chuẩn tốn học khơng ? Khi quan sát hoạt động người thể chế khác nhau, ta thấy thường xuất “bài giảng” kỹ thuật cho phép thực T “bài giảng” có mục đích hợp thức hố, giải thích, biện minh cho cách làm  Đó thành phần thứ ba praxéologie, mà ta gọi cơng nghệ .Cơng nghệ khác tùy theo thể chế chẳng quan hệ với yếu tố lý thuyết Công nghệ có chức : biện minh, giải thích, tạo kỹ thuật  biện minh : nhằm mục đích bảo đảm kỹ thuật đưa lại kết chắn  giải thích : làm cho người ta hiểu lại làm  tạo kỹ thuật Đến lượt mình, cơng nghệ chứa đựng khẳng định mà người ta u cầu giải thích lý thuyết  để giải thích cho cơng nghệ  mà ta gọi công nghệ công nghệ, thành phần thứ tư praxéologie Như   tạo thành khối công nghệ- lý thuyết [,] Khối thường xác định tri thức (savoir), khối [T , ] tạo thành kỹ (savoir – faire) Với cách hiểu khái niệm praxéologie trình bày : - Kiểu nhiệm vụ T có trước khối công nghệ- lý thuyết [,] Như tổ chức toán học câu trả lời cho câu hỏi Q, : làm để thực nhiệm vụ t  T ? 4.1.2 – Tổ chức toán học tham chiếu Trong luận văn, khảo sát vấn đề liên quan đến điều kiện sinh thái tích phân, : Phép tính diện tích - đạo hàm, hàm số hợp – phép tính nguyên hàm Để làm sáng tỏ vấn đề này, đưa tổ chức tốn học cần phân tích trình bày : cụ thể làm rõ đánh giá thành phần OM1 : Đạo hàm Trong Chương Đạo hàm, sách giáo khoa lớp 11–Đại số Giải tích Nâng Cao (NXBGD – tháng 06 năm 2007) chúng tơi thấy có kiểu nhiệm vụ sau : T1: Đạo hàm hàm số điểm (định nghĩa đưa quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa, ý nghĩa hình học đạo hàm toán tiếp tuyến, ý nghĩa học đạo hàm toán vận tốc tức thời) T2 : Đạo hàm hàm số khoảng J (định nghĩa ví dụ) T3 : Tính đạo hàm số hàm số thường gặp Các hàm số thường gặp : y = C (hằng số) ; y = x ; y = xn ; y = x kỹ thuật 1 : Dùng định nghĩa đạo hàm điểm để chứng minh định nghĩa phát biểu sau : Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) điểm x0 thuộc khoảng Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số : f(x) - f(x ) x dần tới x0 gọi đạo hàm hàm số cho điểm x0, kí hiệu f’(x0) x  x0 y’(x0), nghĩa f’(x0) = lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 công nghệ 1 : định nghĩa đạo hàm khoảng Nghĩa hàm số f gọi có đạo hàm khoảng J có đạo hàm f’(x) điểm x thuộc J T4 : Các quy tắc tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số có đạo hàm khoảng J) T5 : Đạo hàm hàm số hàm hợp (khái niệm hàm số hợp định lý tính đạo hàm hàm số hợp) Trong kiểu nhiệm vụ gồm hai kiểu nhiệm vụ sau : T51 : khái niệm hàm số hợp  51 : nhận biết tìm hàm số hợp hợp hai hay ba hàm số khác cho công nghệ 51: Định lý hàm số hợp trình bày sau : Giả sử u = g(x) hàm số x, xác định khoảng (a;b) lấy giá trị khoảng (c;d) ; y = f(u) hàm số u, xác định (c;d) lấy giá trị  đó, ta lập hàm số xác định (a;b) lấy giá trị  theo quy tắc sau : x → f(g(x)) Ta gọi y = f(g(x)) hàm hợp hàm y = f(u) với u = g(x) T52 : Đạo hàm hàm số hợp  52 : tính đạo hàm hàm số hợp  công nghệ 52: Định lý đạo hàm hàm số hợp “Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm u’(x) hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến x y’x hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x y’x = y’u u’x ” T6 : Đạo hàm hàm số lượng giác (y = sinx , y = cosx ; y = tanx ; y = cotx) T7 : khái niệm vi phân điểm T8 : Đạo hàm cấp cao (đạo hàm cấp đạo hàm cấp n) Chương đạo hàm lớp 11 nâng cao dạy đến kiểu nhiệm vụ T8 tạm ngưng Lên lớp 12, học sinh học tiếp Sách Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên trình bày thêm kiểu nhiệm vụ sau : T9 : Đạo hàm hàm số lũy thừa nêu hàm số lũy thừa (số mũ hữu tỷ y = n x , n   , n hàm số vô tỷ y = x ,   ) T10 : Đạo hàm hàm số mũ hàm số lơgarít nêu hàm số mũ hàm số lơgarít Trong vấn đề nghiên cứu, chúng tơi quan tâm đến điều kiện sinh thái phép tính tích phân quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T3 T5 OM2 : Điều kiện khả tích Kiểu nhiệm vụ T : khảo sát khả tích hàm số f(x) đoạn [a;b] kỹ thuật  : xét tính liên tục hàm số cho đoạn [a;b] công nghệ  : thừa nhận định lý : “ Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] có nguyên hàm đoạn đó” (Sgk Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn Sách chỉnh lý hợp năm 2000) Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao phát biểu tương tự, có khác thay đoạn [a;b] khoảng K OM3 : Tính nguyên hàm  f ( x)dx Kiểu nhiệm vụ T : Tính nguyên hàm số hàm số Để tính nguyên hàm hàm số, người ta đưa kỹ thuật sau 1-kỹ thuật 1 : Dùng bảng nguyên hàm tính chất ngun hàm cơng nghệ 1 : Áp dụng định nghĩa nguyên hàm (Sgk 2000) “Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) với x  (a;b), ta có F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a;b) đoạn [a;b] ta phải có thêm F’(a+ ) = f(a) F’(b-) = f(b)” Với sách gk 2007 định nghĩa ngắn gọn sau : “Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K F’(x) = f(x) với x thuộc K” Tuy nhiên có kèm theo ý K = [a;b] tác giả ghi đẳng thức F’(a) = f(a) , F’(b) = f(b) hiểu : lim xa F ( x)  F (a )  f (a ) xa Sách gk 2007 dùng ký hiệu  f ( x)dx lim x b  F ( x)  F (b)  f (b) xb để nguyên hàm hàm f, (  f ( x)dx) '  f ( x) x3  Ví dụ : Hàm số F(x) = nguyên hàm hàm số f(x) = x2 đoạn [a;b] tùy ý F’(x) = x2 , x  (a;b) 2-kỹ thuật 2 : Dùng đạo hàm hàm số hợp công nghệ 2 : Bảng nguyên hàm Ví dụ 3- trg 139  a/  x dx  x C Trong chương trình, học sinh học đạo hàm nguyên hàm - tích phân lớp 12 chương trình cải cách từ năm 1992 năm 2007 Riêng chương trình phân ban Đạo hàm học từ lớp 11 phần lớp 12 cịn ngun hàm - tích phân dạy lớp 12 Nội dung kiến thức gồm vấn đề sau :  Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học đạo hàm ý nghĩa vật lý đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm cấp cao Vi phân  Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số : tính đơn điệu, cực trị hàm số giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tập xác định, tính lồi lõm, điểm uốn đồ thị hàm số Khảo sát số hàm số  Định nghĩa nguyên hàm Các tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm  Định nghĩa tích phân Các tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân Ứng dụng tích phân để tính diện tích thể tích  Về kỹ năng, yêu cầu học sinh thành thạo việc tính tích phân số hàm số, vận dụng tích phân để tính diện tích, tính thể tích Chương trình trọng đến công thức Newton-Leibniz, phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần 3.2.1 Định nghĩa tích phân thời kỳ 1992-2000 Thời kỳ có sách Giải tích lớp 12, giáo viên tùy ý lựa chọn để dạy Sách giáo khoa tác giả : GS Phan Đức Chính – GS Ngơ Hữu Dũng – Hàn Liên Hải, xuất năm 1992, định nghĩa tích phân trình bày sau (bộ sách M1) : Trước hết tác giả đưa khái niệm diện tích hình thang cong * Giả sử y = f(x) hàm số liên tục có giá trị khơng âm đoạn [a;b] Hình chắn phía đồ thị hàm số y = f(x), phía Ox, hai bên đường thẳng x = a , x = b , gọi hình thang cong (h.45) y o a b x Để tính diện tích hình thang cong đó, ta xem phương pháp sau Chia đoạn [a;b] n phần điểm chia x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b đặt xi = xi – xi-1 = ba n (i = 1,2,…,n) Trên đoạn [xi-1 ; xi] ta có hình thang cong nhỏ với điện tích Si xấp xỉ diện tích hình chữ nhật có cạnh đoạn [xi-1 ; xi], cạnh có độ dài f(xi) tức Si  f(xi) xi , i=1,2, ,n Diện tích hình thang cong lớn tổng diện tích Si hình thang cong nhỏ S = S1 + S2 +…+ Sn mà ta kí hiệu vắn tắt : n S =  Si S  i 1 n  f(x ).x i i 1 i ba nhỏ, diện tích Si hình thang cong nhỏ n Với n lớn, hiệu xi = xi – xi-1 = gần diện tích hình chữ nhật nhỏ tương ứng, ta coi n S = lim n   f(x ).x i 1 i (1) i b Giới hạn vế phải (1) kí hiệu  f(x)dx a Như tác giả dùng phương pháp tương tự lớp để chuẩn bị cho việc định nghĩa tính tích phân Nói cách khác tích phân xây dựng dựa diện tích hình chữ nhật tổng vô hạn vô bé Vô bé diện tích hình chữ nhật chiều rộng ngày bé Từ tác giả định nghĩa tích phân sau : Định nghĩa : Giả sử y=f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] Chia đoạn [a;b] n phần điểm x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b đặt xi = xi – xi-1 = ba n (i = 1,2,,,n ) b  f(x)dx Tích phân f(x) , lấy từ a đến b , kí hiệu (2) a n giới hạn n  +  tổng i (3)  f(x ).x (4) i 1 i n b Nói cách khác :  f(x)dx = lim a  f(x ).x n  i 1 i i Định nghĩa có ưu điểm nêu lên chất tích phân giới hạn tổng vô hạn vô bé Sau định nghĩa xong tác giả có ghi quan trọng : Nếu f(x) có giá trị khơng âm đoạn [a;b] tích phân (2) diện tích S hình thang cong xét * Sau xây dựng định nghĩa xong, tác giả nhận thấy việc tính tích phân định nghĩa số hàm số phức tạp Ví dụ : để tính  (1  x)5 dx định nghĩa khó, khơng nói khơng thể tính được, hàm hợp xuất để giải toán có dạng dạng tương tự Do mặt sư phạm, tác giả đưa công thức Newton – Leibniz sau : Giả sử y = f(x) hàm số liên tục đoạn [ a;b] F(x) nguyên hàm f(x) đoạn đó, : b  f(x)dx = F(b) – F(a) a Công thức thể rõ mối quan hệ nguyên hàm tích phân.Ở ta nhận thấy với hàm số liên tục đoạn [ a;b] phần diện tích nằm bên hiển nhiên tồn tại, hàm diện tích theo nghĩa Leibniz nên có ngun hàm Đạo hàm hàm diện tích hàm số y = f(x) cho đoạn [a;b] Sách giáo khoa tác giả Trần Văn Hạo – Phan Trương Dần – Nguyễn Văn Dự – Cam Duy Lễ (NXBGD-1992, sách M2) - Trước hết tác giả giới thiệu sơ qua tốn diện tích, sau đưa khái niệm hình thang cong diện tích hình thang cong sau : Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng ( ; ) f(x) > với x  ( ; ) ta chia khoảng ( ; ) thành nhiều khoảng nhỏ f(x) tăng giảm, giả sử a , b  ( ; ) cho [a ; b] , f(x) liên tục tăng dương Với x  ( ; ), ta ký hiệu dx đường thẳng qua x song song với Oy Ký hiệu S(x) diện tích hình thang cong giới hạn trục Ox, đường cong y = f(x) hai đường thẳng da ; dx với giả thiết S(a) = Đến tác giả chứng minh S(x) nguyên hàm f(x) Thực chất cơng trình Newton, diễn đạt phù hợp với kiến thức học sinh Sau chứng minh xong, đưa nhận xét diện tích S hình thang cong giới hạn đường thẳng x = a , x = b, trục Ox đường cong y = f(x) S = S(b) – S(a) S(x) ngun hàm f(x) Như thơng qua tốn điện tích hình thang cong để xây dựng định nghĩa tích phân khơng nhắc đến cơng thức Newton-Leibniz Sách giáo khoa chỉnh lý hợp năm 2000 tác giả Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn (NXBGD-2000 sách M3) Việc xây dựng định nghĩa tích phân hồn tồn giống sách M2 nhóm tác giả Trần Văn Hạo – Phan Trương Dần – Nguyễn Văn Dự – Cam Duy Lễ Ứng dụng tích phân sách trình bày có khác sau nhóm tác giả : 1/ Sách M1 Giả sử f(x) g(x) hai hàm số liên tục đoạn [a;b] thoả mãn điều kiện g(x)  f(x) với x  [a;b] diện tích S hình phẳng bị chắn phía đồ thị hàm y = f(x), phía đồ thị hàm y = g(x), hai bên đường x = a , x = b b S =  [f(x)  g(x)]dx (1) a b  f(x) dx cho hàm f(x) nhận giá âm đoạn [a;b] không thấy đưa công thức S = a 2/ Sách M2, phân chia làm công thức sau : 2.1 Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] f(x)  với x  [a;b] diện tích hình thang cong giới hạn đường cong y = f(x), hai đường thẳng x = a, x = b trục hoành b S =  f(x)dx (2) a 2.2 Nếu f(x) nhận giá âm đoạn [a;b] diện tích giới hạn đường y = f(x) , x = a, x = b , y = b S=  f(x) dx (3) a 2.3 Diện tích hình phẳng : giống cách trình bày tác giả thuộc sách M1, nghĩa đưa công thức b  S = [f(x)  g(x)]dx (4) a 3.2.2 Định nghĩa tích phân thời kỳ 2000-2007 Sách chỉnh lý hợp năm 2000 nhóm tác giả Ngơ Thúc Lanh – Ngơ Xuân Sơn – Vũ Tuấn (bộ sách M3) Cũng trình bày cơng thức tính diện tích cơng thức (2), (3), (4), nhiên với công thức (4) tác giả đưa nhận xét : tìm nghiệm phương trình f(x)  g(x) = thuộc đoạn [a;b] Giả sử ,  a   <   b ta có : f(x)  g(x)  f(x), g(x) liên trục khoảng ( ; ), f(x) – g(x) giữ nguyên dấu nên :    f(x)  g(x) dx   [f(x)  g(x) dx  (5)  Nhờ nhận xét này, giúp học sinh tính tích phân khơng phải xét dấu biểu thức dấu tích phân Nhận xét loại sách viết thời kỳ khơng thấy xuất tính tích phân cách sử dụng diện tích hình biết, phải hạn chế sách giáo khoa thể chế có từ trước, mà xuất phát lần biên soạn sách giáo khoa lần Việt Nam không đề cập đến Cả sách dùng diện tích hình thang cong, chứng minh đạo hàm hàm diện tích đoạn [a;b] nguyên hàm hàm số f đoạn Đây công việc mà Newton làm vào cuối kỷ thứ XVII, đồng thời kết hợp với công thức Newton-Leibniz để xây dựng định nghĩa tích phân, nhiên khơng thấy tác giả làm tốn nguợc lại, dùng diện tích để tính tích phân 3.2.3 Định nghĩa tích phân thời kỳ phân ban –năm 2007 Trước hết sách giải tích 12 – nâng cao (bộ sách PB1) đưa tốn tính diện tích hình thang cong, có trình bày chứng minh sách M2 với mục đích chứng minh kết : S’(x) = f(x) với x thuộc (a ; b) nhóm tác giả : Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) –Nguyễn Huy Đoan- Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (Được soạn theo chương trình Trung học phổ thơng Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành kèm theo Quyết định số 47/2002/QĐ-BGD&ĐT ngày 19/11/2002 Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo) Các tác giả xây dựng định nghĩa tích phân bắt đầu tốn diện tích hình thang cong quãng đường vật Sau chứng minh hàm diện tích S(x) ngun hàm f(x) đoạn [a;b] hàm quãng đường nguyên hàm hàm vận tốc : s’(t) = f(t) = v, cách làm tương tự sách M2, sau đưa định nghĩa sau Định nghĩa : Cho f(x) hàm số liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F(b) b – F(a) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu  f(x)dx a b Ta cịn dùng kí hiệu : F(x) a để ỉ hiệu số F(b) – F(a) Vậy b  f(x)dx a b = F(x) a = F(b) – F(a) Tuy nhiên khơng thấy nói kết công thức Newton – Leibniz – mà sách M1 nói rõ Ngồi ra, ta thấy xuất : “  f ( x)dx nguyên hàm f nên ta có : b b  f ( x)dx  ( f ( x)dx) a ” a Như vậy, xem  f ( x)dx hàm số Các tác giả đưa kết : Nếu f(x) hàm số liên tục không âm đoạn [a;b], diện tích S hình thang cong b giới hạn đồ thị f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b S =  f(x)dx a Và “Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(t) Chứng minh quãng b đường mà vật khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b  f (t )dt ” a phần ứng dụng tích phân sách đưa công thức tương tự sách Phần đọc thêm sách có giới thiệu tổng tích phân phép phân hoạch điều kiện khả, tính bị chặn f(x) với mục đích giúp học sinh tìm hiểu thêm tích phân Sách giải tích 12 – ban (CB1) Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) – Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất trình bày tương tự Tuy nhiên ban nên tác giả đưa ví dụ cụ thể : ví dụ (trg 102) : “Tính diện tích hình thang cong giới hạn đường cong y = x2 , trục hoành đường thẳng x = , x = 1” Sách trình bày chứng minh : S’(x) = x , x  [0;1] Sau kết luận S(x) nguyên hàm hàm số f(x) = x2 đoạn [0;1] Mặt khác đoạn F(x) = x3 nguyên hàm hàm số f(x) = x nên : S(x) = Từ giả thiết S(o) = nên C = S(x) = x3 +C x3 Thay x = vào ta có diện tích cần tìm S(1) = Từ ví dụ ban đầu, tác giả đưa toán tổng quát cho hàm số f, sau đưa đến định nghĩa tích phân Phần giống sách nâng cao Đặc biệt sách nói : kí hiệu  f ( x)dx họ nguyên hàm hàm f F(x) + C Ý nghĩa hình học tích phân nêu sau định nghĩa, diện tích hình thang cong mà tác giả giới thiệu mở đầu 3.3 Đặc trưng phép tính ngun hàm chương trình hành  Phép tính nguyên hàm giảng dạy tường minh với ký hiệu  f ( x)dx phương pháp tính giống phương pháp tính tích phân Nguyên hàm trở thành tích phân khơng cận  Việc tính ngun hàm ln thực với có mặt ostensif   Việc tính tích phân b  f ( x)dx ln đưa việc tìm ngun hàm phương pháp tích phân dù a nguyên hàm cho dạng hay dạng khác Chúng cho thể chế hành, không tồn việc đọc ngược kết đạo hàm để tính nguyên hàm, có mặt hay vắng mặt ostensif  3.4 Thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 85 học sinh lớp 12 ban khoa học tự nhiên hai trường trung học phổ thơng Thành phố Hồ Chí Minh Vào thời điểm thực nghiệm, học sinh học xong chương Tích phân theo quy định chương trình phân ban hành Mỗi học sinh phát phiếu câu hỏi phải độc lập soạn thảo lời giải thời gian 30 phút giám sát người làm thực nghiệm Toàn văn phiếu câu hỏi trình bày phần phụ lục Dưới tập nêu phiếu câu hỏi: Bài Cho hàm số y = xlnx (x > 0) a/ Tính y’ e b/ Tính  (1  ln x)dx Bài Cho hàm số f(x) = x x 1 1) Một học sinh muốn tìm nguyên hàm F f R cách biến đổi f(x) thành dạng đạo hàm hàm số hợp, từ suy F(x) Hãy khoanh trịn biến đổi mà em cho phù hợp với mục đích bạn (Chỉ phép khoanh lần): a) y = u với u = x v = v b) y = u.v với u = x v = c) y = u' u x2 1 x2  với u = x2 + d) Em khơng biết e) Em có kết khác 2) Em nêu cách tìm ngun hàm F f R không? 3.4.1 Phân tích a priori Mục đích khơng phải đánh giá khả tính tích phân phần học sinh mà kiểm tra việc tính nguyên hàm cách đọc ngược kết đạo hàm trường hợp có mặt ostensif  Bài tập có phần Phần đầu câu hỏi nhiều lựa chọn yêu cầu biểu diễn hàm số f(x) = x x 1 dạng f(x) = F’(x) với x  R Phần thứ hai tập đề nghị học sinh nêu cách khác tìm hàm số F Mục tiêu tập kiểm chứng sống phép tính ngun hàm khơng có  Dưới đây, chúng tơi nêu chiến lược quan sát 1b: S1 Tích phân phần  u   ln x du  dx  x   dv  dx  v  x e e  (1  ln x)dx = x(1  ln x)   dx  2e  e  e e 1 S2 Phân tích thành tổng nguyên hàm lnx 1/x (chiến lược sai) e  (1  ln x)dx = e e 1  dx +  ln xdx e =e+ x1 =e+ -1 e S3 Đọc ngược kết đạo hàm (chiến lược tối ưu) Vì (xlnx)’ = + lnx nên nguyên hàm = lnx xlnx e  e (1  ln x)dx = x ln x =e Đối với 2, câu trả lời a Tuy nhiên cho câu trả lời khác học sinh chọn việc tính ngun hàm khơng có  phá vỡ hợp đồng 3.4.2 Phân tích a posteriori Với 1a, 85 học sinh tham gia thực nghiệm tính đạo hàm hàm số y = xlnx Tuy nhiên, có 34 học sinh nhận xlnx nguyên hàm + lnx huy động chiến lược tối ưu S3 51 học sinh lại huy động chiến lược S1 S2 (tích phân phần phân tích thành tổng) Kết cụ thể cho bảng sau: Số lượng Chiến S1 11 lược S2 40 S3 34 Không trả lời Kết cho thấy việc tìm ngun hàm gắn chặt với tích phân 51/85 học sinh tìm nguyên hàm + lnx nguyên hàm suy trực tiếp từ câu a Với 2a, 36/85 chọn câu trả lời c 49 học sinh cịn lại chọn câu trả lời khác khơng biết câu trả lời Điều đáng lưu ý dù có 36 học sinh chọn câu trả lời c (dạng viết mong đợi) có 12 học sinh nêu nguyên hàm F hàm số f cho Kết cho bảng sau: Số lượng Câu trả a 14 lời b c 36 d e 22 Không trả lời Kết cho thấy phép tính ngun hàm khơng có ký hiệu  trở thành phá vỡ hợp đồng việc đọc ngược kết đạo hàm nằm quan hệ thể chế 3.4.3 Kết luận Kết thực nghiệm chứng minh nguyên hàm cho dạng hay dạng khác, học sinh huy động phương pháp tính tích phân học để tìm ngun hàm Hơn nữa, việc tìm ngun hàm ln gắn chặt với ký hiệu  KẾT LUẬN Về điều kiện sinh thái phép tính tích phân thể chế Việt Nam Việc tính diện tích hình phẳng xem ứng dụng chủ yếu phép tính tích phân ý nghĩa khoa học luận tốn diện tích trở nên mờ nhạt với xuất phương pháp tính tích phân, phép tính diện tích khơng phục vụ cho phép tính tích phân, việc sử dụng cơng thức tính diện tích chiến lược tối ưu số phép tính Khái niệm hàm số hợp đưa vào nhằm phục vụ cho việc lấy đạo hàm hàm hợp trình bày cơng thức đổi biến số tích phân xác định Việc phân tích hàm số thành hợp hàm số sơ cấp không giảng dạy tường minh Điều khiến nhiều cách đổi biến trở thành khó hiểu Việc tính nguyên hàm gắn liền với ostensif  sử dụng phương pháp phép tính tích phân Điều dẫn đến nghịch lý giống Trần Lương Công Khanh luận án (2006) chương trình sách giáo khoa trước 2008: mặt, giai đoạn tìm nguyên hàm phép tính tích phân coi trọng giai đoạn tính số; mặt khác, việc tìm ngun hàm trở nên thừa nguyên hàm cho dạng hay dạng khác Những điều kiện sinh thái chương trình sách giáo khoa xây dựng chưa đủ cho sống phép tính tích phân Những hạn chế hướng mở đề tài Luận văn chưa đề cập đến khái niệm vi phân vốn sách giáo khoa huy động để tính tích phân phương pháp đổi biến số hay phương pháp tích phân phần Điều mở hai hướng cho việc nghiên cứu điều kiện sinh thái phép tính tích phân chương trình trung học phổ thơng Việt Nam: - Phân tích sinh thái khái niệm vi phân ostensi dx phương pháp tính tích phân - Xây dựng đồ án didactic dạy phép tính tích phân mơi trường sinh thái thuận lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Bình, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Nxb Khoa học kỹ thuật -2006 Nguyễn Văn Đòanh – Nguyễn Dõan Tuấn, Bài tập phép tính vi phân phép tính tích phân – Nxb Đại học quốc gia Hà nội,1999 Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Giáo dục-1994 Trần Lương Công Khanh, Nghiên cứu didactic khó khăn học sinh tiếp thu khái niệm tích phân, luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm TP HCM, 2002 Trần Lương Công Khanh, La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam, thèse de doctorat, Université Joseph Fourier, 2006 Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngơ Xn Sơn, Giải tích tóan học – tập Nxb Giáo dục - 1987 Nguyễn Văn Vĩnh, Về tuyến hàm chương trình cải cách giáo dục mơn tốn – Hội thảo giáo dục toán tin học 1992 Tiếng Anh , tiếng Pháp Adler I., Các phát minh toán học, NXB Giáo dục, 2001 Artaud M., Introduction l’approche écologique du didactique L’écologie des organisations mathématiques et didactiques 10 Fichtengôn G.M, Cơ sở giải tích tốn học, tập 1, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977 11 Howard Anton, Irl C.Bivens, Stephen L.Davis, Calculus – 12 Moreira Baltar P., Enseignement et apprentissage de la notion d’aire de surfaces planes: une étude de l’acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège, thèse de doctorat, Université Joseph Fourier, 1996 PHỤ LỤC Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh thực nghiệm Các em thân mến! Phiếu gồm tốn Các em có 20 phút để trình bày lời giải phía tập cho Lời giải khơng nhằm để đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Toán Các em sử dụng máy tính bỏ túi bảng nguyên hàm thông dụng Xin cám ơn tham gia em Bài toán Trên đoạn [0, 2], cho hàm số f xác định bởi: 2  x  3  x  x  f(x) =  a) Vẽ đồ thị hàm số cho b) Tính tích phân: I =  f ( x)dx Bài tốn 2 a) Tính tích phân: J =   x dx b) Em tính J cách khác với cách em làm không? Nếu có, nêu cách Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh thực nghiệm Các em thân mến! Phiếu gồm toán Các em có 20 phút để trình bày lời giải phía tập cho Lời giải không nhằm để đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Toán Các em sử dụng máy tính bỏ túi bảng đạo hàm thơng dụng Xin cám ơn tham gia em Bài Cho hàm số y = sin (2x -1)3 1) Tính y’ 2) Hàm số cho hàm số hợp hàm số nào? Hãy khoanh tròn câu trả lời mà em cho số câu trả lời đây: (Chỉ phép khoanh lần) a) y = sin u với u = (2x – 1)3 b) y = u3 với u = sin (2x – 1) c) y = sin u với u = v3 v = 2x – d) Em e) Em có kết khác: Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh thực nghiệm Các em thân mến! Phiếu gồm toán Các em có 30 phút để trình bày lời giải phía tập cho Lời giải khơng nhằm để đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Toán Các em sử dụng máy tính bỏ túi bảng nguyên hàm thông dụng Xin cám ơn tham gia em Bài tóan Cho hàm số y = xlnx (x > ) a/ Tính y’ e b/ Tính  (1  ln x)dx Bài Cho hàm số f(x) = x x 1 1) Một học sinh muốn tìm hàm số F thỏa F’(x) = f(x) với x  R cách biến đổi f(x) thành dạng đạo hàm hàm số hợp, từ suy F(x) Hãy khoanh trịn biến đổi mà em cho phù hợp với mục đích bạn: (Chỉ phép khoanh lần) a) y = u với u = x v = v b) y = u.v với u = x v = c) y = u' u x2 1 x2  với u = x2 + d) Em khơng biết e) Em có kết khác 2) Em nêu cách tìm hàm số F thỏa F’(x) = f(x) với x  R không? ... mở hai hướng cho việc nghiên cứu điều kiện sinh thái phép tính tích phân chương trình trung học phổ thơng Việt Nam: - Phân tích sinh thái khái niệm vi phân ostensi dx phương pháp tính tích phân. .. thức tính diện tích đa giác để tính tích phân I Mục đích khơng phải đánh giá kỹ tính tích phân học sinh mà kiểm chứng học sinh có dùng phép tính diện tích để phục vụ cho phép tính tích phân khơng,... từ chất khoa học luận khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng khái niệm có liên quan? Câu hỏi khiến chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái phép tính tích phân giảng dạy Tốn trung học phổ thông Khung