NGHIÊN CỨU SINH THÁI CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán

Trong các thói quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng didactic là tập hợp những cách ứng xử chuyên biệt của thầy được học si

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Phạm Lương Quý

NGHIÊN CỨU SINH THÁI CỦA

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Phép tính tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Giải tích lớp 12 và luôn xuất hiện trong đề thi tú tài cũng như đề thi đại học Những chướng ngại mà học sinh gặp phải khi tính tích phân bắt nguồn từ bản chất khoa học luận của khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng những khái niệm có liên quan?

Câu hỏi này khiến chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi nói trên Để làm việc này, chúng tôi đặt mình trong lý thuyết nhân chủng học didactic và sử dụng cách tiếp cận sinh thái Với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi ban đầu như sau:

Những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân được xây dựng như thế nào trong chương trình trung học phổ thông? Trong thực hành giải toán, những điều kiện trên vận hành như thế nào? Điều này đem đến những hệ quả gì?

2.1 Lý thuyết nhân chủng học

Lý thuyết nhân chủng học với tư tưởng chủ đạo là xem một đối tượng tri thức toán học như là một sinh vật sống nghĩa là có nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi, có những mối quan hệ ràng buộc với các đối tượng khác

Quá trình lý thuyết hoá nhân chủng học toán học gắn liền với việc “đặt vấn đề sinh thái học” (Problématique écologique) Theo Chevallard (1989), trong một thể chế đã cho, một tri thức O không tồn tại một cách tách rời mà trong tác động qua lại với các đối tượng thể chế khác Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại và hoạt động của tri thức O trong thể chế Nói cách khác chúng hình thành nên môi trường sinh thái của O

Theo Boch và Chevallard (1999) thì “cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích và đề cập đến những đòi hỏi được tạo ra giữa các đối tượng tri thức khác nhau cần dạy Sự

mô tả tri thức toán học do đó không phải bao giờ cũng đòi hỏi một cấu trúc làm sẵn mà luôn được diễn đạt nhờ những đối tượng hình thành nên nó Nhưng những đối tượng này, bây giờ duy trì những mối quan hệ qua lại theo thứ bậc cho phép nhận ra những cấu trúc sinh thái khách thể

2.2 Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân

Theo Chevallard (1989), “một tri thức không thể tồn tại trong một xã hội trống rỗng, bất kỳ một tri thức nào cũng xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định và được gắn với ít

nhất một thể chế nhất định nào đó” Nói một cách khác, mỗi tri thức là một tri thức của một thể chế

Ngoài ra, cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau, và để một tri thức có

thể tồn tại trong một thể chế thì nó cần phải tuân thủ một số đòi hỏi nhất định của thể chế Điều này kéo theo rằng nó phải tự thay đổi, nếu không nó không thể duy trì trong thể chế bởi vì thể chế là một cộng đồng, thực hiện một công việc nào đó

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức, chủ yếu dựa vào 3 thuật ngữ : đối tượng, cá thể và thể chế trong đó khái niệm cơ bản là thể chế vì nó chỉ rõ hệ thống thực tiển xã hội Trong phạm vi của sự

lý thuyết hoá này, một đối tượng tri thức O được coi là tồn tại ngay khi mà một cá nhân hay một thể chế nhận biết nó như đã tồn tại Chính xác hơn, người ta nói rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể chế I nếu như có một mối quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O là tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I

có với O nghĩa là : nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O …

Quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O, nói chung phản ảnh những gì diễn ra trong I liên quan đến số phận của O, cho biết O xuất hiện ở đâu trong I, O hoạt động như thế nào và giữ vai trò gì trong I Cũng như thế, đối tượng O tồn tại với một cá nhân X nếu như có một quan hệ cá nhân từ X đến O mà ta gọi

là quan hệ R(X,O), như vậy quan hệ cá nhân R(X,O) là toàn bộ những tác động qua lại mà X có thể thực hiện với O, thể hiện cách mà X biết O, như vậy có thể nói rằng việc học của cá nhân X đối với tri thức O nếu như quan hệ R(X,O) thay đổi : hoặc là nó bắt đầu được thiết lập (nếu chưa tồn tại) hoặc là

nó được thay đổi (nếu đã tồn tại)

Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành

tố trong thể chế Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi

hỏi người thầy phải thực hiện và quan hệ thể chế đối với học sinh xác định cái mà thể chế đòi hỏi người học sinh phải thực hiện

Số phận của một đối tượng tri thức được đặt dưới sự vận động nhất thời của thể chế Khi một đối tượng tri thức cần dạy O được đưa vào thì mối quan hệ thể chế với đối tượng này sẽ được thiết lập Quan hệ đó sẽ tồn tại suốt thời gian mà đối tượng O còn là mục đích được thua của việc dạy học Quan

hệ thể chế này được gọi là quan hệ thể chế chính thức với đối tượng O

Như vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ của một thể chế I đối với đối tượng tri thức O cho phép hiểu O xuất hiện ở đâu và bằng cách nào trong thể chế I, O tồn tại ra sao và được sử dụng như thế nào trong I Nó cũng cho phép chúng ta nắm bắt tốt hơn những quan hệ thể chế của thầy giáo và của học sinh đối với O, bởi vì quan hệ cá nhân của thầy giáo và của học sinh với tri thức O không hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế

Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức được tiếp nhận như thế nào với cá nhân X Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để

nó trở nên phù hợp với quan hệ thể chế Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kỳ một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thực sự là cái được thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa, hay những đối tượng không hề là cái được thua của việc dạy học nhưng vẫn có sự hiện diện của nó ở đó)

Theo quan niệm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể chế dạy học.Về mặt này,Chevallard cũng đã chỉ rõ :

“vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hệ quả của nó Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học” (1989)

Với lý thuyết nhân chủng học, chúng ta có những công cụ làm việc để nghiên cứu các ràng buộc thể chế có ảnh hưởng đồng thời đến cuộc sống của tri thức cũng như đến quan hệ của các chủ thể của thể chế đối với tri thức này

2.3 Hợp đồng Didactic

Hợp đồng didactic : quy tắc địa phương và nghĩa của tri thức

Theo quan điểm didactic, sự được thua chung của giáo viên và học sinh trong lớp là tri thức,

nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức này là rất khác nhau Điều đó trước hết là vị trí không đối xứng của họ trong quan hệ didactic : giáo viên khác với học sinh ở chỗ giáo viên được “giả định là biết”, và cũng còn ở chỗ được “giả định là có khả năng” đoán trước những gì học sinh sắp phải học Trách nhiệm của mỗi bên đối tác của tình huống giảng dạy không giống nhau : giáo viên phải giảng dạy cái gì đó, bằng cách nào đó; học sinh phải học để biết cái gì đó và biết như thế nào

Những gì mỗi bên có quyền làm hay không làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các qui tắc có khi tường minh nhưng chủ yếu là ngầm ẩn Ta đã thấy một thí dụ về kết quả các phép tính căn số học, có lời giải chấp nhận được hay không chấp nhận được tuỳ từng trường hợp và tuỳ từng nước

Hợp đồng didactic là một sự mô hình hoá các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy Sự mô hình hoá này do nhà nghiên cứu lập

ra G Brousseau (1980) đã trình bày khái niệm này như sau : “Trong một buổi học có mục đích là dạy

cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu được hỏi đặt ra, những thông tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tuỳ theo những gì giáo viên thực hiện,

có ý thức hay không, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình Trong các thói quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng didactic là tập hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp

những ứng xử của học sinh mà thầy trông đợi”

Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy

Những điều khoản của hợp đồng – không bao giờ được công bố hoặc nếu có thì cũng không phải dưới dạng toàn văn, vì thực tế chúng không thuộc loại công bố được – tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và trò nuôi dưỡng đối mặt với tri thức

Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các

phát biểu hoặc những lời giải thích Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua

Phải làm gì đây? Nhìn vào đâu để biết mình đã thành công? Phải làm gì nếu ta không thành công?

Đã cần phải biết cái gì để thành công ? Phải nói cái gì đây? Vừa qua đáng ra phải làm gì khác? Có biết bao nhiêu câu hỏi mà câu trả lời phụ thuộc vào hợp đồng didactic

Ta chỉ có thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của giáo viên và học sinh, rất cần cho phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện được quan sát vào trong khuôn khổ hợp đồng didactic để giải thích

Chẳng hạn, ta có thể gắn sự kiện “học sinh không mấy khi kiểm tra lại mình phát biểu những gì” với sự tồn tại của một hợp đồng didactic, theo đó “giáo viên luôn luôn có nhiệm vụ kiểm tra và hợp thức hoá những câu trả lời của học sinh” Như vậy, học sinh có thể đưa ra một câu trả lời sai, một phép chứng minh sai, dĩ nhiên là có nguy cơ bị thầy cho điểm kém Hợp đồng didactic ngầm ẩn nói trên cho phép học sinh không quan tâm kiểm tra mình đã trả lời thế nào cho các câu hỏi đặt ra mà khoán việc đó

cho giáo viên (Theo Comiti – 2000 – Hợp đồng Didactic – bài giảng cho lớp Thạc sỹ - ĐHSP Tp

HCM và Đại học Joseph Foutier)

Vấn đề là làm sao để thấy được hiệu ứng của hợp đồng didactic? trong một tình huống nhất định? tại một thời điểm nhất định? Người ta có thể làm theo một trong những cách tiến hành như sau :

D1: tạo một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt

(giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ (ta sẽ gọi tình huống đó là tình huống phá vỡ hợp đồng)

D2: phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy trong thực tế

Làm sao để đặt những thành viên chủ chốt vào một tình huống không quen thuộc?

Người ta có thể tiến hành theo nhiều cách:

1 Thay đổi những điều kiện sử dụng tri thức Việc sử dụng tri thức toán nổi bật nhất khi giải các bài toán, do đó người ta có thể biến đổi các đặc trưng của bài toán

2 Lợi dụng khi học sinh chưa biết cách vận dụng một số tri thức nào đó Có nhiều trường hợp: i) trong quá trình học, nhằm lúc học sinh chưa nắm được một số cách vận dụng tri thức

ii) lợi dụng những thay đổi về thể chế (như chương trình học, trình độ học sinh), làm thay đổi cách vận dụng tri thức

3 Đặt mình ra ngoài phạm vi của tri thức đang bàn đến hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đó không giải quyết được Đó là trường hợp những vấn đề đòi hỏi một sự mô hình hoá bằng từ ngữ toán học (những vấn đề được gọi là cụ thể) Các tiêu chí cho phép chọn một cách mô hình hoá và phán xét giá trị của cách mô hình hoá đã chọn nằm ngoài phạm vi toán học và do đó đã không được phát biểu trong việc dạy tri thức

4 Đặt giáo viên trước những ứng xử của học sinh không phù hợp với những điều giáo viên mong đợi Chẳng hạn đó là những câu trả lời khác lạ cho một bài toán

Thông qua việc phân tích những thành phần của hệ giáo dục thực tế, chúng ta sẽ xác định những quy tắc của hợo đồng didactic Có nhiều cách để xác định các qui tắc của hợp đồng didactic và ta có thể phối hợp chúng với nhau Sau đây là một vài ví dụ :

 Nghiên cứu các câu trả lời của học sinh trong một lớp học

 Phân tích những ước định Nhờ vậy ta sẽ thấy rõ hơn trách nhiệm của học sinh trong việc sử dụng tri thức

Phân tích những bài tập được giải hoặc được giảng dạy ưu tiên trong sách giáo khoa và sách bài tập qua đó ta sẽ thấy rõ hơn những quy tắc ngầm ẩn mà học sinh sử dụng

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chọn ra 3 điều kiện sinh thái của phép tính tích phân là phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính đạo hàm Với mỗi điều kiện sinh thái, chúng tôi thực hiện các điều tra khoa học luận và đối chiếu với việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt Nam để rút ra đặc trưng của mỗi điều kiện trong thể chế Việt Nam Từ đó, chúng tôi hình thành giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết

4 Tổ chức luận văn

Ngoại trừ phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương nghiên cứu lần lượt về phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính nguyên hàm Cấu trúc của các chương giống nhau: điều tra khoa học luận, phân tích chương trình và sách giáo khoa, đặc điểm của khái niệm, thực nghiệm Sau đây là một số tổ chức toán học mà chúng tôi sẽ đề cập đến trong luận văn

Định đề 1 : Toàn bộ thực tiễn của chủ thể được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác

nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn được tách ra từ những dòng chảy của thực tiễn

Định đề 2 : Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kỹ thuật

Định đề 3 : Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kỹ thuật phải xuất hiện sao cho có thể hiểu

được, có thể thấy được và phải lý giải được

Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm praxéologie Đó là một bộ gồm 4 thành phần như sau :

1- T : kiểu nhiệm vụ, gồm ít nhất một nhiệm vụ t

2- τ: kỹ thuật để hoàn thành nhiệm vụ t

3-  : Công nghệ để lý giải cho kỹ thuật τ

4-  : lý thuyết để giải thích  còn gọi là công nghệ của công nghệ 

Khi T là một kiểu nhiệm vụ toán học thì tổ chức [ T, τ, ,] được gọi là một tổ chức toán học

Sự xuất hiện của một praxéologies sẽ cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể chế

Cách tiếp cận chương trình và sách giáo khoa theo quan điểm các praxéologies toán học sẽ cho phép ta thấy được và có thể giải thích được mối liên hệ giữa phần lý thuyết và phần bài tập, đồng thời

sẽ giúp chúng ta làm rõ quan hệ của thể chế I đối với tri thức O mà ta đang xem xét, cụ thể O xuất hiện như thế nào, giữ vai trò gì trong I Thực vậy, khi phân tích, chúng ta sẽ phải trả lời những câu hỏi sau :

* Về kiểu nhiệm vụ T : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? ở đâu ? các lý do đưa T vào có được làm rõ không ? Hay là T chỉ xuất hiện một cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động cơ ? T có mối liên hệ nào với các phần toán học khác

Giả sử T là một kiểu nhiệm vụ nào đó, ta được đặt trước câu hỏi Q : làm thế nào để thực hiện

nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T ? Vấn đề là tìm một câu trả lời R cho câu hỏi Q này Như vậy để tìm

câu trả lời cho Q trước hết là tìm một cách làm, nghĩa là tìm cái mà ta gọi là một kỹ thuật  (technique)

* Về kỹ thuật τ : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? hay chỉ mới được phát thảo ?  có dễ

sử dụng không ? phạm vi sử dụng của  như thế nào, tương lai của  ra sao ?

T và  tạo thành “khối” [T , ] mà ta gọi là khối thực hành kỹ thuật (pratico-technique), và thường

đồng nhất nó với cách làm, kỹ năng (savoir – faire) Ở đây cần lưu ý ba điểm :

Thứ nhất : một kỹ thuật  - một cách làm chỉ cho phép thành công trên một phần của T Ta ký hiệu phần đó là P() và gọi đây là tầm ảnh hưởng của kỹ thuật, nó dẫn đến thất bại trên phần T \ P(), như thế,

sẽ có một kỹ thuật vượt lên một kỹ thuật khác

Thứ hai : một kỹ thuật  không nhất thiết là một algorit hay gần như một algorit, thậm chí rất

hiếm khi như vậy Nhưng đúng là dường như tồn tại khuynh hướng algorit hoá các kỹ thuật, và quá

trình hoàn thiện các kỹ thuật này đôi khi khó mà dừng lại trong một thể chế nào đó, về một kiểu nhiệm

vụ nào đó

Thứ ba : trong cùng một thể chế I, đối với một kiểu nhiệm vụ T xác định, nói chung chỉ tồn tại một

kỹ thuật duy nhất, hay cùng lắm là một số ít kỹ thuật, được thể chế thừa nhận, dù thực ra có thể tồn tại

những kỹ thuật khác, nhưng ở trong những thể chế khác Cần phải phân biệt rõ thuật toán chỉ là trường hợp đặc biệt của kỹ thuật

* Về yếu tố công nghệ - lý thuyết : Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật  có được đặt ra không ? hay kỹ thuật  tự nó đã rõ ràng, tự nhiên ? Hình thức giải thích có gần với hình thức chuẩn của toán học không ?

Khi quan sát hoạt động của con người trong những thể chế khác nhau, ta thấy thường xuất hiện một “bài giảng” về kỹ thuật cho phép thực hiện T “bài giảng” đó có mục đích hợp thức hoá, giải thích, biện minh cho cách làm  Đó là thành phần thứ ba của praxéologie, mà ta gọi là công nghệ .Công nghệ cũng có thể khác nhau tùy theo thể chế và cũng có thể chẳng quan hệ với một yếu tố lý thuyết nào

cả

Công nghệ có 3 chức năng : biện minh, giải thích, và tạo ra kỹ thuật

 biện minh : nhằm mục đích bảo đảm rằng kỹ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng

 giải thích : làm cho người ta hiểu được vì sao lại làm như vậy

 tạo ra kỹ thuật

Đến lượt mình, trong công nghệ chứa đựng những khẳng định mà người ta có thể yêu cầu giải thích đó là lý thuyết  để giải thích cho công nghệ  mà ta gọi là công nghệ của công nghệ, thành

phần thứ tư của một praxéologie

Như vậy  và  tạo thành khối công nghệ- lý thuyết [,] Khối này thường được xác định như

một tri thức (savoir), còn khối [T , ] tạo thành một kỹ năng (savoir – faire) Với cách hiểu khái niệm

praxéologie đã trình bày ở trên thì :

- Kiểu nhiệm vụ T là có trước khối công nghệ- lý thuyết [,] Như vậy một tổ chức toán học là

một câu trả lời cho một câu hỏi Q, đó là : làm thế nào để thực hiện một nhiệm vụ t  T ?

4.1.2 – Tổ chức toán học tham chiếu

Trong luận văn, chúng tôi khảo sát 3 vấn đề liên quan đến điều kiện sinh thái của tích phân, đó là :

Phép tính diện tích - đạo hàm, hàm số hợp – phép tính nguyên hàm Để làm sáng tỏ các vấn đề này, chúng tôi đưa ra các tổ chức toán học cần phân tích và được trình bày dưới đây : cụ thể là làm rõ

và đánh giá các thành phần của nó

OM1 : Đạo hàm

Trong Chương Đạo hàm, của sách giáo khoa lớp 11–Đại số và Giải tích Nâng Cao (NXBGD –

tháng 06 năm 2007) chúng tôi thấy có những kiểu nhiệm vụ sau đây :

T1: Đạo hàm của hàm số tại một điểm (định nghĩa và đưa ra quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa, ý nghĩa hình học của đạo hàm là bài toán tiếp tuyến, ý nghĩa cơ học của đạo hàm là bài toán vận tốc tức thời)

T2 : Đạo hàm của hàm số trên một khoảng J (định nghĩa và ví dụ)

T3 : Tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Các hàm số thường gặp là : y = C (hằng số) ; y = x ; y = xn ; y = x kỹ thuật 1 : Dùng định

nghĩa đạo hàm tại một điểm để chứng minh định nghĩa được phát biểu như sau : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x 0 thuộc khoảng đó Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số :

T4 : Các quy tắc tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số có đạo hàm trên khoảng J)

T5 : Đạo hàm của hàm số hàm hợp

(khái niệm về hàm số hợp và định lý tính đạo hàm của hàm số hợp)

Trong kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ sau :

T52 : Đạo hàm của hàm số hợp

 52 : tính được đạo hàm của hàm số hợp 

công nghệ 52: Định lý về đạo hàm của hàm số hợp

“Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến x là y’ x thì hàm

số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y’ x = y’ u u’ x ”

T6 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác

(y = sinx , y = cosx ; y = tanx ; y = cotx)

T7 : khái niệm vi phân tại một điểm

T8 : Đạo hàm cấp cao (đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n)

Chương đạo hàm ở lớp 11 nâng cao được dạy đến kiểu nhiệm vụ T8 thì tạm ngưng Lên lớp 12, học sinh được học tiếp Sách Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên trình bày thêm các kiểu nhiệm vụ sau :

T9 : Đạo hàm của hàm số lũy thừa được nêu ra trong bài hàm số lũy thừa (số mũ hữu tỷ y = n x ,

n   , n 2 và hàm số vô tỷ y = x ,   )

T10 : Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít được nêu ra trong bài hàm số mũ hàm số lôgarít

Trong vấn đề nghiên cứu, chúng tôi chỉ quan tâm đến điều kiện sinh thái của phép tính tích phân

do đó chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T3 và T5

OM2 : Điều kiện khả tích

Kiểu nhiệm vụ T : khảo sát sự khả tích của một hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

kỹ thuật  : xét tính liên tục của một hàm số đã cho trên đoạn [a;b]

công nghệ  : thừa nhận định lý : “ Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm

trên đoạn đó” (Sgk do Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn Sách chỉnh lý hợp nhất năm

2000)

Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao cũng phát biểu tương tự, chỉ có khác là thay đoạn [a;b] bằng khoảng K

OM3 : Tính nguyên hàm  f x dx( )

Kiểu nhiệm vụ T : Tính nguyên hàm của một số hàm số

Để tính nguyên hàm của một hàm số, người ta đưa ra các kỹ thuật sau

1-kỹ thuật 1 : Dùng bảng các nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm

công nghệ 1 : Áp dụng định nghĩa nguyên hàm (Sgk 2000)

“Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x  (a;b),

ta có F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải có thêm F’(a + ) = f(a) và F’(b - )

= f(b)”

Với sách gk 2007 thì định nghĩa ngắn gọn như sau :

“Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi

 b/

1 1

Phần nguyên hàm, các tác giả trình bày đơn giản, dễ tiếp thu

3-kỹ thuật 3 : Dùng phương pháp đổi biến số - chỉ có trong sgk 2007

công nghệ 3 : Dùng định lý sau đây :

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là  f u du( ) = F(u) + C thì



Giải : Ta có (2x + 1)4 dx = 1

2(2x + 1)4(2x + 1)’dx = 1

2(2x + 1)4d(2x+1) Đặt u = u(x) = 2x+1 áp dụng công thức, ta có :

4(2x1) dx

số Các ví dụ kế tiếp bám sát với định lý, cùng có dạng  f u u dx( ) ' , học sinh dễ dàng nhận ra Không yêu cầu cao

4-kỹ thuật 4 : Dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

công nghệ 4 : Dùng định lý sau đây (Sgk 2000)

Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đó, thì trên

khoảng hay đoạn đó

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )

u x v x dx u x v x  u x v x dx

hay udv uv vdu

Với Sgk 2007 thì viết gọn hơn là : “Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ….”

Ví dụ : tính xe dx x

Đặt u(x) = x và v’(x) = ex , ta được u’(x) = 1 và v(x) = ex Do đó

Kiểu nhiệm vụ T1 : Dùng phương pháp đổi biến số

kỹ thuật 1 : Đặt biến số phù hợp với đề bài, kỹ năng tính đạo hàm

1-công nghệ 11 : Định lý (về đổi biến số dạng 1) Sgk-ncao – trg 158

Nếu hàm số u = u(x) và có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a,b là hai số thuộc K thì

( ) ( )

u b b

2-công nghệ 12 : Định lý (về đổi biến số dạng 2)

 , sau đây là lời giải của sgk

Đặt x = sint ta có dx = d(sint) = costdt , 0 = sin0 và 1 = sin

2

2 0

ẩn nhưng vô cùng quan trọng

Kiểu nhiệm vụ T2 : Dùng phương pháp tích phân từng phần

kỹ thuật 2 : Kỹ năng về đạo hàm và nguyên hàm

1( )0

xe e dx = e – (e – 1) = 1

OM5 : Tính diện tích

Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính diện tích hình phẳng

1-kỹ thuật 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

công nghệ 1 : Dùng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục

trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là :

2-kỹ thuật 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Trong đó f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

Với kỹ thuật này, học sinh cần tìm giao điểm của hai đường cong trên đoạn [a;b] hoặc để xác định hai cận tích phân nếu đề bài chưa cho hai cận này sau đó hoặc là xét dấu biểu thức hoặc dựa vào vị trí

đồ thị của hai hàm f(x), g(x) để gở bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Nhận xét : Việc tính đạo hàm của một hàm số thông thường là dễ thực hiện hơn tính tích phân, bởi vì trong định nghĩa đạo hàm ta dùng phép lấy giới hạn từ đó thiết lập nhiều công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, hàm lượng giác, mũ và lôgarít, với hệ thống công thức này, giúp học sinh tính đạo hàm của hàm số được dễ dàng Trái lại định nghĩa nguyên hàm của một hàm số không cho ta một công cụ như vậy vì theo định nghĩa, phải tìm hàm F sao cho F’(x) = f(x) Công cụ chủ yếu là dựa vào

hai phương pháp đổi biến số và từng phần, mà đổi biến số thì liên quan đến hàm hợp, kiến thức này được học hết sức đơn giản, vì vậy đối với học sinh, việc tính tích phân thì khó hơn tính đạo hàm

OM6 : Tính thể tích

Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính thể tích vật thể

kỹ thuật 1 : Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng song song

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng song song (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a

và x = b (a < b) Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]

công nghệ 1 : Dùng công thức V = ( )

b a

S x dx

nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể thích của lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đã dùng ở môn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh

Kiểu nhiệm vụ T2 : Tính thể tích vật thể tròn xoay :

kỹ thuật 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) quay quanh trục Ox

công nghệ 1 : Dùng công thức V = 2( )

b a

f x dx

nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể tích hình cầu, hình nón, hình nón cụt đã dùng ở môn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh Dưới đây là phần phân tích các tổ chức toán học trong sách bài tập

OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000 Sách bài tập CT Phân ban 2007

OM1 T5 xuất hiện ở các bài tập 1.12 a,c,e – trg

7,8 ; 1.14 e,h,i,k,l,m,n – trg 8 hợp của 3 hàm Ví dụ y = sin2(cos3x)

T5 xuất hiện ở các bài tập 2.68 b,c,d – trg 81; 2.75 a,d – trg 82 ; 2.83 c,d –trg 83 Các hàm số hợp cho theo dạng hợp của ba hàm số ví dụ y = 3ln 2x2 OM2 Không có bài tập về điều kiện khả tích

OM3 a- Xuất hiện dạng tìm nguyên hàm

của hàm f mà không trình bày bằng kí hiệu - kĩ thuật 1 , 2 , thường xuất hiện b- Các bài tập tính f(x)dx , kĩ thuật

3, 4 Tìm hàm f(x) biết f’(x) -

Tương tự như chương trình hợp nhất

OM4 Các kỹ thuật về đổi biến số và từng phần xuất hiện

OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000 Sách bài tập CT Phân ban 2007

OM5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

- đường cong và trục hoành

- đường cong, trục hoành và đường thẳng

- đường cong, trục hoàng, trục tung và đường thẳng

- đường cong, trục hoành và 2 đường thẳng

- đường cong, và 2 đường thẳng

- hai đường cong cắt nhau

Tương tự

Ngoài ra còn tính thể tích vật giới hạn bởi đường cong, trục hoành đường cong, trục hoành và hai đường thẳng

Tương tự

“diện tích – tích phân” mà chúng tôi sẽ kiểm chứng trong phần bốn

1.1 Nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng

Các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài Các nhà toán học

Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong Leucippe (thế kỷ V trước công nguyên), Démocrite (460-370 trước công nguyên) và Antiphon (480-411 trước công nguyên) đã có những đóng góp vào phương pháp "vét cạn" của Hi Lạp, và sau này được Euxode (408-355 trước công nguyên)

nâng lên thành lí luận khoa học Ý tưởng của

phương pháp “vét cạn” là dựng hai hình phẳng U,

V chặn dưới và chặn trên cả hình phẳng có diện tích A cần tính lẫn hình phẳng S cho trước sao cho hiệu V – U bé tùy ý Sau đó, ta chứng minh A

= S bằng phản chứng

Đặc biệt, Archimède (287-212 trước công nguyên) đã áp dụng phương pháp vét cạn để giải

các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích Trong tác phẩm Về phép cầu phương parabole, ông chứng

minh chặt chẽ rằng “một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabole có diện tích bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân”

Giả sử BAC là viên phân parabole đã cho, A là điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến

BC ; Bb, Cc là hai đường thẳng song song với AM (M là trung điểm BC) Archimède chứng minh rằng diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc và lớn hơn một nửa diện tích viên phân Ông tiếp tục dựng một tam giác nằm trong viên phân giới hạn bởi cát tuyến AC và parabole Dễ dàng chứng minh rằng diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích tam giác ABC Hơn nữa, mỗi một

tam giác trong hai tam giác này phủ kín hơn một nửa diện tích viên phân ngoại tiếp nó Archimède có thể lập lại tiến trình này và dựng một đa giác có diện tích xấp xỉ viên phân parabole với sai số bé tùy ý Tuy nhiên, phương pháp vét cạn không giúp ta phát hiện kết quả mới Nó chỉ cho phép chứng minh một cách chặt chẽ bằng một cách khác những kết quả cảm nhận được Bức thư của Archimède gửi Eratosthène (chỉ mới được phát hiện vào đầu thế kỷ 20) cho phép hiểu được tốt hơn phương pháp khám phá của Archimède Dựa trên ý tưởng hình phẳng được tạo từ các “đường”, phương pháp của Archimède cho phép so sánh diện tích của viên phân với diện tích của tam giác nhờ các xem xét cơ học, chẳng hạn “cân” các đoạn thẳng tạo thành viên phân và tam giác Phương pháp này sử dụng nguyên lý đòn bẩy: khối lượng tỷ lệ nghịch với cánh tay đòn Các cánh tay đòn này cho phép thiết lập

tỷ số của các diện tích mà người ta chứng minh một cách hình học bằng phương pháp vét cạn

Johannes Kepler (1571 – 1630) đồng nhất đường tròn với một đa giác đều vô hạn cạnh nội tiếp đường tròn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn diện tích các tam giác vô cùng bé có đáy là cạnh đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn Theo cách viết hiện đại, ông thu được kết quả sau:

S(hình tròn) =  = R2

1

giac)tam(Năm 1635, Cavalieri (1598 – 1647) đề xuất phương pháp những cái không thể phân chia được Theo ông, bề mặt được tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đường” song song “Đường” ở đây được hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm Mỗi “đường” được gọi là một cái không thể phân chia được của bề mặt cần tính diện tích Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đường” cùng độ dài thì có diện tích bằng nhau Nguyên lý tương tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích của hai vật thể bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tương đương của chúng luôn bằng nhau (Hai thiết diện thẳng gọi là tương đương nếu chúng cùng là giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho trước)

Tính diện tích hình tròn bán kính R theo Cavalieri

Hình tròn được phủ kín bởi những đường tròn đồng tâm có độ dài 2r với r biến thiên từ 0 đến R

Các đường tròn này là những cái không thể phân chia được của hình tròn Tam giác có đáy 2πR và chiều cao R được phủ kín bởi các đoạn thẳng có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R Các đoạn

thẳng này là những cái không thể phân chia được của tam giác Hai hình phẳng đang xét được tạo

thành từ những cái khơng thể phân chia được cĩ cùng độ dài nên cĩ cùng diện tích Diện tích của

chúng là 2πR.R/2 = πR²

Độc lập với Cavalieri, trong khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung cyclọde, Roberval (1602-1775) phát triển một phương pháp những cái khơng thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần như số học với các cấp số cộng vơ hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri Trái với Cavalieri xem hình phẳng được tạo từ các đường, Roberval cho rằng nĩ được tạo từ các mặt

Khi thiết lập một phương thức chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân, Fermat (1601-1665) tìm cách phát biểu bài tốn diện tích dưới dạng đại số Điều này khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật tốn của giải tích các vơ cùng bé

Pascal (1623-1662) thay thế các lập luận trực giác của Cavalieri bằng những lập luận số học về chuỗi

Khi tính diện tích hình phẳng nằm dưới parabol y = x2, tại các điểm trên trục hồnh cĩ hồnh độ lập

thành cấp số cộng cơng sai d, ơng dựng các hình chữ nhật cĩ hai kích thước là d và (id)2 (i = 1, 2, , n), tính diện tích và xác định tổng S của chúng:

S = d.d2 + d.(2d)2 + + d.(nd)2 = d3 + 4d3 + + n2d3 = d3(1 + 22 + + n2) = d3[n(n + 1)(2n + 1)/6] = d3 3  2 6

2

3 n n n

Nếu số hình chữ nhật tăng lên vơ hạn, Pascal loại các số hạng n2/2 và n/6, giữ lại số hạng n3/6

Khi đĩ, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3

Trong tác phẩm Philosophiae naturalis principia mathematica của Newton (1642-1727) xuất bản

năm 1687, ta tìm thấy ba quan niệm khác nhau về phép tính vi tích phân: quan niệm về vơ cùng bé chịu ảnh hưởng của Barrow và Wallis, phương pháp dịng chảy, phương pháp tỷ số đầu và tỷ số cuối Newton cũng thu được kết quả về mối liên hệ giữa diện tích và hàm số được phát biểu bằng ngơn ngữ

hiện đại như sau: S’(x) = f(x)

Độc lập với Newton, Leibniz (1646-1716) cho rằng việc tìm tiếp tuyến với đường cong phụ thuộc vào tỷ số giữa hiệu tung độ và hiệu hồnh độ khi các hiệu này trở thành vơ cùng bé Ơng cũng cho rằng việc tính diện tích phụ thuộc vào tổng các hình chữ nhật vơ cùng bé dựng trên các khoảng vơ cùng bé của trục hồnh Sau năm 1673, Leibniz đồng nhất bài tốn ngược của tiếp tuyến với bài tốn diện tích Ơng xây dựng phương pháp tính của mình dựa trên khái niệm vi phân (khơng hồn tồn giống khái niệm vi phân hiện đại) Phép tính hiệu là phép tốn cơ bản của Leibniz Việc lấy tổng là phép tốn ngược Trái với Newton luơn xét tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỷ số biến thiên, Leibniz đưa vào tích phân xác định Năm 1673, ơng tìm được định lý về biến hình cho phép thực hiện

phép cầu phương một đường cong thông qua một đường cong phụ Dưới đây là ví dụ minh họa mối

liên hệ giữa việc đổi tung độ z = x2 và phép biến hình do Leibniz thực hiện trong một phép cầu phương đặc biệt

Các điểm x và x + Δx được biến thành z = x2 và z + Δz = x2 + 2xΔx +

Δx2 Khi Δx tiến đến 0, các hình chữ nhật màu đen có cùng diện tích và do đó, hai tích phân 1,5 

0 2

1

4

dx x

1.2.1 Trong chương trình và sách giáo khoa tiểu học

Từ lớp 3, diện tích một hình (phẳng) được trình bày nhờ các ví dụ về so sánh diện tích nhưng không định nghĩa Thông qua các ví dụ này, khái niệm diện tích lấy một cách ngầm ẩn các ý nghĩa khác nhau:

- Diện tích là chỗ bị chiếm bởi một bề mặt;

- Diện tích là số ô vuông cần thiết để lát một bề mặt;

- Diện tích là số nhận được khi áp dụng một công thức

Ở lớp 3, thông qua hình vẽ và phép đếm các hình vuông đơn vị, sách Toán 3 trình bày các ví dụ sau:

- Diện tích của hình này nhỏ hơn diện tích hình kia

- Hai hình khác nhau nhưng có diện tích bằng nhau

- Diện tích của một hình bằng tổng diện tích của hai hình khác

- Công thức tính diện tích hình chữ nhật

- Công thức tính diện tích hình vuông

Như vậy, ở lớp 3, học sinh học công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, so sánh diện tích của hai hình và tính chất cộng tính của diện tích

Ở lớp 5, học sinh học công thức diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình tròn Trong phần bài tập, xuất hiện các kiểu nhiệm vụ sau:

T1 Tính diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

T2 Tính diện tích một đa giác ghép bởi tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông có hình vẽ và kích thước cho trước

T3 Tính một kích thước của hình chữ nhật biết diện tích và kích thước kia

1.2.2 Trong chương trình và sách giáo khoa trung học cơ sở :

Ở các lớp 6 và 7, việc tính diện tích không được nhắc đến Ở lớp 8, các công thức tính diện tích đã học

ở tiểu học được phát biểu lại dưới dạng định lý và thừa nhận, không chứng minh

1.2.3 Trong chương trình và sách giáo khoa trung học phổ thông :

Sách Hình học 10 (ban cơ bản) trình bày thêm 4 công thức diện tích tam giác:



S = pr

S p p a p b p c   )

với BC = a, CA = b; AB = c; R và r lần lựợt là bán kính đường tròn ngọai tiếp, nội tiếp tam giác; p là

nửa chu vi tam giác Diện tích của hình tròn không được nhắc đến trong sách này vì chương trình chỉ quan tâm đến phương trình của đường tròn

Sách Hình học 11 (ban cơ bản) viết về hình học không gian, trong đó thừa nhận, không chứng minh

các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối tròn xoay Sách Giải tích 12 (ban

cơ bản) phát biểu bài tóan diện tích hình thang cong và đưa vào khái niệm tích phân Trong phần lý thuyết, tích phân được dùng để chứng minh một số công thức diện tích như diện tích hình tròn, hình elíp

Như vậy, việc tính diện tích được dạy cho học sinh từ lớp 3 nhưng mãi đến lớp 12 thì công cụ tích phân mới cho phép tính diện tích của những “đa giác cong” và do đó hoàn chỉnh việc tính diện tích một hình phẳng bất kỳ

1.3 Đặc trưng của phép tính diện tích trong thể chế dạy học Việt Nam

Đối chiếu với nghiên cứu khoa học luận, phép tính diện tích trong thể chế Việt Nam có đặc trưng sau đây:

- Việc tính diện tích ở Việt nam chủ yếu là vận dụng các công thức đã học để tính diện tích một hình cho trước Ứng dụng của tích phân là để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi giới hạn một

số hữu hạn đường, cụ thể là :

 Giới hạn bởi đường cong y = f(x) , y = 0 , x = a , x = b

 Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và đường thẳng y = ax + b cắt nhau

 Giới hạn bởi 2 đường cong y = f(x) , y = g(x) cắt nhau

Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và 2 đường thẳng cắt nhau đôi một

- Khái niệm tích phân được đưa vào sau khi đã xây dựng các khái niệm hàm số và giới hạn Sách giáo khoa trình bày phép lấy tích phân như sự tổng quát hóa của bài toán diện tích hình thang cong Phép tính diện tích được ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân được giảng dạy trong chương trình Tuy nhiên, việc biểu diễn hình học tích phân hoàn toàn vắng bóng trong sách giáo khoa Trong phần lý thuyết, các tính chất của tích phân được phát biểu một cách đại số, không được xem là tính chất của diện tích (đại số hoặc số học) Trong phần bài tập, không có bài tập nào liên quan đến biểu diễn hình học tích phân

- Phương pháp đổi biến số, một trong hai phương pháp tính tích phân được chính thức giảng dạy, cho phép thực hiện phép tính không cần đến phép biến hình

Chúng tôi hình thành giả thuyết sau: Ở lớp 12, việc tính diện tích hình phẳng (giới hạn bởi các đường thẳng hoặc đường cong) được giải về mặt thể chế nhờ việc tính tích phân bằng các phương pháp đã học, ngay cả khi các công thức diện tích sơ cấp hoặc việc biểu diễn hình học tích phân là tối ưu trong một số trường hợp

1.4 Thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành trên 80 học sinh lớp 12 của hai trường trung học phổ thông tại thành

phố Hồ Chí Minh Vào thời điểm thực nghiệm, các học sinh này đã học xong chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo quy định của chương trình phân ban hiện hành Mỗi học sinh được phát một

phiếu câu hỏi và phải độc lập soạn thảo lời giải trong thời gian 20 phút dưới sự giám sát của người làm thực nghiệm Toàn văn phiếu câu hỏi được trình bày ở phần phụ lục Dưới đây là các bài tập nêu ra trong phiếu câu hỏi:

Bài 1 Trên đoạn [0, 2], cho hàm số f xác định bởi:

3

10

2

x khi

x

x khi

Bài 2

a) Tính tích phân: J =

2

2 0

Hàm số f trong bài 1 được xác định bằng hai công thức trên đoạn [0, 2] Đây là một sự phá vỡ hợp

đồng vì các hàm số phải tính tích phân trong sách giáo khoa đều được cho bằng một công thức Biểu

thức giải tích của f trên mỗi đoạn [0, 1] và [1, 2] đều là đa thức có bậc không vượt quá 1 Do đó, có thể dùng các công thức tính diện tích đa giác để tính tích phân I

Mục đích của bài 1 không phải là đánh giá kỹ năng tính tích phân của học sinh mà là kiểm chứng học sinh có dùng phép tính diện tích để phục vụ cho phép tính tích phân không, nhất là khi đề bài có yêu cầu vẽ đồ thị hàm số, nghĩa là có sự xuất hiện của phạm vi hình học và đồ thị trở thành một ngôn ngữ biểu đạt tạo thuận lợi cho sự chuyển đổi tích phân-diện tích

Bài 2 nhằm kiểm chứng sự sống của việc tính diện tích trong việc tính tích phân Phần b của bài này khuyến khích một cách giải khác với phương pháp đổi biến số

Chúng tôi nêu ra dưới đây các chiến lược có thể quan sát được đối với bài 1:

Chiến lược S1 Phân tích thành tổng và áp dụng công thức Newton-Leibniz

1 0

1

)3( x dx 2x10 +

2 1

2

3 = 27

Chiến lược S2 Công thức diện tích sơ cấp

S2a Tổng hai diện tích

I là tổng diện tích (tính bằng đvdt) của hình chữ nhật (2 đvdt) và hình thang (3/2 đvdt) I = 2 + 3/2 =

7/2

S2b Hiệu hai diện tích

I là hiệu diện tích (tính bằng đvdt) của hình vuông (4 đvdt) và hình tam giác (1/2 đvdt) I = 4 – 1/2 =

7/2

S2 (a hoặc b) là chiến lược tối ưu của bài tập 1

Với bài tập 2, các chiến lược có thể quan sát là:

S1 Đổi biến số

S1a Đổi biến số x = 2sint (hoặc x = 2cost) với 0  t  /2

S1b Đổi biến số u = 4 x 2 (chiến lược sai)

S2 Biểu diễn hình học tích phân

Đặt y = 4 x 2 , (0  x  2) (*) thì (*)  x2 + y2 = 4, y  0 Như thế, đồ thị của hàm số đang xét là nửa

đường tròn tâm O, bán kính 2, nằm phía trên trục hoành J là diện tích của nửa hình tròn tương ứng nên

J = 2

S2 là chiến lược tối ưu của bài tập 2

1.4.2 Phân tích a posteriori

Đối với bài tập 1b, chỉ có 2 trong số 80 học sinh không trả lời Điều này cho thấy bất chấp việc

hàm số f được cho bằng 2 công thức trên đoạn [0, 2], việc tính tích phân là quen thuộc đối với học sinh Tuy nhiên, dù đã vẽ được đồ thị của hàm số đã cho, toàn bộ 78 học sinh tham gia giải bài này đều chọn chiến lược S1 (phân tích thành tổng và áp dụng công thức Newton-Leibniz) thay vì chọn chiến lược tối ưu S2a hoặc S2b (công thức diện tích sơ cấp) Như vậy, học sinh sử dụng tích phân xác định để tính diện tích nhưng không sử dụng diện tích để tính tích phân

2

0

)

( dx x f

Đối với bài tập 2a, chỉ có 1 học sinh không trả lời Điều này chứng tỏ một lần nữa tính chất quen thuộc của kiểu bài tập này Trong số 79 học sinh tham gia giải bài này, không học sinh nào chọn chiến

lược tối ưu S2 (biểu diễn hình học tích phân) mà đều chọn S1a (x = 2sint) hoặc S1b (u = 4 x 2 ) Hơn nữa, trong phần b của bài tập 2, không học sinh nào nêu ra cách giải khác phương pháp đổi biến số Chúng tôi tổng hợp kết quả thực nghiệm trong bảng sau:

Số lượng Không trả lời

Bài 1b

ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân, việc sử dụng biểu diễn hình học để minh họa cho các tính chất tích phân và để giải bài tập hoàn toàn vắng bóng Nguồn gốc khoa học luận của tích phân trở nên khá mờ nhạt

Chương 2

Khái niệm hàm số hợp với tư cách là một điều kiện sinh thái của công thức đổi

biến số trong phép tính tích phân

2.1 Nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số hợp

Thời cổ đại: Từ 1000 năm trước công nguyên, những nhà toán học Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn, các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc ba trong hệ thập lục phân Còn người Hylạp thì thiết lập các bảng sin.Các bảng này xuất hiện để giải quyết các vấn đề về hình học đo đạc, nghiên cứu các đường cong, vật lý, thiên văn học… Thuật ngữ hàm số chưa xuất hiện trong thời kỳ này, tuy nhiên họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số

Nó có cơ chế của một đối tượng “protomathématique” : không có tên và cũng không có định nghĩa Nó chỉ xuất hiện ngầm ẩn yếu tố tính “phụ thuộc” không xuất hiện tường minh, cũng như yếu tố “biến” cũng không xuất hiện

Khái niệm này đến đầu thế kỷ XVII mới được hình thành rõ ràng và có hệ thống nhờ các công trình của Fermat và Descartes Giữa thế kỷ XVII do bài toán về sự giao động của sợi dây mà xuất hiện định nghĩa tổng quát của hàm số Danh từ hàm số (Function) được Leibnitz dùng lần đầu tiên vào năm

1694 Khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường

Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang

biểu thức giải tích Năm 1718, Johann Bernoulli nhà toán học người Thụy Điển đã định nghĩa : “Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi.” Năm

1748, D’Alembert cũng định nghĩa “Hàm số là một biểu thức giải tích” Trong thế kỷ XVIII biểu thức

giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số Tuy nhiên cũng có những định nghĩa tổng quát hơn nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc Năm 1755, Eule

định nghĩa : “Khi một đại lương phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai”

Liên quan đến kí hiệu hàm số, J.Bernoulli đề nghị dùng chữ Hylạp  được viết không có dấu ngoặc cho biến số x, được viết là : x Dấu ngoặc và kí hiệu f cũng như từ hàm số (function) về sau được dùng bởi Leonhard Euler trong bài báo của ông, thông báo năm 1734 và công bố năm 1740, trong suốt giữa thế kỉ thứ XVIII để mô tả một diễn đạt hay một công thức liên quan đến nhiều đối số

lập bằng cách nào thì điều này không quan trọng” Ông đưa ra một hàm số mà ta thường gọi là hàm

Vào cuối thế kỷ thứ XIX với sự ra đời của “lý thuyết tập hợp” của George.Kanto, người Đức 1918), các nhà toán học đã bắt đầu chính thức hoá tất cả các khái niệm toán học bằng lý thuyết tập hợp

(1845-và họ có vẻ như định nghĩa mỗi đối tượng toán học như là một tập hợp Nhà toán học Hardy (1904) đã

định nghĩa hàm số là một sự liên hệ giữa hai biến x và y như sau : “với một vài giá trị của x trong bất cứ trường nào tương ứng các giá trị của y” ( to some values of x at any rate correspond values of y) Ông ta

cũng không đòi hỏi hàm số được xác định cho tất cả giá trị của x cũng không liên kết mỗi giá trị của x với một giá trị duy nhất của y Người ta dựa vào lý thuyết này để định nghĩa hàm số Như vậy trong toán học có hai khuynh hướng cơ bản : định nghĩa hàm số dựa vào đại lượng biến thiên và định nghĩa hàm dựa vào lý thuyết tập hợp Theo “lý thuyết tập hợp” coi hàm số như một quy tắc tương ứng hay quan hệ giữa cá phần tử của hai tập hợp thoả mãn một số điều kiện nào đó, hay một bộ các tập hợp Sau đây là một vài trích dẫn định nghĩa theo lý thuyết này

2.1.1 Định nghĩa trong từ điển toán học “- bản dịch tiếng Việt của Hoàng Hữu Như và Lê Đình

Thịnh – NXB Khoa học và kĩ thuật 1993

“Phần tử của một tập hợp E y (bản chất bất kỳ) được gọi là hàm của phần tử x xác định trên một tập hợp E x (bản chất bất kỳ), nếu mỗi phần tử x của tập hợp E x được đặt tương ứng với một phần tử duy nhất y thuộc E y

Tùy theo bản chất các tập hợp E x , E y ta có các loại hàm khác nhau Nếu E x và E y là những tập hợp số thực nào đó, nghĩa là x và y nhận các giá trị là những số thực, thì ta có hàm số biến số thực hay đơn giản là hàm số.[…]

2.1.2 Định nghĩa của Schwartz (sinh ở Paris 1915) cho bài giảng giải tích

“Giả sử E và F là hai tập hợp, ta gọi là một ánh xạ từ E vào F hay một hàm xác định trên E và lấy giá trị trong F, tất cả các tương ứng f theo đó mỗi phần tử x của E được đặt tương ứng với một phần tử, kí hiệu f(x) của F

Kí hiệu EfF có nghĩa : f là ánh xạ từ E vào F E được gọi là tập nguồn, F là tập đích của ánh xạ

Hai định nghĩa này nhấn mạnh yếu tố : “tương ứng” của khái niệm hàm, các yếu tồ phụ thuộc và biến thiên hiện diện ngầm ẩn

2.1.3 Định nghĩa của Bourbaki :

“Giả sử E và F là hai tập hợp khác rỗng Quan hệ giữa một biến của x thuộc E và một biến y của

F được gọi là quan hệ hàm, nếu với mỗi x thuộc E, tồn tại một và chỉ một phần tử y thuộc F có quan hệ với x