THAY ĐỔI BIẾN Ở BẬC PHỔ THÔNG TRUNG HỌC - MỐI LIÊN HỆ GIỮA GIẢI TÍCH VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Việc chuyển sang hệ tọa độ mới cho phép tránh những phép biến đổi đại số phức tạp nhằm chứng minh I thỏa mãn điều kiện của một tâm đối xứng của đồ thị hàm số f – vốn không được đề cập tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN VĂN MINH

THAY ĐỔI BIẾN Ở BẬC PHỔ

THÔNG TRUNG HỌC - MỐI LIÊN

HỆ GIỮA GIẢI TÍCH VÀ HÌNH HỌC

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

Tôi xin trân trọng cám ơn quí thầy cô đã tận tâm truyền thụ cho chúng tôi kiến thức

về didactic toán, trang bị cho chúng tôi một công cụ khoa học và hiệu quả để nghiên

cứu chuyên môn, qua đó giúp chúng tôi tự tin, say mê và hạnh phúc trong từng giờ trên bục giảng Lời cảm ơn trân trọng xin được gởi đến:

 TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh

 PGS TS Lê Văn Tiến, giảng viên Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP Hồ Chí

Minh

 GS TS Claude Comiti, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp

 GS TS Annie Bessot, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp

 GS TS Alain Birebent , trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp Tôi xin cám ơn TS Nguyễn Xuân Tú huyên đã dành thời gian quí báu giúp tôi chuyển dịch luận văn này sang tiến pháp

Lời cám ơn chân thành xin gởi đến các bạn thân yêu học cùng khóa, những người

đã chia sẽ khó khăn vui buồn với tôi trong những năm tháng học cao họcCuối cùng

luận văn sẽ không sớm được hoàn thành nếu không có sự hy sinh, động viên của Trúc Huyền vợ tôi Luận văn này xin được đề tặng cho vợ tôi và Minh Quốc con trai của tôi

TRẦN VĂN MINH

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Phương pháp đổi biến xuất hiện trong lời giải nhiều dạng toán thuộc chương trình bậc trung học phổ thông Việt Nam : khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai tổng quát, đại số hóa các phương trình và bất phương trình qui về bậc hai, đại số hóa các phương trình lượng giác, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, … Có lẽ vì thế mà ta thường xuyên thấy sự tác động của “phương pháp đổi biến” trong các đề thi tú tài và đại học Điều đó khiến chúng tôi mong muốn tiến hành một nghiên cứu về sự hiện diện của nó trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt Nam

Chúng tôi bắt đầu quan sát sự hiện diện của đổi biến qua lời giải hai bài toán được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12, chương trình chỉnh lý hợp nhất 2000 Hai lời giải này được giới thiệu như những ví dụ minh họa, một cho dạng toán khảo sát hàm số, một cho dạng toán tính tích phân Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt hai lời giải đó

• Bài toán 1 (trang 80 sách giáo khoa giải tích 12) :

Khảo sát hàm số y = x 3 +3x 2 – 4

Tập xác định: R

y’ = 3x2+6x = 3x(x+2)

y’’ = 6x+6 = 6(x+1)

Bảng biến thiên

x – –2 –1 0  

y ’ 0 0

y 0 –2

- (I) - 4



Sau đó, bằng việc xét dấu y”, người ta nói rằng đồ thị hàm số là một đường cong lồi trong khoảng (-∞; -1), lõm trong khoảng (-1; +∞), và nhận I(-1; -2) làm tâm đối xứng Từ những kết quả trên, người

ta vẽ đồ thị của hàm số

Cuối cùng, nhận xét sau đây được nêu ra :

“Chú ý : Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI

, thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và tọa độ mới (X;Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức sau (gọi là công thức đổi trục):

Phân tích phần chú ý ở cuối lời giải trên, chúng tôi thấy phép đổi hệ trục tọa độ được sử dụng để

chứng minh điểm I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho ban đầu Việc chuyển sang hệ tọa

độ mới cho phép tránh những phép biến đổi đại số phức tạp nhằm chứng minh I thỏa m ãn điều kiện

của một tâm đối xứng của đồ thị hàm số f – vốn không được đề cập trong các sách giáo khoa 1 Ở đây,

đường cong ban đầu hoàn toàn được giữ nguyên, nhưng hệ tọa độ thay đổi Trong hệ tọa độ mới,

đường cong này trở thành đồ thị của một hàm số khác, thu được từ hàm số ban đầu bằng phép đổi biến

Sau đó, sử dụng tính chất đã được giới thiệu trong phần lý thuyết (“đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ

làm tâm đối xứng”) người ta suy ra I(-1; -2) là tâm đối xứng của đường cong

Như thế, trong trường hợp này, phép tịnh tiến hệ trục tọa độ được đặt tương ứng với một phép đổi

biến số

1 Trong các sách giáo khoa phổ thông Việt nam, người ta không giới thiệu định nghĩa tổng quát cho phép xác định điều kiện để điểm

I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f, chỉ nói rằng đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và đồ thị một

hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Khái niệm tâm đối xứng, trục đối xứng của một hình được đề cập trong HH lớp 10,

(chương trình 2000).

Ta thấy ở đây một sự phối hợp uyển chuyển trong việc sử dụng các hệ thống biểu đạt (registre)

của hai phạm vi (cadre) khác nhau – giải tích (GT) và hình học 2 (HH) Cụ thể : đồ thị là một sự biểu

đạt bằng ngôn ngữ HH (registre géométique) của hàm số Nhưng tất cả các tính chất của đồ thị đều có

thể được thể hiện qua những biểu thức GT (registre analytique), hay nói cách khác là có thể được

chứng minh trong phạm vi GT (cadre analytique) Song, trong lời giải trên, nhằm tránh những phép

biến đổi GT phức tạp, người ta ở lại trong phạm vi HH (cadre géométrique) để chứng minh tính đối

xứng của đồ thị

Liên tưởng với ý kiến của D ouady (1986) về tầm quan trọng của sự thay đổi phạm vi và hệ thống

biểu đạt trong hoạt động toán học nói chung, trong dạy học toán nói riêng, chúng tôi nẩy sinh mong

muốn nghiên cứu quan hệ giữa giải tích (GT) và hình học (HH) trong dạy học toán ở trường phổ thông

Việt-Nam Quan hệ này có thể được thể hiện qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến là một trong

những nội dung đó N hư thế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là : Đổi biến : quan hệ

giữa giải tích và hình học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

• Bài toán 2 (trang 135 sách giáo khoa giải tích 12) : Tính1 3

Như vậy, để tính tích phân từ 0 đến 1 của hàm số f xác định bởi biểu thức (2x+1) 3 người ta đã đổi

sang biến t = 2x+1 Khi đó miền giá trị của t biến thiên từ 1 đến 3 Hàm số f theo biến x trở thành hàm

thiết lập hàm hợp

Trong cả hai lời giải bài toán trên đều có sự tác động của phương pháp đổi biến 3 Tuy nhiên, việc

đổi biến trong mỗi lời giải được đặt trong một cách tiếp cận khác nhau : đối với bài toán thứ nhất, đổi

biến tương ứng với phép đổi hệ tọa độ ; đối với bài toán thứ hai, đổi biến tương ứng với phép lập hàm

hợp Chúng tôi nói rằng đổi biến đã được tiếp cận từ hai quan điểm :

2 Về các thuật ngữ regisstre và cadre bạn đọc có thể tham khảo Douady 1986

3 Trong luận văn này, để đơn giản, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “đổi biến” thay cho “phương pháp đổi biến” Vả lại, thuật ngữ thứ hai

có thể làm người ta nghĩ đến phương pháp giải quyết một vấn đề (hay một loại vấn đề) cụ thể, trong khi chúng tôi lại muốn dùng nó

theo nghĩa có sự xuất hiện của phương pháp đổi biến khi người ta giải một bài toán (hay một dạng toán) nào đó.

 Quan điểm 1: xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ Trong trường hợp này, hệ tọa độ thay đổi, còn đường cong (đồ thị của hàm số ban đầu) được giữ nguyên, nhưng trong hệ tọa độ mới thì nó trở thành đồ thị của một hàm số mới (thu được từ hàm số ban đầu bằng đổi biến) Chúng tôi nói đây là đổi biến theo quan điểm HH

 Quan điểm 2: xem việc đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp Chúng tôi nói đổi biến ở đây được nhìn từ quan điểm GT

Những ghi nhận về việc đổi biến trong lời giải của hai bài toán trên cũng như sự tác động thường xuyên của nó trong các kỳ thi tú tài và tuyển sinh đại học khiến chúng tôi quan tâm Chúng tôi tự hỏi :

 Q’1 : Đổi biến được đưa vào ở đâu trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt nam ? bằng cách nào ? chúng đóng vai trò gì ?

 Q’2 : Quan điểm nào - HH hay GT - được ưu tiên hơn trong thể chế dạy học bậc trung học phổ thông Việt nam ?

 Q’3 : Sự lựa chọn của thể chế tác động ra sao lên việc học của học sinh ?

II Khung lý thuyết tham chiếu

II.1 Lí thuyết nhân chủng học

Để tìm một số yếu tố cho phép trả lời cho những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trước hết trong phạm v i của lý thuyết nhân chủng học Tại sao lại là lý thuyết nhân chủng học ? Bởi vì

cả 3 câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến những khái niệm cơ bản của lý thuyết này : quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, và tổ chức toán học Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm v i lý thuyết của mình Để trình bày các khái niệm này, chúng tôi dựa vào những bài giảng didactic sẽ được công bố trong cuốn sách song ngữ Didactic toán

Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể

có với O R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào O, X có thể thao tác O ra sao

Theo quan điểm này việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O Cụ thể, việc học tập xẩy ra nếu quan hệ R(X, O) bắt đầu được thiết lập (nếu

nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại)

 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức Phân tích sinh thái

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào

đó có sự tồn tại của X Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định

Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác O sinh ra, tồn tại v à phát triển trong mối quan hệ ấy Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại

ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của

Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ

cá nhân R(X, O) ?

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó X uất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie

Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, ,,], trong đó : T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lí thuyết giải thích cho , nghĩa là công nghệ của công nghệ 

Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique)

Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức

O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O : “

Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp

những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch M và Chevallard Y., 1999)

Hơn thế, cũng theo Bosch M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với

O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong

O, bởi vì :

“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”

Như thế, việc chúng tôi lấy lý thuyết nhân chủng học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình

dường như là hoàn toàn thỏa đáng

II.2 Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy - học là sự mô hình hóa các quyền lợi và

nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó Nó là

“[…] một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và

hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy”

(Bessot và các tác giả)

Những điều khoản của hợp đồng tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và Trò duy trì đối với một

tri thức :

“Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định,

các hoạt động và đánh giá sư phạm Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối

tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến

hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích Nó là quy tắc giải m ã cho hoạt động sư phạm

mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua” (Tài liệu đã dẫn)

Như vậy, khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta "giải mã" các ứng xử của giáo viên và học

sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và

chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học

Theo định nghĩa trên, rõ ràng là những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu Q’1, Q’2 và Q’3 của chúng tôi đều có thể được tìm thấy qua việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan

đến đối tượng đổi biến

III Trình bày lại câu hỏi của luận văn

Giới hạn trong phạm vi lý thuyết didactic đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi ban đầu mà việc tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này

Hệ thống câu hỏi của chúng tôi xoay quanh những yếu tố cho phép xác định quan hệ giữa thể chế I -

thể chế dạy học toán ở lớp 12, với đối tượng O - “đổi biến”, và quan hệ cá nhân của học sinh lớp 12

với O

 Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào? nó lưu trú ở đâu (habitat), trong những tổ chức toán học nào? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó c ó những chức năng gì (niche), cho phép giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì? v.v…

 Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến

HH và GT ? Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?

 Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc nào của hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng

ra sao đến việc hình thành quan hệ cá nhân của họ với O? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể

vận hành O để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào?

Tuy nhiên, trước khi đi tìm những yếu tố trả lời cho ba câu hỏi trên, việc tiến hành một nghiên

cứu tri thức luận về đối tượng O là cần thiết Nghiên cứu đó sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về O trước

khi nghiên cứu cuộc sống của nó trong I Vì thế, chúng t ôi đặt thêm một câu hỏi cần phải được xem xét trước và gọi đó là câu hỏi Q0

 Q0 : về mặt toán học thì O có thể xuất hiện ở đâu, qua những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào ? có những quan điểm nào được gắn với O ?

IV Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm những yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi nêu trên

 Đối với câu hỏi Q0, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian, chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán Vì vậy, chúng tôi

sẽ chỉ giới hạn trong việc phân tích vài giáo trình toán dùng ở bậc đại học, xem nó như một cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu sự tồn tại của đổi biến trong thể chế dạy học bậc phổ thông Đây là nhiệm

vụ đầu tiên của chúng tôi Kết quả của nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 1 Trong chương này chúng tôi sẽ phải chỉ rõ : về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu ? với vai trò gì ? theo những quan điểm nào?

Tham chiếu vào những kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa toán lớp 12, nhằm vạch rõ cuộc sống của đổi biến trong thể chế mà chúng tôi quan tâm Trước khi phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ lướt qua c hương trình toán bậc trung học phổ thông để thấy được sự tiến triển của đối tượng “đổi biến” trong toàn bộ chương trình, và cũng phần nào làm rõ những mong đợi thể chế được phát biểu tường minh Việc xem xét một số đề thi tú tài và tuyển sinh đại học, thực hiện sau khi phân tích sách giáo khoa, sẽ giúp thấy rõ hơn, hay ít ra cũng là khẳng

định cho những yêu cầu của thể chế đã đư ợc chúng tôi rút ra từ phân tích chương trình Ba phân tích này được trình bày trong chương 2, chương “Một nghiên cứu thể chế về đổi biến”

Nghiên cứu thực hiện ở chương 2 nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 nêu trên Hơn thế,

nó sẽ cho phép chúng tôi đưa ra được những giả thuyết liên quan đến hợp đồng didactic chi phối ứng

xử của giáo viên và học sinh Nó còn có thể mang lại cho chúng tôi những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 : sự ưu tiên của thể chế đối với quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến việc học của học sinh ?

Chương 3 được dành cho việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết này qua một nghiên cứu thực nghiệm mà chúng tôi tiến hành với hai thành viên chính của thể chế là : người dạy và người học

 Về phía người học : Chúng tôi tìm kiếm h oặc xây dựng một số bài toán thực nghiệm có thể giải bằng cả hai cách đổi biến như đã nêu ở trên Sau đó, quan sát, thu thập và phân tích số

liệu thực nghiệm để làm rõ vai trò của từng quan điểm về sự thay đổi biến trong hệ thống dạy-

học toán bậc phổ thông trung học

 Về phía người dạy : Chúng tôi dự định thăm dò ý kiến của một số giáo viên dạy toá n lớp

12 qua một bộ câu hỏi điều tra, nhằm tìm hiểu quan điểm của họ về vai trò của đổi biến trong

dạy-học toán bậc trung học phổ thông , đồng thời kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đưa ra

Chương 1

ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN

Mục đích của chương này là tìm kiếm những yếu tố của câu trả lời cho câu hỏi Q 0: về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu, gắn với những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào? Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu trên các tài liệu gốc về lịch sử toán học, mà tìm kiếm câu trả lời trong vài giáo trình được sử dụng cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm

Lưu ý rằng chúng tôi quan tâm đến hai quan điểm có thể gắn với đổi biến :

- Quan điểm HH : xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ, và như thế thì đổi biến có thể gắn với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong phạm vi HH

- Quan điểm GT : xem đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp, là một tri thức thuộc phạm vi GT

Vì lẽ đó, chúng tôi chọn một giáo trình GT và một giáo trình HH đư ợc sử dụng trong các trường đại học sư phạm để nghiên cứu Cụ thể, đó là :

- Nguyễn Mộng Hy (2000), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục

- Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (1981), Giải tích toán học, NXB Giáo dục

I Quan điểm HH và quan điểm GT trong giáo trình «Hình học cao cấp»

Nội dung của cuốn sách bao gồm ba chương :

Chương 1 : Không gian afin và hình học afin

Chương 2 : Không gian ơclit và hình học ơclit

Chương 3 : Không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh

Liên quan đến hai quan điểm trên, ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là trong tài liệu này người ta chỉ nói đến vấn đề đổi mục tiêu, còn các vấn đề về hàm hợp không được xem xét Điều này có thể được giải thích bởi việc đây là một giáo trình HH

«Đổi mục tiêu» xuất hiện tường minh ở cả ba chương của cuốn sách, nhưng chúng tôi sẽ chỉ trình bày

ở đây những điểm chủ yếu được rút ra từ việc phân tích hai chương đầu, vì chương thứ ba đề cập đến các tri thức toán học không được xem xét ở bậc trung học

Chương 1 của giáo trình dành cho việc nghiên cứu các khái niệm không gian afin, mục tiêu afin, tọa độ afin (của một điểm đối với một mục tiêu), phé p biến đổi afin, m-phẳng và các siêu mặt bậc hai trong không gian afin Chương 2 nghiên cứu không gian ơclit, mục tiêu trực chuẩn, tọa độ trực chuẩn (của một điểm đối với một mục tiêu trực chuẩn), phép biến đổi đẳng cự, m-phẳng, siêu mặt bậc hai và siêu cầu trong không gian ơ clit Chúng tôi sẽ xem xét dưới đây những vấn đề liên quan đến đổi mục tiêu trong không gian afin và không gian ơclit

I.1 Đổi mục tiêu trong không gian afin và ứng dụng của nó

 Liên quan đến mục tiêu afin, tọa độ afin, chúng tôi thấy có công thức đổi mục tiêu Chúng tôi tóm lược lại dưới đây những nội dung được đề cập đến

Trong không gian afin n chiều An cho hai mục tiêu afin E0, Ei và  E’0, E’i lần lượt ứng với hai

cơ sở nền là  ei

và  ' i e



hất

với i = 1,2, n Giả sử các điểm E ’i có tọa độ đối với mục tiêu thứ nhất E0,

Ei là E’i = (ai1,ai2, , a in) với i = 0,1, n Khi đó, ma trận sau đây được gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu thứ n E0, Ei sang mục tiêu thứ hai  ' 

[x] = [a0] + C*[x’] (1) Trong công thức trên, [x], [x’], C* lần lượt là các ma trận chuyển vị của (x i), (x’i), C Công thức này được gọi là công thức đổi mục tiêu

 Sử dụng công thức đổi mục tiêu (1), người ta chứng minh được rằng nếu f : A n  An là một phép biến đổi afin thì phương trình của nó đối với mục tiêu cho trước {E0; Ei} (i 1, n ) là :

[x’] = C*[x] + [b] (2)

Trong công thức trên, [x] và [x’] lần lượt là ma trận chuyển của (x i) và (x’i) - các ma trận dòng

tọa độ của điểm X An và X’ = f(X)  An đối với mục tiêu đã chọn ; C* là ma trận chuyển vị của C -

ma trận đổi từ mục tiêu {E0;Ei} sang mục tiêu ảnh {E’0;E’i} ; [b] là chuyển vị của (b i) - ma trận dòng

tọa độ của điểm E’0 = f(E0)

 Công thức đổi mục tiêu (1) còn được sử dụng để tìm các kết quả về đơn hình m chiều, một số tính

chất của không gian afin, và các kết quả về siêu mặt bậc hai

Đặc biệt, nó đã được dùng để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc Cụ thể,

định lý sau được chứng minh nhờ công thức này :

Định lí Trong không gian afin A n với mục tiêu afin e , e i 0 

một siêu mặt bậc hai (S) có phương trình tổng quát là

i=1 r 2

i=1 r 2

i=1

I : e x = 1 , e = ±1, 1 r n

II : e x = 0 , e = ±1, 1 r n III : e x = 2x , e = ±1, 1 r n - 1

(Nguyễn Mộng Hy, 2000, trang 61, 62)

Ta thấy ở đây người ta đã phát biểu tường minh là “chọn một mục tiêu thích hợp” Điều này có

nghĩa là thực hiện một phép đổi mục tiêu Việc đổi mục tiêu cho phép đưa phương trình của mọi siêu

mặt bậc hai về một trong ba dạng đơn giản nhất, thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng Phân tích kỹ

phần chứng minh định lý, chúng tôi thấy đổi biến được sử dụng ngầm ẩn ở đây : phé p đổi mục tiêu

tương ứng với một phép đổi biến số - chính nhờ đổi biến số mà phương trình ban đầu được chuyển về

một phương trình mới đơn giản hơn Nói cách khác, ở đây có sự tác động của đổi biến dưới hình thức

đổi mục tiêu

I.2 Đổi mục tiêu trong không gian ơclit và ứng dụng của nó

Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với hai vectơ bất kỳ của nó sẽ trở thành một không gian vectơ ơclit (Nguyễn Mộng Hy, 2000, tr 84)

“Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều Không gian ơclit

được gọi là n chiều, kí hiệu là E n nếu không gian vectơ ơclit liên kết với nó có số chiều bằng n” (Nguyễn Mộng Hy,

2000, tr 87)

Từ hai định nghĩa trên, ta có thể suy ra ngay được rằng công thức đổi mục tiêu trong không gian

ơclit cũng là công thức (1) đã được xây dựng trong không gian afin

Cùng cấu trúc như chương 1, trong chương 2 của giáo trình, công thức đổi mục tiêu được sử dụng

để thiết lập phương trình của các phép dời hình và để nghiên cứu các siêu phẳng trong En

 Phương trình của phép dời hình được thiết lập tương tự như đối với các phép biến đổi afin và kết quả

thu được là phương trình sau, trong đó A là một ma trận trực giao cấp n (vì cơ sở {E0; Ei} được chọn ở

đây là cơ sở trực chuẩn) :

 Cuối cùng, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn cũng được áp dụng để đưa các phương trình siêu mặt

bậc hai trong không gian Ơclit về dạng chuẩn tắc

Định lý: Đối với mọi siêu mặt bậc hai (S) trong En ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc sau :

Trong cuốn sách này, liên quan đến đổi biến, chỉ có sự hiện diện của quan điểm HH Thuật ngữ

“đổi biến” không được nói đến, nhưng nó nằm ngầm ẩn trong phép đổi mục tiêu mà mục đích đầu tiên

là để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai bất kỳ về dạng chuẩn tắc (đơn giản hơn, thuận tiện

hơn cho việc nghiên cứu nó) Ngoài ra, việc đổi mục tiêu còn cho phé p thiết lập phương trình của các

phép biến đổi afin và phép dời hình

Để sử dụng những kiến thức rút ra từ cuốn sách trên vào việc phân tích sách giáo khoa phổ thông,

[x] = [a0] + C*[x’] 0 1 0

       

1

2 2

a a

 

 

      

Đây chính là công thức đổi tọa độ từ hệ trục Oxy sang hệ trục IXY với I(a 1;a2) mà chúng tôi tìm thấy trong sách giáo khoa đại số 10 (tr.40)

 Bây giờ, chúng ta xét phương trình của phép dời hình khi n = 2

Theo kết quả được chứng minh trong giáo trình mà chúng tôi tham khảo, với mọi phép dời hình f luôn luôn tìm được một cơ sở trực chuẩn của không gian euclide En sao cho ma trân A của f có dạng :

k

2

0

A

1

0 .

1

A 1 A A                     Trong đó Ai sin cos i - sincos i i          i  vói i = 1,2, k (tham khao sách đã dẫn, tr.108,109) Từ đó suy ra , ứng với mọi phép dời hình trong E 2 luôn chọn được một mục tiêu trực chuẩn sao cho ma trận A của phép dời hình có một trong ba dạng sau đây : 0 cos -sin 1 0 2) 3)

0 1 sin cos 0 -1

1 1)      







Lần lượt thay ba dạng có thể của A vào công thức (3), ngườii ta rút ra kết luận là trong E 2 có ba loại phép dời hình : tịnh tiến, quay, đối xứng (sách đã dẫn, tr 110,111,112)

 Về các siêu mặt bậc hai, áp dụng định lý nêu trên cho n = 2, ta suy ra đối với mọi đường bậc hai trong E2 ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của nó đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc

 

 

 

i , 1 r I

i , 1 r II

i , 1 r III

r

r r

2 ''

i 1 2 ''

i 1 2

i 1











Lần lượt thay r = 1, 2 vào ba dạng trên ta có phương trình chính tắc của các đường elip, hepebol, đường tròn, parabol trong mặt phẳng

II Quan điểm HH và quan điểm GT trong giáo trình “Giải tích toán học”

Giáo trình gồm có 8 chương, dành cho việc nghiên cứu hàm một biến thực : giới hạn, đạo hàm,

tích phân của hàm một biến và lý thuyết chuỗi Nếu như trong giáo trình HH chỉ có sự tác động của đổi

biến theo quan điểm HH thì ở đây chúng tôi thấy xuất hiện cả hai quan điểm, có thể là ngầm ẩn và với

những mức độ khác nhau

II.1 Tác động của quan điểm GT

 Trong giáo trình này, khái niệm “hàm hợp” được trình bày ở chương II

“Giả sử X, Y, Z là các tập con không rỗng của tập số thực R, g là ánh xạ từ X vào Y, f là ánh xạ từ Y vào Z Ta sẽ gọi ánh xạ tích h : x  z = f (g(x)), x  X là hàm số hợp của f và g từ tập X vào tập Z

[…] Hàm số y = log (2t+3) là hàm hợp của hàm x = 2t+3 với hàm y = log x Miền xác định của hàm hợp cũng được xác định rõ : hàm số y = logx xác định với mọi x >0 và hàm số x = 2t+3 xác định trên toàn trục số Nhưng hàm số hợp y = log (2t+3) chỉ xác định với t > -3

2 vì chỉ với điều kiện đó mới có x = 2t + 3 >0”

(Vũ Tuấn và các tác giả, 1981, tr 54)

Theo định nghĩa trên, phép đổi biến ở đây tương ứng với phép lập một hàm hợp Ví dụ kèm theo

chứng tỏ rằng bằng cách lập hàm hợp như vậy người ta có thể chuyển hàm số ban đầu về hai (hay

nhiều) hàm số đơn giản hơn để nghiên cứu

Lướt qua toàn bộ giáo trình, chúng tôi thấy tư tưởng đó tác động rõ rệt ở chương V- “Phép tính vi

phân” và chương VI – “Phép tính tích phân”

 Trong chương V, người ta xây dựng qui tắc đạo hàm của hàm số hợp Kể từ đó, qui tắc này thường

xuyên được sử dụng để tìm đạo hàm (cấp n, với n = 1, 2, …) của hàm số ; tính giá trị đạo hàm của hàm

số tại một điểm ; chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm ; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

của hàm số, v.v Vì quy tắc này hầu như tác động đến lời giải của mọi bài toán trong đó phải tính

đạo hàm của hàm số, nên có lẽ không cần thiết phải nêu ví dụ minh họa ở đây

 Đổi biến theo quan điểm GT còn tác động đến một kiểu nhiệm vụ khác được đề cập ở chương VI -

Trong lời giải trên, phép đổi biến (đặt w(x) = u) đã được thực hiện Ở đây biến mới u là một hàm

số của biến x Hàm số ban đầu trở thành hợp của hai hàm số Sau khi thay du = w’(x)dx thì tích phân

cần tính (theo biến x) được đưa về một tích phân theo biến u Hiển nhiên, w phải được chọn sao cho

tích phân mới dễ tính hơn tích phân ban đầu

Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên đư ợc tìm thấy

Khác với ví dụ trên, ở đây người ta lại thực hiện một phép đổi biến theo kiểu khác : đặt x = (t),

với  là hàm số chọn sao cho làm xuất hiện một tích phân đã biết hay dễ dàng tính được Bằng phép

đổi biến này, hàm số đã cho trở thành hợp của hai hàm số

Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên nằm ở tính chất

sau :

‘‘Giả sử phải tính tích phân

b a

f(x)dx

 trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử rằng x = (t)

là một hàm số thỏa mãn các điều kiện:

1) (t) liên tục trên đoạn [ ; ] nào đó và (t  [a ; b] với t [ ; ]

Ta thấy, hai kiểu đổi biến khác nhau, nhưng đều gắn liền với quan điểm giải tích – đổi biến tương

ứng với việc thiết lập hàm hợp

II.2 Tác động của quan điểm HH

• Trong chương V, phần khảo sát hàm số, chúng tôi quan tâm đến bài toán sau :

Ví dụ : khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

3 2

x

y =

x - 1

Việc giải bài toán được thực hiện theo đúng quy trình quen thuộc :

- tính y’, xét dấu y’ để lập bảng biến thiên

- tính y’’, xét dấu y’’ để xác định cung lồi, lõm, điểm uốn

x

y =

x - 1 là hàm số lẻ nên đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ Vì vậy ta có thể chỉ khảo sát hàm số với

x  0 (Sách đã dẫn, tr.210)

Chú ý này cho thấy lợi ích của việc sử dụng tính chất chẵn lẻ của hàm số Từ đó có thể suy ra :

nếu f không phải là hàm số lẻ theo biến x nhưng là hàm số lẻ theo một biến X = (x) nào đó thì với

cách nhìn đổi biến theo quan điểm HH ta có thể dùng phép đổi trục để chuyển việc vẽ đồ thị hàm số f

(trong hệ tọa độ Oxy ban đầu) về việc vẽ đồ thị trong hệ tọa độ mới IXY với X  0, sau đó lấy đối

xứng qua I Kết luận tương tự đối với trường hợp f làm hàm số chẵn theo X Tuy nhiên, trong cuốn

giáo trình mà chúng tôi nghiên cúu, không có một ví dụ nào được giải theo kiểu này

 Liên quan đến tích phân còn có vấn đề tính diện tích, thể tích, chiều dài của một cung, … Về vấn đề

này, chúng tôi nhận thấy đổi biến xuất hiện ở khắp nơi Tuy nhiên, ở đây người ta chỉ dùng phé p đổi

biến theo kiểu thiết lập hàm hợp để tính các tích phân Hiện tượng đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi : ngoài

suy luận mà chúng tôi vừa nói trên về việc vẽ đồ thị hàm số, phải chăng đổi biến theo quan điểm HH

không có ảnh hưởng gì khác đến GT ?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi vượt ra ngoài phạm vi các vấn đề về hàm số một biến số,

tham khảo thêm những giáo trình có nghiên cứu các hà m số nhiều biến số Thật thú vị, chính ở bài toán

đổi biến theo quan điểm HH tác động khá nhiều trong trường hợp D là một phần (hay toàn bộ) hình tròn, thậm chí một phần (hay toàn bộ) ellip Cũng như thế, đổi biến theo quan điểm HH còn có mặt trong lời giải nhiều bài toán tính tích phân f(x, y, z)dxdydz

V

miền V khi V là một phần của hình cầu hay hình trụ Tất nhiên, phép đổi trục ở đây không phải là từ hệ tọa độ trực chuẩn này sang hệ tọa độ trực chuẩn kia, mà là từ một hệ tọa độ trực chuẩn sang một hệ toạ

độ cực trong trường hợp tích phân của hàm hai biến, và sang hệ tọa độ cầu trong trường hợp tích phân của hàm ba biến

Do khuôn khổ của luận văn và do chương trình GT của phổ thông không đề cập đến hàm số nhiều biến số, chúng tôi sẽ không đưa ra ở đây những ví dụ minh họa Bạn đọc có thể tìm thấy chúng trong mọi giáo trình GT hàm nhiều biến

Trở lại với GT hàm một biến, ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến kết luận : về mặt lý thuyết mà nói, đối với vấn đề tính diện tích hình phẳng bằng tích phâ n xác định của hàm một biến, thực ra trong một

số trường hợp, bằng cách đổi hệ tọa độ, ta có thể đưa về một tích phân đơn giản hơn Hơn thế, việc đặt tương ứng đổi biến bởi đổi hệ trục tọa độ còn cho phép dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một số phương trình vốn khá phức tạp nếu biện luận với các đồ thị xét trong hệ tọa độ ba n đầu Kết luận này

sẽ được chúng tôi lưu ý khi phân tích sách giáo khoa ở chương 2 và xây dựng tình huống thực nghiệm

ở chương 3

III Kết luận

Từ việc phân tích hai giáo trình dành cho sinh viên khoa toán trường đại học sư phạm chúng tôi rút ra ba kết luận sau :

 Đổi biến theo quan điểm GT không tác động vào phạm vi HH, chỉ xuất hiện trong phạm vi GT

Ở đây ta có thể gặp nó trong nhiều tổ chức toán học Đó là những tổ chức gắn liền với các kiểu nhiệm vụ :

Trong HH, đổi biến theo quan điểm này ẩn chứa trong công thức đổi mục tiêu Công thức đó

được sử dụng để thiết lập phương trình các phép biến đổi afin và dời hình Hai kiểu nhiệm vụ chủ yếu

được giải quyết bằng kỹ thuật gắn liền với đổi biến theo quan điểm HH là :

- lập phương trình các phép biến đổi afin trong không gian afin, cac phép dời hình trong không gian

oclit,

- đưa phương trình các siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc

Trong GT, đổi biến theo quan điểm HH có thể tác động ít nhất ở ba nội dung : khảo sát và vẽ đồ

thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích phân

- Đối với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một biến số, đổi biến theo quan điểm HH mang lại một kỹ

thẳng) của đồ thị hàm số

- Vì đổi biến theo quan điểm HH có thể xuất hiện khi vẽ đồ thị của hàm số nên nó cũng có thể là yếu tố

kỹ thuật trong hai tổ chức toán học gắn liền với hai kiểu nhiệm vụ «biện luận số nghiệm của một phương trình» và «tìm nghiệm gần đúng của một phương trình»

- Đối với bài toán tính tích phân, đổi biến theo quan điểm HH là một trong những kỹ th uật cho phép

Ba phần này bao hàm cả những tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi vừa

nêu trên khi nói về phạm vi tác động của quan điểm GT

 Tuy vậy, trong giáo trình GT mà chúng tôi xem xét, tác động của quan điểm HH khá yếu ớt

Trở về với mục đích nghiên cứu đã được thể hiện rõ qua tên của luận văn (‘‘Đổi biến : quan hệ

giữa GT và HH trong dạy học toán ở trường phổ thông’’), chúng tôi thấy rằng cần phải tập trung nghiên cứu việc dạy học ở lớp 12 Trong thực tế, chương trình lớp 12 đề cập đến hầu hết kiểu nhiệm vụ

mà chúng tôi đã nêu trên : tính đạo hàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích

phân Và như chúng tôi tổng kết lại trong bảng dưới đây những kết qủa thu được từ nghiên cứu tri thức

luận, trừ kiểu nhiệm vụ tinh đạo hàm, kỷ thuật giải quyết ba kiểu nhiệm vụ còn lại đều có thể được tạo

thành từ đổi biến theo quan điểm này hay quan điểm kia

Xác định chiều biến thiên

Xét tính lồi lỏm, điểm uốn của đồ thị

x Khảo sát

Chương 2

ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ QUAN HỆ GIỮA GIẢI

TÍCH VÀ HÌNH HỌC

I Mở đầu

Những câu hỏi cần được trả lời

Như đã nói, câu hỏi trung tâm của luận văn này là : quan hệ giữa GT và HH đã được tính đến như thế nào bởi thể chế dạy học được xem xét Thực ra thì GT và HH giao nhau ở nhiều điểm, cả về phương diện phương pháp luận nghiên cứu lẫn phương diện đối tượng nghiên cứu Trong khuôn khổ

của luận văn này, chúng tôi chọn “Đổi biến” - một trong những điểm giao nhau đó

Được đặt trong phạm v i của lý thuyết nhân chủng học, nghiên cứu ở chương 2 nhằm mục đích

làm rõ quan hệ của thể chế I (sự lựa chọn I sẽ được chúng tôi giải thích ngay trong phần dưới) với đối

tượng O (đổi biến) Cụ thể, chúng tôi nhắc lại dưới đây hai câu hỏi đầu tiên cần phải được trả lời qua

nghiên cứu quan hệ thể chế R(I, O)

 Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào ? nó lưu trú ở đâu (habitat), trong những tổ

chức toán học nào ? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì (niche), cho phép

giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì ? v.v…

 Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến HH và GT?

Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?

Từ nghiên cứu thể chế này, chúng tôi hy vọng có thể đưa ra được những giả thuyết liên quan đến

câu hỏi thứ ba sau đây mà việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết đó sẽ là nghiên cứu

tiếp theo cần thực hiện

 Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc nào của hợp

đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến

quan hệ cá nhân của họ với O ? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể vận hành O để giải quyết

những kiểu nhiệm vụ nào ?

Thể chế cần xem xét

Phân tích tri thức luận trình bày trong chương 1 đã chỉ ra rằng đổi biến theo quan điểm HH (đổi biến tương ứng với đổi mục tiêu trong các không gian afin và không gian ơclit tổng quát, tương ứng với đổi hệ trục tọa độ trong các không gian afin và không gian ơclit 2 chiều) có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi HH Cũng như thế, đổi biến theo quan điểm GT (đổi biến tương ứng với việc thiết lập hàm số hợp) xuất hiện khá nhiều trong phạm vi GT Tuy nhiên, nếu như quan điểm thứ hai không xuất hiện trong HH thì quan điểm thứ nhất lại có thể mang lại những lời giải gọn gàng cho nhiều bài toán của GT Nói cách khác, liên quan đến đổi biến, chính là ở trong phạm vi GT mà người ta có thể thấy được sự tác động của cả hai quan điểm

Cụ thể hơn, trong phạm vi GT, nghiên cứu tri thức luận của chúng tôi cũng đã chỉ ra rằng đổi biến theo cả hai quan điểm đều có thể tác động đến việc nghiên cứu các vấn đề :

- Vẽ đồ thị hàm số ;

- Giải phương trình, hệ phương trình (chính xác hơn là biện luận số nghiệm hay tìm nghiệm gần

đúng của phương trình, hệ phương trình) ;

- Tính diện tích các hình phẳng

Theo chương trình 2000 thì cả ba vấn đề này đều thuộc trọng tâm môn GT dạy ở lớp 12 Vì lẽ đó, chúng tôi quyết định lựa chọn thể chế I để nghiên cứu là “dạy học GT ở lớp 12” Khi nghiên cứu quan

hệ thể chế R(I, O) chúng tôi cũng sẽ chỉ tập trung vào những vấn đề trên

Tư liệu cần phân tích

Để làm rõ quan hệ của thể chế đã lựa chọn với đối tượng “đổi biến”, chúng tôi sẽ phải phân tích chương trình và sách giáo khoa (SGK) GT lớp 12 Cùng với việc phân tích chương trình và sách giáo khoa, nhiều khi để hiểu rõ ý đồ của nosssphère, chúng tôi còn phải nghiên cứu cả các cuốn Tài liệu hướng dẫn giảng dạy viết cho giáo viên Để thuận tiện, trong phần còn lại của luận văn, chúng tôi quy ước dùng tên Sách giáo viên, viết tắt là SGV, để chỉ loại tài liệu này Chẳng hạn SGV-12 có nghĩa là

Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 12

Ngoài ra, vì vấn đề khảo sát hàm số cũng đã được xét ở các lớp 10 và 11, nên cũng thú vị nếu làm

rõ được sự tiến triển của đối tượng này trong chương trình Đại số - Giải tích toàn bậc THPT

Hơn nữa, vì những nội dung dạy ở lớp 12 sẽ xuất hiện trong các đề thi tú tài và tuyển sinh đại học, nên việc phân tích một số đề thi này có lẽ cũng có đóng góp quan trọng cho nghiên cứu quan hệ thể chế

Như thế, nghiên cứu thể chế của chúng tôi sẽ được thực hiện qua việc phân tích :

- Chương trình ĐS-GT toàn bậc THPT (áp dụng từ năm 2000), SGV-10, SGV-11viết theo

chương trình 2000

- SGK-GT12, SGV-12 và Sách bài tập (SBT) GT12 viết theo chương trình 2000

- Một số đề thi tú tài và tuyển sinh đại học giai đoạn 2003-2007 (giai đoạn sử dụng SGK viết

theo chương trình 2000)

II Đổi biến trong chương trình 2000 bậc THPT

II.1 Đổi biến trong chương trình đại số 10

Với chương trình 2000, ở lớp 10, đổi biến theo quan điểm HH xuất hiện lần đầu tiên trong phần

“khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai tổng quát” Ở đây, người ta sử dụng đổi biến để

chứng mình đồ thị của hàm bậc hai tổng quát ax 2 + bx + c cũng là một parabol Về điều này, SGV-10

nói rõ :

“Lớp 9 đã xét hàm số y = ax 2 Đồ thị của hàm số này được gọi là đường parabol có đỉnh O và trục đối xứng

là Oy

Để chứng minh đồ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c cũng là một parabol, ta phải đưa nó về dạng Y= aX 2 đã

biết Muốn vậy, phải đưa vào một phép đổi trục tọa độ, từ hệ trục Oxy sang hệ trục IXY.” (Sách đã dẫn, tr 33)

Như vậy, để nghiên cứu đồ thị hàm số bậc hai tổng quát, người ta đã dùng phép đổi trục tọa độ

Phép đổi trục tọa độ này tương ứng với phép đổi biến, cho phép đưa hàm số y = ax 2 + bx + c về dạng

đơn giản hơn Y = aX2 Qua phép đổi trục này, đồ thị hàm số ban đầu hoàn toàn được giữ nguyên, đồng

thời trùng với đồ thị - xét trong hệ tọa độ mới – của hàm số mới Đồ thị ấy là một parabol, đã được

nghiên cứu từ lớp 9

“Cần lưu ý với học sinh là khi đổi trục tọa độ thì đồ thị của hàm số vẫn giữ nguyên, chỉ có phương trình của

đồ thị là thay đổi Điều này cũng có nghĩa là từ hàm số y = ax 2 + bx + c đã chuyển sang một hàm số mới Y = aX 2 ”

(Sách đã dẫn, tr 33)

Một khi đã biết dạng đồ thị, người ta dễ dàng khảo sát chiều biến thiên, cực trị của hàm số Hơn

thế, sau này đồ thị ấy còn được dùng vào việc biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai và xét dấu

[…] Điều này cũng giúp nhiều cho việc xét dấu tam thức bậc hai.” (Sách đã dẫn, tr 34)

Tiếp tục phân tích chương trình ĐS10, chúng tôi thấy đổi biến theo quan điểm GT xuất hiện ở

chương IV- Phương trình và bất phương trình bậc hai Cụ thể, ở đây người ta dùng đổi biến để đại số

hóa các phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai, để giải phương trình trùng phương

Như thế, trong chương trình ĐS10 ta bắt gặp sự tác động của đổi biến theo cả hai quan điểm H H

và GT

II.2 Đổi biến trong chương trình đại số và giải tích 11

Trước hết, chúng tôi thấy đổi biến theo quan điểm GT tiếp tục được sử dụng để đại số hóa các

phương trình, hệ phương trình lượng giác, mũ, logarit

Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 nói rõ :

“Rất nhiều phương trình lượng giác được giải bằng cách sau đây : đặt một hàm số lượng giác hoặc một biểu thức lượng giác bằng một ẩn phụ t (với những điều kiện tương ứng cho t) để đưa về phương trình đại số theo t Giải phương trình này theo t rồi từ đó giải theo x.” (Sách đã dẫn, tr 24)

Cụ thể hơn, người ta giải thích : chương trình ĐS-GT11 đề cập các loại phương trình lượng giác

sau :

- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác :

a.sin2x + bsinx + c = 0 ; a.cos2x + bcosx + c = 0 ; a.tg2x + btgx + c = 0 ; a.cotg2x + bcotgx + c = 0

(a ≠ 0)

- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c

- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

asin²x + bsinxcosx +ccos²x = 0

- Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx :

a (cosx + sinx) + bsinxcosx = c

Phương pháp chung để giải những dạng phương trình này là tìm cách đưa về các phương trình

lượng giác cơ bản :

“Nói chung việc giải phương trình lượng giác là biến đổi để đưa chúng về các phương trình lượng giác cơ bản Cần lưu ý là không phải phương trình lượng giác nào cũng có thể biến đổi để đưa về phương trình lượng giác

cơ bản được, nên trong phạm vi phổ thông, không phải phương trình lượng giác nào cũng giải được

Chính vì vậy trong sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số dạng phương trình lượng giác đơn giản mà việc đưa

về phương trì nh lượng giác cơ bản có thể thực hiện được bằng một trong hai phương pháp

- Phương pháp đại số hóa bằng cách đặt ẩn phụ

- Phương pháp đưa về phương trình tích » (Sách đã dẫn, tr 24)

Đối với các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, phương pháp giải cơ

bản được nêu ra cũng là đổi biến để đại số hóa, từ đó đưa về phương trình mũ hay phương trình logarrit

cơ bản

Ở đây người ta chỉ đề cập đến đổi biến theo quan điểm GT Việc sử dụng đồ thị để biện luận hay

tìm nghiệm gần đúng các phương trình, hệ phương trình không được xem xét nên đổi biến theo kiểu

đổi hệ trục tọa độ hiển nhiên cũng không được tính đến Thậm chí, kiểu đổi biến này cũng chẳng có

mặt khi người ta nói về việc “vẽ đồ thị” những hàm số được nghiên cứu ở lớp 11

II.3 Đổi biến trong chương trình giải tích 12

Chương trình GT12 bao gồm bốn chương :

- Chương 1 : Đạo hàm

- Chương 2 : Ứng dụng của đạo hàm

- Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

- Chương 4 : Đại số tổ hợp

• Hiển nhiên, trong chương 1 người ta đưa vào quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp Quy tắc này

sau đó được sử dụng hầu như ở tất cả những nơi nào mà vấn đề tính đạo hàm được đặt ra Như chúng

tôi đã nói trong phần nghiên cứu tri thức luận, về bản chất, để sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm

hợp, người ta phải có bước đổi biến số làm trung gian Tuy nhiên, khi kỹ năng tính đạo hàm của hàm

hợp đã đạt đến một mức độ nào đó thì bước đổi biến này không còn xuất hiện tường minh nữa Điều đó

thể hiện rõ qua yêu cầu được chính thức phát biểu trong SGV-12 như sau :

“ Về việc áp dụng qui tắc y’ x = y’ u u’ x , giáo viên cần lưu ý học sinh đến trình tự lấy đạo hàm : lấy đạo hàm

của hàm số f đối với u trước rồi lấy đạo hàm của u đối với x sau, tức là phải đi từ trái sang phải

Ví dụ : Để tính đạo hàm của f(x) = sin(cos(5x-4



)) ta nên tiến hành theo trình tự sau :

f ’ (x) = [sin( ) ] ’ = cos ( ) [ cos ( 5x-4



) cos ( cos ( 5x-4



) ).” (SGV-12, tr 16)

Ví dụ trên càng củng cố thêm nhận định của chúng tôi : kỹ năng tính đạo hàm theo quy tắc

y’x = y’u.u’x , trong đó y là phần bên trái, u là phần bên phải, cần đạt đến mức dường như không cần

thực hiện phép đổi biến theo kiểu lập hàm hợp nữa Chính vì thế, khi phân tích SGK GT12, chúng tôi

sẽ không chú trọng yếu tố đổi biến trong các bài toán tính đạo hàm và sử dụng đạo hàm để khảo sát

hàm số Vả lại, ở đây chỉ có đổi biến theo kiểu lập hàm hợp, trong khi chúng tôi lại quan tâm đến

những vấn đề mà đổi biến theo cả hai quan điểm HH và GT đều có thể tác động

• Trong chương 2, đạo hàm được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để xét các tính chất của hàm

số như chiều biến thiên ; cực đại và cực tiểu; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một khoảng hay

một đoạn ; tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị Điều đó đã được nói rõ ngay trong SGV-10 :

“Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai là hai hàm số đơn giản nhất được xét ở lớp 10 Việc xét các hàm số

phức tạp hơn sẽ được trình bày trong giải tích 12 sau khi đã trang bị các công cụ mới như đạo hàm và các ứng

dụng của nó.” (SGV-10, tr 32)

Cụ thể, sau khi nêu các ứng dụng của đạo hàm, chương 2 của chương trình GT12 được kết thúc

bằng việc khảo sát một số hàm số thuộc những dạng sau :

SGV-12 nêu rõ thứ tự ba việc cần thực hiện để khảo sát một hàm số : tìm tập xác định của hàm

số, khảo sát sự biến thiên của hàm số, vẽ đồ thị

“Tìm tập xác định của hàm số đương nhiên phải là bước thứ nhất trong việc khảo sát hàm số, vì nếu hàm số

không xác định trên một tập số nào đó thì trên tâp số đó hàm số có tồn tại đâu mà khảo sát Việc xét tính chẵn, lẻ

và tính tuần hoàn (nếu có) rất có lợi cho việc vẽ đồ thị của hàm số Cho nên nếu hàm số có những tính chất đó thì phải lưu ý đến chúng ngay khi tìm tập xác định của h àm số.” (SGV-12, tr.28)

Đối với bước khảo sát sự biến thiên của hàm số, chương trình yêu cầu học sinh phải biết sử dụng

đạo hàm để lập bảng biến thiên, tìm cực trị, xét tính lồi lõm và xác định điểm uốn (nếu có) của đồ thị

Như vừa nói trên, chúng tôi không đi sâu nghiên cứu những nội dung này

Liên quan đến bước thứ ba, vẽ đồ thị của hàm số, SGV-12 viết :

“Bước cuối cùng trong việc khảo sát hàm số là thể hiện tất cả các kết quả của hai bước trước trên đồ thị của hàm số Muốn cho đồ thị biểu diễn được một cách chính xác hàm số đã cho, trước khi vẽ đồ thị cần chính xác hóa mấy điểm sau đây :

1-Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

2-Nếu cần thì lấy thêm một số điểm

3-Vẽ tiếp tuyến

4-Nhận xét về những yếu tố đối xứng : tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) Không yêu cầu chứng minh các nhận xét này

Thuật ngữ đổi biến không hề xuất hiện khi người ta bàn về dạy học chương 2, mặc dù, như

nghiên cứu tri thức luận của chúng tôi đã chỉ ra, thì đổi biến theo quan điểm HH có thể tác động ở

bước vẽ đồ thị

• Trong chương 3 – “Nguyên hàm và tích phân” - đổi biến được xem như một yếu tố kỹ thuật

quan trọng để giải nhiều bài toán :

“Phương pháp có hiệu quả để tính tích phân là phương pháp đổi biến số.” (SGV-12, tr 44)

Hai cách đổi biến số (đặt x = u(t) hoặc đặt t = (x)) được SGV-12 đưa ra, kèm theo định lý giải

thích cho chúng và các ví dụ minh họa Đây là đổi biến theo quan điểm GT

Công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định được trình bày sau đó Một cách

logic, ta có thể nghĩ rằng phép đổi biến ứng với việc lập hàm hợp có thể được sử dụng để giải quyết bài

toán vốn thuộc phạm vi HH này Tuy vậy, đổi biến theo kiểu đổi hệ trục tọa độ đã không được nhắc

đến, dù trong nhiều trường hợp nó có khả năng mang lại một cách giải gọn gàng hơn

Tóm lại, đổi biến theo quan điểm GT tác động khá mạnh vào những nội dung được đưa vào

chương trình ĐS-GT các lớp 11, 12 Trái lại, nếu như việc sử dụng đổi biến theo kiểu đổi hệ trục tọa độ

đã được yêu cầu tường minh trong SGV-10 thì nó lại không hề được nhắc đến trong chương trình GT

11 cũng như 12 Song, trước khi phân tích SGK GT12, có lẽ cũng không nên vội vàng kết luận rằng

đổi biến theo quan điểm HH không được sử dụng ở đây

III Đổi biến trong sách giáo khoa GT 12, chương trình 2000

Như đã nói, kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu chương trình khiến chúng

tôi quyết định sẽ tập trung vào những nội dung sau khi phân tích SGK GT12 :

- Vẽ đồ thị hàm số ;

- Giải phương trình, hệ phương trình ;

- Tính diện tích các hình phẳng

Như thế, khi phân tích SGK GT12 chúng tôi sẽ tập trung vào việc làm rõ các thành phần của

những tổ chức toán học được hình thành từ ba kiểu nhiệm vụ trên Chúng tôi sẽ nghiên cứu trước hết là

phần lý thuyết, sau đó là hệ thống bài tập, nhằm xác định những kỹ thuật được xây dựng để giải quyết

từng kiểu nhiệm vụ Phân tích phần lý thuyết và hệ thống bài tập cùng với những lời giải đư ợc đề nghị

sẽ xoay quanh ba câu hỏi Q1, Q2, Q3 mà chúng tôi đã nhắc lại ở đầu chương

III.1 Kiểu nhiệm vụ T vđt “vẽ đồ thị của hàm số”

III.1.1 Kiểu nhiệm vụ T vđt trong SGK GT12

Có 4 loại số được xem xét trong chương trình GT12 Chúng tôi sẽ lần lượt nghiên cứu xem đồ thị

của mỗi loại hàm số được vẽ như thế nào Lưu ý rằng đối với mỗi loại hàm số, SGK không nghiên cứu

ở dạng tổng quát, chỉ xem xét trên vài ví dụ cụ thể

a Hàm số y = ax 3 +bx 2 + cx + d (a ≠ 0)

SGK bắt đầu bằng việc xét ví dụ sau :

Ví dụ : Khảo sát hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4 (SGK GT12, tr 80)

Ở đây đạo hàm được sử dụng để lập bảng biến thiên và tìm điểm uốn I(-1 ; -2) của đồ thị Căn cứ

vào bảng biến thiên người ta vẽ đồ thị của hàm số

Ở bước vẽ đồ thị của hàm số SGK nêu chú ý :

« Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI

, thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và tọa độ mới (X;Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức (gọi là công thức đổi trục)

Ta thấy tính chất “đồ thị hàm số lẻ là một đường cong đối xứng qua gốc tọa độ” đã được sử dụng

Hàm số ban đầu không phải là hàm số lẻ, do đó không thể làm theo lời khuyên mà người ta đã đưa ra

cho giáo viên :

Việc xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có) rất có lợi cho việc vẽ đồ thị của hàm số Cho nên nếu hàm

số có những tính chất đó thì phải lưu ý đến chúng ngay khi tìm tập xác định của hàm số.” (SGV-12, tr.28)

Thế nhưng, bằng cách đổi biến số, ta lại đưa nó về một hàm số lẻ Rồi bằng cách đổi hệ tọa độ, ta chuyển việc dựng (trong hệ tọa độ Oxy) đồ thị hàm số ban đầu về việc dựng (trong hệ tọa độ IXY) đồ thị hàm số mới

Ví dụ trên liên quan đến một kiểu nhiệm vụ con của Tvđt mà chúng tôi ký hiệu là Tvđt1 : vẽ đồ thị hàm số y = ax 3 +bx 2 + cx + d (a ≠ 0).

Lời giải nêu trong ví dụ cho thấy kỹ thuật vđt1 được sử dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là :

- Tập xác định : R

- Dùng đạo hàm bậc nhất để lập bảng biến thiên ;

- Dùng đạo hàm bậc hai để tìm điểm uốn và cung lồi lõm của đồ thị ;

- Dùng phép đổi biến theo kiểu đổi trục để chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị cần

vẽ ;

- Căn cứ vào các kết quả trên để vẽ đồ thị

Tính chất “đồ thị hàm số lẻ là một đường cong đối xứng qua gốc tọa độ” chính là một trong những yếu tố công nghệ của kỹ thuật trên Cụ thể hơn, nó là yếu tố công nghệ của kiểu nhiệm vụ con

“xác định tâm đối xứng của đồ thị”

Tiếp theo đó, SGK GT12 đưa thêm một ví dụ khác Lời giải được t rình bày tương tự, duy chỉ có việc chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng không được thực hiện Nói cách khác, trong ví dụ thứ hai, người ta công nhận đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn là tâm đối xứng

Sau hai ví dụ, SGK nêu ra tóm tắt sau đây, xem như một chỉ dẫn về phương pháp khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số bậc ba :

Bảng tóm tắt

Sự khảo sát hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0) 1) Tập xác định : R

2) Đạo hàm y ’ = 3ax 2 + 2bx + c ; y ’’ = 6ax + 2b

Luôn luôn có một điểm uốn Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn (SGK GT12, tr 83)

Theo chỉ dẫn này, đồ thị hàm số y = ax3 + bx² +cx + d có điểm uốn là tâm đối xứng

Trước khi phân tích phần bài tập, cần phải nói rõ rằng tất cả những bài tập nêu trong SGK đều xuất hiện lại trong sách bài tập (SBT) Ngoài những bài này, SBT còn đưa thêm một số bài nữa Vì vậy, khi phân tích hệ thống bài tập, chúng tôi chỉ cần nghiên cứu SBT

Trong SBT chúng tôi tìm thấy có 7 bài thuộc kiểu nhiệm vụ Tvddt1 Xem xét lời giải được đề nghị, chúng tôi thấy ở 6 bài người ta chỉ xác định điểm uốn mà không nói gì về tâm đối xứng của đồ thị Có

lẽ vì chỉ dẫn trên đã khẳng định điểm uốn là tâm đối xứng nên trong lời giải người ta chỉ cần xác định điểm uốn là đủ

Bài tập thứ bảy thì có khác hơn : người ta yêu cầu học sinh chứng minh rằng đồ thị có t âm đối xứng

Bài 2.32 a) Khảo sát hàm số y = f(x) = - x 3 + 3x² + 9x + 2 (1)

b)Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng (SBT GT12, tr 21)

Lời giải được đưa ra là :

vì y ’’ đổi dấu khi x đi qua điểm 1 nên (1 ;13) là tọa độ của điểm uốn

Bây giờ ta hãy chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng Xét phép biến đổi





X = x - 1

Y = y - 13 Thay vào (1) ta được

Y + 13 = –(X +1) 3 + 3(X + 1) 2 + (X + 1) +2

Y + 13 = –X 3 – 3X 2 –3X – 1 + 3X 2 + 6X + 3 + 9X + 11

Y = – X 3 + 12X (2) Hàm số (2) là lẻ nên đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm gốc của hệ tọa độ mới, suy ra đồ Thị (1) có tâm đối xứng là (1 ;13) ( SBT GT 12, tr.85-86)

Trong lời giải trên, người ta cũng xác định điểm uốn rồi dùng phép đổi biến theo kiểu đổi hệ tọa

độ để chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng

Như vậy, khi vẽ đồ thị hàm số bậc ba, học sinh không cần chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng,

trừ khi điều đó được yêu cầu tường minh Phân tích trên cho phép chúng tôi đưa ra ở đây một quy tắc

của hợp đồng didactic liên quan đến kiểu nhiệm vụ T vddt1 : Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc 3 cũng là tâm đối xứng của đồ thị.

b Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)

Theo cùng một cách trình bày như đối với hàm số bậc ba, SGK đưa ra 2 ví dụ và sau đó tóm tắt

phương pháp giải dạng toán « khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

dạng y = ax4 + bx² + c »

Liên quan đến kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số bậc bốn dạng y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0), chúng tôi

thấy không có sự tác động của đổi biến Lý do nằm ở chỗ đây là một hàm số chẵn, nên ta biết ngay

rằng đồ thị của nó đối xứng qua trục tung Điều đó thể hiện rõ qua lời giải các ví dụ và bài tập : ngay

sau khi nêu tập xác định của hàm số, người ta nói rằng đây là hàm số chẵn , và ở bước vẽ đồ thị thì

khẳng định sau được nêu ra :

« Hàm số đã cho là chẵn, do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng » (SGK GT12, tr.86)

Thực ra, có những trường hợp, hàm số bậc bốn ban đầu chưa có dạng ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0), nhưng

bằng cách đổi biến, ta có thể chuyển nó về dạng đó để việc khảo sát và vẽ đồ thị được đơn giản hơn

Chẳng hạn, hàm số

y = x4 - 4x3 + 7x² - 6x + 3

có thể viết ở dạng y = (x- 1)4 + (x – 1)² +2

Tuy nhiên, theo quy định của chương trình, những hàm số phức tạp như vậy không được xem xét

+ bx 2 + c (a ≠ 0 Vì lý do này, chúng tôi bỏ qua việc phân tích hệ thống bài tập

Tương tự như với hai loại nhiệm vụ trên, đạo hàm cũng là công cụ được sử dụng ở đây để lập

bảng biến thiên Sau đó, nhằm vẽ được chính xác nhất trong chừng mực có thể, người ta tìm các tiệm

cận của đồ thị Khi vẽ đồ thị, người ta đưa ra chú ý sau :

« Chú ý : giao điểm của hai tiệm cận là I (-1;1) Áp dụng công thức đổi trục x 1 X

 X

Ví dụ thứ hai được giải hoàn toàn tương tự

Đó là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là I » (SGK GT12, tr 91)

ax b

cx d





sau :

- Tìm giao điểm I của hai tiệm đứng và ngang

ụng công thức đổi trục kết luận I là tâm đối xứng

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dạng trên, SGK lại không

Tuy nhiên, trong phần tóm tắt về quy trình

ầu phải thực hiện bước cuối cùng của kỹ thuật trê

Chúng tôi tìm thấy trong SBT 6 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T vddt2 Dưới đây là lời giải mà người ta

đưa ra cho một trong 6 bài tập đó :

Thực ra đây chỉ là một lời giải tóm tắt, bảng biến thiên không được lập và đồ thị cũng không

đó, g

được vẽ Ta có thể hình dung là với những thông tin được đưa ra như trong lời giải trên, học sinh sẽ vẽ

ợc đồ thị theo nhữ

iao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị Như thế, ở đây tồn tại một quy tắc của hợp đồng

didactic : giao điểm hai tiệm cận chính là tâm đối xứng của đồ thị. Với quy tắc này, không cần việc

thực hiện đổi biến để tìm tâm đối xứng

« Gọi I (1; -1 ) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, nếu ta tịnh tiến các trục tọa độ theo vecto

Lời giải đưa ra trong SGK bao gồm 3 bước :

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gi ao điểm I (1 ;0) của hai tiệm cận. (SGK GT12, tr.96)

Đối với ví dụ 2, trong bước thứ ba, SGK chỉ nói :

Sau hai ví dụ, SGK cũng nêu tóm tắt các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dạng

bước sau :

vđt3 : - Tìm

- Tìm tiệm cận đứng và tiệm cậ

- Tìm giao điểm I của hai tiệm đứng và

- Áp dụng công thức đổi trục kết luận I là tâm

2 ' '

b

R \ a

-' '

b

x = a

-2) Đồ thị có một tiệm cận đứng ; một tiệm cận xiên y = kx + l Giao điểm I của hai tiệm cận trên là tâm đối xứng của đồ thị (SGK GT12, tr 97)

chỉ dẫn trên, dường như giao điểm hai tiệm cận được thừa nhận là tâm

đó được khẳng định lại trong lời giải những bài tập thuộc dạng này mà chúng tôi tìm thấy trong

SBT

■

Trong SBT có 8 bà

a cho một trong các bài tập đó :

Bài 2.26 : Khảo sát các hàm số sau

u khiến chúng tôi quan tâm :

Giả iểm cực đại và (4;8) là

GT 12, tr 80)

Trong lời giải trên

giống như với các hàm số khác, chỉ dẫn nêu trong phần lý thuyết cho phép người ta kết luận rằng

giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị

Tuy nhiên, trong số 8 bài tập trên, có bài tập sa

Bài tập trên cho

hai tiệm cận là tâm đối xứng Muốn chứng minh điều đó, học sinh phải sử dụng đổi biến theo

kiểu đổi hệ trục tọa độ (tức là theo quan điểm HH theo cách gọi của chúng tôi) Trong trường hợp yêu

cầu chứng minh không được phát biểu tường minh, học sinh được quyền thừa nhận rằng đồ thị hàm số

dạng ax bx c2' ' nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng Đây là một quy tắc của hợp đồng

didactic liên quan đến kiểu nhiệm vụ T

Đối với kiểu nhiệm v

, Tvđt3,Tvđt4 của nó, ta thấy ỹ thuật chung mà SGK xây dựng là :

- Lập bảng biến thiên (qua việc xét dấu đạo hàm bậc nhấ

như cung lồi lõm, cực trị (xác định qua việc xét dấu đạo hàm bậc nhất hoặc bậc hai), tiệm cận

(tìm được nhờ phép tính giới hạn) ; xác định thêm vài điểm đặc biệt thuộc đồ thị

- Xác định tâm, trục đối xứng (nếu có)

- Căn cứ vào hai bước trên để vẽ đồ thị

Không có một kỹ thuật nào khác mang bản chất HH được thiết lập Điều đó được thể hiện ít nhất

điểm sau :

Thứ nhất, S

àm số nào đó Việc vẽ đồ thị chỉ được thực hiện sau khi đã lập bảng biến thiên nhờ công cụ đạo

hàm – công thức đổi trục không hề được sử dụng ở đây Phân tích đó cho phép chúng tôi đưa ra ở đây

một quy tắc của hợp đồng liên quan đến kiểu nhiệm vụ Tvđt

R1 Muốn vẽ đồ thị của hàm số thì trước hết phải dù

Thứ hai, muốn chính xác hóa đồ thị thì có thể tìm thêm một vài yếu tố khác của nó như tâm

, trục đối xứng Đối với các hàm số dạng ax 3 + bx² + cx + d, ax bcx d

2

ax bx c

, bước thứ

vài ví dụ trình bày trong phần lý thuyết Những chỉ dẫn đưa ra sau đó về cách khảo sát từng loại hàm

số được đề cập cho quyền học sinh thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số ax

dx e

3 + bx² + cx + d) hoặc giao điểm hai đường tiệm cận (đối với hàm số dạng ax bcx d

 hay ax bx c2' '

a x b

 

) là tâm đối xứng, tức là việc

minh rằng…” Liên quan đến sự thừa nhận này, chúng tôi gộp tất cả những quy tắc của hợp đồng đã

được hình thành từ việc phân tích SGK, SBT thành một quy tắc chung như sau :

R2 Học sinh có quyền thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số dạng ax



+ bx² + cx + d) hoặc giao

III.2 Kiểu nhiệm vụ T pt “giải phương trình”

2 cho thấy kiểu nhiệm vụ Tpt được đề cập đến trong bài “Một số bài toán liên quan

i

xây dựng như thế nào?

 Bài toán tìm số giao điểm của hai đường cong được trình bày trong SGK GT 12 như sau :

III.2.1 Kiểu nhiệm vụ T pt trong SGK GT12

 Phân tích chương

đến khảo sát hàm số” trình bày trong bài toán 1 (Tìm số giao điểm hai đường cong) đã giúp tìm

ra kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ “giải phương trình” Như vậy, tổ chức toán học OM pt hình thành

trình, tìm nghiệm gần đúng của phương trình, hệ phương trình)- kí hiệu Tpt- trong SGK GT 12 được

Bài toán 1 Tìm giao điểm của hai đường

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C 1 ) Hãy tìm các giao điểm của

và (C 1 ) khi và chỉ khi (x 0 ;y 0 ) là nghiệm của hệ phương trình

f(x) = g(x) (1) Nếu x 0 ,, x 1 ,….là nghiệm của (1) thì các điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )), M 1 (x 1 ;f(x 1 )), …là các giao điểm của (C) và

(C 1 )

Lời giải nêu ra trong bài toán cho th ố nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1) tương

đương với số giao điểm của hai đường cong, ngược lại từ số giao điểm của hai đường cong có thể suy

 SGK nêu ví dụ 1, 2 để minh họa cho bài toán trên Phân tích ví dụ 1 chúng tôi thấy bài toán 1

được xem là yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật pt1sau đây:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong

- Giải và biện luận phương trình hoành độ giao điểm

- Từ số nghiệm của phương trình suy ra số giao m của hai

được trình bày sau đây cũng xem bài toán 1 là yếu tố côn

- Chuyển vế của phương trình sao cho mỗi vế của phương trình là

một hàm số có đồ thị đã biết

- Dựa vào đồ thị tìm ra số giao điểm của hai đường cong

- Từ số giao điểm của hai đường cong suy ra số nghiệm của phươn

Lời giải trong ví dụ 2 ghi rõ : “dự

ng trình” (SGK, tr.33)

Xem xét các bài tập cho thấy, đổi biến theo quan điểm giải tích được áp dụn

ải phương trình Yếu tố kỹ thuật -pt3 liên quan đến đổi biến được trình bày như sau :

- Đặt x  t ,thay  t vào phương trình

- Biến đổi phương trình sao cho mỗi vế của phương trình là

một hàm số có đồ thị đã biết

- Dựa vào đồ thị suy ra số giao điểm của hai đường cong

nh suy ra số nghiệm x của phương trình

- Từ số giao điểm suy ra số nghiệm t của phương trình

- Từ số nghiệm t của phương trì

Như vây, trong ba kỹ thuật pt1, pt2, pt3 chỉ có pt3 liên quan đến đổi biến và là đổi biến theo quan

tôi trích một trong ba bài t

y = x + mx + 2m - 1 2

mx +1 Bài 2.42 Cho hàm s có đồ thị là (Cm)

hiệm của phương trình

còn d là dường thẳng y = h cùng phương với Ox

) là số giao điểm của d và (C 1 )

m t của (1)

xét trên ta

Số nghiệm của (3

Mỗi nghiệm x  1;1 của (3) cho hai nghiệ

Nghiệm x = 1 của (3) cho nghiệm t = 0 của (1)

3

2 1) có hai nghiệm

h.> : (

Lời giải áp dụng kỹ thuật giải hai bài tập còn lại áp dụng kỹ thuật

Bài toán 1 được xem là yếu tố công nghệ chung cho các kỹ thuật

pt3

III.2.2 Kết luận

pt1

 , pt2, thuộc kiểu nhiệm

III.3.1 Kiểu nhiệm vụ T “tính diện tích hình phẳng” trong SGK

GT12

■

iện tích hình thang cong được giới thiệu như bài toán mở đầu dẫn tới định nghĩa