Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán ở trường thcs bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ………………… HỒ MAI LOAN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ………………… HỒ MAI LOAN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy - học Bộ mơn Tốn Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ANH TUẤN THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - Tiến sĩ Nguyễn Anh Tuấn, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ phƣơng pháp dạy Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy giáo khoa Tốn - Trƣờng Đại học Sƣ phạm Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, khoa Sau đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhƣ toàn thể đồng nghiệp Trƣờng THCS Nguyễn Cơng Trứ, Ba Đình, Hà Nội quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn học viên lớp Cao học Tốn Khóa 16 bạn đồng nghiệp xa gần động viên, khích lệ nhƣ trao đổi chuyên môn suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010 Hồ Mai Loan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN TỪ VIẾT TẮT NỘI DUNG BĐT Bất đẳng thức DH Dạy học CM Chứng minh GV Giáo viên HĐ Hoạt động HS Học sinh HPT Hệ phƣơng trình KN Kỹ PP Phƣơng pháp THCS Trƣờng học sở SGK Sách giáo khoa GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu: 2 Nhiệm vụ nghiên cứu: III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận Phƣơng pháp điều tra quan sát 3 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm Phƣơng pháp thống kê toán học V CẤU TRÚC LUẬN VĂN CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề kỹ rèn luyện kỹ qua mơn Tốn 1.1.1 Kỹ năng: 1.1.2 Kỹ giải toán: 1.1.3 Sự cần thiết rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh: 1.2 Chủ đề “Hàm số phƣơng trình” THCS 1.2.1 Nội dung kiến thức chủ đề “Hàm số phƣơng trình” chƣơng trình SGK THCS 1.2.2 Những kiến thức HS học chủ đề “Hàm số phƣơng trình”: 1.3 Tình hình dạy học giải toán vận dụng mối liên hệ hàm số phƣơng trình THCS 17 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3.1.Về vị trí vai trị rèn luyện kĩ giải toán 17 1.3.2 Những khó khăn GV HS thực tiễn trƣờngTHCS việc khai thác vận dụng mối quan hệ hàm số với phƣơng trình để giải tốn 18 1.4 Kết luận chƣơng 19 CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH 21 2.1 Sơ lƣợc mối quan hệ hàm số phƣơng trình: 21 2.1.1 Về tập xác định chúng: 21 2.1.2.Về nghiệm phƣơng trình biến thiên hàm số: 21 2.1.3 Về phép biến đổi biểu thức hàm số phƣơng trình : 21 2.1.4 Về đồ thị hàm số số nghiệm phƣơng trình: 22 2.2 Một số kỹ giải toán cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình: 22 2.3 Định hƣớng (nguyên tắc) xây dựng hệ thống toán: 26 2.4 Hệ thống toán biện pháp rèn luyện kỹ 26 2.4.1 Dạng toán 1: 27 2.4.1.1 PP giải kỹ cần thiết 28 2.4.1.2 Minh họa qua số ví dụ : 29 2.4.2 Dạng toán 2: 34 2.4.2.1 PP giải kỹ cần thiết 34 2.4.2.2.Minh họa qua số ví dụ : 36 2.4.3 Dạng toán 3………………………………………………………… 41 2.4.3.1 PP giải kỹ cần thiết:……………………………… 42 2.4.3.2 Minh họa qua số ví dụ 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.4 Dạng toán 4: 47 2.4.4.1 PP giải kỹ cần thiết 47 2.4.4.2 Minh họa qua số ví dụ: 48 2.4.5 Dạng toán 52 2.4.5.1 PP giải kỹ cần thiết 52 2.4.5.2.Minh họa qua số ví dụ: 54 2.4.6.Dạng toán 6:……………………………………………………… 2.4.6.1 PP giải kỹ cần thiết 57 2.4.6.2 Minh họa qua số ví dụ:……………………………………… 2.5 Kết luận chƣơng 2: 59 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 61 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 61 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 61 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 61 3.2 Phƣơng pháp thực nghiệm 61 3.3 Kế hoạch nội dung thực nghiệm 62 3.4 Tiến hành thực nghiệm 63 3.4.1 Nội dung giáo án lên lớp 1: 63 3.4.2 Nội dung giáo án lên lớp 2: 70 3.5.Kết thực nghiệm 76 3.5.1 Nhận xét giáo viên qua tiết dạy thực nghiệm 76 3.5.2 Kết kiểm tra học sinh 77 3.6 Kết luận chƣơng 79 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam quy định: „„Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tƣ sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh‟‟(Luật Giáo dục 1998, chƣơng I, điều 24) Thực tế cho thấy rèn luyện kỹ cho học sinh khâu quan trọng tách rời q trình đào tạo trƣờng THCS Đó hoạt động cần thiết để học sinh biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết khả riêng mình, đặc biệt trình rèn luyện kỹ thực tốt chất lƣợng học tập mang lại hiệu cao Hàm số phƣơng trình chƣơng trình tốn trƣờng THCS nội dung hay, có khả rèn luyện tƣ học sinh nhƣng lại đƣợc xem phần khó học khó dạy Lý học sinh chƣa đƣợc rèn luyện đầy đủ kỹ giáo viên đổi phƣơng pháp dạy học nhƣng chƣa làm cho học sinh chủ động có hứng thú học tập Do chúng tơi thấy rằng, thơng qua việc rèn luyện kỹ cho học sinh qua chủ đề cụ thể, từ học sinh xây dựng đƣợc cho phƣơng pháp tƣ lơ-gíc Với lý chọn đề tài nghiên cứu “ Rèn luyện kỹ giải số dạng toán trường THCS cách khai thác mối liên hệ hàm số phương trình” Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu đề xuất phƣơng án rèn luyện kỹ giải số dạng toán trƣờng THCS cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình thơng qua: + Xác định số kỹ giải toán cách khai thác mối liên hệ hàm số phương trình; + Xây dựng hệ thống tập để rèn luyện kỹ giải toán cách khai thác mối liên hệ hàm số phương trình cho HS trường THCS Nhiệm vụ nghiên cứu: + Nghiên cứu sở lý luận: Nghiên cứu lý luận rèn luyện kỹ toán học, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học chủ đề „„hàm số phƣơng trình‟‟ trƣờng THCS + Nghiên cứu thực tiễn: Tình hình thực tiễn dạy học phần „„hàm số phƣơng trình‟‟ THCS vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh + Xác định số kỹ năng: Giải toán cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình; + Xây dựng hệ thống tập: Để rèn luyện kỹ giải số dạng toán trƣờng THCS cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình + Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm chứng phƣơng án đề III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu xác định số kỹ chủ yếu xây dựng hệ thống toán chọn lọc nhƣ luận văn rèn luyện kỹ giải số dạng toán trƣờng THCS cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu lý luận rèn luyện kỹ toán học, phƣơng pháp dạy học theo xu hƣớng mới, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học phần „„hàm số phƣơng trình‟‟ trƣờng THCS Phƣơng pháp điều tra quan sát Điều tra tình hình thực tiễn „„hàm số phƣơng trình‟‟ trƣờng THCS vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm - Soạn số dạy theo hƣớng tăng cƣờng rèn luyện kỹ giải số dạng toán trƣờng THCS cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình cho học sinh - Dạy thực nghiệm soạn để kiểm nghiệm tính khả thi đề tài Phƣơng pháp thống kê toán học Xử lý số liệu điều tra kết thực nghiệm phƣơng pháp thống kê toán học V CẤU TRÚC LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm chƣơng: Chƣơng Cơ sở lý luận thực tiễn Chƣơng Xây dựng hệ thống toán rèn luyện kỹ giải số dạng toán trƣờng THCS cách khai thác mối liên hệ hàm số phƣơng trình Chƣơng Thực nghiệm sƣ phạm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 HĐ Hoạt động thầy Hoạt động trò -Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Đỉnh (P) : I(1;-1) Là đƣờng parabol IH  oy  H (0;-1) (P):y = x2-2x (sử dụng kỹ 2) - Vẽ đồ thị hàm số y = g(m) đƣờng thẳng (d) :y = m song song với trục ox -Xác định đƣợc đỉnh đồ thị (P) : y = x2-2x Ta có: Đỉnh (P) : I(1;-1) mà IH  oy  H (0;-1) -Dựa vào đồ thị nhận xét vị trí tƣơng đối y = f(x) y = g(m) (sử dụng kỹ 3) +) Yêu cầu học sinh kỹ vẽ đồ thị (sử dụng kỹ 3) +) Giáo viên yêu cầu học sinh +) Nếu A dƣới H  (d) (P) không dựa vào đồ thị (sử dụng kỹ có điểm chung  phƣơng trình (*) vơ 3) ,nhận xét vị trí A nghiệm  m < -1 H +) Nếu A trùng H  (d) tiếp xúc với (giao nhiệm vụ cho nhóm (P) I nhóm 4)  phƣơng trình (*) có nghiệm kép  m=-1 +) Nếu A H  (d) cắt (P) điểm phân biệt  m>-1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 HĐ Hoạt động thầy Hoạt động trò +) Giáo viên yêu cầu học sinh +) Nếu kết luận m> -1 Phƣơng trình có nghiệm phân biệt Nếu m  m - Phƣơng trình vơ nghiệm Nếu 1+m =0  m= - Phƣơng trình có nghiệm kép Kết thử nghiệm sƣ phạm rèn luyện kĩ giải phƣơng trình, bất phƣơng trình phƣơng pháp đồ thị (rút kinh nghiệm cho dạy) Kết thử nghiệm sƣ phạm dạy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 Ƣu điểm : - Học sinh có tinh thần học tập tốt , biểu học sinh tích cực chuẩn bị hăng hái phát biểu - Giáo viên thực tốt vai trị nhiệm vụ - Giờ dạy sôi gây hứng thú cho học sinh Nhƣợc điểm : - Lớp học ồn - Học sinh chƣa có thói quen tích cực chủ động Lớp thực nghiệm Điểm 10 Tần số 0 9 5 Tần suất 0 0.06 0.1 0.2 0.15 0.2 0.1 0.1 0.04 Điểm trung bình:6.3 Lớp đối chứng Điểm 10 Tần số 0 12 Tần 0 0.1 0.16 0.25 0.16 0.125 0.08 0.06 0.04 suất Điểm trung bình :5.7 Nhìn vào hai bảng số liệu ta thấy kết lớp thực nghiệm tốt so với lớp đối chứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 3.4.2 Nội dung giáo án lên lớp 2: BÀI TẬP VỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ KHI BIẾT QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐƢỜNG THẲNG VỚI ĐƢỜNG THẲNG, HOẶC ĐƢỜNG CONG VỚI ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A MỤC TIÊU Về kiến thức: Giúp học sinh - Căn vào vị trí tƣơng đối mà đề cho để biện luận phƣơng trình hồnh độ giao điểm theo tham số - Giải biện luận phƣơng trình bậc nhất, bậc hai - Xét dấu hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai - Vẽ đồ thị y = ax+b y = ax2 Về kĩ năng: Giúp học sinh - Biết dựa vào cách giải phƣơng trình bậc hai : ax2+bx+c = o ( a  o ) tính  giải biện luận theo  ? - Biết vẽ đồ thị y = ax+b y = ax2 - Biết xét dấu hàm số - Biết tìm toạ độ giao điểm (P) (d) - Biết xác định vị trí tƣơng đối (P) (d) Về tư thái độ - Tích cực tham gia khám phá nội dung cách tích cực - Có tinh thần hợp tác, rèn luyện tƣ lo-gic B.CHUẨN BỊ CỦA THẦY TRÒ Chuẩn bị giáo viên: Các phiếu học tập, bảng phụ, computer, projector Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 71 Chuẩn bị học sinh: Chuẩn bị đồ dùng học tập, giấy vẽ đồ thị C PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC: Áp dụng tình học tập gợi mở, giải vấn đề thông qua việc rèn luyện kĩ cho học sinh D TIẾN TRÌNH BÀI HỌC BÀI TẬP : Cho (P) : y = x2 (d) : y = 4x+m a Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm b Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có điểm có hồnh độ -1 Tìm toạ độ điểm lại HĐ HĐ giáo viên HĐ học sinh +)Giáo viên đƣa nhận xét +) Thiết lập đƣợc phƣơng trình hƣớng dẫn giải tập toán (sử dụng kỹ 4) +) Giáo viên hƣớng cho học Tìm phƣơng trình hồnh độ giao sinh xác định phát phƣơng điểm (d) (P) trình tốn x2  x  m  x2  x  m  (sử dụng kỹ 4) -Dựa vào phƣơng trình f(x) = g(x) (sử dụng kỹ 4) Điều kiện  = (  ' =0) Để (d) tiếp xúc với (P) Đk ' ? +)  ' = 2+m +) Học sinh tính  ' = ?  2+ m = ( phƣơng trình (*) có nghiệm kép x=2)  y=x =4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 72 +) Kết luận toạ độ tiếp điểm +) Vậy toạ độ tiếp điểm : A (2;4) ?(sử dụng kỹ 4) b, +) (d) cắt (P) điểm phân +)  '  o biệt ĐK  ' ?  m  2 (sử dụng kỹ 4) Vì có giao điểm có hồnh độ nên x=-2 nghiệm phƣơng trình +) Yêu cầu học sinh xác định (*) (sử dụng kỹ 4) +) với x=-1  y=1  m=3 với x=-1  y=1 ( thoả mãn  1 ) Thay vào (*) ta có : x    y  11  x2  x       x2    y2  11  +) Kết luận toạ độ hai giao +) Vậy toạ độ hai giao điểm : điểm C(  ; 11  ) D((  ; 11  ) BÀI TẬP : Cho (P) : y  x  x  Và (d) : y  kx   2k Tìm điều kiện k để a, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b,(d) tiếp xúc (P) c,(d) không cắt (P) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 73 HĐ HĐ giáo viên HĐ học sinh +) Giáo viên hƣớng cho học +) Giải biện luận sinh phát đƣợc phƣơng x  x   kx   2k trình tốn(sử dụng kỹ 4) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt điều kiện học sinh phải biết điều kiện tốn HS thiết lập đƣợc phƣơng trình (sử dụng kỹ 4)  x  1  k  x  2k   * +) Đƣa dạng ax2+bx+c=0 a, (d) cắt (P) hai điểm +)  > phân biệt  ?( sử dụng kỹ 4) +) Học sinh tính  theo cơng thức.HS xác định hệ +) a=2, b=1-k, c=2k-8 +)  = (1 - k2) – (2k-8) = k2 – 2h + – 16k + 64 số a,b,c? GV hƣớng dẫn cho HS để = k2 – 18k + 65 = (k - 5) (k – 13) CM:  > tức cần CM +) (k - 5) (k – 13) > k2 – 18k + 65>0 +) Ph©n tÝch k2 – 18k +65 thành tích nhân tử +) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 74 +) ĐK > +) Yêu cầu học sinh xÐt dÊu  k < hc k > 13 tam thøc (k - 5) (k - 13) +) KÕt luËn KÕt LuËn : k < hc k > 13 b, +) (d) tiếp xúc (P)?( sử +)  = dụng kỹ 4) Phƣơng trình (*)  (k-5) (k-13) = +)Kết luận? +) k=5 k=13 b) Nếu (d) không cắt +)  13 điều kiện  ?  (k-5) (k-13) < (GV cho học sinh áp < k < 13  dụng tƣơng tự y a,b) Yêu cầu học sinh kết luận Nếu > k < k > 13 Nếu < th× < k < 13 NÕu  = k=5 k=13 Cng c – Dặn dò : Phiếu học tập : Cho hàm số y = - x a) Với giá trị m đƣờng thẳng y = -x+m cắt parabol hai điểm phân biệt A B b) Xác định tọa độ giao điểm A B m = -2 Đáp án: Để y = - x cắt: y = -x+m điểm phân biệt A B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 75 a)HS thiết lập phƣơng trình toán: - x +x-m = 0(*)( sử dụng kỹ 4) ĐK :  >0 hay 1-m >  m