(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về số nguyên tố

I.MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Toán học môn khoa học đời từ sớm lịch sử phát triển xã hội loài người Cùng với phát triển Toán học môn khoa học khác dần phát triển Trong chương trình phổ thơng Tốn học giữ vai trị quan trọng Đây môn học tương đối khó mang tính tư cao địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá say mê nghiên cứu Với đặc thù môn khoa học tự nhiên, Tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức Vận dụng hiểu biết vào thực tế, sống mà tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt mơn học khác góp phần giúp em phát triển cách tồn diện.Từ vai trị quan trọng mà giáo viên dạy Toán cần biết phát huy tính tích cực học sinh, kích thích niềm u thích, say mê Tốn học học sinh, giúp em học sinh khá, giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức Chính mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh học ngoại khoá cần thiết cần thiết học sinh đầu cấp, học sinh lớp Nhiều năm học nhà trường phân công giảng dạy mơn tốn trường THCS Hà Dương Qua thực tế dạy học kết hợp với dự thầy cô giáo trường qua kiểm tra, thi học sinh giỏi nhà trường, thân nhận thấy số em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập số nguyên tố Nhiều em mơ hồ định nghĩa tính chất số nguyên tố Sở dĩ phần toán số nguyên tố sách giáo khoa từ lên không đề cập nhiều vấn đề Chỉ sách Tốn có nêu định nghĩa số nguyên tố số dạng toán đơn giản Nếu em học sinh không nắm định nghĩa tính chất số ngun tố việc vận dụng để giải dạng tốn có liên quan hình thành kiến thức trình học Tốn vấn đề khó khăn Ngồi tốn dạng giải phương pháp thông thường cần phải nắm số phương pháp khác biết vận dụng phương pháp gặp dạng tốn khó Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tịi kiến thức mới, ham thích mơn tốn giải dạng tập liên quan đến số nguyên tố Với mục đích nâng cao chất lượng học tập học sinh phụ trách giảng dạy, giúp em đạt kết tốt kỳ thi tơi chọn sâu nghiên cứu đề tài " Nâng cao chất lượng mơn Tốn cách rèn kỹ giải dạng toán số nguyên tố cho học sinh lớp trường THCS Hà Dương" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững định nghĩa tính chất số nguyên tố, biết phát áp dụng phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác nhau, qua hình thành kỹ giải Toán cho em, giúp em giải dạng toán liên quan lớp học sau Mục đích nghiên cứu: Bộ mơn tốn lớp có vị trí quan trọng chương trình Tốn THCS Đây tiền đề kiến thức toán để em lĩnh hội tiếp kiến thức lớp Chính tơi muốn hướng dẫn em làm thành thạo nắm nội dung kiến thức số nguyên tố Sáng kiến nghiên cứu thực tế hướng dẫn học sinh khai thác tập chương trình tốn Khi dạy tiết luyện tập giáo viên hay xem nhẹ toán dễ GV giao cho em nhà làm Do đó, học sinh nắm bắt cách thụ động nên làm tập thường hay lúng túng, khơng có cứ, thiếu sở, lời lẽ lủng củng, dài dòng, trình bày thiếu logic Do vậy, việc cải tiến phương pháp dạy học cần thiết nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh, tạo động cơ, gây hứng thú cho học sinh học toán để nâng cao chất lượng mơn tốn Để học sinh nắm kiến thức học vận dụng tốt vào giải tập người giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tịi phương pháp thích hợp: Đề câu hỏi đào sâu vấn đề lí thuyết, phát triển lực suy luận chứng minh Giúp học sinh tự giải tập khó SGK tài liệu khác 3.Đối tượng nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu số nguyên tố dạng toán áp dụng số nguyên tố Để tiến hành đề tài nghiên cứu áp dụng cho chủ yếu là HSG ở tất các khối 6, 7, 8, các năm học qua Đề tài tài liệu học tập tốt cho HSG cấp THCS tài liệu tham khảo cho thầy, giáo phụ huynh HS nói chung Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu thân vận dụng phương pháp nghiên cứu học như: phương pháp đổi “ lấy học sinh làm trung tâm”, phương pháp phân tích, tổng hợp, đánh giá - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu tài liệu để làm sở lý luận -Phương pháp kiểm tra: kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết hoạt động chưa áp dụng áp dụng đề tài Từ kiểm nghiệm mức độ thành cơng đề tài - Nghiên cứu hồn cảnh, môi trường, điều kiện học tập học sinh - Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thong tin phản hồi - Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm tài liệu có liên quan để chọn lọc kiến thức bản, trọng tâm, làm tư liệu mới, xác nhất, học hỏi thêm kinh nghiệm đồng nghiệp có dày dặn kinh nghiệm để làm kinh nghiệm thân II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Tốn học có vai trị quan trọng đời sống ngành khoa học Ngay từ kỷ 13, nhà tư tưởng Anh R Bêcơn (R Becon) nói “ Ai khơng hiểu biết tốn học khơng hiểu biết bắt khoa học khác phát dốt nát thân mình” Đến kỷ 20, nhà bác học vật lý tiếng ( P Dirac) khẳng định xây dựng lý thuyết vật lý “ không tin vào khái niệm vật lý”, mà phải “ tìm vào sơ đồ toán học, sơ đồ đầu khơng lien hệ với vật lý cả” Sự phát triển khoa học chứng minh lời tiên đoán C.Mac (K Marx): “ Một khoa học không thực phát triển sử dụng phương pháp tốn học” Mục tiêu giáo dục nói chung, nhà trường nói riêng đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện , có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng yêu cầu thực tế Để thực mục tiêu đó, trước hết phải biết áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào quy trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời thân giáo viên phải tự giác, tích cực tìm phương pháp dạy học mới, khắc phục lỗi truyền thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh môn học, đặc biệt mơn học có tính đặc thù cao mơn tốn Trong thời đại giáo dục nước ta tiếp cận với khoa học đại Các mơn học địi hỏi tư sáng tạo đại học sinh Đặc biệt mơn tốn, địi hỏi tư tích cực học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức cách xác, khoa học đại Vì để giúp em học tập mơn tốn có kết tốt giáo viên khơng có kiến thức vững vàng, tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần biết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh cách dễ hiu nht Thực trạng vấn đề: Trong chng trình mơn Tốn THCS nói chung Tốn nói riêng có nhiều dạng Tốn liên quan đến phần số ngun tố.Chính q trình giảng dạy nghiên cứu tơi trọng đến dạng tốn “Số nguyên tố” Vì qua số năm giảng dạy mơn Tốn thân tơi nhận thấy việc áp dụng phương pháp học lớp vào tập đơn giản em thực được, gặp tốn khó chút tốn có dạng khác chút nhiều em lúng túng, chưa biết cách giải Thậm chí nhiều em học sinh khơng nắm định nghĩa tính chất số ngun tố nên khơng có định hướng để làm tập.Từ tình hình thực tế đa số em học sinh chưa có điều kiện nghiên cứu sâu tìm hiểu kỹ vấn đề Khi áp dụng kiến thức vào giải tập chủ yếu em bắt chước mà không xem xét vấn đề cách dễ mắc sai lầm Xuất phát từ tình nên tơi mạnh dạn đưa đề tài" Nâng cao chất lượng môn Toán cách rèn kỹ giải dạng toán số nguyên tố cho học sinh lớp trường THCS Hà Dương" Đề tài phần kiến thức số nhiều phần kiến thức chương trình Tốn THCS Mong giúp cho bạn đồng nghiệp có thêm phần để tham khảo, giúp cho em học sinh có cách nhìn bao qt dạng tốn Nhưng nói chung dù phương pháp yếu tố tạo hứng thú cho học sinh,sự tâm huyết người thầy, tính tích cực, ham học em yếu tố định Khi hội tụ đủ yếu tố mà lại kết hợp vấn đề mấu chốt toán khai thác triệt để việc học tốn em khơng cịn cảm thấy khó Kết quả, hiệu thực trạng Phần "Số nguyên tố" nội dung quan trọng, kiến thức tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt vận dụng để giải dạng toán liên quan Cụ thể kết kiểm tra 45 phút toán là: TT Năm học Tổngsố học Chưa có hướng làm Có hướng làm sinh 2018-2019 10 Từ thực trạng dạy phần giáo viên cần giúp học sinh nắm phương pháp vài phương pháp mở rộng để giải tốn khó Để học sinh nắm kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp qua giúp học sinh rèn luyện kỹ giải tốn phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh Áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy đại đa số em học sinh nắm phương pháp hay sử dụng áp dụng giải phần lớn tập tương tự mà giáo viên hướng dẫn, số em khác biết cách sử dụng phương pháp mở rộng để làm số tập nâng cao sách bồi dưỡng Các em biết ứng dụng để giải số dạng tốn có liên quan Giải pháp tổ chức thực MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ A/ Định nghĩa 1) Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số Ví dụ: 2, 3, 5, 11, 13,17, 19 2) Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Ví dụ: có ước số: ; nên hợp số 3) Các số khơng phải só nguyên tố hợp số 4) Bất kỳ số tự nhiên lớn có ước số nguyên tố B/ Một số định lý 1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố dãy số vô hạn 2/ Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) C/ Cách nhận biết số nguyên tố Để kiểm tra số a có số ngun tố hay khơng, ta chia a cho số nguyên tố 2; 3; ;p, với p số nguyên tố lớn thỏa mãn p  a Nếu phép chia hết a số ngun tố, trai lại a hợp số Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ 100 nên cho học sinh học thuộc, nhiên găp số a (a < 100) muốn xét xem a số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; hay không + Nếu a chia hết cho số a hợp số + Nếu a khơng chia hết cho số số a số nguyên tố Với quy tắc khoản thời gian ngắn, với dấu hiệu chia hết học sinh nhanh chóng trả lời số có hai chữ số nguyên tố hay không D/ Số ước số tổng ước số số: Giả sử: a = p1X1 p2X2 pnXn Trong đó: pi  P ; xi  N ; i = 1, n a) Số ước số a tính cơng thức: T(a) = (x1 + 1)(x2 + 1) .(xn + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 T(a) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30 Ư(30) có phân tử Ứng dụng: Có thể khơng cần tìm Ư(a) biết a có ước thơng qua việc phân tích thừa số ngun tố 3100 có (100 + 1) = 101 ước 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước số em tin tưởng viết tập hợp ước số khẳng định đủ hay chưa b) Tổng ước số a tính công thức: p1X1 + - p2X2 + - pnXn + - (a) = p1 - p2 - pn - E/ Hai số nguyên tố nhau: 1- Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn (ƯCLN) Hai số a, b nguyên tố (a,b) = a,b  N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố 3- Hai số nguyên tố khác nguyên tố 4- Các số a,b,c nguyên tố (a,b,c) = 5- a,b,c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = F/ Một số định lý đặc biệt 1) Định lý Đirichlet Tồn vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x  N, a, b số nguyên tố nhau) Việc chứng minh định lý phức tạp, trừ số trường hợp đặc biệt Ví dụ: Chứng minh có vơ số số ngun tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 2) Định lý Tchebycheff Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số nguyên tố (n > 2) 3) Định lý Vinogradow Mọi số lẻ lớn 33 tổng số nguyên tố Các định lý ta giới thiệu cho học sinh tham khảo sử dụng để giải số tập Mét sè toán số nguyên tố DNG 1: ƯỚC CỦA MỘT SỐ a = x a y a z a (x, y,…,z: số nguyên tố) n Số ước a (a + 1)(a +1) (a n +1) Bài 1: 1.Tìm ước nguyên tô số 30, 210, 2310 2.Chứng tỏ số 31, 211, 3201, 10031 số ngun tố Giải 1.Phân tích số cho thành tích thừa số nguyên tố 30 15 5 210 105 35 7 2310 1155 385 77 11 11 Ta có: - Tập hợp K ước nguyên tố 30 K = {1, 2, 3, 5} Và 30 = 1.2.3.5 - Tập hợp H ước nguyên tố 210 H= {1, 2, 3, 5,7} Và 210 = 1.2.3.5.7 - Tập hợp P ước nguyên tố 2310 P = {1, 2, 3, 5, 7, 11} Và 30 = 1.2.3.5.7.11 Chú ý: Khi phân tích số 210 thừa số nguyên tố ta làm sau : 210 = 21.10 Ta biết 10 = 2.5 nên cần phân tích 21 = 3.7 có 210 = 2.7.2.5 Cách hồn tồn có lợi phân tích số bội 10 Chẳng hạn phân tích số 3200 ta viết 3200 = 32.100 cho ta 32 = 25 100 = 22.52 Vậy 3200 = 27.52 Dể thấy 31 = 30 + = 1.2.3.5 + Số 31 không chia hết số nguyên tố 2, 3, ma = 25 < 35 ước nguyên tố lớn mà 52 < 31 Suy 31 số nguyên tố Các số khác ta chứng minh tương tự Bài 2 : Phân tích số 360 thừa số nguyên tố Số 360 có ước Tìm tất ước 360 Giải Ta có: 360 180 90 45 2 15 5 Vậy 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23.32.5 2.Ta có 360 = 23.32.5 Vậy số ước 360 : (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước Dể thấy số 1, 2, 22, 23, (1) ước 360 Ta Tìm ước lại theo cách sau Bước 1: Nhân số hạng dãy (1) theo thứ tự với 32 ta ước 32 2.3 2.32 2.3 22 32 23.3 23.32 Bước 2: Nhân số dãy (1) (2) theo thứ tự với ta đước ước 2.5 22.5 23.5 3.5 2.3.5 2.3.5 23.3.5 32.5 2.32.5 22.32.5 23.32.5 Vậy ta có tất 24 ước 360 12 24 18 36 72 10 20 40 15 30 60 120 45 90 180 360 Bài 3: Tìm số nhỏ A có ước 2.9 ước Giải Viết A dạng phân tích thừa số nguyên tố A = am.bn.ct… Số ước A sẻ (m + 1)(n + 1)(t + 1)… Ta có = 6.1 = 2.3 - Trường hợp A có số nguyên tố dạng A = am m    m   A  a5 Vì A số nhỏ hay a = Suy A  a  25  A  32 - Trương hợp A có hai thừa số nguyên tố A = am.bn m   m   n   n  Ta có  Và A = a2.b1 Để có số A nhỏ ta chọn số nguyên tố nhỏ a = 2, b = Vậy A = 22.3 hay A = 12 Xét trường hợp ta thấy số tự nhiên nhỏ có ước 12 Đáp số : 36 Bài 4: Chứng tỏ số sau hợp số 676767 2.108 + 107 + 3.175 + 244 + 1321 Giải Số 676767 có tổng chữ số 39 chia hết 676767  Vậy hợp số Tương tự số 108 + 107 + = 110…07( có chữ số 0) có tổng chữ số nên số chia hết 108 + 107 + hợp số Số 175 + 244 + 1321 có: Số 175 có tận Số 244 có tận cung Số 1321 có tận Vậy 175 + 244 + 1321 có tận 6, chia hết hợp số Bài 5 : Các số sau nguyên tố hay hợp số A = 11…1 (2001 chử số 1) B = 11…1 (2000 chử số 1) C = 1010101 D = 1112111 E = 1! + 2! + 3! +…+ 100! G = 3.5.7.9 – 28 H = 311141111 Giải A A hợp số B11 B hợp số C101 C hợp số D = 1112111 = 1111000 + 1111  D 1111 D hợp số E = 1! + 2! + 3! + … + 100! 1! 2!  3 3!  1.2.3  100!  1.2.3 100 Suy E Vậy E hợp số G chia hết cho Vậy G hợp số H = 311141111 = 31111000 + 31111  H  31111 Vậy H hợp số Bài 6: Cho số a = 720, b = 36, c = 54 Gọi A, B, C theo thứ tự tập hợp ước nguyên tố a, b, c Chứng tỏ B, C tập A a có chia hết cho b, có chia hết cho c không Giải Ta thấy a = 720 = 24.32.5 b = 36 = 22.32 c = 54 = 2.33 A = {2, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3} Dễ thấy B, C hai tập A Vì a = 24.32.5 b = 22.32 nên a b Vì a = 24.32.5 c = 2.33 nên a không chia hết cho c Bài 7: Đố vui: Ngày sinh nhật bạn Một ngày đầu năm 2002 Huy viết thư hỏi thăm sinh nhật Long nhận thư trả lời Mình sinh ngày a tháng b, năm 1900 + c đến d tuổi Biết a.b.c.d = 59007 Huy kịp tính ngày sinh Long kịp viết thư chúc mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày, tháng, năm nào? Giải Ta có: a.b.c.d = 59007 c +d = 102  a  31,  b  12 Phân tích thừa số nguyên tố a.b.c.d = 3.13.17.89 Trong ước abcd có hai số 13 89 có tổng 102 Tuổi Long khơng thể 89 d = 13, c = 89 Còn lại a.b = 3.17 b  12 nên b = 3, a = 17 Vậy long sinh ngày 17 – – 1989 Bài 8:Chứng minh rằng: 10 Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n  Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n  Giải 1.Khi chia số tự nhiên a lớn cho ta số dư 0, 1, 2, Trường hợp số dư hai hợp số a  2, ta khơng xét xét trường hợp số dư Với trường hợp số dư 1hoặc ta có a = 4n  2.Khi chia số tự nhiên a cho ta có số dư 0, 1, 2, 3, 4, Trường hợp số dư 0, 2, 3, Ta có a chia hết cho a chia hết a hợp số Trường hợp dư a = 6n + Trường hợp dư a = 6m + = 6m + – = 6(m + ) – Đặt m + = n Ta có a = 6n – DẠNG 2: SỐ NGUN TỐ VÀ TÍNH CHIA HẾT Nếu tích hai số a, b chia hết cho số nguyên tố p hai số a, b chia hết cho p a p a.b  p   b  p Nếu an chia hết cho số nguyên tố p a chia hếtt cho p an  p  a p Bài 1: Chứng tỏ số a, a + n, a + 2n số nguyên tố lớn n chia hết cho Giải Chỳ ý , số nguyên tố (trừ số 2) số lẻ - Nếu n lẻ n + a số chẵn hợp số trái với giả thiết n + a số nguyên tố n số chẵn - Ta đặt n = 2k, k  N * + Nếu k chia hết cho n chia hết cho + Nếu k = 3p + , p  N * số theo thứ tự a, a + 6p + 2, a + 12p + + Do a số lẽ nên a chia cho dư a + 6p + chia hết cho 3, 11 Nếu a chia dư a + 12p + chia hết cho + Nếu k = 3p + p  N * số theo thứ tự a, a + 6p +4, a + 12p +8 với a chia cho dư a + 12p +8 chia hết cho với a chia cho dư a + 6p +4 chia hếtt cho Vậy để số a, a + n, a + 2n số nguyên tố n phải chia hếtt cho Bài 2:Chứng minh p số nguyên tố lớn (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24 Giải Ta có (p – 1)p(p + 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên  p  1 p  p  1   p  1  p  1  mà (p, 3) = nên (1) p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, p – p + hai số chẵn liên tiếp , có số bội nên tích chúng chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy (p – 1)(p + 1) chia hết cho nguyên tố Vậy (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24 Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho số sau củng số nguyên tố p + 10, p + 14 p + 2, p + 6, p + , p + 12, p + 14 Giải Vì p số nguyên tố p + 10 p + 14 số nguyên tố nên p > Mặt khác p rơi vào khả p = 3k , p = 3k + 1, p = 3k – - Với p = 3k + p + 14 = 3k + 15 = 3(k + )  - Với p = 3k – p + 10 = 3k + = (k + 3)  Vậy p = 3k Do p nguyên tố nên p = Xét trường hợp sau - Với p = p+2=7 p + = 11 p + = 13 p + 12 = 17 p + 14 = 19 - Với p > p = 5k +1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k +4 12 + Nếu p= 5k +1 p + 14 = 5k + 15  + Nếu p = 5k + p + = 5k + 10  + Nếu p = 5k + p + 12 = 5k + 15  + Nếu p = 5k +4 p + = 5k + 10  Suy nguyên tố cần Tìm p = Bài 4: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai sô nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên nằm hai số nguyên tố sinh đơi chia hết cho Giải Gọi hai số nguyên tố sinh đội p p + Vậy số tự nhiên nằm chúng p+1 -p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ p + số chẳn p + 2 (1) - p, p + 1, p + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Mà p p +2 số nguyên tố nên không chia hếtt cho ,vậy p +  (2) Từ (1); (2) (2, 3) = suy p +  (đpcm) Bài tóan mở rộng thành :Chứng minh p + hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Bài 5: Một số nguyên tốp chia hêt cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r Giải Ta có p =42k + r = 2.3.7.k + r  k , r  N ,  r  42  Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, Các hợp số nhỏ 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 29 Loại sô chia hết cho 3, cho 25 Vậy r = 25 Bài 6: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp Giải Gọi số tự nhiên cần tìm n, theo đề chử số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục n có dạng abba 13 Có abba = 1001a + 110b = 11(91a+10b) nên abba11 mà abba tích số nguyên tố liên tiếp nên số nguyên tố phải 11 Xét tích 5.7.11 7.11.13 = 385 (loại) = 1001 (đúng) 11.13.17 = 2431 (loại) Vậy số tự nhiên cần tìm 1001 Bài 7: Chứng minh 2n – số nguyên tố (n > 2) n + hợp số Giải Xétt số A = (2n – 1)2n(2n + 1) A tích số tự nhiên liên tiếp nên A Mặt khác 2n – số nguyên tố ( theo giả thiết ) 2n không chia hết cho Vậy 2n + phải chia hết cho  2n + hợp số Tóm lại Các tốn thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn điều kiện cho trước loại tốn khơng khó loại toán số nguyên tố Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh kiến thức số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số số nguyên tố chẵn nhỏ tập số nguyên tố Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = Rèn kỹ xét trường hợp xảy ra, phương pháp loại trừ trường hợp dẫn đến điều vô lý Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư lôgic, tư sáng tạo, tính tích cực chủ động làm Mục đích tập dạng là: Rèn luyện cho học sinh khả tư sâu, cách xem xét kết luận vấn đề toán học cách xét hết khả xảy ra, dùng vấn đề toán học chứng minh biết để loại bỏ khả xảy làm sáng tỏ vấn đề cần phải chứng minh Sau thành thạo dạng toán học sinh lớp hiểu sâu sắc hơn, có khái niệm rõ ràng Thế chứng minh vấn đề tốn học có kỹ năng, kỹ xảo chứng minh cần thiết 14 Tuy nhiên, với dạng tốn này, trình độ lớp em giải tập dạng đơn giản Việc chứng tập dạng phức tạp hơn, em gặp nhiều khó khăn dễ dàng chứng minh DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Cho 2m – số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Giải Giả sử m hợp số => m = p.q ( p, q  N; p, q > 1) Khi đó: 2m – = 2p,q - = (2p)q – = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) p > (giả thiết) điều giả sử => 2p – > (2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) > Dẫn đến 2m – hợp số (trái với giả thiết 2m –1 số nguyên tố)  Điều giả sử xảy Vậy m phải số nguyên tố (điều phải chứng minh) Bài 2: Chứng minh rằng: 1994! – có ước số nguyên tố lớn 1994 Giải (Chứng minh phương pháp phản chứng) Gọi p ước số nguyên tố (1994! – 1) Giả sử p 1994 => 1994 1993 : p 1994! : p mà (1994! – 1) : p => : p (vô lý) Vậy p nhỏ 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh) DẠNG NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ SỰ PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ TRONG N Bài 1: Nếu p số nguyên tố số 8p + 8p – số ngun tố số cịn lại số ngun tố hay hợp số? Giải +) Nếu p = => 8p +1 = 17  P , 8p – = 15  P +) Nếu p = => 8p – = 23  P , 8p – = 25  P 15 +) Nếu p khác 3, xét số tự nhiên liên tiếp: 8p – 1; 8p 8p + Trong số có số chia hết cho Nên hai số 8p + 8p – chia hết cho Kết luận: Nếu p  P số 8p + 8p –  P số cịn lại phải hợp số Bài 2: Cho p 2p + số nguyên tố ( p>3) 4p + nguyên tố hay hợp số? Giải Theo giả thiết p số nguyên tố p>  p không chia hết cho Suy 4p không chia hết cho Do 2p + số nguyên tố lớn nên 2p + không chia hết cho  2(2p + 1) không chia hết hay 4p + không chia hét cho Mặt khác, ba số tự nhiên lien tiếp 4p; 4p + 1; 4p + ln có số chia hết cho 3, 4p +  Mà 4p + > 3, nên 4p + hợp số Tóm lại Qua tốn dạng: Nhận biết số nguyên tố, phân biệt số nguyên tố N, giáo viên cần giúp cho học sinh hướng suy nghĩ để chứng minh xem xét số có phải số ngun tố hay khơng? Thơng qua việc phân tích xét hết khả xảy ra, đối chiếu với giả thiết định lý, hệ học để loại bỏ trường hợp mâu thuẫn Bài tập số tập tổng quát phân bố số nguyên tố N Qua giáo viên cho học sinh thấy phân bố số nguyên tố “càng sau rời rạc” Từ tốn phát triển thành toán khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Giải Gọi số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc  Vì a, b, c có vai trị bình đẳng Giả sử: a  5, a  P => a = Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = b(c-1) – (c-1) = (c-1)(b-1) = Do vậy: b-1 = => b = 16 Và c-1 = c=7 b-1 = => b = (loại c =  P) c-1 = c = Vai trị a, b, c, bình đẳng Vậy số (a ;b ;c) cần tìm (2 ;5 ;7) Bài 2: Tìm p, q  P cho p2 = 8q + Giải 2 Ta có: p = 8q + => 8q = p – 8q = (p+1)(p-1) (1) Do p2 = 8q + lẻ => p2 lẻ => p lẻ Đặt p = 2k + (2) Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2) 2q = k(k + 1) (3) Nếu q = => = k(k+1) => khơng tìm k Vậy q  2, q  P , q  => (2,q) = Từ (3) ta có: k = q = k + => k = q = Thay kết vào (2) ta có: p = 2.2 + = Hoặc q = k = k + q=1  (không thoả mãn) k=1 Vậy cặp số (q,p) (5;3) cặp số cần tìm Tóm lại: Ngoài dạng tập số nguyên tố Phần số ngun tố cịn có nhiều tập dạng khác mà giải chúng học sinh cần phải vận dụng cách linh hoạt kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết phải xét khả xẩy Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải theo dạng để củng cố khắc sâu kỹ giải loại BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a)p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 17 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3: a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 10p + hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp số j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 4: Chứng minh rằng: a) Nếu p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2  24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k  N*) số nguyên tố lớn k  Bài 5: a.Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r b.Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r không số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Bài 8: Tìm số ngun tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích số nguyên tố liên tiếp 18 Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p + q2 + r2 số nguyên tố Bài 12: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq + qp = r Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab, ac số nguyên tố b2 cd  b c Bài 16: Cho số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c  N*) số nguyên tố Chứng minh số p, q, r có hai số Bài 17: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: a) x2 – 12y2 = b.3x2 + = 19y2 c.5x2 – 11y2 = d.7x2 – 3y2 = e.13x2 – y2 = f.x2 = 8y + Bài 18: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p + số nguyên tố p = Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 số nguyên tố a2 – b2 = a + b Bài 21: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n – Bài 22: Chứng minh tổng bình phương số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài 23: Cho số tự nhiên n  Gọi p1, p2, , pn số nguyên tố cho pn  n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dãy số số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p – 3)(p – 2) -  p Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p – 2)(p – 1) +  p Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải tốn Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán Kết kiểm tra sau triển khai đề tài cho học sinh TT Năm học Tổngsố Loại giỏi Loại Loại TB Loại yếu, học sinh 2018-2019 10 20% 30% 30% 20% Vì lẽ giáo viên thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp, giúp học sinh làm dạng tập Qua gây cho học sinh hứng thú học tập yêu thích mơn tốn học Từ 19 mà kiến thức kỹ giải toán học sinh dần nâng cao, có người thầy giáo cần phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học tốn, phương pháp giải tốn nhanh Có kỹ phát giải nhanh vấn đề dựa tảng vốn kiến thức học Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS Hà Dương năm học 2018 - 2019 thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, kiểm tra kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán 100% em học sinh lớp biết sử dụng phương pháp thông thường cách thành thạo, 90% em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật giải dạng tốn số phương nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó kiến thức việc hình thành số kỹ q trình học tập giải tốn học mơn tốn IV KẾT LUẬN I) KẾT LUẬN 20 Với giải pháp nêu vận dụng vào trình hướng dẫn cho học sinh giải tốn dạng nhận thấy em nắm phương pháp giải toán số nguyên tố, phân loại dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ toán có liên quan, từ gúp học sinh có định hướng giải dạng tập tương tự cách xác khơng gặp phải khó khăn sai lầm gặp dạng tốn này, kích thích học sinh lịng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn II KIẾN NGHỊ Để hoàn thành đề tài việc nghiên cứu SGK tài liệu liên quan, nỗ lực thân cịn có giúp đỡ nhiệt tình đồng nghiệp tổ chuyên môn ban giám hiệu nhà trường Tôi hy vọng đề tài " Nâng cao chất lượng mơn Tốn cách rèn kỹ giải dạng toán số nguyên tố cho học sinh lớp trường THCS Hà Dương" tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp em học sinh Các phương pháp giải số dạng toán số nguyên tố mà tơi viết có lẽ cịn nhiều hạn chế Rất mong tổ chun mơn nhà trường, quý thầy cô bạn đồng nghiệp đọc có góp ý, phê bình thiết thực để đề tài phong phú, đầy đủ để tơi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực tốt chương trình đổi phương pháp dạy học Tốn THCS Tơi xin chân thành cảm ơn ! ( Tôi xin cam đoan đề tài khơng copy, copy tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm) Hà Dương, ngày 20/3/2019 Người thực hiện: Phùng Duy Hưng IV TRÍCH DẪN TÀI LIỆU SỬ DỤNG 21 Bài (trang 9) -Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thong, tập 1- Số Học ( Nhà xuất đại học sư phạm) Bài (Trang 9) Chuyên đề bồi dưỡng HGS toán THCS- trang 100 ( Nhà xuất giáo dục) Bài ( Trang 13) Tài liệu chuyên toán THCS Toán – Tập (Trang 32) ( Nhà Xuất GD Việt Nam) Bài ( Trang 14) – Các chuyên đề chọn lọc toán 6- Trang 40- Nhà xuất GD Việt Nam Bài 11(Trang 16)- Toán bồi dưỡng HSG phổ thong, tập số học – Trang 34 ( Nhà Xuất đại học sư phạm) Bài 13 ( Trang 17)- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh gỏi toán THCS- Trang 94 ( Nhà xuất giáo dục) Bài 14( Trang 17)- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Trang 94 ( Nhà xuất giáo dục) Bài 1( Trang 20) – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Trang 91 ( Nhà xuất giáo dục) DANH MỤC 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phùng Duy Hưng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hà Dương TT Tên đề tài SKKN Vẽ thêm yếu tố phụ hình học Khai thác tốn thong qua tốn gốc hình học Khai thác toán thong qua toán gốc hình học Cấp đánh giá xếp loại(Ngành GD cấp huyện/ tỉnh ) Huyện Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại B 2008-2009 Huyện A 2013-2014 Tỉnh C 2014-2015 23 ... để giải số dạng tốn có liên quan Giải pháp tổ chức thực MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ A/ Định nghĩa 1) Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số Ví dụ: 2, 3, 5, 11, 13,17, 19 2) Hợp số. .. a,b  N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố 3- Hai số nguyên tố khác nguyên tố 4- Các số a,b,c nguyên tố (a,b,c) = 5- a,b,c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a,b,c nguyên tố sánh đôi ... b .Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r không số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số