Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán - nghiên cứu 1 số đề án didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn

- Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái niệm này chính thức được g

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nga

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Đoàn Hữu Hải, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản

và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban chủ nhiệm và các thầy cô, đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường Trung học thực hành ĐHSP đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt

NGUYỄN THỊ NGA

[a] : Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov

[b] : Toán học cao cấp, tập 2, Nguyễn Đình Trí

[c] : Vật lý đại cương, tập 2, Lương Duyên Bình

V1 : Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 năm 2000

P1 : Tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 năm 2000

E1 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11 năm 2000

V2 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 1 P2 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 1

E2 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 1

V3 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 2 P3 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 2

E3 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 2

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một đối tượng luôn chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán

ở trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT) Trong các loại hàm số, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới hàm số tuần hoàn với các lí do sau:

+ Thuật ngữ tuần hoàn, gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn, không chỉ được đề cập trong toán học, mà còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác như vật

lí, hóa học, đời sống thường ngày, Điều này kéo theo nhiều câu hỏi cần thiết được đặt ra:

 Khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các khoa học khác có gì giống và khác nhau?

 Ở trường phổ thông, khái niệm tuần hoàn có xuất hiện trong các môn học ngoài toán học không?

 Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn học đó?

+ Chủ đề hàm số tuần hoàn luôn xuất hiện trong cuốn sách nhan đề “Kiến thức giới hạn ôn thi tốt nghiệp môn Toán THPT” của Bộ GD&ĐT Nói cách khác, nó là một chủ đề có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT

Tuy nhiên, trong chương trình và SGK Toán phổ thông Việt Nam, vị trí của hàm số tuần hoàn ngày càng suy giảm qua các thời kỳ thay đổi chương trình và SGK Hơn thế nữa, ở cấp độ phổ thông, người ta chỉ hạn chế vào duy nhất một loại hàm số tuần hoàn, đó là hàm lượng giác Như sách giáo viên Đại số và giải tích 11

của các tác giả Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991) nhấn mạnh: “Trong chương trình phổ thông chỉ có hàm số lượng giác mới có tính tuần hoàn”

Vậy, khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn xuất hiện như thế nào trong chương trình toán ở trường phổ thông? với vai trò gì? liệu có thể đề cập các hàm số tuần hoàn khác với các hàm số lượng giác không?

Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra những câu hỏi sau:  Ở cấp độ tri thức khoa học, các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn được đề cập như thế nào? chúng có những đặc trưng gì? chúng chịu những ràng buộc nào?

 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng buộc nào? vai trò và chức năng của chúng? những ràng buộc này ảnh hưởng thế nào trên các chủ thể của hệ thống dạy học (giáo viên và học sinh)?

 Có sự tương đồng và khác biệt nào trong tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? lí do của sự khác biệt đó?

 Có sự khác nhau nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn khoa học khác? có sự nối khớp nào giữa các lĩnh vực này?

 Có thể xây dựng một tình huống tiếp cận khái niệm hàm số tuần hoàn với các đặc trưng chủ yếu của nó?

2 Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu trong luận văn này là tìm câu trả lời cho những câu hỏi

đã đặt ra ở trên

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic toán Cụ thể, đó là các khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học), của lí thuyết tình huống (hợp đồng didactic, đồ án didactic) và cách đặt vấn đề sinh thái học

Việc nghiên cứu các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học đặt cơ sở trên việc phân tích các giáo trình ở bậc đại học, mà chúng tôi xem như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học

Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của mình như sau:

- Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm

số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng?

- Mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học (TCTH) gắn liền với khái niệm này? Các TCTH đó tiến triển ra sao qua các thời kỳ đổi mới SGK? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên khái niệm này và các khái niệm gắn liền với nó? Có những quy tắc hợp đồng

nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về hàm số tuần hoàn?

- Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông?

- Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái niệm này chính thức được giảng dạy?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau:

- Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học thông qua phân tích một

số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các vấn đề về khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Quan hệ cá nhân của học sinh

NGHIÊN CỨU

TRI THỨC KHOA HỌC:

Toán học + Vật lí

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY:

Thể chế dạy học toán ở Pháp

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY:

Thể chế dạy học Hóa, Sinh, Vật lí, Toán ở Việt Nam

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM TIỂU ĐỒ ÁN DIDACTIC

- Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học toán ở Pháp liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn

- Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học toán ở Pháp

sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học phổ thông ở Việt Nam Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn trong các SGK Hóa học, Sinh học, Vật lí và Toán học

- Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhất nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tuần hoàn và hàm số tuần hoàn Từ đó, chúng tôi sẽ xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng của hàm

số tuần hoàn và vận dụng chúng một cách ngầm ẩn trong việc giải toán

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

+ Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể là đề cập một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, phân tích cách trình bày khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học

+ Mở đầu chương 2 là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam với khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn

+ Chương 3 trình bày hai thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhất trên học sinh lớp 10 nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của họ đối với khái niệm tuần hoàn và hàm

số tuần hoàn Thực nghiệm thứ hai là triển khai tiểu đồ án didactic đã xây dựng + Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1,

2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn

Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP

ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình toán, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kì, vai trò và chức năng của chúng, cũng như sự nối khớp (nếu có) giữa các lĩnh vực toán và vật

lí thể hiện qua các khái niệm này

Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu khoa học luận Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của các khái niệm nêu trên sẽ được

đề cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học

1.1 Vài nét lịch sử về khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn

Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây: + Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur

+ Phép tính vi tích phân, tập 2: Toán cao cấp A2, Dùng cho sinh viên đại học

và cao đẳng, Phan Quốc Khánh, NXBGD, 1998

+ Cơ sở giải tích toán học, tập 2, G.M.Fichtengôn, 1977

+ http://perso.orange.fr/guy.chaumeton/2d07ph.htm

+ http://fr.wikipedia.org/wiki

Phân tích các tài liệu trên cho thấy, lượng giác có nguồn gốc từ nghiên cứu thiên văn và đến thế kỉ XVII, nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu cho nhu cầu tìm hiểu và điều khiển thế giới vật lí xung quanh của con người

Trong thế kỉ XVII và XVIII, một nhánh của cơ học phát triển mạnh mẽ liên quan đến dao động cao tần Những cuộc đi biển dài ngày của thời đại này đòi hỏi những kĩ thuật hàng hải chính xác hơn, những đồng hồ chính xác hơn Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự dao động của quả lắc và nhiều loại lò xo khác nhau

Bằng cách quan sát con lắc, người ta thấy sự đều đặn, cân đối của chuyển động Galilée nhận ra rằng con lắc dường như dao động “tuần hoàn” Ông gọi chu

kỳ T là khoảng thời gian mà con lắc dao động một vòng Ông là người đầu tiên diễn

tả ý tưởng về sự đẳng thời của những dao động nhỏ (bằng cách quan sát những đèn chùm ở nhà thờ) nghĩa là chu kỳ dao động thì không phụ thuộc vào biên độ góc của con lắc

Năm 1658 – 1659, Christiaan Huygens nghiên cứu lí thuyết về dao động của con lắc Ông có ý tưởng điều tiết các đồng hồ bằng một con lắc để làm cho việc đo thời gian chính xác hơn Đồng hồ quả lắc của ông được điều chỉnh theo một cơ chế với một sự tuần hoàn tự nhiên của dao động cao tần Huygens đã khám phá ra quả lắc cầu mà chu kỳ dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ Còn Robert Hooke đã cải thiện lò xo uốn khúc, cơ sở của đồng hồ lò xo nhíp hiện đại

Ở một cấp độ khác, sự phát triển các kĩ năng sử dụng và sự tinh tế trong việc thiết kế các dụng cụ âm nhạc - từ bọc gỗ và đồng thau đến các dụng cụ bàn phím và đại phong cầm - đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự rung của các dụng cụ

âm nhạc như đàn violon, kèn khí, Tất cả các hiện tượng này là tuần hoàn, theo nghĩa lặp đi lặp lại một cách đều đặn

Như vậy, trong khoa học và kĩ thuật, người ta thường gặp các hiện tượng tuần hoàn, tức là các hiện tượng mà cứ sau một khoảng thời gian T xác định, mọi yếu tố được lặp lại hoàn toàn Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn, đặc trưng bởi đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x

Đại lượng sinxôit Asin( t ) là hàm tuần hoàn đơn giản nhất, trong đó,  là tần số và T = 2

 là chu kỳ Hàm Asin( t ) biểu diễn một dao động điều hòa, cũng gọi là dao động hình sin

Có thể lập các hàm tuần hoàn phức tạp hơn từ các hàm tuần hoàn đơn giản nhất như vậy Cộng các hàm hình sin với chu kỳ khác nhau: y0 = A0, y1 =

A1sin(t1), y2 = A2sin(2 t 2), (1) (có chu kỳ là T =2

 ,

T

2,…) thì ta vẫn được một hàm tuần hoàn chu kỳ T

Vấn đề ngược lại: Có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn  với chu kỳ T dưới ( )t

dạng tổng của một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các đại lượng sinxôit dạng (1) không?

Đối với một lớp khá rộng các hàm, với câu hỏi đó có thể trả lời là “biểu diễn được” nhưng chỉ khi ta thu hút toàn bộ dãy vô hạn các đại lượng dạng (1)

0 1

Về mặt hình học, điều này có nghĩa là: đồ thị của hàm tuần hoàn có thể thu được bằng cách chất đầy các chuỗi sinxôit

Trong vật lí ta thường gặp những vấn đề tương tự như vậy, chẳng hạn phân tích một âm phức tạp thành các âm cơ bản, phân tích một dòng điện xung thành những dòng điện dao động điều hòa

Sau đó, nhà toán học Pháp Joseph Fourier (1768 – 1830) đã chứng minh rằng một hàm số tuần hoàn chu kỳ T có thể phân tích thành “tổng” của một hằng số với những hàm số tuần hoàn có đồ thị là những đường hình sin với chu kỳ T

n (n là số nguyên dương)

Lí thuyết Fourier ra đời đã đánh dấu một thành tựu quan trọng của giải tích thế

kỉ XIX Trong giải tích, chuỗi Fourier là một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu các hàm số tuần hoàn Lí thuyết chuỗi Fourier thiết lập một sự tương ứng giữa hàm

số tuần hoàn với các hệ số Fourier Do đó, phân tích Fourier có thể xem như một cách thức mới để nghiên cứu các hàm số tuần hoàn Việc xây dựng một hàm số tuần hoàn là nghiệm của một phương trình hàm có thể dẫn đến việc xây dựng các hệ số Fourier tương ứng

Đặc biệt, lí thuyết Fourier chỉ ra rằng chỉ với hàm số sin và cosin là đủ để nghiên cứu tất cả các hiện tượng tuần hoàn

Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật Nhìn từ góc độ toán học thì nó được áp dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực nghiên cứu và giải phương trình vi phân, tính toán xấp xỉ,

 Kết luận:

+ Trong lịch sử, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện từ việc nghiên cứu các hiện tượng lặp đi lặp lại trong vật lí, trong âm nhạc,… Một hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng được lặp lại như cũ sau một khoảng thời gian xác định T, gọi là chu kỳ

+ Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn và được đặc trưng bởi đẳng thức f(x +T) = f(x) với mọi x

+ Hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là hàm Asin ( t ) biểu diễn một dao động điều hòa Trong toán học, các hàm số có đồ thị là đường hình sin - hàm sin và hàm cosin - là cơ sở để nghiên cứu tất cả các hàm số tuần hoàn khác Một hàm số

f(x) tuần hoàn chu kỳ T luôn có thể phân tích được thành tổng của một hằng số với những hàm số có đồ thị là đường hình sin có chu kỳ T

n (n là số nguyên dương) f(x) = A0 +

Ở đây, chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau :

- Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Mir publishers Moscow, a review course Translated by George Yankowsky (kí hiệu

sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2

1.2.1 Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [a]

Trong giáo trình này, hàm số được đề cập ở chương 4 Nhưng ở đó, [a] chỉ trình bày định nghĩa và đồ thị hàm số, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu và đặc trưng đồ thị của các hàm số có các tính chất đó, còn tính chất tuần hoàn hoàn toàn không được

đề cập đến

Mãi đến chương 8, nhan đề “Hàm số lượng giác của một góc”, định nghĩa hàm

số tuần hoàn mới xuất hiện trong mục “Tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của các hàm

số lượng giác” Điều này cho thấy, trong toán học, tính tuần hoàn là một tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác và luợng giác là nơi khởi đầu cho việc nghiên cứu khái niệm tuần hoàn

Định nghĩa hàm số tuần hoàn được cho ở trang 292 như sau:

“Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T (T0) nếu cho bất kỳ giá trị của x, điều kiện sau được thỏa mãn:

Nếu hàm số xác định tại điểm x hoặc tại x + T thì nó xác định tại điểm còn lại

và giá trị của nó tại cả hai điểm đều bằng nhau: f(x) = f(x + T)

Số T được gọi là chu kỳ của hàm số f(x)”

Như vậy, khái niệm hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D của hàm số Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T 0 thỏa mãn 2 điều kiện: + Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại

Như vậy, [a] đã phân biệt hai khái niệm chu kỳ và chu kỳ cơ sở của hàm số Như đã nói ở trên, khái niệm hàm số tuần hoàn chỉ được đưa vào khi nghiên cứu các hàm số lượng giác Tuy vậy, sau khi đưa ra định nghĩa, [a] trình bày 3 ví dụ minh hoạ cho khái niệm hàm số tuần hoàn, trong đó các hàm số liên quan đều không phải là hàm lượng giác

Ví dụ 1: “Hàm số f(x) = c (c là hằng số) có mọi số đều là chu kỳ của nó nhưng không có chu kỳ cơ sở”

Ví dụ 2: “Gọi phần nguyên của số x (kí hiệu [x]) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Phần thập phân của số x (kí hiệu (x)) là độ chênh lệch giữa x và phần nguyên của nó: (x) = x – [x]

Phần thập phân của x là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T =1”

Ví dụ 3: “Xem xét hàm số f(x) được xác định với các giá trị của x thỏa mãn:

0  x < 2

f(x) =

0 1 1

1 2 2

2 1 2 2 2

Có lẽ [a] giới thiệu 3 ví dụ này để chứng tỏ sự đa dạng của các hàm số tuần hoàn, cũng như chu kỳ và chu kỳ cơ sở của chúng Hơn nữa, ví dụ 1 và ví dụ 2 là các hàm số rất đặc biệt Ví dụ 3 minh hoạ cho việc chuyển đổi một hàm số không tuần hoàn thành một hàm số tuần hoàn Tuy nhiên, kĩ thuật chuyển đổi đó không được đề cập một cách tường minh

Một điều đáng lưu ý là tất cả các hàm số được nói đến trong 3 ví dụ này đều có kèm theo minh hoạ đồ thị, thể hiện đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn: đó là sự lặp lại hình dạng của đồ thị trên từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ Thật vậy, ở ví

dụ 3, đồ thị hàm số F(x) có sự lặp lại giống nhau trên các khoảng cách đều còn đồ thị hàm số f(x) thì không có tính chất đó

Sau khi trình bày định nghĩa tổng quát và các ví dụ, [a] nhấn mạnh:

“Một trong những tính chất quan trọng của các hàm số lượng giác là tính chất tuần hoàn Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí sau về tính chất tuần hoàn của các hàm

số lượng giác

Định lí Hàm số lượng giác sin , cos  , tan  , cot  , sec và cosec  là các hàm số tuần hoàn Chu kỳ cơ sở của các hàm số sin  , cos , sec  và cosec

 bằng 2(360 0 ) và chu kỳ cơ sở của các hàm số tan  và cot  bằng  (180 0 )”

Ở cuối trang, [a] lưu ý:

“Ở đây chúng ta xem xét các hàm số lượng giác của một góc và chu kỳ T được nhìn nhận như một góc, lưu ý này sẽ đúng cho đến mục 107 khi chúng ta đưa vào hàm số lượng giác của một biến số”

Như vậy, trong [a], hàm số lượng giác ban đầu được định nghĩa cho các góc gắn với số đo độ hoặc radian, sau đó mới định nghĩa các hàm số lượng giác của một biến số thực tổng quát không có đơn vị1

Định lí trên được chứng minh cho trường hợp hàm số sin  Kết luận hàm số sin  là tuần hoàn được đưa ra khi [a] chứng minh được đẳng thức sin (2n + ) = sin  với mọi n là số nguyên Từ đó, [a] chứng minh T = 2 là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin(x + T) = sin x với mọi x để kết luận về chu kỳ cơ sở Chứng minh đó như sau:

1 Việc phân tích các cách định nghĩa hàm số lượng giác cũng là một vấn đề thú vị nhưng không phải là trọng tâm trong luận văn này Vì vậy, chúng tôi không đi sâu vào phân tích vấn đề này mà có thể nó sẽ được đề cập

“Giả sử có số A sao cho 0 < A < 2 và sin( +A) = sin Vì  là tổng quát nên đẳng thức sau cũng đúng sin ( )

Về mặt đồ thị, đồ thị của các hàm số lượng giác chỉ được đề cập trong mục

107: Hàm số lượng giác của một biến số [a] không trình bày tính chất đồ thị của

hàm số tuần hoàn tổng quát mà khảo sát tính chất và vẽ đồ thị của từng hàm số lượng giác cụ thể Chẳng hạn, đối với hàm sin x, sau khi đưa ra tính chất tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2 (tính chất 3) và tính chất lẻ (tính chất 4) của hàm số, [a] đưa

ra kết luận về việc vẽ đồ thị như sau:

“Dựa trên tính chất 3 và 4, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [0; ] và sau đó tiếp tục vẽ trên đoạn [-; 0] bằng tính chất hàm số lẻ Sau đó, với

đồ thị trên đoạn [-;], ta có thể dùng tính chất tuần hoàn để tiếp tục vẽ nó trên toàn bộ trục số”

Ở đây, [a] đã đề cập đến một lợi ích của tính tuần hoàn và chu kỳ trong việc nghiên cứu hàm số y = sin x Với hàm số này, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị của nó trên một chu kỳ [-;] Sau đó, dựa vào tính tuần hoàn có thể tịnh tiến phần

đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra đồ

thị hàm số trên R Như vậy, cùng một lúc hai chức năng sau đây của khái niệm

tuần hoàn và khái niệm chu kỳ được đề cập tới thông qua một hàm số cụ thể:

- Chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”

- Chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một chu kỳ”

Tuy nhiên, [a] không đề cập đến phép tịnh tiến một cách tường minh Việc sử dụng đồ thị hàm số sin x trên đoạn [-;] để tiếp tục vẽ đồ thị của nó trên toàn bộ trục số đã không được giải thích rõ Làm thế nào có thể vẽ tiếp đồ thị hàm số trên toàn bộ trục số? Việc lí giải kĩ thuật này thuộc về trách nhiệm của giáo viên hay sinh viên?

Đồ thị hàm số y = tan x được trình bày tương tự như hàm số y = sin x, còn đồ thị các hàm số y = cos x, y = cot x được suy ra từ đồ thị của hai hàm số trên bằng các phép tịnh tiến đồ thị

Trong phần lí thuyết, sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn trên từng khoảng cách đều một số lần chu kỳ không được đề cập một cách tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đẳng thức f(x) = f(x + T) với mọi x thuộc D Tuy nhiên, ở phần sau chúng tôi cũng tìm thấy một số ví dụ thể hiện việc ứng dụng tính chất tuần hoàn

để tính giá trị của hàm số

Ví dụ 3 trang 303: Cho 13

3



  Tìm sin  , cos  , tan  , cot 

Ta thấy, để tính giá trị lượng giác của góc  trên, [a] không tính trực tiếp mà

sử dụng (ngầm ẩn) tính tuần hoàn của hàm số để quy về tính giá trị lượng giác của các góc trong khoảng (0;

2

) Kĩ thuật này có tác dụng gì?

Theo chúng tôi, việc chuyển về tính giá trị lượng giác của các góc trong khoảng (0;

2



) cho phép sử dụng bảng lượng giác hoặc bảng giá trị lượng giác các cung góc đặc biệt để cho ra kết quả Ngoài ví dụ trên, trong [a] còn có thêm 4 ví dụ khác và một bài tập thuộc dạng này

Qua các ví dụ này chúng ta thấy rằng, với một hàm số tuần hoàn, ta có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ

dài bằng chu kỳ Như vậy, chức năng thứ ba của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là

“cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” Chức năng này không được đề cập tường minh cho một hàm số tổng

quát trong [a]

● Tổ chức toán học gắn liền với hàm số tuần hoàn có mặt trong [a]

Kiểu nhiệm vụ T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = f(x)

Chẳng hạn, bài tập (bt) 6 trang 297:

“Chỉ ra các hàm số tuần hoàn trong số những hàm số sau:

y = cos2x, y = cos x2, y = x tan x, y = cos 1

x, y = sin x + cos x, y = 2 cot x + 3,

Công nghệ  : Định nghĩa hàm số tuần hoàn 1

Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số y = f(x) (nếu nó tồn tại)

3

x

, y = 7, y = cos 2x

Kĩ thuật  2:

+ Xét tính tuần hoàn của hàm số :

- Nếu hàm số không tuần hoàn thì kết luận không có chu kỳ cơ sở

- Nếu hàm số tuần hoàn thì thực hiện tiếp bước sau

+ Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x),  x D

- Nếu tồn tại số T đó thì T là chu kỳ cơ sở của hàm số

- Nếu không tồn tại số T đó thì hàm số không có chu kỳ cơ sở

Công nghệ  : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, định nghĩa chu kỳ cơ sở 2

Kiểu nhiệm vụ T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ (bt 2 trang 321):

“Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

y = sec x, y = 3 cos x, y = cos 3x, y = cos x , y = cos x , y = log cos x, y = - cos

, y = sin  , y =x2 2log cos 2 x.”

Xem xét số lượng ví dụ và bài tập, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T3 chiếm vị trí quan trọng nhất với các kĩ thuật tương ứng sau:

Kĩ thuật  : 31

+ Tìm mối quan hệ giữa hàm số được đề nghị với các hàm số đã biết đồ thị, chẳng hạn như các hàm số lượng giác cơ bản

+ Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị hàm số được yêu cầu

Công nghệ  : Các phép biến đổi đồ thị 31

Ví dụ 1 trang 317: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin x

Giải Đồ thị hàm số y = 2sin x nhận được từ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách

nhân mỗi tung độ của nó với 2 Số 0 của hàm số sin x tương ứng với số 0 của hàm

số 2sin x Suy ra đồ thị của hàm số y = 2sin x

Kĩ thuật  : 32

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Chứng minh hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

+ Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số

+ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ cơ sở + Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số

Công nghệ  : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn 32

Ví dụ 1 trang 318: Vẽ đồ thị hàm số y = log sin x

Giải:

+ Tập xác định của hàm số gồm những giá trị x mà sin x > 0

+ sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2 Do đó, với mọi giá trị x

mà log sin x xác định ta có log sin(x + 2) = log sin x, nghĩa là hàm số này cũng có chu kỳ 2 Từ tính tuần hoàn, chỉ cần khảo sát hàm số trên đoạn nào đó dài 2, chẳng hạn [0; 2] Nhưng trên đoạn [0; 2], hàm số không xác định tại mọi điểm

mà chỉ xác định trên khoảng (0; ) và do đó, sau đây ta chỉ khảo sát hàm số trên khoảng (0; ) […]

Nhận xét: Các hàm số được đề cập trong các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ

trên tương đối đa dạng bao gồm các hàm số lượng giác, hàm hằng, hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm đa thức hoặc hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm logarít,

Việc sử dụng tính chất tuần hoàn để giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số tuần hoàn được đặc biệt nhấn mạnh Với các hàm số đã cho trong các ví dụ và bài tập 2 trang 321 thì kĩ thuật khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên chu kỳ cơ sở rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra toàn thể đồ thị (kĩ thuật ) là rất cần thiết 32

1.2.2 Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [b]

Trong giáo trình này, định nghĩa hàm số tuần hoàn được đưa vào trang 39 như sau:

“Giả sử hàm y = f(x) xác định trên tập X Nếu f(x) = f(x + a),   (*) x X trong đó a là một hằng số nào đó thì hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn trên X

Vì (*) đúng với mọi xX nên ta có:

( ) ( ) ( 2 ) ( )

f x  f x a  f x a   f x ka  , với kN

Vậy nếu hàm f(x) tuần hoàn trên X thì không phải chỉ có một hằng số a sao cho ta có đẳng thức (*) mà có vô số hằng số như vậy Hằng số dương bé nhất (nếu có) sao cho ta có hệ thức (*) với mọi x X  được gọi là chu kỳ của hàm f(x).”

Vậy hàm số tuần hoàn cũng được định nghĩa trên tập xác định của nó Mặc dù [b] nhấn mạnh nếu hàm số f(x) tuần hoàn thì không phải chỉ có 1 số a thỏa mãn (*)

mà có vô số hằng số như vậy nhưng chu kỳ của hàm số được định nghĩa là duy nhất Nó là số dương nhỏ nhất trong các hằng số thỏa (*) (tương ứng với chu kỳ cơ

sở trong [a])

Ở đây ta thấy, thông qua đẳng thức:

Với mọi x X , f x( )  f x a(  )  f x(  2 ) a   f x ka(  )  , với kN, [b]

đã cho thấy rõ hơn sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn tại những điểm cách nhau

1 số lần chu kỳ Tuy nhiên, chức năng “cho phép tính giá trị hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã không được nêu lên một cách tường minh

Tiếp đó, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng chỉ được đề cập ngầm ẩn thông qua nhận xét sau:

“Từ đẳng thức (*) suy ra đồ thị của hàm tuần hoàn chu kỳ T có thể suy ra từ

đồ thị của hàm đó trong một khoảng dài T, chẳng hạn [0; T] hay ;

những phép tịnh tiến song song với trục Ox những đoạn  kT”

Như vậy, [b] đã nhấn mạnh lợi ích của việc xem xét tính tuần hoàn của hàm số khi vẽ đồ thị của nó Điều đó có nghĩa là chức năng thứ hai của khái niệm tuần hoàn

và chu kỳ (chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”) đã được đề cập tường minh trong phần lí thuyết Chức năng thứ nhất (giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) không được đề cập tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đoạn trích trên

Tiếp đó, khi đề cập đến những hàm sơ cấp cơ bản, [b] đã đưa vào các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x Tính tuần hoàn, chu kỳ và đồ thị của các hàm số này chỉ được trưng ra mà không có bất cứ giải thích nào kèm theo

● Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn có mặt trong [b]

Trong giáo trình [b], chỉ có 1 bài toán liên quan đến hàm số tuần hoàn và chu

kỳ thuộc vào hai kiểu nhiệm vụ sau:

T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số

T2: Tìm chu kỳ của hàm số

Sự tồn tại duy nhất hai kiểu nhiệm vụ T1, T2 cho thấy trong giáo trình này, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số chỉ là đối tượng nghiên cứu Chúng không được sử dụng như những công cụ để giải toán Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ không được thể hiện trong phần bài tập

1.3 Khái niệm tuần hoàn trong giáo trình Vật lí ở bậc Đại học

Tài liệu phân tích: Vật lí đại cương, Tập 2: Điện, Dao động, Sóng, Lương Duyên Bình, Dư Trí Công, Nguyễn Hữu Hồ (2001), NXBGD (kí hiệu là [c])

Bắt đầu từ việc nghiên cứu dao động của một con lắc, [c] khảo sát sự phụ thuộc của độ dời x theo thời gian t để đi đến định nghĩa dao động điều hòa như sau:

“Dao động điều hòa là dao động trong đó độ dời là một hàm số sin của thời gian t:

Suy ra v = dx

dt = - Asin( t ) (2)

Ở đây, hàm số tuần hoàn (cụ thể là hàm cosin và hàm sin) được sử dụng để mô

tả dao động điều hòa Việc kết luận độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2

 được giải thích như sau:

“Quả vậy, dễ dàng nhận thấy rằng:

x(t + T0) = x(t), v(t + T0) = v(t), a(t + T0) = a(t) [ ].” (4)

Như vậy, để kết luận T0 là chu kỳ của các hàm số trên, [c] không đề cập đến tính dương và nhỏ nhất của T0 mà chỉ giải thích do T0 thỏa mãn các đẳng thức (4)

Từ đó, [c] gọi T0 là chu kỳ dao động của con lắc

Ta thấy, chu kỳ của hàm số tuần hoàn mô tả độ dời, vận tốc, gia tốc của con lắc (chu kỳ theo nghĩa toán học) chính bằng chu kỳ dao động của nó (chu kỳ theo nghĩa vật lí) [c] đã đồng nhất hai khái niệm chu kỳ này là một, sau đó mới đưa vào định nghĩa tổng quát về chu kỳ dao động như sau:

“Chu kỳ của một dao động là thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng thái chuyển động nào đó lại trở lại trạng thái ấy”

Tương ứng với giáo trình [b] (Toán học cao cấp, Nguyễn Đình Trí), chu kỳ được định nghĩa là số T dương bé nhất sao cho giá trị của hàm số lặp lại (f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D thì trong [c], chu kỳ dao động là thời gian ngắn nhất để trạng thái của vật lặp lại như cũ Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số trong [b] hoàn toàn tương thích với định nghĩa chu kỳ dao động trong [c]

Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và làm rõ một số cách trình bày những khái niệm này trong các giáo trình Toán ở bậc đại học Ngoài ra, chúng tôi cũng đã phân tích

sự hiện diện của khái niệm tuần hoàn trong môn Vật lí ở cấp độ này và sự nối khớp giữa Toán học và Vật lí

Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương 1

- Về định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ:

Hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D, là hàm số thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D (T là một hằng số nào đó) Riêng

về chu kỳ của hàm số, có thể định nghĩa nó theo những cách khác nhau

+ Trong giáo trình [a] (Elementary mathematics), chu kỳ của hàm số là mọi số

T thoả mãn hai điều kiện :

• Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại

nó trùng với định nghĩa chu kỳ cơ sở trong [a]

- Về các đặc trưng của hàm số tuần hoàn:

Đặc trưng lặp đi lặp lại giá trị và đồ thị hàm số trên từng khoảng cách đều của hàm số tuần hoàn không được đề cập một cách tường minh ở cấp độ đại học Tuy vậy, đặc trưng đồ thị được sử dụng ngầm ẩn để giải quyết rất nhiều các ví dụ và bài tập liên quan đến việc vẽ đồ thị của hàm số trong [a]

- Về các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ:

Khái niệm tuần hoàn và chu kỳ xuất hiện với các chức năng sau đây

• Cho phép giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ

• Cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có

độ dài bằng chu kỳ

Trong giáo trình [a], các chức năng thứ nhất và thứ hai được nhấn mạnh trong việc khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số Ngược lại, trong giáo trình [b], chức năng thứ nhất và thứ ba chỉ thể hiện ngầm ẩn Chức năng thứ hai được đề cập tường minh trong phần lí thuyết nhưng nó không thể hiện trong phần bài tập cũng như khi nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản

- Liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó, chúng tôi thấy sự xuất hiện của những kiểu nhiệm vụ sau:

T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số

T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại)

T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trong đó, kiểu nhiệm vụ T3 chiếm ưu thế và là kiểu nhiệm vụ quan trọng nhất trong [a] Tuy nhiên, nó lại hoàn toàn vắng mặt trong [b] Như vậy, chỉ có trong [a], khái niệm tuần hoàn và chu kỳ mới được đề cập với vai trò công cụ trong việc giải toán

- Trong giáo trình [c] (Vật lí đại cương), hàm số tuần hoàn được sử dụng để

mô tả các dao động điều hòa : dao động mà độ dời là một hàm số sin của thời gian t:

x = A cos ( t ), A > 0 Do đó, chu kỳ dao động là khoảng thời gian ngắn nhất để

hệ biến đổi từ một trạng thái nào đó lại trở lại trạng thái ấy Như vậy, chu kỳ dao động này tương ứng với chu kỳ (toán học) đã được định nghĩa trong [b] Chu kỳ dao động chính bằng chu kỳ của hàm số mô tả dao động

Những kết quả đã đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn

Chương 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu của chương

Chương này nhằm mục đích làm rõ:

- Các đặc trưng của mối quan hệ thể chế với các khái niệm tuần hoàn và hàm

số tuần hoàn cũng như vai trò, vị trí và chức năng của chúng trong thể chế dạy học toán ở trường trung học phổ thông Việt Nam

- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế trên các khái niệm này

Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phân tích CT và SGK Việt Nam qua một số thời kì khác nhau: thời kì CLHN năm 2000 và thời kỳ thí điểm năm 2003 Những kết quả đã đạt được trong chương 1 sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân tích trong chương này

Ngoài ra, chúng tôi cũng phân tích một SGK của thể chế dạy học Pháp nhằm mục đích hình thành nên cơ sở tham chiếu thứ hai cho phân tích Lựa chọn này dựa trên giả thuyết công việc sau đây

Giả thuyết công việc: Việc phân tích so sánh SGK của hai hệ thống dạy học

khác nhau cho phép làm rõ hơn đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức trong mỗi hệ thống

SGK được chọn phân tích là: Maths seconde, COLLECTION TERRACHER,

1995, HACHETTE Éducation (chúng tôi kí hiệu là [F1])

Việc không chọn một SGK hiện hành xuất phát từ hai lí do chủ yếu sau:

- Đây là cuốn SGK làm căn cứ cho việc soạn thảo SGK Toán lớp 10, dùng cho các lớp song ngữ hiện nay ở Việt Nam

- Đối tượng hàm số tuần hoàn chiếm một vị trí quan trọng trong cả phần lí thuyết và bài tập của SGK này

Phần A Hàm số tuần hoàn trong SGK Pháp

Trong bộ SGK TERRACHER trên, khái niệm hàm số tuần hoàn được đề cập

lần đầu tiên ở lớp 10 (Seconde) trong chương 8: Lượng giác và hàm số lượng giác

Ngay từ đầu chương, SGK trình bày mục tiêu của chương như sau:

“Như đã thể hiện ở tựa đề, chương này được xây dựng xung quanh 2 chủ đề chính:

+ Đưa vào những khái niệm đơn giản nhưng quan trọng của lượng giác trong phạm vi gần gũi với tam giác vuông Chúng ta định nghĩa một đơn vị đo mới, được

ưu tiên về mặt toán học: radian, sau đó, chúng ta sẽ đo góc định hướng, từ đó cho phép đưa vào cosin, sin và tang của một số thực

+ Nghiên cứu các hàm số lượng giác: sin và cosin sẽ làm phong phú hơn “bộ sưu tập” của chúng ta về các hàm số thông thường và dẫn đến đưa vào một khái niệm mới: tính tuần hoàn.”

Một trong hai mục tiêu chính của chương là giới thiệu các hàm số lượng giác

và từ đó đưa vào tính chất tuần hoàn của hàm số Như vậy, hàm số lượng giác (đặc biệt là hàm sin và cosin) cho một tiếp cận đầu tiên khái niệm tuần hoàn Điều này phù hợp với kết quả phân tích trong lịch sử và trong giáo trình [a] (Elementary mathematics) đã trình bày ở chương 1

Trước khi xuất hiện định nghĩa hàm số tuần hoàn, khi đề cập đến tính chất cơ bản của hàm số sin và cosin, SGK đã đưa vào tính chất :

“Với mọi số thực x và mọi số nguyên k ta có: sin(x+k2) = sinx, cos(x+k2)

= cosx”

Tính chất này chính là cơ sở đề cập tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác

Quả thực, xuất phát từ nhận xét: Với mọi x, sin(x+2) = sin x, cos(x+2) = cos x, SGK đề cập đến tính tuần hoàn và chu kỳ của chúng như sau:

“Ta nói rằng các hàm số này là tuần hoàn và 2là một chu kỳ ”

Còn định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn xuất hiện ngay sau đó:

“Cho f là hàm số xác định trên R và T là một số thực khác 0

Ta nói rằng f là tuần hoàn, chu kỳ T nếu với mọi x, f(x+T) = f(x)

Chú ý rằng T là một chu kỳ của f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f.”

Như vậy, SGK chỉ trình bày định nghĩa hàm số tuần hoàn có tập xác định là R Tuy nhiên, một chú thích nhỏ ở cuối trang lại lưu ý rằng:

“Ở lớp 10, người ta chỉ xem xét những hàm số tuần hoàn xác định trên R Nhưng thực ra, định nghĩa có thể mở rộng cho một hàm số xác định trên D bằng cách bổ sung: Với mọi số thực x thuộc D thì x + T thuộc D và f(x+T) = f(x)”

Định nghĩa trên cho thấy, SGK không định nghĩa chu kỳ là số dương T nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x (*) như sách [b] (Toán học cao cấp - Nguyễn Đình Trí) mà là mọi số T khác 0 thỏa mãn (*) Nếu T là một chu kỳ

của hàm số f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số tương tự như định nghĩa được cho trong [a], có điều ở đây không đưa vào khái niệm chu kỳ cơ sở

Như vậy, chu kỳ của hàm số y = sin x có thể là 2, 4, 6,…và như trên đã trình bày, SGK gọi 2 là một chu kỳ của hàm số đó

Tại sao SGK này lại chọn cách định nghĩa chu kỳ như vậy?

Theo chúng tôi, lí do thứ nhất có thể xuất phát từ mong muốn của noosphere nhằm giảm tính phức tạp của vấn đề chứng minh một số T là chu kỳ của hàm số (chỉ cần chứng minh đẳng thức (*) mà không cần kiểm tra tính dương và nhỏ nhất của T)

Lí do thứ hai có thể là do việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm

số tuần hoàn trong SGK này chỉ cần vận dụng một cách ngầm ẩn sự duy nhất và tính dương nhỏ nhất của chu kỳ Nghĩa là người ta vẫn sử dụng chu kỳ cơ sở nhưng không cần thiết đề cập tường minh đến khái niệm này

Sau khi đưa ra định nghĩa nêu trên, SGK đưa vào một mục nhan đề : “Tiết kiệm công việc” (Une économie de travail) như dưới đây, trong đó trình bày đặc trưng của tính tuần hoàn của hàm số trên hai phương diện khác nhau

“Tiết kiệm công việc

+ Từ quan điểm số: Một hàm số tuần hoàn nhận cùng những giá trị trên

những khoảng cách đều Nói rõ hơn, một hàm số tuần hoàn chu kỳ T được biết hoàn toàn khi người ta biết những giá trị của nó trên một khoảng có độ dài T ([0; T)

chẳng hạn)

đường biểu diễn của nó Nếu M(x; y) là một điểm trên C f (nếu y = f(x)), thì M’(x+T; y) cũng nằm trên C f vì y = f(x) = f(x+T) Vì vậy, đường cong C f là bất biến một cách toàn bộ bởi phép tịnh tiến theo vectơ T i

Điều đó cho phép tạo ra toàn thể đồ thị khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài T”

Từ quan điểm số ta thấy, chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là:“cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” Đó chính là chức năng thứ ba của nó như đã được đề cập ở chương 1 Tuy

nhiên, ở cấp độ tri thức khoa học, chức năng này chỉ thể hiện ngầm ẩn qua những ví

dụ cụ thể còn trong SGK này, nó đã được nhấn mạnh một cách tường minh

Chức năng này sẽ dẫn đến một sự “tiết kiệm” công việc gì?

Đó chính là: khi muốn nghiên cứu, khảo sát một hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần nghiên cứu nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ là đủ

Xuất phát từ quan điểm đồ thị, đặc trưng khác của hàm số tuần hoàn là đồ thị của nó bất biến qua phép tịnh tiến theo vectơ T i

(T là chu kỳ), tức là hình dạng của

đồ thị cũng lặp lại trên những khoảng cách đều Do đó, ta có thể vẽ được toàn thể đồ thị của hàm số tuần hoàn khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ bằng cách tịnh tiến nó theo các vectơ T i

Đây chính là chức năng thứ hai đã

nêu trong chương 1 của khái niệm tuần hoàn và chu kì, chức năng“cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ”

Đặc trưng và chức năng này của hàm số tuần hoàn cũng cho phép một sự “tiết kiệm” công việc thứ hai: khi muốn vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ là đủ Như vậy, kết hợp cả hai quan điểm số và quan điểm đồ thị ở trên cho thấy một chức năng “tiết kiệm” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ là chức năng

“giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” Đây là chức năng thứ nhất mà

chúng tôi đã bàn đến trong chương 1

Đặc biệt, chức năng “tiết kiệm” này được nhấn mạnh hơn sau khi SGK giới

thiệu tính chẵn lẻ của hàm số Thật vậy, khi đưa vào định lí: “Hàm số cosin là chẵn còn hàm sin là lẻ”, SGK nhấn mạnh:

“Lợi ích tuyệt vời mà tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn mang lại là: chỉ cần nghiên cứu hàm số cosin và sin trên đoạn [0, ] để biết chúng trên [ , ] nhờ vào tính chẵn lẻ và cuối cùng trên R nhờ vào tính tuần hoàn”

Như vậy, về mặt lí thuyết, SGK này đã đề cao vai trò của tính tuần hoàn của hàm số trong việc khảo sát và vẽ đồ thị của nó

Tiếp đó, từ việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sin x, cos x trên đoạn [0, ], SGK đưa ra đồ thị của chúng trên R mà không có một sự giải thích

rõ ràng nào SGK chỉ nói rằng do sử dụng tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn mà ta có đồ thị như vậy

Liệu việc sử dụng tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn được thực hiện như thế nào? Giải thích vấn đề này có lẽ thuộc về trách nhiệm của giáo viên

● Tổ chức toán học gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn

Trước hết, ta nhắc lại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần

hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học Đó là ba kiểu nhiệm vụ sau đây

T1: “Xét tính tuần hoàn của hàm số”

T2: “Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại)”

T3: “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”

Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, kiểu nhiệm vụ T1 không xuất hiện tường

minh trong SGK Pháp Dấu vết của T1 chỉ thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T’1:

“Chứng minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T”

Ví dụ (bt 40 trang 191):

“Chứng minh rằng các hàm số x cos 2x , x sin 2x là tuần hoàn chu kỳ ”

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ:

+ Chu kỳ được đề cập đến chính là chu kỳ cơ sở

+ Các hàm số được cho đều là các hàm lượng giác cho bằng công thức

Như vậy, mặc dù SGK định nghĩa chu kỳ là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R, nhưng tồn tại ở đây một ràng buộc ngầm ẩn của thể

chế đối với kiểu nhiệm vụ T’1 là: chu kỳ T luôn luôn là chu kỳ cơ sở

Nói cách khác, chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn một quy tắc hợp đồng của thể chế:

Theo hợp đồng này, thể chế mong muốn giáo viên đề nghị cho học sinh các bài toán liên quan đến chu kỳ của hàm số, trong đó chu kỳ là dương và nhỏ nhất (chu

+ Chứng minh f(x + T) = f(x) với mọi x

+ Kết luận hàm số tuần hoàn với chu kỳ T

Công nghệ  : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số 1

Vì SGK không định nghĩa chu kỳ cơ sở mà chỉ có khái niệm một chu kỳ của hàm số, do đó, kiểu nhiệm vụ T2 cũng không tồn tại Dấu vết của T2 được tìm thấy

qua kiểu nhiệm vụ T’2: “Tìm một chu kỳ của hàm số”

lời giải cho bài tập này Tuy vậy, chúng tôi dự đoán kết quả mà thể chế mong đợi sẽ

là chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (tức là chu kỳ cơ sở theo [a])

Thật vậy, với cách trình bày ở phần lí thuyết (kết luận 2 là một chu kỳ của

hàm số y = sin x) ta có thể dự đoán một kết quả mà thể chế mong đợi trong bài toán này là T = 2x997 vì

Việc tìm ra số T = 2x997 không hề đơn giản Hàm số đã cho thuộc dạng hàm

số y = A sin (t) + B Đây là hàm số tuần hoàn có một chu kỳ là 2

 Tuy nhiên, SGK không trình bày bài toán tổng quát này mà chỉ đưa vào một hàm số cụ thể cần tìm một chu kỳ Liệu học sinh sẽ làm thế nào để tìm ra số T ở trên?

Kiểu nhiệm vụ T3 chỉ tồn tại trong phần lí thuyết khi SGK khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sin x và cos x Như vậy, thể chế mong muốn giáo viên trình bày kiểu nhiệm vụ này cho học sinh còn học sinh không có trách nhiệm thực hiện T3

Trong phần bài tập, dấu vết của T3 thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T’3: “Vẽ đồ

thị của hàm số trên đoạn [a; b]”

Ví dụ: bt 43 trang 205:

“Cho hàm số f tuần hoàn chu kỳ 3 và biểu diễn

đồ thị trên đoạn [-1, 2] được cho bởi hình vẽ sau:

Hãy vẽ đường biểu diễn của f trên mỗi đoạn sau:

[11, 14], [-8, -4], [14, 18] và [39, 45]”

Đây là một hàm số tuần hoàn được cho bằng đồ thị trên một chu kỳ Hơn nữa,

đồ thị của hàm số là những đoạn thẳng trên từng khoảng có độ dài 1 đơn vị, giá trị hàm số tại các đầu mút là những số nguyên Do đó, để vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài 1, ta chỉ cần xác định giá trị hàm số tại hai đầu mút nguyên rồi nối chúng lại thành một đoạn thẳng

Do đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn, ta có thể suy ra được đồ thị của hàm

số này trên R Ở đây, đề bài yêu cầu vẽ đồ thị hàm số trên 4 đoạn Chúng tôi sẽ phân tích đặc trưng của các đoạn cần vẽ đồ thị

+ Đoạn [11, 14] có độ dài đúng bằng 1 chu kỳ (độ dài 3) Hơn nữa, giá trị hàm

số tại các đầu mút của đoạn này «trùng» với giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn cho trước:

Khi một đầu mút của khoảng có tính chất này ta sẽ gọi nó là “bội” của đầu mút của khoảng đã cho Như vậy, đoạn [11, 14] có hai đầu mút đều là “bội” của hai đầu mút của đoạn [-1, 2]

+ Đoạn [-8, -4] và [14, 18] có độ dài lớn hơn 1 chu kỳ (độ dài 4) Mỗi đoạn chỉ

có một đầu mút là “bội” của đầu mút cuối của đoạn cho trước [-1, 2]

Cụ thể, đối với đoạn [-8, -4] ta có: f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2)

Đối với đoạn [14, 18] ta có: f(14) = f(2 + 4.3) = f(2)

+ Đoạn [39, 45] có độ dài bằng hai lần chu kỳ (độ dài 6) Hai đầu mút của đoạn đều không là “bội” của các đầu mút của đoạn cho trước

Do các đặc trưng nêu trên, ta có thể dự kiến các chiến lược giải bài toán này như sau:

+ Đối với đoạn [11, 14], có thể có các chiến lược sau:

• Chiến lược “đồ thị”: Tịnh tiến phần đồ thị hàm số trên đoạn [-1, 2] (kí hiệu

• Chiến lược “đồ thị”: Tịnh tiến C[-1,2] theo các vectơ -6i

, -9i

ta có C[-10, -4] Xóa C[-10, -8], ta có C[-8, -4] cần vẽ

+ Đối với đoạn [39, 45], ta có các chiến lược sau:

• Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị”:

f(39) = f(0 + 13.3) = f(0)

f(45) = f(6+ 13.3) = f(6)

Do đó, C[39, 45] có hình dạng giống hệt C[0, 6] Đầu tiên, ta cần vẽ C[0, 6] (Do f(3)

= f(0) = 0, ta có C[0, 3] , từ đó C[3, 6] có được do tịnh tiến C[0, 3] theo vectơ 3i

Do đó, trên hệ trục tọa độ lấy các điểm có tọa độ (39; 0), (40; 0), (41; 1), (42; 0), (43; 0), (44; 1), (45; 0) và nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[39, 45] cần vẽ

Từ các chiến lược ở trên ta rút ra được các kĩ thuật có thể được sử dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ T’3 như sau:

 (kĩ thuật “tịnh tiến dư và cắt”):

Tịnh tiến phần đồ thị đã cho theo các vectơ nTi

, (n+1)Ti

, (n-1)Ti

, Sau đó, cắt bỏ những phần không cần thiết để được đồ thị hàm số trên khoảng cần vẽ

• Kĩ thuật '

33

 (kĩ thuật “giá trị các điểm mốc”):

Tính giá trị hàm số tại các điểm mốc Đó là các điểm nguyên trong khoảng cần

vẽ đồ thị Sau đó, biểu diễn các điểm này lên trục số và nối chúng lại thành các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1

 đặc biệt phát huy tác dụng trong trường hợp khoảng cần vẽ đồ thị

có độ dài bằng một chu kỳ và có hai đầu mút đều là “bội” của hai đầu mút của khoảng cho trước Có hai trường hợp xảy ra:

+ Nếu khoảng cần vẽ đồ thị gần với khoảng đã cho (chẳng hạn [-7, -4] so với [-1, 2]), ta có thể tịnh tiến trên giấy để được đồ thị cần vẽ

+ Ngược lại, nếu khoảng cần vẽ đồ thị cách khá xa khoảng cho trước (chẳng hạn [41, 44] so với [-1, 2]) thì không thể biểu thị cả hai phần đồ thị trên hình vẽ để

mô tả phép tịnh tiến Khi đó, ta chỉ cần biểu thị đoạn [41, 44] trên hệ trục tọa độ rồi

vẽ đồ thị trên đoạn này giống hệt đồ thị hàm số trên đoạn [-1, 2] Ở đây, coi như phép tịnh tiến đã được sử dụng một cách ngầm ẩn

Trong kĩ thuật này, đặc trưng đồ thị đóng vai trò quan trọng Tuy nhiên, kĩ thuật này không vận hành được khi các khoảng cần vẽ đồ thị không có các đầu mút

là “bội” của các đầu mút của khoảng cho trước

Khi đó, cần thiết sử dụng đến các kĩ thuật '

Trong kĩ thuật '

33

 đặc trưng số đóng vai trò đặc biệt quan trọng Cần thiết xác định được giá trị các điểm mốc và dựa vào hình dáng đồ thị của hàm số để vẽ đồ thị trên khoảng yêu cầu Khi đó, phép tịnh tiến cũng đã được sử dụng một cách ngầm

ẩn Kĩ thuật này có thể áp dụng cho mọi khoảng bất kỳ có các đầu mút nguyên Như vậy, tính chất tuần hoàn và chu kỳ của hàm số góp phần quan trọng vào việc giải quyết kiểu nhiệm vụ T’3 Đặc biệt, kiểu nhiệm vụ này cho phép nối liền đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn Chức năng “cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” và chức năng “cho phép vẽ đồ thị hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã được nhấn mạnh

Kiểu nhiệm vụ T4: “Xác nhận một số T có phải là một chu kỳ của hàm số

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ:

+ Hàm số được cho là hàm lượng giác cho bằng công thức

+ Số cho trước có thể là một chu kỳ hoặc không là một chu kỳ của hàm số Theo chúng tôi, bài toán này có thể được giải như sau :

Suy ra 3 không phải là một chu kỳ của hàm số đã cho

Như vậy, kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T4 là:

Kĩ thuật  : 4

+ Tính f(x + T)

+ Nếu f(x + T) = f(x) với mọi x thì T là một chu kỳ

+ Hoặc lấy một giá trị đặc biệt của x và chứng tỏ đẳng thức f(x +T) = f(x) không xảy ra với trường hợp đặc biệt này Từ đó, kết luận được T không phải là một chu kỳ của hàm số

Công nghệ  : Định nghĩa chu kỳ của hàm số 4

Một điều lưu ý là chúng tôi chỉ tìm thấy các kiểu nhiệm vụ trên trong phần bài tập của SGK Chúng hoàn toàn vắng mặt trong các ví dụ và bài tập có hướng dẫn

Bảng 2.1 Thống kê số lượng bài tập liên quan đến hàm số tuần hoàn

Kiểu nhiệm vụ Số bài tập

♦ Kết luận

Việc phân tích SGK Pháp ở trên cho phép rút ra một số đặc trưng chính sau đây của mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn

+ Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T)

= f(x) với mọi x thuộc R Do đó, một hàm số tuần hoàn sẽ có vô số chu kỳ Nếu T là một chu kỳ thì mọi số có dạng nT (n là số nguyên) cũng là một chu kỳ của hàm số + Đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn được đề cập tường minh trong phần lí thuyết Từ đó, SGK nhấn mạnh đến lợi ích của việc nghiên cứu tính tuần hoàn của hàm số Cả ba chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đều được đề cập trong SGK

+ Hàm số tuần hoàn được tiếp cận và nghiên cứu dưới dạng biểu thức giải tích

và dạng đồ thị, bao gồm cả các hàm số lượng giác và hàm số bậc nhất, hàm hằng trên từng khoảng

+ Kiểu nhiệm vụ chiếm vị trí quan trọng nhất là kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng

minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T” chiếm 5 trên tổng số 10 bài tập Tiếp đó

là kiểu nhiệm vụ T4: “Xác nhận một số T có phải là một chu kỳ của hàm số y =

f(x) không” chiếm 3/10 bài

Hai kiểu nhiệm vụ này đều nhắm tới củng cố định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu

kỳ của hàm số và các tính chất của các hàm lượng giác, đặc biệt là hàm sin và cosin

Ở đây, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số vẫn là đối tượng nghiên cứu chứ không đóng vai trò “công cụ” Vai trò “công cụ” của nó chỉ được nhấn mạnh qua duy nhất một bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’3 mà chúng tôi đã phân tích ở trên

Kiểu nhiệm vụ T3 (Vẽ đồ thị hàm số) thể hiện chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chỉ được trình bày trong phần lí thuyết cho hai hàm số sin x và cos x Điều đó chứng tỏ thể chế mong muốn giáo viên trình bày cho học sinh còn học sinh không có trách nhiệm giải quyết các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này

Xét các kiểu nhiệm vụ xuất hiện trong SGK, chúng tôi nhận thấy tất cả các chu

kỳ T được đề cập đến đều là chu kỳ dương và nhỏ nhất của hàm số Điều này cho phép dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn một quy tắc hợp đồng của thể chế đối với giáo viên:

RP1: “Chu kỳ của hàm số cho trước luôn là chu kỳ dương và nhỏ nhất”

Phần B Hàm số tuần hoàn trong SGK Việt Nam 2.1 Khái niệm «tuần hoàn» ở trường phổ thông trước khi đưa vào khái niệm hàm số tuần hoàn ở lớp 11

Như đã đề cập ở chương 1, trong lịch sử, trước khi xuất hiện khái niệm hàm số tuần hoàn trong toán học, thuật ngữ tuần hoàn đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lí, âm nhạc,…,kể cả trong đời sống thường ngày

Vậy, ở trường phổ thông, trước khi đưa vào khái niệm hàm số tuần hoàn trong SGK Toán lớp 11, thuật ngữ tuần hoàn đã được sử dụng chưa? Nó mang nghĩa gì? Qua phân tích một số SGK phổ thông của các môn học khác, đặc biệt là các môn tự nhiên, chúng tôi rút ra được một số ghi nhận như sau:

Thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện lần đầu tiên ở bài 6: Máu và cơ quan tuần hoàn của SGK Tự nhiên và xã hội lớp 3 (Bùi Phương Nga, Lê Thị Thu Dinh, Đoàn

Thị My, Nguyễn Tuyết Nga, 2006, NXBGD) qua định nghĩa cơ quan tuần hoàn:

“Trong cơ thể, máu luôn được lưu thông Cơ quan vận chuyển máu đi khắp cơ thể được gọi là cơ quan tuần hoàn”

SGK đưa vào định nghĩa và sơ đồ vòng tuần hoàn lớn, vòng tuần hoàn nhỏ trong đó có các mũi tên chỉ sự lưu thông của máu từ tâm thất phải qua động mạch phổi, , đến tĩnh mạch chủ rồi trở lại về tâm thất phải:

“Vòng tuần hoàn lớn: đưa máu chứa nhiều khí oxi và chất dinh dưỡng từ tim

đi nuôi các cơ quan của cơ thể, đồng thời nhận khí CO 2 và chất thải của các cơ quan rồi trở về tim

Vòng tuần hoàn nhỏ: đưa máu từ tim đến phổi lấy khí oxi và thải khí CO 2 rồi trở về tim.”

Hình vẽ và sự mô tả hai vòng tuần hoàn của SGK cho thấy: vòng tuần hoàn

máu là một chu trình khép kín của sự lưu thông máu, bắt đầu xuất phát từ tim và cuối cùng trở lại về tim, cứ thế tiếp tục lặp đi lặp lại Tuy nhiên, điều này không

được nhắc đến một cách tường minh

Tiếp theo, SGK Khoa học lớp 4, ở bài 22 nhan đề: Mây được hình thành như thế nào? Mưa từ đâu ra?, đã giới thiệu vòng tuần hoàn của nước trong tự nhiên “Hiện tượng nước bay hơi thành hơi nước, rồi từ hơi nước ngưng tụ thành nước xảy ra lặp đi lặp lại tạo ra vòng tuần hoàn của nước trong tự nhiên”

Cụ thể, vòng tuần hoàn đó như sau: “Nước ở sông hồ bay lên cao gặp lạnh tạo thành hạt nước Ở trên cao, nhiều hạt nước hợp thành mây Mây bay lên cao, nhiều

hạt nước nhỏ hợp thành hạt nước lớn hơn, trĩu nặng rơi xuống tạo thành mưa Cùng với những hạt mưa khác, giọt nước trở về sông hồ nơi nó đã ra đi”

Ở đây, SGK cũng sử dụng khái niệm “vòng tuần hoàn” để mô tả một chu trình khép kín, lặp đi lặp lại Cụm từ lặp đi lặp lại đã được sử dụng một cách tường minh Khái niệm vòng tuần hoàn máu tiếp tục được đề cập trong SGK Sinh học lớp

8 SGK cũng đưa vào sơ đồ hai vòng tuần hoàn và chú thích chi tiết hơn từng giai đoạn trong chu trình khép kín, lặp lại của sự lưu thông máu

Tóm lại, cho đến lớp 8, từ “tuần hoàn” luôn xuất hiện chung trong cụm từ

“vòng tuần hoàn” để mô tả một chu trình khép kín, lặp đi lặp lại

Kể từ chương trình lớp 9, khái niệm vòng tuần hoàn không còn được đề cập tới Trong SGK Hóa học 9 xuất hiện khái niệm Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học (gọi tắt là bảng tuần hoàn) Đó là một bảng các nguyên tố được sắp xếp theo chiều tăng của điện tích hạt nhân nguyên tử Chu kỳ trong bảng tuần hoàn là dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron và được sắp xếp theo chiều điện tích hạt nhân tăng dần

Liệu từ bảng tuần hoàn có mang nghĩa là một sự lặp đi lặp lại? Khái niệm chu

kỳ ở đây có giống khái niệm chu kỳ trong toán học?

SGK Hóa học 10 trình bày những đặc trưng của bảng tuần hoàn như sau:

“Cấu hình electron lớp ngoài cùng của nguyên tử các nguyên tố trong cùng một nhóm A được lặp đi lặp lại sau mỗi chu kỳ, ta nói rằng: chúng biến đổi một cách tuần hoàn

Như thế, sự biến đổi tuần hoàn về cấu hình electron lớp ngoài cùng của nguyên tử các nguyên tố khi điện tích hạt nhân tăng dần chính là nguyên nhân của

sự biến đổi tuần hoàn tính chất của các nguyên tố”

“Trong một chu kỳ, theo chiều tăng dần của điện tích hạt nhân, tính kim loại của các nguyên tố yếu dần, đồng thời tính phi kim mạnh dần Quy luật trên được lặp lại đối với mỗi chu kỳ”

“Trong một chu kỳ, đi từ trái sang phải, hóa trị cao nhất của các nguyên tố trong hợp chất với oxi tăng lần lượt từ 1 đến 7, còn hóa trị của các phi kim trong hợp chất với hidro giảm từ 4 đến 1 Quy luật trên được lặp lại đối với mỗi chu kỳ”

SGK nhấn mạnh sự lặp đi lặp lại sau mỗi chu kỳ Cứ sau một chu kỳ, cấu hình electron nguyên tử của lớp ngoài cùng các nguyên tố lại lặp lại, sự tăng, giảm tính kim loại, tính phi kim hay hóa trị của các nguyên tố trong hợp chất với oxi cũng lặp lại Vậy bảng tuần hoàn cũng thể hiện ngầm ẩn một sự lặp đi lặp lại

Đối với môn Toán, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện lần đầu tiên trong SGK Toán 7, Tập 1, do tác giả Phan Đức Chính làm tổng chủ biên Từ «tuần hoàn» xuất

hiện trong khái niệm “Số thập phân vô hạn tuần hoàn” ở bài 9: Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuần hoàn trang 32 qua tình huống sau đây

Tương tự, 17

11

 = -1,5454 = -1,(54) -1,(54) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ là 54

Ta thấy, trong số thập phân vô hạn tuần hoàn có một số các chữ số liên tiếp lặp

đi lặp lại vô hạn lần Số tạo thành bởi các chữ số đó chính là chu kỳ

Như vậy, trong SGK phổ thông, từ tuần hoàn luôn được sử dụng để mô tả một

sự lặp đi lặp lại, một chu trình khép kín Điều này dẫn chúng tôi đến việc đặt ra giả

thuyết nghiên cứu sau mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng trong chương

3 của luận văn

Giả thuyết H1: Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính

thức ở lớp 11, khái niệm tuần hoàn đã tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại

2.2 Hàm số tuần hoàn trong SGK Toán lớp 11

Tại thời điểm chúng tôi phân tích, ở trường phổ thông đang sử dụng ba bộ

SGK theo hai chương trình khác nhau: chương trình chỉnh lí hợp nhất (CLHN) năm

2000 và chương trình thí điểm năm 2003

Trong phần này, dựa trên cơ sở tham chiếu là các phân tích ở chương 1 và phân tích SGK Pháp, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các bộ SGK của cả hai chương trình nói trên Mục đích là làm rõ việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn, vai trò, chức năng của khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và các tổ chức toán học xung quanh chúng trong từng SGK

2.2.1 SGK CLHN năm 2000

Tài liệu phân tích:

+ Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD [V1] + Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD [P1]

+ Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh,

2000, NXBGD [E1]

Tương tự SGK Pháp, trước khi đưa ra định nghĩa hàm số tuần hoàn, SGK V1

đã trình bày các tính chất cơ bản của các hàm số lượng giác, trong đó có các đẳng thức sau:

sin (x + k2) = sin x, cos(x + k2) = cos x với mọi x thuộc R

tg(x + k) = tg x với mọi x khác ( )

cotg(x + k) = cotg x với mọi x khác k (k Z )

Các tính chất này được được sử dụng trong các ví dụ và bài tập về tính giá trị lượng giác của một góc cho trước, chẳng hạn, ví dụ 2 trang 22:

Hoặc ví dụ 3 trang 23: “Tính sin(-1050 0 )

Giải: Ta có: sin(-1050 0 ) = sin(30 0 – 3.360 0 ) = sin 30 0 = 1

2”

Ta thấy, trước khi được trình bày một cách tường minh, tính chất tuần hoàn của hàm số đã được sử dụng ngầm ẩn để tính giá trị của nó Như vậy, chức năng

“cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” đã được thể hiện ngầm ẩn thông qua các ví dụ cụ thể trước khi khái

niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ chính thức xuất hiện

Định nghĩa hàm số tuần hoàn được trình bày ở trang 25 như sau:

“Một hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T sao cho, với mọi xD ta có:

Tiếp đó, SGK đã chứng minh đồ thị của hàm số tuần hoàn trên đoạn [a + T; a + 2T] là ảnh của phần đồ thị hàm số trên đoạn [a; a + T] trong phép tịnh tiến theo vectơ v

= (T; 0) có độ dài bằng T (chu kỳ của hàm số) Điều này cho thấy SGK V1

đã đề cập tường minh đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn giống như SGK Pháp Đặc trưng này cho phép vẽ được toàn bộ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ

“Muốn vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn chu kỳ T ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số này trên đoạn [a; a + T] sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo vectơ

, 2 , , , 2 ,

v v   v v ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.”

Như vậy, chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” của khái

niệm tuần hoàn và chu kỳ cũng đã được đề cập một cách tường minh Để vẽ đồ thị của hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần nghiên cứu và vẽ đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ, sau đó sử dụng các phép tịnh tiến Ở cấp độ tri thức khoa học, điều này chỉ được thể hiện ngầm ẩn trong [a] và [b]

Đặc trưng số của hàm số tuần hoàn (giá trị hàm số lặp lại trên những khoảng cách đều) không được đề cập trong SGK

● Tổ chức toán học gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn

SGK này chỉ đề cập 2 kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ của hàm số

Kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh hàm số là tuần hoàn chu kỳ T”

+ Chứng minh f(x + T) = f(x) với mọi x, kết luận hàm số là tuần hoàn

+ Chứng minh T là số dương nhỏ nhất thoả mãn đẳng thức trên

Công nghệ  : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số 1

Như vậy, đối với kiểu nhiệm vụ T’1, cùng dựa trên yếu tố công nghệ là  : 1

Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số nhưng kĩ thuật '

12

 trong SGK này phức tạp hơn kĩ thuật '

11

 trong SGK Pháp một bước Đó là phải chứng minh thêm T

là số dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x)

Phân tích các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’1 trong SGK cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ này là các hàm số được đề nghị luôn là hàm số lượng giác cho bằng công thức và chu kỳ của chúng luôn luôn chứa  Các hàm số tuần hoàn được đề cập trong phần lí thuyết và trong các kiểu nhiệm vụ khác cũng luôn thể hiện ngầm ẩn sự ràng buộc đó Như vậy, giáo viên có trách nhiệm chỉ đưa vào các hàm số lượng giác mà chu kỳ của chúng có chứa  Do đó, chúng tôi

dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn của quy tắc hợp đồng sau đây về phía học sinh:

RE1: “Chu kỳ của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa ”

Kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số” xuất hiện trong 2 bài tập của SGK với

3 hàm số, đó là các hàm số y sin ,x y sin x y,   sinx

Trước hết, chúng tôi sẽ nhắc lại hai kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này đã được đề cập trong [a] (Elementary mathematic)

+ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ

+ Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 trong SGK V1:

+ Các hàm số được cho đều là hàm số tuần hoàn

+ Chúng được cho bằng công thức, hơn nữa, đó là các hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt với hàm số y = sin x

Từ các đặc trưng trên ta thấy, đồ thị của tất cả các hàm số được đề nghị đều

có thể suy ra được từ đồ thị hàm số y = sin x Do đó, cả hai kĩ thuật  và 31  đều 32vận hành được Việc vận dụng kĩ thuật  sẽ hiệu quả hơn Vậy thể chế mong muốn 31giáo viên và học sinh sử dụng kĩ thuật nào?

Đối với hàm số y = sin x , câu hỏi đặt ra trong bài tập3 trang 35 như sau:

“Chứng minh hàm số y = sin x là tuần hoàn với chu kỳ  Vẽ đồ thị hàm số.”

SGK đã đặt ra yêu cầu «chứng minh hàm số là tuần hoàn chu kỳ T» trước khi yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số Liệu tính chất tuần hoàn chu kỳ  có được ứng dụng trong việc vẽ đồ thị của hàm số?

Lời giải trong SBT trình bày chi tiết phần chứng hàm số là tuần hoàn chu kỳ

 và cho hình ảnh đồ thị của hàm số mà không có giải thích gì kèm theo Chúng tôi

dự đoán kĩ thuật  đã được sử dụng tương tự như khi nghiên cứu hàm số y = sin x 32trong lí thuyết Nghĩa là sau khi chứng minh được hàm số có chu kỳ , người ta