Những nội dung cơ bản của phép tính tích phân trong giải tích toán học

Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip LI CM N Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti: Nhng ni dung c bn ca phộp tớnh tớch phõn gii tớch toỏn hc tụi ó nhn c rt nhiu s giỳp ca cỏc thy cụ giỏo, gia ỡnh, bn bố Trc ht vi lũng kớnh trng v bit n sõu sc, tụi xin gi li cm n ti Th.S Phựng c Thng ó tn tỡnh quan tõm, giỳp , hng dn, ch bo tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu ti Tụi xin trõn trng cm n lónh o trng i hc S Phm H Ni 2, c bit l th ging viờn khoa Toỏn, ó ht sc quan tõm giỳp tụi quỏ trỡnh hon thnh khúa lun tt nghip Tụi cng xin cm n ti gia ỡnh, bn bố ó ng viờn, to iu kin tụi cú th hon thnh khúa lun tt nghip cui khúa Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti ny mc dự ó rt c gng, nhng không tránh khỏi thiếu sót Tụi rt mong nhn đ-ợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viờn để khóa luận tụi đ-ợc hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Th Xoa Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip LI CAM OAN Tụi xin cam oan ti: Nhng ni dung c bn ca phộp tớnh tớch phõn gii tớch toỏn hc di s hng dn ca Th.S Phựng c Thng l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Khúa lun khụng trựng vi cỏc kt qu ó c cụng b Nu cú gỡ khụng trung thc tụi hon ton chu trỏch nhim Sinh viờn Th Xoa Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip MC LC M U NI DUNG CHNG 1: TCH PHN HM MT BIN 1.1 Cỏc khỏi nim 1.1.1 Phõn hoch ca mt on 1.1.2 Tng tớch phõn (Tng Riemann) 1.1.3 Tớch phõn xỏc nh 1.1.4 Tng Darboux 1.2 Cỏc iu kin kh tớch 11 1.3 Cỏc tớnh cht ca tớch phõn xỏc nh 14 1.4 Cỏc lp hm kh tớch 17 1.5 Cỏc dng bi 21 CHNG 2: TCH PHN BI RIEMANN 25 2.1 Tớch phõn Riemann trờn hỡnh hp 25 2.2 Tiờu chun kh tớch Lebesgue 30 2.3 Tớch phõn trờn tng quỏt 34 2.4 nh lý Fubini v cụng thc i bin s 37 2.5 Cỏc dng bi 47 KT LUN 51 TI LIU THAM KHO 52 Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip M U Lý chn ti: Gii tớch l mt ngnh khoa hc tng i khú v quan trng, nú l c s ca nhiu ngnh toỏn hc khỏc v cú ng dng khỏ nhiu khoa hc v k thut, c bit l phộp tớnh tớch phõn Nh phộp tớnh tớch phõn m cú th gii quyt c nhiu bi toỏn thc t m m toỏn s cp khụng lm ni Cỏc kin thc Gii tớch rt rng cp v nhng nm hc i hc chỳng ta c hc v Gii tớch - mt mụn hc ũi hi ngi hc phi nm vng kin thc v phộp tớnh tớch phõn õy l rt lý thỳ v cng cũn mi m i vi a s cỏc bn sinh viờn mi bc chõn vo ging ng i hc Xut phỏt t lý trờn cựng vi lũng say mờ nghiờn cu khoa hc v c s khuyn khớch, ng h, giỳp tn tỡnh ca thy giỏo, Th.s Phựng c Thng, tụi ó chn ti Nhng ni dung c bn ca phộp tớnh tớch phõn gii tớch toỏn hc lm khúa lun tt nghip Hy vng khúa lun ny s cú ớch i vi nhng quan tõm n phộp tớnh tớch phõn Mc ớch nghiờn cu: Bc u lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v gii tớch toỏn hc c bit l phộp tớnh tớch phõn Nhim v nghiờn cu: Nghiờn cu nhng ni dung c bn ca phộp tớnh tớch phõn gii tớch toỏn hc i tng nghiờn cu: Phộp tớnh tớch phõn Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Phng phỏp nghiờn cu: Nghiờn cu lý lun, phõn tớch, tng hp, so sỏnh v ỏnh giỏ Cu trỳc khúa lun: Ngoi phn m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho, khúa lun gm hai chng: Chng 1: Tớch phõn hm mt bin Chng 2: Tớch phõn bi Riemann Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip NI DUNG CHNG 1: TCH PHN HM MT BIN 1.1 CC KHI NIM 1.1.1 Phõn hoch ca mt on Cho mt on thng s thc Ă vi hai u mỳt a, b (khụng nht thit a b ) v xột mt cỏch chia on thnh cỏc on i vi cỏc u mỳt xi , xi bi cỏc im chia tựy ý ln lt l a x0 x1 x2 xn Ta gi phộp chia ú l mt phõn hoch on b v ký hiu l T B rng ca phõn hoch l khong cỏch ln nht gia im k tip nhau, tc l bng max{xi Gi xi xi xi : i 1, n} xi 1, nh vy nu a b thỡ xi xi v nu a b thỡ , n i 1, 2, S d (T ) max xi i max xi - xi-1 c gi l ng kớnh ca phõn i hoch T Gi P( ) l hp tt c cỏc phõn hoch trờn Gi s T1 P( ), T2 P( ) , ta núi T2 mn hn T1 v ký hiu T2 T1 nu hp cỏc im chia ca T2 bao gm cỏc im chia ca T1 hay núi cỏch khỏc mi on ca phõn hoch T2 u c cha mt on no ú ca phõn hoch T1 1.1.2 Tng tớch phõn (Tng Riemann) Gi s f l mt hm xỏc nh trờn on Th Xoa - K33C - SP Toỏn cú hai u mỳt l a, b, Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip P( ) l mt phõn hoch vi cỏc im chia a T Trờn mi on i x0 , x1, , xn b vi hai u mỳt xi , xi ta ly mt im i tựy ý v thnh lp tng n f (T , ) n f ( i )( xi xi ) f ( i ) xi i Tng f (T , ) c gi l tng tớch phõn ca hm f trờn on vi phõn hoch T v im chn Khi phõn hoch T v im phõn f (1) i ( 1, , , ) vi i i ng (i 1,2, , n) thay i ta cú mt h khụng m c tng tớch (T, ) 1.1.3 Tớch phõn xỏc nh nh ngha: Ta núi h tng tớch phõn nu cho trc mi T f f Ă d (T ) 0 tựy ý thỡ luụn luụn tn ti mt s ( ) cho vi v vi mi cỏch ly im P( ) vi d (T ) (T, ) I (T, ) cú gii hn I Khi ú ta vit lim d (T ) f ta u cú (T, ) I Gii hn I ú nu tn ti thỡ c gi l tớch phõn xỏc nh (tớch phõn Riemann) ca hm f trờn on vi hai u mỳt a, b v ký hiu: b I f ( x)dx (2) a v ú hm f c gi l kh tớch theo ngha Riemann trờn on Tp hp cỏc hm kh tớch trờn on c ký hiu l R( ) Trong ký hiu (2) f c gi l hm di du tớch phõn cũn a v b ln lt c gi l cn di v cn trờn ca tớch phõn Nhn xột: Tớch phõn Riemann ca hm f kh tớch trờn [a, b] l nht Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip T nh ngha ta thy tớch phõn xỏc nh cú th c hỡnh dung nh l gii hn ca tng Riemann phõn hoch c lm vụ cựng (tc l b rng ca nú tin dn v 0) Rừ rng vic tớnh tớch phõn xỏc nh theo nh ngha l khụng n gin chỳt no vỡ chng nhng phi tớnh cỏc tng Riemann rt cng knh m cũn phi tỡm gii hn ca chỳng na Tuy nhiờn, gii quyt cụng vic phc ny li l s trng ca mỏy tớnh Cỏc chng trỡnh tớnh toỏn thụng dng hin giỳp ta tớnh tớch phõn xỏc nh mt cỏch nh nhng n bt ng (tham kho sỏch Gii tớch toỏn hc hm s mt bin Lý thuyt v thc hnh tớnh toỏn) Ngoi ra, cui chng ny, cụng thc NewtonLeibniz s cung cp cho chỳng ta mt phng phỏp c ỏo tớnh tớch phõn xỏc nh thụng qua nguyờn hm ca hm s (nu nh tớnh c) m khụng cn phi tớnh tng Riemann Mt s vớ d n gin: * f ( x ) c, x [a, b] Khi y mi tng Riemann (ng vi cỏc phõn hoch khỏc nhau) u trựng n n f ( i )( xi v l xi ) c i ( xi xi ) c(b a) , nờn i b f ( x)dx c(b a) a * f ( x) x Ô x Ă \Ô Vi mt phõn hoch bt k ca on [0,1] ta u tỡm c tng Riemann khỏc cú giỏ tr l v 1, tc l khụng th nm chung mt lõn cn nh ca bt c im no T õy suy tớch phõn Riemann ca f trờn on 0,1 l khụng tn ti Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip 1.1.4 Tng Darboux nh ngha: Gi s f : a, b R l mt hm b chn Vi mi phõn hoch T chia a, b thnh cỏc on i Mi = [ xi 1, xi ] t M i i sup f ( x ), mi x i inf f ( x ) x i mi , i 1, 2, , n n S f (T ) n M i xi s f (T ) mi xi i i ý rng trng hp ny xi (trong trng hp a b thỡ ta xi ) thay xi bng Cỏc tng S f (T) v s f (T) ln lt c gi l tng Darbuox trờn v tng Darbuox di ca hm f trờn a, b n gin ta ký hiu S T , s T ln lt thay cho S f (T), s f (T) Cỏc tớnh cht: Gi s f : a, b R l hm b chn Tớnh cht 1: s(T ) vi ly bt k v vi mi T P Tớnh cht ny l hin nhiờn vỡ mi f (T , ) S (T ) a, b f ( i ) Mi , i=1, 2, , n Tớnh cht 2: Vi mi phõn hoch T xỏc nh ta cú s(T ) inf f (T , ) S (T ) sup f (T , ) ú cn di ỳng v cn trờn ỳng ly theo mi cỏch chn im = ( 1, , , n ) vi i i (i = 1, 2, , n) Chng minh Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Theo tớnh cht 1: s(T ) mi i inf ( f ) nờn tn ti cho f ( i0 ) mi i i ( 10 , , , n cho trc, vỡ (T , ) , mt khỏc vi f b a , i 1, 2, , n vi ) f (T , iu ny suy s(T ) inf n )< mi xi i b a xi s (T ) (T , ) f ng thc th hai c chng minh tng t Tớnh cht 3: Vi bt k T1, T2 S T1 P a, b v T1 T2 ta luụn cú s T1 s T2 v S T2 Chng minh chng minh tớnh cht ny, trc ht ta chng minh rng nu thờm vo phõn hoch T ca a, b mt im chia mi thỡ tng Darboux di ch cú th tng lờn Cũn tng Darboux trờn ch cú th gim xung Tht vy, gi s T l mt phõn hoch no ú ca a, b , cũn T nhn c bng cỏch thờm vo phõn hoch T mt im chia x nm gia xk 1, xk , xk x ' xk s(T ') ú m 'k i k mi xi inf ( f ) m"k xk , x ' Do inf( f ) mk m 'k ( x ' xk ) m "k ( xk x ') inf ( f ) x ', xk m 'k v mk m"k ta suy k s(T ') i k mi xi mk ( x ' xk ) mk ( xk x ') s(T ) Vic chng minh S (T ') S (T ) c lm tng t Mt cỏch tng t, nu thờm vo phõn hoch T mt s hu hn im Th Xoa - K33C - SP Toỏn 10 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip nh lý 2.7 (Fubini) Ă Gi s A n Ă v B m l cỏc hỡnh hp úng v f : A x B hm kh tớch Hn na, gi s rng hm g x : B Ă l Ă xỏc nh i vi mi x A bi ng thc f x, y v I* x g x ( y) g x dy f ( x, y )dy *B * *B * * I x f ( x, y )dy g x dy B B Khi ú I * v I * kh tớch trờn A v fdV AxB I*dx ( A f ( x, y )dy )dx A *B (Cỏc tớch phõn v phi c gi l cỏc tớch phõn lp ca f ) Chng minh Gi s PA l mt phõn hoch ca A v PB l mt phõn hoch ca B Khi ú, P PA , PB l mt phõn hoch ca A B m mi hỡnh hp S ca nú cú dng S A S B ú S A l hỡnh hp ca phõn hoch PA v S B l hỡnh hp ca phõn hoch PB Ta cú: I f ,P mS ( f )v (S ) S mS A SB ( f )v (S A S B ) S A ,SB mS A SA Nhng nu x S A thỡ rừ rng mS A SB SB ( f )v S B v (S A ) SB ( f ) mSB ( g x ) Do ú, i vi mi x S A ta cú mS A SB ( f ) v( S B ) SB mSB g x v S B SB gx I* ( x) *B Vỡ th: Th Xoa - K33C - SP Toỏn 38 Trng HSP H Ni I f ,P Khúa lun tt nghip mS A SA SB ( f )v S B v (S A ) mS A I* vS A SB I I * , PA SA Tng t ta cú I I * , PA I ( f , P) Nh vy I f ,P I I* , PA I ( I* , PA ) I I * , PA I f ,P Vỡ f kh tớch trờn AxB ta cú sup I ( f , P) P inf I ( f , P) P f A B Vỡ th sup I ( I* , PA ) inf I I* , PA PA PA f A B Nh vy hm I * kh tớch trờn A v fdV A B I*dx A Tng t t cỏc bt ng thc I f ,P A B I ( I * , PA ) I I * , PA I f ,P , I *dx fdV ta suy I I* , PA A Chỳ ý: Bng lp lun tng t ta chng minh c rng * fdV AxB ( f ( x, y )dx)dy B *A ( f ( x, y )dx)dy B A Cỏc tớch phõn ny c gi l cỏc tớch phõn lp ca f ly theo th t ngc li vi cỏc tớch phõn lp nờu nh lý Nh ó bit lý thuyt tớch phõn ca hm mt bin, nu g : a, b Ă l hm liờn tc kh vi v f : Ă Th Xoa - K33C - SP Toỏn Ă l hm liờn tc thỡ ta cú 39 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip cụng thc i bin sau: g (b ) b ( f o g ) g dx fdy g (a) a Nu g l n ỏnh thỡ cụng thc trờn cú th vit li di dng fdy g ([ a ,b ]) f o g | g | dx [ a ,b ] Ta s m rng cụng thc ny cho tớch phõn bi B 1: Nu D l mt compact ca mt m U Ă n thỡ tn ti mt hm s liờn tc xỏc nh trờn ton khụng gian, nhn giỏ tr trờn D v nhn giỏ tr ngoi mt compact no ú ca U B 2: Nu f l mt hm bc thang trờn hp úng B thỡ vi mi s tn ti cỏc hm liờn tc f1, f xỏc nh trờn hỡnh hp B tha cỏc iu kin sau: f1 ( x) f ( x) f ( x), x B v ( f2 f1 ) B B 3: Hm s f l kh tớch trờn hỡnh hp úng B s Ă n v ch vi mi tn ti cỏc hm liờn tc f1 v f trờn hp B tha f1 ( x) f ( x) f ( x), x B v ( f2 f1 ) B Th Xoa - K33C - SP Toỏn 40 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip nh lý 2.8 (Phộp i bin s tớch phõn bi) Cho A l mt hp m Ă n , i liờn tc vi ma trn Jacobi J Ă : A n l mt song ỏnh kh vi khụng suy bin (tc l det J xj khp ni trờn A ) Gi s rng hm f : Ă nhn giỏ tr ngoi ( A) mt compact no ú ca ( A) v tớch phõn f l tn ti Khi ú: ( A) f ( f o ) det J ( A) A Chng minh nh lý l hin nhiờn nu ch l mt phộp o bin (tc l i ch v trớ cỏc bin), bi vỡ y tớch phõn khụng thay i (theo nh ngha nú khụng ph thuc vo th t ca bin), cũn det J l nh thc ca mt ma trn vuụng m trờn mi hng v mi ct ch cú mt s 1, cho nờn nú ch cú th l +1 hoc , v mi trng hp thỡ det J Ta ch rng nh lý s c chng minh nu nú ỳng trng hp hm f l liờn tc Tht vy, ký hiu D ( A) l compact m ngoi D hm f ch nhn giỏ tr S dng B cho hai A v ( A) ta tỡm c hm liờn tc nhn giỏ tr trờn D v nhn giỏ tr ngoi mt compact no ú D ( A) Ly hp úng I Ă n cho I D ( D ) Ta ký hiu g l hm thỏc trin ca hm g (xỏc nh trờn mt no ú ca Ă n ) ton b khụng gian Ă n bng cỏch cho nú nhn giỏ tr ti nhng im m g khụng xỏc nh Rừ rng I Th Xoa - K33C - SP Toỏn f Theo B 3, vi mi f f tn ti v I ( A) 41 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip , tn ti cỏc hm liờn tc g1, g2 cho g1 ( x) v ( g g1 ) f ( x) g2 ( x), x I, ( A) ca cỏc hm Gi f1 v f l cỏc hn ch trờn g1 v I g (tng ng), ta d dng thy rng chỳng l cỏc hm liờn tc trờn nhn giỏ tr ngoi D , f1 ( x) f2 f1 Ta li cú cỏc hm f ( x) vi mi x f ( x) f1 o det J v f2 o ( A) , ( A), v l liờn det J () A , nhn giỏ tr ngoi tc trờn f1 o det J ( x) fo Cho nờn f1 o det J khụng gian Ă f1 o n det J x f2 o v f o ( D ) , v tha det J x , x A l cỏc hm liờn tc trờn ton det J v det J x fo det J x f2 o det J x , x I T gi thit nh lý ỳng vi hm liờn tc ta suy rng nú ỳng vi cỏc hm f1, f v ú f2 o det J f1 o det J f2 o I det J f1 o det J A f2 f1 ( A) Vỡ s dng fo det J cú th nh bao nhiờu tựy ý cho nờn ta suy hm l kh tớch trờn I , v ú f o det J l kh tớch trờn A Hn th, t cỏc h thc f1 ( A) f1 o det J fo A det J A A f1 ( A) f2 o f ( A) det J f2 ( A) f2 , ( A) ta suy Th Xoa - K33C - SP Toỏn 42 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip fo det J f A ( A) Vỡ iu ny ỳng vi mi s dng fo A f2 f1 ( A) cho nờn ta cú ng thc det J f ( A) Ta chng minh rng nh lý l ỳng vi hm f l liờn tc Tht vy: Trc ht ta nhn xột rng nu As , s S l mt h cỏc m U A v nh lý ỳng vi mi cho A s As v hn ch ca hm trờn As thỡ s S nh lý ỳng cho A v hm As , s S m , , N iu ny chng minh nh vic xột h v ỏp dng mnh v s tn ti phõn hoch n v mi hm f cú th phõn tớch thnh tng ca cỏc hm f i , ch cú th (bng 1) trờn mt compact no ú ca mt s cỏc As T nhn xột ny suy rng ta ch cn chng minh nh lý trng hp l song ỏnh kh vi liờn tc gia m A gii ni v m ( A) , bi vỡ A cú th c xem l hp ca h tt c cỏc lõn cn Aa ca mi im a A m trờn ú l mt song ỏnh kh vi liờn tc (lõn cn ny tn ti v khỏc rng nh lý hm ngc v tớnh khụng suy bin ca J ti mi im a A ) Ta chng minh nh lý bng phng phỏp quy np toỏn hc Trc ht ta thy rng nh lý l ỳng cho trng hp n Tht vy, mi m trờn trc s u l hp ca cỏc khong, cho nờn nhn xột (1) ta ch cn chng minh cho trng hp A l mt khong, v trng hp ny hm cú o hm liờn tc khỏc (ch cú th hoc l dng, hoc l õm) thỡ nú phi l n iu T cụng thc i bin tớch phõn hm bin trờn Th Xoa - K33C - SP Toỏn 43 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip mt on (khi hm i bin cú th l n iu tng hoc n iu gim) ta suy iu cn chng minh Gi s nh lý ỳng vi n (vi n ), ta s chng minh rng nú ỳng cho n +) Trc ht ta chng minh rng nh lý l ỳng (vi n ) mt hm thnh phn no ú ca , thớ d l i , cú dng c bit l i ( x1, , xn ) xj Tht vy, theo nhn xột t u ta ch cn chng minh cho trng hp i j 1, ngha l ( x1, , xn ) x1, ( x1, , xn ), , n ( x1, , xn ) Ta cú th xem A nh l hp ca cỏc hp m (vỡ mi im A cú th xem l tõm ca mt qu cu m nm hon ton A , m mi qu cu m bỏn kớnh r li cha mt hp m cú cựng tõm vi qu cu v cú di cnh l 2r / n ) T nhn xột (1) ta thy ch cn chng minh cho trng hp A l mt hp m Tc l cú th vit A BxC , ú B l mt khong Ă v C l mt hp m Ă Vi mi t n B ta xột hm t t ( x2 , , xn ) Ă :C n xỏc nh bi cụng thc (t , x2 , , xn ), , n (t , x2 , , xn ) , V d dng thy vi mi t nú l mt song ỏnh kh vi liờn tc vi nh thc ca ma trn Jacobi l det J t det J (t , x2 , , xn ) Vi f l thỏc trin ca f trờn ton khụng gian, t cụng thc tớch phõn lp ta cú f ( A) f BxĂ n f , B Ă n v vi gi thit nh lý ỳng cho trng hp n ta cú ft Ă n ft t (C ) Th Xoa - K33C - SP Toỏn ft o C t det J fo t C det J t 44 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Cho nờn f n Ă fo det J fo det J C v t cụng thc trc ú ta cú f ( A) Lu ý rng f o det J B C l hm liờn tc trờn BxC v nhn giỏ tr ngoi mt compact no ú ca ny cho nờn nú l kh tớch Ngoi ra, vi mi t fo B , hm det J t l hm liờn tc nhn giỏ tr ngoi mt compact no ú ca C cho nờn nú cng l kh tớch T nh lý v tớch phõn lp ta suy fo B det J fo C det J , BxC v ta cú iu cn chng minh trng hp riờng ny +) Trng hp chung s c chng minh thụng qua trng hp trờn nh nh lý hm ngc v cụng thc tớnh o hm ca hm hp Trc ht ta cú nhn xột rng: Do det J cỏc ch s i 1, , n cho n xi a nờn ti mi im a n xi A cú ớt nht mt Vi mi i , cỏc im a cho a l m, v hp ca c n ny l ton b A cho nờn theo nhn xột (1) ta ch cn chng minh nh lý cho tng ny Kt hp vi nhn xột v kh nng o bin cn, ta luụn cú th gi thit im trờn A Xột hm vộc t ( x1, , xn ) Th Xoa - K33C - SP Toỏn : A Ă n x1, x2 , , n xn l khỏc ti mi xỏc nh bi n ( x1, , xn ) 45 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip vi mi a trờn A , cho nờn theo nh lý hm n Ta cú det J xn ngc, nú l song ỏnh kh vi liờn tc gia mt lõn cn Aa no ú ca im a Aa Li theo nhn xột (1), ta ch cn chng minh nh lý cho mi v tp Aa ny v ú ta cú th gi thit rng hm A Khi y hm hp gia A v A v x A Ta cú v o o l song ỏnh kh vi liờn tc l song ỏnh kh vi liờn tc gia x1, , xn 1, n x x , , n x , A x1, , xn Lu ý rng vi y y1, , yn , yn x1 , , xn , x n x A thỡ ( y) ú cụng thc trờn cú th vit li thnh y1, , yn 1, yn y , , iu ny cú ngha l hm n y , yn cng nh hm u thuc din cỏc hm ó xột trng hp riờng v ú cú th ỏp dng c nh lý Chớnh vỡ vy, vi mi hm f liờn tc xỏc nh trờn compact no ú ca A , ta cú f fo f A A , nhn giỏ tr ngoi det J A A fo det J o det J A fo det J o det J A v ú nh lý s c chng minh y nu nh ta ch rng det J o det J det J iu ny suy t cụng thc tớnh o hm ca hm hp (vộc t) vi lu ý rng nh thc ca tớch ma trn bng tớch ca cỏc nh hng tng ma trn Th Xoa - K33C - SP Toỏn 46 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip 2.5 CC DNG BI TP Bi 1: Gi s f : [0,1]x[0,1] Ă xỏc nh bi f ( x, y ) x 1 fdV Chng minh rng f kh tớch v x< [0,1]x[0,1] Li gii: Chng minh f kh tớch: Xột phõn hoch P ( P1, P2 ) ca [0,1]x[0,1] mi hỡnh hp S ca phõn hoch ú cha cỏc im ( x, y) vi x * Vi x Chn i 0, : i 0, hoc x 0, ,1 2 ( xi , yi ) cho xi Vi mi phõn hoch P1 ca 0, f ( i) x 0,1 v vi mi hỡnh hp S1 ca P1 ta cú: mS1 ( f ) M S1 ( f ) I ( f , P1 ) I ( f , P1 ) 0.v( S1 ) S1 I I f kh tớch trờn 0, Th Xoa - K33C - SP Toỏn x 0,1 (1) 47 Trng HSP H Ni ,1 * Vi x Chn i Khúa lun tt nghip f ( i ) 1, bt k ,1 x Khi ú vi mi phõn hoch P2 ca ,1 x 0,1 v vi mi hỡnh hp S2 ca P2 ta cú: mS2 ( f ) M S2 ( f ) I ( f , P2 ) 1.v( S ) v( B) vi B I ( f , P2 ) S2 I I ,1 x 0,1 v( B) v( B) ,1 x 0,1 f kh tớch trờn (2) T (1) v (2) suy f kh tớch trờn [0,1]x[0,1] Chng minh: fdV [0,1]x[0,1] Ta cú: fdV [0,1]x[0,1] fdV fdV [0, )x[0,1] 2 [ ,1]x[0,1] 1 dx f ( x, y )dy 0 dx 0dy fdV Vy [0,1]x[0,1] dx f ( x, y )dy 1 1 dx 0dy y dx dx 2 Th Xoa - K33C - SP Toỏn 48 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Bi 2: (Bi tng t bi 1) Ă xỏc nh bi Cho hm f : 0, x 0, 0 q f ( x, y ) x vô tỷ x hữu tỷ, y vô tỷ p x hữu tỷ, y phân số tối giản q Chng minh rng f kh tớch v fdxdy 0,1 x 0,1 Bi 3: Chng minh rng nu hp B cú th tớch khụng thỡ biờn gii ca nú cng cú th tớch Li gii: Theo gi thit: B cú th tớch khụng tn ti dóy hỡnh hp úng U n n cho B UU n thỡ n v(U n ) n Gi s A UU n n Nh vy tn ti mt hỡnh hp úng A Ă Ta chng minh hm c trng x B kh tớch trờn A x B Tht vy: B Nu x B Nu x A\ B A nờn B x A B ( x) n cho B A (I) x B hoc x A \ B ( x) B ( x) Th Xoa - K33C - SP Toỏn 49 Trng HSP H Ni * Xột hm s B Khúa lun tt nghip ( x) trờn B B ( x) x B Khi ú vi mi phõn hoch P1 ca B v vi mi hỡnh hp S1 ca P1 ta cú: mS1 ( B I( ) M S1 ( B , P1 ) B I( ) , P1 ) B 1.v( S1 ) v( B) S1 Suy ra: B * Xột hm s Cú B kh tớch trờn B B (1) ( x) trờn A \ B ( P2 , ) vi mi phõn hoch P2 ca A \ B A \ B v vi mi hỡnh hp S2 ca P2 ta cú: mS2 ( B I( B ) M S2 ( B , P2 ) I( B ) B , P2 ) kh tớch trờn A \ B T (1) v (2) suy B kh tớch trờn A (2) (II) T (I) v (II) suy B o c Jordan Suy biờn gii ca B cú o khụng Th Xoa - K33C - SP Toỏn 50 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip KT LUN Nh toỏn hc ngi Anh Sylves ó vit: Toỏn hc khụng phi l mt quyn sỏch ch gúi gn gia cỏc t bỡa m ngi ta ch cn kiờn nhn c ht ni dung, Toỏn hc cng khụng phi l vựng m quý m ngi ta ch cn cú thi gian khai thỏc, Toỏn hc cng khụng phi l mt cỏnh ng s b bc mu vỡ nhng v thu hoch Vỡ th, mc dự c nghiờn cu t rt sm nhng n ngy Phộp tớnh tớch phõn l i tng nghiờn cu ca Toỏn hc v lụi cun s quan tõm ca rt nhiu ngi Phộp tớnh tớch phõn l mt hai ni dung c bn ca gii tớch toỏn hc Nú l lý thỳ v sõu rng, ũi hi thi gian v s tỡm tũi Hy vng s nhn c nhng úng gúp quý bỏu t cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn khúa lun c hon chnh v l ti liu hay cho bn c Em xin chõn thnh cm n ! Th Xoa - K33C - SP Toỏn 51 Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip TI LIU THAM KHO Trn c Long - Nguyn ỡnh Sang - Hong Quc Ton (2006), Giỏo trỡnh gii tớch 2, 3, NXB HQG, H Ni Trn c Long - Nguyn ỡnh Sang - Hong Quc Ton (2002), Bi gii tớch 2, 3, NXB HQG, H Ni inh Th Lc - Phm Huy in T Duy Phng (2005), Gii tớch toỏn hc hm s mt bin, Lý thuyt v thc hnh tớnh toỏn, NXB HQG, H Ni inh Th Lc - Phm Huy in T Duy Phng (2002), Gii tớch cỏc hm nhiu bin, Nhng nguyờn lý c bn v tớnh toỏn thc hnh, NXB HQG, H Ni Jean - Marie Monier (1997), Giỏo trỡnh Toỏn 3, Gii tớch 3, Giỏo trỡnh v 500 bi cú li gii, NXBGD Nguyn Duy Tin (2001), Bi ging gii tớch 1, NXB HQG, H Ni Th Xoa - K33C - SP Toỏn 52 [...]... max(ti ti 1 ) được 1 i k gọi là đường kính của phân hoạch P Phân hoạch của hình hộp a1, b1 x x an , bn là một bộ phận P ( P1, , Pn ) trong đó mỗi Pi là phân hoạch của đoạn ai , bi , i 1, n Chẳng hạn nếu P1 t0 , , tk là phân hoạch của đoạn a1, b1 và P2 s0 , , sl là phân hoạch của đoạn a2 , b2 thì P ( P1, P2 ) là phân hoạch của hình chữ nhật a1, b1 x a2 , b2 Phân hoạch này chia hình chữ nhật đó thành... nói trên được gọi là tích phân của f trên hình hộp A , kí hiệu là fdV hay A f ( x1 , , xn )dx1 dxn hay f ( x)dx A A Như vậy fdV A lim d (P) 0 f ( P, ) Nhận xét: Định nghĩa tích phân (Riemann) của hàm nhiều biến cũng tương tự như tích phân của hàm một biến, và khi n 1 thì chúng hoàn toàn trùng nhau Cũng như trong trường hợp hàm 1 biến, ta sẽ luôn nói gọn tích phân Riemann là tích phân nếu như không... tích trên B nếu f khả tích trên A Từ các tính chất của tích phân trên hình hộp ta suy ra các tính chất sau của tích phân trên miền tổng quát Định lý 2.6: a) Nếu f , g là các hàm khả tích trên tập đo được Jordan B thì f g cũng khả tích trên B và (f B g )dV fdV B gdV B b) Nếu f khả tích trên tập đo được B thì với mọi số thực , hàm f cũng khả tích trên B và Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 36 ... nhau Vậy hàm f ( x) không khả tích trên đoạn a, b Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 24 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI RIEMANN 2.1 TÍCH PHÂN RIEMANN TRÊN HÌNH HỘP Định nghĩa 1 (Phân hoạch của hình hộp) Ta nhớ lại rằng phân hoạch P của đoạn a, b theo định nghĩa là một dãy điểm t0 , t1, , tk , trong đó a t0 đoạn a, b thành k đoạn ti 1, ti t1 tk b Phân hoạch P đó chia i 1, k... Darboux trên của hàm f ứng với phân hoạch P Sau đây là một số tính chất cơ bản của các tổng Darboux: a) Từ định nghĩa ta trực tiếp suy ra I ( f , P) f ( P, ) I ( f , P) với mọi phân hoạch P b) Giả sử P là một phân hoạch mịn hơn phân hoạch P Khi đó: I ( f , P) I ( f , P ) và I ( f , P ) I ( f , P) c) Tổng Darboux dưới của một phân hoạch bất kỳ P không vượt quá tổng Darboux trên của một phân hoạch... nếu phân hoạch Pi chia đoạn ai , bi thành ki đoạn con (i 1, n) thì phân hoạch P ( P1, , Pn ) của hình hộp a1, b1 x x an , bn k chia hình hộp đó thành k1.k2 kn hình hộp, ta gọi các hình hộp này là các hình hộp của phân hoạch P Số d ( P) max Pi , trong đó d Pi là đường kính của phân hoạch Pi của 1 i n đoạn ai , bi , được gọi là đường kính của phân hoạch P Ta gọi số b1 a1 x x bn an là thể tích của hình... hình hộp A và hàm đặc trưng sao cho B B khả tích trên A Khi đó số dV được gọi là thể tích của B Thể tích của tập trong ¡ 1 gọi là độ A dài, trong ¡ 2 gọi là diện tích Ta có thể nhận thấy rằng định nghĩa trên là hoàn toàn đúng đắn vì tính khả tích của B và giá trị dV không phụ thuộc vào việc chọn hình hộp A B A chứa B Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của các tập đo được Jordan Định lý 2.5 (Tiêu... hình hộp đóng a1 , b1 x .x an , bn cũng như của hình hộp mở a1, b1 x x an , bn Ta nói rằng phân hoạch P mịn hơn phân hoạch P nếu mỗi hình hộp của P đều chứa trong một hình hộp nào đó của P Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 25 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 2 (Tích phân Riemann) Cho hình hộp đóng A ¡ n và hàm f : A ¡ Giả sử P là một phân hoạch của A chia A ra k hình hộp con S1, S2 , ,... đo không và do tính compact của B ta suy ra tồn tại một họ hữu hạn các hình hộp đóng k v(U i ) U1, , U k , phần trong của chúng phủ B và sao cho i 1 Giả sử P là một phân hoạch của A , mỗi hình hộp S của nó thuộc về một trong hai nhóm sau: 1 Nhóm Q1 gồm các hình hộp S sao cho S Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán Ui với một i nào đó 32 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2 Nhóm Q2 gồm những hình hộp... Dễ dàng thấy rằng, tương tự như trong trường hợp hàm một biến, tích phân của hàm nhiều biến trên một hộp là duy nhất, nếu nó tồn tại Định lý 2.1 (Điều kiện cần của tính khả tích) Cho hình hộp đóng A ¡ Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán n và hàm f : A ¡ Nếu f khả tích trên A 26 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp thì nó bị chặn trên đó Do định lý trên, sau đây ta chỉ xét những hàm bị chặn trên hình hộp ...Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip LI CAM OAN Tụi xin cam oan ti: Nhng ni dung c bn ca phộp tớnh tớch phõn gii tớch toỏn hc di s hng dn ca Th.S Phựng c Thng l cụng trỡnh... trỏch nhim Sinh viờn Th Xoa Th Xoa - K33C - SP Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip MC LC M U NI DUNG CHNG 1: TCH PHN HM MT BIN 1.1 Cỏc khỏi nim 1.1.1 Phõn hoch ca mt on 1.1.2 Tng tớch... hc v c s khuyn khớch, ng h, giỳp tn tỡnh ca thy giỏo, Th.s Phựng c Thng, tụi ó chn ti Nhng ni dung c bn ca phộp tớnh tớch phõn gii tớch toỏn hc lm khúa lun tt nghip Hy vng khúa lun ny s cú ớch