Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích không áp dụng vào lĩnh vực khác toán học mà áp dụng ngành khoa học khác vật lý, hóa học, thiên văn học, … Mặt khác, giải tích kết nghiên cứu lý thuyết chuỗi có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết lẫn thực hành Vì khóa luận em chọn đề tài “Những nội dung lý thuyết chuỗi giải tích toán học” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm hệ thống lại nội dung lý thuyết chuỗi giải tích toán học Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nội dung về: Chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier Đối tượng phạm vi nhiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Những nội dung lý thuyết chuỗi Phạm vi nghiên cứu: Học phần giải tích Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu, phân tích tài liệu - Hệ thống vấn đề - Sưu tầm, giải toán - Tống kết kinh nghiệm Phan Thị Nhài K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội NỘI DUNG Chương CHUỖI SỐ 1.1 Chuỗi số tính chất Định nghĩa 1.1 Cho dãy số an , tổng vô hạn a1 chuỗi số kí hiệu an n a2 an gọi an n n Ta gọi Sn = k riêng chuỗi số ak tổng riêng thứ n, dãy Sn gọi dãy tổng an n Định nghĩa 1.2 Cho chuỗi số an có dãy tổng riêng Sn Nếu Sn hội n tụ tới S ta nói chuỗi an hội tụ gọi S tổng chuỗi số Kí hiệu n S an n Nếu dãy Sn phân kì chuỗi an gọi chuỗi phân kì n Định nghĩa 1.3 Nếu chuỗi số an hội tụ S với n nguyên dương n hiệu S Sn gọi phần dư thứ n chuỗi Kí hiệu: rn Dễ thấy rn ak k n Từ định nghĩa trên, dễ dàng suy định lý sau Phan Thị Nhài K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Định lí 1.1 Điều kiện cần đủ để chuỗi an hội tụ chuỗi n ak hội k n tụ Từ tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Caychy hội tụ chuỗi số sau: Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi an hội tụ n n0 n n0 p N ta có n0 ( ) N cho an an Hệ Nếu chuỗi số an an hội tụ lim an n n p Nhận xét Kết sử dụng để kiểm tra tính phân kỳ chuỗi Nhưng lưu ý điều kiện cần hội tụ, mà điều kiện đủ Ví dụ Chuỗi điều hòa n 1 có số hạng tổng quát an n chuỗi không hội tụ Thật vậy, an an an p0 n n 1 n , n n N p0 n cho 2n n 2n Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy chuỗi điều hòa không hội tụ Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính) Giả sử chuỗi tụ có tổng A B, ( an bk (2) hội ak (1) k k số thực Khi bn ) chuỗi hội tụ có tổng S A B n Phan Thị Nhài K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh Đặt Sn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội n n ak n bk ak k bk k An Bn k An, Bn tổng riêng thứ n chuỗi (1) (2) Khi tồn S lim Sn n lim n An Bn A B W Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu số hạng chuỗi hội tụ gộp lại thành nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự chúng) chuỗi thu hội tụ có tổng tổng chuỗi cho Chứng minh Giả sử chuỗi a1 a2 an (1) hội tụ Ta nhóm an n cách tùy ý số hạng kề (không làm thay đổi thứ tự chúng): a1 a2 an1 Đặt V1 a1 a2 an1 an2 ank an1 , Vk ank 1 ank (k ank 2) Ta chứng Vk (3) hội tụ có tổng S minh k Thật vậy, dãy tổng riêng (1): S1 a1 S2 a1 a2 Sn a1 a2 an chứa dãy tổng riêng (3): Sn1 a1 a2 Sn2 an1 Snk ank an1 an2 ank V1 V2 Vk Phan Thị Nhài K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Suy dãy {Vk } hội tụ lim Vk lim S n k S W n Nhận xét Điều ngược lại không Chẳng hạn chuỗi 1 1 hội tụ chuỗi 1 1 1 n 1 ( 1) n phân kì n dãy tổng riêng Sn chuỗi không tồn giới han lim Sn n Định lí 1.5 (Dirichlet ) Giả sử rằng: i) Chuỗi số an có dãy tổng riêng bị chặn, tức tồn số M > n M với n cho |An| = |a1 + a2 + + an| ii) {bn} dãy đơn điệu giảm lim bn n Khi chuỗi an bn hội tụ n Chứng minh Chọn số M cho |An| tồn số tự nhiên N cho bn an 1bn An 1 an 2bn An bn An Anbn bn bn M bn bn bn 2Mbn 2M An 1 bn An n N Với cho trước, p N ta có n>N 2M an pbn 2M M, p bn An bn p bn p bn p An p p An bn p p p bn p An pbn p Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có điều phải chứng minh W Phan Thị Nhài K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Định lí 1.6 (Abel) Giả thiết: i) Chuỗi an hội tụ n ii) Dãy{bn} đơn điệu bị chặn Khi chuỗi an bn hội tụ n Chứng minh Do dãy bn dãy đơn điệu bị chặn hội tụ đến b đó, ta xét dãy cn với cn bn b áp dụng dấu hiệu Dirichlet ta có điều cần chứng minh, an bn = n an cn + b n an W n 1.2 Chuỗi số dương Chuỗi số an gọi chuỗi số dương số hạng an n chuỗi dương Dễ dàng suy định lý sau Định lí 1.7 (Điều kiện cần đủ) Điều kiện cần đủ để chuỗi số dương hội tụ dãy tổng riêng bị chặn Để chứng minh chuỗi số dương hội tụ ta thường sử dụng dấu hiệu (không chứng minh) sau: Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử bn hai chuỗi số an n n dương thỏa mãn điều kiện: Tồn số tự nhiên n số C > cho an bn với n n0 Khi đó: i Nếu chuỗi bn hội tụ chuỗi n n Phan Thị Nhài an hội tụ K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ii Nếu chuỗi an phân kì chuỗi bn phân kì n n Định lí 1.9 (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số dương n Giả sử tồn giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n an bn bn an n k Khi đó: a) Nếu k hai chuỗi bn hội tụ an n n phân kì b) Nếu k = bn hội tụ an hội tụ n n c) Nếu k bn phân kỳ an phân kỳ n n Ví dụ Dễ dàng kiểm tra chuỗi å å an2 n³ chuỗi (an bn ) , n anbn , n n n³ an hội tụ n Thực vậy, xét chuỗi bn2 hội tụ (an bn ) Ta có an bn 2 an2 bn2 n Do chuỗi å an2 n³ å bn2 hội tụ nên chuỗi n³ an2 bn2 hội n tụ Vì theo dấu hiệu so sánh thứ nhất, chuỗi (an bn ) hội tụ n Tương tự, với đánh giá: suy chuỗi anbn , n Phan Thị Nhài n an n an , anbn n2 an bn2 ta an hội tụ n K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Nhận xét Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với chuỗi trội hay dễ thấy hội tu hay phân kì chúng Định lí 1.10 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương an Giả sử n f x hàm đơn điệu giảm liên tục [1, f n an n 1,2, ) cho Khi đó: x 1) Nếu tồn lim x f (t ) dt hữu hạn chuỗi an hội tụ n 1 x 2) Nếu lim x f (t ) dt an phân kì n 1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số dương n Khi p np hàm đơn diệu giảm 1,+ xp x f n dt Mặt khác lim p p x n t Vậy chuỗi số n , nên chuỗi phân kỳ n Khi p , xét hàm f x p tham số p 1n nÕu p 1 p nÕu < p 1 hội tụ p phân kỳ p p n Định lí 1.11 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương an , giả sử tồn n giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n an n c Khi đó: Phan Thị Nhài K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Nếu c chuỗi cho hội tụ Nếu c chuỗi cho phân kì Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số a ab a 2b a 2b2 a nb n a nb n a, b hai số dương khác Kí hiệu số hạng tổng quát chuỗi số cho cn , ta có: c2 k a k 1b k a k bk c2 k 1 k 1,2, k 1,2, Xét giới hạn lim n cn : n + Với n 2k ta có lim k a k 1bk k + Với n 2k ta có lim k a k bk ab k Như tồn lim n cn ab ab Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi hội tụ n ab phân kì ab Với ab chuỗi phân kì số hạng tổng quát không dần đến n Định lí 1.12 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuối số dương an Giả sử tồn n giới hạn gữu hạn hay vô hạn lim n an an d Khi đó: 1) Nếu d < chuỗi số cho hội tụ 2) Nếu d > chuỗi cho phân kì Ví dụ Chứng minh lim n an an q, an an q1n , q1 q Giải Từ giả thiết suy q Với q1 q , ta xét chuỗi n Phan Thị Nhài an n , q1 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp bn an q1n Trường Đại học Sư phạm Hà Nội n Ta có lim n hiệu D’Alembert, chuỗi n Do lim n an q1n bn bn lim n an q1n q1n an lim n an q1 an q Theo dấu q1 an hội tụ n q1 q1n hay an Chú ý i) Các dấu hiệu Cauchy, D’Alembert không áp dụng trường hợp c hay d 1, từ số n0 trở mà an 1 suy chuỗi an ii) Vì tồn giới hạn lim n n an hay an phân kì n an an d lim n an n d nên chuỗi an n thỏa mãn dấu hiệu D’Alembert thỏa mãn dấu hiệu Cauchy iii) Trong dấu hiệu Cauchy D’Alembert giới hạn lim n an , n lim n an không tồn ta thay giới hạn an lim n an , lim n n an giới hạn tồn có kết tương tự an Định lí 1.13 (Dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi số dương an n 1) Nếu tồn số r > số tự nhiên n0 cho với n n0 ta có Rn n an an r chuỗi an hội tụ n 2) Nếu tồn số tự nhiên n0 cho với n n0 ta có Rn chuỗi an phân kì n Phan Thị Nhài 10 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội n x x0 Vì lim n n 1! nên lim Rn x n x x0 , x0 Vậy hàm f x khai triển thành chuỗi Taylor x0 Ví dụ Từ định lý ta suy kết sau: e x x2 2! x xn x n! , x3 3! x5 5! x2n 1 (2n 1) ! x2  cosx 2! x4 4! x2n 2n !  ln x x2 2!  sin x x x n n x3 3! n x xn n! x , , x 1,1  x x ( 1) 2! x ( 1) ( n! n 1) x n , x x2n 1 , x 2n n  arctgx n Định lí 3.10 (Định lý Weierstrass) Giả sử f hàm liên tục a, b Khi tồn dãy đa thức hội tụ hàm f đoạn Chứng minh Trước hết ta chứng minh cho trường hợp f hàm liên tục 0,1 Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có đồng thức x x n n Cnk x n k (1) k Mặt khác từ đẳng thức Phan Thị Nhài 41 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội n n n k k x k 1! n k kCnk x k x 1 x n k nx Ta thay l = k - ta có kCnk x k x n k nxCnl xl x n n n k kCnk x k x nxCnl x l x k (n l ) nx do(1) l n Như (n l ) n k kCnk x k x nx (2) k n Tương tự ta có k k Cnk x k x n k k n n n x Cnl xl x ( n 2) n n x2 (3) l Nhân hai vế đẳng thức (1) với n x đẳng thức (2) với 2nx , công thức tổng đẳng thức với (3) ta đồng thức n n2 x k k Cnk x k x 2nx k n k nx x k n k hay nx Cnk x k x n k nx x k Từ bất đẳng thức x x n ta có k nx Cnk x k x k n Với n N , đặt Bn x f k n k n k k k Cn x x n (4) n k Khi n Bn x f x f k Phan Thị Nhài k n f x Cnk x k x 42 n k x 0,1 (5) K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vì hàm f liên tục 0,1 nên với cho với x ', x '' thuộc f ( x)' f ( x '' ) tổng số hạng mà k x k x tổng x ta có ứng với Khi x f mà 0,1 mà x ' x'' Bây ta tách tổng (5) thành hai tổng ứng với số hạng mà cho trước tồn số k n f x Cnk x k x n k n 2k Cnk x k x n k xk k x n k (6) Cnk x f M f x Cnk x k x n k 2M Cnk x n k xk k x n max f x 0,1 k x Mặt khác k n k n f 2M 2 n nên k nx x f x Cnk x k x n n k k nx Cnk x k x k Bây lấy n Phan Thị Nhài M n2 2M 2 n n k 2 k nx Cnk x 2M n 2 n M 2n n k xk (4) 43 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 f k n Kết hợp (6) (7) ta có Bn x f x Cnk x k x n0 M (7) n n0 f x n k x 0,1 Bây ta giả sử f hàm liên tục đoạn a, b Đặt x a t b a , t Khi f x f a t b a g t g t hàm liên tục 0,1 Theo chưng minh tồn dãy đa thức Bn t hội tụ đến hàm g t đoạn 0,1 , từ ta nhận dãy đa thức Pn x Phan Thị Nhài Bn x a b a hội tụ a, b đến hàm f t W 44 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chương CHUỖI FOURIER 4.1 Chuỗi lượng giác Giả sử n n dãy hàm khả tích a, b Khi đó, b n ( x) m ( x) với m, n N ,m n ta nói n hệ hàm trực giao a đoạn a, b Ví dụ Hệ hàm lượng giác sin x,cos x,sin2 x,cos2 x, ,sin nx,cos nx hệ hàm trực giao π, π Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được: cos kx cos nx dx nÕu k nÕu k n n sin kx sin nx dx nÕu k nÕu k n n - - sin kx cos nx dx với k, n - Định nghĩa 4.1 Chuỗi lượng giác chuỗi hàm có dạng a0 an cos nx bn sin nx n an bn hệ số không phụ thuộc vào x Từ dấu hiệu hội tụ chuỗi ta suy dấu hiệu hội tụ cho chuỗi lượng giác sau: 1) Nếu chuỗi bn hội tụ tuyệt đối chuỗi lượng giác hội an n n tụ tuyệt đối Phan Thị Nhài 45 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Điều suy từ định lý Weierstrass với nhận xét sin nx co s nx 1với n, x 2) Nếu dãy số an bn đơn điệu giảm tiến dần đến chuỗi lượng giác hội tụ điểm x k Giả sử chuỗi lượng giác hội tụ đoạn , Khi tổng a0 f x hàm liên tục đoạn f x cos px an cos nx , a0 cos px bn sin nx n với số nguyên p chuỗi an cos nx.cos px bn sin nx.cos px n hội tụ Từ công thức tích phân tổng chuỗi hội tụ tính trực giao đôi hệ hàm lượng giác ta suy ra: an bn 1 f x cos nx dx n 0,1,2, f ( x)sin nx dx n 1,2, , 4.2 Chuỗi Fourier Định nghĩa 4.2 Giả sử f hàm khả tích đoạn , tuần hoàn chu kỳ Khi hệ số an , bn xác định theo công thức an bn Phan Thị Nhài 1 f x cos nx dx n 0,1,2, f ( x)sin nx dx n 1,2, 46 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội gọi hệ số Fourier hàm f, chuỗi hàm lượng giác a0 an cos nx bn sin nx gọi chuỗi Fourier hàm f n Định lí 4.1 Giả sử f hàm số khả tích tuần hoàn với chu kỳ Nếu kí hiệu Sn(x) tổng riêng chuỗi Fourier hàm f Sn x u du u 2sin sin n f x u Chứng minh Ta có ak cos kx bk sin kx f (t )cos kt cos kx Do a0 2 f (t )sin kt sin kx d t f (t )cos k ( x t )d t f (t ) dt , ta suy Sn x f (t ) cos ( x t ) cos n( x t ) dt Chú ý )x x 2sin sin (n n cos kx k Suy Sn x Đặt u t Phan Thị Nhài 1 )( x t )] dt x t 2sin sin[(n f (t ) x , ta viết lại công thức sau 47 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Sn x Định nghĩa 4.3 Công thức )u du W u 2sin sin (n f ( x u) định lý gọi tổng Dirichlet chuỗi Fourier, sin Dn u u u 2sin n gọi nhân Dirichlet cấp n Bổ để Riemann Giả sử g hàm khả tích đoạn a, b Khi đó: b 1) lim g (t )sin ptdt p a b 2) lim p g (t )cos ptdt a Chứng minh 1) Cho trước Giả sử T phân hoạch đoạn a, b với điểm chia a t0 t1 tn Đặt mi = mi b sup {g} ; ti inf {g} ; M i [ ti , ti ] i M i mi i 1,2, , n b n ti g (t )sin ptdt g (t )sin ptdt i ti a n ti ti ; ti , ti ti g (t ) mi sin ptdt i ti mi i 1 n n i i Phan Thị Nhài ti n ti mi i 48 p sin ptdt ti 1 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Theo giả thiết g hàm khả tích đoạn a, b nên tồn số phân hoạch T mà d T Cố định ta có chọn cố định phân hoạch T cho d T p đủ lớn để cho n Vậy với mi i 1 p ta chọn tồn số tự nhiên p cho p p0 b g (t )sin ptdt a 2 b Hay lim g (t )sin ptdt p a Trường hợp chứng minh tương tự W Hệ Dãy hệ số Fourier an bn hàm khả tích hạn n , có giới Định nghĩa 4.4 1) Cho hàm f xác định đoạn a, b Nếu ta chia đoạn a, b thành hữu hạn đoạn , bi i 1,2, , k điểm chia a a1 b1 ak bk b cho khoảng , bi hàm f liên tục tồn giới hạn hữu hạn lim0 f x x f lim f x x bi f bi i 1,2, , k ta nói hàm f liên tục khúc đoạn a, b 2) Nếu hàm f liên tục khúc a, b có đạo hàm f ' liên tục khúc a, b ta nói hàm f khả vi khúc đoạn a, b Định lý 4.2 (Nguyên lý địa phương) Giả sử f hàm tuần hoàn với chu kỳ hàm liên tục khúc đoạn hữu hạn Khi với Phan Thị Nhài 49 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội R tính hội tụ chuỗi Fourier f với x0 x0 phụ thuộc vào dáng điệu hàm f khoảng x0 , x0 Chứng minh Theo công thức tổng Dirichlet Sn x0 )u u) du u 2sin sin (n )u u) du u 2sin sin (n f ( x0 f ( x0 Bằng phép đổi biến t u )u du u 2sin sin(n f ( x0 u) )t dt t 2sin sin(n f ( x0 t ) Ta có Sn x0 f ( x0 t ) f ( x0 t ) sin (n )tdt t 2sin f ( x0 t ) f ( x0 t ) sin(n )tdt t 2sin f ( x0 t ) f ( x0 t ) sin(n )t dt t 2sin Theo bổ đề Riemann lim n f ( x0 t ) f ( x0 t ) sin n tdt t 2sin Như hội tụ Sn(x) n Phan Thị Nhài 50 không phụ thuộc vào biểu K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp thức Trường Đại học Sư phạm Hà Nội f ( x0 t ) f ( x0 t ) sin(n )t dt có nghĩa phụ thuộc vào dáng t 2sin điệu f - lân cận x0 W Định lí 4.3 (Định lý hội tụ chuỗi Fourier) Nếu f hàm xác định toàn trục số, tuần hoàn với chu kỳ 2π trơn khúc đoạn hữu hạn chuỗi Fourier tương ứng với f hội tụ điểm x có tổng S0 x f x0 f x0 Đặc biệt f liên tục x0 S(x0) = f(x0) Chứng minh Trước hết ta chứng minh lim n Thực lim f ( x0 t ) sin(n )t dt t 2sin )t dt t 2sin sin(n n f ( x0 0) n cos kt dt k 1 Khi )t f ( x0 t ) dt t 2sin 1 g (t )sin(n ) t dt sin(n g t f ( x0 t) f ( x0 0) f ( x0 t 2sin 0) f ( x0 t) f ( x0 f ( x0 t ) f ( x0 t 0) sin(n )tdt t 0) , t t0 t sin Vì f hàm khả vi khúc nên g hàm liên tục khúc g Phan Thị Nhài 51 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp khả tích 0, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Áp dụng bổ đề Riemann lim n tdt g (t )sin n 0 hay lim n Tương tự lim n Như S x0 f x0 t sin n t 2sin f x0 t sin n t 2sin tdt t dt f x0 f x0 f x0 t f x0 t sin n t 2sin Khai triển Fourier đoạn tdt W l , l Cho hàm số f xác định khả vi khúc đoạn f có khai triển Fourier đoạn f x l , l Khi hàm l , l a0 an cos n n x n x bn sin l l hệ số Fourier tính theo công thức sau: l a0 an bn l l l f ( x) dx l l f ( x) cos l l f ( x) sin l n x dx n 1,2, l n x dx n 1,2, l l Chú ý 1) Nếu hàm chẵn bn Phan Thị Nhài 0, an 52 n x f ( x) cos dx n 0,1,2, l l K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2) Nếu hàm lẻ a0 n x f ( x) sin dx n 1,2, l l l 0, an , bn nÕu nÕu Ví dụ Khai triển hàm f x Trong trường hợp l a0 x x Vì hàm f lẻ nên khai triển Fourier n 1,2, hệ số bn tính theo công thức 0, an bn f x sin nxdx bn n Vậy f x : n sin nxdx n cos nx n nÕu n 2k 2k nÕu n 2k sin 2n x 2n x , Ta ý tổng S(x) chuỗi hàm có tính chất S với x ,0 S 0, f x n Phan Thị Nhài sin 2n x 2n 53 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội KẾT LUẬN Tóm lại, khóa luận với đề tài “Những nội dung lý thuyết chuỗi giải tich toán học” nghiên cứu tổng quan lí thuyết chuỗi bao gồm nội dung của: Chuỗi số, chuỗi hàm hai loại chuỗi hàm đặc biệt chuỗi lũy thừa chuỗi Fourier Với đề tài này, khóa luận mong muốn đóng góp kinh nghiệm, giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu lý thuyết chuỗi giải tích nói chung học phần giải tích nói riêng Dù cố gắng song trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên khóa luận chưa đưa nhiều dạng tập minh họa Em mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Phan Thị Nhài Phan Thị Nhài 54 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Liasko.I.I, Boiatruc.A.K, GaiIa.G, Golovac G.P, Giải tích toán học ví dụ tập tập 1, tập 2(tiếng Nga), NXB Golovnoie, Kiev, 1977 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Bài tập giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Đinh Thế Lục, Phạm Duy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học hàm số biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Jean, Marie Monier, Giáo trình toán tập 3, tập 4, NXB Giáo dục Việt Nam, 2006 Phan Thị Nhài 55 K33C – Toán [...]... các số hạng của chuỗi số (A) để nhận được một chuỗi số có tổng bằng L Phan Thị Nhài 14 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Chứng minh Ta viết chuỗi (A) dưới dạng an cm trong đó: bk n 1 k 1 m 1 b1, b2, bk, là các số hạng dương của chuỗi số (A) c1, c2, ,cm, là giá trị tuyệt đối của các số hạng âm của chuỗi số (A) Ta chú ý rằng cm (C) đều là các chuỗi phân kì vì chuỗi bk (... K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 c) Chuỗi đạo hàm u 'n x hội tụ đều trên a, b và n 1 u 'n x g x n 1 Khi đó: 1) Chuỗi hàm un x hội tụ đều trên a, b và có tổng là S(x) n 1 2) S là hàm khả vi trên a, b và S ' x Phan Thị Nhài 32 g x x ( a, b) K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Chương 3 CHUỖI LŨY THỪA 3.1 Định nghĩa Bán kính hội tụ của chuỗi. .. Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa Từ các tính chất của tổng chuỗi hàm ta suy ra các tính chất sau: Định lí 3.3 (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa an x n có bán kính hội tụ n 0 là R > 0, khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ R, R Định lí 3.4. (Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa an x n có bán n 0 kính hội tụ là R 0 Khi đó tổng S của nó là hàm khả tích trên mọi... n chuỗi này cũng hội tụ với mọi x Giải Với x an hội tụ tại điểm x x 1n x0 thì x0 x0 ta có Phan Thị Nhài 27 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 n Theo giả thiết chuỗi n an x 1n an 1 x x0 x0 n 1n n 1 an hội tụ, còn x x0 đơn điệu giảm đến 0 khi x0 n n 1 Do đó theo dấu hiệu Abel chuỗi n n an hội tụ với mọi x x 1n x0 2.2.2 Tính chất của tổng chuỗi hàm Từ tính liên tục của. .. sau Định lí 1.16 Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ Nhận xét Điều kiện an hội tụ chỉ là điều kiện cần để chuỗi n 1 n 1 Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn chuỗi ( 1)n n 1 Leibniz Tuy nhiên chuỗi ( 1)n n 1 Phan Thị Nhài an hội tụ 1 n n 13 1 hội tụ theo định lí n 1 là chuỗi phân kì 1 n K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Một tính chất quan trọng của chuỗi hội tụ tuyệt đối... kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Định nghĩa 3.1 Chuỗi lũy thừa là một chuỗi hàm có dạng an ( x x0 ) n n 0 trong đó x0 , a1, a2 , là những số thực Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa Nhận xét Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại điểm x có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng x0 Nếu đặt y x x0 thì ta an y n chuỗi có tâm tại y 0 n 0 Định lí 3.1 (Định lí Abel) Cho chuỗi lũy thừa an x n a1 x an x n (3.1) a0... cho x chuỗi (3.1) hội tụ tại x1 do đó x1 x1 R Theo chứng minh trên, A điều này trái với giả thiết vì R sup A Vậy chuỗi (3.1) phân kì tại mọi x mà x R W Định nghĩa 3.2 Số thực R 0 tồn tại theo định lí 3.1 được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, còn khoảng R, R được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa Phan Thị Nhài 34 K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Chuỗi. .. an phân kì n 1 thì chuỗi 1 an hội tụ n Nếu 1 thì chuỗi 1 1 thì chuỗi an phân kì n 1 Nhận xét Dấu hiệu Gauss là sự tổng hợp của các dấu hiệu D’Alembert và dấu hiệu Raabe Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số n a Ta có n an 1 Phan Thị Nhài 2n 1 !! 2n !! p 1 2n 1 !! 2n !! 2n 2 !! 2n 1 !! 11 p trong đó p là một tham số p 1 1 2n 1 p K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 p p 1 p 2n 1... nhưng không đơn điệu, hơn nữa ( 1)n 1 an trong đó chuỗi ( 1)n 1 n 1 ( 1) n 1 2 ( 1) n n ( 1) n -1 2 n 1 n 2 hội tụ theo định lí Leibniz còn chuỗi n 2 ( 1)n ( 1) kì Vì vậy chuỗi n n 1 n 1 Định nghĩa 1.5 Chuỗi ( 1)n 1 n 1 2 n n 1 là một phân kì n 1 an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi n 1 Nếu chuỗi n an hội tụ n 1 an hội tụ mà chuỗi n 1 1 phân 1n an phân kì thì ta nói chuỗi an bán hội n 1 n 1 tụ (hay hội... chuỗi đan dấu B1 C1 B2 C2 Phan Thị Nhài 15 B3 C3 D K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 k1 trong đó k3 k2 B1 b j ; B2 b j ; B3 j 1 j k1 1 m1 C1 b j ; j k2 1 m3 m2 ci ; C2 ci ; C3 i 1 i k1 1 ci ; i m2 1 Khi đó dãy tổng riêng Sn của chuỗi D có tính chất: S2l S2l L 1 cml L bkl l 1,2,3, Vì chuỗi A hội tụ nên bkl và cml đều dần đến 0 khi l Vậy lim Sn L Nếu L thì ta chọn chuỗi ... Trường Đại học Sư phạm Hà Nội NỘI DUNG Chương CHUỖI SỐ 1.1 Chuỗi số tính chất Định nghĩa 1.1 Cho dãy số an , tổng vô hạn a1 chuỗi số kí hiệu an n a2 an gọi an n n Ta gọi Sn = k riêng chuỗi số... bn với n n0 Khi đó: i Nếu chuỗi bn hội tụ chuỗi n n Phan Thị Nhài an hội tụ K33C – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ii Nếu chuỗi an phân kì chuỗi bn phân kì n n Định lí... Leibniz chuỗi n ( 1)n ( 1) kì Vì chuỗi n n n Định nghĩa 1.5 Chuỗi ( 1)n n n n phân kì n an gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi n Nếu chuỗi n an hội tụ n an hội tụ mà chuỗi n 1 phân 1n an phân kì ta nói chuỗi