Ứng dụng của lý thuyết pólya trong bài toán đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ LOAN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PÓLYA TRONG BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Hà Nội – Năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ LOAN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PĨLYA TRONG BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĨNH ĐỨC Hà Nội – Năm 2019 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô trường q thầy khoa Tốn, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức – Giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt q trình làm khóa luận để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp quý báu từ thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Đặng Thị Loan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn bảo thầy giáo TS Trần Vĩnh Đức Trong thực đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Ứng dụng lý thuyết Pólya tốn đếm” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh Viên Đặng Thị Loan Mục lục Lời mở đầu 1 CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 1.1 1.2 1.3 Khái quát tổ hợp 1.1.1 Cấu hình tổ hợp cấu trúc tổ hợp 1.1.2 Các toán tổng quát Các quy tắc đếm 1.2.1 Quy tắc tương ứng – 1.2.2 Nguyên lý cộng 1.2.3 Nguyên lý nhân 1.2.4 Nguyên lý bao hàm - loại trừ 1.2.5 Nguyên lý Dirichlet Một số toán đếm 1.3.1 Chỉnh hợp 1.3.2 Tổ hợp 1.3.3 Hoán vị 10 BỔ ĐỀ BURNSIDE 12 2.1 Các định nghĩa 12 2.2 Bổ đề Burnside 17 ĐA THỨC CHỈ SỐ CHU TRÌNH 19 3.1 Định nghĩa đa thức số chu trình 19 3.2 Định lý Pólya 20 3.3 Đa thức số chu trình cho nhóm Cn , Dn Sn 22 Nhóm xyclic Cn 22 3.3.1 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan 3.3.2 Nhóm nhị diện Dn 23 3.3.3 Nhóm đối xứng Sn 24 ĐỊNH LÝ ĐẾM PÓLYA 26 4.1 Bổ đề trọng lượng Burnside 26 4.2 Định lý đếm Pólya 28 4.3 Các ví dụ 29 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong lý thuyết tổ hợp, phép đếm chiếm phần vơ quan trọng có ứng dụng đa dạng Phương pháp đếm thường dựa vào số quy tắc, nguyên lý đếm số kết đếm cho cấu hình tổ hợp đơn giản Tuy nhiên, việc xác định xác số cấu hình tổ hợp số tốn gặp nhiều khó khăn Mặt khác, lý thuyết Pólya cung cấp cho ta công cụ mạnh để đếm đồ vật mà có đối xứng Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng lý thuyết Pólya tốn đếm” để trình bày lại số kết lý thuyết Pólya ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết Pólya Phương pháp nghiên cứu Tham khảo cập nhật nghiên cứu tác giả nước nước liên quan đến đề tài Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm bốn chương: Chương "Các toán tổ hợp bản" trình bày khái quát tổ hợp, quy tắc đếm số toán toán đếm Chương "Bổ đề Burnside" trình bày số định nghĩa bổ đề Burnside Chương "Đa thức số chu trình" trình bày định nghĩa đa thức số chu trình, định lý Pólya áp dụng tìm đa thức số chu trình số nhóm quen thuộc Chương "Định lý đếm Pólya" trình bày bổ đề trọng lượng Burnside, định lý đếm Pólya giới thiệu số tốn ứng dụng định lý đếm Pólya Khóa luận trình bày sở tài liệu tham khảo liệt kê phần tài liệu tham khảo Em biết ơn tác giả tất tài liệu trích dẫn Chương CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP CƠ BẢN Chương trình bày số kiến thức tổ hợp, quy tắc đếm số toán đếm Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2] 1.1 Khái quát tổ hợp 1.1.1 Cấu hình tổ hợp cấu trúc tổ hợp Tư tổ hợp đời từ sớm Ở Trung quốc người ta biết đến hình vng thần bí Nhà triết học cổ đại Hy Lạp Kxenokrat sống kỉ IV trước cơng ngun tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pithagore học trò ơng phát tính chất kì lạ số có định lý Pithagore Mặc dù lý thuyết tổ hợp coi lĩnh vực toán học rời rạc vào kỉ 17 tổ hợp lĩnh vực mờ nhạt ý khoảng hai kỉ Cho đến máy tính xuất phát triển tổ hợp phát triển mạnh mẽ trở thành lĩnh vực tốn ứng dụng Vì tổ hợp có liên quan đến nhiều vấn đề nhiều lĩnh vực đời sống nên khó định nghĩa cách hình thức chặt chẽ Nói chung lý thuyết tổ hợp lĩnh vực tốn học nghiên cứu cấu hình tổ hợp cấu trúc tổ hợp mà ta định nghĩa chúng cách khái quát sau: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan Định nghĩa 1.1 (Cấu hình tổ hợp) Giả sử X tập hữu hạn, S sơ đồ xếp điều kiện R1 , R2 , , Rk biểu diễn dạng Một cách xếp phần tử X vào sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R1 , R2 , , Rk gọi cấu hình tổ hợp X Ví dụ 1.1 Cho tập X gồm chữ số tự nhiên Sơ đồ xếp S “một số có ba chữ số” Các điều kiện R1 = “là số chẵn”, R2 = “lớn 500” Khi số tự nhiên từ tập X theo sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R1 , R2 , tức số tự nhiên chẵn có ba chữ số lớn 500 ( ví dụ 503) cấu hình tổ hợp Định nghĩa 1.2 (Cấu trúc tổ hợp) Giả sử V tập hữu hạn Ta kí hiệu f (V ) tập tất cấu hình tổ hợp V Khi ba G = (V, E, f ) gọi cấu trúc tổ hợp V V E tập rời nhau, f hàm từ E vào φ(V ) V, E, f thỏa mãn tiên đề xác định Ví dụ 1.2 Giả sử V = {v1 , v2 , , vm }, E = {e1 , e2 , , en } với E ∩ V = ∅ Ta giả sử S sơ đồ xếp "cặp (x1 , x2 )"và f hàm từ E vào φ(V ) Khi đó, với e ∈ E, f (e) cấu hình tổ hợp theo S rời A1 A2 V thỏa mãn x1 ∈ A, x2 ∈ A, cấu trúc tổ hợp (V, E, f ) gọi đa đồ thị có hướng với tập đỉnh V , tập cung E 1.1.2 Các toán tổng quát Bài toán đếm Là tốn đặt với câu hỏi có cấu hình tổ hợp thuộc dạng cho Để giải toán thường dựa vào số quy tắc quy tắc cộng, quy tắc nhân, số phương pháp đếm nâng cao, Bài tốn đếm thường có tốn tính xác suất hay để đánh giá độ phức tạp Ví dụ 1.3 Có số tự nhiên chẵn có ba chữ số lớn 500 Ví dụ 1.4 Rút 13 quân từ tây 52 quân Có cách rút 13 quân để 13 qn có “tứ q” Bài tốn liệt kê Đây tốn cần rõ cấu hình tổ hợp thỏa mãn tốn cấu hình tổ hợp cần đưa danh sách tất cấu hình tổ hợp có Vì toán liệt kê cần xác định thuật toán để xây dựng tất cấu hình tổ hợp thỏa mãn tốn Có nhiều cách để liệt kê cấu hình tổ hợp phải đảm bảo hai nguyên tắc không lặp lại khơng bỏ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan sót cấu hình tổ hợp Bài tốn liệt kê có ý nghĩa thực tế, hình thành định hướng để giải vấn đề Ví dụ 1.5 Liệt kê hốn vị {1, 2, 3, , n} theo thứ tự từ điển Bài toán tồn Là toán đặt với câu hỏi có hay khơng cấu hình tổ hợp thỏa mãn tốn Trong nhiều tốn tồn cấu hình tổ hợp hiển nhiên ta cần liệt kê đếm cấu hình tổ hợp Tuy nhiên nhiều tốn tổ hợp việc có hay khơng cấu hình tổ hợp thỏa mãn tốn cho trước khó khăn khơng cấu hình tổ hợp khơng khẳng định chúng khơng tồn Bài tốn tồn có nhiều ý nghĩa thực tế định hướng xây dựng lý thuyết số tốn (ví dụ tốn Fermat) Ví dụ 1.6 Các tốn tổ hợp cổ điển tiếng toán 36 sĩ quan, toán màu, hay hình lục giác thần bí, tốn chọn 2n điểm lưới n × n điểm Bài toán tối ưu tổ hợp Là toán đặt với câu hỏi cấu hình tổ hợp tốt Ngồi tốn tối ưu tổ hợp viết dạng tổng quát sau: Tìm cực tiểu (hay cực đại) phiếm hàm: f (x) → min(max) với điều kiện x ∈ D, với D tập hữu hạn phần tử, hàm f (x) hàm mục tiêu toán, phần tử x ∈ D phương án tập D tập phương án tốn Ví dụ 1.7 Một số toán tối ưu tổ hợp truyền thống toán người du lịch, toán túi, tốn phân cơng, 1.2 Các quy tắc đếm 1.2.1 Quy tắc tương ứng – Cho hai tập hợp A, B hữu hạn Nếu A B có quy tắc tương ứng 1–1 (tức ghép phần tử A với phần tử B mà phần tử A B ghép cặp) |A| = |B| 1.2.2 Nguyên lý cộng Nếu A, B tập hữu hạn thỏa mãn A ∩ B = ∅ |A ∪ B| = |A| + |B| Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan Chứng minh Thật vậy, ta có với g, h ∈ G, a ∈ X, x ∈ Ω ((gh)(a)) ( x) = a (gh)−1 (x) = a (h−1 g −1 )( x) = a h−1 (g −1 ( x)) = h(a) g −1 ( x) = g (h(a)) ( x) Suy (gh) (a) = g (h(a)) Mặt khác, với x ∈ Ω e (a) (x) = a e−1 (x) = a (e (x)) = a (x) Suy e(a) = a với a ∈ X Chứng tỏ ϕ tác động G lên X Định nghĩa 3.2 Mỗi quỹ đạo ϕ tác động G lên X gọi mẫu G 3.2 Định lý Pólya Định lý 3.1 (Pólya) Số mẫu tác động G lên Ω PG,Ω (|C| , |C| , , |C|) = |C|b1 (g) |C|b2 (g) |C|bn (g) |G| g∈G Chứng minh Theo bổ đề Burnside, số quỹ đạo tác động G lên X |F ixX (g)| |G| g∈G nên số mẫu tác động G lên Ω |F ixX (g)| Vậy để chứng minh |G| g∈G định lí ta cần chứng minh |F ixX (g)| = |C|b1 (g) |C|b2 (g) |C|bn (g) Mà F ixX (g) = {a ∈ X|g(a) = a} nên ta chứng minh g(a) = a a gán cho điểm chu trình g màu Thật vậy, g(a) = a với x ∈ Ω, (g(a))(x) = a(x) tức a(g −1 (x)) = a(x) Điều với x = y, g(y), g (y), y ∈ Ω Ta có 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan a(y) = a(g −1 g(y)) = a(g(y)) Do đó, a(y) = a(g(y)) = a(g (y)) = Điều có nghĩa g(a) = a, a gán cho điểm chu trình g màu Ngược lại, giả sử a gán cho điểm chu trình g màu Khi g −1 (x) x có màu cho x ∈ Ω Suy a(g −1 (x)) = a(x) hay g(a)(x) = a(x) với x ∈ Ω Vậy g(a) = a Chứng tỏ số mẫu tác động G lên Ω PG,Ω (|C| , |C| , , |C|) = |C|b1 (g) |C|b2 (g) |C|bn (g) |G| g∈G Ví dụ 3.1 Người ta xâu chuỗi hạt với ba màu vàng, nâu, trắng thành vòng hạt Hỏi tạo vòng hạt thế? Biết hai vòng coi hạt có màu ta đặt chồng hai vòng lên Giải Ta xét vòng hạt lục giác đồng thời ánh xạ a : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {V, N, T } Giả sử G nhóm tất tự đẳng cấu lục giác G tác động lên X tập tất sơ đồ màu Khi với a ∈ X, g ∈ G, g(a) sơ đồ màu g(a) : X → {V, N, T } x → a(g −1 (x)) Dễ thấy a g(a) hạt vòng loại Ta giả sử a, b hai hạt vòng loại tồn g ∈ G cho g(a) = b Như hai vòng hạt loại chúng thuộc quỹ đạo tác động G lên X, hay mẫu G loại vòng hạt khác Do X : Ω → {V, N, T } nên |X| = 36 Mặt khác, người ta chứng minh G nhóm nhị diện D6 Nó bao gồm phép quay σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6), σ = (1, 4)(2, 5)(3, 6), σ = (1, 3, 5)(2, 4, 6), σ = (1, 5, 3)(2, 6, 4), σ = (1, 6, 5, 4, 3, 2), σ = e = (1)(2)(3)(4)(5)(6), 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan phép phản xạ τ = (1)(2, 6)(3, 5)(4), σ τ = (1, 3)(2)(4, 6)(5), στ = (1, 2)(3, 6)(4, 5), σ τ = (1, 4)(2, 3)(5, 6), σ τ = (1, 5)(2, 4)(3)(6), σ τ = (1, 6)(2, 5)(3, 4) Suy đa thức số chu trình G PG (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (x6 +x23 +x32 +x23 +x6 +x61 +x21 x22 +x32 +x21 x22 +x32 +x21 x22 +x32 ) 12 Suy số loại vòng hạt với ba màu vàng, nâu trắng (x + 3x21 x22 + 4x32 + 2x23 + 2x6 ) 12 1 = (36 + 3.32 32 + 4.33 + 2.32 + 2.3) 12 PG (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = = 92 Đa thức số chu trình cho nhóm Cn , Dn Sn 3.3 3.3.1 Nhóm xyclic Cn Định nghĩa 3.3 Giả sử Cn nhóm phép quay đa giác n đỉnh Nếu đỉnh đa giác 1, 2, , n tính theo chiều kim đồng hồ hốn vị   n  = (1, 2, 3, , n) σ= biểu diễn phép quay n đa giác theo chiều kim đồng hồ góc 360/n độ Khi đó, Cn nhóm xyclic sinh hốn vị σ Nếu xem Cn tập hợp Cn = {σ, σ , σ , σ , , σ n−1 , σ n = e} với e phần tử đơn vị Cn Ta có chu trình σ i , i = 1, 2, , n chứa đỉnh k có dạng σ i = (k, k + i, k + 2i, ) Giả sử độ dài chu trình σ i , i = 1, 2, , n m m phải thỏa mãn m > 0, m ∈ Z m nhỏ cho k + mi ≡ k(modn) ⇔ mi ≡ 0(modn) 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan n với (i, n) ước chung lớn i n Suy độ dài chu trình (i, n) n Khi với σ i , i = 1, 2, , n không phụ thuộc vào đỉnh mà chứa (i, n) n n d|n σ d có độ dài chu trình = (d, n) d Ta thấy số số i ∈ {1, 2, , n} cho (i, n) = d số số i ∈ {1, 2, , n} n n i n , = ϕ với ϕ hàm Euler Suy có ϕ phần tử cho d d d d σ i , i = 1, 2, , n Cn có d chu trình độ dài n/d Vậy Suy m = PCn ,Ω (x1 , x2 , , xn ) = 1 n/d ϕ(n/d)xdn/d = ϕ(d)xd n d/n n d/n Ví dụ 3.2 Bài tốn tổng qt có cách xâu n hạt gồm c màu thành vòng hạt giống Biết hai vòng giống xoay chúng mặt phẳng để hạt có vị trí tương ứng màu Giải Hai vòng n hạt giống chúng thuộc quỹ đạo Cn Khi ϕ(d)cn/d số loại mẫu hạt cần tìm PCn ,Ω = n d/n 3.3.2 Nhóm nhị diện Dn Định nghĩa 3.4 Giả sử G nhóm tất tự đẳng cấu đa giác n cạnh Người ta chứng minh G nhóm nhị diện Dn bao gồm n phép quay n phép phản xạ Khi đa thức số chu trình cho nhóm hốn vị Dn là:    n/d (n−1)/2  , n = 2k + 1, ϕ(d)xd + nx1 x2   2n d/n PDn ,Ω (x1 , x2 , , xn ) =   n/d (n−2)/2 n/2  ϕ(d)xd + n2 x21 x2 + n2 x2 , n = 2k   2n d/n Ví dụ 3.3 Tìm số loại vòng hạt từ n hạt với c màu khác Giải Mỗi vòng hạt cách xếp n hạt vào đa giác n đỉnh Do số loại vòng hạt khác là:       2n PDn ,Ω =      2n ϕ(d)|c|n/d + n|c|(n+1)/2 , n = 2k + 1, d/n d/n ϕ(d)|c|n/d + n2 |c|(n+2)/2 + n2 |c|n/2 , n = 2k 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3.3 Đặng Thị Loan Nhóm đối xứng Sn Định nghĩa 3.5 Giả sử Sn tất hoán vị tập [n] = {1, 2, 3, , n} Khi Sn lập thành nhóm phép nhân hoán vị gọi nhóm đối xứng tập [n] Gọi λi chu trình hốn vị ϕ [n] Nếu λi có độ dài chu trình i, i ∈ {1, 2, , n} hốn vị ϕ [n] gọi có kiểu 1λ1 2λ2 nλn Giả sử λi , i ∈ {1, 2, , n} số nguyên không âm cho cho λ1 + 2λ2 + 3λ3 + · · · + nλn = n Khi ta tính xem có phần tử Sn có kiểu 1λ1 2λ2 nλn Xét sơ đồ sau: (∗) (∗) (∗∗) (∗∗) (∗ ∗ ∗) (∗ ∗ ∗) λ1 λ2 λ3 với * vị trí để xếp phần tử [n] Ta thấy với i ∈ {1, 2, , n} λi chu trình độ dài i có λi ! cách xếp Suy phần tử Sn có kiểu 1λ1 2λ2 nλn xuất 1λ1 λ1 !2λ2 λ2 ! nλn λn ! lần Mà tập [n] có n! hốn vị khác nên số phần tử Sn có kiểu 1λ1 2λ2 nλn xuất n! 1λ1 λ λ2 λn !2 λ2 ! n λn ! lần Do đó, đa thức số chu trình Sn n! PSn ,Ω = (λ1 ,λ2 , ,λn ) λ1 +2λ2 +3λ3 +···+nλn =n 1λ1 λ1 !2λ2 λ2 ! nλn λn ! |c|λ1 |c|λ2 |c|λn Ví dụ 3.4 Tìm đa thức số chu trình nhóm đối xứng S5 Giải Xét (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 ) cho λ1 + 2λ2 + 3λ3 + 4λ4 + 5λ5 = Suy (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 ) thỏa mãn (0, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 0, 0), (3, 1, 0, 0, 0), (5, 0, 0, 0, 0) Khi đó, 5! = 24, 51 1! 5! - Số phần tử kiểu 11 20 30 41 50 = 30, 1!.41 1! 5! - Số phần tử kiểu 10 21 31 40 50 = 20, 1!.31 1! 5! - Số phần tử kiểu 11 22 30 40 50 = 15, 1!.22 2! - Số phần tử kiểu 10 20 30 40 51 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học - Số phần tử kiểu 12 20 31 40 50 Đặng Thị Loan 5! 12 2!.31 1! = 20, 5! = 10, 13 3!.21 1! 5! - Số phần tử kiểu 15 20 30 40 50 = 1 5! Suy đa thức số chu trình nhóm đối xứng S5 - Số phần tử kiểu 13 21 30 40 50 PS5 (x1 , x2 , , xn ) = (x5 + 10x31 x2 + 20x21 x3 + 15x1 x22 + 20x2 x3 + 30x1 x4 + 24x5 ) 120 25 Chương ĐỊNH LÝ ĐẾM PÓLYA 4.1 Bổ đề trọng lượng Burnside Định nghĩa 4.1 Giả sử G nhóm hốn vị Ω, C tập màu X tập sơ đồ màu X = {a|a : Ω → C} Giả sử A vành giao hoán đơn vị ω : C → A ánh xạ từ C vào A Khi với c ∈ C, ω(c) gọi trọng lượng màu c Hơn nữa, kí hiệu ω (a) = ω (a(x)) gọi trọng lượng sơ đồ màu x∈Ω a : Ω → C ω Ta thấy sơ đồ màu quỹ đạo tác động G lên X có trọng lượng Thật với g ∈ G, A ∈ X ω (g(a)) = ω (a(g −1 (x))) ω (g(a)(x)) = x∈Ω x∈Ω Vì g −1 hoán vị Ω, nên x duyệt qua tất phần tử Ω g −1 (x) duyệt qua tất phần tử Ω Vì vậy, ω (a(g −1 (x))) ω (a(x)) x∈Ω x∈Ω tích phần tử A với thứ tự khác Mà vành A giao hoán nên ω(g(a)) = ω(a) Chứng tỏ sơ đồ màu quỹ đạo tác động G lên X có trọng lượng Định nghĩa 4.2 Gọi ∆ quỹ đạo G lên X Khi trọng lượng ∆, kí hiệu ω(∆) trọng lượng sơ đồ màu ∆, tức ω(∆) = ω(a) với a ∈ ∆ Định nghĩa 4.3 Số mẫu kí hiệu I, hàm trọng lượng ω tác động G lên X tổng trọng lượng quỹ đạo, tức I = 26 ω(∆) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan Bổ đề 4.1 (Bổ đề trọng lượng Burnside) I= ω(∆) = |G| g∈G ω(a) a∈X,g(a)=a Chứng minh Với quỹ đạo ∆ G lên X, với a ∈ ∆, theo bổ đề 2.1 ta có |G| = |∆| |Ga | Do ω(∆) = ω (a) |∆| a∈∆ = |Ga | ω (a) |G| a∈∆ = |Ga | ω (a) |G| a∈∆ Suy I= ω (∆) |Ga | ω (a) |G| a∈∆ = = |Ga | ω (a) |G| a∈X = |G| a∈X = |G| g∈G ω (a) a∈X,g(a)=a ω (a) a∈X,g(a)=a Xét ω : C → A, c → Khi ω(a) = ∀a ∈ X Vì vậy, I = |G| g∈G ω (a) = a∈X,g(a)=a |G| g∈G 1= a∈X,g(a)=a |F ixX (g)| |G| g∈G Mà với quỹ đạo ∆ G X, ω(∆) = ω(a) = ∀a ∈ ∆ Suy bổ đề Burnisde trường hợp đặc biệt bổ đề trọng lượng Burnside hàm trọng lượng ω ω : C → A, c → 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 4.2 Đặng Thị Loan Định lý đếm Pólya Định lý 4.1 (Định lý đếm Pólya) Số mẫu hàm trọng lượng ω tác động G lên X PG,Ω (p1 , p2 , , pn ) ω(c)k , ∀k = 1, 2, , n Trong n = |Ω| , pk = c∈C Chứng minh Giả sử g ∈ G phần tử G g có t chu trình độc lập Ω kể chu trình độ dài Ta kí hiệu tập tất phần tử Ω có mặt chu trình thứ i g Ωi Khi Ω = Ω ∪ Ω ∪ ∪ Ω t phân hoạch Ω Với a ∈ F ixΩ (g), a(x) = g(a)(x) = a(g −1 (x)) nên phần tử Ω1 có màu Do với i phần tử Ω1 t ω(a) = ω(a(xi ))|Xi | ω(a(x)) = i=1 x∈Ω Mà a ∈ X điểm bất động g a gán cho điểm chu trình g màu Do t ω(ci )|Xi | ω(a) = (c1 ,c2 , ,cn )∈C a∈F ixX (g) × C × ··· × C i=1 t ω(c)|Ω | = ω(c)|Ω | c∈C ω(c)|Ω t | c∈C c∈C Mà g có bi (g) chu trình độ dài i, i = 1, 2, , n nên ω(c)|Ω1 | ω(a) = ω(c)|Ω2 | c∈C a∈F ixX (g) c∈C bk (g) n ω(c)k = k=1 n c∈C b (g) pkk = k=1 28 ω(c)|Ωt | c∈C Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan Theo bổ đề trọng lượng Burnside I= = |G| g∈G ω (a) a∈X,g(a)=a    |G| g∈G ω (a) a∈F ixX (g) n = |G| g∈G b (g) pkk k=1 = PG,Ω (p1 , p2 , , pn ) 4.3 Các ví dụ Bài tốn Người ta xâu hạt vòng để thành vòng hạt Biết màu hạt để xâu thành vòng ba màu nâu (N), vàng (V), trắng (T) Hỏi có loại vòng hạt khác nếu: a.Có hai hạt màu vàng b.Có hạt màu nâu, hạt màu vàng hạt màu trắng Giải Mỗi vòng hạt gồm hạt gồm hạt màu vàng, trắng, nâu cách xếp loại hạt vào đỉnh lục giác 1,2,3,4,5,6 Giả sử Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = {V, N, T }, X = {a|a : Ω → C} G nhóm tất tự đẳng cấu lục giác Khi từ kết ví dụ 3.1 đa thức số chu trình G PG,Ω (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (x1 + 3x21 x22 + 4x32 + 2x23 + 2x6 ) 12 a.Giả sử A vành Q [x] Khi ta định nghĩa hàm trọng lượng ω sau ω : C → Q [x] T →1 N →1 V →x ω(c)k = 1k + 1k + xk = + xk , ∀k = 1, 2, 3, 4, 5, pk = c∈C 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan Theo định lý đếm Pólya, số mẫu hàm trọng lượng ω tác động G lên X [(x + 2)6 + 3(x + 2)2 (x2 + 2)2 + 4(x2 + 2)3 + 2(x3 + 2)2 + 2(x6 + 2)] 12 = (x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64 12 PG (p1 , , p6 ) = + 3(x2 + 4x + 4)(x4 + 4x2 + 4) + 2(x6 + 6x4 + 12x2 + 8) + 2x6 + 4) = (12x6 + 24x5 + 108x4 + 216x3 + 348x2 + 240x + 156) 12 =x6 + 2x5 + 9x4 + 18x3 + 29x2 + 20x + 13 Vì sơ đồ màu a, trọng lượng ω(a) sơ đồ màu ω(a(x)) trọng x∈Ω lượng trọng lượng mẫu chứa Vì số loại vòng hạt có hạt vàng tổng hệ số x2 , x3 , x4 , x5 , x6 29 + 18 + + + = 59 Vậy số loại vòng hạt có hạt màu vàng 59 b Xét vành A vành Q [x, y, z] ω : C → A xác định sau: ω:C→A V →x N →y T →z ω(c)k = xk + y k + z k , ∀k = 1, 2, 3, 4, 5, Suy pk = c∈C Khi số mẫu ω tác động G lên X Do đó, PG,Ω (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = ((x + y + z)6 + 3(x + y + z)2 (x2 + y + z )2 12 + 4(x2 + y + z )3 + 2(x3 + y + z )2 + 2(x6 + y + z ) Vì trọng lượng ω(a) sơ đồ màu gồm hạt nâu, ba hạt vàng hạt màu trắng x3 yz , nên số loại hạt thỏa mãn số quỹ đạo G có trọng lượng x3 yz đa thức số chu trình PG,Ω Mà hệ số số hạng x3 yz (C C + 3.2.2) = Vậy có loại vòng hạt gồm hạt có hạt 12 nâu, ba hạt vàng hạt màu trắng 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan Bài toán Người ta dùng n màu để tô tất ô vuông bảng vng kích thước × 3, ô tô màu Hai cách tô màu coi cách tô màu nhận từ cách tô màu nhờ phép quay quanh tâm bảng vng Hỏi có tất cách tơ màu khác nhau? Hình 4.1: Bảng vng kích thước × Giải Gọi σ phép quay quanh tâm bảng ô vng góc 90 độ theo chiều kim đồng hồ Khi G bao gồm phép quay sau: σ = (1, 3, 9, 7)(2, 6, 8, 4)(5) phép quay 900 theo chiều kim đồng hồ, σ = (1, 9)(2, 8)(3, 7)(4, 6)(5) phép quay 1800 theo chiều kim đồng hồ, σ = (1, 7, 9, 3)(2, 4, 8, 6)(5) phép quay 2700 theo chiều kim đồng hồ, σ = e = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) phép biến đổi đồng Vậy đa thức số chu trình G PG,Ω (x1 , x2 , , x9 ) = (x + 2x1 x24 + x1 x42 ) Khi số cách tô màu cho tất ô vuông bảng vng × PG = (2n6 + n5 + n9 ) Bài toán Một bánh xe có 15 vị trí cách cần gán ba màu Hai sơ đồ màu coi loại sơ đồ màu nhận từ sơ đồ phép tự đẳng cấu mặt phẳng Hãy xác định đa thức số chu trình cho nhóm phép tự đẳng cấu tìm tổng số mẫu Có mẫu, có vị trí gán màu thứ nhất, vị trí gán màu thứ vị trí gán màu thứ 3? Giải Gọi đỉnh đa giác 15 đỉnh 1,2, ,15 Giả sử X = {1, 2, , 15}, C = {m1 , m2 , m3 } với m1 màu thứ nhất, m2 màu thứ hai m3 màu thứ ba Gọi Ω : X → C, Ω = {a : X → C} G nhóm tất tự đẳng cấu bánh xe mặt phẳng Khi ta coi bánh xe cần gán màu cách xếp màu vào đa giác 15 đỉnh G nhóm nhị diện D15 Do 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Thị Loan đa thức số chu trình G  PDn ,Ω (x1 , x2 , , xn ) = =  2n  n/d ϕ(d)xd (n−1)/2  + nx1 x2 d/n x15 + 2x53 + 4x35 + 8x51 + 15x1 x72 30 Ta có số mẫu số loại bánh xe cần gán màu Do đó, tổng số mẫu PD n = 15 (3 + 2.35 + 4.33 + 8.35 + 15.3.37 ) = 481662 30 Để tính số số mẫu mà có vị trí gán màu thứ nhất, vị trí gán màu thứ vị trí gán màu thứ 3, ta lấy vành A vành Q[x, y, z] ω : C → A xác định sau: ω:C→A m1 → x m2 → y m3 → z ω(c)k = xk + y k + z k Suy pk = ∀k = 1, 2, , 15 c∈C Khi số mẫu ω tác động G lên X bằng: PG,Ω (p1 , p2 , , p15 ) = [(x + y + z)15 + 2(x3 + y + z )5 + 4(x5 + y + z )3 30 + 8(x + y + z)5 + 15(x + y + z)(x2 + y + z )7 ] Vì trọng lượng ω(a) sơ đồ màu a gồm vị trí gán màu thứ nhất, vị trí gán màu thứ vị trí gán màu thứ số quỹ đạo G có trọng lượng x9 y z, tức hệ số x9 y z đa thức Dễ thấy đa thức này, x9 y z sinh từ (x + y + z)15 Do hệ số x9 y z C C = 1001 30 15 Vậy có 1001 mẫu, có vị trí gán màu thứ nhất, vị trí gán màu thứ vị trí gán màu thứ 32 KẾT LUẬN Trong khóa luận em tập trung nghiên cứu lý thuyết Pólya ứng dụng lý thuyết Pólya toán đếm Qua việc nghiên cứu khoá luận này, em mở rộng tầm hiểu biết lý thuyết tổ hợp đặc biệt ứng dụng lý thuyết Pólya tốn đếm Do khả thân thời gian có hạn nên q trình viết đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy, giáo, bạn sinh viên bạn đọc đóng góp ý kiến giúp em hồn thành thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn 33 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2003), “Toán rời rạc”, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Ngô Đắc Tân (2005), “Lý thuyết tổ hợp đồ thị”, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), “Đại số đại cương”, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chid Minh [4] Hội Tốn học Việt nam (tháng 9-2011), "Thơng tin Tốn Học tập 15 số 23" 34 ... khác, lý thuyết Pólya cung cấp cho ta công cụ mạnh để đếm đồ vật mà có đối xứng Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: Ứng dụng lý thuyết Pólya tốn đếm để trình bày lại số kết lý thuyết Pólya ứng. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ LOAN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PÓLYA TRONG BÀI TỐN ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĨNH... chu trình số nhóm quen thuộc Chương "Định lý đếm Pólya" trình bày bổ đề trọng lượng Burnside, định lý đếm Pólya giới thiệu số tốn ứng dụng định lý đếm Pólya Khóa luận trình bày sở tài liệu tham