Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 38 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
38
Dung lượng
4,54 MB
Nội dung
- Tên sáng kiến: “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng hình học phẳng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số phức ” - Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học mơn Tốn lớp 12 B NỘI DUNG SÁNG KIẾN I Giải pháp cũ thường làm Trước dạy chủ đề “số phức” cho học sinh phần giáo viên thường làm sau: 1) Cung cấp lí thuyết sở 2) Hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải toán bản áp dụng lí thuyết vừa cung cấp 3) Cho tập áp dụng, chủ yếu thực phép toán số phức, tìm phần thực, phần ảo, mơ – đun, số phức liên hợp, giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức, tìm tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, có đưa số câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất số phức thường hướng tới việc đưa tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hàm số * Hạn chế phương pháp cũ : Học sinh nắm lí thuyết cịn nhiều lúng túng, khơng biết vận dụng lí thuyết vào làm tập Học sinh rèn luyện kĩ ít, chủ yếu máy móc vận dụng cơng thức Học sinh khơng biết qui lạ quen Học sinh gặp khó khăn giải toán đề phức tạp hoặc chưa thể áp dụng lí thuyết Học sinh xây dựng hệ thống tập từ tập cho Thời gian xử lí câu hỏi thường mất từ tới phút, không phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Hạn chế giáo viên: Chưa lường hết sai sót mà học sinh mắc phải, bố cục chủ đề chưa hệ thống chặt chẽ II Giải pháp cải tiến Để khắc phục những hạn chế trên, chúng thực sáng kiến “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng hình học phẳng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số phức ” thông qua số giải pháp tóm tắtnhư sau: a) Cung cấp lí thuyết kiến thức liên quan theo chủ đề (Xem chi tiết qua phần phụ lục) Chẳng hạn: Với chủ đề “BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG” chúngtôi cung cấp cho học sinh số kiến thức bản sau: * Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng: ax by c ( ) * Khoảng cách từ điểm A � tới điểm M � ngắn nhất M hình chiếu vng góc A lên đường thẳng Khi AM d A, TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b 1 � z z0 a b2 � � 2 � a b � z i � 2 TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z c di , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a; b , B c ; d z d O; AB a b2 c d 2 a c bd Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng ta cần thực biến đổi để đưa dạng bản + Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi z a bi z c di � z a bi z c di + Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi iz a bi z c di � z a bi c di z � z b z d ci i i Từ kiến thức cung cấp đó, chúng tơi nhấn mạnh em số trường hợp quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng hướng quy đổi từ tốn đại số sang tốn hình phẳng b) Chia chủ đề lớn thành nhiều phần nhỏ Ứng với phần đó,chúng tơi hướng dẫn học sinh tìm “nút thắt” tốn, hình thành phương pháp giải cho dạng tốn cho tập áp dụng cả hai hình thức tự luận trắc nghiệm từ dễ tới khó (Xem chi tiết qua phần phụ lục) Cụ thể: Chủ đề lớn này, chúng chia thành ba chủ đề nhỏ (Ứng với ba phần phụ lục): Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG TRÒN Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP Trong chủ đề nhỏ đó, chúng tơi cho em phân tích đề định hướng giải để xây dựng tổng kết phương pháp giải chung cho cả chủ đề, mục đích hướng tới em có cách giải tối ưu nhất đứng trước toán vấn đề ♦ Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 3i Mô đun nhỏ nhất số phức z 11 11 11 A B C D 68 68 10 68 ♥ Phân tích: Khi đọc câu hỏi với loại toán ta phải đưa số câu hỏi: + CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường nào? + CH2: Chuyển điều kiện tốn thành tính chất hình học nào? + CH3: Nêu cách giải cách sử dụng biến đổi đại số? ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z i z 3i � x 1 y 1 x y 3 2 2 � x x y y x x y y � x y 11 Δ 11 y H O z d O;Δ 11 � Đáp án A 68 11 x ♦ Ví dụ 2: Trong tất cả số phức z thoả mãn hệ thức z 3i Tìm z i A B C 10 D ♥ Phân tích: Khi đọc câu hỏi với loại toán ta phải đưa số câu hỏi: + CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường nào? + CH2: Chuyển điều kiện toán thành tính chất hình học nào? + CH3: Nêu cách giải cách sử dụng biến đổi đại số? ♥ Lời giải: Gọi M x; y điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện tốn Khi từ hệ thức z 3i ta suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện tốn đường trịn tâm I (1; 3) bán kính R Đặt A(1;1) � AI 4, z i MA , z i MA M A AI R � chọn đáp án A ♦ Ví dụ 3: Xét số phức z a bi, a, b �� thoả mãn z 3i Tính z z1 z z2 2a Khi z1 z2 2a đạt giá trị lớn nhất A z B 2c z1 z2 C b a c D z ♥ Phân tích: Khi đọc câu hỏi với loại toán ta phải đưa số câu hỏi: + CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường nào? + CH2: Chuyển điều kiện tốn thành tính chất hình học nào? + CH3: Nêu cách giải cách sử dụng biến đổi đại số? ♥ Lời giải: Gọi z điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z z 10 Khi z suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z đường tròn tâm z x yi, x, y �� bán kính z z 10 Đặt c 3, a , I trung điểm b z Ta thấy A 3;0 , B 3;0 lớn nhất O 0;0 lớn nhất AB ( hình vẽ) Đường thẳng qua MA MB 10 vng góc với MA MB � trình z 2 MA MB � MA MB MA MB � 2 50 có phương 50 9 Xét hệ phương trình z z 10 Tức z Vậy P M m P 6 Chọn đáp án D c) Cung cấp hệ thống tập tự luyện, không theo dạng, để học sinh phải tự phân dạng tìm phương pháp giải, yêu câu em làm việc theo nhóm nộp lại kết quả (Xem chi tiết phần nội dung phụ lục) d) Hướng dẫn học sinh tạo tập cách hoán đổi giả thiết kết luận hoặc thay đổi số dữ kiện Phân nhóm giao nhiệm vụ em làm việc theo nhóm để phần mười câu hỏi *Ưu điểm giải pháp mới: + Học sinh củng cố kiến thức cũ liên quan tới phần học, đặc biệt nắm lại những kiến thức trọng tâm sử dụng + Ứng với dạng tập, học sinh tích luỹ phương pháp vậy đứng trước toán học sinh có định hướng giải Rèn luyện cho học sinh tư tổng hợp, kĩ xử lí linh hoạt tình kiểu câu hỏi cho dạng khác hoặc dạng cách hỏi khác + Hệ thống tập tự luyện giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất cho Rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng linh hoạt, sáng tạo + Cách tạo toán mới, giúp học sinh biết qui lạ quen, chủ động tích cực lĩnh hội kiến thức Học sinh khơng cịn bỡ ngỡ giải toán phần đề thi học sinh giỏi, đề thi Trung học phổ thông quốc gia Học sinh cịn cảm thấy hứng thú tự tập Khi em tự đề toán em nắm vấn đề tốn tốt nhanh chóng đưa lời giải Hơn hết việc làm giúp em hình thành lực hoạt động nhóm, lực sử dụng công nghệ thông tin, lực tổng hợp, phân tích, giải đánh giá vấn đề liên quan đến nội dung chủ đề học C HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ Xà HỘI ĐẠT ĐƯỢC Hiệu kinh tế: - Sáng kiến chúng không trực tiếp tạo cải vật chất lại có ý nghĩa kinh tế cao góp phần đào tạo nguồn nhân lực phục vụ lao động sản xuất - Tiết kiệm chi phí mua tài liệu cho học sinh giáo viên, ước tính để học phần kiến thức em muốn mua sách hay học trực tuyến cũng phải mất khoảng 60.000 đồng, với tài liệu em phô tô mất 10.000 đồng, vậy tiết kiệm cho em vào khoảng50.000 đồng Nếu nhân với số lượng khoảng 380 em khối 12 trường ta tiết kiệm 19.000.000 đờng, nhân rộng với lượng học sinh khối 12 tồn tỉnh tiết kiệm số tiền không nhỏ! - Sáng kiến tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 nhiều năm chúng tơi đặc biệt q trình dạy lớp 12 năm học 2016-2017, 2017 - 2018, những năm học mơn Tốn đưa hình thức thi trắc nghiệm vào kì thi Trung học phổ thơng Quốc gia, chúng tơi tin với kinh nghiệm bản thân giúp thầy cô em học sinh tiết kiệm rất nhiều thời gian tìm tài liệu phục vụ cho việc học tập phần Hiệu xã hội: Trong năm học 2017 – 2018chúng áp dụng phần nội dung sáng kiến cho việc giảng dạy hai lớp 12 trường Đối với lớp cịn lại khơng áp dụng sáng kiến điểm Tốn kì thi Trung học phổ thơng năm 2017 -2018 cụ thể sau: Lớp Tổng số Điểm TB Số HS điểm Số HS điểm �9 �8; HS lớp 12b2 34 5,93 0 12b3 31 5,46 0 12b4 31 4,07 0 12b5 34 6,73 0 12b7 33 4,15 0 12b8 30 4,82 0 12b9 31 4,25 0 12b10 32 4,41 0 Đối với lớp hai lớp lớp chúng tơi giảng dạy điểm Tốn kì thi Trung học phổ thông năm 2016 – 2017 cụ thể sau: Tổng số Điểm TB Số HS điểm Số HS điểm �9 �8; HS lớp 12b1 40 7,43 12b6 35 7,02 Đặc biệt áp dụng phương pháp dạy vậy kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh kì thi giải tốn máy tính cầm tay cấp tỉnh học sinh lớp12 trường chúng dạy đạt số giải 01 giải ba; 01 giải khuyến khích D ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG - Sáng kiến áp dụng giảng dạy mơn Tốn cấp THPT Tỉnh Toàn quốc - Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh - Làm tài liệu tham khảo phương pháp cho môn học khác - Sáng kiến áp dụng giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường chúng giảng dạy * Triển khai giải pháp theo hệ thống vấn đề cụ thể: “CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC” trình bày chi tiết ba phần phụ lục Lớp Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG Cung cấp kiến thức liên quan * Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: ax by c ( ) * Khoảng cách từ điểm A � tới điểm M � ngắn nhất M hình chiếu vng góc A lên đường thẳng Khi AM d A, * z z ' MM ' M , M ' điểm biểu diễn số phức Hình thành phương pháp giải TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b 1 � z z0 a b2 � � 2 � a b � z i � 2 TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z c di , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a; b , B c ; d z d O; AB a b2 c d 2 a c bd Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng ta cần thực biến đổi để đưa dạng bản + Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi z a bi z c di � z a bi z c di + Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi iz a bi z c di � z a bi c di z � z b z d ci i i Thành lập hệ thống tập vận dụng ● Bài tập tự luận ►Mục đích, yêu cầu loại tập này: - Đưa số tập từ đơn giản tới phức tạp giúp em nắm cách vận dụng kiến thức vừa lĩnh hội, từ linh hoạt vận dụng vào tập - Đưa phân tích, định hướng từ giúp em thấy hướng tư gặp toán loại để vận dụng vào giải tốt nhất ♦ Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 3i Tính Mô đun nhỏ nhất số phức z ? ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z i z 3i � x 1 y 1 x y 3 2 2 � x x y y x x y y � x y 11 Δ 11 y H O z d O;Δ 11 x 11 68 ♦ Ví dụ 2:Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Tìm số phức z có mơ đun nhỏ nhất? ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z 4i z 2i � x y x y 2 � x y4 � y 4 x +) Mặt khác z x y x x x x 16 x �2 2 +) Vậy z 2 � x � y � z 2i ♦ Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa mãn z 2i z i Tìm số phức z biểu diễn điểm M cho MA ngắn nhất với A 1;3 ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Gọi E 1; 2 điểm biểu diễn số phức 2i Gọi F 0; 1 điểm biểu diễn số phức i +) Ta có z 2i z i � ME MF � Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực EF có phương trình: x y +) Để MA ngắn nhất MA EF M � M 3;1 � số phức cần tìm z i ♦ Ví dụ 4:Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z 2i z 5i , w iz 20 Tìm giá trị nhỏ nhất m w ? ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z 2i z 5i � x y 10 � x 3 y 10 +) Ta có : w iz 20 i x yi 20 x y 20 3 y 10 y 20 2 10 y 20 y 500 10 � �7 10 �y 1 49 � � ♦ Ví dụ 5:Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z i z i , w 3i z i Tim giá trị nhỏ nhất m w ? ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z i z i � x y � y 3x +) Ta có : w 3i z i 3i x yi i x y 4 10 x 13 �2 y 3x 1 x 3y 4 y 3x 1 x 3x 3 3x 3x 1 2 ♦ Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z , tìm giá trị nhỏ nhất (1 i ) z 2i ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z i z � x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng x y Ta có: (1 i ) z 2i z i 2.MA với A 1;1 Do (1 i ) z 2i 2d A, 10 ♦ Ví dụ 7:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 2i , tìm giá trị nhỏ nhất (2 3i) z 4i ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z i z 2i � x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng : x y Ta có: (2 3i) z 4i 13 z i 13 AM với A 2;1 Do (2 3i) z 4i 13.d A; 26 ♦ Ví dụ 8:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3i z i , tìm giá trị nhỏ nhất z i z 3i ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z 3i z i � x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng : x y Ta có: z i z 3i MA MB với A 1; 1 ; B 2; 3 Do z i z 3i � MA MB AB ♦ Ví dụ 9:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i z , tìm giá trị nhỏ nhất z i z 3i ♥ Lời giải: Gọi số phức z x yi x, y �R có điểm biểu diễn M x; y Theo giả thiết ta có: z 2i z � x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng : x y Ta có: z i z 3i MA MB với A 2;1 ; B 0; 3 Do z i z 3i � MA MB AB 10 Gọi z0 z1 z2 điểm biểu diễn cho số phức 2c z1 z2 � c thoả mãn 2 2a � a Khi từ b a c 39 suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức max P ' 4, P ' 39 đường thẳng max P 8, P 39 Khoảng cách từ I đến d I; 2 R Vậy giá trị nhỏ nhất biểu thức P z z ' �1,54 Chọn đáp án D ♦ Ví dụ 8:Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 3i z2 2i Tìm giá trị lớn nhất P z1 z2 A P 34 ♥ Lời giải: Chọn A B P 10 C P D P Gọi M x1 ; y1 điểm biều diễn số phức z1 , N x2 ; y2 điểm biểu diễn số phức z2 2 Số phức z1 thỏa mãn z1 3i � x1 y1 3 suy M x1 ; y1 nằm đường tròn tâm I 2;3 bán kính R1 2 Số phức z2 thỏa mãn z2 2i � x2 1 y1 suy N x2 ; y2 nằm đường tròn tâm J 1; 2 bán kính R2 Ta có z1 z2 MN đạt giá trị lớn nhất R1 IJ R2 34 34 ♦ Ví dụ 9: Cho số phức z1 3i , z2 i , z thỏa mãn z i Biết biểu thức T z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ nhất z a bi, a, b �� Hiệu a b bằng: 24 13 13 3 13 13 B C D 17 17 17 ♥ Lời giải: Chọn C z i , nên điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R Gọi A , B hai điểm biểu diễn số phức z2 , z1 � A 4;1 , B 0; 3 IM IO nên ta có IMO ~IBM c.g c Vì IB IM � MB MO A Do MB 2MA MO MA �2OA 17 Dấu xảy O, M , A thẳng hàng Hay M �E với E giao điểm đoạn OA đường tròn xM Toạ độ điểm E nghiệm hệ � 13 � �x �y x � 17 �� � �x y 1 �y 13 � � 17 � � a b 13 17 Cách2 z a bi a, b �� 2 Theo đề z i � a b 1 � 2b a b � 6b a b T z z1 z z2 � T a b 3 � T a b 6b � T 4a 4b �T 2 a2 b2 a 4 a a 2 b 1 1 b 1 b a 4 b 1 2 �2 ra r4 ar r b b 2 17 (Áp dụng Kết quả u v �u v ) � 13 �4 a b a � �a b 0 � 17 �� � a b 13 Dấu xảy � 17 13 � �a b 1 b � � 17 � � �z 2i �1 ♦ Ví dụ 10: Cho hai số phức z , w thỏa mãn � Tìm giá trị nhỏ nhất �w 2i �w i Pmin biểu thức P z w 2 ♥ Lời giải: A Pmin B Pmin C Pmin 2 D Pmin 2 25 Chọn C Giả sử z a bi ; w x yi a, b, x, y �� Ta có z 2i �1 � a 3 b �1 Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hình tròn tâm I 3; , bán kính R w 2i �w i � x 1 y � x y 1 � x y �0 Suy tập hợp điểm N biểu diễn số phức w nửa mặt phẳng giới hạn đường thẳng : x y (tính cả bờ đường thẳng) (hình vẽ) y I x O Gọi H hình chiếu I 5 Khi z w MN �d I , R Suy Pmin 1 2 ♦ Ví dụ 11: Xét số phức z a bi,(a, b ��) thỏa mãn z 3i Tính P a b Ta có d I , 2 Q z 2i z i z 2i đạt giá trị lớn nhất A 12 B.14 ♥ Lời giải: Chọn B Từ giả thiết ta có: MI 5, I(4;3), M(a;b) Nên M �đường tròn tâm I (4;3), R C 13 Xét biểu thức: Q z 2i z i z 2i D 11 � Q MA2 2MB 3MC với A(2;2), B(4; 1),C(0; 2) uur uur uuu r r Chọn J cho JA JB JC Dễ dàng tìm tọa độ điểm J (1; 1) , đó: uuur uuur uuuu r2 Q MA2 2MB 3MC � Q MA 2MB 3MC MJ JA2 JB JC Vậy Q đạt giá trị lớn nhất MJ đạt giá trị lớn nhất Lại có, IJ (4 1) (3 1)2 R � J �C (I,5) Vậy Qmax MJ đường kính Khi đó, M (7;7) � z 7i � P 14 ♦ Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z 4i w 2z i Khi w có giá trị lớn nhất là: A 16 74 ♥ Lời giải: Chọn C B 130 C 130 D 74 26 Gọi z x yi x, y �� biểu diễn điểm M x; y mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: z 4i � x 3 y i � x y 2 � M �đường tròn C có tâm I 3; 4 bán kính R 1 � � � � � � �� i� Xét w 2z i �x yi i � � �x � �y � 2 � � � � � � �� 2 �1 1� � 1� � 1� ; � � w �x � �y � 2AM Với A � � 2� � 2� � 2� Gọi H hình chiếu I AB B, C C �AI �AM AH HM � AI � �AH �HM �R � AM AI R w AI R AC AB Ta có: 130 Dấu " " xảy M �C Vậy Max w 130 Cách Ta có w 2z i � z Nên z 4i � w 1 i w 1 i 4i � w 9i Gọi E w E thuộc đường tròn T tâm J 7; 9 bán kính R Khi Max W Max OM OJ R 130 ♦ Ví dụ 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 3i iz2 2i Tìm giá trị lớn nhất biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B 313 C 313 D 313 ♥ Lời giải: Chọn A Ta có z1 3i � 2iz1 10i 1 ; iz2 2i � 3 z2 3i 12 27 Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ 1 suy điểm A nằm đường tròn tâm I1 6; 10 bán kính R1 ; điểm B nằm đường tròn tâm I 6;3 bán kính R2 12 Ta có T 2iz1 3z2 AB �I1I R1 R2 122 132 12 313 16 Vậy max T 313 16 ♦ Ví dụ 14:Cho số phức z , w thỏa mãn z 3i , iw 2i Tìm giá trị lớn nhất biểu thức T 3iz 2w A 554 ♥ Lời giải: B 578 13 C 578 D 554 13 Chọn D z 3i � 3iz 15i đường tròn có tâm I 9;15 R iw 2i � w 8i đường tròn có tâm J 4; 8 R � 4 T 3iz w đạt giá trị lớn nhất T IJ R R � 554 13 ♦ Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn z i , số phức w thỏa mãn w 3i Tìm giá trị nhỏ nhất z w A 13 ♥ Lời giải: B 17 C 17 D 13 Chọn B Gọi M x; y biểu diễn số phức z x iy M thuộc đường trịn C1 có tâm I1 1;1 , bán kính R1 N x� ; y� iy�thì N thuộc đường trịn C2 có tâm I 2; 3 , biểu diễn số phức w x� bán kính R2 Giá trị nhỏ nhất z w chính giá trị nhỏ nhất đoạn MN uuur Ta có I1 I 1; 4 � I1 I 17 R1 R2 � C1 C2 � MN I1 I R1 R2 17 ♦ Ví dụ 16: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 12 z2 4i Giá trị nhỏ nhất z1 z2 là: A ♥ Lời giải: Chọn B B C D 17 28 Gọi z1 x1 y1i z2 x2 y2i , x1 , y1 , x2 , y2 �R ;đồng thời M x1; y1 M x2 ; y2 điểm biểu diễn số phức z1 , z2 2 � �x1 y1 144 Theo giả thiết, ta có: � 2 x2 3 y2 25 � Do M thuộc đường trịn C1 có tâm O 0;0 bán kính R1 12 , M thuộc đường tròn C2 có tâm I 3; bán kính R2 O � C2 � nên C2 chứa C1 OI R1 R2 � Mặt khác, ta có � Khi z1 z2 M 1M Suy z1 z2 � M 1M � M 1M R1 R2 ♦ Ví dụ 17:Cho số phức w , z thỏa mãn w i 5w i z Giá trị lớn nhất biểu thức P z 2i z 2i A B 13 C 53 D 13 ♥ Lời giải: Chọn C Gọi z x yi , với x, y �R Khi M x; y điểm biểu diễn cho số phức z Theo giả thiết, 5w i z � w i i z 5i � i w i z 2i � z 2i Suy M x; y thuộc đường tròn C : x y 2 Ta có P z 2i z 2i MA MB , với A 1; B 5; Gọi H trung điểm AB , ta có H 3; đó: P MA MB � MA2 MB hay P � MH AB 29 Mặt khác, MH �KH với M � C nên P � KH AB IH R AB 53 �M �K 11 hay z 5i w i 5 �MA MB Vậy Pmax 53 � ♦ Ví dụ 18: Tìm số phức z thỏa mãn z i biểu thức T z 9i z 8i đạt giá trị nhỏ nhất A z 2i B z 6i C z 6i z 2i D z 5i ♥ Lời giải: Chọn B Từ giả thiết z i suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I 1;1 , bán kính R Xét điểm A 7;9 B 0;8 Ta thấy IA 10 2.IM � � Gọi K điểm tia IA cho IK IA � K � ;3 � � � IM IK � , góc MIK chung � IKM ∽ IMA c.g.c IA IM MK IK � � MA 2.MK MA IM Lại có: T z 9i z 8i MA 2.MB MK MB �2.BK 5 � Tmin 5 � M BK � C , M nằm giữa B K � xM 2 x y Ta có: phương trình đường thẳng BK là: � �x � � � �2 x y �y � � M 1; � Tọa độ điểm M nghiệm hệ: � 2 �x x 1 y 1 25 � � � � � �y 2 Vậy z 6i số phức cần tìm Do Hướng dẫn học sinh cách tự đề ● Bài tập củng cố Câu 1: Cho số phức z thoả mãn z 4i Mô đun lớn nhất số phức z A B C D Câu 2: Cho số phức z thoả mãn iz Gọi m,M giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất biểu thức P z Tính S 2020 M m 30 A S 2014 B S 2016 C S 2018 D S 2020 Câu 3: Xét số phức z thoả mãn z 3i , giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức P z i A 13 13 B 13 13 C D 13 13 Câu 4: Xét số phức z; w thoả mãn 1 i z 1 i w iz Giá trị lớn nhất biểu thức P z w A B C D 3 Câu 5: Xét số phức z1 ; z2 thoả mãn z1 i z2 2iz1 Giá trị nhỏ nhất biểu thức P z1 z2 A B 2 C 2 D Câu 6: Cho số phức z thoả mãn z không phải số thực w z số thực Tìm giá z2 trị lớn nhất biểu thức P z i A Pmax B Pmax C Pmax 2 Câu 7: Xét số phức z thoả mãn z �2 Biểu thức P D Pmax zi đạt giá trị nhỏ nhất z giá trị lớn nhất z1 ; z2 Tìm phần ảo a số phức w=z1 z2 A a 4 B a C a D a Câu 8: Xét số phức z thoả mãn z Gọi M , m giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức 94 10 34 25 34 C D 9 Câu 9:Xét hai số phức z1 ; z2 thay đổi thoả mãn z1 z2 z1 z2 2i Gọi A 53 2z i M Tỉ số z2 m B A, B giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất biểu thức z1 z2 Khi A B A 20 B 24 C 28 D 32 Câu 10: Xét số phức z , w thoả mãn z w (4 3i ) 2i Giá trị nhỏ nhất w A B C 5 D 31 Câu 11: Xét số phức z thoả mãn z z z z z Giá trị lớn nhất biểu thức P z 2i A B C D 2 Câu 12: Xét số phức z1 thoả mãn z1 z1 i số phức z2 thoả mãn z2 i Giá trị nhỏ nhất P z1 z2 5 D 5 Câu 13:Xét số phức z thoả mãn x 2i �z 4i z 3i A B C Giá trị lớn nhất biểu thức P z A B 10 C 10 D 13 Câu 14: Xét số phức z thoả mãn z 3i 13 Gọi m, M giá trị nhỏ 2 nhất giá trị lớn nhất biểu thức P z z 3i Tổng m M A.10 B 25 C 34 D 40 Câu 15: Xét số phức z thoả mãn z 2i Giá trị nhỏ nhất biểu thức P z 2i z 4i z 6i viết dạng a b ( với a phân số tối b giản) Giá trị a b A.10 B.11 C.12 D.17 Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP Cung cấp kiến thức liên quan * Tập điểm M mặt phẳng thỏa mãn tính chất MF1 MF2 m m Trong đó: TH1: F1 c;0 ; F2 c;0 với 2c m Elip nhận F1 , F2 hai tiêu điểm, có phương trình m x2 y chính tắc dạng: với a ; b a c a b TH2: F1 0; c ; F2 0; c với 2c m Elip nhận F1 , F2 hai tiêu điểm, có phương trình m x2 y với b ; a b c 2 a b Hình thành phương pháp giải Bước Từ giả thiết tìm tập điểm biểu diễn số phức cần tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất Bước Chuyển tốn cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tập số phức tốn hình học phẳng chính tắc dạng: 32 Bước Áp dụng tính chất hình học phẳng để giải tốn Một số toán thường gặp: Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z2 2a với z1 z2 2a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z PP: Tìm 2c z1 z2 từ tính b a c > Khi Max z =a, Min z = b Bài toán 2: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z2 2a với z1 z2 2a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất P z z0 PP: Kiểm tra - Nếu M ( z0 ) trung điểm M ( z1 ) M ( z2 ) Max P = a, Min P = b - Nếu M ( z0 ) , M ( z1 ), M ( z2 ) thẳng hàng M ( z0 ) nằm ngồi Elip maxP a IM ( z0 ) minP IM ( z0 ) a - Nếu M ( z0 ) , M ( z1 ), M ( z2 ) thẳng hàng M ( z0 ) nằm Elip maxP a IM ( z0 ) không tồn giá trị nhỏ nhất P - Nếu M ( z0 ) thuộc đường trung trực đoạn thẳng M ( z1 ) M ( z2 ) minP IM ( z0 ) b không tồn giá trị lớn nhất P Với I tâm Elip Cung cấp tập vận dụng ♦ Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z z 10 Giá trị nhỏ nhất z A ♥ Lời giải: B C D Cách 1:Gọi số phức z x yi, x, y �� Ta có z z 10 suy c 3, a b4 Theo hình vẽ z Đáp án B Cách 2: Gọi A 3;0 , B 3;0 có trung điểm O 0;0 M điểm biểu diễn số phức z, AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác MAB, đường trung tuyến MO, ta có 33 MA2 MB AB MA2 MB 9 Mà theo giả thiết ta có MA MB 10 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky: z MO MA MB � 2 MA MB � MA MB MA MB � 2 50 Do 50 9 Ta thấy sử dụng phương pháp hình học lời giải ngắn gọn rễ hiểu rất nhiều so với sử dụng cực trị đại số ♦ Ví dụ 2: Trong tất cả số phức z thỏa mãn z z 10 Gọi M, m z giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z Khi , giá trị biểu thức P M m A P 6 B P 13 C P 5 D P 4 ♥ Lời giải: Ta có z z 10 nên a 5, c � b a c Vậy M a 5, m b Suy P M m 4 ♦ Ví dụ 3: Trong số phức z thỏa mãn z 3i iz 10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ nhất Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 ♥ Lời giải: D 16 C.16 Trước tiên ta biến đổi điều kiện z 3i iz 10 dạng quen thuộc z 3i z 3i 10 nên ta có: a 5, c 3, b Lưu ý trường hợp Elip đứng nên z1 , z2 �0 y nên z1 4, z nên z1 z2 16 ♦ Ví dụ 4: Xét số phức z thỏ mãn z i z i tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P z 4i A ♥ Lời giải: B C 52 D Ta có : a 3, c 2, b Gọi z0 1 4i, z1 1 i, z2 i z0 z1 z0 z2 nên P IM(z ) b ♦ Ví dụ 5:Cho số phức z thỏa mãn z 3i z i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất P z 2i A 39 B 39 C 39 D 39 34 ♥ Lời giải: Ta có P z 2i P zi 2 z z Ta chọn z1 3i, z2 2 i, z0 i Do z0 2 Ta có 2c z1 z2 � c ; 2a � a 39 Khi b a c 39 max P ' 4, P ' max P 8, P 39 Đáp án A ♦ Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn z z Gọi M , m giá trị lớn Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất P ' z i nhất, giá trị nhỏ nhất z Tính M m ? 17 B M m C M m D M m ♥ Lời giải: Chọn D Gọi M x; y , F1 2;0 , F1 2;0 biểu diễn cho số phức z , 2 , Ta có MF1 MF2 � M chạy Elip có trục lớn 2a , trục nhỏ A M m 2b 25 Mà z OM Do giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z M Suy M m ; m 2 Hướng dẫn học sinh cách tự đề ● Bài tập củng cố Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z z Tìm giá trị lớn nhất z A.10 B 11 C D Câu 2:Cho số phức z thỏa mãn z z Gọi m z M max z , M n bằng: A B C 3 D Câu 3: Xét số phức thỏa mãn z 10i 24 (i i )(i 1) z 5i Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m z 35 A M 5, m B M 6, m 11 C M 6, m Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn iz M n bằng: A B 2 D M 5, m 12 2 iz Gọi m z M max z , 1 i 1 i C D Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn ( z 2)i ( z 2)i 10 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z Tính tổng S M m A S 17 B S 21 C S D S KẾT LUẬN Một viên kim cương chưa đẹp chưa mài dũa tạo hình cho Một toán thú vị rất nhiều ta hiểu sâu sắc cách giải biết vận dụng vào giải tình thực tế sống Trên những kinh nghiệm chúng tích lũy nhiều năm liên tục giảng dạy lớp 12 Hi vọng phần sáng kiến giúp ích phần cho thầy em q trình dạy học Do điều kiện thời gian trình độ có hạn nên khơng tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận những ý kiến đóng góp chân thành từ anh chị em đồng nghiệp em học sinh để phần nội dung sáng kiến hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số giải tích 12 ban bản ban nâng cao Đề thi tuyển sinh đại học năm Đề thi thử trường cả nước năm học 2016 – 2017, 2017 – 2018 Tài liệu số phức tác giả Hoàng Văn Minh Tài liệu tích phân ứng dụng tác giả Phan Huy Khải Rèn luyện giải toán đại số giải tích 12 tác giả Dương Bửu Lộc Giải Toán đại số giải tích12 tác giả Lê Hồng Đức Các nguồn tài liệu khác mạng internet 37 Xác nhận đơn vị Nhóm tác giả viết sáng kiến 38 ... giảng dạy * Triển khai giải pháp theo hệ thống vấn đề cụ thể: “CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC”... NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG TRỊN Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ... chủ đề nhỏ (Ứng với ba phần phụ lục): Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN