CHUYÊN đề đếm BẰNG đa THỨC và số PHỨC t03

CHUYÊN ĐỀ: ĐẾM BẰNG ĐA THỨC VÀ SỐ PHỨC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Số phức, đa thức tổ hợp thuộc lĩnh vực khác Tốn học Tuy nhiên, chúng gắn bó liên hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung lẫn nhau, góp phần tạo nên đa dạng, phong phú tinh tế Toán học Đề tài thể liên kết đa thức số phức Như biết, phép đếm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân công cụ hữu hiệu quen thuộc mà thường xuyên bắt gặp vận dụng Tuy nhiên để dùng hoán vị, tổ hợp hay chỉnh hợp yêu cầu phần tử phải phân biệt, đội khác Vậy số lớp tốn đếm khơng đáp ứng u cầu giải nào? Sử dụng công cụ để đếm trường hợp hợp lý hiệu quả? Để trả lời cho câu hỏi này, đề tài tơi xin trình bày phương pháp đếm đa thức số phức, sử dụng đa thức số phức để đếm Ý tưởng phương pháp đưa việc đếm số tập X có tính chất T tính tổng S hệ số ak ứng với f ( x) lũy thừa bậc k có tính chất T’ đa thức phức để tính S Sau sử dụng số Trong trình nghiên cứu, tìm tòi thực nghiệm, cố gắng nỗ lực, đề tài tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn đồng nghiệp Mục đích nghiên cứu Hệ thống kiến thức giúp học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức biết để giải toán tổ hợp công cụ đa thức số phức, nhằm phát triển tư sáng tạo Toán tổ hợp tốt B NỘI DUNG Chương I Kiến thức sở Định nghĩa số phức: Một số phức biểu thức dạng a + bi i = −1 i , a, b z = a + bi số thực thỏa mãn Ký hiệu số phức i b a gọi đơn vị ảo, gọi phần thực gọi phần ảo z = a + bi Tập hợp số phức ký hiệu C Oxy Biểu diễn hình học số phức: Xét mặt phẳng tọa độ z = a + bi, a, b ∈ R M ( a; b ) biểu diễn điểm M ( a; b ) biểu diễn số phức Dạng lượng giác số phức: a Số phức dạng lượng giác: Định nghĩa: Cho , số phức z≠0 Gọi M z = a + bi Ngược lại điểm Ta viết M (a + bi) M ( z ) hay z điểm mặt phẳng phức biểu diễn số Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM gọi z acgumen b Dạng lượng giác số phức: Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ), r > 0, z ≠ gọi dạng lượng giác số phức [r (cosϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) c Công thức Moivre: Căn bậc n đơn vị biểu diễn hình học bậc n đơn vị: 2π 2π ε = cos + i sin n n n a Bổ đề: bậc Khi tập hợp tất bậc n Chứng minh: {1, ε, ε , ε3 , , ε n-1} Xét phương trình ε = cos nên (ε j ) n = cos z n − = 2π 2π + i sin n n ε n = cos Ta có: n 2π n 2π + i sin = cos 2π + i sin 2π = n n bậc n Do với j = 0; k − 1, j.n.2π j.n.2π + i sin = cos 2πj + i sin 2πj = cos 2π + i sin 2π = n n bậc n 1,ε,ε 2,ε 3, ,ε n-1 Để ý nên có n ε n = b Biểu diễn hình học bậc n đơn vị: Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn hình học bậc n, n ≥ đơn vị n đỉnh n giác nội tiếp đường tròn Ví dụ: 2π 2π 4π 4π 1; ε = cos + i sin ; ε = cos + i sin , 3 3 • Các bậc biểu diễn hình học A, B, C ba đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn lượng giác • Các bậc π π 3π 3π 1; ε = cos + i sin ; ε = cosπ + i sin π; ε3 = cos + i sin 2 2 biểu diễn hình học đỉnh A, B, C, D hình vng nội tiếp đường tròn lượng giác • Các bậc 1; ε = cos ε = cos 2π 2π 4π 4π 6π 6π + i sin ; ε = cos + i sin ; ε3 = cos + i sin 6 6 6 8π 8π 10π 10π + i sin ; ε5 = cos + i sin 6 6 biểu diễn hình học đỉnh A, B, C, D, E, F lục giác nội tiếp đường tròn lượng giác Chương II Phương pháp sử dụng đa thức số phức: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: n f ( x) = ∑ x i Bổ đề: Cho đa thức đơn vị Gọi S= S i =0 ε = cos 2π 2π + i sin k k k tổng hệ số ứng với tất lũy thừa bội , ta có: f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + + f (ε k −1 ) ) ( k Chứng minh: Ta có bậc k f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n f (1) = a0 + a1 + a2 + + an , f (ε ) = a0 + a1ε + a2ε + + anε n , f (ε ) = a0 + a1ε + a2 (ε ) + + an (ε ) n , f (ε ) = a0 + a1ε + a2 (ε ) + + an (ε ) n , … f (ε k −1 ) = a0 + a1ε k −1 + a2 (ε k −1 )2 + + an (ε k −1 ) n Với Nếu Nếu i i i = 0; n , ta có bội k Ai = + εi + (ε i ) + (ε i )3 + + (ε i ) k −1 Ai = k khơng bội k i k −1 Ai = + ε + (ε ) + (ε ) + + (ε ) i i i − (ε i ) k − (ε k ) i = = = 0, − εi − εi f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + + f (ε k −1 )=k n ∑ i =0, i Mk Do S= Từ ta ε k = = kS f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + + f (ε k −1 ) ) ( k Các dạng toán đếm đa thức số phức: 2.1 Số tự nhiên có k chữ số mà tổng chữ số bội p Bài tốn 2.1.1: Có số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn? Lời giải quen thuộc toán sau: a1a2 a3a4 a5 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 Gọi số nguyên dương có chữ số , số chẵn Trước hết a1a2 a3a4 cách chọn Ứng với số a1 + a2 + a3 + a4 a1a2 a3a4 : a5 số chẵn chọn số chẵn: có cách a1 + a2 + a3 + a4 a5 • Nếu số lẻ chọn số lẻ: có cách • Vậy có Nếu có 9.103 9.5.103 = 45000 số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn Tiếp theo tiếp cận giải tốn cơng cụ đa thức số phức sau: Gọi S số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn Xét đa thức: f ( x) = ( x + x + + x9 )(1 + x + x + + x9 ) = ∑ a1 =1;9;a2 ;a3 ;a4 ;a5 =0;9 Nhận xét số hạng số có chữ số a1a2 a3a4 a5 x a1 +a2 +a3 + a4 + a5 45 x a1 +a2 + a3 +a4 +a5 = ∑ ck x k k =1 f ( x) khai triển tương ứng với Do số số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa chẵn f ( x) khai triển đa thức Vậy áp dụng bổ đề ta 22 1 9.104 S = ∑ c2 k = ( f (ε ) + f (ε )) = ( f ( −1) + f (1)) = = 45000, 2 k =1 ε = cos 2π 2π + i sin = −1, ε = cos 2π + i sin 2π = 2 với bậc hai Bài tốn 2.1.2: Có số ngun dương có chữ số mà tổng chữ số bội 4? Gọi S số số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số bội Xét đa thức: f ( x) = ( x + x + + x9 )(1 + x + x + + x9 )3 = 36 ∑ a1 =1;9;a2 ;a3 ;a4 =0;9 Nhận xét số hạng số có chữ số a1a2 a3a4 x a1 + a2 + a3 + a4 x a1 + a2 +a3 + a4 = ∑ ck x k k =1 f ( x) khai triển tương ứng với Do số số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số bội tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x 4k f ( x) khai triển đa thức Vậy áp dụng bổ đề ta S = ∑ c4 k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) k =1 ε = cos với 2π 2π + i sin =i 4 bậc bốn đơn vị Ta có  i −  i10 −  f (ε ) = f (i ) =  i ÷ ÷ = −2 − 2i, ε = −1, ε = −i f (1) = 9.10 ,  i −  i −  ,  −i −  i10 −  f (ε ) = f ( −i ) =  −i ÷ ÷ = −2 + 2i −i −  −i −  f (ε ) = f (−1) = 0,  9.103 − S = ∑ c4 k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) = = 2249 4 k =1 Do Vậy có 2249 số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số bội Bài toán 2.1.3:(Chọn đội tuyển PTNK TPHCM 2009) Cho n số nguyên dương X = {3,4,5,6} Hỏi từ tập lập số tự nhiên có n chữ số chia hết cho 3? Gọi S số số tự nhiên có n chữ số chia hết cho Xét đa thức: f ( x) = ( x + x + x + x ) = n ∑ x a1 + a2 + + an Nhận xét = ∑ ck x k k =1 a1 ,a2 ; ;an =3;6 a1a2 an M3 6n a1 + a2 + + an M số hạng f ( x) khai triển tương ứng với số có n chữ số a1a2 an x a1 +a2 + +an Do số số tự nhiên có n chữ số chia hết cho tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x3k f ( x) khai triển đa thức 2n S = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) k =1 ε = cos với Vậy 2π 2π + i sin 3 bậc ba đơn vị ε = cos Ta có 2π 2π −1 4π 4π −1 + i sin = + i, ε = cos + i sin = − i, 3 2 3 2 f (1) = 4n , f (ε ) = (ε + ε + ε + ε ) n = (1 + ε + ε + 1) n = 1, f (ε ) = (ε + ε + ε 10 + ε 12 ) n = (1 + ε + ε + 1) n = Do 4n + 2 S = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) = 3 k =1 2n f (ε ) = (ε + ε + ε 14 + ε 18 )n = (ε + + ε + 1)n = Do 4n + 2 S = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) = 3 k =1 2n X = {3,4,5,6} Vậy từ tập Bài toán 2.1.5: Từ tập lập 4n + X = {0,2,4,6,8} số tự nhiên có n chữ số chia hết cho lập số tự nhiên có chữ số chia hết cho Gọi S số số tự nhiên có chữ số lấy từ X chia hết cho Xét đa thức: f ( x) = ( x + x + x + x8 )(1 + x + x + x + x )5 = 48 ∑ a1∈{ 2,4,6,8}, a2 ; ;a6∈X Nhận xét a1a2 a6 M3 a1 + a2 + + a6 M k =1 số hạng f ( x) x a1 + a2 + + a6 = ∑ ck x k khai triển tương ứng với số có chữ số a1a2 a6 x a1 +a2 + +a6 Do số số tự nhiên có chữ số chia hết cho tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x3k f ( x) khai triển đa thức Vậy 16 S = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )), k =1 đơn vị Để ý rằng: ε = cos với 2π 2π + i sin 3 bậc ba ε = cos 2π 2π −1 4π 4π −1 + i sin = + i , ε = cos + i sin = − i, f (1) = 4.55 , 3 2 3 2 f (ε ) = (ε + ε + ε + ε )(1 + ε + ε + ε + ε )5 = (1 + ε + 2ε )(2 + 2ε + ε )5 = − i, 12 16 12 16 2 f (ε ) = (ε + ε + ε + ε )(1 + ε + ε + ε + ε ) = (1 + 2ε + ε )(2 + 2ε + ε ) = + i 2 4.55 + S = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) = = 4167 3 k =1 16 Suy Vậy từ tập X = {0,2, 4,6,8} lập 4167 số tự nhiên có chữ số chia hết cho Bài toán 2.1.6: Từ tập X = {1,2,4,5,6} lập số tự nhiên có chữ số mà tổng chữ số bội Gọi S số số tự nhiên có chữ số tổng chữ số bội f ( x) = ( x + x + x + x + x ) = x a1 , a2 ; ;a8∈{ 1;2,4,5,6 } Xét đa thức: Nhận xét số hạng có chữ số ∑ a1 + a2 + + a8 a1a2 a8 x a1 + a2 + +a8 48 = ∑ ck x k k =1 f ( x) khai triển tương ứng với số Do số số tự nhiên có chữ số tổng chữ số bội tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x 6k khai triển đa f ( x) thức Vậy ε = cos S = ∑ c6 k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) k =1 2π 2π + i sin 6 ε= Ta có với bậc sáu đơn vị −1 −1 + i, ε = + i, ε = −1, ε = − i, ε = − i, ε = 1, 2 2 2 2 f (1) = 58 Để ý ε2 +ε5 =ε +ε4 = nên f (ε ) = (ε + ε + ε + ε + ε )8 = 1, f (ε ) = (ε + ε + ε + ε 10 + ε 12 )8 = (ε + ε + ε + ε + 1)8 = 1, f (ε ) = (ε + ε + ε 12 + ε 15 + ε 18 )8 = (ε + + + ε + 1)8 = 1, f (ε ) = (ε + ε + ε 16 + ε 20 + ε 24 )8 = (ε + ε + ε + ε + 1)8 = 1, f (ε ) = (ε + ε 10 + ε 20 + ε 25 + ε 30 )8 = (ε + ε + ε + ε + 1)8 = 1 58 + 5 S = ∑ c6 k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) = = 65105 k =1 Do Vậy từ tập X = {1,2,4,5,6} lập 65105 số tự nhiên có chữ số mà tổng chữ số bội Bài tốn 2.1.7: Từ tập X = {2;0;1;9} lập số tự nhiên có chữ số chia hết cho Ta xem xét so sánh hai lời giải toán f ( x) = ( x + x + x )( x + + x + x ) = 9 ∑ x a1 + a2 + a3 a1 ,a2 ;a3∈{2,0,1,9} giải 1: Đặt 27 = ∑ ck x k k =1 Lời Nhận xét a1a2 a3 M a1 + a2 + a3 M khai triển tương ứng với số có chữ số số hạng a1a2 a3 x a1 +a2 +a3 f ( x) Do số số tự nhiên có chữ số chia hết cho tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x 3k khai triển đa thức ε = cos ε = cos 2π 2π + i sin 3 f ( x) Vậy S = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) k =1 với bậc ba đơn vị Để ý 2π 2π −1 4π 4π −1 3 + i sin = + i; ε = cos + i sin = − i; ε = 1, 3 2 3 2 f (1) = 3.42 ; f (ε ) = (ε + ε + ε )(ε + + ε + ε ) = 0, f (ε ) = (ε + ε + ε 18 )(ε + + ε + ε 18 ) = S= f (1) + f (ε ) + f (ε ) = 42 = 16 Do số tự nhiên có chữ số chia hết cho Vậy từ tập X = {2;0;1;9} lập 16 S Lời giải 2: Gọi số số tự nhiên có chữ số chia hết cho 3, tự nhiên có khơng q chữ số chia hết cho 3, số số số số tự nhiên có khơng S = S1 − S chữ số chia hết cho Ta có ∑ f ( x) = ( x + + x + x ) = S2 S1 x a1 + a2 + a3 a1 ,a2 ;a3∈{ 2,0,1,9 } 27 = ∑ ck x k k =1 Xét đa thức: Nhận xét a1a2 a3 M a1 + a2 + a3 M a1a2 a3 f ( x) khai triển tương ứng với số số hạng x a1 +a2 +a3 Do số số tự nhiên có khơng q chữ số chia hết cho tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x3k f ( x) khai triển đa thức Vậy 43 + 2 S1 = ∑ c3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) = = 22, 3 k =1 ε = cos với 2π 2π + i sin 3 bậc ba đơn vị Tiếp theo ta đếm S2 số số g ( x) = ( x + + x + x ) = a1a2a ∑ x với a2 + a3 a2 ;a3∈{ 2,0,1,9 } toàn tương tự ta thấy số hạng a1 = Xét đa thức 18 = ∑ dk xk k =1 x a2 + a3 g ( x) khai triển tương ứng Hoàn với số a2a3 Do số số tự nhiên có khơng q chữ số chia hết cho tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x 3k khai triển đa thức 42 + 2 S2 = ∑ d3k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) = = 3 k =1 g ( x) Vậy Suy S = S1 − S = 22 − = 16 Vậy từ tập X = {2;0;1;9} lập 16 số tự nhiên có chữ số chia hết cho So sánh hai lời giải ta nhận thấy lời giải ngắn gọn lời giải Sự khác f ( x) hai lời giải việc chọn đa thức Tuy nhiên câu hỏi đặt toán yêu cầu đếm số số tự nhiên có khơng q chữ số chia hết cho việc chọn f ( x) lời giải hoàn toàn hợp lý Chúng ta xem xét vài toán Số tự nhiên có khơng q k chữ số mà tổng chữ số bội 2.2 p Bài toán 2.2.1: (VMO 2015): Cho 10 k a) k ∈ N* Tìm tất số tự nhiên Vì khơng vượt thỏa mãn điều kiện sau: n chia hết cho b) Tất chữ số biểu diễn thập phân 10k n n thuộc tập không chia hết ta cần xét chữ số từ ) Bổ sung chữ số a1a2 ak với 0 đến A = {2;0;1;5} 999 k ( chữ số vào trước cần thiết, ta đưa chữ số có dạng ∈{2;0;1;5} Ta cần đếm chữ số chia hết cho Chú ý a1a2 ak chia hết cho toán việc đếm số Xét đa thức {a1 , a2 , ak } ∈ Ak f ( x) = ( x + + x + x ) k ∑ f ( x) = ( x + + x + x5 )k = a1 + a2 + + ak cho chia hết cho 3, ta đưa a1 + a2 + + ak chia hết cho Ta có x a1 + a2 + +ak {a1 ;a2 ; ak }∈Ak f ( x) Tổng hệ số {a1 , a2 , ak } ∈ Ak số cho {a1 , a2 , ak } ∈ Ak a1 + a2 + + ak 4k Hơn số chia hết cho tổng S hệ f ( x) số số mũ chia hết cho f (1) + f (ε ) + f (ε ) S= ε= Để ý ε = cos với Áp dụng bổ đề ta 2π 2π +isin 3 bậc đơn vị −1 −1 + i, ε = − i, f (ε ) = (ε + + ε + ε ) k = (2ε + + ε ) k = ε k , 2 2 f (ε ) = (ε + + ε + ε 10 ) k = (2ε + + ε ) k = ε k k Nếu chia hết cho S= Suy f (1) + f (ε ) + f (ε ) 4k + = 3 k Nếu không chia hết cho f (1) + f (ε ) + f (ε ) k − S= = 3 Bài tốn 2.2.2: Có số ngun có khơng q chữ số mà tổng chữ số bội 4? Gọi S số số tự nhiên có khơng q chữ số tổng chữ số bội ∑ f ( x) = (1 + x + x + + x ) = a1 ;a2 ; a3 ; a4 =0;9 Xét đa thức: Nhận xét số hạng số a1a2 a3 a4 x a1 + a2 + a3 + a4 x a1 + a2 + a3 + a4 36 = ∑ ck x k k =1 f ( x) khai triển tương ứng với Do số số ngun dương có khơng q chữ số mà tổng chữ số bội tổng hệ số số hạng ứng với lũy thừa dạng x 4k f ( x) khai triển đa thức Vậy áp dụng bổ đề ta S = ∑ c4 k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) k =1 ε = cos với 2π 2π + i sin =i 4 bậc bốn đơn vị Ta có ε = i = −1; ε = −i; ε = Mặt khác  x10 −  f (1) = 10 , f ( x) = (1 + x + x + + x ) =  ÷ , x ≠ x −   f (ε ) = f (i) = −4; f (ε ) = f (−1) = 0; f (ε ) = f ( −i) = −4 Suy Do 104 − S = ∑ c4 k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) = = 2498 4 k =1 Vậy có 2498 số tự nhiên có khơng q chữ số mà tổng chữ số bội Tìm số tập A tập X cho tổng phần tử A chia hết cho 2.3 p Bài tốn 2.3.1: Tìm số tập A X = {1;2;3; ,2021} cho tổng phần tử A chia hết cho f ( x) = (1 + x)(1 + x ) (1 + x 2021 ) = s (C ) C⊂ X Xét đa thức phần tử ∑x C Do số tập A , s (C ) X = {1;2;3; ,2021} A chia hết cho tổng hệ số lũy thừa dạng S= 681077 ∑c k =1 số tập cần tìm, ta có 3k Nếu Nếu S= k khơng chia hết cho chia hết cho 681077 ∑c k =1 3k + ε k + (ε k )2 = Gọi S Do ε = cos với có nghiệm g ( x) = ( x − 1)( x − ε )( x − ε ) với k ∈ N* k 2π 2π + i sin 3 đơn vị Vì đa thức x3k − (ε k )3 − (ε ) k + ε + (ε ) = = = 1− ε k 1− ε k = ( f (1) + f (ε ) + f (ε )) g ( x) = x − cho tổng phần tử k k tổng ε ,ε ,ε = Suy (1 + ε )(1 + ε )(1 + ε ) = − g( −1) = 2, (1 + ε )(1 + ε ) = nên bậc Ta có f (1) = 2021 , f (ε ) = (1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε ) (1 + ε 2019 )(1 + ε 2020 )(1 + ε 2021 ) = ((1 + ε )(1 + ε )(1 + ε ))673 (1 + ε )(1 + ε ) = 2673 f (ε ) = (1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε 10 )(1 + ε 12 ) (1 + ε 4038 )(1 + ε 4040 )(1 + ε 4042 ) = ((1 + ε )(1 + ε )(1 + ε ))673 (1 + ε )(1 + ε ) = 2673 Do 2021 + 2674 S= Bài tốn 2.3.2 : Tìm số tập A X = {1;2;3; ,2020} cho tổng phần tử A chia hết cho f ( x ) = (1 + x)(1 + x ) (1 + x 2020 ) = s (C ) C⊂ X Xét đa thức phần tử ∑x C Do số tập A , X = {1;2;3; ,2020} A chia hết cho tổng hệ số lũy thừa dạng S= số tập cần tìm, ta có 408242 ∑c k =1 5k k khơng chia hết cho tổng cho tổng phần tử x5k với k ∈ N* Gọi S − (ε k )5 + ε + (ε ) + (ε ) + (ε ) = = 1− ε k k Nếu s (C ) k k k Nếu S= k chia hết cho 408242 = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) ∑c k =1 + ε k + (ε k )2 + (ε k )3 + (ε k )4 = 5k Do ε = cos với 2π 2π + i sin 5 bậc đơn vị Vì đa thức g ( x) = x − có nghiệm ε ,ε ,ε 3,ε ,ε = g ( x) = ( x − 1)( x − ε )( x − ε )( x − ε )( x − ε ) Suy (1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε ) = − g(−1) = Bài tốn 2.3.3: Tìm số tập A nên Vậy 22020 + 4.2404 22020 + 2406 S= = 5 X = {1;2;3; ,2023} cho tổng phần tử A chia hết cho f ( x ) = (1 + x)(1 + x ) (1 + x 2023 ) = C⊂ X Xét đa thức phần tử ∑x C Do số tập A s (C ) , s (C ) X = {1;2;3; , 2023} A chia hết cho tổng hệ số lũy thừa dạng S= số tập cần tìm, ta có 292468 ∑c k =1 7k ε = cos Đặt Nếu k không chia hết cho + ε k + (ε k ) + (ε k )3 + (ε k ) + (ε k ) + (ε k ) = cho tổng phần tử x 7k 2π 2π + i sin 7 đơn vị − (ε k )7 = 1− ε k tổng với k ∈ N* Gọi S là bậc Nếu S= k chia hết cho 292468 ∑c k =1 7k Vì đa thức + ε k + (ε k )2 + (ε k )3 + (ε k ) + (ε k )5 + (ε k )6 = Do = ( f (1) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε ) + f (ε )) g ( x) = x − có nghiệm ε ,ε ,ε 3,ε ,ε ,ε ,ε = g ( x) = ( x − 1)( x − ε )( x − ε )( x − ε )( x − ε )( x − ε )( x − ε ) nên Suy (1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε )(1 + ε ) = − g(−1) = Vậy 22023 + 6.2289 S= Bài tập tự luyện: 3.1 Có số nguyên dương có chữ số chia hết cho 3? 3.2 Có số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số 3.3 bội 8? X = {1,3,5,7,9} Từ tập lập số tự nhiên có chữ số 3.4 chia hết cho X = {0,2, 4,6,8} Từ tập lập số tự nhiên có chữ số 3.5 mà tổng chữ số bội X = {1,3,5,7,9} Từ tập lập số tự nhiên có chữ số 3.6 mà tổng chữ số bội X = {0,2, 4,6,8} Từ tập lập số tự nhiên có chữ số 3.7 mà tổng chữ số bội X = {1,3,5,7,9} Từ tập lập số tự nhiên có chữ số 3.8 mà tổng chữ số bội (IMO 2014 Training Camp) Có số tự nhiên có chữ số, khơng chứa chữ số chia hết cho 11? 3.9 Có tập tập hết cho 3.10 Cho tập hợp X = {0,1, ,25} phần tử chia hết cho 19 X = {1;2;3; 2020} có tổng phần tử chia Tìm số tập phần tử X có tổng C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Để thuận lợi việc tiếp cận chuyên đề này, học sinh phải có kiến thức đa thức, số phức giải tích tổ hợp Do chương 1, đề tài trình bày sơ lược kiến thức liên quan Tiếp đến chương 2, sau đưa chứng minh bổ đề sở cho phương pháp đếm số đa thức số phức, đề tài phân loại toán theo ba dạng đếm công cụ là: đếm số tự nhiên có k chữ số mà tổng chữ số bội p, đếm số tự nhiên có khơng q k chữ số mà tổng chữ số bội p, đếm số tập A tập X cho tổng phần tử A chia hết cho p Phần cuối đề tài dành để giới thiệu số tập tương tự Đề tài hẳn nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô, bạn đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Minh Phương(2010), Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông, Nhà xuất Giáo dục – Bộ Giáo dục Đào Tạo Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng(2008), Giải tích 12 Nâng Cao, Nhà xuất Giáo dục – Bộ Giáo dục Đào Tạo Tạp chí Tốn học tuổi trẻ năm Các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia, Olympic Toán năm Lời giải bình luận VMO năm ... 9.5.103 = 45000 số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn Tiếp theo tiếp cận giải tốn cơng cụ đa thức số phức sau: Gọi S số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn Xét đa thức: f ( x)... lược kiến thức liên quan Tiếp đến chương 2, sau đưa chứng minh bổ đề sở cho phương pháp đếm số đa thức số phức, đề tài phân loại toán theo ba dạng đếm công cụ là: đếm số tự nhiên có k chữ số mà tổng... (ε k −1 ) ) ( k Các dạng toán đếm đa thức số phức: 2.1 Số tự nhiên có k chữ số mà tổng chữ số bội p Bài tốn 2.1.1: Có số nguyên dương có chữ số mà tổng chữ số số chẵn? Lời giải quen thuộc toán