SKKN Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TÊN SÁNG KIẾN: CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC MƠN: TỐN NINH BÌNH, THÁNG NĂM 2019 MỤC LỤC NỘI DUNG A TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG B NỘI DUNG SÁNG KIẾN I Giải pháp cũ thường làm II Giải pháp cải tiến C HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI ĐẠT ĐƯỢC D ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG TRỊN Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO A TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG STT HỌ VÀ TÊN TRÌNH ĐỘ CHỨC VỤ TRANG ĐÓNG 2 Đào Thị Ngọc Thủy Phạm Thị Thanh Hà Phạm Thị Diễm Bùi Mạnh Cường Vũ Thị Thanh CHUYÊN MÔN Cử nhân Cử nhân Cử nhân Cử nhân Cử nhân Giáo viên Giáo viên Giáo viên Giáo viên Hiệu phó GÓP 40% 20% 20% 10% 10% Trong năm học trước đây, chủ đề số phức có mặt đề thi đại học, nội dung chủ yếu có đề thi tốt nghiệp với mức độ nhận biết, thông hiểu Những năm gần bước đổi toàn diện giáo dục, đặc biệt mơn Tốn có bước thay đổi lớn chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, chủ đề số phức chiếm vai trò tương đối quan trọng Đặc biệt nhóm câu hỏi vận dụng vận dụng cao, hầu hết năm gần có câu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ liên quan tới số phức Tuy nhiên nguồn tài liệu cho học sinh ôn tập để giáo viên giảng dạy phần nội dung hạn chế Vì vậy, từ thực tiễn kinh nghiệm dạy thân chúng tôi, để giúp thầy cô giáo em phần tháo gỡ khó khăn kì thi Trung học phổ thơng quốc gia đến gần, thực đề tài sáng kiến “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng hình học phẳng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số phức ” Hy vọng nội dung sáng kiến phần giúp đỡ thầy giáo q trình dạy ơn tập thi Trung học phổ thông quốc gia nguồn tài liệu cho em học sinh tham khảo, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh Ninh Bình - Tên sáng kiến: “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng hình học phẳng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số phức ” - Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học mơn Tốn lớp 12 B NỘI DUNG SÁNG KIẾN I Giải pháp cũ thường làm Trước dạy chủ đề “số phức” cho học sinh phần giáo viên thường làm sau: 1) Cung cấp lí thuyết sở 2) Hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải tốn áp dụng lí thuyết vừa cung cấp 3) Cho tập áp dụng, chủ yếu thực phép toán số phức, tìm phần thực, phần ảo, mơ – đun, số phức liên hợp, giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức, tìm tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, có đưa số câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số phức thường hướng tới việc đưa tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số * Hạn chế phương pháp cũ : Học sinh nắm lí thuyết cịn nhiều lúng túng, khơng biết vận dụng lí thuyết vào làm tập Học sinh rèn luyện kĩ ít, chủ yếu máy móc vận dụng cơng thức Học sinh khơng biết qui lạ quen Học sinh gặp khó khăn giải toán đề phức tạp chưa thể áp dụng lí thuyết Học sinh khơng biết xây dựng hệ thống tập từ tập cho Thời gian xử lí câu hỏi thường từ tới phút, không phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Hạn chế giáo viên: Chưa lường hết sai sót mà học sinh mắc phải, bố cục chủ đề chưa hệ thống chặt chẽ II Giải pháp cải tiến Để khắc phục hạn chế trên, thực sáng kiến “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng hình học phẳng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số phức ” thông qua số giải pháp tóm tắtnhư sau: a) Cung cấp lí thuyết kiến thức liên quan theo chủ đề (Xem chi tiết qua phần phụ lục) Chẳng hạn: Với chủ đề “BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG” chúngtôi cung cấp cho học sinh số kiến thức sau: * Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng: ax + by + c = (∆ ) * Khoảng cách từ điểm A∉ ∆ tới điểm M ∈ ∆ ngắn M hình chiếu vng góc A lên đường thẳng ∆ Khi AM = d ( A, ∆ ) TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a; b ) 1   z = z0 = a + b  a b  z= + i  2 TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z − c − di , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A ( a; b ) , B ( c; d ) z = d ( O; AB ) = a + b2 − c2 − d 2 ( a − c) +(b−d) • Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng ta cần thực biến đổi để đưa dạng + Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi z − a − bi = z − c − di ⇔ z − a + bi = z − c − di + Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi iz − a − bi = z − c − di ⇔ z + −a − bi −c − di = z+ ⇔ z + b + = z + d + ci i i Từ kiến thức cung cấp đó, chúng tơi nhấn mạnh em số trường hợp quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng hướng quy đổi từ tốn đại số sang tốn hình phẳng b) Chia chủ đề lớn thành nhiều phần nhỏ Ứng với phần đó,chúng tơi hướng dẫn học sinh tìm “nút thắt” tốn, hình thành phương pháp giải cho dạng tốn cho tập áp dụng hai hình thức tự luận trắc nghiệm từ dễ tới khó (Xem chi tiết qua phần phụ lục) Cụ thể: Chủ đề lớn này, chia thành ba chủ đề nhỏ (Ứng với ba phần phụ lục): Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG TRÒN Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP Trong chủ đề nhỏ đó, chúng tơi cho em phân tích đề định hướng giải để xây dựng tổng kết phương pháp giải chung cho chủ đề, mục đích hướng tới em có cách giải tối ưu đứng trước toán vấn đề ♦ Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + i = z − − 3i Mô đun nhỏ số phức z 11 11 11 A B − C D 68 68 68 10 ♥ Phân tích: Khi đọc câu hỏi với loại toán ta phải đưa số câu hỏi: + CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường nào? + CH2: Chuyển điều kiện tốn thành tính chất hình học nào? + CH3: Nêu cách giải cách sử dụng biến đổi đại số? y ♥ Lời giải: 11 Gọi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) có điểm biểu diễn M ( x; y ) Theo giả thiết ta có: z − + i = z − − 3i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − ) + ( y − 3) ∆ 2 ⇔ x − x + + y + y + = x − x + + y − y + ⇔ x + y − 11 = ( Δ ) H O 11 x z = d ( O;Δ ) = 11 ⇒ Đáp án A 68 ♦ Ví dụ 2: Trong tất số phức z thoả mãn hệ thức z − + 3i = Tìm z − − i A B C 10 D ♥ Phân tích: Khi đọc câu hỏi với loại toán ta phải đưa số câu hỏi: + CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường nào? + CH2: Chuyển điều kiện toán thành tính chất hình học nào? + CH3: Nêu cách giải cách sử dụng biến đổi đại số? ♥ Lời giải: Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện tốn Khi từ hệ thức z − + 3i = ta suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện tốn đường trịn tâm I (1; −3) bán kính R = Đặt A(1;1) ⇒ AI = 4, z − − i = MA , z − − i = MA = M A = AI − R = ⇒ chọn đáp án A ♦ Ví dụ 3: Xét số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) thoả mãn z − − 3i = Tính z − z1 + z − z2 = 2a Khi z1 − z2 < 2a đạt giá trị lớn A z B 2c = z1 − z2 C b = a − c D z ♥ Phân tích: Khi đọc câu hỏi với loại toán ta phải đưa số câu hỏi: + CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường nào? + CH2: Chuyển điều kiện tốn thành tính chất hình học nào? + CH3: Nêu cách giải cách sử dụng biến đổi đại số? ♥ Lời giải: Gọi z điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z + + z − = 10 Khi z suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z đường tròn tâm z = x + yi, x, y ∈ ¡ bán kính z + + z − = 10 Đặt c = 3, a = , I trung điểm b = z = Ta thấy A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) lớn O ( 0;0 ) lớn AB = ( hình vẽ) Đường thẳng qua MA + MB = 10 vuông góc với ( MA + MB ) ≤ (1 +1 trình z = 2 ) ( MA + MB ) ⇔ MA + MB ( MA + MB ) ≥ 2 = 50 có phương 50 −9 = Xét hệ phương trình z + + z − = 10 Tức z Vậy P = M − m P = −6 Chọn đáp án D c) Cung cấp hệ thống tập tự luyện, không theo dạng, để học sinh phải tự phân dạng tìm phương pháp giải, yêu câu em làm việc theo nhóm nộp lại kết (Xem chi tiết phần nội dung phụ lục) d) Hướng dẫn học sinh tạo tập cách hoán đổi giả thiết kết luận thay đổi số kiện Phân nhóm giao nhiệm vụ em làm việc theo nhóm để phần mười câu hỏi *Ưu điểm giải pháp mới: + Học sinh củng cố kiến thức cũ liên quan tới phần học, đặc biệt nắm lại kiến thức trọng tâm sử dụng + Ứng với dạng tập, học sinh tích luỹ phương pháp đứng trước toán học sinh có định hướng giải Rèn luyện cho học sinh tư tổng hợp, kĩ xử lí linh hoạt tình kiểu câu hỏi cho dạng khác dạng cách hỏi khác + Hệ thống tập tự luyện giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giải thích hợp cho Rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng linh hoạt, sáng tạo + Cách tạo toán mới, giúp học sinh biết qui lạ quen, chủ động tích cực lĩnh hội kiến thức Học sinh khơng cịn bỡ ngỡ giải toán phần đề thi học sinh giỏi, đề thi Trung học phổ thông quốc gia Học sinh cịn cảm thấy hứng thú tự tập Khi em tự đề toán em nắm vấn đề tốn tốt nhanh chóng đưa lời giải Hơn hết việc làm cịn giúp em hình thành lực hoạt động nhóm, lực sử dụng cơng nghệ thơng tin, lực tổng hợp, phân tích, giải đánh giá vấn đề liên quan đến nội dung chủ đề học C HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI ĐẠT ĐƯỢC Hiệu kinh tế: - Sáng kiến không trực tiếp tạo cải vật chất lại có ý nghĩa kinh tế cao góp phần đào tạo nguồn nhân lực phục vụ lao động sản xuất - Tiết kiệm chi phí mua tài liệu cho học sinh giáo viên, ước tính để học phần kiến thức em muốn mua sách hay học trực tuyến phải khoảng 60.000 đồng, với tài liệu em phô tô 10.000 đồng, tiết kiệm cho em vào khoảng50.000 đồng Nếu nhân với số lượng khoảng 380 em khối 12 trường ta tiết kiệm 19.000.000 đồng, nhân rộng với lượng học sinh khối 12 tồn tỉnh tiết kiệm số tiền khơng nhỏ! - Sáng kiến tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 nhiều năm chúng tơi đặc biệt q trình dạy lớp 12 năm học 2016-2017, 2017 - 2018, năm học mơn Tốn đưa hình thức thi trắc nghiệm vào kì thi Trung học phổ thơng Quốc gia, tin với kinh nghiệm thân giúp thầy em học sinh tiết kiệm nhiều thời gian tìm tài liệu phục vụ cho việc học tập phần Hiệu xã hội: Trong năm học 2017 – 2018chúng áp dụng phần nội dung sáng kiến cho việc giảng dạy hai lớp 12 trường Đối với lớp cịn lại khơng áp dụng sáng kiến điểm Tốn kì thi Trung học phổ thông năm 2017 -2018 cụ thể sau: Lớp Tổng số Điểm TB Số HS điểm Số HS điểm ≥ ≥ 8; < HS lớp 12b2 34 5,93 0 12b3 31 5,46 0 12b4 31 4,07 0 12b5 34 6,73 0 12b7 33 4,15 0 12b8 30 4,82 0 12b9 31 4,25 0 12b10 32 4,41 0 Đối với lớp hai lớp lớp giảng dạy điểm Tốn kì thi Trung học phổ thơng năm 2016 – 2017 cụ thể sau: Lớp Tổng số Điểm TB Số HS điểm Số HS điểm ≥ ≥ 8; < HS lớp 12b1 40 7,43 12b6 35 7,02 Đặc biệt áp dụng phương pháp dạy kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh kì thi giải tốn máy tính cầm tay cấp tỉnh học sinh lớp12 trường dạy đạt số giải 01 giải ba; 01 giải khuyến khích D ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG - Sáng kiến áp dụng giảng dạy mơn Tốn cấp THPT Tỉnh Toàn quốc - Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh - Làm tài liệu tham khảo phương pháp cho môn học khác - Sáng kiến áp dụng giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường chúng tơi giảng dạy * Triển khai giải pháp theo hệ thống vấn đề cụ thể: “CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC” trình bày chi tiết ba phần phụ lục Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG Cung cấp kiến thức liên quan * Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: ax + by + c = (∆ ) * Khoảng cách từ điểm A∉ ∆ tới điểm M ∈ ∆ ngắn M hình chiếu vng góc A lên đường thẳng ∆ Khi AM = d ( A, ∆ ) * z − z ' = MM ' M , M ' điểm biểu diễn số phức Hình thành phương pháp giải TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a; b ) 1   z = z0 = a + b  a b  z= + i  2 TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z − c − di , tìm z Khi ta có Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A ( a; b ) , B ( c; d ) z = d ( O; AB ) = a + b2 − c2 − d 2 ( a − c) +(b−d) • Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng ta cần thực biến đổi để đưa dạng + Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi z − a − bi = z − c − di ⇔ z − a + bi = z − c − di + Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di Khi ta biến đổi iz − a − bi = z − c − di ⇔ z + −a − bi −c − di = z+ ⇔ z + b + = z + d + ci i i Thành lập hệ thống tập vận dụng ● Bài tập tự luận ►Mục đích, yêu cầu loại tập này: - Đưa số tập từ đơn giản tới phức tạp giúp em nắm cách vận dụng kiến thức vừa lĩnh hội, từ linh hoạt vận dụng vào tập - Đưa phân tích, định hướng từ giúp em thấy hướng tư gặp tốn loại để vận dụng vào giải tốt ♦ Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + i = z − − 3i Tính Mơ đun nhỏ số phức z ? ♥ Lời giải: Gọi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) có điểm biểu diễn M ( x; y ) 10 A C B 39 D 39 ♥ Lời giải: Gọi điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn P 39 Khi từ = z + i + 2 suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z đường tròn tâm P ' = z + i + bán kính z1 = − 3i, z2 = −2 + i, z0 = − − i Gọi z0 = z1 + z2 điểm biểu diễn cho số phức 2c = z1 − z2 = ⇒ c = thoả mãn 2 2a = ⇒ a = Khi từ b = a − c = 39 suy tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức max P ' = 4, P ' = 39 đường thẳng max P = 8, P = 39 Khoảng cách từ I đến ∆ d ( I;∆) = −2 + − = >R Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = z − z ' − ≈ 1,54 Chọn đáp án D ♦ Ví dụ 8:Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + − 3i = z2 − − 2i = Tìm giá trị lớn P = z1 − z2 A P = + 34 ♥ Lời giải: Chọn A B P = + 10 C P = D P = 26 Gọi M ( x1 ; y1 ) điểm biều diễn số phức z1 , N ( x2 ; y2 ) điểm biểu diễn số phức z2 2 Số phức z1 thỏa mãn z1 + − 3i = ⇔ ( x1 + ) + ( y1 − 3) = suy M ( x1 ; y1 ) nằm đường tròn tâm I ( −2;3) bán kính R1 = 2 Số phức z2 thỏa mãn z2 − − 2i = ⇔ ( x2 − 1) + ( y1 + ) = suy N ( x2 ; y2 ) nằm đường tròn tâm J ( 1; −2 ) bán kính R2 = Ta có z1 − z = MN đạt giá trị lớn R1 + IJ + R2 = + 34 + = + 34 ♦ Ví dụ 9: Cho số phức z1 = −3i , z2 = + i , z thỏa mãn z − i = Biết biểu thức T = z − z1 + z − z2 đạt giá trị nhỏ z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) Hiệu a − b bằng: − 13 13 − 3 + 13 + 13 B C D − 17 17 17 ♥ Lời giải: Chọn C z − i = , nên điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I ( 0;1) , bán kính R = Gọi A , B hai điểm biểu diễn số phức z2 , z1 ⇒ A ( 4;1) , B ( 0; −3) IM IO = = nên ta có ∆IMO ~∆IBM ( c.g c ) Vì IB IM ⇒ MB = MO A Do MB + 2MA = ( MO + MA ) ≥ 2OA = 17 Dấu xảy O, M , A thẳng hàng Hay ( M ≡ E ) với E giao điểm đoạn OA đường trịn < xM < Toạ độ điểm E nghiệm hệ  + 13  x =  y = x  17 ⇒   y = + 13  x + ( y − 1) =   17 ⇒ a − b = + 13 17 27 Cách2 z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) 2 Theo đề z − i = ⇔ a + ( b − 1) = ⇔ 2b + = a + b ⇔ 6b + = ( a + b ) T = z − z1 + z − z2 ⇒ T = a + ( b + 3) + ⇔ T = a + b + 6b + + ⇒ T = 4a + 4b + ⇔T =2 ( a2 + b2 + ( a − 4) ( − a) ( − a) 2 + ( b − 1) + ( − b) + ( 1− b) ( a − 4) + ( b − 1) 2 ) ≥ (ra + r4 − ar) + ( b + − b ) = 17 r (Áp dụng Kết u + v ≥ u + v ) 2  + 13  − a 1− b a =  = >0   17 b ⇒ ⇒ a − b = + 13 Dấu xảy  a 17 b = + 13  a + ( b − 1) =   17  z − − 2i ≤ ♦ Ví dụ 10: Cho hai số phức z , w thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ  w + + 2i ≤ w − − i Pmin biểu thức P = z − w −2 −2 B Pmin = + C Pmin = 2 ♥ Lời giải: Chọn C Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ( a, b, x, y ∈ ¡ ) Ta có A Pmin = D Pmin = −2 z − − 2i ≤ ⇔ ( a − 3) + ( b − ) ≤ Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hình trịn tâm I ( 3; ) , bán kính R = w + + 2i ≤ w − − i ⇔ ( x + 1) + ( y + ) ≤ ( x − ) + ( y − 1) ⇔ x + y ≤ Suy tập hợp điểm N biểu diễn số phức w nửa mặt phẳng giới hạn đường thẳng ∆ : x + y = (tính bờ đường thẳng) (hình vẽ) y O I x Gọi H hình chiếu I ∆ 5 Khi z − w = MN ≥ d ( I , ∆ ) − R = − Suy Pmin = −1 2 Ta có d ( I , ∆ ) = 28 ♦ Ví dụ 11: Xét số phức z = a + bi ,(a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = a + b 2 Q = z + − 2i + z − + i + z + 2i đạt giá trị lớn A 12 B.14 ♥ Lời giải: Chọn B Từ giả thiết ta có: MI = 5, I(4;3), M(a;b) Nên M ∈ đường tròn tâm I (4;3), R = C 13 Xét biểu thức: Q = z + − 2i + z − + i + z + 2i D 11 ⇒ Q = MA2 + 2MB + 3MC với A(−2;2), B(4; −1),C(0; −2) uur uur uuu r r Chọn J cho JA + JB + 3JC = Dễ dàng tìm tọa độ điểm J (1; −1) , đó: uuur uuur uuuu r2 Q = MA2 + 2MB + 3MC ⇔ Q = MA + 2MB + 3MC = 6MJ + JA2 + JB + 3JC Vậy Q đạt giá trị lớn MJ đạt giá trị lớn Lại có, IJ = (4 − 1) + (3 + 1) = = R ⇒ J ∈ C (I,5) Vậy Qmax MJ đường kính Khi đó, M (7;7) ⇒ z = + 7i ⇒ P = + = 14 ♦ Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z − + 4i = w = 2z + − i Khi w có giá trị lớn là: A 16 + 74 ♥ Lời giải: Chọn C B + 130 C + 130 D + 74 Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Ta có: z − + 4i ) biểu diễn điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy 2 = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) i = ⇔ ( x − ) + ( y + ) = ⇒ M ∈ đường trịn ( C ) có tâm I ( 3; −4 ) bán kính R =  1  1  1   Xét w = 2z + − i =  x + yi + − i ÷ =  x + ÷+  y − ÷i  2  2  2    2  1 1  1  ⇒ w =  x + ÷ +  y − ÷ = 2AM Với A  − ; ÷  2 2  2  Gọi H hình chiếu I AB { B, C} = ( C ) ∩ AI ( AC > AB ) Ta có: 29  AM = AH + HM  ⇒ AM ≤ AI + R ⇒ w ≤ ( AI + R ) = + 130  AH ≤ AI  HM ≤ R  Dấu " = " xảy M ≡ C Vậy Max w = + 130 Cách Ta có w = 2z + − i ⇔ z = Nên z − + 4i = ⇔ w − (1− i) w − ( 1− i) − + 4i = ⇔ w − + 9i = Gọi E ( w ) ⇒E thuộc đường tròn ( T ) tâm J ( 7; −9 ) bán kính R = Khi Max W = Max ( OM ) = OJ + R = + 130 ♦ Ví dụ 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − 3i + = iz2 − + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z2 A 313 + 16 B 313 C 313 + D 313 + ♥ Lời giải: Chọn A Ta có z1 − 3i + = ⇔ 2iz1 + + 10i = ( 1) ; iz2 − + 2i = ⇔ ( −3 z2 ) − − 3i = 12 ( ) Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức −3z2 Từ ( 1) ( ) suy điểm A nằm đường tròn tâm I1 ( −6; −10 ) bán kính R1 = ; điểm B nằm đường tròn tâm I ( 6;3) bán kính R2 = 12 Ta có T = 2iz1 + 3z2 = AB ≤ I1I + R1 + R2 = 122 + 132 + + 12 = 313 + 16 Vậy max T = 313 + 16 ♦ Ví dụ 14:Cho số phức z , w thỏa mãn z − + 3i = , iw + + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 3iz + w A 554 + ♥ Lời giải: B 578 + 13 C 578 + D 554 + 13 Chọn D 30 z − + 3i = ⇒ 3iz − 15i − = đường trịn có tâm I ( 9;15 ) R = iw + + 2i = ⇒ w − 8i + = đường trịn có tâm J ( 4; −8 ) R ′ = T = 3iz + 2w đạt giá trị lớn T = IJ + R + R ′ = 554 + 13 ♦ Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn z − − i = , số phức w thỏa mãn w − − 3i = Tìm giá trị nhỏ z − w A 13 − ♥ Lời giải: B 17 − C 17 + D 13 + Chọn B Gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + iy M thuộc đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( 1;1) , bán kính R1 = N ( x′; y′ ) biểu diễn số phức w = x′ + iy ′ N thuộc đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 2; −3) , bán kính R2 = Giá trị nhỏ z − w giá trị nhỏ đoạn MN uuur Ta có I1 I = ( 1; −4 ) ⇒ I1I = 17 > R1 + R2 ⇒ ( C1 ) ( C2 ) ⇒ MN = I1I − R1 − R2 = 17 − ♦ Ví dụ 16: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 12 z2 − − 4i = Giá trị nhỏ z1 − z2 là: A B C D 17 ♥ Lời giải: Chọn B Gọi z1 = x1 + y1i z2 = x2 + y2i , x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R ;đồng thời M ( x1; y1 ) M ( x2 ; y2 ) điểm biểu diễn số phức z1 , z2  x12 + y12 = 144 Theo giả thiết, ta có:  2 ( x2 − 3) + ( y2 − ) = 25 Do M thuộc đường trịn ( C1 ) có tâm O ( 0;0 ) bán kính R1 = 12 , M thuộc đường tròn ( C2 ) có tâm I ( 3; ) bán kính R2 = O ∈ ( C2 ) nên ( C2 ) chứa ( C1 ) OI = < = R1 − R2 Mặt khác, ta có  Khi z1 − z2 = M 1M Suy z1 − z2 ⇔ ( M 1M ) ⇔ M 1M = R1 − R2 = 31 ♦ Ví dụ 17:Cho số phức w , z thỏa mãn w + i = 5w = ( + i ) ( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i A B + 13 C 53 D 13 ♥ Lời giải: Chọn C Gọi z = x + yi , với x, y ∈ R Khi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z Theo giả thiết, 5w = ( + i ) ( z − ) ⇔ ( w + i ) = ( + i ) ( z − ) + 5i ⇔ ( − i ) ( w + i ) = z − + 2i ⇔ z − + 2i = Suy M ( x; y ) thuộc đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 2 Ta có P = z − − 2i + z − − 2i = MA + MB , với A ( 1; ) B ( 5; ) Gọi H trung điểm AB , ta có H ( 3; ) đó: P = MA + MB ≤ ( MA2 + MB ) hay P ≤ MH + AB Mặt khác, MH ≤ KH với M ∈ ( C ) nên P ≤ KH + AB = ( IH + R ) + AB = 53 M ≡ K 11 hay z = − 5i w = − i 5  MA = MB Vậy Pmax = 53  ♦ Ví dụ 18: Tìm số phức z thỏa mãn z − − i = biểu thức T = z − − 9i + z − 8i đạt giá trị nhỏ A z = − 2i B z = + 6i C z = + 6i z = − 2i D z = + 5i ♥ Lời giải: Chọn B Từ giả thiết z − − i = suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I ( 1;1) , bán kính R = 32 Xét điểm A ( 7;9 ) B ( 0;8) Ta thấy IA = 10 = 2.IM 5  Gọi K điểm tia IA cho IK = IA ⇒ K =  ;3 ÷ 2  IM IK · = = , góc MIK chung ⇒ ∆IKM ∽ ∆IMA ( c.g.c ) IA IM MK IK ⇒ = = ⇒ MA = 2.MK MA IM Lại có: T = z − − 9i + z − 8i = MA + 2.MB = ( MK + MB ) ≥ 2.BK = 5 ⇒ Tmin = 5 ⇔ M = BK ∩ ( C ) , M nằm B K ⇒ < xM < Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x + y − = Do  x =  2 x + y − = y = ⇒ M = ( 1; ) ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  2  x = ( x − 1) + ( y − 1) = 25    y = −2 Vậy z = + 6i số phức cần tìm Hướng dẫn học sinh cách tự đề ● Bài tập củng cố Câu 1: Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = Mô đun lớn số phức z A B C D Câu 2: Cho số phức z thoả mãn −iz + = Gọi m,M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = z Tính S = 2020 − M + m A S = 2014 B S = 2016 C S = 2018 D S = 2020 Câu 3: Xét số phức z thoả mãn z − − 3i = , giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + − i A 13 + 13 − B 13 + 13 − C D 13 + 13 − Câu 4: Xét số phức z; w thoả mãn (1+ i) z + = 1− i w = iz Giá trị lớn biểu thức P = z − w A B C D 3 Câu 5: Xét số phức z1; z2 thoả mãn z1 − + i = z2 = 2iz1 Giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 A − B − 2 C − 2 D − Câu 6: Cho số phức z thoả mãn z số thực w = z số thực Tìm giá + z2 trị lớn biểu thức P = z + − i 33 A Pmax = B Pmax = D Pmax = C Pmax = 2 Câu 7: Xét số phức z thoả mãn z ≥ Biểu thức P = z +i đạt giá trị nhỏ z giá trị lớn z1; z2 Tìm phần ảo a số phức w=z1 + z2 A a = −4 B a = C a = D a = Câu 8: Xét số phức z thoả mãn z = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 9+4 10 + 34 25 + 34 C D 9 Câu 9:Xét hai số phức z1; z2 thay đổi thoả mãn z1 − z2 = z1 + z2 + − 2i = Gọi A 5+3 2z + i M Tỉ số z−2 m B A, B giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức z1 + z2 Khi A + B A 20 B 24 C 28 D 32 Câu 10: Xét số phức z, w thoả mãn z = w = (4 − 3i ) + − 2i Giá trị nhỏ w A B C 5 D Câu 11: Xét số phức z thoả mãn z + z + z − z = z Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i A + B + C + D + 2 Câu 12: Xét số phức z1 thoả mãn z1 − − z1 + i = số phức z2 thoả mãn z2 − − i = Giá trị nhỏ P = z1 − z2 5 D 5 Câu 13:Xét số phức z thoả mãn x − 2i ≤ z − 4i z − − 3i = A B C Giá trị lớn biểu thức P = z − + A + B 10 C 10 + D 13 + Câu 14: Xét số phức z thoả mãn z − − 3i = 13 Gọi m, M giá trị nhỏ 2 giá trị lớn biểu thức P = z + − z − 3i Tổng m + M A.10 B 25 C 34 D 40 34 Câu 15: Xét số phức z thoả mãn z + = + 2i Giá trị nhỏ biểu thức P = z − − 2i + z − − 4i + z − − 6i viết dạng a b ( với a phân số tối b giản) Giá trị a + b A.10 B.11 C.12 D.17 Phụ lục BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP Cung cấp kiến thức liên quan * Tập điểm M mặt phẳng thỏa mãn tính chất MF1 + MF2 = m ( m > ) Trong đó: TH1: F1 ( −c;0 ) ; F2 ( c;0 ) với 2c < m Elip nhận F1 , F2 hai tiêu điểm, có phương trình m x2 y2 + = với a = ; b = a − c 2 a b TH2: F1 ( 0; −c ) ; F2 ( 0; c ) với 2c < m Elip nhận F1 , F2 hai tiêu điểm, có phương trình tắc dạng: m x2 y2 tắc dạng: + = với b = ; a = b − c a b Hình thành phương pháp giải Bước Từ giả thiết tìm tập điểm biểu diễn số phức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bước Chuyển tốn cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tập số phức tốn hình học phẳng Bước Áp dụng tính chất hình học phẳng để giải toán Một số toán thường gặp: Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = 2a với z1 − z2 < 2a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z PP: Tìm 2c = z1 − z2 từ tính b = a − c > Khi Max z =a, Min z = b Bài toán 2: Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = 2a với z1 − z2 < 2a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = z − z0 PP: Kiểm tra - Nếu M ( z0 ) trung điểm M ( z1 ) M ( z2 ) Max P = a, Min P = b - Nếu M ( z0 ) , M ( z1 ), M ( z2 ) thẳng hàng M ( z0 ) nằm ngồi Elip maxP = a + IM ( z0 ) minP = IM ( z0 ) − a - Nếu M ( z0 ) , M ( z1 ), M ( z2 ) thẳng hàng M ( z0 ) nằm Elip maxP = a + IM ( z0 ) không tồn giá trị nhỏ P 35 - Nếu M ( z0 ) thuộc đường trung trực đoạn thẳng M ( z1 ) M ( z2 ) minP = IM ( z0 ) − b không tồn giá trị lớn P Với I tâm Elip Cung cấp tập vận dụng ♦ Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 Giá trị nhỏ z A ♥ Lời giải: B C D Cách 1:Gọi số phức z = x + yi , x, y ∈ ¡ Ta có z + + z − = 10 suy c = 3, a = b=4 Theo hình vẽ z = Đáp án B Cách 2: Gọi A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) có trung điểm O ( 0;0 ) M điểm biểu diễn số phức z, AB = Áp dụng hệ thức lượng tam giác MAB, đường trung tuyến MO, ta có MA2 + MB AB MA2 + MB z = MO = − = −9 Mà theo giả thiết ta có MA + MB = 10 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky: 2 ( MA + MB ) ≤ ( +1 2 ) ( MA + MB ) ⇔ MA + MB ( MA + MB ) ≥ 2 = 50 Do 50 −9 = Ta thấy sử dụng phương pháp hình học lời giải ngắn gọn rễ hiểu nhiều so với sử dụng cực trị đại số ♦ Ví dụ 2: Trong tất số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 Gọi M, m z = giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi , giá trị biểu thức P = M − m A P = −6 B P = −13 C P = −5 D P = −4 ♥ Lời giải: 36 Ta có z + + z − = 10 nên a = 5, c = ⇒ b = a − c = Vậy M = a = 5, m = b = Suy P = M − m = −4 ♦ Ví dụ 3: Trong số phức z thỏa mãn z − 3i + iz + = 10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B −25 ♥ Lời giải: D −16 C.16 Trước tiên ta biến đổi điều kiện z − 3i + iz + = 10 dạng quen thuộc z + 3i + z − 3i = 10 nên ta có: a = 5, c = 3, b = Lưu ý trường hợp Elip đứng nên z1 , z2 ∈ y nên z1 = −4, z2 = nên z1 z2 = −16 ♦ Ví dụ 4: Xét số phức z thỏ mãn z + − i + z − + i = tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + + 4i A − ♥ Lời giải: B − C −2 D − Ta có : a = 3, c = 2, b = Gọi z0 = −1 − 4i, z1 = −1 + i, z2 = − i z0 − z1 = z0 − z2 nên P = IM(z ) − b = − ♦ Ví dụ 5:Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i + z + − i = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = z + + 2i A 39 B 39 C 39 D 39 ♥ Lời giải: Ta có P = z + + 2i ⇒ P = z +i + 2 z +z Ta chọn z1 = − 3i, z2 = −2 + i , z0 = − − i Do z0 = 2 Ta có 2c = z1 − z2 = ⇒ c = ; 2a = ⇒ a = 39 Khi b = a − c = 39 ⇒max P ' = 4, P ' = ⇒max P = 8, P = 39 Đáp án A ♦ Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Gọi M , m giá trị lớn Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P ' = z + i + nhất, giá trị nhỏ z Tính M + m ? 37 17 B M + m = C M + m = D M + m = ♥ Lời giải: Chọn D Gọi M ( x; y ) , F1 ( −2;0 ) , F1 ( 2;0 ) biểu diễn cho số phức z , −2 , Ta có MF1 + MF2 = ⇒ M chạy Elip có trục lớn 2a = , trục nhỏ 25 2b = − = Mà z = OM Do giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z M = ; m = 2 Suy M + m = A M + m = Hướng dẫn học sinh cách tự đề ● Bài tập củng cố Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Tìm giá trị lớn z − A.10 B 11 C D Câu 2:Cho số phức z thỏa mãn z + + z − = Gọi m = z M = max z , M n bằng: A B C 3 D Câu 3: Xét số phức thỏa mãn z − 10i = 24 + (i + i )(i + 1) z + 5i Tìm giá trị lớn M, giá trị nhỏ m z A M = 5, m = B M = 6, m = 11 C M = 6, m = Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn iz + M n bằng: A B 2 D M = 5, m = 12 2 + iz − = Gọi m = z M = max z , 1− i 1− i C D Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn ( z + 2)i + + ( z − 2)i − = 10 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính tổng S = M + m A S = 17 B S = 21 C S = D S = 38 KẾT LUẬN Một viên kim cương chưa đẹp chưa mài dũa tạo hình cho Một toán thú vị nhiều ta hiểu sâu sắc cách giải biết vận dụng vào giải tình thực tế sống Trên kinh nghiệm chúng tơi tích lũy nhiều năm liên tục giảng dạy lớp 12 Hi vọng phần sáng kiến giúp ích phần cho thầy em q trình dạy học Do điều kiện thời gian trình độ có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ anh chị em đồng nghiệp em học sinh để phần nội dung sáng kiến hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số giải tích 12 ban ban nâng cao Đề thi tuyển sinh đại học năm Đề thi thử trường nước năm học 2016 – 2017, 2017 – 2018 Tài liệu số phức tác giả Hoàng Văn Minh Tài liệu tích phân ứng dụng tác giả Phan Huy Khải Rèn luyện giải toán đại số giải tích 12 tác giả Dương Bửu Lộc Giải Tốn đại số giải tích12 tác giả Lê Hồng Đức Các nguồn tài liệu khác mạng internet 40 ... giảng dạy * Triển khai giải pháp theo hệ thống vấn đề cụ thể: “CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC”... lượng giáo dục tỉnh Ninh Bình - Tên sáng kiến: ? ?Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng hình học phẳng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số phức ” - Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học mơn... diễn số phức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bước Chuyển toán cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tập số phức tốn hình học phẳng Bước Áp dụng tính chất hình học phẳng để giải toán Cung cấp tập vận dụng