Sử dụng kiến thức hình học để giải một số bài toán liên qua đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức

A PHẦN MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông, chương số phức đưa vào cuối chương trình Giải tích lớp 12, việc làm quen giải toán số phức nhiều học sinh điều mẻ Nhiều học sinh chưa thực hiểu sâu sắc khái niệm số phức, biểu diễn hình học số phức, ý nghĩa hình học phép toán số phức, giải toán số phức mức độ vận dụng, vận dụng cao, đặc biệt toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức thực gặp khó khăn Với việc đổi hình thức thi môn toán kỳ thi, đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia từ năm học 2016 – 2017, đề toán minh họa Bộ Giáo dục & Đào tạo, đề thi khảo sát chất lượng tỉnh, nhà trường, số lượng câu hỏi mức độ vận dụng, vận dụng cao liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức phổ biến Học sinh tiếp cận giải toán dạng lung túng, gặp nhiều khó khăn Căn kế hoạch chuyên môn trường THPT Tống Duy Tân năm học 20162017 Căn nhiệm vụ giao Năm học 2016-2017, với cương vị vừa Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn nhà trường, vừa phụ trách dạy môn toán lớp 12 A, lớp học ban khoa học có môn tự chọn nâng cao Toán, Vật lý Hóa học, cố gắng trau dồi kinh nghiệm chuyên môn, trao đổi đồng nghiệp, tìm tòi đổi phương pháp giảng dạy để nâng cao hiệu dạy học cho học sinh, giúp em hình thành phát huy tốt phẩm chất lực toán học Trong mảng kiến thức số phức với khó khăn mà học sinh gặp phải giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn môđun số phức đặt cho đồng nghiệp trường yêu cầu tìm phương pháp giải vừa hiệu quả, vừa phát huy lực tư toán học, chuẩn bị tốt cho kỳ thi, trước mắt thi THPT Quốc gia năm 2017 Để giúp em hiểu sâu sắc ý nghĩa hình học số phức, mối liên hệ yếu tố hình học với toán số phức dạng này, phát chất hình học toán để giải có hiệu quả, mạnh dạn đề xuất vấn đề: “Sử dụng kiến thức hình học để giải số toán liên quan đến giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài “Sử dụng kiến thức hình học để giải số toán liên quan đến giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức” nhằm giúp học sinh nắm vững chất hình học số phức, rèn kỹ vận dụng tính chất mối quan hệ hình học để giải toán giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức Qua nhằm phát triển lực tư logic, tư hình học sáng tạo cho học sinh, từ nâng cao chất lượng học tập học sinh, tạo tự tin hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi phương pháp giảng dạy môn theo hướng phát huy phẩm chất lực học sinh Nội dung vấn đề nghiên cứu đề tài đề cập đến kiến thức hình học phẳng, học sinh có kiến thức trung bình trở lên nghiên cứu vận dụng Việc nghiên cứu đề tài nhằm thêm mục đích tạo nội dung sinh hoạt chuyên môn, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp hướng, cách thức giải toán tương đối khó số phức III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu chất hình học toán số phức - Các tính chất mối quan hệ yếu tố hình học đối tượng, đường mặt phẳng - Sự liên hệ, ý nghĩa hình học phép toán số phức - Cách vận dụng kiến thức hình học vào giải toán giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức quy trình vận dụng để giải toán IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Nghiên cứu Định nghĩa, khái niệm số phức, phép toán số phức, biểu diễn hình học số phức, số phức liên hợp môđun số phức - Củng cố khái niệm, tính chất đối tượng hình học, đường mặt phẳng, yếu tố hình học góc, khoảng cách, quỹ tích điểm hình học phẳng - Mối quan hệ tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức với yêu cầu toán số phức 2 Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lý số liệu - Thu thập thông tin qua việc giao nhiệm vụ cho học sinh thông qua đề tập giao nhà cho học sinh tập vận dụng lớp - Thống kê số liệu học sinh mức độ hoàn thành nhiệm vụ, khả vận dụng nội dung sáng kiến, từ đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Lấy ý kiến phản biện từ đồng nghiệp - Điều chỉnh nội dung, phương pháp để hoàn thiện với hiệu cao B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Chủ trương, sách Đảng, quan điểm đạo ngành giáo dục - Nghị số 29-NQ/TW Hội nghị trung ương khóa XI đổi toàn diện giáo dục đào tạo xác định rõ mục tiêu cụ thể giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, bồi dưỡng lực cho học sinh… - Chỉ đạo ngành giáo dục xây dựng ma trận đề thi với cấp độ tư duy: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng bản, vận dụng nâng cao - Phương án thi THPT Quốc gia năm 2017 có nhiều thay đổi so với trước đây, đặc biệt môn toán thi theo hình thức trắc nghiệm, nội dung kiến thức chương trình lớp 12 - Quy chế thi THPT Quốc gia ban hành kèm theo Thông tư 04/2017/TTBGDĐT, ngày 25 tháng năm 2017 Các kiến thức liên quan 2.1 Một số Định nghĩa, khái niệm [ 1] 2.1.1 Định nghĩa Một số phức biểu thức dạng a + bi , a b số thực số i thỏa mãn i = −1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức ký hiệu £ Chú ý: Số phức z = a + 0i có phần ảo coi số thực viết a + 0i = a ∈ ¡ ⊂ £ Số phức có phần thực gọi số ảo (còn gọi số ảo): z = + bi = bi (b ∈ ¡ ); i = + 1i = 1i Số = + 0i = 0i vừa số thực vừa số ảo 2.1.2 Định nghĩa Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) , z ' = a '+ b ' i (a ', b ' ∈ ¡ ) gọi a = a ', b = b ' Khi ta viết z = z ' 2.1.3 Biểu diễn hình học số phức Đối với số phức, xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) biểu diễn điểm M có tọa độ (a; b) Ngược lại, điểm M (a; b) biểu diễn số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số ; điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực (trục Ox gọi trục thực); điểm trục Oy biểu diễn số ảo (trục Oy gọi trục ảo) Trong toàn nội dung đề tài này, tập hợp điểm nhắc đến xét mặt phẳng phức 2.1.4 Định nghĩa Số phức liên hợp z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) a − bi (a, b ∈ ¡ ) ký hiệu z 2.1.5 Định nghĩa Môđun số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) số thực không âm a + b ký hiệu z 2.2 Các đường mặt phẳng phương trình chúng mặt phẳng tọa độ Oxy [ 4] - Phương trình tổng quát đường thẳng: ax + by + c = (a + b > 0) - Tập hợp điểm M ( x; y ) mặt phẳng cách điểm I (a; b) cố định khoảng không đổi R đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R Phương trình đường tròn: x + y − 2ax − 2by + c = (a + b − c > 0) (tâm I (a; b) , bán kính R = a + b − c ) - Tập hợp điểm M ( x; y ) mặt phẳng thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a , F1 , F2 cố định, F1F2 = 2c ( a, c không đổi, a > c > 0) gọi đường elíp; F1 , F2 tiêu điểm Phương trình tắc elíp: x2 y + =1 a b2 (b = a − c , b > 0) Trục Ox gọi trục lớn, trục Oy gọi trục bé - Tập hợp điểm M ( x; y ) mặt phẳng thỏa mãn MF1 − MF2 = 2a , F1 , F2 cố định, F1F2 = 2c ( a, c không đổi, < a < c) gọi đường hypebol; F1 , F2 tiêu điểm Phương trình tắc hypebol: x2 y − =1 a2 b2 (b = c − a , b > 0) Trục Ox gọi trục thực, trục Oy gọi trục ảo hypebol 2.3 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng [ 4] d ( M ; ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 , M ( x0 ; y0 ) , Đường thẳng (∆) có phương trình: ax + by + c = II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi gặp toán liên quan đến giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức, học sinh thường lung túng khó khăn việc định hướng lời giải Đối với học sinh có lực học từ trung bình trở xuống không làm Đối với học sinh trở lên, em thường biến đổi cách mò mẫm, thiếu tính định hướng Số học sinh trở lên có kỹ biến đổi tốt thường sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức môđun, bất đẳng thức Bunhiacopski… Một số học sinh cố gắng quy tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Hầu hết em thấy toán dạng khó, ngại làm Cách làm số em mang đến kết khó khăn không nắm chất hình học toán, thiếu tính tư mạch lạc quan trọng mang tính tức thời, thiếu tính định hướng chung quy trình rõ ràng III CÁC GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Sử dụng kiến thức hình học giải số toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn môđun số phức, mức độ vận dụng Ví dụ Trong số phức thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Số phức z có môđun nhỏ A z = −1 + i B z = −2 + 2i C z = + 2i D z = + 2i Lời giải vắn tắt: (Hình 1) Gọi số phức z có dạng z = x + yi , với x, y ∈ ¡ Giả sử z thỏa mãn điều kiện đề bài, ta có x − + (y− 4)i = x + (y − 2)i ⇔ x + y − = (d) Số phức z có mô đun nhỏ ứng với điểm M ( x; y ) biểu diễn z hình chiếu điểm O đường thẳng (d) Phương trình đường thẳng qua O vuông góc với d là: y = x Tọa độ điểm M nghiệm hệ y y = x phương trình  x + y = M x O x = Giải hệ ta  y = Hình Vậy z = + 2i , chọn đáp án C Nhận xét 1: - Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − z1 = z − z2 ( z1 , z2 cho trước) đường thẳng Cụ thể: Nếu gọi A, B biểu diễn số phức z1 z2 điều kiện cho tương đương với MA = MB, nên tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB - Cho tập hợp số phức z biểu diễn điểm M đường thẳng d Khi để z nhỏ M hình chiếu điểm O đường thẳng d Min z = d (O; d ) ; Ví dụ Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = Các giá trị nhỏ nhất, lớn P = z là: A B C D Đáp án khác Lời giải vắn tắt: (Hình 2) Gọi số phức z có dạng z = x + yi , với x, y ∈ ¡ Giả sử z thỏa mãn điều kiện đề bài, ta có x − + (y− 4)i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = suy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi nằm đường tròn tâm I (2; 4) , bán kính R = y M2 I M1 O x Hình Do MinP = OI − R = − = MaxP = OI + R = + = Vậy chọn đáp án C Nhận xét 2: - Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − z0 = k (với k > , z0 = x0 + y0i cho trước) đường tròn tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R=k - Cho tập hợp số phức z biểu diễn điểm M đường tròn C ( I ; R ) Khi để z nhỏ nhất, lớn điểm O, I , M thẳng hàng Min z = OI − R ; Max z = OI + R Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 10 , giá trị lớn nhỏ z là: A 10 Lời giải vắn tắt: B C D Trong mặt phẳng phức, Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z , F1 (4;0) , F2 (−4;0) ta có z − + z + = 10 tương đương với MF1 + MF2 = 10 > F1F2 = Do điểm M nằm đường elíp có hai tiêu điểm F1 (4;0) , F2 (−4;0) a = 5, c = ⇒ b = Phương trình elíp x2 y2 + = Do z đạt giá trị lớn 25 M ≡ A(5;0) , M ≡ A '(−5;0) , Max z = ; z đạt giá trị nhỏ M ≡ B(3;0) , M ≡ B '(−3;0) , Min z = Vậy ta chọn đáp án D Nhận xét 3: - Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − c + z + c = 2a (a>c>0) đường elíp - Cho tập hợp số phức z biểu diễn điểm M đường elíp x2 y + = có đỉnh thuộc trục lớn A(a;0) A '(−a;0) , đỉnh thuộc a b2 trục nhỏ B(b;0) B'( − b;0) , (E): Để z nhỏ M trùng với B B ' Min z = OB = b Để z lớn M trùng với A A' Max z = OA = a Ví dụ Trong số phức z thỏa mãn z − − z + = Số phức có môđun nhỏ là: A z = − 3i B z = −1 + 3i C z = D z = + i Lời giải vắn tắt: Trong mặt phẳng phức, Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z , F1 (2;0) , F2 (−2;0) ta có z − − z + = tương đương với MF1 − MF2 = < F1F2 = Do điểm M nằm đường hypebol có hai tiêu điểm F1 (2;0) , F2 (−2;0) x2 y2 − = z đạt giá trị nhỏ a = 1, c = ⇒ b = Phương trình hypebol M ≡ A(1;0) , M ≡ A '(−1;0) , Min z = Vậy ta chọn đáp án C Nhận xét 4: - Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − c − z + c = 2a (c>a>0) đường hypebol - Cho tập hợp số phức z biểu diễn điểm M đường x2 y hypebol (H): − = có đỉnh thuộc trục thực A(a;0) A '(−a;0) , a b để z nhỏ M trùng với A A' Min z = OA = a Một số toán mức độ khó Ví dụ Với số phức z thỏa mãn điều kiện (i + 1) z + − 7i = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun z A B Lời giải vắn tắt: C Ta có (i + 1) z + − 7i = ⇔ i + z + D − 7i = ⇔ z − (3 + 4i ) = i +1 Gọi số phức z có dạng z = x + yi , với x, y ∈ ¡ Giả sử z thỏa mãn điều kiện 2 đề bài, ta có x − + (y− 4)i = ⇔ ( x − 3) + ( y − 4) = suy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi nằm đường tròn tâm I (3;4) , bán kính R = Khi ta có Min z = OI − R = − = Max z = OI + R = + = Đáp án D Nhận xét 5: Thực chất toán dạng toán tương tự ví dụ 2, nhiên học sinh cần có kỹ biến đổi để đưa điều kiện toán dạng quen thuộc, tương tự với điều kiện ví dụ Ví dụ Trong số phức thỏa mãn z −1 −2i =1 , tìm giá trị lớn nhỏ P = z − + i Lời giải vắn tắt: (Hình 3) Gọi I (1;2) , N (5; −1) biểu diễn số phức z1 = + 2i , z2 = − i , M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, yy ∈ ¡ ) thỏa mãn điều kiện đề Ta có điểm M nằm đường tròn tâm I(1;2), bán kính r1 = M1 I M2 O -1 x N 10 Hình Đặt r2 = IN = , ta có P = z − + i = MN Do MaxP = M N = r1 + r2 = MinP = M N = r1 − r2 = Nhận xét 6: Qua ví dụ 2, ví dụ ví dụ 6, ta hoàn toàn giải toán tổng quát sau đây: Bài toán tổng quát Trong số phức thỏa mãn z − z1 = r , tìm giá trị lớn nhỏ P = z − z2 (ở z1 , z2 số phức cho trước, r số không đổi) Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z − 4i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = iz + Lời giải vắn tắt: Ta có P = iz + = i z + = z − i Gọi I (−2;2) , N (0;4) biểu diễn i số phức z1 = −2 + 2i , z2 = 4i , M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn điều kiện đề Khi đó, từ điều kiện đề ta suy điểm M nằm đường thẳng trung trực đoạn thẳng IN Đường trung trực IN có phương trình x + y − = (∆) Gọi K(0;1) P = z − i = MK Do vậy, MinP = d ( K ; ∆) = Nhận xét 7: Qua ví dụ ví dụ , ta hoàn toàn giải toán tổng quát sau đây: Bài toán tổng quát 11 Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = z − z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − z3 Ví dụ Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z − − i = w + − 2i = w + 2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − w Lời giải vắn tắt: (Hình 4) Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z , w ; Điểm I(2;1), A(−4;2) , B (0; −2) , tập hợp điểm M nằm đường tròn C(I; R), R = 1; tập hợp điểm N nằm đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB Phương trình đường tròn C: ( x − 2) + ( y − 1) = ; Phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB là: x − y + = (d) Vì d ( I ;d) = >1= R suy C ∩ d = ∅ P = z − w = MN N d M nên MinP = d ( I ;d) − R = −1 I Hình Ví dụ Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z + − 2i = w - + 2i = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = z − w Lời giải vắn tắt: (Hình 5) Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z , w , M, N nằm đường tròn C(I; R), C’(I’; R’) với I(-1; 2), R=2, I’(4; -2), R’=1 Kiểm tra II’ > R + R’, nên đường tròn C C’ nằm Ta có P = z − w = MN nên suy M MinP = II '− ( R + R ') = 41 − , MaxP = II '+ ( R + R ') = 41 + N I I' 12 Hình Nhận xét 8: Qua ví dụ ví dụ ta thấy, tập hợp điểm M, N biểu diễn số phức z , w đường tròn đường thẳng đường tròn đường tròn việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = z − w kiến thức hình học đơn giản hiệu Sau ta xét thêm số ví dụ phức tạp để thấy hiệu việc sử dụng kiến thức hình học việc giải toán khó số phức Ví dụ 10 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i + z − + 2i = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = z Lời giải vắn tắt: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , F1 (−1;2), F2 (1; −2) , F1 , F2 đối xứng qua gốc tọa độ O điều kiện cho tương đương với MF1 + MF2 = , mà F1F2 = < , suy tập hợp điểm M đường elíp có tiêu điểm F1 , F2 , tâm đối xứng gốc O Ta có a = 3, c = ⇒ b = MaxP = a = MinP = b = Ví dụ 11 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i) z + − 2i + (1 − i ) z − + 2i = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = z Lời giải vắn tắt: Điều kiện cho tương đương với z − 3 − i + z + + i = 10 Gọi M 2 2 3 điểm biểu diễn số phức z , F1 ( ; ), F2 (− ; − ) , F1 , F2 đối xứng qua gốc tọa 2 2 độ O điều kiện cho tương đương với MF1 + MF2 = 10 , mà F1F2 = 10 ⇒ MF1 + MF2 = F1F2 , tập hợp điểm M đoạn thẳng F1F2 Vậy nên MaxP = OF1 = , MinP = Ví dụ 12 (Đề minh họa thi THPTQG 2017 Bộ GD & ĐT) 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z − + i Tính P = m + M A P = 13 + 73 B P = + 73 C P = + 73 D P = + 73 Lời giải vắn tắt: (Hình 6) Gọi N điểm biểu diễn số phức z , F1 (−2;1), F2 (4;7) Q(1; −1) Từ điều kiện cho ta có NF1 + NF2 = = F1F2 nên N nằm đoạn thẳng F1F2 Gọi H 3 hình chiếu Q F1F2 ta có H ( − ; ) 2 Ta lại có NQ = z − + i m = Min( NQ ) = QH = y F2 , M = Max( NQ) = QF2 = 73 + 73 Vậy ta chọn đáp án B Từ suy P = H F1 -2 O -1 x Q Hình Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + + z − = 10 Tìm giá trị nhỏ P = z Lời giải vắn tắt: Trong mặt phẳng phức Oxy, gọi M điểm biểu diễn số phức z , A( −1;0), B(1;0) , O trung điểm AB điều kiện cho tương đương với 3MA + MB = 10 Áp dụng công thức trung tuyến ta có OM = MA2 + MB AB − (*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có 14 100 = (3MA + 4MB ) ≤ (32 + 42 )( MA2 + MB ) ⇒ MA2 + MB ≥ , mặt khác AB = thay vào (*) ta suy OM ≥ 4 − , tức OM ≥ suy OM ≥ Dấu “=”  MA MB =  xảy  giải ta 3MA + MB = 10  MA =    MB =  Vậy MinP = Ví dụ 14 Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 2 z − (3 + 4i) = P = z + − z − i đạt giá trị lớn Tính z Lời giải vắn tắt: Gọi M điểm biểu diễn số phức z = x + yi Vì z thỏa mãn điều kiện z − (3 + 4i) = nên điểm M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 4), bán kính R = 2 2 Mặt khác ta có P = z + − z − i = ( x + 2) + y −  x + ( y − 1)  ⇔ P = x + y + điểm M thuộc đường thẳng (d): x + y + − P = Vậy M ∈ (C ) ∩ (d ) Để tồn điểm M d ( I ; d ) ≤ R ⇔ ⇔ 23 − P 20 23 − P 20 ≤ ≤ ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 4 x + y − 30 = P = 33 x, y thỏa mãn hệ phương trình  2 ( x − 3) + ( y − 4) =  x = Giải hệ ta  Vậy MaxP = 33 , z = 52 + (−5) = y = −  Nhận xét 9: 15 - Qua ví dụ ta thấy, để giúp học sinh vận dụng kiến thức hình học để giải toán số phức, giáo viên cần lưu ý hướng dẫn học sinh nắm quy trình thực sau: + Từ điều kiện đề cho, xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức tập nào? (xác định chất hình học toán) + Biểu diễn minh họa hình vẽ trực quan (nếu cần) + Huy động vận dụng kiến thức hình học để giải toán theo yêu cầu - Kiến thức hình học cần vận dụng để giải toán dạng chủ yếu tập trung vào mối quan hệ, vị trí tương đối, khoảng cách…của đối tượng hình học đường mặt phẳng như: Điểm, đường thẳng, đường tròn, E líp, Hypebol… - Ngoài cần lưu ý tới bất đẳng thức thường gặp cần dùng tới bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối (môđun), bất đẳng thức véc tơ… IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Trong trình triển khai nghiên cứu viết sáng kiến kinh nghiệm này, thực việc thu thập thông tin kiểm chứng từ học sinh lớp 12A Giao nhiệm vụ giải số toán tương tự dạng thu kết sau: Trước định hướng sử dụng kiến thức hình học: - Số học sinh tìm kết khoảng 10% Đó em học sinh giỏi, có khả biến đổi tốt, học sinh giải theo cách khác nhau, nhiều thời gian Các em học sinh lại lúng túng, không tìm cách giải Khi định hướng câu hỏi gợi ý: Chẳng hạn: Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mã điều kiện cho thuộc đường nào? khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nhỏ nào? Khoảng cách hai điểm hai đường tròn nhỏ nào, lớn nào? Các em học sinh tự tin nhiều em sử dụng kiến thức hình học để giải, có khoảng gần 50% tìm kết với vận dụng bản, gần 20% giải vận dụng cao 16 Sau hướng dẫn giải rèn luyện kỹ giải thông qua ví dụ tương tự Các em học sinh tự tin có nhiều em áp dụng Có khoảng gần 70% giải mức độ vận dụng bản, gần 40% giải vận dụng cao - Kết với ý kiến đánh giá tích cực từ đồng nghiệp chuyên môn phần thể tính hiệu sáng kiến kinh nghiệm C PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Có thể nói, toán số phức minh họa qua ví dụ bắt nguồn từ việc nghiên cứu tính chất hình học, nghĩa ta hoàn toàn xây dựng đề toán dạng dựa kiến thức hình học nêu, áp dụng kiến thức hình học để giải toán hướng hiệu Áp dụng đề tài SKKN “Sử dụng kiến thức hình học để giải số toán liên quan đến giá trị nhỏ lớn môđun số phức” vào giảng dạy học sinh giải số vấn đề sau: Giúp học sinh nắm chất hình học số toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn môđun số phức quy trình giải dạng toán Phát triển lực tư sáng tạo học sinh, đặc biệt lực tư hình học Giúp học sinh có tự tin, chủ động, nắm định hướng có quy trình rõ ràng 17 Học sinh nắm tập hợp điểm quen thuộc, thường gặp toán dạng kỹ thuật xử lý tình xảy Tôi hy vọng kinh nghiệm nhỏ góp phần nâng cao chất lượng dạy học nói chung giải toán số phức nói riêng Mặc dù có nhiều cố gắng điều kiện thời gian kinh nghiệm hạn chế nên kinh nghiệm trao đổi thông qua đề tài chắn thiếu sót, mong bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Văn Ngọc TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 Giải tích 12 nâng cao – Sách giáo viên, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nhà xuất Giáo dục, 2008 Hình học 10 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nhà xuất Giáo dục, 2006 Đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2017 Sở Giáo dục trường THPT toàn quốc (tham khảo qua mạng internet) 18 19 ... Sử dụng kiến thức hình học để giải số toán liên quan đến giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức nhằm giúp học sinh nắm vững chất hình học số phức, rèn kỹ vận dụng tính chất mối quan hệ hình học. .. hình học để giải toán hướng hiệu Áp dụng đề tài SKKN Sử dụng kiến thức hình học để giải số toán liên quan đến giá trị nhỏ lớn môđun số phức vào giảng dạy học sinh giải số vấn đề sau: Giúp học. .. sinh nắm chất hình học số toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn môđun số phức quy trình giải dạng toán Phát triển lực tư sáng tạo học sinh, đặc biệt lực tư hình học Giúp học sinh có