Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số và hình học ở trường THPT

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Giảng viên chính: T.S Hồng Ngọc Anh tận tình giúp đỡ hướng dẫn tác giả q trình thực khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, giáo khoa Tốn - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q trình thực khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn sinh viên tập thể lớp K55 - ĐHSP Tốn động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tơi thực hồn thành khóa luận Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận tác giả thêm hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2018 Người thực khóa luận Nguyễn Như Hoài Linh DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Tiến sĩ TS ĐHSP Đại học sư phạm NXB Nhà xuất THPT Trung học phổ thông L Loại TM Thỏa mãn MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh mục viết tắt PHẦN I MỞ ĐẦU Lý chọn khóa luận Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp khóa luận 6 Cấu trúc khóa luận PHẦN II NỘI DUNG Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1 Các công thức lượng giác 1.1.1 Hệ thức 1.1.2 Công thức cộng 1.1.3 Công thức nhân đôi 1.1.4 Công thức nhân ba 1.1.5 Công thức hạ bậc 1.1.6 Công thức chia đôi 1.1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích 1.1.8 Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1.2 Phép lượng giác 1.2.1 Một số phép lượng giác chung 1.2.2 Một số phép lượng giác tam giác Chương 2: SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƢỜNG THPT 11 2.1 Sử dụng kiến thức lượng giác giải số toán đại số 11 2.1.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 11 2.1.2 Giải phương trình hệ phương trình 15 2.2 Sử dụng kiến thức lượng giác giải số tốn hình học 22 2.2.1 Hệ thức lượng tam giác 22 2.2.2 Một số tốn hình học 26 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Lí chọn khóa luận Lượng giác lĩnh vực Toán học, tồn tiếp tục phát triển hàng ngàn năm qua Lượng giác không nhánh đại số mà ngành tốn học độc lập, có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn Trong khn khổ tốn phổ thơng, lượng giác giảng dạy vào cuối năm lớp 10 đầu năm lớp 11 với chủ đề như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác hệ thức lượng tam giác Tuy nhiên lượng giác xuất nhiều lĩnh vực khác tốn học như: Hình học, tích phân Nhằm giúp em học sinh có nhìn khác chun ngành lượng giác, việc sử dụng cơng thức, tính chất lượng giác để giải tốn đại số hình học Bản thân tốn khơng liên quan đến lượng giác Qua thời gian tìm hiểu nghiên cứu, tơi nhận thấy học sinh khối 10 học lượng giác khó tiếp thu vận dụng cao Vì để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10, chọn nghiên cứu khóa luận: “Sử dụng kiến thức lƣợng giác giải số toán Đại số Hình học trƣờng THPT” Mục đích nghiên cứu Khóa luận hệ thống hóa lại kiến thức phần Lượng giác học THPT Trên sở ứng dụng để giải số tốn Đại số Hình học trường THPT Qua rèn luyện kỹ tư duy, phát triển tốn nhiều góc độ khác Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa kiến thức phần Lượng giác học THPT - Sử dụng kiến thức lượng giác giải số tốn Đại số Hình học THPT Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học chuẩn bị tốt kiến thức làm tập có tính phân loại cao đề thi học sinh giỏi đề thi THPT quốc gia Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo, nguồn thông tin internet có liên quan đến đề tài nghiên cứu khóa luận) để thu thập thông tin tập hợp, phân loại kiến thức tập phục vụ cho yêu cầu khóa luận Đóng góp khóa luận Khóa luận đem đến điều thú vị, mẻ cho em học sinh phổ thông trình học tập, bồi dưỡng lực giải tốn em Khóa luận tài liệu tốt giúp bạn sinh viên có thêm nguồn tư liệu để bạn học tập tốt giảng dạy sau tốt Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận chung, mục lục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 02 chương: Chƣơng 1: Các kiến thức lƣợng giác Chƣơng 2: Sử dụng kiến thức lƣợng giác giải số toán Đại số Hình học trƣờng THPT NỘI DUNG Chƣơng CÁC KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1 Các công thức lƣợng giác 1.1.1 Hệ thức sin   cos2   1  tan    với    k (k  ) cos   cot   với   k (k  ) sin  1.1.2 Công thức cộng cos  a  b   cos a.cos b sin a.sin b sin (a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan a  tan b tan (a  b)  tan a.tan b 1.1.3 Công thức nhân đôi sin 2a  2sin a cos a cos 2a  cos a  sin a  2cos a    2sin a tan a tan 2a   tan a cot a  cot 2a  2cot a 1.1.4 Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  4cos3 a  3cos a 1.1.5 Công thức hạ bậc  cos 2a sin a   cos 2a cos a  tan a   cos 2a  cos 2a 1.1.6 Công thức chia đôi Đặt t  tan a (với a    k 2 ) 1 t2 cos a  1 t2 1 t2 cot a  2t 2t sin a  1 t2 2t tan a  1 t2 1.1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b sin(b  a) cot a  cot b  sin a.sin b cos a  cos b  2cos 1.1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b   cos( a  b)  cos(a  b)  sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.sin b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cos b  1.2 Phép lƣợng giác Ngồi cơng thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà học sinh học Sau số lưu ý số phép đặc trưng: 1.2.1 Một số phép lƣợng giác chung a) Nếu x  a  a   đặt:      x  a sin  ;    ;      x  a cos  ;   0;  Biểu thức áp dụng: a  x b) Nếu x  y  a đặt:  x  a sin  ;    0;2   y  a cos   c) Nếu x  a đặt: x a a ,x  cos sin  Biểu thức áp dụng: d) x2  a2 Với x đặt:    x  tan  ;    ;   2 Biểu thức áp dụng: x2  a2 ; x y  xy 1.2.2 Một số phép lƣợng giác tam giác a) Nếu xy  yz  zx  tồn góc  ,  ,  cho:      x  tan , y  tan , z  tan 2         b) Nếu x  y  z  xyz tồn góc  ,  ,  cho:  x  tan  , y  tan  , z  tan          Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  tồn tam giác ABC cho: x  tan A B C , y  tan , z  tan 2 Nếu ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz tồn tam giác ABC nhọn thỏa mãn: x  tan A, y  tan B, z  tan C 10 Đặt x  cos        ta phương trình        k 2    sin   cos3  cos3  cos       k   2  3      k 2    5 3  Đối chiếu điều kiện     ta tính    ; ;  8  Nghiệm phương trình ban đầu là:    cos    2  x  cos  2   3   x  cos   5  cos  5  2   x  cos 2  Bài 2: Giải phương trình x     x Giải:  x  2  x    Nếu  vế phải phương trình không xác   x  x   định Do x   2;2 Đặt x  2cos t 0  t     t   x  2cos   t  t  Khi    x  2sin  2cos     4    t      x  2cos     8  16 2  t  Phương trình rút gọn thành cos t  cos     t    Vậy nghiệm phương trình x  2cos Bài 3: Giải phương trình x  x x2   2 35 12 Giải: Điều kiện x  Đặt x    0    sin   2 Phương trình trở thành: 1 35   sin  cos  12  t  2t 35   Đặt t  sin   cos   t  t  12 t       sin   cos    Loại nghiệm âm, với t  ta  sin  cos  12 25   sin     sin     x   Nghiệm phương trình  x   Bài 4: Cho a  b  c ba nghiệm phương trình x3  3x   Chứng minh rằng: a2  c  b2  a  c2  b  Giải: Ta tìm nghiệm phương trình đoạn [  2;2] Đặt x  2cos t ;  t   17 Phương trình trở thành: 2 k 2 8cos3 t  6cos t    cos3t    t    k  Từ ta tìm nghiệm: a  2cos  8 4 2 ; b  2cos ; c  2cos 9 Phương trình bậc ba có tối đa nghiệm nên tất nghiệm phương trình Ta có: a  c  4cos Tương tự: 8 2 16  2   2cos  1  cos 2   2cos 9   b  a  4cos c  b  4cos 4 8 8   2cos  1  cos 9  2 4 4   2cos  1  cos 9  8  2   2cos  4     2cos   x  y3  y  Bài 5: Giải hệ phương trình sau:  y  z  3z  z  x3  3x  Giải: Ta chứng minh x , y , z  Giả sử x số lớn x  Khi z  x3  3x  (vô lý) Giả sử x số bé x  1 Khi z  x3  3x  x (vơ lý) Do x  Tương tự ta có: y , z  Đặt x  cos        Sử dụng công thức nhân ba ta được: z  cos3 , y  cos9 , x  cos27 18 Ta có: k    ; k  0;1; ;13  13 cos   cos 27     k ; k  1;2; ;13  14 Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: S   cos ;cos3 ;cos9  với   k k ; k  0;1; ;13,   ; k  1;2; ;13  13 14 Bài 6: Giả sử x, y, z nghiệm hệ phương trình x  y 4  y   y  z 4  z  z  x4  x (1) (2) (3) Tìm tất giá trị mà S  x  y  z nhận Giải: Cộng ba phương trình (1), (2) (3) lại ta được: x  y  z   x  y  z    x  y  z   3S  x  y  z Suy S  nên ba số x, y, z phải có số không âm Giả sử x   y  y    y  Tương tự ta chứng minh  x, z  Đặt x  4sin a;  a   Thay vào phương trình (3) ta được: z  4sin a   4sin a   16sin a cos a  4sin 2a Thay vào phương trình (2) ta được: y  4sin 2a   4sin 2a   4sin 4a Thay vào phương trình (1) ta được: z  4sin 4a   4sin2 4a   4sin2 8a 19 Ta có: sin a  sin 8a  cos2a  cos16a  16a  2a  k 2 TH1: 16a  2a  k 2  a  k ; k  0;1;2;3 Nếu k  a  : S  Nếu k  1;2;3 thì:  2 3  S   sin  sin  sin 7  TH2: 16a  2a  k 2  a  2  6 3    cos  cos      cos 7  2 2     k ; k  0;1;2;3;4 Nếu k  a  : S  Nếu k  1;2;4 thì:  2 4  2 4 8 3   S   sin  sin  sin  cos  cos      cos 9  9  2      Nếu k  thì:  2 4  S   sin  sin  sin 3  2 4 8 3    cos  cos      cos 3  2   x  y  y  y  Bài 7: Giải hệ phương trình  (1  x)(1  y )      * Giải: Điều kiện: x; y   1;1 Đặt x  cos  ; y  cos  với  ;   0;  Hệ phương trình (*) trở thành:   cos sin  cos  sin   1       (1  cos )(1  cos )  cos  cos  cos cos   (2) 20 Giải (2): Đặt t  cos  cos (điều kiện: t  ) Ta có: t  cos2   cos2  2cos cos    t  cos      cos  2cos cos 2   t   2cos cos t  (TM ) t2 1    t  2t     Thay vào (2) ta có: t  t  3 ( L) Với t  ta có: cos  cos   sin   cos      (do  0;  Suy   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  0;1 c) Bài tập tự luyện Bài 8: Giải phương trình x5  15x3  45x  27  Bài 9: Giải phương trình sau: x x   a2    a2  a)     2a   a      b)  2   x     a  1 x 1  c)  x  x   x  x d ) x3  1  x   x 1  x  Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm  4m  3 x    3m    x  m      1 1  1 3  x     y     z   Bài 11: Giải hệ phương trình   x y  z   xy  yz  zx   21 Bài 12: Giải hệ phương trình sau  x  y  a)  4 xy  y  1   x  y  z  xyz b)  2 2 2  x  y  1 z  1  y  x  1 z  1  z  x  1 y  1   x  3z  3z x  z   c)  y  3x  3x y  x   z  y  y2 z  y3   2.2 Sử dụng kiến thức lƣợng giác giải số tốn hình học 2.2.1 Hệ thức lƣợng tam giác a) Phƣơng pháp giải: Sử dụng định lý hàm sin cosin, định lý đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác b) Định lý hàm sin, cosin Cho tam giác ABC có R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S diện tích tam giác ABC thì: a b c   sin A sin B sin C a  b  c  2bc.cos A  b  c  4S cot A b  a  c  2ac.cos B  a  c  4S cot B c  a  b  2ab.cos C  a  b  4S cot C Với đường trung tuyến AM kẻ từ đỉnh A thì: AB  AC  AM  BC 2 Khi diện tích tam giác ABC xác định: S 1 AC AB.sin A  BC AB.sin B  BC AC.sin C 2 22 c) Các ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC, chứng minh:  a  b  cot C A B   b  c  cot   c  a  cot  2 Giải: Áp dụng định lí sin ta có: C C cos C A B A B sin  a  b  cot  R  sin A  sin B  C2  R cos 2 sin C sin 2 A B A B  R sin sin  R  cos B  cos A  2 cos Tương tự ta có:  b  c  cot  c  a  cot A  R  cos C  cos B  B  R  cos A  cos C  Cộng vế với vế ta điều phải chứng minh Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn  a b c2  b  a  ab   cos A cos B   1  2 Giải: Áp dụng định lí Cosin ta có: 1  a  b2  c  ab  2ab cos C  ab  cos C   C  Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng ta được:  2  1 cos  A  B   cos  A  B     cos C  cos  A  B    A  B 23 Tam giác ABC cân có C   nên tam giác Bài 3: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos B ac  2c Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Giải: Áp dụng định lí sin ta có: B sin A  sin C   1  cos B  sin C  sin A  sin C 2sin C  cos B sin C  sin A  sin  B  C   sin  C  B   2sin A cos  sin  C  B   sin A  C  B  A  C   Vậy tam giác ABC vuông C Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn Gọi ma trung tuyến ứng với đỉnh A a) Chứng minh ma  R 1  cos A b) Chứng minh a b c    ma mb mc Giải: a) Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có: 2b  2c  a   R  2sin B  2sin C  sin A    R 1  cos B   cos 2C  cos A  1 ma2   R 1  2cos A cos  B  C   cos A  R 1  2cos A  cos A   R 1  cos A  Suy ma  R 1  cos A Dấu “=” xảy B  C hay tam giác ABC cân A 24 b) Theo phần a) ta có ma  R cos A a a sin A A     tan ma R cos A cos A 2 Tương tự b B  tan mb c C  tan mc Cộng bất đẳng thức lại, kết hợp với bất đẳng thức tam giác ta có: tan A B C  tan  tan  2 Ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy tam giác ABC d) Bài tập tự luyện Bài 5: Chứng minh hệ thức sau tam giác ABC a) b) c) A B C sin sin 2 1 1 1      cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 r  R sin    26  1  1  1  5  sin A  sin B  sin C  Bài 6: Nhận dạng tam giác ABC trường hợp thỏa mãn điều kiện sau: a) b) sin A  sin B  sin C  cos sin A B ab sin  2 4c 25 A B C  cos  cos 2 2.2.2 Một số tốn hình học a) Các ví dụ Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC lấy K cho BK  4KC , cạnh CD lấy M cho CM  4MD Với tỉ số AB bao BC nhiêu góc KAM lớn nhất? Giải: B A K D Giả sử M C AB  , gọi  ,  số đo góc BAK ; MAD BC x Ta cần tìm x để    nhỏ Ta có: tan   4x , tan   5x 4x 4x  tan   tan  5 x  20 5 x  tan        21  tan  tan  21 1 25 25 Dấu “=” xảy x  Vậy với tỉ số AB   KAM lớn BC 26 Bài 2: Cho tam giác ABC có tính chất: tồn điểm P nằm tam giác cho PAB  10 ; PBA  20 ; PCA  30 ; PAC  40 Chứng minh tam giác ABC cân Giải: B P A C Tất góc đơn vị độ Theo giả thiết, ta có:   APC  180  PAC  PCA  180   30  40   110   BPA  180  PBA  PAB  180  10  20   150   BPC  360  BPA  APC  360  110  150   100   Đặt PCB  x  PBC  180  PCB  BPC  180  100  x   80  x Áp dụng định lí sin ta có: PA PB PC sin PBA sin PCB sin PAC  PB PC PA sin PAB sin PBC sin PCA sin 200 sin x sin 400 4sin x sin 400 cos100   sin100 sin 800  x  sin 300 sin 800  x    2sin x  sin 300  sin 500  sin  800  x   sin x 1  2cos 400  sin  800  x  Suy 2sin x cos400  sin 800  x   sin x  2sin  400  x  cos400 Ta được: x  400  x  x  200 Do ACB  BAC  50 Vậy tam giác ABC cân B 27 b) Bài tập tự luyện Bài 3: Cho tam giác cân ABC với AB = AC Giả sử đường phân giác góc B cắt AC D BC  BD  AD Tính góc A Bài 4: Gọi I O tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AIO  90 2BC  AB  AC Bài 5: Giả sử M điểm nằm tam giác ABC Gọi A ', B ', C ' hình chiếu M lên BC, CA, AB Chứng minh: 28 MB ' MC ' A  2sin MA KẾT LUẬN Khóa luận tác giả trình bày kiến thức lượng giác học THPT, như: Các công thức lượng giác gồm: Hệ thức bản; Công thức cộng; Công thức nhân đôi; Công thức nhân ba; Công thức hạ bậc; Công thức chia đơi; Cơng thức biến đổi tổng thành tích; Cơng thức biến đổi tích thành tổng; phép lượng giác gồm: Một số phép lượng giác chung; Một số phép lượng giác tam giác Trên sở tác giả lựa chọn ứng dụng lượng giác để giải số toán sơ cấp Cụ thể sau: Sử dụng kiến thức lượng giác giải số toán đại số Gồm phương pháp: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Giải phương trình hệ phương trình Sử dụng kiến thức lượng giác giải số tốn hình học Gồm phương pháp: Hệ thức lượng tam giác số tốn hình học khác Khóa luận chắn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy (Cơ) bạn đọc để khóa luận hoàn thiện tốt 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng (2010), Tài liệu chuyên toán Đại số Giải tích, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Huỳnh Cơng Thái (2005) Chuyên đề lượng giác, NXB Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh [3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2005), Tuyển tập 200 thi vô địch toán: Lượng Giác, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Vũ Dương Thụy (2012) Đại số 10, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Võ Anh Khoa, Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác – số chuyên đề ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam [6] Võ Thanh Văn, T.S Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2012), Chuyên đề ứng dụng góc lượng giác cơng thức lượng giác giải toán THPT, NXB Đại học Sư Phạm 30 ... Chƣơng SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƢỜNG THPT Sử dụng kiến thức lƣợng giác giải số toán đại số 2.1 2.1.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức a)... 1.2.1 Một số phép lượng giác chung 1.2.2 Một số phép lượng giác tam giác Chương 2: SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƢỜNG THPT 11 2.1 Sử. .. sau: Sử dụng kiến thức lượng giác giải số toán đại số Gồm phương pháp: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Giải phương trình hệ phương trình Sử dụng kiến thức lượng giác giải số tốn hình học Gồm