Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh Sinh viên thực : Nguyễn Thị Thục Uyên Lớp : 13ST Đà nẵng, tháng năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Phạm vi nghiên cứu: 3 Cấu trúc luận văn: CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ Các công thức lượng giác bản: Các hệ thức lượng giác thường dùng bài: Một số cách đặt để đưa toán dạng lượng giác: 12 Các bước giải tốn đại số giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa: 15 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 16 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số 16 Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức 22 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình 30 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình 40 Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 46 Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn tìm số hạng tổng quát dãy số 54 KẾT LUẬN 56 Nhận xét đánh giá chung đề tài 56 1.1 Kết đạt 56 1.2 Hạn chế 56 Hướng phát triển đề tài 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu bảo, hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Sinh, đến luận văn tốt nghiệp em hoàn thành Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Sinh giúp đỡ em nhiều thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn, thư viện giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Sau cùng, em xin kính chúc Nguyễn Thị Sinh q thầy khoa Tốn thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh truyền đạt kiến thức cho hệ mai sau SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Để giải toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đắn đường lối giải tốn Q trình từ đường lối đắn đến việc có lời giải tốt đòi hỏi người học phải biết lựa chọn phương pháp cơng cụ thích hợp Một phương pháp hay, hữu hiệu thường áp dụng để giải tốn đại số giải tích phức tạp ứng dụng lượng giác nhằm đưa phép đặt phù hợp cho tốn hay cịn gọi phương pháp lượng giác hóa Vậy phương pháp lượng giác hóa? Khi giải tốn đại số giải tích dựa vào điều kiện bó hẹp biến, ta đặt ẩn phụ quy tốn ban đầu tốn lượng giác, sau giải tốn lượng giác bình thường, từ kết ta có kết tốn ban đầu Đó phương pháp lượng giác hóa Bằng cách lượng giác hóa thích hợp góp phần đưa tốn khó giải trực tiếp tốn gián tiếp đơn giản dễ giải Tuy nhiên, nên sử dụng phương pháp lượng giác hóa cách thức lượng giác hóa tốn thật không đơn giản Chúng ta cần phải nhìn tốn cách tổng qt phải hiểu kỹ nội dung , phương pháp lượng giác hóa để chuyển tốn phức tạp toán đơn giản Hơn nữa, toán đại số giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng đề tuyển chọn học sinh giỏi nước quốc tế Thế sách giáo khoa tập dạng Cho nên, việc hướng dẫn cho học sinh THPT biết cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải số tốn đại số giải tích phức tạp điều cần thiết Với lí với tư cách người giáo viên dạy toán tương lai, em nghiên cứu đề tài “Ứng dụng lượng giác để giải số tốn đại số giải tích” chọn đề tài luận văn tốt nghiệp Phạm vi nghiên cứu: Đề tài: “Ứng dụng lượng giác để giải số toán đại số giải tích” nghiên cứu giải tốn đại số giải tích chương trình phổ thơng Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm hai chương: Chương I: Lý thuyết sở Chương gồm có phần: Các công thức lượng giác bản: SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Phần hệ thống lại tất công thức lượng giác để áp dụng vào giải toán chương II Các hệ thức lượng giác thường dùng bài: Phần chứng minh hệ thức lượng giác thường sử dụng chương II để giải toán ta việc áp dụng mà không cần chứng minh lại Một số cách đặt để đưa toán dạng lượng giác: Phần nêu dấu hiệu đặc biệt toán sử dụng phương pháp lượng giác hóa cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa tốn cho phù hợp Các bước giải toán đại số giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa Chương II: Ứng dụng lượng giác để giải số tốn đại số giải tích Chương gồm phần liên quan đến việc ứng dụng lượng giác để giải toán, phần dạng toán cách giải Các dạng tốn trình bày rõ ràng, logic Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức Ứng dụng lượng giác để giải phương trình Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn tìm số hạng tổng quát dãy số SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ Các công thức lượng giác bản: 1.1 Các công thức bản: sin   cos   1   tan   ;    k , k  Z cos  ;   k , k  Z sin  k tan  cot   1;   , k Z  cot   1.2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt: cos( )  cos  tan(  )   tan  sin( )   sin  cot(  )   cot  sin(   )  sin  tan(   )   tan  cos(   )   cos  cot(   )   cot  sin(   )   sin  tan(   )  tan  cos(   )   cos  cot(   )  cot    sin(   )  cos  tan(   )  cot  cos(   )  sin  cot(   )  tan    1.3 Công thức cộng: sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan a  tan b tan(a  b)   tan a.tan b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b tan(a  b)   tan a.tan b 1.4 Công thức nhân đôi: sin 2  2sin  cos  cos 2  cos   sin   2cos     2sin  tan  tan 2   tan  1.5 Công thức hạ bậc: SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  cos 2  cos 2 cos    cos 2 tan    cos 2 sin   1.6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  [cos(a-b)+cos(a+b)] sin a.sin b  [cos(a-b)-cos(a+b)] sin a.cos b  [sin(a-b)+sin(a+b)] 1.7 Cơng thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 uv u v cos u  cos v  2sin sin 2 x 1.8 Công thức viết theo tan : cos u  cos v  cos sin x  uv u v cos 2 uv u v sin u  sin v  cos sin 2 sin u  sin v  2sin 2t 1 t2 2t x ; cos x  ; tan x  (t  tan ) 2 1 t 1 t 1 t 1.9 Cơng thức góc nhân ba: sin 3a  3sin a  4sin a cos 3a  cos3 a  3cos a tan 3a  tan a  tan a  tan a 1.10 Phương trình dạng bản:  x    k 2 sin x  sin    ( k  Z)  x      k 2 cos x  cos   x    k 2 (k  Z) tan x  tan   x    k (k  Z) cot x  cot   x    k (k  Z) SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Các hệ thức lượng giác thường dùng bài:  2.1 tan  tan   tan  tan   tan  tan           k (k  Z) 2 Chứng minh: Ta có: tan  tan   tan  tan   tan  tan  sin  sin  sin  sin  sin  sin     cos  cos  cos  cos  cos  cos  sin  sin  cos   sin  sin  cos   sin  sin  cos   cos  cos  cos  sin  sin(   )  sin  sin  cos   cos  cos  cos   cos(     )  cos  cos(   )  sin  sin  cos   cos  cos  cos   cos(     )  cos  cos  cos   cos  cos  cos   cos(     )  1 cos  cos  cos  Ta có: tan  tan   tan  tan   tan  tan    cos(     )           k ( k  Z ) Vậy ta có điều phải chứng minh  2.2 Với  ,  ,   (0; ), cos2   cos2   cos2   2.cos  cos  cos           Chứng minh: Ta có: cos   cos   cos   2.cos  cos  cos   1  (1  cos 2 )  (1  cos  )  cos   [cos( + )+cos(   )].cos   2  cos(   ).cos(   )  cos   cos(   ).cos   cos(   ).cos    [cos(   )  cos  ].[ cos(   )  cos  ]  TH1: [cos(   )  cos  ]   cos(   )   cos   cos(   )  cos(   ) SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh         k 2  ( k  Z)         k 2         k 2          k 2  Mà  ,  ,   (0; ) nên        TH2: cos(   )  cos    cos(   )   cos   cos(   )         k 2  ( k  Z)         k 2         k 2          k 2  Mà  ,  ,   (0; ) nên không tồn  ,  ,  thỏa mãn  Vậy với  ,  ,   (0; ), cos2   cos2   cos2   2.cos  cos  cos           2.3 tan   tan   tan   tan  tan  tan         k (k  Z) Chứng minh: Ta có: tan   tan   tan  sin  sin  sin     cos  cos  cos  sin(   ) sin    cos  cos  cos  sin(   ).cos   sin  cos  cos   cos  cos  cos  sin(     )  sin  cos(   )  sin  cos  cos   cos  cos  cos  sin(     )  sin  sin  sin   cos  cos  cos  sin(     )   tan  tan  tan  cos  cos  cos  Ta có: tan   tan   tan   tan  tan  tan   sin(     )         k ( k  Z ) Vậy ta có điều phải chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang Khóa luận tốt nghiệp 2.4 tan(     )  GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh tan   tan   tan   tan  tan  tan   tan  tan   tan  tan   tan  tan  Chứng minh: Ta có: tan(     )  tan(   )  tan   tan(   ).tan  tan   tan   tan   tan  tan   (tan   tan  ) 1 tan   tan  tan  tan   tan   tan   tan  tan  tan    tan  tan   tan  tan   tan  tan  tan   tan   tan   tan .tan .tan  Vậy tan(     )   tan .tan   tan .tan  tan .tan  2.5 Trong ABC ta ln có: a, tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C b, cot A B C A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 Chứng minh: a, Vì A  B  C   nên theo 2.3 ta có: tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C (đpcm) b, Ta có: A B  C  tan(  ) 2 A B tan  tan 2  cot C  A B  tan tan 2 1  A B cot cot 2  cot C  A B cot cot  2 A B cot cot 2 tan SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  w  2v  k 2w  4v  k 2 (1)  ( k , l  Z)   (2) u  2w  l u  2w  l Lấy (2) – (1) ta được: l  u  4v  k 2  u  4v  k 2  l Mà tan u  cot v  tan(4v  k 2  l )  cot v  tan 4v  cot v   tan 4v  tan(  v)  5v  v   10  m (m  Z)  m Từ (*)  v  {   ; 3 } 10 10  x  tan u  tan 4v  Mà  y  tan v nên nghiệm hệ phương trình là:  z  tan w  tan 2v  2   2   ; tan ; tan ), (  tan ;  tan ;  tan ), 10 5 10  3 3  3 3 (tan ; tan ; tan ), (  tan ;  tan ;  tan )} 10 5 10 S={(tan Bài 5: Giải hệ phương trình:  x  3z  3z x  z    y  3x  3x y  x  (I)  z  y  y z  y3   Giải:  x(1  3z )  3z  z  (I)   y(1  3x )  3x  x3 (II)  z (1  y )  y  y  Ta thấy x, y, z   , đó: SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  3z  z  x   3z  3x  x3  (II)   y   3x   y  y3 z  1 3y2     Đặt: x  tan t (1), t  ( ; ) \{  } (*) 2 tan t  tan t  tan 3t  tan t Tương tự: z  tan9t x  tan 27t (2) Từ (1) (2)  tan 27t  tan t  27t  t  k (k  Z) k t 26 Từ (*)  k  {0; 1; ; 12} Khi đó: y  Vậy nghiệm hệ phương trình là: k   x  tan 26  3k  (k {0; 1; ; 12})  y  tan 26  k   z  tan 26  Bài 6: Giải hệ phương trình: 1  3( x  )  4( y  )  5( z  ) (1) x y z   xy  yz  zx  1(2)  Giải: Nếu ( x, y, z ) nghiệm hệ phương trình ( x,  y,  z ) nghiệm hệ phương trình x, y, z phải dấu Do ta giả sử x, y, z  A   x  tan  B  Đặt:  y  tan ( A, B, C  (0;  ))  C   z  tan  SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh A B B C C A  tan tan  tan tan  2 2 2 A B C      (theo 2.1) 2 2  A B C    A, B, C góc tam giác ABC (2)  tan tan x2  y2 1 z2 1 (1)  3( )  4( )  5( ) 2x 2y 2z A B C 1 tan  tan  2 3 4 5 A B C tan tan tan 2 1 3 4 5 A A B B C C cos tan cos tan cos tan 2 2 2 1 3 4 5 A A B B C C 2sin cos 2sin cos 2sin cos 2 2 2    sin A sin B sin C tan Theo định lý hàm số sin, ta giả sử độ dài cạnh tam giác ABC a  3, b  4, c  Vì c  a  b nên tam giác ABC vuông C A A 1 2sin A  cos A 1    Ta có: x  tan  cos A cos A sin A sin A 2 1 B  cos B 51  Tương tự y  tan  sin B C  z  tan  tan  1 Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x, y, z )  ( ; ;1) sin SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 1: Cho số x, y, u , v thỏa mãn hệ thức:  x2  y2  p2  u  v  q   xu  yv  pq  p  0; q   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A  x  v Giải: Cách 1:Phương pháp lượng giác hóa Đặt:  x  p sin  ; y  p cos  ( ,   [0; 2 ])  u  q sin  ; v  q cos  Khi đó, xu  yv  p sin  q sin   p cos  q cos   pq cos(   )  pq Vì xu  yv  pq nên cos(   )       k 2 (k  Z) Ta có: x  v  p sin   q cos   p sin   q cos  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số ( p, q) (sin  , cos  ) ta có: ( p sin   q cos  )2  ( p  q )(sin   cos2  )  p  q  ( x  v)  p  q | x  v | p2  q2 Do đó, max A   sin  cos    q p q   p  p sin   q cos    2 p2  q2 p  sin   p  q2   q cos    p2  q2   p2 x  p2  q2   q2 v   p2  q2   sin  cos    2 q A   p  q   p  p sin   q cos    p  q  SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh p  sin    p  q2   q cos     p2  q2   p2 x    p2  q2   q2 v    p2  q2  Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai số ( x, y ) (u, v) Ta có: ( xu  yv)2  ( x2  y )(u  v2 )  p q  xu  yv  pq (vì p, q  xu  yv  pq  ) Mà xu  yv  pq (giả thiết)  xu  yv  pq x u  y v Ta có: x2  y  u  v  p  q  x  xu  u  y  yv  v  p  q 2 xu  yv  ( x  u ) ( y  v)  p  q 2 pq  ( x  u )  ( y  v)  ( p  q ) yu  (  u )  ( y  v)  ( p  q ) v y y  u (  1)  v (  1)  ( p  q) v v y  (  1) (u  v )  ( p  q) v y  (  1) q  ( p  q) v y p  (  1)  (  1) v q y p   v q yq q2 q2 2 Ta có: A  ( x  v)  ( x  )  ( x  y )(1  )  p (1  )  p  q p p p 2 (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki) | A | p2  q2 SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp Vậy max A  GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh x p   p2  q2   y q x  v   p2  q2  p2 x   p2  q2   q2 v   p2  q2  x p   A   p  q   y q x  v   p2  q2   p2 x    p2  q2   q2 v    p2  q2  * Nhận xét: Với cách ta biến đổi rút v theo y vào A, sau áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A bước biến đổi rút v theo y dài dòng, phức tạp Trong đó, tốn chứa biểu thức x  y  p , u  v  q nên ta nghĩ đến phương pháp lượng giác hóa cách  x  p sin  ; y  p cos  ( ,   [0; 2 ]) chuyển tìm giá trị lớn nhất, giá trị u  q sin  ; v  q cos  đặt:  nhỏ biểu thức lượng giác dễ dàng nhiều Bài 2: Tìm a , b để hàm số y ax  b x2  Nhận giá trị lớn giá trị nhỏ -1 Giải: Cách 1: Phương pháp lượng giác hóa   Đặt: x  tan t , t  ( ; ) 2 Suy y  a tan t  b tan t  SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  cos t (a tan t  b)  a sin t.cos t  b cos t 1 b  a sin 2t  b cos 2t  2 Ta có: 1 1 2 | a sin 2t  b cos 2t | | a sin 2t  b cos 2t | a b 2 2 (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki)  b b a  b2   y  a  b2  2 2  a  b   max y  a  b   2  b  a  b  b  2 Vậy      a  4 min y   a  b  b  1 b  a  b  2   2  b  Cách 2: Xét hàm số y  f ( x)  ax  b x2   TXĐ: D  R ax  2bx  a ( x  1)2  y'    b  a  b x   a y'     b  a  b x  a  b  a  b )b b  a  b a a  b a f( )  a (b  a  b )  a b  a  b 2 ( ) 1 a 2 a.( a a  b a  a  b2  b    2(a  b )  2b a  b 2( a  b  b) b  a  b2 a  b2  b ) a ax  b lim f ( x)  lim 0 x  x  x  ax  b lim f ( x)  lim 0 x  x  x  Tương tự: f ( SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh BBT: b  a  b a  x y'  b  a  b a    a  b2  b y 0  a  b2  b  a   a  b2  b  4 max y  2  b  a  b  b  Dựa vào BBT ta suy     a  4  a  b2  b  b  a  b  2   1 min y   b  * Nhận xét: Với cách ta khảo sát hàm số y sau dựa vào bảng biến thiên để kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ từ tìm a, b cách nhiều bước tính tốn, dài dịng, thời gian Trong đó, toán chứa biểu thức dạng 1  x2 nên ta nghĩ đến phương pháp lượng giác hóa cách đặt: x  tan t , t  (    ; ) chuyển tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2 lượng giác từ tìm a, b dễ dàng nhiều Bài 3: Cho x, y thay đổi, thỏa a x2  b2 y  c2 (1) (a, b, c  0) Tìm giá trị lớn B | x  y | (2) Giải: a x b2 y x2 y     1 c2 c2 c2 c2 a b2 c   x  a cos t (t  [0; 2 ]) Đặt:  c  y  sin t  b (1)  c a c b Khi đó, | x  y || cos t  sin t | ( c2 c2  )(cos t  sin t ) a b (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki) SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  c2 c2  a b2  c c c2 c2 | cos t  sin t |   c c  b a b2 Vậy max B     a a b  a cos t   b sin t  c c 2 a  | sin t | a  b2   b | cos t |  a  b2 cb ca  ;y x  a a  b2 b a  b2   cb ca ;y x   a a  b2 b a  b2   cb ca ;y x  a a  b2 b a  b2   cb ca ;y x   2 a a b b a  b2  Bài 4: Cho x, y  với x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức E 1   xy x y xy Giải:    x  R cos t (t  [0; ]; R  0) (*) 2   y  R sin t Đặt:  Vì x  y  nên R cos t  R sin t   R  Khi đó, E  Hay E   1   xy     (Áp dụng BĐT Cau-chy) 2 x  y xy xy x  y xy  2 2 R (cos t  sin t ) R sin t.cos t   (vì R   R    ) 2 cos t  sin t 4sin t.cos t R SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp  GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh (cos t  sin t )  2sin t.cos t   2 1  sin 2t sin 2t 2   2 2  sin 2t sin 2t  2 2  2 4sin t.cos t  sin 2t    sin 2t  2 (2  sin 2t )sin 2t  sin 2t  sin 2t (vì (2  sin 2t )sin 2t  ( ) 1) 2    x  cos t  x  cos t x y  (*) R       y  sin t   y  sin t  Vậy E    sin 2t  cos 2t    k t    t   (k  Z)   Bài 5: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: xy  y F x  y2 Giải:  Nếu y  F   Nên y  , ta chia tử mẫu cho y 4x 4 y Khi đó: F  x 1 y2 Đặt x    tan t , t  ( ; ) (*) y 2 Ta có: F  tan t   cos t (4 tan t  4)  4sin t.cos t  cos t tan t    2(sin 2t  cos 2t )   2 sin(2t  )   2   F  2  (*)  3 3 x 3 Vậy max F  2   sin(2 t  ) 1  t   k ( k  Z)  t    tan 8 y (*) SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh    x  F  2   sin(2t  )  1  t    k (k  Z)  t      tan 8 y Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  x4 (1  x )2 Giải:   Đặt x  tan t , t  ( ; ) (*) 2 y  tan t (1  tan t )2  tan t cos t  cos t (1  tan t )   cos t  sin t  (cos t  sin t )  cos t.sin t   sin 2t Ta có:  sin 2t  1   sin 2t  2   y 1 (*) Vậy max y   sin t   t   x   y  (*)   sin 2t   cos 2t   t    x  1 SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn tìm số hạng tổng quát dãy số Bài 1: Cho dãy số {un } thỏa u1  2, un1  un   , n  1, 2,3 Tính u2013 (1  2)un  Giải:  Đặt u1   tan  (0    ) ý Khi đó: u2  tan   tan   tan    tan(   )   tan  tan   tan(  )  tan 8  tan(   ) u3     tan(  ).tan 8 ……  un  tan(  (n  1) ), n    2012 ) Vậy u2013  tan(  2012 )  cot(    8  cot(251   )   cot(  251 )   cot    * Nhận xét: Số hạng un1  1  tan  un   u  (  1) x y  n có dạng nên ta nghĩ  xy (1  2)un  1  (  1)un  đến phương pháp lượng giác hóa cách đặt: u1   tan  (0    ) ý   tan  sau chuyển tốn tìm số hạng lượng giác SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài 2: Cho dãy số {un } thỏa u0  2, un1   un , n  N Tính lim u n Giải: Ta có: u0   cos     u1   u0  2(1  cos )  4cos  2cos …… un  cos  2n  Vậy lim un  lim(2cos n  n  , n   ) 2cos 2 2n  * Nhận xét chung: Qua toán thấy việc ứng dụng lượng giác vào giải số toán đại số giải tích quan trọng Nhờ dùng phương pháp lượng giác hóa mà tốn từ phức tạp, khó giải trở nên dễ dàng hơn, quen thuộc SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh KẾT LUẬN Nhận xét đánh giá chung đề tài 1.1 Kết đạt Đề tài “Ứng dụng lượng giác để giải số tốn đại số giải tích” đạt kết sau: Đưa dấu hiệu đặc biệt toán đại số giải tích ứng dụng lượng giác để giải cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa tốn cho phù hợp - Trình bày dạng tốn ứng dụng lượng giác để giải gồm phần: ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số; ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức; ứng dụng lượng giác để giải phương trình; ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình; ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; ứng dụng lượng giác để tính giới hạn tìm số hạng tổng quát dãy số Các toán đưa chọn lọc gần gũi với toán phổ thơng có lời giải cụ thể cho tốn 1.2 Hạn chế Với kiến thức có hạn thời gian cịn hạn chế, đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót chưa khai thác hết dạng toán liên quan đến việc ứng dụng lượng giác Hướng phát triển đề tài Hi vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mở rộng để bổ sung thêm dạng toán liên quan đến việc ứng dụng lượng giác cách vận dụng phương pháp lượng giác hóa vào việc giải tốn chương trình phổ thơng Tơi mong nhận ủng hộ, đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 57 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Huy Toan (Chủ biên) - ĐàoThùy Linh - Đào Phúc Lợi, 2011, Cẩm nang ôn luyện thi đại học, cao đẳng mơn Tốn - Tập 3: Lượng giác, NXB Đại học Sư phạm [2] Phan Đức Chính - Phạm Tấn Dương - Lê Đình Thịnh, 1986, Tuyển tập tốn sơ cấp lượng giác, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Võ Anh Khoa – Hoàng Bá Minh, Lượng giác: Một số chuyên đề ứng dụng – Tập 3, NXB Giáo dục [4] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài, 2009, Đại số 10, NXB Giáo dục [5] Võ Thị Hạnh, 2015, Luận văn: “Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác” [6] Trang web thuviengiaoan.vn [7] Trang web tailieu.vn SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên Trang 58 ... ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 16 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số 16 Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức 22 Ứng. .. minh đẳng thức đại số Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức Ứng dụng lượng giác để giải phương trình Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn... Nguyễn Thị Sinh CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Bài 1: Cho ab, bc, ca khác 1 Chứng minh rằng: a b b