Một số bài toán cơ bản của lý tuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Phùng Đức Thắng tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập & thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên TỪ THỊ YẾN Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn ThS Phùng Đức Thắng khóa luận “Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích toán học” hoàn thành không trùng với công trình khoa học khác Trong thực khóa luận sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên TỪ THỊ YẾN Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương CHUỖI SỐ 1.1 Các khái niệm tính chất 1.2 Bài toán xét hội tụ chuỗi số 1.3 Bài toán tính tổng chuỗi số 16 Chương CHUỖI HÀM 20 2.1 Định nghĩa 20 2.2 Bài toán tìm miền hội tụ chuỗi hàm 20 2.3 Bài toán xét hội tụ chuỗi hàm 21 2.4 Bài toán tính tổng chuỗi hàm 28 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học, giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học nhiều ngành khoa học khác như: Vật lý, Thiên văn, Địa lý… Quá trình học môn Giải tích toán học trường Đại học, lý thuyết chuỗi quan tâm Nó gồm phần : Chuỗi số Chuỗi hàm Trong toán học chuỗi tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức chuỗi xây dựng công thức hay thuật toán hay chí số ngẫu nhiên Chuỗi hữu hạn, có số biểu thức hữu hạn, hay vô hạn, có số lượng biểu thức dài vô hạn Chuỗi hữu hạn xử lý phép tính đại sơ cấp Trong đó, chuỗi vô hạn cần công cụ giải tích ứng dụng toán học Mặt khác, giải tích kết nghiên cứu lý thuyết chuỗi có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết lẫn thực hành Để tìm hiểu lý thuyết chuỗi định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích toán học” để thực khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm hệ thống lại toán lý thuyết chuỗi giải tích toán học Nhiệm vụ nghiên cứu Các toán chuỗi số Các toán chuỗi hàm Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm Phạm vi nghiên cứu: Giải tích cổ điển Phương pháp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp, đánh giá, so sánh Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương CHUỖI SỐ Trong chương này, phần đầu trình bày lý thuyết chuỗi số, phần trình bày hai toán chuỗi số là: xét hội tụ chuỗi số tính tổng chuỗi số 1.1 Các khái niệm tính chất n Định nghĩa 1.1 Cho dãy số a1 , a2 , , an , Đặt An = a1 + a2 + + an = ∑ ak k =1 ∞ n Ký hiệu : A = ∑ ak = lim An = lim ∑ ak n →∞ k =1 n →∞ k =1 ∞ gọi ∑a k =1 k chuỗi số Định nghĩa 1.2 Nếu dãy { An } hội tụ lim An = A ta nói chuỗi n→∞ ∞ ∑a k =1 k hội tụ có tổng A Nếu dãy { An } giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi số ∞ ∑a k =1 k phân kỳ n Ta gọi an số hạng chuỗi số, An = ∑ ak tổng riêng thứ n , dãy k =1 { An } dãy tổng riêng chuỗi số Định nghĩa 1.3 Nếu chuỗi số ∞ ∑a k =1 k hội tụ A với n nguyên dương hiệu A− An gọi phần dư thứ n chuỗi Kí hiệu: rn Dễ thấy rn = ∞ ∑a k = n +1 k Từ định nghĩa trên, dễ dàng suy định lý sau Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp ∞ ∞ ∑ an hội tụ chuỗi Định lý 1.1 Điều kiện cần đủ để chuỗi ∑a n =1 k = n+ k hội tụ Từ tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi số sau: Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi ∞ ∑a n =1 n hội tụ ∀ε > ∃n0 = n0 (ε ) ∈N∗ cho ∀n > n0 ∀p ∈ N∗ ta có an+1 + an+2 + + an+ p < ε ∞ Hệ Nếu chuỗi số ∑a n =1 n hội tụ lim an = n→∞ Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính) Giả sử chuỗi ∞ ∑ an n =1 ∞ ∑b n =1 n hội tụ có tổng A B, α β số thực Khi ∞ ∑ (α a n =1 n + β bn ) chuỗi hội tụ có tổng S = α A + β B Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu số hạng chuỗi hội tụ gộp lại thành nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự chúng) chuỗi thu hội tụ có tổng tổng chuỗi cho Sau trình bày toán thứ nhất: 1.2 Bài toán xét hội tụ chuỗi số Phần đưa công cụ cho phép xét hội tụ chuỗi số, công cụ cho phép nhận biết chuỗi hội tụ phân kỳ đưa số ví dụ cụ thể minh họa Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.2.1 Các dấu hiệu hội tụ Định lí 1.5 (Dirichlet) Giả sử rằng: ∞ ∑a i) Chuỗi số có dãy tổng riêng bị chặn, tức tồn số M > n n =1 cho |An| = |a1 + a2 + + an| ≤ M với n ii) {bn} dãy đơn điệu giảm lim bn = n →∞ ∞ Khi chuỗi ∑ab n =1 n n hội tụ Định lí 1.6 (Abel) Giả thiết: ∞ i) Chuỗi ∑a hội tụ n n =1 ii) Dãy {bn} đơn điệu bị chặn ∞ Khi chuỗi ∑ab n =1 n n hội tụ Ở phần đưa dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương Định nghĩa 1.4 ∞ Chuỗi số ∑a n =1 n gọi chuỗi số dương số hạng an chuỗi dương Định lí 1.7 (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử ∞ ∑ an n =1 ∞ ∑ b hai chuỗi số n =1 n dương thỏa mãn điều kiện: Tồn số tự nhiên n0 số C > cho an ≤ bn với n ≥ n0 Khi đó: ∞ i Nếu chuỗi ∑b n =1 Từ Thị Yến n ∞ hội tụ chuỗi ∑a n =1 n hội tụ K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp ∞ ii Nếu chuỗi ∞ ∑ an phân kì chuỗi ∑b n =1 n n =1 phân kì Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số dương ∞ ∑ an n =1 ∞ ∑b n =1 n an =k n→∞ b n Giả sử tồn giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim Khi đó: ∞ a) Nếu < k < +∞ hai chuỗi ∑ an n =1 ∞ ∑b n =1 n hội tụ phân kì b) Nếu k = ∞ ∑b n n =1 c) Nếu k = +∞ ∞ ∑a hội tụ n =1 ∞ ∑ bn phân kỳ n =1 n hội tụ ∞ ∑a n =1 n phân kỳ Ví dụ Dễ dàng kiểm tra chuỗi ∑a n ∑b n n≥1 chuỗi ∑ (a n≥1 n + bn ) , ∑ab n ≥1 , n n Thực vậy, xét chuỗi n≥1 ∑ (a n≥1 Do chuỗi ∑a n ∑ n≥1 an hội tụ n + bn ) Ta có ( an + bn ) ≤ ( an2 + bn2 ) n hội tụ nên chuỗi ∑b n ∑ (a n≥1 Từ Thị Yến ∑(a n n≥1 n≥1 tụ Vì theo dấu hiệu so sánh thứ nhất, chuỗi Tương tự, với đánh giá: hội tụ n≥1 + bn2 ) hội n + bn ) hội tụ an   ≤  an +  , anbn ≤ ( an2 + bn2 ) ta suy n 2 n  K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp chuỗi ∑ab n n n ≥1 , ∑ n≥1 an hội tụ n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi sau n +1 n =1 n ∞ a) ∑ + 2(−1) n b) ∑ n +3 n =1 ∞ a) Ta có un = ∞ Vì ∑n n +1 n > = = n2 n n ∀n ≥ phân kỳ nên theo dấu hiệu so sánh chuỗi cho phân kỳ n =1 b) ∀n ≥ ta có ≤ + 2( −1) n ≤ nên 2n+3 + 2(−1) n 1 ≤ ≤ n +3 =   n+3 2 2 ∞ n Mà ∑ n hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh chuỗi n =1 + 2(−1) n hội ∑ n +3 n =1 ∞ tụ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi sau ∞ ∑ n =1 n ∫ + x4 Ta có Từ Thị Yến K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi hàm ∞ ∑2 n sin n =1 , < x < +∞ 3n x Ta thấy với x > n → +∞ n 2 sin n ~   ⋅ x 3 x n ∞ n 1 2 Do chuỗi ∑   hội tụ với x > , nên chuỗi cho hội tụ n =1 x   ( 0,+∞ ) Tuy nhiên ta khoảng chuỗi không hội tụ Ký hiệu S n ( x ) tổng riêng thứ n chuỗi Ta thấy Sn+1 ( x) − Sn ( x) = un +1 ( x) = 2n +1 sin Khi với n ta chọn xn = x thì: 3n S n+1 ( xn ) − S n ( xn ) = n+1 sin Vậy nên với ε = sin n +1 3n +1 ⋅ 3n = 2n +1 sin 1 ∀n ∃p = ∃xn = n 3 1 1 S n+1 ( xn ) − S n ( xn ) = S n+1  n  − S n  n  3  3  1 = n+1 sin > sin = ε > 3 Theo nguyên lý Cauchy, chuỗi hội tụ không ( 0, +∞ ) Từ Thị Yến 23 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Định lí 1.16 (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) gồm hàm n= n un xác định tập U Giả thiết tồn dãy số dương {Cn } cho: a) un ( x) ≤ Cn ∀x ∈U ∀n ∈ N∗ +∞ b) Chuỗi số ∑C n =1 n Khi chuỗi hàm h ội t ụ +∞ ∑ u ( x ) hội tụ U n =1 n Ví dụ Ta dễ dàng nhận tính hội tụ chuỗi hàm sin ( nx ) (trên toàn n2 n =1 ∞ ∑ trục số), sin ( nx ) ≤ , ∀n = 1,2,3, n2 n chuỗi số ∞ ∑n n =1 h ội t ụ Ví dụ Khảo sát hội tụ tập cho tương ứng: ∞ xn a) ∑ , − ≤ x ≤ n =1 n ∞ b) cos nx , − ∞ < x < +∞ 3n n =1 ∑ Từ Thị Yến 24 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp (−1) n , − < x < +∞ c) ∑ n n =1 x + ∞ a) Ta có xn , x ∈ [ −1,1] ≤ n2 n2 Vì chuỗi ∞ hội tụ nên theo định lí Weierstrass chuỗi ∑ n =1 n ∞ xn hội tụ ∑ n =1 n đoạn [ −1,1] b) Ta có cos nx ≤ n , x ∈ (−∞, +∞) 3n Vì chuỗi ∞ hội tụ nên theo định lý Weierstrass chuỗi ∑ n n =1 ∞ cos nx hội 3n n =1 ∑ tụ khoảng ( −∞, +∞) (−1) n c) Với x ∈ ( −2, +∞) < n , ∀n ≥ n x+2 −2 Vì chuỗi ∞ hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh chuỗi ∑ n n=2 ∞ ∑2 n =2 n hội tụ −2 Từ áp dụng định lý Weierstrass ta suy chuỗi cho hội tụ khoảng ( −2, +∞) Định lí 1.17 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm {an } ,{bn } xác định tập U Giả thiết : Từ Thị Yến 25 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp a) Dãy tổng riêng An ( x ) chuỗi hàm ∞ ∑ a ( x) n n =1 có nghĩa tồn số M > cho An ( x) = bị chặn U n ∑ a ( x) ≤ M k =1 ∀n ∀x ∈U k b) Dãy hàm {bn } đơn điệu có nghĩa với x ∈U dãy {bn ( x )} dãy số đơn điệu dãy hàm {bn } hội tụ U đến Khi chuỗi hàm ∞ ∑ a ( x)b ( x) hội tụ U n =1 n n Ví dụ Xét tính hội tụ chuỗi hàm sin ( nx ) Vì chuỗi ∑ n n =1 ∞ ∞ ∑n không hội n =1 tụ nên ta áp dụng tiêu chuẩn Weierstrass Đặt an ( x ) = sin ( nx ) bn = , ta thấy bn đơn điệu hội tụ đến n An = n ∑a k =1 k = n ∑ sin ( kx ) ≤ k =1 x sin   2 An bị chặn đoạn không chứa điểm bội 2π Theo dấu hiệu Dirichlet ta suy chuỗi sin ( nx ) hội tụ ∑ n n =1 ∞ đoạn nói Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ∞ sin nx , ε ≤ x ≤ π − ε , (0 < ε < π ) n n =1 ∑ Từ Thị Yến 26 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi cho có dạng ∞ n =1 bn ( x) = an ( x) = sin nx , ∑ a ( x)b ( x) , n n n Ta có x cos − cos(n + ) x 2 ≤ ≤ sin kx = ∑ x ε x k =1 2sin sin sin 2 n Còn dãy bn ( x ) = đơn điệu giảm hội tụ n → +∞ Vì n theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi hàm hội tụ đoạn [ε , π − ε ] Định lí 1.18 (Dấu hiệu Abel) Cho hai dãy hàm {an } ,{bn } xác định tập U Giả thiết: a) Chuỗi hàm ∞ ∑ a ( x) hội tụ U n n =1 b) Dãy hàm {bn } đơn điệu với x bị chặn có nghĩa với x ∈ U dãy số {bn ( x )} dãy đơn điệu tồn số M > cho bn ( x ) ≤ M | ∀x ∈ U Khi chuỗi ∞ ∑ a ( x)b ( x) hội tụ U n =1 n n Ví dụ Chứng minh chuỗi Dirichlet +∞ an ∑n n =1 x hội tụ điểm x = x0 chuỗi hội tụ với x > x0 Giải Với x > x0 ta có Từ Thị Yến 27 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp +∞ an ∞ an = ∑ x0 x− x0 ∑ x n n n=1 n=1 n Theo giả thiết chuỗi +∞ an ∑n n=1 x0 hội tụ, n → ∞ Do theo dấu hiệu Abel chuỗi +∞ an ∑n n =1 x n x − x0 đơn điệu giảm đến hội tụ với x > x0 Phần cuối trình bày toán thứ 2.4 Bài toán tính tổng chuỗi hàm Việc tính tổng chuỗi hàm cách trực tiếp khó khăn Ví dụ Cho hai chuỗi hội tu = − x + x − + (−1)n−1 x n−1 , x < 1+ x n−1 2( n −1) x , x < = − x + x − + ( −1) 1+ x Hãy tính tổng chuỗi hàm sau +∞ ∑ (−1)n−1 n =1 xn n +∞ ∑ (−1)n−1 n =1 x n−1 , x < 2n − Chính để tính tổng chuỗi hàm ta đưa sử dụng số tính chất tổng chuỗi hàm để việc tính tổng chuỗi hàm thuận lợi Định lí 1.19 (Tính liên tục) Cho chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) Giả thiết rằng: n =1 n a) un hàm liên tục tập U với n = 1, 2, b) Chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) hội tụ U đến tổng S ( x ) n =1 n Khi S hàm liên tục U Từ Thị Yến 28 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Chú ý Định lí điều kiện đủ Ví dụ chuỗi ∞ ∑x n = n =0 tổng hàm liên tục chuỗi hàm ∞ ∑x n với x ∈ ( −1,1) có 1+ x hội tụ không n=0 ( −1,1) Ví dụ Nghiên cứu tính chất liên tục hàm +∞ x n n =0 (1 + x ) f ( x) = ∑ Với x = tất số hạng chuỗi hàm không Do đó, chuỗi hội tụ f(0)=0 Với x ≠ chuỗi hàm tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội < Vì + x2 +∞ x x x (1 + x ) + x = = = n x x n = (1 + x ) 1− + x2 f (x) = ∑ Như nÕu x = 0 f ( x ) = 1 + x   x nÕu x ≠ Do đó, f(x) liên tục với x ≠ gián đoạn x = Ví dụ Nghiên cứu tính chất liên tục hàm +∞ x ∑ n =1 n(1 + nx ) Từ Thị Yến 29 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Đặt un ( x ) = x − nx ' , ( ) = u x n(1 + nx ) n n + nx ( Từ ta thấy hàm un ( x) đạt cực đại x = ) = x = ± n 1 đạt cực tiểu x = − n n Đồng thời ta có:     1 un  −  =  = 2n n n 2n n  n  un  Do un ( x ) ≤ +∞ Vì chuỗi +∞ , với x ∈ ( −∞; +∞ ) 2n n ∑ n=1 2n +∞ hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hàm n un ( x) =∑ ∑ n =1 n=1 n(1 + nx ) x hội tụ khoảng ( −∞; +∞ ) Mặt khác, hàm un ( x) liên tục ( −∞; +∞ ) nên tổng f(x) hàm liên tục khoảng Định lí 1.20 (Định lí Dini) Giả thiết rằng: a) Chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) hội tụ [ a, b] đến tổng S(x) n =1 n b) un (n = 1, 2, …) hàm liên tục [ a, b ] un(x) ≥ (hoặc un ( x ) ≤ ) với x ∈ [ a, b] ∀ n = 1, 2, … c) S hàm liên tục [ a, b ] Khi chuỗi hàm +∞ ∑u ( x) n =1 Từ Thị Yến n hội tụ [ a, b ] 30 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Định lí 1.21 (Qua giới hạn số hạng) Cho chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) , U tập n =1 n hợp tập số thực x0 điểm tụ U Giả sử rằng: a) Chuỗi hàm hội tụ U có tổng S b) Tồn lim un ( x) = Cn với n = 1, 2,… x→ x0 Khi đó: 1) Chuỗi số ∞ ∑C n =1 n hội tụ ∞ +∞ +∞ n =1 n =1 2) lim S ( x) = ∑ Cn hay lim ∑ un ( x ) = ∑ lim un ( x ) x → x0 x→ x0 n =1 x → x0 Định lí 1.22 (Tích phân số hạng) Cho chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) Giả sử n =1 n rằng: a) un (n = 1, 2, …) hàm khả tích [ a, b ] b) Chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) hội tụ [ a, b] đến tổng S(x) n =1 n Khi đó: 1) S hàm khả tích [ a, b ] b +∞ b a n =1 a 2) ∫ S ( x) dx = ∑ ∫ un dx Ví dụ Cho hai chuỗi hội tụ = − x + x − + (−1)n−1 x n−1 , x < 1+ x Từ Thị Yến n−1 2( n −1) x , x < = − x + x − + ( −1) 1+ x 31 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Hãy tính tổng chuỗi hàm sau +∞ xn n ∑ (−1)n−1 n =1 +∞ ∑ (−1)n−1 n =1 x n−1 , x < 2n − Cho x cố định, tùy ý cho x < Khi đó, chuỗi x < 1) Do đó, theo dấu hiệu hội tụ Weierstrass, chuỗi hàm +∞ ∑x n =0 +∞ n hội tụ (vì (−1)n t n ∑ n=0 h ội t ụ với t: t ≤ x , tức t ∈ (− x ; x ) Nếu x > (với x < xét tương tự), chuỗi hội tụ đoạn 0, x  nên lấy tích phân số hạng chuỗi đoạn ta có +∞ +∞ dt n n = ( − 1) t dt = (−1)n ∫ t n dt ∑ ∫0 + t ∫0 n∑=0 n =0 x x +∞ x n+1 ,0 < x Vậy R = , khoảng hội tụ ( −1,1) Tại x = chuỗi phân kỳ, x = −1 chuỗi phân kỳ Từ Thị Yến 33 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Trong khoảng hội tụ ta đạo hàm số hạng ' ∞  x n −3  4( n −1) = = ∑   ∑x − x4 n =1  4n −  n =1 ∞ 1 1  =  +  , −1 < x < 2  + x − x2  x n −3  1  Do ∑ = ∫ + dt 2 1+ t 1− t2  n =1 n − ∞ x 1+ x , = arctan x − ln 1− x −1 < x < Ví dụ Tính tổng chuỗi sau (−1) n−1 ∑ n −1 n =1 (2 n − 1)3 ∞ Xét chuỗi ∞ ∑ (−1)n−1 n =1 x n −1 có bán kính hội tụ R = , khoảng hội tụ 2n − ( −1,1) Tại x = ±1 chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibniz Trong khoảng hội tụ ta đạo hàm số hạng ∞ ∑ (−1) n =1 ' n −1  x n−1  ∞ n −1 n −   = ∑ (−1) x  2n −  n =1 ∞ = ∑ ( −1) n x n = n =0 , + x2 −1 < x < Do Từ Thị Yến 34 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp ∞ ∑ (−1) x n −1 dt =∫ = arctan x , −1 < x < 2n − 1 + t x n −1 n =1 Thay x = < , ta có ∞ ∑ (−1) n −1 n =1   2n −   n −1 ∞ (−1) n −1 = ∑ n −1 n=1 (2n − 1)3 = arctan Vậy ( −1) n −1 π = ∑ n −1 (2 n − 1)3 n =1 ∞ lim n→∞ Tương tự lim n→∞ π Như S ( x0 ) = Từ Thị Yến π = π π ∫ π π ∫ f ( x0 + t )  1 sin  n + tdt = f ( x0 + ) t 2  2sin f ( x0 + t ) 1  sin  n + t dt = f ( x0 − ) t 2  2sin π ∫ f ( x0 + t ) + f ( x0 − t )  1 sin  n + tdt □ t 2  2sin 35 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khóa luận với đề tài “Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích toán học” nghiên cứu tổng quan số toán lí thuyết chuỗi bao gồm nội dung của: Chuỗi số chuỗi hàm Với đề tài này, khóa luận mong muốn đóng góp kinh nghiệm, giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu số toán lý thuyết chuỗi giải tích nói chung học phần giải tích nói riêng Dù cố gắng song trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên khóa luận chưa đưa nhiều dạng tập minh họa Em mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Từ Thị Yến 36 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Liasko.I.I, Boiatruc.A.K, GaiIa.G, Golovac G.P (1977), Giải tích toán học ví dụ tập tập 1, tập (tiếng Nga), NXB Golovnoie, Kiev Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2002), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2002), Bài tập giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục, Phạm Duy Điển, Tạ Duy Phượng (2005), Giải tích toán học hàm số biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Jean, Marie, Monier (2009), Giáo trình toán tập 3, tập 4, NXB Giáo dục Việt Nam Từ Thị Yến 37 K35B – Toán [...]... bày lý thuyết cơ bản của chuỗi hàm, phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số bài toán cơ bản của chuỗi hàm là: Tìm miền hội tụ, xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm và tính tổng chuỗi hàm 2.1 Định nghĩa Chuỗi hàm là tổng hình thức u1 + u2 + … + un + … = +∞ ∑u ( x) n =1 n (2.1) Trong đó u n ( x ) , n = 1, 2, là các hàm cùng xác định trên một tập U nào n đó, các tổng riêng S n ( x ) = ∑ uk ( x ) của chuỗi. .. trình bày bài toán cơ bản thứ 2 1.3 Bài toán tính tổng chuỗi số n Định nghĩa 1.5 Cho dãy số a1 , a2 , , an , Đặt An = a1 + a2 + + an = ∑ ak k =1 ∞ n Ký hiệu : A = ∑ ak = lim An = lim ∑ ak n →∞ k =1 và gọi ∞ ∑a k =1 k n →∞ k =1 là một chuỗi số Nếu dãy { An } hội tụ và lim An = A thì ta nói chuỗi n→∞ ∞ ∑a k =1 k hội tụ và có tổng bằng A Nếu dãy { An } không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số Từ Thị... bày bài toán cơ bản thứ 3 2.4 Bài toán tính tổng chuỗi hàm Việc tính tổng của chuỗi hàm một cách trực tiếp là rất khó khăn Ví dụ Cho hai chuỗi hội tu 1 = 1 − x + x 2 − + (−1)n−1 x n−1 , x < 1 1+ x 1 2 4 n−1 2( n −1) x , x < 1 2 = 1 − x + x − + ( −1) 1+ x và Hãy tính tổng của các chuỗi hàm sau +∞ ∑ (−1)n−1 n =1 xn và n +∞ ∑ (−1)n−1 n =1 x 2 n−1 , x < 1 2n − 1 Chính vì vậy để tính được tổng của chuỗi. .. của chuỗi (2.1) lập thành một dãy hàm k =1 xác định trên U, kí hiệu {S n } Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ nhất: 2.2 Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Định nghĩa 1.6 Cho chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) xác định trên tập U n =1 n Nếu dãy các tổng riêng {S n } hội tụ tại x0 ∈U thì ta nói chuỗi hàm (2.1) hội tụ tại điểm x0 Nếu dãy {S n } phân kì tại x0 thì ta nói chuỗi hàm (2.1) phân kì tại... số Từ Thị Yến 15 ∞ ∑a k =1 k phân kỳ K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp n Ta gọi an là số hạng của chuỗi số, An = ∑ ak là tổng riêng thứ n , còn dãy k =1 { An } là dãy tổng riêng của chuỗi số Ví dụ 1 Tính tổng của chuỗi ∞ 1 ∑ n(n + 1)(n + 2) n =1 Ta có 1 1 1 2 1 = ( − + ) n( n + 1)( n + 2) 2 n n + 1 n + 2 1 1 1 1 1 = [( − )−( − )] 2 n n +1 n +1 n + 2 Từ đó chuỗi đã cho có tổng riêng thứ n là n 1 1 n... lim n→∞ Định lí 1.12 (Dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi số dương ∞ ∑a n =1 n 1) Nếu tồn tại một số r > 1 và một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥  a  n0 ta đều có Rn = n  n − 1  ≥ r > 1 thì chuỗi  an + 1  ∞ ∑a n =1 n hội tụ 2) Nếu tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta đều có Rn ≤ 1 thì chuỗi ∞ ∑a n =1 n Hệ quả Giả sử phân kì ∞ ∑a n =1 n là chuỗi số dương và tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô... = 0 thì chuỗi n →+∞ Ví dụ 11 ∞ ∑ (−1) n =1 n −1 an hội tụ ∞ ( −1)n−1 1 là một chuỗi đan dấu với an = thỏa mãn các giả n n thiết của định lý Leibniz: 1 1 1 an = > = an+1 và nlim an = nlim =0 →∞ →∞ n n +1 n nên đó là chuỗi hội tụ Chuỗi ∑ n =1 Ví dụ 12 ∞ 1 ( −1)n−1 đơn điệu và giảm ∑ n là chuỗi đan dấu với an = n + 2n n=1 n + 2 dần về 0 khi n → ∞ nên theo định lý Leibniz thì đó là chuỗi hội tụ Chuỗi Sau... trên tập U thì ta nói rằng chuỗi hàm (2.1) hội tụ (hay hội tụ điểm) trên tập U Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó Từ Thị Yến 20 K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp Giới hạn của dãy tổng riêng trên U được gọi là tổng của chuỗi hàm trên U, +∞ tức là có hàm S ( x ) = ∑ un ( x ) := lim S n ( x ) n →∞ n =1 Ví dụ 1 ∀x ∈U +∞ Xét chuỗi hàm xn ∑ n =0 Ta biết... tôi trình bày bài toán cơ bản thứ 2: 2.3 Bài toán xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm Định nghĩa 1.7 Nếu dãy các tổng riêng {S n } hội tụ đều trên tập U thì ta nói rằng chuỗi hàm +∞ ∑ u ( x ) hội tụ đều trên k =1 Nghĩa là, chuỗi hàm k +∞ ∑ u ( x ) được gọi là hội tụ đều trên U nếu k =1 k ∀ε > 0 ∃n0 = n0 ( ε ) : ∀n > n0 thì rn ( x ) = Từ Thị Yến tập U 21 +∞ ∑ u ( x) < ε k = n +1 k ∀x ∈U K35B – Toán Khóa luận... p ≤ 1  Vậy chuỗi số ∞ 1 ∑n n =1 p hội tụ khi p > 0 và phân kỳ khi p ≤ 0 Định lí 1.10 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương ∞ ∑a n =1 n , giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n an = c n→∞ Khi đó: 1 Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ 2 Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kì Ví dụ 5 Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 + a + ab + a 2b + a 2b 2 + + a nb n −1 + a nb n + trong đó a, b là hai số dương khác ... K35B – Toán Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khóa luận với đề tài Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích toán học nghiên cứu tổng quan số toán lí thuyết chuỗi bao gồm nội dung của: Chuỗi số chuỗi. .. Chuỗi số Chuỗi hàm Trong toán học chuỗi tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức chuỗi xây dựng công thức hay thuật toán hay chí số ngẫu nhiên Chuỗi hữu hạn, có số. .. nghiên cứu giải tích có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học nhiều ngành khoa học khác như: Vật lý, Thiên văn, Địa lý Quá trình học môn Giải tích toán học trường Đại học, lý thuyết chuỗi quan