Một số bài toán cơ bản của lý tuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Phùng Đức Thắng tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập & thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên TỪ THỊ YẾN Từ Thị K35B – Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan hướng dẫn ThS Phùng Đức Thắng khóa luận “Một số tốn lý thuyết chuỗi giải tích tốn học” hồn thành khơng trùng với cơng trình khoa học khác Trong thực khóa luận tơi sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên TỪ THỊ YẾN MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương CHUỖI SỐ 1.1 Các khái niệm tính chất 1.2 Bài toán xét hội tụ chuỗi số 1.3 Bài tốn tính tổng chuỗi số 16 Chương CHUỖI HÀM 20 2.1 Định nghĩa 20 2.2 Bài toán tìm miền hội tụ chuỗi hàm 20 2.3 Bài toán xét hội tụ chuỗi hàm 21 2.4 Bài tốn tính tổng chuỗi hàm 28 KẾT LUẬN .36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tốn học, giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học nhiều ngành khoa học khác như: Vật lý, Thiên văn, Địa lý… Quá trình học mơn Giải tích tốn học trường Đại học, lý thuyết chuỗi quan tâm Nó gồm phần : Chuỗi số Chuỗi hàm Trong toán học chuỗi tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức chuỗi xây dựng cơng thức hay thuật tốn hay chí số ngẫu nhiên Chuỗi hữu hạn, có số biểu thức hữu hạn, hay vơ hạn, có số lượng biểu thức dài vơ hạn Chuỗi hữu hạn xử lý phép tính đại sơ cấp Trong đó, chuỗi vơ hạn cần cơng cụ giải tích ứng dụng tốn học Mặt khác, giải tích kết nghiên cứu lý thuyết chuỗi có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết lẫn thực hành Để tìm hiểu lý thuyết chuỗi định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích tốn học” để thực khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Tốn Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm hệ thống lại toán lý thuyết chuỗi giải tích tốn học Nhiệm vụ nghiên cứu Từ Thị K35B – Toán Các toán chuỗi số Các toán chuỗi hàm Từ Thị K35B – Toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm Phạm vi nghiên cứu: Giải tích cổ điển Phương pháp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp, đánh giá, so sánh Chương CHUỖI SỐ Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày lý thuyết chuỗi số, phần chúng tơi trình bày hai tốn chuỗi số là: xét hội tụ chuỗi số tính tổng chuỗi số 1.1 Các khái niệm tính chất a1, a2 , , an , Định nghĩa 1.1 Cho dãy Đặt số  n An a1 a2  an ∑a k k 1 n Ký hiệu A ∑ ak lim An lim ∑ ak : n k 1 n k 1  gọi ∑a k 1 k chuỗi số Định nghĩa 1.2 Nếu dãy  An  hội tụ lim An A ta nói chuỗi  ∑a k 1 n k hội tụ có tổng A  Nếu dãy  An  khơng có giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi số k 1 ∑a k phân kỳ Ta gọi an số hạng chuỗi số, An ∑a k tổng riêng thứ n , dãy  An là dãy tổng riêng chuỗi số n k 1 hội tụ A với n nguyên a ∑ k dương  Định nghĩa 1.3 Nếu chuỗi số k 1 hiệu AA gọi phần dư thứ n chuỗi Kí hiệu: rn n  Dễ thấy rn  ∑ ak k n1 Từ định nghĩa trên, dễ dàng suy định lý sau hội tụ a ∑ chuỗi  Định lý 1.1 Điều kiện cần đủ để chuỗi hội  ∑ a n n 1 k k n1 tụ Từ tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi số sau: Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi n0 n0 () N cho n n0 p  ∑a n  0 hội tụ n 1 N ta có an1 an2  anp  Hệ Nếu chuỗi số ∑a n 1 n  hội tụ lim an 0 n  Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính) Giả sử chuỗi ∑an n1  ∑bn hội tụ n1 có tổng A B,   số thực Khi  ∑ ( a n1 n .bn ) chuỗi hội tụ có tổng S A B Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu số hạng chuỗi hội tụ gộp lại thành nhóm (nhưng khơng làm thay đổi thứ tự chúng) chuỗi thu hội tụ có tổng tổng chuỗi cho Sau trình bày tốn thứ nhất: 1.2 Bài toán xét hội tụ chuỗi số Phần đưa công cụ cho phép xét hội tụ chuỗi số, công cụ cho phép nhận biết chuỗi hội tụ phân kỳ đưa số ví dụ cụ thể minh họa  Chú ý Định lí điều kiện đủ Ví dụ chuỗi ∑ n x  với x   1,1có x n0  tổng hàm liên tục chuỗi hàm n x ∑ hội tụ khơng n0  1,1 Ví dụ Nghiên cứu tính chất liên tục hàm  x f ( x)  ∑ n0(1x Với n ) x tất số hạng chuỗi hàm khơng Do 0 đó, chuỗi hội tụ f(0)=0 Với x chuỗi hàm tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công 0 bội 1 Vì x 2  f (x)  ∑ x n0 (  x2 )  n Như 0   1x f (x) 1 x   x Do đó, f(x) liên tục với x (1 x ) x   x x x nÕu x 0 nÕu x 0 x gián đoạn 0 x 0 Ví dụ Nghiên cứu tính chất liên tục hàm  ∑n x n(1 nx2 ) Đặt u (x)  x n u n(1nx ) nx2 0 x)  , '(  n nx2 n Từ ta thấy hàm  đạt cực đại x  un (x) x   n n đạt cực tiểu x  n Đồng thời ta có:    1 1 u = u  = 2n n  n  n 2n n n Do  n  , un (x)  với x   ;   2n n  Vì chuỗi ∑ 2n n1 hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hàm n   x u x ∑ n( nx2 ) n1 ( )  ∑1  n n1 hội tụ khoảng  ;   Mặt khác, hàm un (x) liên tục ; nên tổng f(x) hàm liên tục khoảng Định lí 1.20 (Định lí Dini) Giả thiết rằng:  a) Chuỗi hàm ∑u n x hội tụ  a,b đến tổng S(x) n1 Từ Thị Yến 30 K35B – Toán  un (n 1, 2, …) hàm liên tục a,b un x0 ) với x un(x) 0 (hoặc n = 1, 2, …  a,b c) S hàm liên tục  a,b   Khi chuỗi hàm x Từ Thị Yến ∑u n hội tụ  a,b  n1 31 K35B – Toán Định lí 1.21 (Qua giới hạn số hạng) Cho chuỗi hàm  ∑u x, U tập n1 n hợp tập số thực x0 điểm tụ U Giả sử rằng: a) Chuỗi hàm hội tụ U có tổng S b) Tồn lim un (x) Cn với n = 1, 2,… xx0 Khi đó: hội tụ  1) Chuỗi số ∑C 2) n lim S (x) ∑ C n xx0 n 1     lim u x y ∑ n   ∑ lim un x n 1 xx0 n1 n1 xx0 Định lí 1.22 (Tích phân số hạng) Cho chuỗi hàm  ∑u x Giả n sử rằng: n 1 a) un (n = 1, 2, …) hàm khả tích  a,b  b) Chuỗi hàm Khi đó:  ∑u hội tụ  a,b đến tổng S(x) n x n1 1) S hàm khả tích  a,b  b 2) ∫ S (x)dx ∑ ∫ u a Ví dụ  b n 1 a n dx Cho hai chuỗi hội tụ n1 n1 1x 1x x  (1) x , x 1 1 x 1 x2 x4  (1)n1 x2(n1) , x 1 Hãy tính tổng chuỗi hàm sau  n n1x (1) ∑ n1  ∑(1) n1 x 2n1 , x 1 2n 1 n n1  x 1 Khi đó, chuỗi Cho x cố định, tùy ý cho ∑ n0 x 1) Do đó, theo dấu hiệu hội tụ Weierstrass, chuỗi hàm với t: n x hội tụ (vì  (1)n ∑ n t n0 hội tụ t x , tức t(x ; x ) Nếu x > (với x < xét tương tự), chuỗi hội tụ đoạn  0, x  nên lấy tích phân số hạng chuỗi đoạn ta có x dt x n  ∫1 ∫ ∑ (1 ) t  n0 t dt  ∑ (1) n n n0 t dt ∫ n n  hay ln(1 x) ∑(1) x n1 n n 1 n0  n n1 x Vậy ln(1 x) ∑(1)n1 x , Tương tự, chuỗi hàm , x 1 x 1  ∑ (1) n0 n 2n t hội tụ đoạn  0, x  với x 1(với 1 x 0 xét tương tự) nên lấy tích phân số hạng chuỗi đoạn ta có: x x  dt ∫ 1t ∫ ∑ (1)n t2ndt ∑ (1)n t2ndt n0 x  n0 ∫ Từ  arctanx n0 ∑ (1) Vậy với x 1, arctanx ∑(1)n  n1 x n x2n1 2n 1 2n1 2n  ; x 1 Định lí 1.23 (Lấy đạo hàm số hạng) Cho chuỗi hàm  ∑u x Giả n thiết rằng: n 1 a) Chuỗi hàm hội tụ điểm thuộc  a,b  x0 b) un hàm khả vi  a,b n = 1, 2, … c) Chuỗi đạo hàm  ∑u ' x  g x.Khi đó: n hội tụ  a,b có tổng hàm n1 1) Chuỗi hàm  ∑u hội tụ  a,b  có tổng S(x) n x n 1 2) S hàm khả vi  a,b  S 'x g xx (a,b) Ví dụ Tính tổng chuỗi sau  ∑ n1 Đặt un (x)  x 4n3 4n 3 x4n3 , (n 1, 2, ) Ta có 4n 3 lim un1 (x) 4n 3  lim x  x 4n1 n un (x) 4n3 n  lim 4n 3 n Từ chuỗi hội tụ 4n 1 x4 4n 1 x 1hay x 1, phân kỳ x 1 Vậy R 1, khoảng hội tụ 1,1   Tại x 1 chuỗi phân kỳ, x 1 chuỗi phân kỳ Trong khoảng hội tụ ta đạo hàm số hạng  x 4n3 ∑ n1  ' 3   4n   ∑x 4( n1)  n1 x  1 ,    2 x x   Do 1   ∫ 0 n1 4n 3 t  ∑ x 4n3 x  1 x 1 dt 2 t  1 x arctan x  ln , x 1 x 1 Ví dụ Tính tổng chuỗi sau  ∑ (1) n1 n1 n1 (2n 1)3 Xét chuỗi  (1) ∑ n1 n x2n1 có bán kính hội tụ R 1, khoảng hội tụ 2n 1  1,1  Tại x 1 chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibniz Trong khoảng hội tụ ta đạo hàm số hạng  ∑ (1) n 1  2n1 '   (1)  x   ∑ n1 x2n2 n1  2n  n1  ∑ (1)n x2n  n0 Do x , 1 x 1  dt  ∑ ∫ 2n 1 n1 arctan x x x2n1 n1 (1) , 1 x 1 t Thay x  1, ta có  ∑ (1) n1 2n1 1    2n 1  n1  ∑ n1 n1 (1) n1 (2n 1)3 arctan   Vậy (1) ∑ n1 n1 n1 (2n 1)3 lim n  ∫1 lim  n  Như 2sin   x  t  f ∫ 2sin  sin    Sx f x0 t   Tương tự  3 t   t 0  n tdt  f x  2  fx 0  sin  n   t dt    f x0 t  ∫  t0  2sin f x0 t   sin n   tdt □     KẾT LUẬN Khóa luận với đề tài “Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích tốn học” nghiên cứu tổng quan số tốn lí thuyết chuỗi bao gồm nội dung của: Chuỗi số chuỗi hàm Với đề tài này, khóa luận mong muốn đóng góp kinh nghiệm, giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu số toán lý thuyết chuỗi giải tích nói chung học phần giải tích nói riêng Dù cố gắng song trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên khóa luận chưa đưa nhiều dạng tập minh họa Em mong đóng góp ý kiến q thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Liasko.I.I, Boiatruc.A.K, GaiIa.G, Golovac G.P (1977), Giải tích tốn học ví dụ tập tập 1, tập (tiếng Nga), NXB Golovnoie, Kiev Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2002), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2002), Bài tập giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục, Phạm Duy Điển, Tạ Duy Phượng (2005), Giải tích tốn học hàm số biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Jean, Marie, Monier (2009), Giáo trình tốn tập 3, tập 4, NXB Giáo dục Việt Nam ... mơn Giải tích tốn học trường Đại học, lý thuyết chuỗi quan tâm Nó gồm phần : Chuỗi số Chuỗi hàm Trong toán học chuỗi tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức chuỗi. .. tài Một số tốn lý thuyết chuỗi giải tích tốn học để thực khóa luận tốt nghiệp Đại học chun ngành Sư phạm Tốn Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm hệ thống lại tốn lý thuyết chuỗi giải tích toán học. .. Thắng khóa luận Một số toán lý thuyết chuỗi giải tích tốn học hồn thành khơng trùng với cơng trình khoa học khác Trong thực khóa luận tơi sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết