Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tốn học giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích khơng áp dụng vào lĩnh vực khác tốn học mà áp dụng ngành khoa học khác vật lý, hóa học, thiên văn học, … Mặt khác, giải tích kết nghiên cứu lý thuyết chuỗi có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết lẫn thực hành Vì khóa luận em chọn đề tài “Những nội dung lý thuyết chuỗi giải tích tốn học” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm hệ thống lại nội dung lý thuyết chuỗi giải tích tốn học Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nội dung về: Chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier Đối tượng phạm vi nhiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Những nội dung lý thuyết chuỗi Phạm vi nghiên cứu: Học phần giải tích Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu, phân tích tài liệu - Hệ thống vấn đề - Sưu tầm, giải toán - Tống kết kinh nghiệm Phan Thị Nhài K33C – Toán NỘI DUNG Chương CHUỖI SỐ 1.1 Chuỗi số tính chất Định nghĩa 1.1 Cho dãy số chuỗi số kí hiệu an , tổng vơ hạn a1 an n n an gọi an n ak tổng riêng thứ n, dãy Ta gọi Sn = a2 Sn gọi dãy tổng k riêng chuỗi số an n Định nghĩa 1.2 Cho chuỗi số có dãy tổng riêng Sn Nếu Sn hội an n tụ tới S ta nói chuỗi hội tụ gọi S tổng chuỗi số Kí hiệu an n S an n Nếu dãy Sn phân kì chuỗi an gọi chuỗi phân kì n Định nghĩa 1.3 Nếu chuỗi số hội tụ S với n nguyên dương an n hiệu S gọi phần dư thứ n chuỗi Kí hiệu: rn Sn Dễ thấy rn ak k n Từ định nghĩa trên, dễ dàng suy định lý sau Định lí 1.1 Điều kiện cần đủ để chuỗi n ak hội an hội tụ chuỗ i k n tụ Từ tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Caychy hội tụ chuỗi số sau: Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi an hội tụ n n0 n0 ( ) N p n cho N ta có n0 an an Hệ Nếu chuỗi số an p hội tụ lim an n an n Nhận xét Kết sử dụng để kiểm tra tính phân kỳ chuỗi Nhưng lưu ý điều kiện cần hội tụ, mà điều kiện đủ Ví dụ Chuỗi điều hòa n 1 chuỗi không hội tụ Thật vậy, an an 1 có số hạng tổng quát n a n an p0 n n n n N , n p0 n cho n 2n 2n Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy chuỗi điều hòa khơng hội tụ Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính) Giả sử chuỗi ak (1) vàbk (2) hội k tụ có tổng A B, k số thực Khi A B ( an n bn ) chuỗi hội tụ có tổng S Chứng minh Đặt Sn n ak n bk k n ak k bk An Bn k An, Bn tổng riêng thứ n chuỗi (1) (2) Khi tồn S lim Sn n lim An n Bn A B W Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu số hạng chuỗi hội tụ gộp lại thành nhóm (nhưng khơng làm thay đổi thứ tự chúng) chuỗi thu hội tụ có tổng tổng chuỗi cho Chứng minh Giả sử chuỗi a1 a2 an (1) hội tụ Ta nhóm an n cách tùy ý số hạng kề (không làm thay đổi thứ tự chúng): a1 a2 Đặt V1 an a1 an a2 minh an an a , Vnk1 k an k (3) hội tụ có tổng S Vk k Thật vậy, dãy tổng riêng (1): S1 a1 S2 a1 a2 a1 a2 Sn an chứa dãy tổng riêng (3): S n1 a1 Sn an a2 an an V1 V2 a n (k k an k 2) Ta chứng S nk an k 1 an k Vk Suy dãy {Vk } hội tụ limVk lim Sn k S.W n Nhận xét Điều ngược lại không Chẳng hạn chuỗi 1 1 hội tụ chuỗi 1 1 1) 1 n 1 ( n phân kì n dãy tổng riêng Sn chuỗi không tồn giới han lim Sn n Định lí 1.5 (Dirichlet ) Giả sử rằng: i) Chuỗi số n an có dãy tổng riêng bị chặn, tức tồn số M > cho |An| = |a1 + a2 + + an| M với n ii) {bn} dãy đơn điệu giảm lim bn n Khi chuỗi an bn n hội tụ Chứng minh Chọn số M cho |An| tồn số tự nhiên N cho bn an bn an b n AnA1n bn Anbn M bn 1 An bnb1nAn 2Mbn2M 2M an p bn cho trước, ta có p bnb1n pN n>N 2M n N Với M, 2 bn An bn Anb12 n p bn p p bnApn p bn p An p 1p p bn An pbn p Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có điều phải chứng minh.W Định lí 1.6 (Abel) Giả thiết: i) Chuỗi an hội tụ n ii) Dãy{bn} đơn điệu bị chặn Khi chuỗi an bn n hội tụ Chứng minh Do dãy bn dãy đơn điệu bị chặn hội tụ đến b đó, ta xét dãy cn với cn bn b áp dụng dấu hiệu Dirichlet ta có điều cần chứng minh, n an bn = an cn + b 1 n n an W 1.2 Chuỗi số dương Chuỗi số gọi chuỗi số dương số hạng an an n chuỗi dương Dễ dàng suy định lý sau Định lí 1.7 (Điều kiện cần đủ) Điều kiện cần đủ để chuỗi số dương hội tụ dãy tổng riêng bị chặn Để chứng minh chuỗi số dương hội tụ ta thường sử dụng dấu hiệu (không chứng minh) sau: Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử n n an bn hai chuỗi số Điều suy từ định lý Weierstrass với nhận xét sin nx cos nx 1với n, x 2) Nếu dãy số an bn đơn điệu giảm tiến dần đến chuỗi lượng giác hội tụ điểm x k , Giả sử chuỗi lượng giác hội tụ đoạn Khi tổng a0 f x , hàm liên tục đoạn f x cos px an cos nx a0 cos px bn sin nx n với số nguyên p chuỗi an cosnx.cos px bn sin nx.cos px n hội tụ Từ cơng thức tích phân tổng chuỗi hội tụ tính trực giao đơi hệ hàm lượng giác ta suy ra: an bn 1 fx cos nx dx n f (x)sinnx dx 0,1, 2, n 1, 2, , 4.2 Chuỗi Fourier Định nghĩa 4.2 Giả sử f hàm khả tích đoạn , kỳ Khi hệ số an , xác định theo công thức bn a fx cos nx dx n 0,1, 2, n bn f (x)sinnx dx n 1, 2, tuần hoàn chu gọi hệ số Fourier hàm f, chuỗi hàm lượng giác a0 a cos nx sin nx gọi chuỗi Fourier hàm f b n n n Định lí 4.1 Giả sử f hàm số khả tích tuần hồn với chu kỳ Nếu kí hiệu Sn(x) tổng riêng chuỗi Fourier hàm f Sn x u sin n fxu 2sin u du Chứng minh Ta có a cos kx b k k sin kx f (t)cos kt cos kx f (t)sin kt sin kx d t a Do 20 f (t)cos k(x t)d t f (t) dt , ta suy Sn x f (t) Chú ý cos (x t) cos n(x t) dt n cos kx k sin (n1 )x 2sin x sin[(n1 )(xt)] Suy Sn x f (t) 2sin x t dt Đặt u t x , ta viết lại công thức sau sin (n Sn x f (x u) u 2sin u ) du W Định nghĩa 4.3 Công thức định lý gọi tổng Dirichlet chuỗi Fourier, sin n 2sin Dn u u u gọi nhân Dirichlet cấp n Bổ để Riemann Giả sử g hàm khả tích đoạn a,b Khi đó: b 1) lim g(t)sin ptdt p a b 2) lim p g(t)cos ptdt a Chứng minh 1) Cho trước Giả sử T phân hoạch đoạn a,b với điểm chia a t0 t1 tn b Đặt mi = mi sup {g}; ti inf {g}; Mi [ti ti ti ti ; , ti ,t i ] i Mi b g(t)sin ptdt a mi i 1,2, ,n n i ti ti g(t)sin ptdt n i ti ti g(t) n mi sin ptdt i 1 n n i i ti mi i 1 p ti mi sin ptdt ti Theo giả thiết g hàm khả tích đoạn a,b nên tồn số phân hoạch T mà d T Cố định ta có chọn cố định phân hoạch T cho d T n p đủ lớn để cho Vậy với 2 mi i 1 p ta chọn tồn số tự nhiên p cho p p0 b g(t)sin ptdt a 2 b Hay lim g(t)sin ptdt p a Trường hợp chứng minh tương tự W Hệ Dãy hệ số an hàm khả tích , có giới bn Fourier hạn n Định nghĩa 4.4 1) Cho hàm f xác định đoạn a,b Nếu ta chia đoạn a,b thành hữu hạn đoạn a ,b i i 1,2, ,k điểm chia a ai1 b1 ak cho khoảng a , i bi lim f x x f bk b hàm f liên tục tồn giới hạn hữu hạn lim f x f bi i 1, 2, , k x bi ta nói hàm f liên tục khúc đoạn a,b 2) Nếu hàm f liên tục khúc a,b có đạo hàm f ' liên tục khúc a,b ta nói hàm f khả vi khúc đoạn a,b Định lý 4.2 (Nguyên lý địa phương) Giả sử f hàm tuần hoàn với chu kỳ hàm liên tục khúc đoạn hữu hạn Khi với R tính hội tụ chuỗi Fourier f với x0 x0 phụ thuộc vào dáng điệu hàm f khoảng x0 , x0 Chứng minh Theo công thức tổng Dirichlet S x n sin (n1 )u u f (x u) 2sin f (x0 Bằng phép đổi biến t sin (n)u u) u du 2sin u )u u du 2sin sin(n du f (x u) )t t dt 2sin sin(n f (x0 t) Ta có S x n f (x0 0 t) f (x0 2sin t t) sin (n )tdt 2 f (x0 t) f (x0 2sin t t) sin(n )tdt f (x0 t) f (x0 2sin t t) sin(n )t dt 2 Theo bổ đề Riemann lim f (x0 n t) 2sin f (x0 t t) n sin tdt 2 Như hội tụ Sn(x) n không phụ thuộc vào biểu thức f (x0 t) f (x0 2sin điệu f t t) sin(n )t dt có nghĩa phụ thuộc vào dáng - lân cận x0 W Định lí 4.3 (Định lý hội tụ chuỗi Fourier) Nếu f hàm xác định toàn trục số, tuần hoàn với chu kỳ 2π trơn khúc đoạn hữu hạn chuỗi Fourier tương ứng với f hội tụ điểm x0 có tổng S0 x fx0 0fx0 Đặc biệt f liên tục x0 S(x0) = f(x0) Chứng minh Trước hết ta chứng minh t) lim f (x0 sin(n t 2sin n )t sin(n Thực lim dt Khi t n 2sin )t sin(n f (x0 0) 1 f (x t) dt t 2sin g(t)sin(n1)t dt g t f (x0 )t dt 0) n f (x0 cos kt dt k f (x0 t) 0) sin(n )tdt f (x0 2sin sin t) f (x0 t2 0) f (x0 t)f (x0 t 0) t 2t , t t0 Vì f hàm khả vi khúc nên g hàm liên tục khúc g khả tích 0, Áp dụng bổ đề Riemann lim tdt g(t)sin n n 0 hay lim n lim n Tương tự 1 tdt f x0 t t 2sin sin n f x0 t t 2sin f x0 sin n t dt f x0 Như S x0 t fx0 t fx0 2sin t sin n tdt W 2 Khai triển Fourier đoạn l, l Cho hàm số f xác định khả vi khúc đoạn f có khai triển Fourier đoạn a0 f x l, l Khi hàm l, l a cos n x n l n b sin n x n l hệ số Fourier tính theo cơng thức sau: 1l a0 l f (x) dx l an bn l l l f (x) cos n x dx n 1, 2, l f (x) sin n x dx n 1, 2, l l l l l Chú ý 1) Nếu hàm chẵn bn 0, an n x f (x) cos dx n 0,1, 2, l l l 0,an 2) Nếu hàm lẻ a0 n x f (x) sin dx n 1, 2, l l , bn nÕu x nÕu x Ví dụ Khai triển hàm f x Trong trường hợp l a 0,an Vì hàm f lẻ nên khai triển Fourier n 1, 2, hệ số bn tính theo cơng thức bn fx sin nxdx bn cos nx n sin nxdx n Vậy f x : n 1 n sin 2n1 x 2n1 nÕu n 2k nÕu n x 2k 2k , Ta ý tổng S(x) chuỗi hàm có tính chất S với x ,0 0, f x n sin 2n x 2n1 S KẾT LUẬN Tóm lại, khóa luận với đề tài “Những nội dung lý thuyết chuỗi giải tich toán học” nghiên cứu tổng quan lí thuyết chuỗi bao gồm nội dung của: Chuỗi số, chuỗi hàm hai loại chuỗi hàm đặc biệt chuỗi lũy thừa chuỗi Fourier Với đề tài này, khóa luận mong muốn đóng góp kinh nghiệm, giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu lý thuyết chuỗi giải tích nói chung học phần giải tích nói riêng Dù cố gắng song trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên khóa luận chưa đưa nhiều dạng tập minh họa Em mong đóng góp ý kiến q thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Phan Thị Nhài TÀI LIỆU THAM KHẢO Liasko.I.I, Boiatruc.A.K, GaiIa.G, Golovac G.P, Giải tích tốn học ví dụ tập tập 1, tập 2(tiếng Nga), NXB Golovnoie, Kiev, 1977 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Bài tập giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Đinh Thế Lục, Phạm Duy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học hàm số biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Jean, Marie Monier, Giáo trình toán tập 3, tập 4, NXB Giáo dục Việt Nam, 2006 ... riêng chuỗi số an n Định nghĩa 1.2 Cho chuỗi số có dãy tổng riêng Sn Nếu Sn hội an n tụ tới S ta nói chuỗi hội tụ gọi S tổng chuỗi số Kí hiệu an n S an n Nếu dãy Sn phân kì chuỗi an gọi chuỗi. .. cn + b 1 n n an W 1.2 Chuỗi số dương Chuỗi số gọi chuỗi số dương số hạng an an n chuỗi dương Dễ dàng suy định lý sau Định lí 1.7 (Điều kiện cần đủ) Điều kiện cần đủ để chuỗi số dương hội tụ dãy...NỘI DUNG Chương CHUỖI SỐ 1.1 Chuỗi số tính chất Định nghĩa 1.1 Cho dãy số chuỗi số kí hiệu an , tổng vơ hạn a1 an n n an gọi an n