Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa...

Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 1document,pdf,docx TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TỐN ******** MAI XN TRƢỜNG MƠ TẢ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG GALOA Q f ( x )  Q,deg f ( x)  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI – 2010 tai lieu,dh su pham, luan van thac si1download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 2document,pdf,docx TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TỐN ******** MAI XN TRƢỜNG MƠ TẢ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG GALOA Qf ( x )  Q,deg f ( x)  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC: VƢƠNG THÔNG HÀ NỘI – 2010 tai lieu,dh su pham, luan van thac si2download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 3document,pdf,docx LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứa khoa học này, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn – trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô dạy em năm học vừa qua qua giúp em hồn thành khố luận Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vương Thông, người trực tiếp hướng dẫn, bảo em suốt q trình thực khố luận Do nhiều hạn chế kiến thức thời gian, khố luận nhiều thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý nhận xét thầy cơ, bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Mai Xuân Trường tai lieu,dh su pham, luan van thac si3download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 4document,pdf,docx LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khố luận chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Mai Xuân Trường tai lieu,dh su pham, luan van thac si4download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 5document,pdf,docx MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời nói đầu Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng mối quan hệ chúng Những khái niệm sở 1.1 Khái niệm trường .1 1.2 Khái niệm mở rộng trường 1.3 Phần tử đại số phần tử siêu việt 1.4 Đa thức bất khả quy 1.5 Đa thức tối tiểu 1.6 Phần tử liên hợp 2 Một số loại mở rộng trƣờng 2.1 Trường ghép thêm tập hợp 2.2 Mở rộng đơn 2.3 Mở rộng có bậc hữa hạn 2.4 Mở rộng đại số 2.5 Mở rộng tách 2.6 Mở rộng chuẩn tắc .5 2.7 Mở rộng Galoa Mối liên hệ loại mở rộng Chƣơng 2: Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q Đặt vấn đề 1.1 Cơ sở lý luận tai lieu,dh su pham, luan van thac si5download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 6document,pdf,docx Mô tả định lý 2.1 Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  2.2 Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  .10 2.2.1 Nhóm Galoa phương trình bậc có cấp 10 2.2.2 Nhóm Galoa phương trình bậc có cấp 11 2.3 Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  12 2.3.1 Nhóm Galoa phương trình bậc có cấp 14 2.3.2 Nhóm Galoa phương trình bậc có cấp 14 2.3.3 Nhóm Galoa phương trình bậc cú cấp 16 2.4 Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  24 2.4.1 f ( x) có nghiệm hữu tỷ .24 2.4.2 f ( x) có nghiệm hữu tỷ .24 2.4.3 f ( x) có nghiệm hữu tỷ .25 2.4.4 f ( x) có nghiệm hữu tỷ .29 2.4.5 f ( x) khơng có nghiệm hữu tỷ .35 Kết luận Tài liệu tham khảo tai lieu,dh su pham, luan van thac si6download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 7document,pdf,docx LỜI NÓI ĐẦU Evariste Galois sinh năm 1811 làng nhỏ bé vùng Bourgla – Reine ngoại ô Pari Ông nhà toán học thiên tài, đặc biệt lĩnh vực đại số Ơng hồn thành cơng trình nghiên cứu xuất sắc mà ngày biết đến với tên gọi “ Lý thuyết Galoa” Nguồn gốc lý thuyết Galoa vấn đề giải phương trình thức Thực chất vấn đề mở rộng trường cách ghép thêm liên tiếp thức Galoa chuyển vấn đề thành vấn đề lý thuyết nhóm Lý thuyết Galoa nghiên cứu nhóm tự đẳng cấu ( gọi nhóm Galoa ) việc tìm nhóm Galoa phương trình đại số trường Việc làm có ý nghĩa quan trọng việc xác định trường trung gian mở rộng Trước lý thuyết Galoa đời người ta quan tâm việc giải tốn dựng nào, nhiên với lý thuyết Galoa xét tính giải tốn Với lý đó, với say mê thân giúp đỡ thầy Vương Thông em mạnh dạn thực khố luận đề tài: “ Mơ tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  ” Khoá luận chia làm chương: Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng mối quan hệ chúng Chƣơng 2: Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q tai lieu,dh su pham, luan van thac si7download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 8document,pdf,docx KẾT LUẬN Đại số mơn khó, đặc biệt lý thuyết Galoa lại khó Do q trình thực đề tài em gặp nhiều vấn đề tương đối khó hiểu, việc tìm nhóm Galoa phưong trình bậc thuộc trường Q  x  tổng quát có nghiệm hữu tỷ nghiệm khơng hữu tỷ Qua việc nghiên cứu hồn thành khố luận này, em thấy lý thuyết Galoa có nhiều ứng dụng: nghiên cứu tính giải phương trình thức, phép dựng hình thước kẻ compa Hơn đóng góp phần khơng nhỏ việc nghiên cứu mở rộng trường, trường phân rã đa thức , nhóm Galoa số loại phương trình Nhờ mà xác định trường trung gian trường mở rộng Tuy nhiên khố luận chưa trình bày hết lý thuyết Galoa ứng dụng mà nêu phần nhỏ, là: “ Mơ tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  ” Còn nhiều vấn đề quan tâm khai thác, chẳng hạn: nhóm Galoa phương trình bậc n > tập số thực R, tập số hữu tỷ cách tổng quát, ,các phép dựng hình thước kẻ compa ứng dụng Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy Vương Thơng hướng dẫn, giúp đỡ tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em thực hồn thành khố luận Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Mai Xuân Trường tai lieu,dh su pham, luan van thac si8download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 9document,pdf,docx TÀI LIỆU THAM KHẢO Ngô Trúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NXBGD Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số số học tập 3, NXBGD Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, NXBĐHQGHN Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD Vương Thông (2004), Lý thuyết Galoa ứng dụng Nguyễn Quý Khang – Kiều Đức Thành (1992), Giáo trình đại số số học tập 3, ĐHSPHN2 ARTIN, Lý thuyết Galoa tai lieu,dh su pham, luan van thac si9download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 10document,pdf,docx Ch-ơng 1: số loại mở rộng tr-ờng mối quan hệ chúng Những khái niệm sở 1.1 Khái niệm tr-ờng * Định nghĩa: Tr-ờng miền nguyên X cho x X * có nghịch đảo tức x X * x '  X * : x.x '  e 1.2 Khái niệm mở rộng tr-ờng * Định nghĩa: Giả sử A, K lµ hai tr-êng vµ K  A Khi ®ã ta nãi r»ng K lµ mét më réng cđa tr-êng A Ký hiƯu K  A 1.3 PhÇn tử đại số phần t siêu việt * Định nghÜa: Cho K  A, phÇn tư c  K đ-ợc gọi phần tử đại số A tån t¹i f ( x)  A x ; f ( x)  cho f(c) = Hay tồn a0, a1 , an ca A không ®ång thêi b»ng 0: a0 + a1c + + ancn = Nếu c K, c không phần tử đại số A c đ-ợc gọi phân tử siêu việt A 1.4 a thức bất khả quy * ịnh nghĩa: Cho A tr-ờng, đa thức khác không f ( x) A x ; f ( x)  , f ( x) không khả nghịch gọi bất khả quy A x ( hay bất khả quy A ) -ớc thùc sù A x  tai lieu,dh su pham, luan van thac si10download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 10 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 57document,pdf,docx S2 S3 Q( 1 ) S4 Q(  ) Q( 1 ) e Q( 1 ,  ) 2.4.5.2 f(x) cã nghiƯm v« tû nghiệm phức Tr-ờng hợp 1: Giả sử f(x) = (x2 - k)(x2 + ax + b) ®ã k số hữu tỷ d-ơng không số ph-ơng; a, b số hữu tỷ thoả mãn a 4b ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1,2  k ; x3,4  a  i k  A iB B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân r· Q f ( x ) cña f(x) Q f ( x ) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q(  k , A  iB  ) = Q( k , i  ) ta cã : [Q( k , i  ) : Q( k )] = deg( miQ ( k ) (x)) = deg( x2 +  ) = [Q( k ) : Q] = deg( mQk (x)) = deg(x2 + k) = tai lieu,dh su pham, luan van thac si57download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 57 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 58document,pdf,docx Do ®ã [Q( k , i  ) : Q] = [Q( k , i  ) : Q( k )].[Q( k ) : Q] = 2.2 = Mét sở Q( k , i ) {1, k , i  , i k } Khi ®ã x Q( k , i  ) cã d¹ng: x = a0 + a1 k + a2 i  + a3 i k ; a0, a1, a2, a3  Q B-íc 2: : T×m nhãm Galoa cđa f(x) Do Q f ( x ) = Q( k , i  ) tr-ờng phân rã đa thức tách đ-ợc f(x) nên Q( k , i ) mở réng Galoa cña Q G(Q( k , i  ), Q)  [Q( k , i  ) : Q]  Ta biÕt r»ng   G (Q( k , i  ), Q) : f ( ( )) với nghiệm của ph-ơng trình f(x) = Đa thức f(x) không thiết phải đa thức bất khả quy Do phần tư cđa Q( k , i  ) ®Ịu biĨu diƠn nhÊt qua c¬ së {1, k , i , i k } nên tự đẳng cấu hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh Liên hợp k k - k i k Liên hợp i i  vµ - i  tai lieu,dh su pham, luan van thac si58download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 58 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 59document,pdf,docx Do ta có phép tập hỵp nghiƯm nhsau : e( k )  k 1)  e(i  )  i   S ( k )   k 2)   S (i  )  i  t ( k )  k 3)  t (i  )  i   St ( k )   k 4)   St (i  )  i   k  k A+Bi  A  Bi   e   k  k A+Bi  A  Bi      k  k A+Bi  A  Bi   S     k k A+Bi  A  Bi      k  k A+Bi  A  Bi   t    k  k A  Bi  A+Bi      k  k A+Bi  A  Bi   St      k k A  Bi A+Bi Ta chứng minh đ-ợc phép bảo toàn tổng tích Q( k , i  ) nªn chóng sinh tự đẳng cấu t-ơng ứng thuộc G Do G = G(Q k , i  ),Q) = {e, S, t, St} B-ớc : Mô tả định lý *) Tìm nhóm con: Giả sử A nhóm G, theo định lý lagrang A G  A  A  1,2,4 NÕu A = nhóm t-ơng ứng A1 = {e} Nếu A = số nguyên tố nên A nhóm xyclic sinh phần tử G có cấp tai lieu,dh su pham, luan van thac si59download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 59 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 60document,pdf,docx nghÜa lµ A  a ; a  G;ord (a)  ta sÏ ®i tÝnh cÊp phần tử thuộc G *) a = S nhóm t-ơng ứng A2 = S = {e, S} *) a = t nhóm t-ơng øng lµ A3 = t = {e, t} *) i = St nhóm t-ơng ứng A4 = St = {e, St} NÕu A = th× nhãm t-ơng ứng A5 = G = {e, S, t, St} *) Tìm tr-ờng điểm bất động Tìm C(Q( k , i  ), A1) ta cã A1 = e nªn x  C(Q( k , i  ), A1)  x = e(x) vËy C(Q( k , i  ), A1) = Q( k , i  ) T×m C(Q( k , i  ), A2) ta cã A2 = S nªn x  C(Q( k , i  ), A2)  x = S(x) vËy C(Q( k , i  ), A2) = Q( i  ) T×m C(Q( k , i  ), A3) ta cã A3 = t nªn x  C(Q( k , i  ), A3)  x = t(x) vËy C(Q( k , i  ), A3) = Q( k ) tai lieu,dh su pham, luan van thac si60download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 60 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 61document,pdf,docx T×m C(Q( k , i  ),A4) ta cã A4 = St nªn x  C(Q( k , i  ),A4)  x = St(x) vËy C(Q( k , i  ),A4) = Q( i k ) KÕt luËn : Nh- vËy cã nhãm tr-ờng trung gian t-ơng ứng *) Minh hoạ định lý sơ đồ : a) Các nhãm b) C¸c tr-êng G Q S Q( i  ) t Q( k ) St Q( i k ) tai lieu,dh su pham, luan van thac si61download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 61 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 62document,pdf,docx e Q( k , i ) Tr-ờng hợp 2: Giả sử f(x) = x4 k k số hữu tỷ d-ơng không luỹ thừa số Khi f(x) có nghiệm : x1  k , x2   k , x3  i k , x4  i k B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rã Q f ( x ) cña f(x) Q f ( x ) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q(  ,i ) víi   k ta cã : [Q(  ,i ) : Q(  )] = deg( miQ ( ) (x)) = deg( x2 + 1) = [Q(  ) : Q] = deg( mQ (x)) = deg(x4 - k) = Do ®ã [Q(  ,i ) : Q] = [Q(  ,i ) : Q(  )].[Q(  ) : Q] = 2.4 = Mét c¬ së Q(  ,i ) lµ {1,  ,  2,  3, i, i  , i  2, i  3} Khi x Q( ,i ) có dạng : x = a0 + a1  + a2  + a3  + a4i + a5i  + a6i  + a7i  ; a0, ,a7  Q B-íc 2: : T×m nhãm Galoa cđa f(x) tai lieu,dh su pham, luan van thac si62download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 62 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 63document,pdf,docx Do Q f ( x ) = Q( ,i ) tr-ờng phân rã đa thức tách đ-ợc f(x) nên Q( ,i ) lµ më réng Galoa cđa Q G(Q( , i), Q)  [Q( , i) : Q]  Ta biÕt r»ng   G(Q( , i), Q) : f ( ( ))  víi  lµ nghiệm của ph-ơng trình f(x) = Đa thức f(x) không thiết phải đa thức bất khả quy Do mäi phÇn tư cđa Q(  ,i ) ®Ịu biĨu diƠn nhÊt qua c¬ së {1,  ,  2,  3, i, i  , i 2, i 3} nên tự đẳng cấu hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh i Liên hợp i i - i Liên hợp , - , i , - i Do ®ã ta cã phép tập hợp nghiệm nhsau : e( )   1)  e(i )  i  S ( )   2)   S2 (i )  i  S3 ( )  i 3)   S3 (i )  i  S4 ( )   4)   S4 ( )   i -i   S5 ( )   ; 5)  i -i   S5 (i )  i i -i   S6 ( )   ; 6)   i -i   S6 (i)  i  S7 ( )     - i -i  S3   ; 7)    -i i -    S7 (i )  i  S8 ( )     - i -i  S4   ; 8)    -i i  -   S8 (i )  i   - e   -   - S2    -  tai lieu,dh su pham, luan van thac si63download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc   - i -i  S5      - -i i    - i -i  S6     -  i -i    - i -i  S7     i -i  -    - i -i  S8     -i i -   63 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 64document,pdf,docx Ta chứng minh đ-ợc phép bảo toàn tổng tích Q( ,i ) nên chúng sinh tự đẳng cấu t-ơng ứng thuéc G Do vËy G = G(Q(  ,i ),Q) = {e, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8} NÕu ®Ỉt   S3 ,  S5  S2   , S4   , S6   2 , S7   , S8   3 vËy G = G(Q(  ,i ),Q) = { e, , , , , , 2 , } B-ớc : Mô tả định lý *) Tìm nhóm con: Giả sử A nhóm G, theo định lý lagrang A G  A  A  1,2,4,8 NÕu A = nhóm t-ơng ứng A1 = {e} Nếu A = số nguyên tố nên A nhóm xyclic sinh phần tử G có cấp nghĩa A  a ; a  G;ord (a)  ta tính cấp phần tử thuộc G *) a =  ta cã  2(  ) = -    nªn ord(  )  *) a =  th× nhãm t-ơng ứng A2 = = {e, 2} *) a = nhóm t-ơng ứng A3 =  tai lieu,dh su pham, luan van thac si64download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc = {e, } 64 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 65document,pdf,docx  *) a =   th× nhãm t-ơng ứng A4 = = {e, } *) a = nhóm t-ơng ứng lµ A5 =  2 =  3 = {e,  2 } *) a =  3 th× nhãm t-ơng ứng A6 = {e, } Nếu A = có tr-ờng hợp sau: *) A đ-ợc sinh phần tử thuộc G có cÊp lµ  A = a ta cã: Với a = nhóm t-ơng ứng A7 =  = {e,  ,  2,  3} Với a = nhóm t-ơng øng lµ A7 = 3 = {e,  ,  2, 3} *) A đ-ợc sinh hai phần tư thc G cã cÊp lµ Ta cã tÊt c¶ nhãm cÊp cđa G, vËy có C52 tổ hợp phần tử nh- Trong số có tổ hợp sinh hai nhóm cấp bốn là: ( , ),( , 2 ),( , 3 ),( , ),( , 3 ),( , 3 ) Do ®ã nhãm t-ơng ứng là: tai lieu,dh su pham, luan van thac si65download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 65 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 66document,pdf,docx A8   ,   , 2   , 3  {e, , , 2 } A9   ,   , 3   , 3  {e, , , 3 } NÕu A = ta cã nhãm t-¬ng øng lµ A10  G  {e, , , , , , 2 , 3 } *) T×m tr-ờng điểm bất động Tìm C(Q( ,i ),A1) ta cã A1 = e nªn x  C(Q(  ,i ),A1)  x = e(x) vËy C(Q(  ,i ),A1) = Q(  ,i ) T×m C(Q(  ,i ),A2) ta cã A2 = 2 nªn x  C(Q(  ,i ),A2)  x=  (x) vËy C(Q(  ,i ),A2) = Q(i,  ) T×m C(Q(  ,i ),A3) ta cã A3 =  nªn x  C(Q(  ,i ),A3)  x= (x) vËy C(Q(  ,i ),A3) = Q(  ) T×m C(Q(  ,i ),A4) ta cã A4 =  nªn x  C(Q(  ,i ),A4)  x =  (x) vËy C(Q(  ,i ),A4) = Q(   i ) T×m C(Q(  ,i ),A5) ta cã A5 =  2 tai lieu,dh su pham, luan van thac si66download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc nªn 66 Khố luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 67document,pdf,docx x  C(Q(  ,i ),A5)  x =  2 (x) vËy C(Q(  ,i ),A5) = Q( i ) T×m C(Q(  ,i ),A6) ta cã A6 =  3 nªn x  C(Q(  ,i ),A6)  x=  3 (x) vËy C(Q(  ,i ),A6) = Q(  i ) T×m C(Q(  ,i ),A7) ta cã A7 =   {e, , , 3} nªn  x   ( x)  x  C(Q(  ,i ),A7)   x   ( x) vËy C(Q(  ,i ),A7) = Q(i)  x   ( x)  T×m C(Q(  ,i ),A8) ta cã A8 =   {e, , , 2 } nªn  x   ( x)  vËy C(Q(  ,i ),A8) = x  C(Q(  ,i ),A8)   x   ( x)  x   2 ( x)  Q(  ) T×m C(Q(  ,i ),A9) ta cã A9 = {e, , , 3 } nªn  x   ( x)  x  C(Q(  ,i ),A9)   x   ( x) vËy C(Q(  ,i ),A9) =  x   3 ( x)  Q( i ) T×m C(Q(  ,i ),A10) ta cã C(Q(  ,i ),A10) = Q tai lieu,dh su pham, luan van thac si67download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 67 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 68document,pdf,docx KÕt luËn : Nh- vËy cã 10 nhóm 10 tr-ờng trung gian t-ơng ứng *) Minh hoạ định lý sơ đồ : a) C¸c nhãm G  ,   ,  2  3   2 e b) C¸c tr-êng trung gian tai lieu,dh su pham, luan van thac si68download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 68 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 69document,pdf,docx Q Q( i ) Q(i) Q(   i ) Q(  ) Q(  ) Q(   i ) Q( i ) Q( i ) Q( ,i) (*) Nhận xét: Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình f(x) = có hai nghiệm vô tỷ hai nghiệm phức tuỳ theo tính chất bất khả quy hay không bất khả quy f(x) mà nhóm Galoa cđa nã cã cÊp hc 2.4.5.3 f(x) có nghiệm phức Trong tr-ờng hợp không xét toán tổng quát mà nghiên cứa thông qua ví dụ cụ thể Ví dụ : Mô tả định lý lý thuyết Galoa đối víi më réng Galoa cđa ®a thøc f(x) = x4 + Bài giải tai lieu,dh su pham, luan van thac si69download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 69 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 70document,pdf,docx B-íc 1: Tìm tr-ờng phân rã Q f ( x ) f(x) Ph-ơng trình f(x) = có nghiệm lµ: x1  1 1 1 1 , , x   i x    i x    i  i 4 4 4 4 4 4 4 4 Do ®ã tr-ờng phân rã f(x) Q( ,i) víi  4 Ta cã [Q(  ,i) :Q] = [Q(  ,i) : Q(  )].[Q(  ) : Q] = 2.4 = Bài toán trở thành t-ơng tự tr-ờng hợp mục 2.2.4.2 Ví dụ 2: Mô tả định lý lý thut Galoa ®èi víi më réng Galoa cđa ®a thøc f(x) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x +5) Bài giải B-ớc 1: Tìm trờng phân rã Q f ( x ) f(x) Ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1 i, x2   i, x3   2i, x4   2i Do ®ã Q f ( x ) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q( i ) Ta cã [Q( i ) : Q] = deg( miQ (x)) = deg(x2 + 1) = tai lieu,dh su pham, luan van thac si70download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 70 Khoá luận tốt nghiệp Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán ======================================================= luan van,khoa luan, thac si , su pham 71document,pdf,docx Mét sở Q( i ) {1, i } Khi toán t-ơng tự nh- tr-ờng hợp mục 2.2.4.2 (*) Nhận xét: Nếu ph-ơng trình bËc 4: f(x) = 0, f(x)  Q[x] cã nghiệm phức thì: Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b (a, b Q) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b (a  Q, b lµ sè vô tỷ) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b ( a, b số vô tỷ ) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp tai lieu,dh su pham, luan van thac si71download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc 71 ... pham 6document,pdf,docx Mô tả định lý 2.1 Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  2.2 Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg... Mơ tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  ” Khoá luận chia làm chương: Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng mối quan hệ chúng Chƣơng 2: Mô tả định lý lý thuyết Galoa. .. .5 2.7 Mở rộng Galoa Mối liên hệ loại mở rộng Chƣơng 2: Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa Q f ( x )  Q Đặt vấn đề 1.1 Cơ sở lý luận