Luận văn sư phạm Mô tả định lí cơ bản của lí thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Qf(x)

Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA: TOÁN ******** MAI XUÂN TR NG MỌ T NH Lệ C B N C A Lệ THUY T GALOA I V I M R NG GALOA Q f ( x)  Q,deg f ( x)  KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên ngƠnh: IH C is HÀ N I ậ 2010 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA: TOÁN ******** MAI XUÂN TR NG MỌ T NH Lụ C B N C A Lụ THUY T GALOA I V I M R NG GALOA Qf ( x)  Q,deg f ( x)  KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên ngƠnh: Ng IH C is ih GVC: V ng d n khoa h c NG THỌNG HÀ N I ậ 2010 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= L IC M N Trong trình th c hi n đ tài nghiên c a khoa h c này, em nh n đ c r t nhi u s quan tâm, giúp đ c a th y cô giáo b n sinh viên Em xin chân thành c m n th y giáo khoa Tốn – tr ng ih cs ph m Hà N i 2, th y cô d y em n m h c v a qua qua giúp em hồn thành khố lu n Em xin b y t lòng bi t n sâu s c c a t i th y V tr c ti p h ng Thông, ng i ng d n, ch b o em su t trình th c hi n khố lu n Do cịn nhi u h n ch v ki n th c th i gian, khố lu n v n cịn nhi u thi u sót Em r t mong nh n đ c s giúp đ , góp ý nh n xét c a th y cô, c a b n đ khóa lu n hồn thi n h n Em xin chân thành c m n ! Hà N i, ngày 12 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Mai Xuân Tr ng Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= L I CAM OAN Em xin cam đoan khố lu n cơng trình nghiên c u c a riêng em Trong nghiên c u, em k th a nh ng thành qu nghiên c u c a nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s trân tr ng bi t n Nh ng k t qu nêu khố lu n ch a đ c cơng b b t k m t cơng trình nghiên c u khác Hà N i, ngày 12 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Mai Xuân Tr ng Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= M CL C L i c m n L i cam đoan M c l c L i nói đ u Ch ng 1: M t s lo i m r ng tr ng vƠ m i quan h gi a chúng Nh ng khái ni m c s 1.1 Khái ni m tr ng .1 1.2 Khái ni m m r ng tr ng 1.3 Ph n t đ i s ph n t siêu vi t 1.4 a th c b t kh quy 1.5 a th c t i ti u 1.6 Ph n t liên h p 2 M t s lo i m r ng tr 2.1 Tr ng ng ghép thêm m t t p h p 2.2 M r ng đ n 2.3 M r ng có b c h a h n 2.4 M r ng đ i s .4 2.5 M r ng tách đ c 2.6 M r ng chu n t c .5 2.7 M r ng Galoa M i liên h gi a lo i m r ng Ch ng 2: Mô t đ nh lỦ c b n c a lỦ thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q t v n đ .9 1.1 C s lý lu n Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Tốn ======================================================= Mơ t đ nh lỦ c b n 2.1 Mô t đ nh lý c b n c a lý thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q,deg f ( x)  2.2 Mô t đ nh lý c b n c a lý thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q,deg f ( x)  .10 2.2.1 Nhóm Galoa c a ph ng trình b c có c p b ng 10 2.2.2 Nhóm Galoa c a ph ng trình b c có c p b ng 11 2.3 Mô t đ nh lý c b n c a lý thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q,deg f ( x)  12 2.3.1 Nhóm Galoa c a ph ng trình b c có c p b ng 14 2.3.2 Nhóm Galoa c a ph ng trình b c có c p b ng 14 2.3.3 Nhóm Galoa c a ph ng trình b c cú c p b ng 16 2.4 Mô t đ nh lý c b n c a lý thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q,deg f ( x)  24 2.4.1 f ( x) có nghi m h u t .24 2.4.2 f ( x) có nghi m h u t .24 2.4.3 f ( x) có nghi m h u t .25 2.4.4 f ( x) có nghi m h u t .29 2.4.5 f ( x) khơng có nghi m h u t .35 K t lu n TƠi li u tham kh o Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= L I NịI U Evariste Galois sinh n m 1811 t i m t làng nh bé vùng Bourgla – Reine ngo i Pari Ơng m t nhà tốn h c thiên tài, đ c bi t l nh v c đ i s Ơng hồn thành m t cơng trình nghiên c u xu t s c mà ngày đ c bi t đ n v i tên g i “ Lý thuy t Galoa” Ngu n g c c a lý thuy t Galoa v n đ gi i ph th c Th c ch t c a v n đ m r ng tr ng trình b ng c n ng b ng cách ghép thêm liên ti p c n th c Galoa chuy n v n đ thành m t v n đ c a lý thuy t nhóm Lý thuy t Galoa nghiên c u v nhóm t đ ng c u ( g i nhóm Galoa ) vi c tìm nhóm Galoa c a ph ng trình đ i s m t tr Vi c làm có ý ngh a quan tr ng vi c xác đ nh tr ng ng trung gian m r ng c a Tr c lý thuy t Galoa đ i ng i ta ch quan tâm vi c gi i m t toán d ng hình nh th nào, nhiên v i lý thuy t Galoa có th xét đ tính gi i đ c c c a tốn V i lý đó, v i s say mê c a b n thân s giúp đ c a th y V ng Thông em m nh d n th c hi n khoá lu n v đ tài: “ Mô t đ nh lý c b n c a lý thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q,deg f ( x)  ” Khoá lu n đ c chia làm ch ng: Ch ng 1: M t s lo i m r ng tr ng vƠ m i quan h gi a chúng Ch ng 2: Mô t đ nh lỦ c b n c a lỦ thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= K T LU N i s m t mơn khó, đ c bi t lý thuy t Galoa l i khó h n Do q trình th c hi n đ tài em c ng g p nhi u v n đ t ng đ i khó ng Q  x hi u, vi c tìm nhóm Galoa c a ph ong trình b c thu c tr t ng quát có nghi m h u t nghi m không h u t Qua vi c nghiên c u hồn thành khố lu n này, em th y lý thuy t Galoa có r t nhi u ng d ng: nghiên c u đ c n th c, phép d ng hình b ng th c tính gi i đ c c a ph ng trình c k compa H n n a đóng góp ph n khơng nh vi c nghiên c u m r ng tr ng, tr ng phân rã c a m t đa th c , nhóm Galoa c a m t s lo i ph trình Nh mà có th xác đ nh đ c tr ng trung gian gi a tr ng ng m r ng c a Tuy nhiên khố lu n ch a trình bày h t lý thuy t Galoa ng d ng c a mà ch nêu m t ph n nh , là: “ Mô t đ nh lý c b n c a lý thuy t Galoa đ i v i m r ng Galoa Q f ( x)  Q,deg f ( x)  ” Còn r t nhi u v n đ đ ph c quan tâm khai thác, ch ng h n: nhóm Galoa c a ng trình b c n > t p s th c R, t p s h u t m t cách t ng quát, ,các phép d ng hình b ng th c k compa ng d ng c a M t l n n a em xin bày t lòng bi t n chân thành sâu s c t i th y giáo khoa Tốn, đ c bi t th y V ng Thông h ng d n, giúp đ t n tình t o m i u ki n thu n l i đ em th c hi n hồn thành khố lu n Hà N i, ngày 12 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Mai Xuân Tr ng Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= TÀI LI U THAM KH O Ngô Trúc Lanh (1987), i s s h c t p 3, NXBGD Nguy n Ti n Quang (1987), Bài t p đ i s s h c t p 3, NXBGD Nguy n Ti n Quang, C s lý thuy t tr ng lý thuy t Galoa, NXB HQGHN Hồng Xn Sính (1998), V is đ ic ng, NXBGD ng Thông (2004), Lý thuy t Galoa ng d ng Nguy n Quý Khang – Ki u c Thành (1992), Giáo trình đ i s s h c t p 3, HSPHN2 ARTIN, Lý thuy t Galoa Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Tốn ======================================================= Ch-¬ng 1: mét sè loại mở rộng tr-ờng mối quan hệ chúng Những khái niệm sở 1.1 Khái niệm tr-ờng * Định nghĩa: Tr-ờng miền nguyên X cho x X * có nghịch đảo tức x  X * x '  X * : x.x '  e 1.2 Kh¸i niƯm më réng tr-ờng * Định nghĩa: Giả sử A, K hai tr-ờng K A Khi ta nói K lµ mét më réng cđa tr-êng A Ký hiƯu l K A 1.3 Phần tử đại số phần t siêu việt * Định nghĩa: Cho K A, phần tử c K đ-ợc gọi phần tử đại số A tồn f ( x)  A x; f ( x)  cho f(c) = Hay tån t¹i a0, a1 , an c a A không đồng thời 0: a0 + a1c + + ancn = NÕu c K, c không phần tử đại số A c đ-ợc gọi phân tử siêu việt A 1.4 * a thức bất khả quy ịnh nghĩa: Cho A tr-ờng, đa thức khác không f ( x) A x; f ( x) , f ( x) không khả nghịch gọi bất khả quy A x ( hay bất khả quy A ) nã kh«ng cã -íc thùc sù A x 10 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= S2 S3 Q( 1 ) S4 Q(  ) Q( 1 ) e Q( 1 ,  ) 2.4.5.2 f(x) có nghiệm vô tỷ nghiệm phức Tr-ờng hợp 1: Giả sử f(x) = (x2 - k)(x2 + ax + b) k số hữu tỷ d-ơng không số ph-ơng; a, b số hữu tỷ thoả mÃn a 4b ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1,2 k ; x3,4 a  i k  A  iB  B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rà Q f ( x) cña f(x) Q f ( x) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q(  k , A iB  ) = Q( k , i  ) ta cã : [Q( k , i  ) : Q( k )] = deg( miQ ( k ) (x)) = deg( x2 +  ) = [Q( k ) : Q] = deg( mQk (x)) = deg(x2 + k) = 57 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Tốn ======================================================= Do ®ã [Q( k , i  ) : Q] = [Q( k , i  ) : Q( k )].[Q( k ) : Q] = 2.2 = Mét c¬ së Q( k , i  ) lµ {1, k , i  , i k } Khi ®ã x Q( k , i  ) cã d¹ng: x = a0 + a1 k + a2 i  + a3 i k ; a0, a1, a2, a3  Q B-íc 2: : T×m nhãm Galoa cña f(x) Do Q f ( x) = Q( k , i ) tr-ờng phân rà đa thức tách đ-ợc f(x) nên Q( k , i ) lµ më réng Galoa cđa Q G(Q( k , i  ), Q)  [Q( k , i  ) : Q]  Ta biÕt r»ng   G (Q( k , i  ), Q) : f ( ( ))  víi  lµ nghiƯm của ph-ơng trình f(x) = Đa thức f(x) không thiết phải đa thức bất khả quy Do mäi phÇn tư cđa Q( k , i  ) biểu diễn qua sở {1, k , i  , i k } nªn tù đẳng cấu hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh Liên hợp k k - k i k Liên hợp i  lµ i  vµ - i  58 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Tốn ======================================================= Do ®ã ta cã phép tập hợp nghiệm nhsau : e( k )  k 1)  e(i  )  i   S ( k )   k 2)   S (i  )  i  t ( k )  k 3)  t (i  )  i   St ( k )   k 4)   St (i  )  i   k  k A+Bi  A  Bi   e   k  k A+Bi  A  Bi      k  k A+Bi  A  Bi   S     k k A+Bi  A  Bi      k  k A+Bi  A  Bi   t    k  k A  Bi  A+Bi      k  k A+Bi  A  Bi   St      k k A  Bi  A+Bi    Ta chứng minh đ-ợc phép bảo toµn tỉng vµ tÝch Q( k , i  ) nên chúng sinh tự đẳng cấu t-ơng øng thuéc G Do vËy G = G(Q k , i  ),Q) = {e, S, t, St} B-íc : Mô tả định lý *) Tìm nhóm con: Giả sử A nhóm G, theo định lý lagrang A G A A  1,2,4 NÕu A = th× nhãm t-¬ng øng A1 = {e} NÕu A = số nguyên tố nên A nhóm xyclic sinh phần tử G có cÊp lµ 59 Khố lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= nghÜa lµ A  a ; a  G;ord (a ) ta tính cấp phần tử thuộc G *) a = S nhóm t-ơng ứng A2 = S = {e, S} *) a = t nhóm t-ơng ứng A3 = t = {e, t} *) i = St nhóm t-ơng ứng A4 = St = {e, St} Nếu A = nhóm t-ơng øng lµ A5 = G = {e, S, t, St} *) Tìm tr-ờng điểm bất động Tìm C(Q( k , i  ), A1) ta cã A1 = e nªn x  C(Q( k , i  ), A1)  x = e(x) vËy C(Q( k , i  ), A1) = Q( k , i  ) T×m C(Q( k , i  ), A2) ta cã A2 = S nªn x  C(Q( k , i  ), A2)  x = S(x) vËy C(Q( k , i  ), A2) = Q( i  ) T×m C(Q( k , i  ), A3) ta cã A3 = t nªn x  C(Q( k , i  ), A3)  x = t(x) vËy C(Q( k , i  ), A3) = Q( k ) 60 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Tốn ======================================================= T×m C(Q( k , i  ),A4) ta cã A4 = St nªn x  C(Q( k , i  ),A4)  x = St(x) vËy C(Q( k , i  ),A4) = Q( i k ) KÕt luËn : Nh- vËy cã nhãm tr-ờng trung gian t-ơng ứng *) Minh hoạ định lý sơ đồ : a) Các nhãm b) C¸c tr-êng G Q S Q( i  ) t Q( k ) St Q( i k ) 61 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= e Q( k , i ) Tr-ờng hợp 2: Giả sử f(x) = x4 k k số hữu tỷ d-ơng không luỹ thừa số Khi f(x) có nghiệm : x1  k , x2   k , x3  i k , x4  i k B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rà Q f ( x) cña f(x) Q f ( x) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q(  ,i ) víi   k ta cã : [Q(  ,i ) : Q(  )] = deg( miQ ( ) (x)) = deg( x2 + 1) = [Q(  ) : Q] = deg( mQ (x)) = deg(x4 - k) = Do ®ã [Q(  ,i ) : Q] = [Q(  ,i ) : Q(  )].[Q(  ) : Q] = 2.4 = Mét c¬ së Q(  ,i ) lµ {1,  ,  2,  3, i, i  , i  2, i  3} Khi x Q( ,i ) có dạng : x = a0 + a1  + a2  + a3  + a4i + a5i  + a6i  + a7i  ; a0, ,a7  Q B-íc 2: : T×m nhãm Galoa cđa f(x) 62 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= Do Q f ( x) = Q(  ,i ) lµ tr-êng phân rà đa thức tách đ-ợc f(x) nên Q(  ,i ) lµ më réng Galoa cđa Q G(Q( , i), Q)  [Q( , i) : Q]  Ta biÕt r»ng   G(Q( , i), Q) : f ( ( ))  víi  nghiệm của ph-ơng trình f(x) = Đa thức f(x) không thiết phải đa thức bất khả quy Do phần tử Q( ,i ) biểu diễn qua sở {1,  ,  2,  3, i, i  , i 2, i 3} nên tự đẳng cấu hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh i Liên hợp i i - i Liên hợp , -  , i , - i Do ®ã ta có phép tập hợp nghiệm nhsau : e( )   1)  e(i )  i  S ( )   2)   S2 (i )  i  S3 ( )  i 3)   S3 (i )  i  S4 ( )   4)   S4 ( )   i -i   S5 ( )   ; 5)  i -i   S5 (i )  i i -i   S6 ( )   ; 6)   i -i   S6 (i)  i  S7 ( )     - i -i  S3   ; 7)    -i i -    S7 (i )  i  S8 ( )     - i -i  S4   ; 8)    -i i  -   S8 (i )  i   - e   -   - S2    -    - i -i  S5      - -i i    - i -i  S6     -  i -i    - i -i  S7     i -i  -    - i -i  S8     -i i -   63 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 B Toỏn ======================================================= Ta chứng minh đ-ợc phép bảo toàn tổng tích Q( ,i ) nên chúng sinh tự đẳng cÊu t-¬ng øng thuéc G Do vËy G = G(Q(  ,i ),Q) = {e, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8} Nếu đặt S3 , S5  S2   , S4   , S6   2 , S7   , S8   3 vËy G = G(Q(  ,i ),Q) = { e, , , , , , 2 , 3 } B-íc : M« tả định lý *) Tìm nhóm con: Giả sử A nhóm G, theo định lý lagrang th× A G  A  A  1,2,4,8 Nếu A = nhóm t-ơng ứng A1 = {e} NÕu A = lµ số nguyên tố nên A nhóm xyclic sinh phần tử G có cấp nghÜa lµ A  a ; a  G;ord (a )  ta sÏ ®i tÝnh cÊp cđa phần tử thuộc G *) a = ta cã  2(  ) = -    nªn ord(  )  *) a =  nhóm t-ơng ứng A2 = = {e,  2} *) a =  th× nhãm t-ơng ứng A3 = = {e, } 64 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán =======================================================  *) a = nhóm t-ơng ứng A4 = = {e,   } *) a =  nhóm t-ơng ứng A5 = 2 =  3 = {e,  2 } *) a = nhóm t-ơng ứng A6 = {e,  3 } NÕu A = có tr-ờng hợp sau: *) A đ-ợc sinh phần tử thuộc G có cấp A = a ta cã: Víi a =  nhóm t-ơng ứng A7 = = {e,  ,  2,  3} Víi a = nhóm t-ơng ứng A7 = 3 = {e,  ,  2,  3} *) A đ-ợc sinh hai phần tử thuộc G có cấp Ta có tất nhóm cÊp cđa G, vËy sÏ cã C52 tỉ hợp phần tử nh- Trong số cã tỉ hỵp sinh hai nhãm cÊp ®ã lµ: ( , ),( , 2 ),( , 3 ),( , ),( , 3 ),( , ) Do nhóm t-ơng ứng là: 65 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= A8   ,   , 2   , 3  {e, , , 2 } A9   ,   , 3   , 3  {e, , , 3 } NÕu A = ta có nhóm t-ơng ứng A10  G  {e, , , , , , , } *) Tìm tr-ờng điểm bất động Tìm C(Q( ,i ),A1) ta có A1 = e nªn x  C(Q(  ,i ),A1)  x = e(x) vËy C(Q(  ,i ),A1) = Q(  ,i ) T×m C(Q(  ,i ),A2) ta cã A2 = 2 nªn x  C(Q(  ,i ),A2)  x=  (x) vËy C(Q(  ,i ),A2) = Q(i,  ) T×m C(Q(  ,i ),A3) ta cã A3 =  nªn x  C(Q(  ,i ),A3)  x= (x) vËy C(Q(  ,i ),A3) = Q(  ) T×m C(Q(  ,i ),A4) ta cã A4 =  nªn x  C(Q(  ,i ),A4)  x =  (x) vËy C(Q(  ,i ),A4) = Q(   i ) T×m C(Q(  ,i ),A5) ta cã A5 =  2 nªn 66 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= x  C(Q(  ,i ),A5)  x =  2 (x) vËy C(Q(  ,i ),A5) = Q( i ) T×m C(Q(  ,i ),A6) ta cã A6 =  3 nªn x  C(Q(  ,i ),A6)  x=  3 (x) vËy C(Q(  ,i ),A6) = Q(  i ) T×m C(Q(  ,i ),A7) ta cã A7 =   {e, , , 3} nªn  x   ( x)  x  C(Q(  ,i ),A7)   x   ( x) vËy C(Q(  ,i ),A7) = Q(i)  x   ( x)  T×m C(Q(  ,i ),A8) ta cã A8 =   {e, , , 2 } nªn  x   ( x)  vËy C(Q(  ,i ),A8) = x  C(Q(  ,i ),A8)   x   ( x)  x   2 ( x)  Q(  ) T×m C(Q(  ,i ),A9) ta cã A9 = {e, , , 3 } nªn  x   ( x)  x  C(Q(  ,i ),A9)   x   ( x) vËy C(Q(  ,i ),A9) =  x   3 ( x)  Q( i ) T×m C(Q(  ,i ),A10) ta cã C(Q(  ,i ),A10) = Q 67 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= KÕt luËn : Nh- vËy có 10 nhóm 10 tr-ờng trung gian t-ơng ứng *) Minh hoạ định lý sơ ®å : a) C¸c nhãm G  ,   ,  2  3   2 e b) C¸c tr-êng trung gian 68 Khố lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Toán ======================================================= Q Q( i ) Q(i) Q(   i ) Q(  ) Q(  ) Q(   i ) Q( i ) Q( i ) Q(  ,i) (*) NhËn xÐt: Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình f(x) = có hai nghiệm vô tỷ hai nghiệm phức tuỳ theo tính chất bất khả quy hay không bất khả quy cđa f(x) mµ nhãm Galoa cđa nã cã cÊp hc 2.4.5.3 f(x) cã nghiƯm phøc Trong tr-êng hợp không xét toán tổng quát mà nghiên cứa thông qua ví dụ cụ thể Ví dụ : Mô tả định lý lý thut Galoa ®èi víi më réng Galoa cđa ®a thức f(x) = x4 + Bài giải 69 Khoỏ lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 B Toỏn ======================================================= B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rà Q f ( x) f(x) Ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1 1 1 1 1 , , x   i x i x i        i 4 4 4 4 4 4 4 4 Do tr-ờng phân rà f(x) chÝnh lµ Q(  ,i) víi  4 Ta cã [Q(  ,i) :Q] = [Q(  ,i) : Q(  )].[Q(  ) : Q] = 2.4 = Bài toán trở thành t-ơng tự tr-ờng hợp mục 2.2.4.2 Ví dụ 2: Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở réng Galoa cđa ®a thøc f(x) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x +5) Bài giải B-ớc 1: Tìm trờng phân rà Q f ( x) f(x) Ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1  i, x2   i, x3   2i, x4   2i Do ®ã Q f ( x) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q( i ) Ta cã [Q( i ) : Q] = deg( miQ (x)) = deg(x2 + 1) = 70 Khoá lu n t t nghi p Mai Xuơn Tr ng K32 ậ B Tốn ======================================================= Mét c¬ së cđa Q( i ) {1, i } Khi toán t-ơng tù nh- tr-êng hỵp cđa mơc 2.2.4.2 (*) Nhận xét: Nếu ph-ơng trình bậc 4: f(x) = 0, f(x)  Q[x] cã nghiƯm phøc th×: NÕu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b (a, b Q) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b (a Q, b số vô tỷ) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b ( a, b số vô tỷ ) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình cã cÊp lµ 71 ... loại mở rộng: phần xem xét mối liên hệ giữu loại mở rộng đà trình bày phần trên, mối liên hệ mở rộng đơn, mở rộng cú bậc hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách đ-ợc mở rộng Galoa. .. ======================================================= 3.1 Định lý 1: Mọi mở rộng đơn đại số A( ) mở rộng có bậc hữu hạn 3.2 Định lý 2: Mọi mở rộng hữu hạn mở rộng đại số 3.3 Định lý 3: Trên tr-ờng A có đặc số không A tr-ờng hữu hạn mở rộng đại... rộng đại số K A mở rộng tách đ-ợc 3.4 Định lý 4: Một mở rộng K có bậc hữu hạn tr-ờng A chuẩn tắc tr-ờng phân rà đa thức tách đ-ợc f(x) A 3.5 Định lý 5: Nếu E mở rộng Galoa A E mở rộng chuẩn tắc