Luận văn sư phạm Một số định lý cơ bản của số học

M t s đ nh lý c b n c a s h c Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa Toán =====o0o===== NGÔ TH MINH DI U M t s đ nh lý c b n c as h c Khoá Lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: is Hà N i – 2008 Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa Tốn =====o0o===== NGƠ TH MINH DI U M t s đ nh lý c b n c as h c Khoá Lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: is Ng ih ng d n khoa h c Th.s Nguy n Huy H ng Hà N i - 2008 Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c L ic m n B n khoá lu n t t nghi p b nghiên c u khoa h c Tr c đ u tiên đ em làm quen v i vi c c s b ng g p nhi u khó kh n m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c em đư nh n đ c s giúp đ , đ ng viên c a th y cô giáo b n sinh viên khoa Em xin chân thành c m n s giúp đ quý báu c a th y t khoa Tốn, th y cô tr ng i s , th y cô HSP Hà N i b n sinh viên c bi t em xin g i l i c m n chân thành sâu s c t i Th c s Nguy n Huy H ng ng i đư giúp đ , h ng d n t n tình đ em hồn thành khố lu n Em c ng xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa Toán đư t o u ki n cho em có c h i đ t p d t v i vi c nghiên c u khoa h c Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên Ngô Th Minh Di u Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c L i cam đoan Khố lu n c a em đ c hồn thành d is h ng d n c a Th c s Nguy n Huy H ng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u th c hi n khố lu n em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi có nêu m c tài li u tham kh o Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên Ngô Th Minh Di u Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c M cl c Trang L i c m n………………………………………………………… L i cam đoan……………………………………………………… M c l c…………………………………………………………… L i m đ u………………………………………………………… Ch ng M t s đ nh lý c b n v s nguyên t 1.1 Ch nh ngh a s nguyên t …………………………………… 1.2 M t s đ nh lý c b n v s nguyên t …………………… 1.3 M t s ng d ng…………………………………………… 10 1.4 M t s toán v s nguyên t …………………………… 11 ng M t s đ nh lý c b n v đ ng d 2.1 Quan h đ ng d ………………………………………… 21 2.2 nh lý Wilson…… ……………………… 25 ng trình đ ng d ……………………………………… 27 nh lý Th ng d Trung Hoa……………………………… 31 nh lý Euler 2.3 Ph 2.4 2.5 Th ng d toàn ph ng Lu t thu n ngh ch bình ph ng… 34 2.6 M t s t p áp d ng…………………………………… 40 K t lu n………………………………………………………… 49 Tài li u tham kh o……………………………………………… 50 Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c L im đ u To n h c m n khoa h c c b n, ch a kho m nhi u m n khoa h c kh c T th i xa x a, y u c u c a th c t đ i s ng, s n xu t, sinh ho t, đ u th k th VII, ng i n bi t d ng c c ký hi u đ c bi t đ vi t c c ch s 0, 1, 2…, ( Ngày g i c c ch s tr c c ng nguy n, ng R p ) T th k II i La Mó d ng h nh nh ngún tay, bàn tay đ ký hi u ch c c ch s 1, 5… R i đ n s đ i c a chi c bàn t nh đ u ti n, đ n chi c m y t nh v i nhi u ch c n ng tinh vi, hi n đ i C c ki n th c v s h c mà m xu t ph t đ u ti n s t nhi n ch a kho đ m c a vào th gi i c c s Nh ng ki n th c n n múng quan tr ng v To n h c núi chung s h c núi ri ng s mang đ n cho ch ng ta nhi u u m i m th v Ngay t c p h c Ti u h c, h c sinh đ c làm quen cú k n ng thành th o gi i c c to n li n quan đ n c c ph p t nh c ng, tr , nhõn, chia s t nhi n Khi h c sinh h c l n c p h c THCS, THPT b n c nh vi c đ c n t p, h th ng ho c c n i dung v s t nhi n h c, c c em c n t m hi u th m nhi u n i dung m i: ph p nõng l n lu th a, s nguy n t h ps , c chung b i chung, quan h đ ng d … Trong ch ng tr nh to n ph th ng, lý thuy t s đ c xem n i dung khú v i nh ng to n ph c t p v i nhi u c ch gi i th v Trong c c k thi h c sinh n ng u, h c sinh gi i c c c p, n i dung s h c: S nguy n t , quan h đ ng d … chi m t l kh cao c c đ thi V v y, đ gi p c c em h c sinh cú c ch nh n t ng qu t, toàn di n v h th ng s , đ c bi t c c ki n th c, c c đ nh lý c b n đ t cú th gi i đ c nh ng to n v s nguy n t , to n v quan h đ ng d … n n em ch n n i dung: “ M t s đ nh lý c b n c a s h c” làm lu n v n nghi n c u Khoá lu n c a em g m hai ch Ngô Th Minh Di u ng : K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Ch ng : M t s đ nh lý c b n v s nguyên t Ch ng : M t s đ nh lý c b n v đ ng d M c dù đư có nhi u c g ng song khơng tránh kh i nh ng thi u sót, v y em r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp c a th y cô giáo b n sinh viên cho khoá lu n c a em Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên: Ngô Th Minh Di u Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Ch ng M t s đ nh lý c b n v s nguyên t 1.1 * nh ngh a s nguyên t : nh ngh a: - M t s t nhiên l n h n khơng có đ c t nhiên khác c g i s nguyên t Ký hi u P t p h p s nguyên t Khi : P = { p  ฀  p nguyên t } - S t nhiên l n h n mà không s nguyên t g i h p s - c c a s t nhiên khác khác đ Khi đ nh ngh a s nguyên t có th đ nhiên l n h n đ c g i c th c s c phát bi u l i nh sau: S t c g i s ngun t n u khơng có c th c s * Nh n xét : - S s đ u không ph i s nguyên t mà c ng không ph i h p s ( s ch có m t c s , s có vơ s c s ) - M i s t nhiên n  ฀ * có m t ch m t ba kh n ng : n = 1; n s nguyên t , n h p s 1.2 M t s đ nh lý c b n v s nguyên t : B đ 1.2.1 : M i s nguyên l n h n đ u chia h t cho nh t m t s nguyên t Ch ng minh: Ta ch ng minh b ng quy n p + V i n = 2, s nguyên t nên b đ + Xét n > gi s b đ v i m i s nguyên l n h n nh h n n Ta s ch ng minh b đ v i n N u n s nguyên t n  n b đ N u n h p s n có Ngơ Th Minh Di u cd ng a v i a ≠ 1, a ≠ n Gi s n = a.b K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c N u a > n t b ≥ ta có n = a.b > n.1 = n, mâu thu n V y < a < n Theo gi thi t quy n p, a có c nguyên t p T p | a, a | n suy p | n V y b đ v i m i n > nh lý 1.2.2 ( nh lý Euclid ) T n t i vô h n s nguyên t Ch ng minh: Gi s ch có h u h n s nguyên t p1, p2,…, pn Khi đ t N = p1.p2…pn + 1, th theo b đ (1.2.1), N chia h t cho m t s nguyên t p ( N > ) S nguyên t p b t bu c ph i m t s pi, ch có n s nguyên t p1, p2,…, pn mà Tuy nhiên, theo đ nh ngh a c a N, N không th chia h t cho s pi c Mâu thu n cho ta u ph i ch ng minh nh lý 1.2.3 : Cho s t nhiên a m t s nguyên t p Khi ho c p | a ho c (a,p)=1 Ch ng minh : G i d = (a,p)  d | p v i p s nguyên t T ho c d = ho c d = p + N u d = (a, p) = + N u d = p p | a nh lý 1.2.4 : ( B đ c b n s nguyên t - B đ Euclid) : N u m t s nguyên t p chia h t tích ab c a hai s nguyên a b p ph i chia h t nh t m t hai s a b Ch ng minh : Gi s p | ab nh ng p không chia h t a không chia h t b Khi theo đ nh lý (1.2.3) ta có (a,p) =1 (b,p) = 1, t ta có (ab,p) =1 ( trái gi thi t p | ab) T đó, ta có u ph i ch ng minh Ngô Th Minh Di u K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Nh n xét : B ng quy n p, có th m r ng k t qu cho nhi u s đ nh lý (1.2.4) đ c m r ng nh sau: N u m t s nguyên t p chia h t tích a1.a2 … an p chia h t ai, v i i thu c { 1, 2,…, n } Ví d : Gi s p s nguyên t a Ch ng minh r ng n u p | a3 p | a b Ch ng minh r ng n u p | b p | ( a2 + b2 ) p | a Gi i: a Gi s p | a3 = a.a.a Khi theo b đ Euclid ta có p | a hay p | a hay p | a, t c p | a b Gi s p | b p | ( a2 + b2 ) Khi ta có : p | [( a2 + b2 ) - b.b] = a.a T t b đ Euclid ta có p | a H qu 1.2.5: N u m t s nguyên t p chia h t tích c a nhi u s ngun t ph i trùng v i m t s nguyên t B đ 1.2.6 : M i h p s có c th c s nh h n ho c b ng c n b c hai c a Ch ng minh: Cho n h p s Khi ta có th vi t n = a.b v i < a, b < n N u đ ng th i a, b > n n = n n < ab = n < mâu thu n > V y có nh t m t hai s a, b ph i nh h n ho c b ng n T b đ ta có nh n xét sau : M i h p s ph i có c nguyên t nh h n ho c b ng c n b c hai c a D a vào nh n xét ta có th ki m tra xem m t s nguyên d tr ng cho c b t k s nguyên t hay không? Ngô Th Minh Di u 10 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c  (-1)n ( T suy (-1)n nh lý đ p  (p-1)/2 )! a ( p 1 )! ( mod p ) a  a(p-1)/2 =   ( mod p )  p c ch ng minh nh lý 2.5.5 : Cho a m t s nguyên l , p m t s nguyên t l tho mưn ( a, 2p ) = Khi : a  t  p  = (-1) , v i t =   ( p 1)/2  j 1  ja   p    Ch ng minh : S d ng ký hi u đ nh lý 2.5.4 Vì : ja  ja   ja  ja – p   ( mod p ) ,  ja – p    p –  p  p  ja  Nên ja – p   s d phép chia ja cho p  p Do ( p 1)/2  j 1 ja  ( p 1)/2  j 1 k  ja  n p     rj   s j j 1  p  j 1 M t khác t ch ng minh c a đ nh lý 2.5.4 ta có : { p - r1, p - r2,…, p - rn, s1, s2,…, sk } = { 1, 2, …, ( p 1)/2 nên  j 1 n k n k j 1 j 1 j 1 j 1 p 1 } j   ( p  r j )   s j  np   r j   s j Tr v v i v c a hai đ ng th c ta thu đ Ngô Th Minh Di u 40 c: K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c (a  1) ( p 1)/2  j  p( j 1 ( p 1)/2  j 1 n  ja   p   n )  2 r j j 1   Do a l : ( p 1)/2  j 1 p2  j nên (a  1) p  ( p1)/2  ja       n  0(mod 2) j 1  p  Suy n ( p 1)/2  j 1  ja   p   t (mod 2)   T đ nh lý 2.5.4 ta có u ph i ch ng minh nh lý 2.5.6 ( Lu t thu n ngh ch bình ph ng Gauss) : Cho p, q hai s nguyên t l khác Khi đó: p 1 q 1  p  q  2 ( 1)   q   p     Ch ng minh : T đ nh lý (2.5.5) đ nh lý s đ đ c ch ng minh n u ta ch ng minh c r ng: ( p 1)/2  j 1 t S = {( x, y ) :  x  Khi đó, S có  qj  ( q 1)/2  pj  p  q   p   q  j 1     p 1 q 1 ,1y } 2  p    q   ph n t khơng có ph n t ( x , y )  S tho mưn qx = py Xét phân ho ch S = S  S2 v i : Ngô Th Minh Di u 41 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c S1 = { ( x, y )  S : py < qx } , S2 = { ( x, y )  S : qx < py } Ta có : qx p 1 ,1y } p S1 = { ( x, y ) :  x  = { ( x, y ) :  x   qx  p 1 ,1y   }  p S2 = { ( x, y ) :  y  = { ( x, y ) :  y  q 1 py ,1x< } q  py  q 1 ,  x    }  q  Do : S1 = ( p 1)/2  x1  qx   p  , S2 =   ( q 1)/2  y1  py   q ,   Vì S  = S1 + S2  nên ta có : p 1 q 1 = S1 + S2 = S  = 2 ( p 1)/2  j 1  qj  ( q1)/2  pj   p   q  j 1     T c ta có u ph i ch ng minh Nh n xét : T đ nh lý ta th y : p 1 q 1  p  q  2 ( 1)   q   p     T  p  q   q   p  = n u p  1(mod 4) ho c q  1(mod 4)    Và Ngô Th Minh Di u 42 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c  p  q   q   p  = -1 n u p  3(mod 4) q  3(mod 4)    Tuy nhiên  p  q   p  q   p  q  ho c     1 q   p  q   p   q    p   1             p  q   p  q   m t s    q  ,  p  1, s -1 q   p         Do v y đ nh lý ( lu t thu n ngh ch bình ph bi u d ng ) có th đ c phát i d ng đ y đ nh sau: Cho ph ng trình đ ng d : x2 p ( mod q ) x2 q ( mod p) v i p, q s nguyên t l phân bi t Khi : N u nh t m t hai s p, q đ ng d modulo 4, c hai ph ng trình có nghi m ho c c hai ph ng trình vơ nghi m N u c p q đ ng d modulo m t hai ph có nghi m, ph ng trình s ng trình vơ nghi m H qu 2.5.7 : Cho p, q s nguyên t l phân bi t Khi đó:  p  q  ( mod 4) :      q   p  i N u nh t m t hai s p, q ii N u c p q  p q  ( mod 4)       q   p 2.6 M t s t p áp d ng: Bài 1: Tìm d phép chia 32005 chia cho 100 Ngô Th Minh Di u Gi i: 43 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Vì ( 3, 100 ) =1 nên theo đ nh lý Euler ta có : 3(100) ( mod 100 ) 1 Mà 100 = 22.52 , : (100) = 100(1  ).(1  )  40 Suy 340 ( mod 100 ) V y 32005 = 340.50 + 35 ( mod 100 ) 43 ( mod 100 ) Do 32005 chia cho 100 d 43 Bài 2: Cho a, b s nguyên d r ng t n t i s nguyên d ng nguyên t Ch ng minh ng m, n cho : am + bn -  ab Ch ng minh : L y m = (b), n = (a), Vì ( a, b ) = nên theo đ nh lý Euler ta có : am - = a(b) -  b bn  b nên ta có : am + bn -  b Theo đ nh lý Euler : bn - = b(a) -  a ta có : am  a nên am + bn -  a T suy : am + bn -  ab Bài 3: M t s có 6n ch s chia h t cho Ch ng minh r ng n u chuy n ch s t n lên đ u c a s đ c m t s c ng chia h t cho Gi i: G i s ban đ u N = 10x + a v i a ch s t n c a N x có 6n – ch s Sau chuy n a lên đ u ta đ Ngô Th Minh Di u c s M = a.106n-1 + x 44 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Ta ch ng minh : N – 3M  Th t v y có N – 3M = 7x – a ( 106n-1 – ) (1) Do (10,7) = nên áp d ng đ nh lý Fermat ta có : 106  ( mod ) suy 106n  ( mod ) V y 106n   10 ( mod ) Vì (10,7) =1 nên 3.106n-1  ( mod ) hay 3.106n-1 –  (2) T (1) (2) ta đ c N – 3M  Mà theo gi thi t N  (3,7) = nên M  Bài : Cho hai s nguyên t khác p q Ch ng minh r ng : pq-1 + qp-1 -  pq Ch ng minh : Vì p, q nguyên t p ≠ q nên ( p, q ) = áp d ng đ nh lý Fermat ta có : pq-1 ( mod q ) => pq-1 -  q mà qp-1  q suy pq-1 + qp-1 -  q (1) áp d ng đ nh lý Fermat ta l i có : qp-1 ( mod p ) => qp-1 -  p mà pq-1  p suy pq-1 + qp-1 -  p (2) M t khác ( p , q ) = nên k t h p (1) (2) ta đ c: pq-1 + qp-1 -  pq Bài 5: Ngô Th Minh Di u 45 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c 9p 1 Gi s p s nguyên t l m  Ch ng minh r ng m h p s l không chia h t cho 3m-1 ( mod m ) Ch ng minh: Ta có m  p 1 3p 1 3p  3p  3p    a b v i a = b = 4 a, b đ u s nguyên l n h n nên m h p s 9p 1 Mà m  = p 1  p 2    p l nên m l m  1(mod3) Theo đ nh lý Fermat ta có p  9 p , (8,p) = nên p  98 p , suy 9p  m–1=  p m1 Vì m –  nên m –  p , 9p 1  13  1  m ( PCM ) 2p Bài : Cho n  N* Tìm ( n! + 1, ( n + )! ) Gi i: t f(n) = ( n! + 1, ( n + )! ) D th y f(3) = ( 7, 24 ) = N u n + > không ph i s nguyên t n!  n + nên f(n) = ( n! + 1, ( n + 1)!) Ngô Th Minh Di u 46 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c = ( n! + 1, ( n + 1).( n! + 1) - ( n+1 )) = ( n! + 1, n + 1) = N u n + m t s ngun t theo đ nh lý Wilson có n! +  n + Do f(n) = n +1 V y ( n! + 1, ( n + )! ) = n u n + không ph i m t s nguyên t ( n! + 1, ( n + )! ) = n + n u n + m t s nguyên t Bài : Cho p m t s nguyên t Khi ph nghi m n u ch n u p = ho c p ng trình x2 -1 ( mod p ) có ( mod ) Gi i: N u p = 2, ph N up ng trình có nghi m x = 1 ( mod ) p 1 s ch n t : x = 3… p 1 Ta có : - (p - 1), (1) nên x T đó, x2 p1 - (p - 2), - (p - 3),…, (p – 1)(p – 2)(p – 3)… ( p 1 -( p 1 ) ( mod p) p 1 ) ( mod p ) p 1 s ch n theo đ nh lý Wilson ta có : (1 3… p 1 p 1 )) ) ((p - 1)(p - 2)(p - 3)… ( 2 (1 3… p 1 p 1 p  ( p  1)) )( 2 (p – 1)! -1 ( mod p ) Ng cho x2 c l i, gi s p m t s nguyên t l t n t i s nguyên x -1 ( mod p ), theo đ nh lý nh c a Fermat: Ngơ Th Minh Di u 47 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c x Do (1) p1 p -1 (x ) ( mod p ) suy p1 (1) p1 ( mod p ) p 1 s ch n, t c p ( mod ) Bài : Ch ng minh r ng n u p m t s nguyên t C pk  p v i m i k = 1, 2,…, p - Gi i: t f(x) = p 1 C k 1 k p xk  ( x  1) p  ( x p  1) Theo đ nh lý nh c a Fermat ta có : (x + 1)p nên ph x+1 xp + (mod p) v i m i s nguyên x ng trình f(x) (mod p) có p nghi m Do deg f = p - nên f khơng có b c modulo p, t c m i h s c a f đ u chia h t cho p T ta có u ph i ch ng minh Bài 9: Cho m m t s nguyên d x2 ng Tìm s nghi m c a ph ng trình x ( mod m ) Gi i: Gi s m = p11 p22 pkk Ta có x2 Ngô Th Minh Di u 48 x ( mod m ) ch K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c x2  x ( mod pi i ) v i m i i = 1, 2, …, k hay x( x - ) m i i = 1, 2, …, k Vì (x, x - 1) = nên ph có hai nghi m modulo pii x  ( mod pi i ) v i ng trình x( x - ) ( mod pii ) ho c x ( mod pii ) ( mod pii ) Theo đ nh lý Th ng d Trung Hoa, v i m i b r1, r2,…, rk, h ph ng trình  x  ri mod pii  i  1,2, , k ln có nghi m nh t modulo m Do m i ph x( x - ) ng trình : (mod pii ) đ u có hai nghi m modulo pii nên ph ng trình đư cho có 2k nghi m Bài 10 : Tính : 111  b   1151 17  a    71 3  c   137  Gi i: a Vì 17 ( mod ) nên : 31 17  71 3  17   2 71  17   17   3   3    1(mod3)           b Ta có : Ngơ Th Minh Di u 49 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c 111  1151  41  111  29         1151 111  111  41   41             41 12  3           1  29  29  29 c Ta có : 3  137  137   3  (do137  1(mod 4))     2    (do137  2(mod3)) 3   1 Bài 11: Ch ng minh r ng:  2  p  1(mod8) a,      p   p  3(mod8) 5   p  1(mod5) b,       p  p  4(mod5) Gi i: a, Ta có : 1.1, p  1(mod8)   2  1   (1).(1), p  3(mod8)  p    p   p   1.(1), p  5(mod8)       (1).1, p  7(mod8) Ngô Th Minh Di u 50 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c V y:  2  p  1(mod8)   p   p  3(mod8)    b, Ta có 5   p    p 5       Nh ng:  p  1, p  1(mod5) 5   1, p  2(mod5)    5   p  1(mod5)  p     p  4(mod5)    V y: * Bài t p đ ngh : Bài : Cho n  N , ch ng minh r ng 22 * 10 n1 n 1  19 23  32 n 1  nh ng h ps Bài 2: Tìm s nguyên t p cho p  1 p Bài 3: Ch ng minh r ng : ( p!)2  p  p3 Bài : Ngô Th Minh Di u 51 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên k ≥ có s t nhiên n cho t ng ch s c a n b ng k n  k Bài : Ch ng minh r ng t n t i m t dưy t ng a n n1 s t nhiên  cho v i k  dãy k  a n  ch ch a h u h n s nguyên t Ngô Th Minh Di u 52 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c K t lu n Trên lu n v n c a em v v n đ s nguyên t quan h đ ng d , đ c coi nh ng n i dung t ng đ i khó ch ng trình s h c M t l n n a em xin c m n s h cô t ng d n, giúp đ t n tình c a th y i s , th y khoa Tốn, th y tr ng HSP Hà N i 2, đ c bi t c a Th c s Nguy n Huy H ng đ em hồn thành t t khố lu n M c dù đư có nhi u c g ng song không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y em r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp c a th y giáo, cô giáo b n sinh viên cho lu n v n c a em Em xin chân thành c m n! Ngô Th Minh Di u 53 K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Tài li u tham kh o Nguy n V L ng ( ch biên ), Nguy n L u S n, Nguy n Ng c Th ng, Ph m V n Hùng (2006), Các gi ng v s h c t p 2, NXB HQG Hà N i Nguy n V Thanh (2004), Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán trung h c c s : s h c, NXBGD Nguy n V Thanh (1992), Chuyên đ b i d ng chuyên toán chuyên toán c p : s h c, NXBGD V D ng Th y, Nguy n V n Nho, Tr n H u Nam (2004), Lý thuy t s đ nh lý c b n t p ch n l c, NXBGD Ngô Th Minh Di u 54 K30G – S ph m Toán ... modulo ( k = 5) h { 5, 15 } h th ng d thu g n modulo (5, 4) = ( k = ) 2.2 nh lý Euler nh lý 2.2.1 ( nh lý Wilson : nh lý Euler ) : Cho m m t s t nhiên khác a m t s nguyên nguyên t v i m Khi ta... ch Ngô Th Minh Di u ng : K30G – S ph m Toán M t s đ nh lý c b n c a s h c Ch ng : M t s đ nh lý c b n v s nguyên t Ch ng : M t s đ nh lý c b n v đ ng d M c dù đư có nhi u c g ng song không... nh lý c b n c a s h c N u a > n t b ≥ ta có n = a.b > n.1 = n, mâu thu n V y < a < n Theo gi thi t quy n p, a có c nguyên t p T p | a, a | n suy p | n V y b đ v i m i n > nh lý 1.2.2 ( nh lý