luan van toan hoc Hàm số học

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên với biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Dương Thị Luyến hƣớng dẫn bảo tận tình cho em suốt thời gian học tập hoàn thành khóa luận Em chân thành cảm ơn thầy khoa tốn trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội truyền đạt cho em kiến thức quý báu suốt bốn năm học vừa qua Cuối em xin gửi lời cảm ơn tới tất bạn bè, ngƣời giúp đỡ động viên em q trình hồn thành khóa luận Hà nội, ngày 15 tháng năm 2010 Sinh viên Bùi Thị Nga Bùi Thị Nga K32A - Toán LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận đƣợc hoàn thành cố gắng, nỗ lực thân, với giúp đỡ tận tình giáo Dương Thị Luyến Khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2010 Sinh viên Bùi Thị Nga MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƢƠNG I Hàm phần nguyên y= [ x ] A Kiến thức I Các tính chất phần nguyên B Bài tập 13 I Các tốn định tính 13 II Các toán định lƣợng 19 CHƢƠNG II Một số hàm số học liên quan đến ƣớc số, số nguyên tố 25 A Kiến thức 25 I Tính chia hết vành số nguyên .25 II Ƣớc chung lớn bội chung nhỏ 25 III Số nguyên tố 27 IV Đồng dƣ 30 V Tính chất nhân .33 B Một số hàm số học .34 I Hàm σ (n) .34 II Hàm τ (n) 44 III Hàm Ơle ϕ(m) 52 CHƢƠNG III Một số hàm số học liên quan đến việc biểu diễn số tự nhiên n hệ thập phân 65 A Kiên thức 65 B Một số hàm số học .65 I Hàm S (n) 65 II Một số hàm khác 75 PHẦN KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO .79 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong trƣơng trình giảng dạy mơn tốn nhà trƣờng phổ thơng, Số học đóng vai trò quan trọng Các em học sinh bậc Tiểu học học Toán tức học Số học Chỉ đến lớp bậc Trung học sở Trung học phổ thơng mơn Đại số, Hình học, Lƣợng giác, Giải tích lần lƣợt thay cho mơn số học trƣơng trình học Tốn em học sinh Tuy nhiên toán Số học ln ln tốn hay khó thƣờng xuyên có mặt đề thi học sinh giỏi Tốn cấp: thành phố, tồn quốc, Olympic khu vực Olympic quốc tế Hàm số khái niệm giữ vị trí trung tâm khoa học tốn học Đảm bảo vị trí trung tâm khái niệm hàm số tăng cƣờng tính thống mơn tốn phổ thơng, góp phần xố bỏ ranh giới giả tạo phân mơn mơn tốn, phần khác chƣơng trình Hàm số học giữ vị trí trung tâm số học Nghiên cứu hàm số học giúp hiểu sâu có hệ thống vấn đề số học Với lí em chọn đề tài “Hàm số học” II Mục đích, yều cầu đề tài Đề tài nhằm hệ thống lại số hàm số học thông dụng: kiến thức liên quan tập áp dụng III Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Hàm số học Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế mặt thời gian nhƣ lực thân nên đề tài dừng lại số hàm số học thông dụng IV Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề: Chƣơng I Hàm phần nguyên y= [x] Chƣơng II Một số hàm số học liên quan đến ƣớc số, số nguyên tố Chƣơng III Một số hàm số học liên quan đến việc biểu diễn số tự nhiên n hệ thập phân V.Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu, phân tích tài liệu - Hệ thống, khái quát vấn đề - Sƣu tầm, giải toán - Tổng kết kinh nghiệm CHƢƠNG I HÀM PHẦN NGUYÊN y= [x] A Kiến thức I Các tính chất phần nguyên Định nghĩa phần nguyên số Cho x số thực Kí hiệu [ x ] (và gọi phần nguyên x ) số nguyên lớn không vƣợt x VD: [3,4] = 3; [ −2,5]  =1 = −3;    y = [x] Đồ thị hàm phần nguyên Hàm y= [x ] có đồ thị nhƣ sau: Các tính chất phần nguyên 3.1 [ x ] = a ⇔ x = a + d,a ∈Z ≤ d x (thật a a số ngun khơng vƣợt q x (mâu +1≤ +1 x thuẫn giả thiết a )) Từ a +1 ⇒ > x d = x − a