THÔNG TIN TÀI LIỆU
Khóa lu n t t nghi p Tr L IC M Tr D c tiên v i s ng HSP Hà N i N bi t n sơu s c, em xin chơn thƠnh c m n cô giáo ng Th Luy n đƣ h ng d n vƠ ch b o t n tình cho em su t th i gian h c t p vƠ hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy Em c ng chơn thƠnh c m n th y cô khoa toán tr ng i h c S Ph m HƠ N i đƣ truy n đ t cho em nh ng ki n th c quý báu su t b n n m h c v a qua Cu i em xin g i l i c m n t i t t c b n bè, nh ng ng i đƣ giúp đ đ ng viên em q trình hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy Hà n i, ngày 15 tháng n m 2010 Sinh viên Bùi Th Nga Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L I CAM OAN Tơi xin cam đoan khóa lu n nƠy đ c hoƠn thƠnh s c g ng, n l c c a b n thơn, v i s giúp đ t n tình c a giáo D ng Th Luy n Khóa lu n nƠy khơng trùng v i k t qu c a tác gi khác N u trùng xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m Hà N i, ngày 15 tháng n m 2010 Sinh viên Bùi Th Nga Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i M CL C PH N M CH U NG I HƠm ph n nguyên y x A Ki n th c c b n I Các tính ch t c b n c a ph n nguyên B BƠi t p 13 I Các bƠi tốn đ nh tính 13 II Các bƠi toán đ nh l CH ng 19 NG II M t s hƠm s h c liên quan đ n c s , s nguyên t 25 A Ki n th c c b n 25 I Tính chia h t vƠnh s nguyên 25 II c chung l n nh t vƠ b i chung nh nh t 25 III S nguyên t 27 IV ng d 30 V Tính ch t nhơn 33 B M t s hƠm s h c 34 I Hàm (n) 34 II Hàm ( n) 44 III HƠm le (m) 52 CH NG III M t s hƠm s h c liên quan đ n vi c bi u di n s t nhiên n h th p phơn 65 A Kiên th c c b n 65 B M t s hƠm s h c 65 I Hàm S ( n) 65 II M t s hƠm khác 75 PH N K T LU N 78 TÀI LI U THAM KH O 79 Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr PH N M ng HSP Hà N i U I Lý ch n đ tƠi Trong tr ng trình gi ng d y b mơn tốn nhƠ tr h c đóng m t vai trò quan tr ng Các em h c sinh t c lƠ h c S h c Ch đ n l p thơng b mơn b c Ti u h c h c Toán b c Trung h c c s vƠ Trung h c ph i s , Hình h c, L thay th cho môn s h c tr ng ph thông, S ng giác, Gi i tích m i l n l t ng trình h c Tốn c a em h c sinh Tuy nhiên bƠi toán S h c ln ln lƠ bƠi tốn hay vƠ khó vƠ th xuyên có m t đ thi h c sinh gi i Toán ng c p: thƠnh ph , toƠn qu c, Olympic khu v c vƠ Olympic qu c t Hàm s khái ni m gi v trí trung tâm khoa h c tốn h c b o v trí trung tâm c a khái ni m hàm s s t ng c m ng tính th ng nh t c a mơn tốn ph thơng, góp ph n xố b ranh gi i gi t o gi a phân môn c a mơn tốn, gi a ph n khác c a ch ng trình Hàm s h c gi v trí trung tâm s h c Nghiên c u v hàm s h c giúp hi u sâu có h th ng v n đ c a s h c V i nh ng lí em ch n đ tài “Hàm s h c” II M c đích, y u c u c a đ tƠi tài nh m h th ng l i m t s hƠm s h c thông d ng: ki n th c liên quan vƠ bƠi t p áp d ng III it it ng, ph m vi nghiên c u ng nghiên c u: HƠm s h c Ph m vi nghiên c u: Do h n ch v m t th i gian c ng nh n ng l c c a b n thơn nên đ tƠi ch d ng l i m t s hƠm s h c thông d ng Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ch ng I HƠm ph n nguyên y x Ch ng II M t s hƠm s h c liên quan đ n c s , s nguyên IV Nhi m v nghiên c u tƠi nghiên c u v n đ : t Ch ng III M t s hƠm s h c liên quan đ n vi c bi u di n s t nhiên n h th p phơn V Ph ng pháp nghiên c u - Nghiên c u, phơn tích tƠi li u - H th ng, khái quát v n đ - S u t m, gi i quy t toán - T ng k t kinh nghi m Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p CH Tr ng HSP Hà N i NG I HÀM PH N NGUYểN y x A Ki n th c c b n I Các tính ch t c b n c a ph n nguyên nh ngh a ph n nguyên c a s Cho x lƠ m t s th c b t k Kí hi u x (vƠ g i lƠ ph n nguyên c a x ) lƠ s nguyên l n nh t không v t x VD: 3,4 3; 2,5 3; th c a hƠm ph n nguyên y x Hàm y x có đ th nh sau: Các tính ch t c b n c a ph n nguyên 3.1 x a x a d , a Z d CM -Gi s nh t không v x a , theo đ nh ngh a ph t x (nh v y nói riêng a lƠ s nguyên) Do a x, nên x a Bùi Th Nga n nguyên a lƠ s nguyên l n t d x a , d K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr M t khác a lƠ s nguyên l n nh t không v ng HSP Hà N i t x nên a x (th t v y n u a x a c ng lƠ s ngun khơng v t x (mâu thu n gi thi t v a )) T a x d x a V yt - x a x a d v i a Z d o l i, gi s x a d v i a Z d Khi t d a x T d a x mà a c ng lƠ s nguyên nên a lƠ s nguyên l n nh t không v t x V y x a 3.2 N u x y x x lƠ s nguyên vƠ y Tính ch t nƠy đ c suy t tính ch t 3.1 3.3 N u n lƠ s nguyên n x n x CM Gi s x a Khi theo tính ch t 3.1, ta có x a d , a Z,0 d Ta có n x x a 1 M t khác n x n a d (n a ) d Vì n a nguyên d nên n x n a T (1) vƠ (2) ta có đpcm 3.4 x y x y CM T tính ch t 3.1 có: x x d1, y y d2 v i d1, d2 T x y x y (d1 d2 ) Bùi Th Nga K32A - Toán Khóa lu n t t nghi p T Tr ng HSP Hà N i d1 d2 x y lƠ s nguyên không v x y lƠ s nguyên l n nh t không v t x y , mà t x y nên suy x y x y x x 3.5 , n Z n n CM Theo tính ch t 3.1 x x d v i d Theo đ nh ngh a phép chia có x q.n r , q, r Z r n Nh v y: x q r , q Z r n n n n 1 n x Suy q n M t khác, ta có: x x d x d r d r d q q n n n n n n n Có q Z, r n d 1, nên r d nên có n x x x q V y ta có: n n n 3.6 N u n lƠ s t nhiên, n. x n.x CM Theo tính ch t 3.1 ta có: x x d ,0 d suy n.x n. x n.d Do d nên n.d suy n. x lƠ s nguyên không v t n.x Theo đ nh ngh a n. x n.x Ta có đpcm Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i n 3.7 M i s t nhiên n q ( q ), ta có q n q CM n n Theo tính ch t 3.6 ta có q q n q q n Vì n nên n n V y q n Ta có đpcm q n 3.8 V i m i s t nhiên n q ( q ), ta có n q.(1 ) q CM Th c hi n phép chia n cho q ta đ Do v y: c: n m.q r ; m, q ,0 r q n r n r m ; mZ nên suy m q q q q n Suy q.(1 ) q.(m 1) 1 q Do n m.q r nên n (m 1).q r q Do r q nên ta có n (m 1).q n T (1) vƠ (2) suy n q.(1 ) Ta có đpcm q 1 3.9 x 2.x x 2 CM Theo tính ch t 3.1: x x d , v i d Xét kh n ng: 1 a) N u d Thì x x d 2 Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Do x Z Tr 1 d nên theo tính ch t 3.1: 2 ng HSP Hà N i 1 x x1 M t khác: 2.x 2. x 2.d Do 2. x Z 2.d nên suy 2.x 2. x , suy 2.x x x 2 1 T (1) vƠ (2) suy x 2.x x * 2 b) N u d Bi u di n d d Ta có: x i d ng d 1 ,0 2 1 x d x 2 Do x 1Z nên ta có 1 x 1 3 x L i có 2.x 2. x 2.d 2. x 2. Vì 2. x 1Z 2. nên ta có: 2.x 2. x 1, suy 2.x x x 1 4 1 T (3) vƠ (4) suy x 2.x x** 2 K t h p (*) vƠ (**) ta có đpcm 1 2 n 1 n.x 3.10 x x x x n n n CM Gi s x x a ,0 a Vì a nên k Z(0 k n 1) cho: k k 1 a n n T v i k 0,1,2 ta có: Bùi Th Nga 10 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p CH Tr NG III M T S BI U DI N S HÀM S ng HSP Hà N i H C LIểN QUAN n TRONG H N VI C M TH P PHỂN A Ki n th c c b n 1) N u nh thông th ng đ bi u m t s h th p phơn, ta s d ng 10 ch s 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lúc nƠy m t s t nhiên k h th p phơn có d ng : k a n a n1 a1a0 , i 0, n lƠ m t 10 ch s vƠ a n Ngh a lƠ k a n 10n a n1.10n1 a1.10 a0 2) gi i bƠi toán s h c m t s tr ng h p ng i ta ph i bi u di n m t s t nhiên m t h đ m khác Trong h đ m ngoƠi h th p phơn, h nh phơn đóng vai trò quan tr ng h n c - Trong h nh phơn m t s t nhiên k đ c vi t : k a n a n1 a1a |2 , i 0, n lƠ m t ch s 0, a n ngh a lƠ k a n 2n a n1.2n1 a1.2 a0 B M t s hƠm s h c I Hàm S n nh ngh a Gi s n lƠ s t nhiên Ta đ nh ngh a S n lƠ t ng ch s c a n bi u di n h th p phơn T c lƠ n u n có d ng n a n a n1 a1a S n a1 a a k Tính ch t c b n c a hƠm S n Cho n lƠ s t nhiên d ng i) S n n mod9 ii) S n n Bùi Th Nga 65 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i iii) S n n n iv) S m n S m S n v i m i m, n nguyên d v) S mn S m.S n v i m i m, n nguyên d ng ng Ch ng minh i) Gi s bi u di n th p phơn s nguyên d ng n có d ng n a n a n1 a1a Khi y n a k 10k a k 1.10k 1 a1.10 a S n a a1 a a k 1 a k Vì th n S (n) 9.a1 99.a 99 a k 1 99 a k 1 k 1 k T (1) suy n S n 9 n S n mod9 suy đpcm ii iii) Ta có n a k a k 1 a1a Vì n nên a k , 0,1,2, ,9, i 1, k T S n a k a k1 a1 a0 suy S n L i th y t (1) S n n S n n a1 a a k a0 a0 1,2, ,9 ó lƠ u ph i ch ng minh iv) Gi s h th p phơn n m l n l t có d ng n a k a k 1 a1a , m s s 1 1 Không gi m t ng quát có th cho lƠ n m suy k s Ta có th vi t l i m d i d ng sau đơy m 00 0 s s 1 1 Bùi Th Nga 66 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i , i 0,1,2, , s t i ' i 0, i s 1, , k Vì th ln ln có th cho lƠ n m có lo i bi u di n sau : n a k a k 1 a1a m k k 1 1 Trong i , i 9, i 0, k i , i nguyên Ta s ch ng minh b t đ ng th c : S m n S m S n , v i m i m, n nguyên d ng b ng phép quy n p theo k +) N u k n a0 , m 0 suy S n S m a0 0 Ta có m n a0 0 v y : a , a S m n (a 0 10) 1, a 0 T suy a , a S m n a 0 9, a 0 Chú ý r ng a0 9;0 0 nên a0 0 18 Suy a0 0 a0 0 a0 0 9 Tóm l i ta ln ch ng minh đ c S m n S m S n V y u kh ng đ nh k +) Gi s u kh ng đ nh đƣ đ n k 1, t c lƠ v i m i bi u di n h th p phơn n a k 1a k 2 a1a , m k 1 k 2 10 (trong nh t m t hai s a k1, k1 ph i l n h n 0) ta ln có S m n S m S n +) Xét tr Bùi Th Nga ng h p v i k , t c lƠ n m bi u di n nh sau : 67 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i n a k a k 1 a1a m k k 1 1 (ít nh t m t hai s a k , k ph i l n h n 0) Ta có th vi t l i n 10.a k a k 1 a1 a ; m 10. k k 1 1 0 Vì n 10.a k a k 1 a1 a k a k 1 a1 nên suy S 10.n' S n' , n' a k a k1 a1 T ng t S (10.m') S(m'), m' k k 1 1 Rõ ràng ta có : S(n) a0 S(n '), S(m) 0 S(m') Áp d ng gi thi t quy n p ta th y : S(m' n ') S(m') S(n ') M t khác ta có : m n 10.(m' n ') a0 0 nên S(m n) S(m' n ') a0 0 Suy ra: S(m n) S(m') S(n ') a0 0 S(m) S(n) V y u kh ng đ nh c ng đ n k T suy đpcm Chú ý : b ng quy n p d dƠng ch ng minh đ n u a1, a , a3 , , a k lƠ s nguyên d c: ng thì: k S(a1 a a3 a k ) S(a i ) i 1 V) Gi s B có bi u di n d i d ng th p phơn lƠ: B b1b2 bk Khi y: B bk 10.bk1 102.bk2 10k1.b1 Tr c h t ta có nh n xét: Bùi Th Nga 68 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr n u N lƠ s t nhiên, v i m i s ng HSP Hà N i p nguyên d ng ta có : S(10 p.N) S( N) Ta có: AB Ab k 10 Ab k1 102 Ab k2 10k1 Ab Theo ph n iv) v a ch ng minh suy ra: S( AB ) S( Ab k 10 Ab k 1 102 Ab k 2 10k 1 Ab 1) S( Ab k ) S(10 Ab k 1 ) S(10k1 Ab )(*) L i theo ph n iv) ta có: S( Ab A A A) S( A) S( A) S( A) bk.S( A) k ) S( bk T bk ng t ta có: S(10 Ab k 1 ) bk 1.S (10 A) bk 1.S ( A) S(102 Ab k 2 ) bk 2 S(102 A) bk 2 S( A) S(10k 1 Ab ) b1.S(10k 1 A) b1.S( A) Thay vào * ta có: S( AB ) (bk bk1 b1 ).S( A) Do S( B) b1 b2 bk , nên t b t đ ng th c ta thu đ c: S AB S A.S B ó lƠ đpcm Chú ý: Theo nguyên lý quy n p, ta suy k t qu sau : n u A1, A2 , , An lƠ s nguyên d ng : S( A1 A2 An ) S( A1).S A2 S An BƠi t p Bài Tìm s t nhiên n cho : S n n 2003n Bùi Th Nga 69 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Gi i V i m i n nguyên d ng ta có : S n n (1) Gi s n lƠ s nguyên d ng th a mƣn yêu c u đ bƠi, t c : S n n 2003n T (1) đ n h b t ph ng trình sau ( n n ): n 2003n n 2003n 2003 n n n n 2004n n 2002,99 2002 n 2004 n 2,49.103 n 2003 n 3 2.49.10 n 2003,99 ol i S 2003 n 2003 2003 2003.2003 S 2003 20032 2003.2003 V y : n 2003 lƠ giá tr nh t th a mƣn yêu c u đ bƠi Bài Tìm s t nhiên n , cho : n S n 2003 Gi i Ta có : n S(n) 2003 n 2003 S(n)(1) Vì S(n) S ( n) nguyên nên S (n) Do t (1), ta có : n 2002 2 Bùi Th Nga 70 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ý r ng s không v ng HSP Hà N i t s 2002 , s 1999 có t ng ch s l n nh t nên S(n) S(1999) 28 3 v i m i s t nhiên n 2002 Thay (3) vào (1) ta có : n 1975 k t h p v i (2), ta có : 1975 n 2002 Do S(2002) 4, S(2001) 3, S(2000) n 2002 n S(n) 2002 2006 2003 lo i n 2001 n S (n) 2001 2004 2003 lo i n 2000 n S(n) 2000 2002 2003 lo i V y : 1975 n 1999, nên ta có th bi u di n n d i d ng : n 19ab v i a , b ,0 a , b Khi h th c n S (n) 2003 có d ng : 1900 10.a b 10 a b 2003 hay 11.a 2.b 93(6) T (6) ta có : b 93 11.a 1 a 46 5.a 2 1 a t hay Do b nên Vì a , b vƠ đ u không v a 12.t b46510.t t 11.t 41 t nên ta có : t 0 2t 32 41 t t 3 0 11t 41 11 11 t t Khi t 3 a 7, b n 1978 o l i, n u n=1978 S(n) 25 n S(n) 1978 25 2003 Bùi Th Nga 71 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i K t lu n : n 1978 lƠ giá tr nh t th a mƣn yêu c u bƠi toán Bài Cho n lƠ s t nhiên b t k CMR S (8.n) S ( n) Gi i Tr c h t ta có nh n xét sau : n u n lƠ s nguyên d ng, v i m i s nguyên d ng p , ta có h th c : S n S 10 p.n (1) Th t v y : gi s n a1a a k ,thì 10 p.n a1a a k 00 p Vì th S(n) S(10 p.n) (vì b ng a1 a a k ) (1) V i p ta có : S(n) S(1000.n) S(125.8.n)(2) Áp d ng tính ch t c a hƠm S ( n) : S(125.8.n) S (125).S (8.n) 8.S (8.n)(3) T (2) vƠ (3) ta có : S (n) 8.S (8.n) S (8.n) S ( n) Bài t A S 44444444 , B S( A) Tìm S ( B) Gi i Vì 44444444 100004444 104 4444 1017776 Và 1017776 lƠ s bé nh t có 17777 ch s nên suy : S 44444444 có s ch s khơng v t 17776 ch s Hay : A S(44444444 ) 9.17776 159984 Bùi Th Nga 72 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr Trong s không v ng HSP Hà N i t 159984 s 99999 lƠ s có t ng ch s l n nh t Vì th : B S( A) S 99999 45 Trong s 45 , s có t ng ch s l n nh t lƠ 39 , S(39) 12 , nên ta có : S ( B) 12 Ta có : 4444 2(mod9) 444444444 (2) 4444 (mod9) 1 L i th y : 2 1(mod9) nên : 2 4444 (2)1481.(2) 2(mod9) 7(mod9) T (1) vƠ (2) có : 44444444 7(mod9) 3 Áp d ng công th c v i m i s n nguyên d ng, n S (n)(mod9) Cùng v i (3) ta có : A 7(mod9) B mod9 S( B) 7(mod9) 0 S B 12 Do : S B S B 7(mod9) V y S B Bài t a S 29 1999 ;b S(a );c S(b) Tìm c ? Gi i t n 1999 Thì n 3.1999 85997 105997 V y n lƠ m t s có khơng q 5997 s Do 99 lƠ s l n nh t có 5997 ch s 5997 T suy : a S(n) S(99 9) 9.5997 53973 Nh th ta có a 539731 Bùi Th Nga 73 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Trong s không v Tr ng HSP Hà N i t 53973 , s 49999 lƠ s có t ng ch s l n nh t T (1) b S(a ) S(49999) 40 2 Trong s khơng v t q 40 s 39 l i lƠ s có t ng ch s l n nh t Vì v y : c S(b) S(39) 12 c 12 3 n 23 5997 Do 23 1(mod9) nên n 1 5997 (mod9) 1(mod9) n 8(mod9) T (4) a 8 mod9 b 8(mod9) c 8(mod9) , k t h p v i c 12 suy c V y c lƠ giá tr c n tìm Bài Cho m lƠ s nguyên d ng không chia h t cho 10 CMR t n t i s nguyên d ng n đ ng th i th a mƣn u ki n sau : 1.Trong d ng th p phơn c a n không ch a s S(n) S(m.n) Gi i Gi s bi u di n th p phơn m có d ng : m a1a a k Do m không chia h t cho 10 nên a k Xét s n g m k ch s : n 99 k Khi d ng th p phơn c a n không ch a s nƠo Ta có S(n) 9k 1 k Ta có m.n a1a a k 99 a1a a k 10 k Bùi Th Nga 74 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i a1a a k 10k a1a a k a1a a k 00 a1a a k k a1a a k 1 a k 1 a1 9 a k 1 10 a k (Do a k a k nên sau th c hi n phép tr a k 1 khơng phép tính có nh n a) T (2) ta có S mn a1 a a k 9 10 a1 a a k k 1 9.k 3 T (1) vƠ (3) suy S n S mn Suy đpcm II) M t s hƠm s khác Cho n s nguyên d ng Ta g i g ( n) lƠ t ng ch s bi u di n h nh phơn c a n Ví d : g 13 13 11012 Cho n s nguyên d ng Ta g i f (n) lƠ s nguyên k không ơm l n nh t cho n chia h t cho k Ví d : f (32) 32 25 Bài t p Bài (tính ch t c a hƠm f (n), g (n) ) V i s nguyên d ng n, ta g i f (n) lƠ s nguyên k l n nh t cho n chia h t cho k , g ( n) lƠ t ng ch s bi u di n h nh phơn c a n CMR v i m i s nguyên d ng n , ta có f (n!) n g (n) Gi i r 1 r Gi s n a0 a1.2 a 2 a r 1.2 a r (1) Khi g (n) a0 a1 a r 1 a r (2) Bùi Th Nga 75 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i T (1) suy v i m i i r , ta có n r i 2i 1.2 a r n r i 1 2i 1 1 2 a r n n Suy i i 1 (3) 2 2 r r n n Thay (3) vào (2) có : g (n) a i i i 1 2 i 0 i 0 Suy : n n n n n g (n) n 2 2 2 2 2 n n r i 1 2 2 n n n n r 1 2 2 2 Do (1) nên ta có : n a0 a1 a ar 5 2r 1 2r 1 2r 2r 1 Vì 0,1 v i m i i 0, r nên t 5 ta có : n 1 1 2r 1 r 1 r 1 r 1 2 2 1 2 n V y r 1 2 Thay (6) vƠo (4) ta đ c: n n n g (n) n r 2 2 2 Bùi Th Nga 76 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Vì f (n!) lƠ s nguyên d Tr ng HSP Hà N i ng k l n nh t mƠ n! 2k , v y theo tính ch t 3.12 c a hƠm ph n nguyên y x , ta có : n n n n f (n!) r V y f (n!) n g (n) 2 2 2 2 Bùi Th Nga 77 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i PH N K T LU N Khố lu n đƣ trình bày m t s v n đ c b n v hàm s h c, m t s hàm s h c v a có nhi u ng d ng b mơn s lu n v a đ i t ng nghiên c u c a b môn v i tính ch t c b n tốn n hình Khố lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m giúp b n đ c nghiên c u nhi u h n, sâu h n v s h c nói chung hàm s h c nói riêng Dù đƣ h t s c c g ng song trình đ kinh nghiêm c a b n thân h n ch , th i gian có h n nên nhi u v n đ v hàm s h c c ng ch a đ cđ c p t i nh hàm s đ i s nguyên ng d ng c a hàm s h c Ch c ch n khố lu n khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s góp ý c a quý th y cô b n đ khố lu n đ c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Sinh viên Bùi Th Nga Bùi Th Nga 78 K32A - Toán Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i TÀI LI U THAM KH O Bùi Huy Hi n, Nguy n H u Hoan (1985) Bài t p đ i s s h c t p 1, NXB Giáo d c, Hà N i Nguy n H u Vi t H ng (1999) is đ ic ng, NXB Giáo d c, Hà N i Ngô Thúc Lanh (1986) i s s h c t p 1, t p 2, NXB giáo d c Phan Huy Kh i Các chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán trung h c, chuyên đ 4: toán v hàm s h c, NXB Giáo d c L i c Th nh (1977) S h c, NXB Giáo d c Bùi Th Nga 79 K32A - Toán ... tốn, gi a ph n khác c a ch ng trình Hàm s h c gi v trí trung tâm s h c Nghiên c u v hàm s h c giúp hi u sâu có h th ng v n đ c a s h c V i nh ng lí em ch n đ tài Hàm s h c” II M c đích, y u c u... thƠnh ph , toƠn qu c, Olympic khu v c vƠ Olympic qu c t Hàm s khái ni m gi v trí trung tâm khoa h c tốn h c b o v trí trung tâm c a khái ni m hàm s s t ng c m ng tính th ng nh t c a mơn tốn ph thơng,... d 30 V Tính ch t nhơn 33 B M t s hƠm s h c 34 I Hàm (n) 34 II Hàm ( n) 44 III HƠm le (m) 52 CH NG III M t s hƠm s h c
Ngày đăng: 28/06/2020, 13:05
Xem thêm: