Luận văn sư phạm Hàm số học

Khóa lu n t t nghi p Tr L IC M Tr D c tiên v i s ng HSP Hà N i N bi t n sơu s c, em xin chơn thƠnh c m n cô giáo ng Th Luy n đƣ h ng d n vƠ ch b o t n tình cho em su t th i gian h c t p vƠ hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy Em c ng chơn thƠnh c m n th y cô khoa toán tr ng i h c S Ph m HƠ N i đƣ truy n đ t cho em nh ng ki n th c quý báu su t b n n m h c v a qua Cu i em xin g i l i c m n t i t t c b n bè, nh ng ng i đƣ giúp đ đ ng viên em q trình hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy Hà n i, ngày 15 tháng n m 2010 Sinh viên Bùi Th Nga Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L I CAM OAN Tơi xin cam đoan khóa lu n nƠy đ c hoƠn thƠnh s c g ng, n l c c a b n thơn, v i s giúp đ t n tình c a giáo D ng Th Luy n Khóa lu n nƠy khơng trùng v i k t qu c a tác gi khác N u trùng xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m Hà N i, ngày 15 tháng n m 2010 Sinh viên Bùi Th Nga Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i M CL C PH N M CH U NG I HƠm ph n nguyên y   x A Ki n th c c b n I Các tính ch t c b n c a ph n nguyên B BƠi t p 13 I Các bƠi tốn đ nh tính 13 II Các bƠi toán đ nh l CH ng 19 NG II M t s hƠm s h c liên quan đ n c s , s nguyên t 25 A Ki n th c c b n 25 I Tính chia h t vƠnh s nguyên 25 II c chung l n nh t vƠ b i chung nh nh t 25 III S nguyên t 27 IV ng d 30 V Tính ch t nhơn 33 B M t s hƠm s h c 34 I Hàm  (n) 34 II Hàm  ( n) 44 III HƠm le  (m) 52 CH NG III M t s hƠm s h c liên quan đ n vi c bi u di n s t nhiên n h th p phơn 65 A Kiên th c c b n 65 B M t s hƠm s h c 65 I Hàm S ( n) 65 II M t s hƠm khác 75 PH N K T LU N 78 TÀI LI U THAM KH O 79 Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr PH N M ng HSP Hà N i U I Lý ch n đ tƠi Trong tr ng trình gi ng d y b mơn tốn nhƠ tr h c đóng m t vai trò quan tr ng Các em h c sinh t c lƠ h c S h c Ch đ n l p thơng b mơn b c Ti u h c h c Toán b c Trung h c c s vƠ Trung h c ph i s , Hình h c, L thay th cho môn s h c tr ng ph thông, S ng giác, Gi i tích m i l n l t ng trình h c Tốn c a em h c sinh Tuy nhiên bƠi toán S h c ln ln lƠ bƠi tốn hay vƠ khó vƠ th xuyên có m t đ thi h c sinh gi i Toán ng c p: thƠnh ph , toƠn qu c, Olympic khu v c vƠ Olympic qu c t Hàm s khái ni m gi v trí trung tâm khoa h c tốn h c b o v trí trung tâm c a khái ni m hàm s s t ng c m ng tính th ng nh t c a mơn tốn ph thơng, góp ph n xố b ranh gi i gi t o gi a phân môn c a mơn tốn, gi a ph n khác c a ch ng trình Hàm s h c gi v trí trung tâm s h c Nghiên c u v hàm s h c giúp hi u sâu có h th ng v n đ c a s h c V i nh ng lí em ch n đ tài “Hàm s h c” II M c đích, y u c u c a đ tƠi tài nh m h th ng l i m t s hƠm s h c thông d ng: ki n th c liên quan vƠ bƠi t p áp d ng III it it ng, ph m vi nghiên c u ng nghiên c u: HƠm s h c Ph m vi nghiên c u: Do h n ch v m t th i gian c ng nh n ng l c c a b n thơn nên đ tƠi ch d ng l i m t s hƠm s h c thông d ng Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ch ng I HƠm ph n nguyên y   x Ch ng II M t s hƠm s h c liên quan đ n c s , s nguyên IV Nhi m v nghiên c u tƠi nghiên c u v n đ : t Ch ng III M t s hƠm s h c liên quan đ n vi c bi u di n s t nhiên n h th p phơn V Ph ng pháp nghiên c u - Nghiên c u, phơn tích tƠi li u - H th ng, khái quát v n đ - S u t m, gi i quy t toán - T ng k t kinh nghi m Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p CH Tr ng HSP Hà N i NG I HÀM PH N NGUYểN y   x A Ki n th c c b n I Các tính ch t c b n c a ph n nguyên nh ngh a ph n nguyên c a s Cho x lƠ m t s th c b t k Kí hi u  x (vƠ g i lƠ ph n nguyên c a x ) lƠ s nguyên l n nh t không v t x VD: 3,4  3;  2,5  3;    th c a hƠm ph n nguyên y   x Hàm y   x có đ th nh sau: Các tính ch t c b n c a ph n nguyên 3.1  x  a  x  a  d , a Z  d  CM -Gi s nh t không v  x  a , theo đ nh ngh a ph t x (nh v y nói riêng a lƠ s nguyên) Do a  x, nên x  a  Bùi Th Nga n nguyên a lƠ s nguyên l n t d  x  a , d  K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr M t khác a lƠ s nguyên l n nh t không v ng HSP Hà N i t x nên a   x (th t v y n u a   x a  c ng lƠ s ngun khơng v t x (mâu thu n gi thi t v a )) T a   x  d  x  a  V yt -  x  a  x  a  d v i a Z  d  o l i, gi s x  a  d v i a Z  d  Khi t d   a  x T d   a   x mà a  c ng lƠ s nguyên nên a lƠ s nguyên l n nh t không v t x V y  x  a 3.2 N u  x  y  x x lƠ s nguyên vƠ  y  Tính ch t nƠy đ c suy t tính ch t 3.1 3.3 N u n lƠ s nguyên  n  x  n   x CM Gi s  x  a Khi theo tính ch t 3.1, ta có x  a  d , a  Z,0  d  Ta có n   x  x  a 1 M t khác n  x  n  a  d  (n  a )  d Vì n  a nguyên  d  nên  n  x  n  a   T (1) vƠ (2) ta có đpcm 3.4  x  y   x   y CM T tính ch t 3.1 có: x   x  d1, y   y  d2 v i  d1, d2  T x  y   x   y  (d1  d2 ) Bùi Th Nga K32A - Toán Khóa lu n t t nghi p T Tr ng HSP Hà N i d1  d2    x   y lƠ s nguyên không v  x  y lƠ s nguyên l n nh t không v t x  y , mà t x  y nên suy  x   y   x  y ฀   x   x  3.5      , n  Z   n  n CM Theo tính ch t 3.1 x   x  d v i  d  Theo đ nh ngh a phép chia có  x  q.n  r , q, r Z  r  n  Nh v y:  x  q  r , q  Z  r n n n  n 1  n   x  Suy    q  n  M t khác, ta có: x  x  d  x d r d r d    q  q n n n n n n n Có q  Z,  r  n   d  1, nên  r d  nên có n   x   x   x  q V y ta có:       n   n  n 3.6 N u n lƠ s t nhiên, n. x   n.x CM Theo tính ch t 3.1 ta có: x   x  d ,0  d  suy n.x  n. x  n.d Do d  nên n.d  suy n. x lƠ s nguyên không v t n.x Theo đ nh ngh a n. x   n.x Ta có đpcm Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i n 3.7 M i s t nhiên n q ( q  ), ta có q    n q CM n  n Theo tính ch t 3.6 ta có q     q    n q  q n Vì n฀ nên  n  n V y q    n Ta có đpcm q n 3.8 V i m i s t nhiên n q ( q  ), ta có n  q.(1   ) q CM Th c hi n phép chia n cho q ta đ Do v y: c: n  m.q  r ; m, q  ฀ ,0  r  q n r n r  m  ; mZ   nên suy    m q q q q n Suy q.(1    )  q.(m  1) 1 q Do n  m.q  r nên n  (m  1).q  r  q Do r  q  nên ta có n  (m  1).q   n T (1) vƠ (2) suy n  q.(1    ) Ta có đpcm q 1  3.9  x     2.x   x 2  CM Theo tính ch t 3.1: x   x  d , v i  d  Xét kh n ng: 1 a) N u  d  Thì x    x  d  2 Bùi Th Nga K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Do  x Z Tr 1  d   nên theo tính ch t 3.1: 2 ng HSP Hà N i 1  x    x1   M t khác: 2.x  2. x  2.d Do 2. x Z  2.d  nên suy  2.x  2. x , suy 2.x   x   x 2 1  T (1) vƠ (2) suy  x     2.x   x * 2  b) N u  d  Bi u di n d d Ta có: x  i d ng d  1   ,0    2 1   x  d    x    2 Do  x  1Z    nên ta có 1     x  1 3 x   L i có 2.x  2. x  2.d  2. x   2. Vì 2. x  1Z  2.  nên ta có: 2.x  2. x  1, suy 2.x   x   x  1 4 1  T (3) vƠ (4) suy  x     2.x   x** 2  K t h p (*) vƠ (**) ta có đpcm 1  2 n  1     n.x 3.10  x   x     x      x  n  n n    CM Gi s x   x  a ,0  a  Vì  a  nên k  Z(0  k  n  1) cho: k k 1 a n n T v i k  0,1,2 ta có: Bùi Th Nga 10 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p CH Tr NG III M T S BI U DI N S HÀM S ng HSP Hà N i H C LIểN QUAN n TRONG H N VI C M TH P PHỂN A Ki n th c c b n 1) N u nh thông th ng đ bi u m t s h th p phơn, ta s d ng 10 ch s 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lúc nƠy m t s t nhiên k h th p   phơn có d ng : k  a n a n1 a1a0 , i  0, n lƠ m t 10 ch s vƠ a n  Ngh a lƠ k  a n 10n  a n1.10n1   a1.10  a0 2) gi i bƠi toán s h c m t s tr ng h p ng i ta ph i bi u di n m t s t nhiên m t h đ m khác Trong h đ m ngoƠi h th p phơn, h nh phơn đóng vai trò quan tr ng h n c - Trong h nh phơn m t s t nhiên k đ  c  vi t : k  a n a n1 a1a |2 , i  0, n lƠ m t ch s 0, a n  ngh a lƠ k  a n 2n  a n1.2n1   a1.2  a0 B M t s hƠm s h c I Hàm S  n  nh ngh a Gi s n lƠ s t nhiên Ta đ nh ngh a S  n  lƠ t ng ch s c a n bi u di n h th p phơn T c lƠ n u n có d ng n  a n a n1 a1a S  n   a1  a   a k Tính ch t c b n c a hƠm S  n  Cho n lƠ s t nhiên d ng i) S  n   n  mod9 ii)  S  n   n Bùi Th Nga 65 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i iii) S  n   n   n  iv) S  m  n   S  m  S  n  v i m i m, n nguyên d v) S  mn   S  m.S  n  v i m i m, n nguyên d ng ng Ch ng minh i) Gi s bi u di n th p phơn s nguyên d ng n có d ng n  a n a n1 a1a Khi y n  a k 10k  a k 1.10k 1   a1.10  a S  n   a  a1  a   a k 1  a k Vì th n  S (n)  9.a1  99.a   99  a k 1  99  a k 1 k 1 k T (1) suy  n  S  n  9  n  S  n  mod9  suy đpcm ii iii) Ta có n  a k a k 1 a1a Vì n  nên a k  , 0,1,2, ,9, i  1, k T S  n   a k  a k1   a1  a0 suy S  n   L i th y t (1) S  n  n S  n   n  a1  a   a k  a0   a0 1,2, ,9 ó lƠ u ph i ch ng minh iv) Gi s h th p phơn n m l n l t có d ng n  a k a k 1 a1a , m   s  s 1 1 Không gi m t ng quát có th cho lƠ n  m suy k  s Ta có th vi t l i m d i d ng sau đơy m  00 0 s  s 1 1 Bùi Th Nga 66 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i   , i  0,1,2, , s t i '   i 0, i  s  1, , k Vì th ln ln có th cho lƠ n m có lo i bi u di n sau : n  a k a k 1 a1a m   k  k 1 1 Trong   i , i  9, i  0, k i , i nguyên Ta s ch ng minh b t đ ng th c : S  m  n   S  m  S  n , v i m i m, n nguyên d ng b ng phép quy n p theo k +) N u k  n  a0 , m  0 suy S  n   S  m  a0  0 Ta có m  n  a0  0 v y : a   , a    S m  n   (a  0  10)  1, a  0  T suy a   , a    S  m  n   a  0  9, a  0  Chú ý r ng  a0  9;0  0  nên a0  0  18 Suy a0  0    a0  0  a0  0  9 Tóm l i ta ln ch ng minh đ c S  m  n   S  m  S  n  V y u kh ng đ nh k  +) Gi s u kh ng đ nh đƣ đ n k  1, t c lƠ v i m i bi u di n h th p phơn n  a k 1a k 2 a1a , m   k 1 k 2 10 (trong nh t m t hai s a k1, k1 ph i l n h n 0) ta ln có S  m  n   S  m  S  n  +) Xét tr Bùi Th Nga ng h p v i k , t c lƠ n m bi u di n nh sau : 67 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i n  a k a k 1 a1a m   k  k 1 1 (ít nh t m t hai s a k , k ph i l n h n 0) Ta có th vi t l i n  10.a k a k 1 a1  a ; m  10. k  k 1 1  0 Vì n  10.a k a k 1 a1  a k a k 1 a1 nên suy S 10.n'   S  n'  , n'  a k a k1 a1 T ng t S (10.m')  S(m'), m'   k  k 1 1 Rõ ràng ta có : S(n)  a0  S(n '), S(m)  0  S(m') Áp d ng gi thi t quy n p ta th y : S(m' n ')  S(m')  S(n ') M t khác ta có : m  n  10.(m' n ')  a0  0 nên S(m  n)  S(m' n ')  a0  0 Suy ra: S(m  n)  S(m')  S(n ')  a0  0  S(m)  S(n) V y u kh ng đ nh c ng đ n k T suy đpcm Chú ý : b ng quy n p d dƠng ch ng minh đ n u a1, a , a3 , , a k lƠ s nguyên d c: ng thì: k S(a1  a  a3   a k )   S(a i ) i 1 V) Gi s B có bi u di n d i d ng th p phơn lƠ: B  b1b2 bk Khi y: B  bk  10.bk1  102.bk2   10k1.b1 Tr c h t ta có nh n xét: Bùi Th Nga 68 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr n u N lƠ s t nhiên, v i m i s ng HSP Hà N i p nguyên d ng ta có : S(10 p.N)  S( N) Ta có: AB  Ab k  10 Ab k1  102 Ab k2   10k1 Ab Theo ph n iv) v a ch ng minh suy ra: S( AB )  S( Ab k  10 Ab k 1  102 Ab k 2   10k 1 Ab 1)  S( Ab k )  S(10 Ab k 1 )   S(10k1 Ab )(*) L i theo ph n iv) ta có: S( Ab A A   A)  S( A)  S( A)   S( A)  bk.S( A) k )  S(     bk T bk ng t ta có: S(10 Ab k 1 )  bk 1.S (10 A)  bk 1.S ( A) S(102 Ab k 2 )  bk 2 S(102 A)  bk 2 S( A) S(10k 1 Ab )  b1.S(10k 1 A)  b1.S( A) Thay vào * ta có: S( AB )  (bk  bk1   b1 ).S( A) Do S( B)  b1  b2   bk , nên t b t đ ng th c ta thu đ c: S  AB  S  A.S  B ó lƠ đpcm Chú ý: Theo nguyên lý quy n p, ta suy k t qu sau : n u A1, A2 , , An lƠ s nguyên d ng : S( A1 A2 An )  S( A1).S  A2  S  An  BƠi t p Bài Tìm s t nhiên n cho : S  n   n  2003n  Bùi Th Nga 69 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Gi i V i m i n nguyên d ng ta có :  S  n   n (1) Gi s n lƠ s nguyên d ng th a mƣn yêu c u đ bƠi, t c : S  n   n  2003n  T (1) đ n h b t ph ng trình sau ( n n ): n  2003n   n  2003n     2003    n n n  n  2004n     n  2002,99 2002  n  2004     n  2,49.103   n  2003  ฀ n   3 2.49.10  n  2003,99 ol i  S  2003    n  2003   2003  2003.2003    S  2003  20032  2003.2003  V y : n  2003 lƠ giá tr nh t th a mƣn yêu c u đ bƠi Bài Tìm s t nhiên n , cho : n  S  n   2003 Gi i Ta có : n  S(n)  2003  n  2003  S(n)(1) Vì S(n)  S ( n) nguyên nên S (n)  Do t (1), ta có : n  2002  2 Bùi Th Nga 70 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ý r ng s không v ng HSP Hà N i t s 2002 , s 1999 có t ng ch s l n nh t nên S(n)  S(1999)  28  3 v i m i s t nhiên n  2002 Thay (3) vào (1) ta có : n  1975 k t h p v i (2), ta có : 1975  n  2002 Do S(2002)  4, S(2001)  3, S(2000)  n  2002  n  S(n)  2002   2006  2003  lo i n  2001  n  S (n)  2001   2004  2003  lo i n  2000  n  S(n)  2000   2002  2003  lo i V y : 1975  n  1999, nên ta có th bi u di n n d i d ng : n  19ab v i a , b  ฀ ,0  a , b  Khi h th c n  S (n)  2003 có d ng : 1900  10.a  b  10  a  b  2003 hay 11.a  2.b  93(6) T (6) ta có : b  93  11.a 1 a  46  5.a  2 1 a  t ฀ hay Do b฀ nên Vì a , b฀ vƠ đ u không v  a 12.t b46510.t t 11.t  41 t nên ta có :     t  0   2t   32   41 t   t  3 0  11t  41    11 11 t  ฀   t  ฀  Khi t  3 a  7, b   n  1978 o l i, n u n=1978 S(n)      25 n  S(n)  1978  25  2003 Bùi Th Nga 71 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i K t lu n : n  1978 lƠ giá tr nh t th a mƣn yêu c u bƠi toán Bài Cho n lƠ s t nhiên b t k CMR S (8.n)  S ( n) Gi i Tr c h t ta có nh n xét sau : n u n lƠ s nguyên d ng, v i m i s nguyên d ng p , ta có h th c : S  n   S 10 p.n  (1) Th t v y : gi s n  a1a a k ,thì 10 p.n  a1a a k 00  p Vì th S(n)  S(10 p.n) (vì b ng a1  a   a k )  (1) V i p  ta có : S(n)  S(1000.n)  S(125.8.n)(2) Áp d ng tính ch t c a hƠm S ( n) : S(125.8.n)  S (125).S (8.n)  8.S (8.n)(3) T (2) vƠ (3) ta có : S (n)  8.S (8.n)  S (8.n)  S ( n) Bài t A  S  44444444  , B  S( A) Tìm S ( B) Gi i Vì 44444444  100004444  104  4444  1017776 Và 1017776 lƠ s bé nh t có 17777 ch s nên suy : S 44444444 có s ch s khơng v t 17776 ch s Hay : A  S(44444444 )  9.17776  159984 Bùi Th Nga 72 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr Trong s không v ng HSP Hà N i t 159984 s 99999 lƠ s có t ng ch s l n nh t Vì th : B  S( A)  S  99999   45 Trong s  45 , s có t ng ch s l n nh t lƠ 39 , S(39)  12 , nên ta có : S ( B)  12 Ta có : 4444  2(mod9)  444444444  (2) 4444 (mod9) 1 L i th y :  2   1(mod9) nên :  2  4444  (2)1481.(2)  2(mod9)  7(mod9)   T (1) vƠ (2) có : 44444444  7(mod9)  3 Áp d ng công th c v i m i s n nguyên d ng, n  S (n)(mod9) Cùng v i (3) ta có : A  7(mod9)  B   mod9  S( B)  7(mod9) 0  S  B  12 Do :   S  B  S B 7(mod9)     V y S  B  Bài  t a  S  29  1999 ;b  S(a );c  S(b) Tìm c ? Gi i   t n 1999   Thì n  3.1999  85997  105997 V y n lƠ m t s có khơng q 5997 s Do 99  lƠ s l n nh t có 5997 ch s 5997 T suy : a  S(n)  S(99 9)  9.5997  53973 Nh th ta có a  539731 Bùi Th Nga 73 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Trong s không v Tr ng HSP Hà N i t 53973 , s 49999 lƠ s có t ng ch s l n nh t T (1)  b  S(a )  S(49999)  40  2 Trong s khơng v t q 40 s 39 l i lƠ s có t ng ch s l n nh t Vì v y : c  S(b)  S(39)  12  c  12  3 n   23  5997 Do 23  1(mod9) nên n   1 5997 (mod9)  1(mod9)  n  8(mod9)   T (4)  a  8 mod9  b  8(mod9)  c  8(mod9) , k t h p v i  c  12 suy c  V y c  lƠ giá tr c n tìm Bài Cho m lƠ s nguyên d ng không chia h t cho 10 CMR t n t i s nguyên d ng n đ ng th i th a mƣn u ki n sau : 1.Trong d ng th p phơn c a n không ch a s S(n)  S(m.n) Gi i Gi s bi u di n th p phơn m có d ng : m  a1a a k Do m không chia h t cho 10 nên a k  Xét s n g m k ch s : n  99  k Khi d ng th p phơn c a n không ch a s nƠo Ta có S(n)     9k 1   k Ta có m.n  a1a a k 99   a1a a k 10  k Bùi Th Nga 74 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i  a1a a k 10k  a1a a k  a1a a k 00  a1a a k k  a1a a k 1  a k  1   a1  9  a k 1 10  a k    (Do a k   a k  nên sau th c hi n phép tr a k 1 khơng phép tính có nh n a) T (2) ta có S  mn   a1  a   a k  9     10    a1  a   a k  k 1  9.k  3 T (1) vƠ (3) suy S  n   S  mn  Suy đpcm II) M t s hƠm s khác Cho n s nguyên d ng Ta g i g ( n) lƠ t ng ch s bi u di n h nh phơn c a n Ví d : g 13  13  11012 Cho n s nguyên d ng Ta g i f (n) lƠ s nguyên k không ơm l n nh t cho n chia h t cho k Ví d : f (32)  32 25 Bài t p Bài (tính ch t c a hƠm f (n), g (n) ) V i s nguyên d ng n, ta g i f (n) lƠ s nguyên k l n nh t cho n chia h t cho k , g ( n) lƠ t ng ch s bi u di n h nh phơn c a n CMR v i m i s nguyên d ng n , ta có f (n!)  n  g (n) Gi i r 1 r Gi s n  a0  a1.2  a 2   a r 1.2  a r (1) Khi g (n)  a0  a1   a r 1  a r (2) Bùi Th Nga 75 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i T (1) suy v i m i  i  r , ta có n r i  2i    1.2   a r  n  r i 1  2i 1   1  2   a r n  n  Suy  i    i 1   (3) 2  2  r r  n   n  Thay (3) vào (2) có : g (n)   a i     i    i 1   2  i 0 i 0    Suy :  n n  n   n   n  g (n)   n                      2 2 2  2  2    n   n      r    i 1   2  2  n  n   n   n           r 1     2  2 2  Do (1) nên ta có : n a0 a1 a ar       5 2r 1 2r 1 2r 2r 1 Vì 0,1 v i m i i  0, r nên t  5 ta có : n 1 1  2r 1   r 1   r 1     r 1  2 2 1 2  n  V y  r 1     2  Thay (6) vƠo (4) ta đ c: n  n   n  g (n)  n           r   2  2 2  Bùi Th Nga 76 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Vì f (n!) lƠ s nguyên d Tr ng HSP Hà N i ng k l n nh t mƠ  n! 2k , v y theo tính ch t 3.12 c a hƠm ph n nguyên y   x , ta có : n  n   n  n f (n!)             r  V y f (n!)  n  g (n) ฀ 2 2  2  2  Bùi Th Nga 77 K32A - Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i PH N K T LU N Khố lu n đƣ trình bày m t s v n đ c b n v hàm s h c, m t s hàm s h c v a có nhi u ng d ng b mơn s lu n v a đ i t ng nghiên c u c a b môn v i tính ch t c b n tốn n hình Khố lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m giúp b n đ c nghiên c u nhi u h n, sâu h n v s h c nói chung hàm s h c nói riêng Dù đƣ h t s c c g ng song trình đ kinh nghiêm c a b n thân h n ch , th i gian có h n nên nhi u v n đ v hàm s h c c ng ch a đ cđ c p t i nh hàm s đ i s nguyên ng d ng c a hàm s h c Ch c ch n khố lu n khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s góp ý c a quý th y cô b n đ khố lu n đ c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Sinh viên Bùi Th Nga Bùi Th Nga 78 K32A - Toán Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i TÀI LI U THAM KH O Bùi Huy Hi n, Nguy n H u Hoan (1985) Bài t p đ i s s h c t p 1, NXB Giáo d c, Hà N i Nguy n H u Vi t H ng (1999) is đ ic ng, NXB Giáo d c, Hà N i Ngô Thúc Lanh (1986) i s s h c t p 1, t p 2, NXB giáo d c Phan Huy Kh i Các chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán trung h c, chuyên đ 4: toán v hàm s h c, NXB Giáo d c L i c Th nh (1977) S h c, NXB Giáo d c Bùi Th Nga 79 K32A - Toán ... tốn, gi a ph n khác c a ch ng trình Hàm s h c gi v trí trung tâm s h c Nghiên c u v hàm s h c giúp hi u sâu có h th ng v n đ c a s h c V i nh ng lí em ch n đ tài Hàm s h c” II M c đích, y u c u... thƠnh ph , toƠn qu c, Olympic khu v c vƠ Olympic qu c t Hàm s khái ni m gi v trí trung tâm khoa h c tốn h c b o v trí trung tâm c a khái ni m hàm s s t ng c m ng tính th ng nh t c a mơn tốn ph thơng,... d 30 V Tính ch t nhơn 33 B M t s hƠm s h c 34 I Hàm  (n) 34 II Hàm  ( n) 44 III HƠm le  (m) 52 CH NG III M t s hƠm s h c