THÔNG TIN TÀI LIỆU
Ä Đ Ü Ị Ø Ị Ị Đ Ĩ ¾ ØƯ đÝ Ø Ị ÉÙ ó õÝ Ị Đ Ø Ị Ø đỊ Ü Ị Ị Ø ØĨđỊ Ø Ị × Ù ×ú Ø ĨđỊ Ø ịĐ Ø ịĨ Úđ ØỨÝ Ị õØ Ø đỊ Ị Ø Ơ ØƯĨỊ ụể èậ èừ ặ é ề ỉ ề ì Ý Ý Ĩ Ø Ị ØƯ õ Đ ØƯĨỊ À ×Ù ó Ø Ị Ơ ỊđÝ º Ø Ị ÌƯ Ý Ë È ơĨ ØƯĨỊ õĐ Àđ Ỉ Ø ÕÙơ ØƯ Ị Ø Ơ Øõ º Ý Ị Ị Ị Ị ÌĨơỊ ó Ð ịĐ Ị Đ Ú ¸ ÐÙ Ị Ø Ị Ị Ø Ị Ü Ị Ú Ị Ð Ơ ịĐ Ị Đ ØƯĨỊ ×Ù Ị Ø đỊ Ø Ị Ø ÕÙơ ØƯ Ị ¸ Ø ơỊ Ìơ Ỉ ÙÝ Ị Ì À Ị Đ ắẳẵ ũ ề ừề ỉ ễ ủ ỉ ễ ủ Ỉ ¸ Ỉ ÙỊ Ä Ì Ü Ị Đ ÐÙ Ị ÌƯĨỊ Ĩ Ĩ Ị × đỊ Ị ĨđỊ Ø ÕÙơ ØƯ Ị Ú × Ø ØƯ Ị ØƯ Đ Ĩ Ị Ị ØƯ Ị Ú Ị Ò Úñ Ò Ø ÐÙ Ò Ø Ø Ø Ý ó ơĨ Ì˺ Ìõ Ỉ Ị ØƯ Ị Ø Ø ể ủề èệ ềủể ỉ ề ủ ặ Ø ơỊ Ìơ Ỉ ÙÝ Ị Ì À Ị Đ ắẳẵ ũ ề ặ ề ụ
ụ ề ủ Ð ÌƯ Ị Å Ù ½ Ä Ø ÙÝ Ø ủẹ ìí ệ ề ậ ệỉị ẵẵ ỉ ì ẵắ ề ỉ ỉ ề ủ ề ụ ẵ ủẹ ìí ệ ề ậ ụ ủẹ ỉ Ị Đ ịỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Û ỪÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắ è ụ ủẹ ìí ệ ề ắẵ è ễ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º è ễ ỉệểề ắẵắ è ễ ẹ ¾º¿º Ì Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ơ ơƠ Ị ÕÙÝ Úđ Ø º Ã Ø ÕÙị Ị Ø Ë ệỉị ỉ ẵ º º º º º º º º Ị Úđ Đ Ị Ị ½ º º º º º º º º º º º º º º º º Lp (Rn ) Ị È Ã Ø ÐÙ Ị Ìđ Ð Ị đĐ ×ÙÝ Ư đĐ ØƯ đĐ ×ÙÝ Ư ắẵ ắ ẵ ắẵẵ ắắ è ẵẳ ề ế ề õÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵ ắ ắ ẹ ũể ắ ½º Ä Ĩ Ị ÀđĐ ×ÙÝ Ư õĨ đĐ Ư ụ ề ề ỉ ỉ ề ẻ ì ậ ỉ ụ ủẹ ìí ệ ụ Ð Ơ Ị Ĩ đĐ ×ÙÝ Ư đÝ Ú đĐ Ø Ị Ù ØĨơỊ Ĩ ÐÙ Ị Ú Ị Ø ä Ø Ø Ị ¸ Ị ó Ð Ị Ị õ ¸ Øđ Ø Ị ãÅ Ø Ơ Ị Đ ØúØ Ú Ë Đ Ø × Ù Úđ Û ỪÞº Đ Ị Ị đĐ Ø Ị Ị ØƯ Ị Ư Ị Úđ Đ Ø Đ ÌƯ Úđ Ù Đ Ị δ (x)º Đ ¾ đÝ Ø Ị Ù Ơ Ơ Ư Ị Ị Ø Ị Ø Ĩđ ÐØ đĐ ×ÙÝ Ư Ơ × Ù Ị ị Ø Ì˺Ìõ Ỉ ÐÙ Ị đĐ Ø Ị Ị ÐÙ Ị ØƯ Ị Ø ØƯ Ị đĐ ×ÙÝ Ư đĐ ØƯ Ị º È Ị Úđ Đ đÝ Ú Ø Ị Ù ủẹ ìí ỉ ếũ ề ỉ ệỉị ặ Ị Ị Ị ¿º Ø Ì Đ Ị Ù Ð ÕÙị • Ø Ị Ðđ Đ đĐ ÐÙ Ị ỉệ ề ỉ ề ề ắ ắ ĩ Ý Ị Ị đÝ Ú Ĩ Ị Ðđ ½ Ị ¸Ø õ Ơ Ị Đ Đ Ị ÚđĨ Ú ềá ỉệểề ủẹ ệỉị ề ề ỉ ề ủẹ ìí ệ ỉ ủ ậ ẹá ØƯ Ị Ị Ị Ư đĐ × Đ Ø ÕÙị Ị ØÙÝ Ị Ø Ị Đđ Đ õ Ị ÕÙ Ị ØƯ Đ ÚđĨ Ị Ơ Ơ Đ Ø Øđ Ị Ị Ù Ø Ị Ø Ị Ị Ị Ù Ú ÙÝ Ø Úđ Ơ Ð đĐ ×ÙÝ Ư Ø ÄºË Ø Ù Ị ậ ủẹ ìí ệ ề ệỉị éủẹ ề ề ỉũề èệ ề ì ệỉị ừẹ ÙÝ Ø Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ị Ù ÄºË Û ỪÞº ØƯ Ị Ĩ Ú đÝ Ø • Ì Đ Ù • Ì Đ Ù º È • • Ị È Ị Øđ Ơ Ị Ị Ø ÕÙị Ú Ị ơƠ Ị Ơ ơƠ Ơ Ð ỉệ ề ỉ ỉ
ụ ủẹ ìí ệ ỉ ậ ệỉị ề ×Ĩ ×ơỊ ¸ Ø Ị Ơ Ị º Ø Ị ỉ ụ ủẹ ìí ệ ề ề ẵ Ä Ø ÙÝ Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ë Û ệỉị ẵẵ èệểề N ỉ ì ỉ ỉ ề Úđ ÐÙ Ị Ú Ị Ịđݸ Ø Ðđ Ø Ơ × × Ø Úđ Đ Ø Ị × Ù Ø C Ị Ị Ị Ðđ Ø Ơ n¸ ỉ ễ ụ ẳá ụ ề ẹ ũề N = 0; 1; 2; Ðđ Z Ðđ Ø Ơ Ơ × Ơ Ø Ơ Ơ × Ú Ơ × R Ðđ Ø √ i = −1 Ị ÙÝ Ị¸ Ị Ú ịĨ Ị Ị¸ Ơ Ơ º Ỵ Nn = {α = (α1 , α2, , αn)| aj ∈ N, j = 1, 2, , n}¸ Ø Ô Rn = {x = (x1 , x2, , xn)| xj ∈ R, j = 1, 2, , n} Ðđ Ù Ú Ù Ị Ø Ị Ị Ø Ò Ù
Ð n x2j x = j=1 è ẹ ì ềỉ = (1 , α2, , αn) |aj ∈ N Ðđ Đ |α| = α1 + α2 + + αn º Ỵ ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ∂nαn Dj = Ỉ Ù Ô ∂ j∂xj Ò 1≤p≤∞Ø Ý αj = = −j∂j , j = 1, 2, , nº Ù Ø Ø Ø Ù Đ ∂ ∂xj Úđ ØĨơỊ Ø Ω Ðđ Đ Ø Ø Ơ Đ Lp (Ω) = f : Ω → C| Ω |f Ø × n− × ´ α ØĨơỊ Ø Ú Ơ D1α1 D2α2 Dnαn ØƯĨỊ Rn º (x)|p dx < +∞ Ý Ỵ º Ị ØƯĨỊ Đ Lp (Ω) Ðđ Ị Ị Ị Ù Ò Ú f p = ∞ à p p = Ω Ã ØƯĨỊ Ì L∞ (Ω) Ðđ f (x) õĨ đĐ Đ Ø Ø Ĩ Ị Ø Ä Ơ kº ẻ ề ịỉ ẵẵà ẵắà j ! D f Dα−β g βj ! (αj − βj ) Dα (f g) = α! = α1 !α2 ! αn!º ØƯĨỊ à Ĩ × Ø Ø β≤α Ø αj ! ∂ β f ∂ α−β g βj ! (αj − βj ) ∂ α (f g) = = esssupx∈Ω |f (x)|º βj ≤ αj , j = 1, 2, , nº Ỉ Ù β ≤ α Ø Ú Ø α α α α = n β β1 β2 βn α αj ! j = βj !(αj −βj ) , j = 1, 2, , n βj k Ù C (Ω) Ðđ Ø Ơ Ơ đĐ ị Ú Ð Ò Ø f.g ∈ C k (Ω) Ø Ò ∞ α = (α1 , α2 , , αn) ∈ Nn , β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn Ñ Ðđ Ị L∞ (Ω) = {f : Ω → C| esssupx∈Ω |f (x)|p dx < +∞}¸ Ù Ị ØƯĨỊ ẻ ẵắ |f (x)| p esssupx |f (x)| = inf {M > 0|µ {x ∈ Ω| |f (x)| > M } = 0}º ØƯĨỊ Ị Ø Ù Ị Ω Ị Ị Ðđ Đ Ø Ø Ơ đĐ f ØƯ Ơ đĐ Ø Ư Ị Úđ Ω ∈ Rn º Üơ Ị Ø Ị Ω× Ì Ĩ Ĩ Ù ∂ αf C ∞ (Ω) Ðđ Ø Ơ Ø Ị Øõ Úđ Ú Ơ Đ αº ØƯ đĐ Ð Ị Ø f : Ω → C¸ Ðđ Ø Ô suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) = 0}º Ỉ Ù Ơ K Ù suppf Üơ Ðđ Đ Ø Ø Ơ ĨĐƠ Ø ØƯĨỊ Rn Ị Ø Dk Ù Ðđ Ø Ơ Ơ {f ∈ C ∞ (R) : supp f ⊆ K}º ÌƯ Ø ỉ ỉ ề ề ì ẵẵ Rn Ó Kj , (j = 1, 2, ) Ø Ó ¸ Ø Ω ĨĐƠ Ø Úđ Ú Kj Ã Ø Kj ⊂ intKj+1 ĐóỊ Ý Ω = 0º Úđ × Ù¸ ØƯĨỊ Ị Øõ óÝ Ø Ø ∪∞ j=1 Kj = Ωº Úđ ÐÙ Ị Ú Ị ỊđÝ Ø Ðđ Đ Ø ØƯĨỊ Ơ ĨĐƠ Ù K Ðđ Đ Ø Ø Ơ {Kj } Ø Ơ ĨĐƠ Ø ỉệểề ề ỉệểề ẵẵà ề ề í ệ éủ ẹ C () ặ Đ Ị ½º½º Ị Ø Ơ ĨĐƠ Ø Ị Ị Ø Ị đĐ Ø Ì Ị Ư K ⊂ Ω Ø Ø Ý Ðđ Ị Ị ĨỊ Ị DK (Ω) Đ Ø Øõ Ø Ðđ Đ Ø Ị Ị Ị Ị ÕÙ Ị ØƯ Ị ¸ º D (Ω) Ðñ Ø Ù D (Ω) Ðñ Ø Dk Ø Ô Ô D (Ω) = {φ ∈ C ∞ (Ω) : suppφ Ðñ Ø Ã Ø Úñ K ⊂ Ωº Đ Øº À Ơ Ø Ø ị Ðđ Ị C ∞ (Ω) ½º½º Ị Ị D (Ω) = ∪∞ j=1 DKj (Ω) Ị Ị Ơ ĨĐƠ Ø ØƯĨỊ đĐ Ø º D (Ω) Ðđ Ị Ω} Ị Ú ỉ ề ề ề ẵắ Ð Ơ à Ị Ị Ð Ị D (Ω) Ðđ Đ đĐ Ø Ø Ị Ị Ú Ø ØĨƠĨ ØƯĨỊ ị Ø Ị Ị º Ị õ º Ỉ Ị Ị Ðđ Ị Đ đĐ Ø Ü Ý ó º Ë Ù ½º½º Ĩ Ý Ø Ị Ø Ị Ðđ Ị Ị Ị Ị ÕÙ Ị ØƯ Ị Ị Đ Đ Ị Ø Ị D (Ω) Ú ØĨƠĨ τº Ì Ị Ø ề ẹ D () ệ ề ụ ẵẳ ẵ óÝ {φl }∞ l=1 đĐ Ø Ø j N ề ỉừ DKj ()á ề ỉệểề ì ỉ Ø Ĩ Ĩ τ Ĩ ØĨƠĨ suppφl ⊂ Kj φ0 Ø Ú D (Ω) ØƯĨỊ Úđ l ∈ N∗ Úđ φl → φ0 Đ Ðđ sup |∂ α φl (x) − ∂ α φ0 (x)| → x∈Kj l → ∞º ¾º Ì Ơ E ⊂ D (Ω) Ị ØƯĨỊ Ø Ø DKj (Ω)º j ∈ N∗ Ị Øõ D (Ω)º ¿º Å Ø Ơ Đ × φ∈DKj (Ω) é ẵắ èệểề ẵ ẩ ễ é ẹ ắ ẻ Đ Ð Ị × Ị αº Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ø Ø ØƯĨỊ Ú Ĩ óÝ Ĩ Ð E Ù DKj (Ω) Úđ Ĩ Ðđ Ø Ơ ĨỊ D (Ω) Ý ØƯĨỊ Ĩ Ø ØƯĨỊ Ị Ø cj > × × Úđ Ú Ĩ x∈Kj ơ ñÑ Ø ∂ α : φ → ∂ α φ Ðđ ØÙÝ Ị Ë Û Ơ Đ đĐ Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ø Ðđ Λ : D (Ω) → C ÷Ị × |Λ (φ)| ≤ cj sup p {|∂ αφ (x) : |α| ≤ Nj |} đĐ ×ÙÝ Ư Ị ô Ò τl j ∈ N∗ {φl }∞ l=1 ôÒ ĩừ D () ẵắ éủ ẹ ể ề ỉừ Ø Ị Ù f ∈ C ∞ (Ω) Ø ÀđĐ ×ÙÝ Ư D (Ω) à Ơ đĐ Ị Ĩ Ị Ý Ú Ị Ø ØƯ Ị ½º¿º Nj ∈ N Úđ Ị Øõ sup Ị Ø đĐ ØÙÝ Ị Ø Ị j∈NØ Đ Úđ Úđ Ð Ị Ø ØƯ Ò Mf : φ → f φ Ò D (Ω)¸ Ú Ðđ ØÙÝ Ị Ø Ị ỪÞ u : D (Ω) → C ØÙÝ Ý Ị Ị Ø Ị đĐ ×ÙÝ Ư ØƯ Ị u (φ) Ðđ u.φ Ú Ω Ò Ë φ ∈ D (Ω)º Ò Ø Ò Úđ Ð Ị Ø ØƯ Ị Û ỪÞº Ù Ðđ D () ẻ ẹ ẵẵ ặ í D () éủ ẹ ủẹ ỉệ ề ễ ề ẵ ì Ị µ Ù Ðđ Ø Ị D (Ω) Ø u Ðđ Đ Ĩ Ị Ị ÚđĨ Ø Ị Ð Ị Ø Ø Ơ Đ đĐ ØÙÝ Ị Ø Ị ØƯ Ị D (Ω)º Đ Ị Ị u ∈ D′ (Ω) Ỵ Đ Ø Ị Ơ ĨĐƠ Ø Đ ặá ì ể K ỉ ề ỉ ẹ ẻ {l } l=1 ỉ ệữề éủ ì N CỊ ØƯĨỊ Ị Ị Ị Ú Ý Ø ½º½º c > Úđ Đ Ø × Ị ÙÝ Ị |α≤N | sup |∂ αφ| ØƯĨỊ D (Ω) Ø ỉ úí è ỉ ẵà D () Úđ supppφ ∈ K º Đ Å Ø × Ĩ | u. | c N D () ẵà Ò Ù Ø Ø Ø Ø Ý D′ (Ω) Ðñ ệữề ề j0 N > N N ẹúề ẵà éủ Ơ Ø Ĩ Ị lim u.φ = 0º Ú Ị ề è ủẹ ìí ệ ề ặ đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ị Ú Ø Ø Ú Ơ Ú Ơ Ơ ØĨơỊ Ị Ị õỊº Ü Ý Ị ØƯ Ị × Ù È Ơ Ị Ỵ Đ u, v ∈ D′ (Ω) Ø Ị Ị u+v Ị × Ù u + v, φ = u, φ + v, φ ∈ D (Ω) u + v ∈ D′ (Ω)º Ã È Ơ Ị Ø Ị Ú Ị Ị Ơ Ị Ø Ú λu Ị Ị Ỵ Ñ u ∈ D′ (Ω) × Ù λu, φ = λ u, φ , ∀φ ∈ D (Ω) à λu D () ủ ẹ ì ễ ẵắ Ỵ ½º½º ½º Å đĐ (x) φ (x) dxº Ωf φ ∈ D (Ω) × Ì Ĩ Ĩ Ĩ ắ è ẻ ỉ K ẹ ẵắ ủẹ Đ Ø Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị K |f (x)|dx Ø Ø Ø f ∈ Lp (Ω) Ị Ư µº ÀđĐ đĐ f (x) φ (x) dx K K đĐ Úđ Đ |f (x) φ (x)| dx ≤ sup |φ (x)| K f : φ → f, φ = K ⊂Ω Ø Ơ ĨĐƠ Ø (x) φ (x) dx = Ωf N = Úđ c = Ị Ø Ú Ý¸ Ú suppφ ⊂ K | f, φ | = ≤ f ∈ Lloc (Ω) Ðđ Đ Ư Ý f Ðđ đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ðđ Đ Ø Ù Ðđ δ |f (x)|dx Ơ 0º đĐ ×ÙÝ Ư Ị º Üơ Ị Ị × Ù δ : D (Rn ) → C Úñ δ, φ = φ (0) Ðñ ẹ ỉ è ủẹ ìí ệ ề ỉ íá Ú suppφ ⊂ K Ỵ Đ 0º º Úđ Ú φ ∈ D (Rn ) Đ | δ, φ | = |φ (0)| ≤ sup |φ (x)|º ì ể ể K ẵ ẻ ẵ K Rn Ø Ơ ĨĐƠ Ø Đ L1loc (Ω) Úđ Ú f ∈ (x) (Dα φ) (x) dx Ðđ Đ Ωf Ỵ Ø Ơ ÌƯ Ị R Ü Ø Ø α ∈ Nn ụề ĩừ uf. : ủẹ ìí Ư Ị º f đĐ ×ÙÝ Ư Ị Üơ Ị Ò × Ù +∞ f, φ = j=0 Ø Ø è f éủ ủẹ ìí ệ ề ỉ íá (−1; 1)º Ø × Ĩ Ĩ Ơ Ú φ ∈ D (Ω) Ø Ị Ù k = j Úđ φj (x) = õỊº × Ĩ Ĩ φj (x) = (x − j)j φj Dk φj (k) = |x − j| > ǫj Ò φ(j) (j) , ∀φ ∈ D (R) x−i ǫ φ (x) = 1, x ∈ − 12 ; 21 , sup p φ ⊂ Ú Dj φj (j) = j! Ò Ò ǫi > Ò Ò Ò Ø f, φj = j!º Ỉ sup Dk φj (x) ≤ cǫjj−k , k < j ¸ x∈R Ø Ơº Ì Ị Ị Ù Ị ǫj ½¿ j−1 sup Dk φj (x) | f, φj | = j! > j Ó Ú Ñ k > 0, c > Ø Ò k=1 x∈R j = max {k + 1, c + 1} Ø º Ú Ý Ị f Ị Ơ ẵ ẵ ủẹ ìí ệ ề ụ sup D φj (x) > c n=1 x∈R n=1 x∈R Ø Òº u ∈ D′ (Ω)º u đĐ ×ÙÝ Ư Ị supp u = Ω\(∪{K\K Ỉ Ù u supp u Ðđ Ø ĨĐƠ غ Ì Ơ E ′ (Ω)º sup |Dn φj (x)| k ØƯ ÷Ị Ị Ø Ơ Ñ u|K = 0, ∀φ ∈ D (K)º Ò Ù ¾º Ó j−1 j−1 | f, φj | = j! > j Ø u Đ suppu Úđ Ù Üơ u =0 Ị } ⊂ Ω Úđ u|K = 0º Ơ ĨĐƠ Ø ØƯĨỊ Ơ Ù K⊂Ω¸ đĐ ×ÙÝ Ư ΩØ Ị Ø Ị u Ðđ đĐ ×ÙÝ Ư ĨĐƠ Ø Ị Ù Ị ¾ Ì ụ ủẹ ìí ệ ề èệểề ắẵ ề è è ềủí ỉệ ề ắẵẵ ề è ề f g ề ề ắẵ ĩụ f ề Ø Ý Ú Lp Ò = Rn |f (x)| dxp Ị Đ Ị º Ø Ỵ Ø Ơº Ị Ị Ị Øơ º Lp (Rn ) Ø Ơ f Úđ g Ù Ðđ Ị Rn f (y) g (x − y) dy = øÒ Ø Ò p = 1¸ Ø Ù Rn úƠ Ị f (x − y) g (y) dy ủ ề ề ỉ ắẵà ÓÙÒ f ∗g Ò Ò p f ∈ L1 (Rn ) , g ∈ Lp (Rn )¸ Ơ ị ắẵà ĩụ ắẵ Lp (Rn ) , p ≤ ∞ Ðđ Ơ ØƯĨỊ (f ∗ g) (x) = Ì Ị Ø Ơ Ø Ư÷Ị Ú đÝ Đ ỉ ì Lp f h (x) = Rn ẵ L1 g Lp |f (x − y)| |g (y)| dy º Ì Ĩ Ị Ð ½ Ù Ị Ø h (x) = Rn Rn Rn |g (y)|dy = = f Ì ×ÙÝ Ư h (x) < ∞ f ∗g 1 Ù Rn Ðđ Ð Ð Ị Rn Ơ p¸ Ø Ĩ ØƯ Ị Ị Ø Ĩ Ị Ð Ù Ò Ø f (x − y) |g (y)| dy dx |g (y)|dy Rn |f (x − y)| dx f 1 ẻ < p < hp (x) < ∞ |f (x − y)| |g (y)| dy = Rn º f (x − y) g (y) dy dx Rn øÒ |f (x − y)| dx ≤ ∞ Rn Ø Ø Rn Rn p = 1º Ú |f (x − y)| |g (y)|p dy Ò Rn Rn = g Ị úƠ Ị = Ỵ Ý g = ≤ |f (x − y)| |g (y)| dy dx Rn Ø ÀĨÐ Ù úƠ Ị Ø Ị ØƯ Ị Ø Rn º hp (x) = q>0 Ö Ø Rn |f (x − y)| q dy q ≤ = f Rn |f (x − y)| dy f1 1q {hp (x)} p {|f (x − y)| |g (y)|p } p ½ Ĩ Rn f (x − y) g (y) dy Üơ Ị Ù úƠ Ị ØƯ Ị Rn f (x − y) g (y) dy dx Rn p p ≤ Rn Ø Ø Ỉ Ư Ị ¸ Ị Ù L1 (Rn ) Úđ Đ Ỉ Ù ứề p= ỉ ì ỉ ề ắẵà ề ắẵắ ề ỉ p = è ề éủ Ñ Ø Ô Ñ Rn |g (x)| dx p g L1 Ø Ò Lp º Å Ò Ò ề ỉệ ề ề ề ắẵà ĩụ L1 (Rn ) ề ề ắẵà ề ễ ề ề ề ẹ Ị º Đ Ø Ơ Ơ ØĨơỊ ØƯ Ị Ị Ø Ị Ú º Ø Ơ Úđ Ø Ị º Ơ ¾º¾º g 1 p p f f ∗g ≤ f hp (x) dx Rn q = f dx p ≤ f |f (x − y)| |g (y)|dy Rn q ≤ f Ò Ò p p f ∗g = Rn º À Ĩ đĐ ×ÙÝ Ư Ị u, v ∈ D′ (Rn )¸ Ø đĐ ØÙÝ Ị Ø Ị ¸ Ù u∗v Ơ Üơ đĐ ×ÙÝ Ư Ị u Úđ v Ò u ∗ v, φ = u (y) , v (x) , φ (x + y) Ú φ ∈ (Rn ) ắẵ u =u ẹ u D′ (Rn )º Ì Ø Ú Ý Ø δ ĨĐƠ Ø Úđ u (y) , δ (x) , φ (x + y) º Å Ø = u (y) , φ (y) = u, φ ô δ (y) , u (x) , φ (x + y) = u (x) , (x) ụ ỉệ ẵ ẻ í ề ề µ Ò Ò u∗δ =δ∗u=u Ú Ø φ ∈ D (Rn ) Ø Ô Ý u ∈ D′ (Rn )º Đ ØƯ Ị Ị Ơ Ð f, g ∈ L1 (Rn )º Ì Ú Ø Ú Ý Ú Ø g (x) φ (y + x) dx h (y) = Rn Ø Ø h ∈ L1 (Rn ) |h (y)| ≤ Rn Ò Ò Rn |g (t − y)| dt = c g Rn t∈sup p φ y ∈ Rn º |g (x) φ (x + y)| dx = ≤ sup |φ (t)| Ú Ø |g (t − y)| |φ (t)| dt L1 Ó f (y) , g (x) , φ (y + x) = f (y) , h (y) = f (y) h (y) dy Rn Úñ |f (y) h (y)| ≤ c g Ø Ò Øõ Ị Ị Å Ø Ø f ∗g Ĩ L1 |f (y)| Ù Ò Ø f (y) g (x) φ (x + y) dxdy Rn ×Rn = Rn Rn = Rn Ị Ị (f ∗ g) (x) = ¾º¿º Æ Ù Rn f (y) g (t − y) dy φ (t) dt f (y)g (t − y) dy, φ (t) f (y) φ (t − y) dy Üô u ∈ D (Rn ) Úđ ρ ∈ D (Rn )¸ Ø Ò º Ø (ρ ∗ u) (x) = u (y) , ρ (x − y) , x ∈ Rn Úđ (ρ ∗ u) (x) Ðđ đĐ ÐÙ Ị Ø Ò Øõ º f ∗ g, φ = Ò Ò f (y) , g (x) , φ (y + x) Ĩ ị Ú Ú õỊ ØƯ Ị Rn º ắắà ẵ ắắ è ề ề ắ D () Ì Đ º Ø Ĩ Đ đĐ f đĐ ØƯ Ø Úđ Ị Úđ Đ đĐ ØƯ u¸ Ø đĐ ×ÙÝ Ư f ∈ C∞ (Ω) Ị Ù Ðđ Úđ Đ f u Úđ Ø Ị đĐ ×ÙÝ Ư Üơ Ị Ị Ị u∈ × Ù f u, φ = u, f φ , ∀φ ∈ D (Ω) à Ư Ị Úđ Ị º Ì Ø Ú Ý¸ Ư Ị ƯđỊ supp φ ⊂ K, K supp φ ⊂ K ⊂ Ω¸ Đ Ị Ị Ù Ú Ơ ắẵ ặ ứề f C () éủ Ø Ơ ĨĐƠ غ Ĩ Úđ Ø ØƯ Ị Ðđ Ñ ∀φ ∈ D (Ω)¸ f φ ∈ C∞ (Ω) Ø Úđ Ø đĐ ×ÙÝ φ ∈ C∞ (Ω) supp (f φ) ⊂ Ý u, f φ ≤ c Ỵ ò δ ∈ D′ (R) Ø |α|≤N sup |∂ α f φ| x.δ = Ì Ø Ú Ý¸ Ú +∞ δ (x) (xφ) (x) dx xδ, φ = δ, xφ = −∞ Úñ x = 0, δ (x) = ∞ δ (x) = x = 0¸ Ị Ị xδ, φ = δ (0) (xφ) (0) = 0.φ (0) = 0, ∀φ ∈ D (R) Ỵ Ý Ỵ x. = ắắ ặ í ệ u= ƯđỊ x ∈ D′ (R)¸ Ø Ư x x1 = 1º f (x) = x ⊂ C ∞ (R)º Ì f u, φ = u, f φ , ẵ D (R)á í x , φ x +∞ , xφ x = = (xφ) d (x) x −∞ +∞ xφ (x) x.φ (x) dx + dx = x x −∞ −ε +∞ x.φ (x) x.φ (x) dx + dx = lim+ ε→0 x x −∞ +∞ ε +∞ 1.φ (x)dx φ (x)dx = = −∞ −∞ = 1, φ , ∀φ ∈ D (R) x x1 = ẻ í è ẹ ề ịỉ ề ỉ é ỉ é í ắẵ ủẹ ỉệ õĨ Ĩ Ị Úđ Đ Ø Ị Ị Ø ĐóỊ Ị f ∈ C ∞ (Ω) , u ∈ R Úđ α Ðđ Đ Ø × Ø Ý º Ì β≤α α! = α1 !α2 ! αn! ề ỉệểề ặ ểủ ề ắ ề é í ỉ ỉ é í ỉ è ắẵ ẩ ề ẹ ỉ ắ ễ ụễ úí α! ∂ α f ∂ α−β u β! (α − β)! α = (α1 , α2, , αn)º đĐ ØƯ Ị Úđ Đ đĐ ×ÙÝ Ư đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ø đĐº ∂ α (f u) = Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ø Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ø Ú Ò ÕÙ Ò Ò Ú Ò ÕÙÝ Úñ Ø Ò ừề ỉệ ềá ề éủ ẵ ỉ ắẳ ỉ δ¹ óÝ Ðđ Đ Ø (δ)+∞ n=1 óÝ Ô Ò Ø Rm , m = 1, 2, × Ĩ Ĩ suppδn ⊂ {x ∈ Rn : x n }á Rn n (x) dx µ Ỉ Ị Đ Ø δ´ Ư Ị Ĩ èệểề ỉệ ề ỉ ệ ỉừ ìề ề Ĩ Ø Ø ĐØ Ị óݸ øỊ Ị Ơ n n ẵ ØƯ ÕÙ Ị ¸ Đ Ø Ý Ị Ị c1 µ =1´ αn → óÝ Ị Ðđ Đ Ø Rm º δ¹ Ø ÌƯĨỊ óÝ Ø Úđ ØƯ óݸ Đ Ø Úđ Ú Ị Ø đĐ ÐØ Ị Ơ Ø Ơ ị Ø ×ÙỊ Ø Ị õỊ m = 1á ỉ ề ỉ ìề éủ ỉ ể ì ềì xk+1(n )k (x) < +, ∀k = 0, 1, 2, sup x∈R,n∈N ÀÓ c2 è ể ềỉểì ì ềì ủ ậ δn (x) ≥ 0, ∀x ∈ Nº ĨƯ× ÀĨ c3 ) Ì Ĩ ÁØ ỊĨ sup n∈N Ì Ð Rm ệữề ể ỉ í ỉ xk+1 k (n )k (x) < +∞, ∀k = 0, 1, 2, S, T ∈ D′ (Rm ) đĐ ×ÙÝ Ư Ị ¸ lim δn = δ ØƯĨỊ n→∞ ′ D (Rm )º Ì À Ị Ị ØƯĨỊ Ị Ị Ị Ù ắ è ẻ ề D (Rm ) ề Ø Đ Ị Ù× Ị× × Ù Ơ T n ề ệữề ẹ S ừề ễ ị Ð ỊđĨ Úđ T Úđ δn óÝ Ĩ ØƯ Ù Ø Ù n→∞ Đ Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị Úđ lim T ∗ δn = T Ị Ị Ù ề ủẹ ìí ệ ề S n Ì n→∞Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị º ÌÙÝ Ú Ý Ì D′ (Rm ) Ò S.T ∈ D′ (Rm )¸ Ø Ø ØƯĨỊ Ĩ Å ¸ Ø Ðđ Ø Ò Ø C ∞ (Rm )º lim S ∗ δn = S n→∞ Ðđ Ị Ị Ú (S ∗ δn ) (T ∗ δn ) δn º Ð Ô Ú Ù× Ị× Ị
º Ì Ø Ị Ø Ø Ð í ỉ ề ắẵ ề ề ắắ à Ị (δ)2 ØƯĨỊ D′ (R) Ø Ø Ị Øõ ỉ ể ề ề ề ắ ề ẹ Ị º Ĩ ØƯ óÝ (δn )+∞ n=1 Đ Ø ñÑ φ ∈ D (R) Ú suppφ ∈ [−1, 1] Úđ (δn ) = n.φ (nx) Ðđ Đ Ĩ Ø δ¹ óݺ Ì R φ (x) dx = (δ ∗ δn ) (x) = (δn ) (x) = n. (nx) ẻ íá ề D (R) Ø (δ ∗ δn )2 , ψ = Æ Ù ψ ≡ ØÖ n2 [φ (nx)] ψ (x) dx R Ị Đ Ø Ð Ị Ị ỊđĨ n2 [ (nx)]2 (x) dx R ẳá ỉ n2[φ (nx)]2dx = n R [φ (nx)]2 dx R Đđ n R R [φ (nx)]2dx → +∞ [φ (nx)]2 dx = Úđ n → +∞º Ỵ Ú Ý (δ)2 Ị Ø Ị Øõ Ø ĨỊ ØƯ Ịº Ỵ ¾º¿º Ì Ĩ Ị Ị ´¾º µ Ø 1 δ = − δ ′ x º Ì Ø Ú Ý¸ Ị Ù Ã φ ∈ D (R) Úđ Ò ∗ δn (δ ∗ δn ) , φ x = = Ì ØƯ Ị Ù Ø Ø δn− (x) = δn (−x) , ∀n = 1, 2, ∗ δn δn, φ x = − , δ ∗ δn φ x n φ (x) = φ (0) + xφ′ (0) + x2 ψ (x)¸ Ø ∗ δn , δn.φ x ¾¾ ∗ δn (δ ∗ δn ) , φ x δn− ∗ δn ¼º ÀõỊ Ø Ø Ø Ðđ Đ Ø Ù đĐ ùỊ¸ Ị Ị Ị Ị Ị õỊ Ø ÙØ Ò − , δ ∗ (xδn) x n Ù Ø n → ∞º Ị ¼ αn = δn− ∗ (xδn )º à +∞ − , δ ∗ (xδn ) x n φ′ (0) Úñ Ø + φ′ (0) − , δn ∗ x ψ δn x + Ỵ − , δ ∗ δn x n = φ (0) = Ú õỊ ØƯ Ị Ø ÷Ị Ø ¸ αn (x) dx x −∞ αn− = δn ∗ ((−x) δn− ) = −x (δn ∗ δn− ) + (xδn ∗ δn− )º Ỵ Ú Ý Ị Ù ψ1 ψ2 Úñ Ø Ù L1 R Ø x (ψ1 ∗ ψ2 ) = (xψ1) ψ2 + ψ1 (xψ2 ) , αn − αn− = x δn ∗ δn− Úđ , αn x Ì ¸ , αn x = , αn + αn− x αn + αn− = Ðđ Đ Ø +∞ −∞ + đĐ ùỊº lim n→∞ , αn − αn− x Ó = R δn (x) dx +∞ −∞ δn ∗ δn− (x) dx = = 1º Ì À Ý n→∞ ÌƯĨỊ D′ (R) Ø Ĩ Ị Ị , αn − αn− x 1 = φ′ (0) = − δ ′ , φ , ∀φ ∈ D (R) 2 ∗ δn (δ ∗ δn ) , φ x lim ¸ 1 αn (x) − αn− (x) dx = x δn ∈ D (R) , n = 1, 2, Úđ Ì 1 ∗ δn (δ ∗ δn ) = δ ′ x Ị Ị ´¾º µ ¾¿ ¾º º Ã Ø ÕÙị Ị Ø Ë Û ỪÞ Ä Ø ÙÝ Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị ĺ Ë Û ỪÞ Ü Ý × Ị Ư Ị Ưó ¸ ØÙÝ Ị Ị Ð Ø ÙÝ Ø ỊđÝ Ĩ Ơ Ơ ØĨơỊ ØÙÝ Ị Ø Ị º Ỉ Ø Ị ĨđỊ ØĨđỊº ề é ủẹ é ẹ ắắ ề ỉ ề ịỉ Ị øỊ Ðđ Đ R Ị Ú ∂ : A → A Ä Ĩ Ị Ø ØƯ Ị Ø Ơ Ị Ðđ Đ Ị Đ ØƯĨỊ Ư Ị Ø õ Đ Ø × õ × × º Ị Ị Ị ơ
¸ Ơ Ơ Ị õ ĨỊº ¸ Úđ ∂ (ab) = ∂a.b + a.∂b¸ Ø Đ Ị ó Ư Ø Ø đỊ Ị Úđ Đ Ðđ Ị Ị Ị õ Ø Ị đĐ × ị × ò × Ø ò Ú Ð C (R) Ư÷Ị Ị Øõ đĐ Đ Ø Ø ị ∈ C (R) Ø ơỊ Ðđ Üõ ØÙÝ Ị Ø Ị Ị Ø Úđ Ø ĐóỊ ÕÙÝ Øú ∂ (|x|) = 0º Ì ∂ (x |x|) = ∂ (x) |x| + x∂ (|x|) = |x| + x.∂ (|x|) Úñ ∂ (x |x|) = 2.∂ (|x|) + x.∂ (|x|) Å Ø ơ
¸ ØƯĨỊ C (R)¸ Úđ ØƯĨỊ ∂ (x |x|) = 2.∂ (|x|)¸ Ị Ị x.∂ (|x|) = 0º ÕÙị ÌƯĨỊ Ø Ư Ì Ø ¸Ị Ù xa = Ø Ø ếũ ề ề í ệữề ụ ể ẳ ề Ðđ đĐ Ø ∂ (x |x|) = 2.∂ (|x|)º í a=0 íỉ ỉ ề ỉ ì × Ĩ Ị ∂ (|x|) = 0º Ị × Ù x (log |x| − 1) Úñ x2 (log |x| − 1) ∈ C (R) ÷Ị ØƯ
ơ đĐ Øõ ¼º Ë Ị ÕÙÝ Øú Ä Ị ÞØ ØƯĨỊ ¸Ø ∂ {x (log |x| − 1) x} = ∂ {x (log |x| − 1)} x + x (log |x| − 1) Ĩ Ø ¸ ∂ {x (log |x| − 1) x} = ∂ {x (log |x| − 1)} x + 2∂ {x (log |x| − 1)} ¾ Ý ∂ {x (log |x| − 1) x} = ∂ {x (log |x| − 1) x} − 2∂ {x (log |x| − 1)} Ỉ ∂ Ị ¸ Ø Ø Ù ØƯ Ị Ú ØĨơỊ Ø õĨ đĐ Ø Ị C1 (R) Úđ x2 (log |x| − 1) ∈ C (R)¸ Ø Ø Ị ØƯ Ị Ð Ơ đĐ ∂ x2 (log |x| − 1) = 2x (log |x| − 1) + x Ỵ Ú Ý¸ ØƯĨỊ Ø ∂ x2 (log |x| − 1) = 2∂ {x (log |x| − 1)} + Ý ∂ {x (log |x| − 1)} x = Ị ịỊ¸ Ị Ø Ø y = ∂ {x (log |x| − 1)}¸ a.x = ⇒ y (x.a) = ⇒ 1.a = ⇒ a = (|x|) = ẻ ặ ĐóỊ¸ Ø ØƯ Ị Ø Ø Đ Ø Ý Ø ì ĩ í ề ỉ ẹúề ặ éủ ẻ Ð Ý Ø Ð Ø ÙÝ Ø Ơ Ơ Ị õĨ Ù Ú Ø Ị º Ì Đ Úđ đĐ ×ÙÝ Ư Ị Úđ Ð x.∂ (|x|) = Ĩ Ị Ị Đ Ị º ÕÙÝ Øú Ä Ø Ơ Ú Đđ ØƯĨỊ Ị Ị ÞØ Ù Ú ´ µº Å Ù Ø Ù Ị Ĩ Ú Ú Ý Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ä ề ịỉ ỉ ỉừ ì ể ẹ ề ỉ ếũ ềủí ậ ệỉị ủẹ ìí ệ ề ủẹ Ư Ị D′ (R) ị Ø Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ị õ × Ị Ø ÕÙị ØƯ Ị D′ (R) ØƯĨỊ Ðđ Đ Ø Đ Ø Ù Ơ ị D′ (R) Đđ ØƯĨỊ δ = 0º ×ÙÝ Ư Ị δ (|x|) = 2δ Ø Ơ Ø Ù y.x = 1¸ Ø Ị Ư ỉ é ề ỉệểề ề ẹ ẵ ẳ ề Ü Ý Ị ĨÐĨĐ Ị ị ÕÙÝ Ø ØƯ Ù õ × Ø º Ú ị Đ Ø × ó Ü Ý Ị Đ Ø ĨÐĨĐ Ù ØƯĨỊ Ã Ø ÐÙ Ị ÌƯĨỊ ×ÙÝ Ư ÐÙ Ị ỊđÝ Ị ậ ệỉịáỉ ẹ ủẹ ìí ệ ậ ặ ệỉị ề ã ẵ ã ề ìí Ư Ị × Ú Ị × Ù Úđ Ĩ Ú ị ịỊ đĐ ×ÙÝ Ư Ø Ðđ Đ ØĨơỊ Ơ Ị Ị Ị Ð Ị Ø ¸Ơ ÙÝ Ø đĐ Ơ Ð Ý Ø Ø Ø ÕÙị ØƯ Ị õĨ Ị Ø đĐ Ư Ị º đÝ Ù Ị Ị Ị Ị Ðđ đĐ ×ÙÝ Ư Ơ ơƠ¸ Ø ÕÙị Ị õỊ Úđ ĐĨỊ ÕÙ Ị Ø Ø ĨÐĨĐ ¸
ơ Ơ ĨđỊ Ø Ị ÙỊ ỊđÝ ØƯ Ị Ị đÝ Ú đĐ Ø ¸ Ị Ị Ị Đ ủẹ ệỉị ắ è ề ẹ ĩ ề ể ề ỉ ì ỉ ỉá ẹ ỉ ề ủí ề ÐÙ Ị Ú Ị Ðđ ØƯ Ị à ÕÙị ÕÙ Ị ØƯ ÌƯĨỊ Ù đĐ ×ÙÝ Ư Ị ó ØƯ Ị Ú ịỊ ×ÙÝ Ư Ị Ơ Ị Ị Đ Ị đỊ Ị Ị Ị Ị Ị Ø Ý Ịº ịĐ Úđ ×Ĩ ×ơỊ Ø Ị Ø Ịº ¾ ỊđÝ ØƯ Ị Ë Ị õỊ Úđ õỊ đÝ Ú Ø º Ỵđ Ù đĐ Ị Ðđ Ø Û ỪÞº Ị Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ơ Ị Ị Ị Ù ÐÙ Ị Øđ Ð Ù Ø º Ìđ Ð Ù Ø Ị Ỵ ½℄ Ỉ ÙÝ Ị È ÀÝ ´½ Ỉ Ị èủ ỉ ắàá ề ụể ỉệ ề é è ề ắẳẳ àá ỉ ề ũ ỉ ủẹá ậ ễ ừẹ ủ ẹ ễệ ììáặ àá đĐ ×ÙÝ Ư Ị Úđ Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú × Ð Ị Ư Ơ Ừ Ð Ư ỊØ Ð ế ỉ ểềìá ểệ è ểéểẹ ỉéí ể ì ề ặ ể èệ ắẳẳ àá ẻ ềìỉ ỉỉ ỉ í ỉ ề ệ ề
ể ì èệ ệáẵ è ũể ắ ắ ẹ Ø ĨƯÝ Ĩ ÍỊ Ú Ư× ØÝ Ĩ Ð Ị ì ắ ề ệ éị ẹìỉ ệ ẹè ề
ỉ ểềìá Ỉ Ø Ư¹
Ngày đăng: 30/06/2020, 20:14
Xem thêm: