Luận văn sư phạm Xây dựng phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng L. Schwartz

Ä ịỊ Ị ÐÙ Ị Ø Ị Ù Ĩ õỊ × Ị Ú Ý ØƯĨỊ Ø È õĐ Àđ Ỉ Ø Ơ Øõ ó Ơ Ø Ị Ơ ỊđÝ Ðđ ì ề ỉệểề ể ắ èệ ỉá ể ÌĨơỊ ó Ị ịĐ Ị õÝ Ơ Ù Ø Úđ Đ Ü Ị Ị Ø ØĨđỊ Ø Ø Ị ịĨ¸ ØỨÝ Ị õØ Ị Ị Đ ÐđĐ ÕÙ Ị Ú Ú đỊ Ị ịĐ Ý Ị Ø Ø Ĩ Ơ ÌƯ Đ ØƯĨỊ Ị Ý Ị × ØƯĨỊ Ị ×Ù Úđ õ Ú À Ø Ø Ë Ị º Đ Ü Ị Đ Ø Ị Ø Ị đÝ Ø ¸ Ð Ị Ị Ø Ị Ị × Ù ×ú Ø Đ Ì˺ èừ ặ ỉ ủ ặ ểủề ỉ ỉ ụề ậ ề ặ èệ ề ủề é ề ềủí ề ẹ ắẳẵ í ề è ề ẩ ề ì ũề ỉ ềá ủ ỉ ũể ề Đ ó Øơ и ØĨđỊ ØƯơ ĨđỊ Ø Ị Ã Đ Ü Ị Đ Ị Ị Ị đỊ ó Ĩ Ị Ị ØƯ Ì˺ Ìõ Ỉ đ ÐÙ Ị Ø ị Ị Ú Đ Ĩ Ị ÌƯ ÐÙ Ị Ø Ị Ơ¸ Ị Ù ØƯĨỊ Ị Đ Øơ Ú Đ Ị Ø × Ã Ð úỊ ịĨ Đ Ù Ø Đ ÐÙ Ị Ðđ ị º ÌƯĨỊ Đ Đ Ìđ Ø ÕÙị ØƯĨỊ Ø ÕÙị Ị Ị ÕÙơ ØƯ Ị Ị Ø × Ù Ø Øđ Ð Ø ÕÙị Ị Đ Ü Ị Đº ¸ Ø ơỊ ậ ề ặ ề ẹ ắẳẵ í ề è ề ẹ ũể ụ ặ ì ủ ặ Ð Ị È Ị Ị Ù Ù ĨđỊ Å Ð ÌƯ Ị Å Ù ½ à ỊÌ ½º½º Å Ø ủ ủ ụ ẵẵẵ ỉ ủ ẵẵắ ỉ ủ ụ ề ụ ủẹ ỉ ẵắ ắ à ٠Ị Ị Ị Ị Ù Ị Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ị ủẹ ìí ệ ắắ ề ề ụ ủẹ ẵ Ị ịĐ Ị D ′ (Ω) Ị Úđ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị Ị ủẹ ìí ệ ề ểệ ề ệ ểệ ẵ ỉ Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ¿º½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º D (Ω) Ò ¿ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º Ã Đ ½ ¾½ Ư ØƯĨỊ L1 (R) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắẵ ắ ẩ ễ ề ểệ ệ ØƯĨỊ L2 (R) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¿º¿º È Ơ Ị ĨÙƯ Ư ØƯĨỊ S (Rn ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¿º Ơ Ị ĨÙƯ Ư ØƯĨỊ S ′ (Rn ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ º È Ã Ø ÐÙ Ị Ìđ Ð ÙØ ¿ Đ ịĨ ¿ Å ½º Ä Ĩ Ị Ù Øđ ÀđĐ ×ÙÝ Ư Ị ƠƠ Ị ÕÙ Ị ØƯ Ị ÚđĨ Ú Ị õĨ đĐ Ư Ị º ÀđĐ ×ÙÝ Ư Ị Ðđ Đ ỉ ủẹ ì ủể ụ ề ỉệểề ủẹ ể ẹủ ẹ ỉ ặ ũ ỉ ỉ ỉẹ ỉ èừ ặ èệ ẹ ú ụ ề Đ Ơ ÐØ Ư Ị Ị Ø Úđ Ị È Ơ Ị L1, L2 ´ ơ đĐ đĐ ×ÙÝ Ư Ị ¸ Ị ịØ Ä Ị Ü Ðõ Ø Ø Ø Ú × Đ Ị Ü Ý Ị Ị Ị Ị ÌºË ĨÙƯ Ư ØƯĨỊ Ị ØƯ ề ì ẹủ ề ì ề ề Ị Øđ ĨÙƯ Ư Ị ¸Ị đĐ Ø Ý Ị Ơ Ơ Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị ĺ Ë Û ỪÞ º Ị Ị Đ δ (x)º đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ú Ị Ị Đ Ú Ú Ị Ị ØƯ Ị Đ Ư Ị Ø Ị Ĩđ Ð Ơ đĐ Ø Ị Ðđ đĐ Ị Ị Ù Ơ Ị đĐ Ị Ù ØƯĨỊ Ị Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị º  à ÐÙ Ị Đ¿ Ị Ị ½ à ỊØ Ù Ị Ị ỊđÝ ÙĐ Ø× Ø Ù Úđ Ị Đ ỊØ Ø ĨỊ ÙỊ ÐÙ Ị Ú Ịº Ỉ Ù Ị Đ Úđ Ỉ Ù Ị Ị Ị Ị Úđ Ø Ị Ơ Ơ ØĨơỊ¸ Ø Ị Ø Ø Ø Ị ¾º à Ị Ị ỊđÝ ¸ØỊ Ø Ị Ị đĐ Ø Ị Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị º D (Ω)º D′ (Ω)º Ị đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ù ề ề ủẹ ìí ệ ề ề ề ụ ủẹ ìí ệ ề ặ ủ ề ề Ị Úđ Ø Ị Ø Ị đĐ Ø Ị Ị ¿ Ị Ị Đ ĨÙƯ Ư S ′ (Rn )º Ị đĐ ịĐ Ị Ị S (RRn ) ề ì ủể ễ ềủí ề ễ ắ  Ú Ị ĨÙƯ Ị Ị Ù Ú Ị Ỉ Ị Ù Ú Ị Ù Ú Ỉ Ị Ù Ơ º È È Ị Ị Øđ Ơ Ơ Ơ ơƠ Ị ơƠ Ơ Ð Ù¸ ØƯ Ị Ø Ùº L1 Ư ØƯĨỊ Ị Úđ L2 đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ø º º ĨÙƯ Ị Ị Ị Ị Ị Ơ ĨÙƯ Ù Ư ØƯĨỊ Ị Ị Ù đĐ ×ÙÝ Ư Ơ Ị đĐ ×ÙÝ Ư Đ Ú Ị Ỉ Ơ Ư ØƯĨỊ Ị Ỉ ¿º Ỉ ễ ề ậ ểệ ề ệỉị ệ ×Ĩ ×ơỊ ¸Ø Ị Ơ Ị Ø º đĐ ×ÙÝ Ư Ị º Ị ½ à ỊØ Ù Ị ½º½º Å ½º½º½º Å Ø Úđ Ù Úđ Ø Úđ Ò Ñ Ù Zn+ = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ Z+}º Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R}º C (Ω) Ì Ơ C k (Ω) Ì Ơ C ∞ (Ω) Äđ Ø Lp (Ω) đĐ Ð Ơ Ơ Ì Ơ đĐ Ð Ơ Ơ Ωº Ị Ø ØƯĨỊ Ị Ø đĐ đĐ ị Ú Ú Ĩ Ø  f = Lploc (Ω) Ì Ơ Ý Ø Ơ f ị Ø Ơ đĐ ØƯĨỊ Å Ø Ú Ø Ðđ Đ Ø f Üơ đĐ Ị õĨ đĐ Ư õỊ¸ Ð Ĩ Ị Ị Ð Ị Ø Ø Ị Ø ØƯ Ị Ωº Ä ØƯĨỊ × Ù Ơ ØƯ Ị Ω× Ĩ Ĩ Ωº  1p Ω |f (x)|p  < ∞ ị Ø ØƯ Ị Ω Ơ Ị × Ĩ Ĩ Ú Đ p, ≤ p ≤ ∞ ØƯ Ị Ỵ ĨĐƠ Ø ỉệểề ỉ ẻ ừề ì = (α1 , α2, , αn) , αj ∈ Z+, j = 1, 2, , n í ềạ ì ñ ´ Ý Ô |α| = α1 + α2 + + αn αµ Ðđ ÌĨơỊ Ø Ú Ơ Ị Ð Ị Ø Ú α × Ðđ Dα = D1α1 D2α2 .Dnαn ØƯĨỊ √ ∂ αj , j = 1, 2, , n, i = Dj = −1 α i∂xj j Ĩ Ỵ ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ∂nαn ½º½º  Ĩ ∂ ∂xj ∂j = Ú ϕ (x, y, z) = x3 + y + z , α = (1; 2; 3) ∈ Z+3 º à đĐ ∂ α = ∂xα1 ∂yα2 ∂zα3 = ∂x1∂y2∂z3 = 108x2y Ĩ Ω Ðđ Đ f (x)¸ Ị Ø Ø Ù ØĨơỊ Ø Ư Ị Ú Ơ ị Ú Úđ Ð Đ Ø đĐ Ð Å Å Ø Đ Ø Ø Úđ Ị Ị Ø Ị Ị Ú Ø Ị Đ E ⊂ tV º Ỉ Ị f :Ω→C Ù Ðđ Ø Ơ ØƯ Ị ØƯ Úđ Ðđ α ∈ Zn+ × f ∈ C ∞ (Ω) f Ị Ù Ðđ Ðđ Ĩ Ị ØƯĨỊ Ω Ø Ơ Ơ suppf º Ù X ØƯ Ị ØƯ Ị K (λ, y) → λy Ị Ú Ø ỉ ễ é ề ề ẻ ầ é ỉệ Ị Đ Ø Ø Ơ Ĩ K = Cµ Ðđ × Ĩ Ĩ ơỊ Ị Ø º ¸ Đ Ø ỉ ễ ầá ẹ ỉ é ề ề K=R K ´Ú Ị Ơ Đ Ø × E ⊂X s > Ị Ø Ị Ðđ Ø Ơ × Ĩ Ĩ Ò ∀t > s Ðñ Ò Ø Ò Ò º Å Ø Ø Ô Ô E ⊂ X ∀x ∈ X, ∃t = t(x) = Ị Đ Đ Ị Ú Ø ÌƯĨỊ Ơ Ị Ø Ú f : Ω → C, x → đĐ × Ơº ô (x, y) → x + y Ò Ù Ú Ø Ị Øõ Úđ Ð Ø Supp f = cl {x ∈ Ω : f (x) = 0} ⊂ Ωº À Ý Üõ Rn º Å ØƯĨỊ Ù ỊđÝ Ị Ò Ø Ñ {x ∈ Ω : f (x) = 0} ẵẵắ f ề f C () ề đĐ ØØ Ơ Đ αE ⊂ E Ø Ị Ị Ú Ø Ø Ơ x ∈ tE º Ỉ Ù Ðđ Ø Ơ ĨỊ Ị º × Ĩ Ĩ ∀α ∈ C Ðđ Ø Ơ Đđ Ø Ị Ù |α| ≤ ¸ Ø Å Ø Đ Ø Ị × Ð Ò Ò Å Ø Ò Ò Ã Ú Đ Ị Ơ Ơ Ø Ị Ơ Ị Ị Ù º Ị Ị Ø Ư ĐóỊ Ø Ị Ù Ị Ðđ Đ Ø d(x + z, y + z) = ềà éủ ỉ ề ỉ ề ĨƯ Ð Ị Ù Đ Ù Ðđ Ø Ơ ĨĐƠ غ Ị Ĩ Ĩ Ø Ị Ð Ø Ơ Ð Ðđ Ø Ơ D (Ω) đĐ Ø Ỉ Ù Ã Ðđ Ø Ơ ĨĐƠ Ø ØƯĨỊ f ∈ C ∞ (Rn ) × Ị Ị Ị Ị Ị Đ ØƯ ịĐ × Ị Ị Ú Ø Úđ Ðđ Ơ ề ề ề ẵắ ề é ỉ ỉ Ø Ơ Ç Ị Đ ØƯ d(x, y) ´ Ø Ô Ò Ú Ø Rn Ø Ø supp f ⊂ K º Ỉ Dk Ù Ðđ Ị Ị Ø đỊ Đ Ø đĐ K⊂ΩØ Ù Dk = {f ∈ C ∞ (Ω) : supp f ⊂ K} Ü Ý Ị Ú Úđ Ư Ị Ø Ø Ị K ⊂ΩØ Đ Ω = ∪ j kj τ ØƯ Ị C () ì ỉ ề ểệ é ủ Đ ØØ Ơ Úđ Ị Ị Ø Ơ ĨĐƠ Ø Ị Đ Ø Ị C ∞ (Ω) ØƯ Ĩ Ĩ Dk Ðđ Đ Ø Ø Ơ ĨỊ kj (j = 1, ) × Ù Ị pN ØƯ Ò Ò Ó Ó Ò C ∞ (Ω) kj ⊂ int kj+1 C ∞ (Ω), N = 1, pN (f ) = max {|Dα f (x)| : x ∈ kN , |α| ≤ N } à ẻ ẹ pN VN = ặ ề x ể ề ỉ ĩụ ì ẹ ỉ Ø Ơ Ơ Ị đĐ ¼ Øõ Ị f ∈ C ∞(Ω) : pN (f ) < {fi} Ðđ õ Ơ x → f (x) đĐ × Ị Ð óÝ Ù Ý ØƯ Ị N Ị ¸ ị Đ ØƯ ØƯ Ị Ðđ Ð Ị Ø Ø xỊ Ị Dk Ĩ Ø Ơ Ðđ Ị ỊđÝ Ó |Dα fi − Dα fj | < C ()á ặ N ỉệ ề Dk ềủí ẻ ØƯĨỊ Ðđ C ∞ (Ω) º Ø Ơ Ơ , (N = 1, )º Ò Ø Ð Ò º Ĩ Ị C ∞ (Ω) º kN Ị Ù |α| ≤ N º fi − fj ∈ VN Ú i, j ẵẳ ềủí D fi ỉ fi(x) → go (x)º À Ø Ø Ò Ò Ú C ∞(Ω) º Đ Ị MN < ∞ × Ĩ Ĩ ứề ỉ ẻ í ề ẵẵ ũềà ỉệ ề À Ú Ị Ị Ú Ì Ị Ị Ø Ị Ị kN −1 Ø À Ðđ Ị ¸ Ị Ỵ Ĩ Ω Ðđ Ø Ơ ĨĐƠ Ø Dk º ¸ ¸ β τ |β| ≤ N − 1º Ò Ñ Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ò Øõ Ì Ðđ Ð Ĩ Ị Ø Ị óÝ ĨỊ Ị Ð {fi } × × ĨÐ Ĩ Ĩ Ðđ Ø Ơ ĨĐƠ غ Ị Dk õÝ ØƯ Ị Ø Ơ Ø Ø ị đĐ Ø ´ Ý Ị Ị đĐ Ị Ú Ø đĐ Ị Đ Ú Ơ Ơ Ị Ị Ù Úđ ØƯ Ơ Ị Ù Úđ Ơ Ơ Ị Ị º φ ∈ C ∞ (Ω) Úñ Suppφ φ ∈ C ∞(Ω) Úñ Suppφ Ðñ Ø Ơ ĨĐƠ Ø ØƯĨỊ = Max {|Dα φ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N } , N = 1, ẵắ ẹ || N ề Ù φ ∈ D(Ω) Ò ΩØ N f i → go D (Ω)º Ị Ωº Ỵ Úđ Ù ỊđÝ Ị f ∈ Eº Đ kN Ị Ị đĐ g ểệ é ề ề í ệữề ỉ ØƯ Ị Ị Ðđ Đ Ø Ø Ư Ịº Ỵ Ù Ị ¹ Ø Ø ị Ù Ðđ Ðđ Ø Ơ ĨĐƠ Ø ØƯĨỊ φ óÝ ØƯĨỊ gα = D α go Ø º Úđ Ị D (Ω) Ø Ø ØƯ Ị À Ơ Ω¸ Ị Dk Ị C ∞ (Ω) ¸ Ω¸ Ø Ơ ĨĐƠ Ø Ị Ðđ Ø Ơ Đ Ĩ Ø Ơ C ∞(Ω) Ò Ò C ∞ (Ω) Ðñ |Dα f | ≤ MN Ø Ø Ó Ó pN (f ) ≤ MN , N = 1, 2, Ú Úñ Ị ÙÝ Ị Ð ỊØĨƯ Ø {fi} ¸ go ∈ C ∞ (Ω) × Ị ĨỊ Dβ (f ) : f ∈ E Ị Ĩ E ⊂ C ∞ (Ω) ị × Ø Ị Ị ĨØ Ơ Ω Ø ØƯ Ị Ø Ơ ĨĐƠ Ø Ø Ơ ĨĐƠ Ø Ðđ Ø Ø ị φ+W Ư Ị Úđ Đ Ù Ðđ Ø Ơ W ⊂ D(Ω) Ị K⊂Ωº Ơ Ị K ⊂ Ω, τk Ðđ Ø Ơ Ø Ø ị Ø Ơ Ð Đ Đ Ø ỉ ễ ừề ỉệểề ì ể Ĩ Rn Ị Ị Ư Dk ∩ W ∈ τk φ ∈ D(Ω) Úñ W ∈ β º Ú Ø ½½ Ị ¸ Ð τ ¸ ½º½º Ì Ðđ Đ Ø Ø D (Ω) Ị µ Ơ Ị Đ Ị º Ị τ Ú Ì Ðđ Đ Ị Ị D (Ω) Úđ β Ø Ị Đ Ị Ø Ị Ị Ú Ø Ơ Ðđ Đ Ø Ø Ơ × Ơ Ð Ơ Ị τ º Ị º Ị Đ Ø ị × V1 ∈ τ, V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2 Ị Đ Ị àá ỉ ề ề ẹ ề + W ⊂ V1 ∩ V2, ∀W ∈ β Ì Ĩ Ị Ò τ Ø Ø Ò Øõ φ ∈ φi + Wi ⊂ Vi , (i = 1, 2)º Ò Ã × Ĩ Ĩ Dk φi ∈ D(Ω) φ1 , φ2 , φº Ỵ Ĩ Ø Ị φ − φi ∈ (1 − δi )Wi, ∀δi > ẵẵà é Dk Wi Wi Wi Úđ Ðđ Đ × Ĩ Ĩ Dk ØƯĨỊ Ị Ị Ò Ò φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi)Wi + δi Wi = Wi ⇒ φ + δiWi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi (i = 1, 2) ể ẵẵà ề W = (1 W1) ∩ (δ2W2)º Ỵ φ1 , φ2 ∈ D(Ω)º ị × φ φ1 = Max |φ(x)| Ø Ðñ Ø Ơ x∈Ω Ị Ø Ị È Ơ Ị Ðđ τ Ð W ∈β ØƯĨỊ Ị Ø ¸ Ø Ơ Ơ Ị Ị Ú τ ĨØ Ị Úđ φ1 Ị ¸ ề ì ể ể ẹ ề ề ềữẹ ỉệểề φ2 + W º Ĩ º Ð Đ Ø Ơ Ị Đ Ø Ú αφ − α0 φ = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0 δφ0 ∈ 12 W Ò < φ1 − φ2 0} ϕ2 + 12 W = (ϕ1 + ϕ2) + W, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) º Ỵ Ø W = {φ ∈ D(Ω) : φ Ú Ý ´ µ Ị º Ỉ Ù 2c(|α0 | + δ) = 1º W ∈β α0 Ị Ị Úđ Đ Ø W ∈β Ø ϕ1 + 21 W + φ0 ∈ D(Ω) ∃δ > ẻ ẽ éủ ỉ ễ é ề ì Ĩ Ĩ Ị Ị ¾ ¿º¾º È Ơ Ị à Ị Ị à Ị Ị ĨÙƯ đĐ đĐ ịĐ Ị ịĐ Ị L2 (R) Ư ØƯĨỊ S (R) Ðđ ØƯ Ị Ị f : R → C, f ∈ C ∞ , sup xm S (R) = x∈R Ý Ðđ Đ Ị Å Ị ¿º½º Ị ĨÙƯ Ị Ư f (ξ) = (2π) Ĩ Ơ Ff ØƯĨỊ −n L2 (R)º Đ Ø ØƯĨỊ dl f (x) < ∞, ∀m, l dxl Ị ỊđÝ S (R) Üơ Ò Ò Ø e−ixξ f (x) dx, ξ ∈ R R Ø ØƯ Ị Ð Ị Đ Ị Ị Ø º Ì Ø Ơ ị Ðđ Đ Ø Ý Ị Đ Ị Ị Ø øỊ Ù L2 (R) → L2 (R)º S (R) Ðđ Đ Ý Ư÷Ị Ị Ø Ø Ị Ị Ý Ị Ị Đ ØƯ Đ Ø Ù Ị ØƯ Ị ´Ị Ị Ò = k f Ú Ù Ò ´Ò Ò Ò Sº dp sup x dxq x∈R p p+q≤k S (R) ề ề f ẻ íá ỉ k Ðđ Đ Ø Ị Ị Ị µº Ị Ø Ị Ò ´ Ò ∞ d (f, g) = k=1 Ò ẹ ề ẵà ỉ ắ ặ f k ễ ị Ðđ Đ Ø Ù Ịµ Đđ Ðđ Đ Ø Ñ ØÖ f −g k 2−k , ∈ [0, ∞) 1+ f −g k ĐóỊ Ðđ Đ Ø Ø Ù Ø ĨịỊ º Ø Ø Đ Ị¸ d (f, g) = Ðđ Đ øỊ f −g 1+ f −g ụ ỉ ẵà ì ắ ề ề ắ ÀđĐ ×ÙÝ Ư Ị Ðđ Đ Ø đĐ ØÙÝ Ị Ø Ò Ò u : S (R) → C Ì Ø Ý V ∈ L2 (R)¸ Üơ u, f = f (x) u (x) dx, L (R) → S (R) = {u : S (R) → C} δ0 : S (R) Cá  ắ H= ủ (f ) = f (0)º   1, x ≥ Ú  0, x < ∞ H (f ) = y ′ S (R) ÌƯĨỊ ∞ d df H (f ) = H − dx dx F Ø Ø Đ Ư Ị Ø Đ Ø Ø Ơ =− Ơ ØƯ df = f (0) = δ0 (f ) dx Đ Ø ØƯĨỊ L2 ÚđĨ L2 ¸ í ề í ệữề ặ fn S (R) , fn → f ¸ ØƯĨỊ L2 (R) Ø fn − fm Ỵ f (x) dx, ∀f ∈ S (R) f Hdµ = R Ø −df du (f ) = u dx dx R ′ à Ỵ Ị Ú Ý¸ Ơ Ơ F Ị = 2π fn − fm L2 ØƯĨỊ Ø F fn = f Ø ĐóỊ Ị Øõ → 0, n → ∞ Üơ Ị F f = lim fn ; f = lim fn , fn ∈ S (R) n→∞ n ẻ íá ậ ỉệ ẹ ỉ Ù Ỉ F : S (R) → S (R) ֒→ L2 (R)º Ĩ Ị Ú Ý Ị Đ Ị đĐ Ị Ù Ịđݸ f n ∈ Sn Ĩ Đ fn → f, n → ∞º Ị đĐ Ë Ø Ị Ơ Û ỪÞº ị f ∈ L2 (R) ề ẹ ề ì ỉ ẹ ỉ ắ Ị Ð ¿º¿º Ỉ Ù fn′ → f, fn′ ∈ S ¸ lim fn = lim fn = f n→∞ n→∞ Ø Ff Ị Üơ Đ Ị º Ị ÙÝ Ò fn′ → f, ⇒ fn′ − fn → ØƯĨỊ L2 (R)¸ Ø f ′n − f Ị Đ ề ẵ fN f è é ặ L2 (R) Ø Ú Ý = (2π) f ′n − f S (R) Ðđ ØƯ Ư÷Ị Ị ØƯĨỊ L2 (R)º Ø ØƯĨỊ Đ Ø ØƯĨỊ f ∈ L2 (R) Úđ N → ∞º Ù Ư÷Ị → L2 (R)º Đ Ø Ĩ ¾  f (x) , |x| ≤ N fN (x)  0, |x| > N ×ÙÝ Ö   0, |x| ≤ N ||f − fN | | =  −f (x) , |x| > N Úñ f − fN |f (x)|2 dx → = |x|≥N N →∞Ú f ¾ Ĩ Ị Ø Ø Ù Ỉ Ị Ị Ị Ơ Ị Ú Ø g (y) = f (2Ry)¸ Ị Ị à Ĩđ Ị ị Ø Ý Ø Ø ÕÙị ỉệểề ìỳễ ĩ ễá ỉệ ề ề g= ủẹ ề Ù ØƯ Ị ØƯĨỊ L2 (R) Ðõ đĐ g × ØƯ [−1; 1] , g ∈ L2 (R)º ¸ Ø Ø ØƯĨỊ đĐ S (R)º óÝ ØƯĨỊ Ị º ĨÙƯ Ư Cneiny L2 º C ∞ : gm (y) = L2 ([−π; π])º |n|≤m Cn einy ∈ C ∞ ([−π; π]) Ø Ị g ØƯĨỊ Ø ¾ Ị gm → g Ì Ø øỊ Ị × Ø Ị Øõ L2 ([−π; π]) ⇒ Xgm → Xg ØƯĨỊ −π Ò |Xgm − Xg| dx = Ø øÒ Ò π Ò X |gm − g| dx ≤ −π x 2R Xgm = Ư÷Ị fm ∈ C ∞ (R) Đ Ị đĐ ØƯ Úđ Cn,l Ðđ Đ Ø ÷Ị × ¸ Ị Ð Ị ¿º Ø ØƯĨỊ Đ Ị C ∞º Ị Ơ º Ỉ Ù Ị Ị → f ∈ L2 (R)¸ m → ∞ Úđ x ∈ S (R) 2R fm (x) ≡ Úñ |x| ≥ 2πR Ú Ú Ý¸ Ý Ðđ º dp f ≤ cn,l dxp º fm ∈ S (R)¸ Úđ Đ Ị −π |gm − g|2 dx → Ò Ú xl Ú L2 ([−π; π])º ØƯĨỊ π fm = Xgm Ø ≤ X ≤ Úñ Ø Ú Ý Đ X ∈ C ∞ (R)¸ Ú đĐ   1, |x| ≤ X (x) =  0, |x| ≥ π π đỊ ị Ü Ý a, b ∈ R Úđ Ø Ý Ị Ị X ε > 0, ∃ غ Ị đĐ Ơ Ý ị Ðđ ĨđỊ Ø đĐ ØƯ X : R → [0; 1]   1, x ∈ [a, b] X (x) =  0, x ∈ (−∞, a − ε] ∪ [b + ε, ∞) ½ Ì Ø Ý   e −1 x 1, x > f (x) =  0, x < đỊ Ị Ịº Ðđ C ∞¸ Üơ ¾ Ị Ø Ị Đ Ị Ù ỊđÝ Đ Ị ÷Ị Ơ Ị Ơ ơƠ ÕÙÝ ỊõƠº Ì Ò −1 dk pk (x) −1 x = ex e dxk x2k ÌƯĨỊ Ị ¸ Pk Ðđ Đ Ø Ø ¸ Ù ỊđÝ Ðđ Ị Ị Ù Ị Ø ÐơÝ Đ Ị −1 dk+1 x2p′k − 2kxpk + pk −1 x ex e = dxk+1 x2k+2 Ì dk f pk (x) −1 lim+ k = lim+ 2k e x → x→o dx x→o x ¾ X= Ị Ø Ø Ü Ý Đ Ø  Ø Ò × Ù f (x − a + ε) f (−x + b + ε) f (−x + a + ε) + f (x − a + ε) + f (−x + b + ε) + f (x − b + ε) Ị Ø Ø Ý¸ Ù ỊđÝ Ø |x| ≥ N º Ý L1 Ị Đđ ¸ Ị Ị Ø Ị ØƯĨỊ Ø ĐóỊ L2 (R) Ù Ị ÷Ị × Ị Ị Đ Ị º Ù 1 f (x) e−ixξ dx, sup f (ξ) ≤ f (ξ) = |f | dx ξ∈R R R L1 ËÙÝ Ö sup f − ϕn ≤ f − ϕn ξ∈R →0 Ú Ư ØƯĨỊ ≤ (2N ) f 2, ∀f ∈ S (R) Úđ ØƯĨỊ ĨÙƯ ÐđĐ Ú L2 [−N, N] ⊂ L1 [−N, N] , f − n n f f = 0á ỉ ắ Ị f È Ơ Ị Ĩ Ị ¿º¿º Ff ĨÙƯ f ∈ S (Rn )º ị × Üơ S (Rn) Ư ØƯĨỊ Ị ĨÙƯ Ư đĐ f Ù Ðđ Ị f (ξ) = (2π) −n e−ixξ f (x) dx, ξ ∈ Rn Rn Úđ Ị ĨÙƯ Ư Ị đĐ ∨ −n f (ξ) = (2π) f¸ Ù Ðđ ∨ f Ĩ Ff−1 Üơ Ị eixξ f (x) dx, ξ ∈ Rn Rn Ỵ  ¿º¿º Ì x 2 Ø f (x) = e− Ó f = fº Ø Ú Ý +∞ n − 21 −ixk ξk − (2π) f (ξ) = k=1 e −∞ n ξ2 − 2k = dxk +∞ − 12 k=1 e− (xk −iξk ) dxk (2π) e x2 k −∞ Đđ đĐ e− z Ðđ đĐ ị Ø Ị Ị R − 21 z 0= e R − 12 t2 dz = e −R CR −R ξk − 12 R2 + e ξk − 12 τ e−iRτ e Ck ØƯĨỊ Ðđ Ị ĨỊ e− (−t+iξk ) dt dt− Ị Ø Ĩ dτ − Ù Ị 1 2 e− R eiRτ e− τ dτ Ù Đ Ị ĨõỊ [−R, R] , [R, R + iξk ] , [R + iξk , −R + iξk ] , [−R + iξk , −R] Đ ¿¼ R Đđ lim R→∞ −R ξk lim R→∞ − 21 t2 e +∞ dt = − 12 t2 e R dt¸ lim R→∞ −R −∞ 2 e− R e−iRτ e− τ dt = = lim ξk R→∞ e (2π) 1 2 e− R eiRτ e− τ dτ e f (ξ) = f (ξ) Ú Å Ò ắ ũ ì ề 21 í f = f Ø È Ư× Ú Ð f, g ∈ S (Rn )º Ã Đ Ị Rn º È Ơ Ị Ị Ø Ơ f (x) g (x) dx Ị ĨÙƯ Ư ẹ ỉ ề ắà éủ ỉ ề ỉừ ủ Rn Rn n = (2π)− Rn = S (Rn ) Ðđ Ị   Rn e−ixy f (y)dy  g (x) dx  f (y)   Rn e−ixy g (x)dx dy f (y) g (y) dy = Rn ị × đĐ Ø Ù Ị Ị  n ¿º¿º ắà Rn f (x) g (x) dx = (2) Å Ị −∞ Rn ØƯ Ị Ị Ị e− xk dxk = dxk = (2π) f (x) g (x) dx = Ò e− (−t+iξk ) dt¸ +∞ − 21 (xk −iξk ) −∞ Ý dt = −∞ +∞ − 21 +∞ − 12 (−t+iξk ) f (x) g (x) dx Rn f, g ∈ S (Rn )º à n (f ∗ g)∧ (ξ) = (2π) f (ξ) g (ξ) Ò Đ Ị º Ë Ị Ị Ị Ơ Ơ Ị ĨÙƯ Ư Úđ Ị Ð Ù Ị Ø ¿½ n (2π)− (f ∗ g)∧ (ξ) = (2π)−n e−ixξ (f ∗ g) (x) dx Rn = (2π)−n Rn = (2π)−n Rn = (2π)−n Rn  e−ixξ  Rn   Rn  f (x − y) g (y) dy  dx e−i(x−y)ξ f (x − y) e−iyξ g (y) dy  dx  e−iyξ g (y)  Rn n = f (ξ) (2π)−  e−i(x−y)ξ f (x − y) dxdy e−iyξ g (y) dy Rn = f (ξ) g (ξ) n Ỵ Ý (f ∗ g) ∧ (ξ) = (2) f () g () ề ẻ ¿º Đ º ị × × f ∈ S (Rn )¸ αØ Dα f (ξ) = (−i)|α| (xα f ) () D f () ẻ ẹ × β = i|α| (xα f )∨ (ξ) Ø ξ β f (ξ) = (−i)|β| Dβ f ∨ ξ β f (ξ)  = i|β| Dβ f ∨ ∧ (ξ) (ξ) ¿¾ Ị Đ Ị º º Ì   n Dξα f (ξ) = Dξα (2π)− n = (2π)− Rn e−ixξ f (x) dx (−ix)α e−ixξ f (x) dx Rn = (−i)|α| (xα f )∧ (ξ) Ì Ị Ø º Ì Ø Ị ∨ = i|α| (xα f )∨ (ξ) Dα f (ξ) n ξ β f (ξ) = (2π)− (−iDx )β e−ixξ f (x) dx Rn n = (2π)− e−ixξ (−iDx )β f (x) dx Rn = (−i)|β| Dβ f Ì Ò ∨ Ø Å Ò Ò = i|β| Dβ f ¿º f ∈ S (Rn )º Ã Đ Ị ẻ Rn ũ ì f, S (Rn )¸ n eixξ (2π)− R = Rn ∨ ξ β f (ξ) n ∧ (ξ) (ξ)º (f ∧)∨ = f Ó  e−iyξ f (y) dy  ϕ (ξ) dξ =  n eixξ f (ξ) (2π)− Rn eixξ f (ξ) ϕ (ξ) dξ Rn e−iyξ ϕ (y) dy  dξ ¿¿ Ỉ Ị Ø Ĩ Ị Ð Ù Ị ¸ Ø  Rn n f (y) (2π)−  = Rn  ei(x−y)ξ ϕ (ξ) dξ  dy Rn  n ϕ (y) (2π)− ei(x−y)ξ f (ξ) dξ  dy Rn À Ý ∨ ∨ f (y) (ϕ∧ ) (x − y) dy = Rn ϕ (y) (f ∧ ) (x − y) dy Rn Ò n ϕ (x) = (2π)− e− Ø x 2 x ,ε > ε , ϕε (x) = ε−nϕ ∨ ϕε (ξ) = ϕ (ξ) = ϕε (ξ) ε Ỉ Ị f (y) ϕε (x − y) dy = Rn Ó ε→0Ø Ỵ Ý Å Ị f (x) = f º ∨ (x − y) dy Rn (f ∧ )∨ = f ¿º ϕε (y) f Ú ị × Đ ∨ (x)º f ∈ S (Rn )º f, ϕ ∈ S (Rn )¸ ¸ n (f ∗ ϕ)∧ (ξ) = (2π) f (ξ) ϕ (ξ) n ∨ ∨ (f ∗ ϕ)∨ (ξ) = (2π) f (ξ) ϕ (ξ) ¸ n (2π) (f ϕ)∧ (ξ) = f (ξ) ∗ ϕ (ξ) n ∨ ∨ ∨ (2π) (f ϕ) (ξ) = f (ξ) ∗ ϕ (ξ) ¿ Ị Đ Ị º º Ì Ĩ Ị Ð Ù n (f ∗ ϕ)∧ (ξ) = (2π)− Rn Ø  e−ixξ  Rn = Ò Rn   f (y) ϕ (x − y) dy  dx n e−iyξ f (y) (2π)−  e−i(x−y)ξ ϕ (x − y) dx dy Rn e−iyξ f (y) dy.ϕ (ξ) = Rn n = (2π) f (ξ) ϕ (ξ) n Ì Ò Ø Ø º Ì Ò ∨ ∨ ∨ n ˆ ∨ (ξ) = (2π) (f ϕ)∧ (ξ) fˆ (ϕ) f ∈ L1 (Rn ) Ø Ò Ò ¿º Ị ØƯ Ị Å Ị ¿º º Ị È Ị Ù Ðđ º Ð ÈÐ Ị Ị ∨ ∧ ϕ Ò Ø Ò ∨ n (ξ) = (2π) (f ϕ)∨ (ξ) Úđ Ø Ị Ø × Ùº Ø Ø Ø Ø Ị Ø Ị ØƯ Ịº Đ Ø ØĨơỊ Ø Ư Ð ØƯ Ị ÙÝ Ị Ø Ø f ∈ L2 (Rn )º ỊđÝ Ơ ¿º f Ị f φ : S (Rn ) → S (Rn ) Üõ Ò Ú Ò f ∈ L2 (Rn ) Ø ¸ Ú Å Ò ∧ ∨ n f ∗ ϕ (ξ) = (2π) À ∨ n fˆ ∗ ϕˆ (ξ) = (2π) Ỵ ∨ (f ∗ ϕ)∨ (ξ) = (2π) f (ξ) ϕ (ξ)º Ĩ Ị Ị º f∧ Đ Ị ĨÙƯ Ĩ Ff Ðđ Ø ØƯĨỊ Ư ØƯĨỊ f ∈ S ′ (Rn )º Ĩ Ø Ị đĐ ×ÙÝ Ư ℄ ØƯ Ị º S ′ (Rn) ĨÙƯ Ị ½ Ø Ị Ư f , ϕ = f, ϕ , ϕ ∈ S (Rn ) ẹ ủẹ ìí ệ ĩụ ề ề fá ¿ Úđ Ø Ị Ị ĨÙƯ Đ Üơ Ư Ị Ù Ðđ ∨ f Ĩ f∨ Ĩ Ff−1¸ Ðđ đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ị ∨ ∨ f , ϕ = f, ϕ , ∀ϕ ∈ S (Rn ) ề ẻ ẹ ũ ì × f ∈ S′ (Rn )º à αØ Dα f (ξ) = (−i)|α| (xα f )∧ (ξ) ∨ (ξ) = (i)|| (x f ) () D f ẻ Ñ × β Ø ξ β f (ξ) = (−i)|β| Dβ f ∨ ξβ f Å Ò ¿º º ò × ∨ (ξ) = i|β| Dβ f ∧ (ξ) (ξ) f ∈ S ′ (Rn ) , ϕ ∈ S (Rn )º à ¸ n (f ∗ ϕ)∧ (ξ) = (2π) ϕ (ξ) f (ξ) n ∨ ∨ ∨ (f ∗ ϕ) (ξ) = (2π) ϕ (ξ) f (ξ) ¸ n (2π) (f ϕ)∧ (ξ) = f (ξ) ∗ ϕ (ξ) n (2π) (f ϕ)∨ (ξ) = f ∨ (ξ) ∗ ϕ∨ (ξ) Ò Ò Đ Ị º ĨÙƯ º Ỵ Ư f ∈ S′ (Rn ) , ϕ ∈ S (Rn ) (f ∗ g)∧ Ðđ đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ø Ị f ∗ ϕ ∈ S ′ (Rn )º Ø Đ Üơ (f ∗ ϕ)∧ , φ = f ∗ ϕ, φ = (f ∗ ϕ) (φ∧ ) ∧ = f, (ϕ ∗ φ∨ ) n = ∧ (0) ∨ f, (ϕ∧ ) ∗ φ∨ n Ò = f, (2π) (ϕφ)∧ = (2π) ϕf , φ ∧ à ¸ ¿ Ì Ò º Ì Ø n (f ∗ ϕ)∧ (ξ) = (2π) ϕ (ξ) f (ξ) ∨ n ∨ (f ∗ ϕ)∨ (ξ) = (2π) ϕ (ξ) f (ξ)º φ ∈ S (Rn ) Ị ÌƯĨỊ Ị n f ∗ ϕ (ξ) = (2π) (ϕ∧ )∨ (f ∧ )∨ n ∧ (f ∨ ∗ ϕ∨ ) (ξ) = (2π) (ϕ∧ )∨ (f ∧ )∨ Ỵ Ì  ¿º º Ĩ đĐ σ ¹ Ư Üơ n (ξ) = (2π) (ϕf )∧ (ξ) ∨ n (ξ) = (2π) (ϕf )∨ (ξ) σ, ϕ = ϕ (0) Ò n Ø σ = (2π)− Ø Ú Ý n σ, ϕ = σ, ϕ = ϕ (0) = (2π)− ϕ (x) dx Rn n (2π)− ϕ (x) dx = Rn n = (2π)− , ϕ , ∀ϕ ∈ S (Rn ) n ËÙÝ Ö σ = (2π)− º Ã Ø ÐÙ Ị ÌƯĨỊ Đ ¸ ó õĨ Ị ị Ø Ị đĐ Ư Đ ề ề ì ề ỉ ẹ ề ề ìí ệ ề ễ ễ ì Ù Ø Ị Ỵ Ị Ơ ØƯĨỊ Ị Đ Ø Ơ Ø Ù¸ Ị Ị ØƯĨỊ ÌĨơỊ ơ Đ Ø × Đ Ị Ị Ý º Ì Ị Ø Ị ØƯ Ị D (Ω) Ị Ị ÕÙ ó Ú ÁÁ Ư Đ Ø × Ị Úđ Ø Ý Ị Ị Đ Ĩ Ø Ị Ú Đ Ị Ĩ Ø ÐÙ Ị đĐ Ị Ù Ù Ü Ø¸ Ư Ø ĐĨỊ õỊ Ø Ú Ø Øđ Ị Đ Ø Đ Ù đĐ ×ÙÝ Ư Ị Ø ÕÙịº ÌÙÝ Ị Ù Ø Úđ Ị Ø đÝ Đ Ø ÐÙ Ị ỊđÝ Đ Ị Ị đĐ Ø S ′ (Ω) Ị ØƯ Ị ÙỊ Úđ Đ Ù Úđ Ị Ĩ Ị Ị Ị Ø ÁÁÁº Ư ØƯĨỊ đÝ Ị Ø Ị Ị Ị Ù Đ Ø × S (Ω) Đ Ø Ị Ị Ù Ơ Ø Ư Đ Ị º ÌƯĨỊ Ị Ị ĨÙƯ ØƯ Ị Ú đĐ ×ÙÝ Ư Ị ó ÕÙ Ø Ị ĨÙƯ ÐÙ Ị ¸ ÕÙ Ị ØƯ Ị Ơ ÕÙ Ị ØƯ Ị Ø õỊ Ị Ị Ơ ó ơ Ĩ Ơ Ị Ị ÐÙ Ị ỊđÝ ¸ Ðđ Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ơ Ơ ØƯ đĐ ×ÙÝ Ư Ị Đ Úđ Đ Ø × ÐÙ Ị ỊđÝ Ú õ ¸ ØÙÝ Ị Ø Ị º è ề ỉ ể ề ề ì ểủề Ịº Ơ õĐ Ú Úđ Ø Ị Ø Ù × Øº ÅĨỊ ĨđỊ Ø Ị Ịº Ị ÕÙ Ị Ø õỊ¸ ú úỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ý Úđ Ị Ø đỊ ịĐ ¿ õỊ Ị Ị º Ị Ơ ØƯơỊ ÐÙ Ị Ú Ị Øđ Ð ỉ èủ é ỉ ề ẻ ẵ ặ í ề ẩ  í ẵ ặ ắ èủ ề é ệ ỉ ụể ỉệ ề ắàá è ề ắẳẳ àá ỉ ệ ề ũ ỉ đи õ Ë Ơ õĐ Àđ ℄ Ï ÐØ Ư ÊÙ Ð Ø ÙÝ Ø đĐ ×ÙÝ Ư Ị Úđ Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ị ×ØƯ ÙØ ĨỊ× Ị ầễ ệ ỉểệìá ắẳẳ àá ì ề ìì Ì ịĨ ¾º Ị ¿℄ Đ ËƠƯ Ị Ư Ë ề á ề ỉ ểề é ề éíì ìá è ề ẵ ắẵàá ỉ ệ ééá ề áặ è ểéểẹ ỉéí ể ì ề ặ ể èệ ắẳẳ àá ẻ ềìỉ ỉỉ Ù Ø ĨƯÝ Ĩ ÍỊ Ú Ư× ØÝ Ĩ Ị ệ éị ẹìỉ ệ ề ỉ ểềìá ẹè ặ ỉ ệạ é ề ì ẽ é ẽẽểề ìỉệ ỉ ểề è ểệí ẵ ề ệ é ị àá ẽ íé èệ ềì ểệẹìá ậễệ ề ề ỉ ểềìà ặểỉ ì ệạ ẻ ệé ặ ĨƯ ¸ ÁỊ º