Luận văn sư phạm Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ****o0o**** đinh th len ng d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích Khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành : Hình h c Ng ih ng d n khoa h c T.S nguy n n ng tâm Hà n i - 2008 -1- Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ****o0o**** đinh th len ng d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích Khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành : Hình h c Ng Hà n i – 2008 -2- ih ng d n khoa h c T.S Nguy n N ng Tâm L ic m n Khố lu n trình bày v vi c s d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích Ngồi vi c làm rõ tính u vi t c a phép bi n hình, khố lu n cịn c g ng khai thác, m r ng m t s toán hồn thành khố lu n em xin chân thành c m n th y cô giáo t Hình h c, đ c bi t em xin chân thành c m n th y Nguy n N ng Tâm t o u ki n, giúp đ em q trình nghiên c u Tuy có nhi u c g ng, song n ng l c b n thân cịn có h n c ng nh u ki n v tài li u th i gian cịn h n ch nên khố lu n ch c ch n cịn nhi u thi u sót Em r t mong nh n đ c s ch b o c a th y cô b n đ khố lu n c a em hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên inh Th Len -3- L i cam đoan Em xin cam đoan b n khoá lu n đ c hoàn thành s c g ng, n l c tìm hi u nghiên c u c a b n thân s giúp đ nhi t tình c a th y giáo t Hình h c, đ c bi t s giúp đ c a th y Nguy n N ng Tâm Các k t qu b n khố lu n khơng trùng v i k t qu c a tác gi khác k t qu chân th c Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên inh Th Len -4- M cl c N i dung Trang L ic m n L i cam đoan M đ u Ch ng H th ng ki n th c c b n 1.1 Phép bi n hình 1.2 M t ph ng đ nh h ng, góc đ nh h ng 1.3 Phép d i hình m t ph ng 1.4 M t s phép bi n hình đ c bi t 1.5 Bài tốn qu tích Ch ng ng d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích 2.1 Gi i tốn qu tích nh phép bi n hình 2.2 Phép đ i x ng tâm v i tốn qu tích 2.3 Phép đ i x ng tr c v i tốn qu tích 13 2.4 Phép t nh ti n v i toán qu tích 17 2.5 Phép quay v i tốn qu tích 23 2.6 Phép v t v i tốn qu tích 29 2.7 Phép đ ng d ng v i tốn qu tích 36 K t lu n 42 Bài t p luy n t p 43 Tài li u tham kh o 48 -5- M đ u Lý ch n đ tài Trong nhà tr ng ph thơng, hình h c m t mơn h c khó đ i v i h c sinh B i hình h c có tính ch t ch , tính logíc tính tr u t ng cao h n môn h c khác c a tốn h c Các phép bi n hình s c p m t ph n quan tr ng c a hình h c m t cơng c h u ích đ i v i tốn hình h c ph ng Tính u vi t c a phép bi n hình m t ph ng th hi n r t rõ ta v n d ng đ gi i quy t tốn v d ng hình, qu tích, ch ng minh tính tốn Tuy nhiên, vi c gi i tốn hình h c b ng phép bi n hình khơng ph i d dàng, th c t m t ph n khó đ i v i c giáo viên h c sinh Trong khn kh c a m t khố lu n t t nghi p, em ch trình bày nh ng ki n th c c b n v phép bi n hình ng d ng c a đ gi i tốn qu tích ó lý em ch n đ tài : “ ng d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích” M c đích nhi m v nghiên c u 2.1 Nghiên c u ki n th c c b n c a phép bi n hình vi c gi i tốn qu tích 2.2 Xây d ng h th ng ví d minh ho t p luy n t p th hi n ph ng pháp s d ng phép bi n hình vào gi i tốn qu tích it 3.1 ng, ph m vi nghiên c u it ng nghiên c u Ki n th c v phép bi n hình m t ph ng 3.2 Ph m vi nghiên c u -6- Các tốn qu tích m t ph ng gi i b ng phép bi n hình Ph ng pháp nghiên c u Nghiên c u SGK, sách tham kh o, tài li u có liên quan đ n n i dung -7- Ch ng : H th ng ki n th c c b n 1.1 Phép bi n hình 1.1.1 nh ngh a Phép bi n hình c a m t m t ph ng m t song ánh t m t ph ng vào 1.1.2 Phép bi n hình đ o ng c Cho phép bi n hình f : E2  E2 Khi ánh x ng c f-1 c a f c ng m t song ánh t E2 vào E2 nên c ng m t phép bi n hình c a m t ph ng Ta g i phép bi n hình phép bi n hình đ o ng c c a phép bi n hình f ( phép ngh ch đ o c a phép bi n hình f ) 1.1.3 Phép bi n hình tích Cho f g hai phép bi n hình c a m t ph ng, d th y ánh x tích f g m t song ánh c a m t ph ng vào m t ph ng nên tích c ng phép bi n hình c a m t ph ng Ta nói phép bi n hình phép bi n hình tích c a f g Kí hi u: g  f 1.1.4 Phép bi n hình đ i h p Cho phép bi n hình f : E2  E2 đ c g i phép bi n hình đ i h p n u f2 = id E2 hay f = f-1 1.1.5 Phép bi n hình m t đ i m t N u m t phép bi n hình f bi n m t hình H thành m t hình G th a mãn u ki n : t o nh f 1 ( M ) c a m i m M thu c hình G đ u ch g m có m t m M c a hình F ta g i phép bi n hình m t đ i m t Nh v y ng v i m i m M c a hình F ta có m t m M c a hình G ch m t mà ng c l i, ng v i m i m M c a hình G ta có m t m M c a hình F ch m t mà thơi -8- 1.1.6 Các ph n t b t bi n m t phép bi n hình Cho phép bi n hình f : E2  E2, v i m i m M  E2 mà f(M) =M m M đ c g i m b t đ ng (đi m kép) đ i v i phép bi n hình f Hình H đ c g i hình b t bi n đ i v i phép bi n hình f c a E2 n u f(H)=H Hình H đ c g i hình b t đ ng (c đ nh) đ i v i f c a E n u v i m i m M  H mà f(M)=M 1.2 M t ph ng đ nh h ng, góc đ nh h 1.2.1 M t ph ng đ nh h ng ng Xung quanh m i m m t m t ph ng có hai chi u quay: chi u quay theo chi u c a kim đ ng h chi u ng chi u quay chi u d ng chi u ng b o r ng m t ph ng đ c đ nh h Thông th h làm chi u d ng ng c l i g i chi u âm ta ng i ta ch n chi u quay ng c v i chi u c a kim đ ng ng 1.2.2 Góc đ nh h ng c a hai đ Trong m t ph ng P đ t i O Ng c l i N u ch n m t hai ng th ng c đ nh h i ta g i góc đ nh h th t góc mà đ trùng v i v trí c a đ ng, xét hai đ ng gi a hai đ ng th ng a b c t ng th ng a b l y theo ng th ng ph i quay theo m t chi u xác đ nh đ đ n ng th ng b Góc đ nh h ng kí hi u (a,b), a c nh đ u, b c nh cu i c a góc S đo c a góc d ng âm tu theo chi u quay c a a xung quanh O đ n trùng v i b theo chi u d ng hay âm c a m t ph ng Do n u (a,b)=  (b,a)=-  Góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng a,b xác đ nh sai khác m t góc k radian, (a,b)=  + k (  tính b ng radian) Kí hi u (a,b)=  ( mod  ) -9- 1.3 Phép d i hình m t ph ng 1.3.1 nh ngh a Phép bi n hình c a m t ph ng E2 b o t n kho ng cách gi a hai m tu ýđ c g i phép d i hình, ngh a v i m i M  E2 ; N  E2 có f(M) = M’, f(N)=N’ đ u có M’N’=MN 1.3.2 Tính ch t - Phép d i hình bi n ba m th ng hàng thành ba m th ng hàng không làm thay đ i th t c a ba m Phép d i hình bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng, bi n m t tia thành m t tia, bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng b ng Phép d i hình bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó, bi n m t góc thành m t góc b ng nó, bi n m t đ ng tròn thành m t đ ng tròn b ng nó, tâm bi n thành tâm - Phép d i hình f có ba m b t đ ng khơng th ng hàng f m t phép đ ng nh t 1.3.3 M t s phép d i hình c b n 1.3.3.1 Phép đ i x ng tâm a nh ngh a N’ M’ M O N - 10 - CS CN  SM BM (1) M t khác, ABM có BM // CN M N AC CN 2R R    AB BM 2R R T (1) (2) S (2) B C CS R   SM R O O A CS R  SM  CS R   R hay CS R  CM R   R  CS  R  CM R  R V y t p h p m S nh c a đ tâm C, t s v t k ng tròn tâm O qua phép v t R R  R Ví d Cho hai đ ng tròn đ ng tâm (O,R) (O,R’) (R’ < R), A m t m c đ nh thu c (O, R’) M m t m di đ ng (O, R’) K dây BC c a (O, R) , BC vng góc AM t i A c t (O,R’) t i D Tìm t p h p đ nh th t E c a hình ch nh t MABE L i gi i M E O J G O’ B D I - 41 - A C Vì AD  MA nên MD đ ng kính c a đ ng tròn (O,R’) Trong MAD, AO trung n, A O c đ nh nên tr ng tâm G c a MAD c đ nh G i I giao m c a MG AD I trung m c a AD Ta có OI  AD OI  BC Trong đ ng tròn (O,R), OI  BC I trung m c a BC MI trung n ng v i c nh BC c a MBC Do G tr ng tâm c a MBC G i J giao m c a CG MB J trung m c a MB J tâm c a hình ch nh t MABE   J nh c a C phép v t Ta có GJ   GC Khi M di đ ng đ V(G,  ) ng trịn (O,R’) C di đ ng đ (O,R), t p h p m J đ ng tròn (  ), nh c a đ ng tròn (O,R) qua (G,  ), (  ) có tâm O’, nh c a O qua phép v t   Ta có : GO   GO  1    GO   ( GA)  GA 2       OO  OG  GO  OG  OG  OG 2    OO   OA  OA phép v t O’ trung m c a OA - 42 - ng tròn V(G,  ) ng tròn (  ) có bán kính r    Ta l i có : AE  2AJ R E nh c a J phép v t V(A,2) tâm A, t s k = Do t p h p m E đ ng tròn (  ), nh c a đ ng tròn (  ) qua phép v t V(A,2)   O nh c a O qua phép v t V(A,2) Ta có AO  2AO (  ) có tâm O, bán kính r  2r  R Ta suy (  ) trùng v i đ ng tròn (O,R) V y t p h p m E đ ng tròn (O,R) 2.7 Phép đ ng d ng v i tốn qu tích 2.7.1 Ph ng pháp chung Ta th c hi n theo b c: B c : Tìm m t phép đ ng d ng bi n m E di đ ng thành m M B c : Tìm t p h p (H) m B c : K t lu n t p h p m M nh c a (H) phép đ ng E d ng 2.7.2 Ví d Ví d Cho m t m M chuy n đ ng m t n a vòng tròn đ ng kính AB D ng ngồi AMB m t hình vng MBCD Tìm qu tích m D L i gi i Ta có BMD vng cân, nên ta có : A” A’ BD ฀  450  , MBD BM D I M C A - 43 - O B   V y D nh c a M phép đ ng d ng Z  B, 2,   4  M t khác, M ch y n a đ n a đ ng trịn đ ng kính AB nên D ch y ng kính BA đ ng d ng v i n a đ ng tròn đ ng tròn cho ฀ '  450 ta d ng Cách d ng qu tích : Ta có BA  2BA , ABA đ c BA nh sau: ฀ G i I trung m c a cung AB K At ti p n c a n a đ ng tròn tâm O, đ ng kính AB, At c t BI t i A Khi BA đ ng kính c a n a đ ng trịn ph i tìm Nh n xét : Ta c ng tìm đ trịn đ đ c qu tích m C m M ch y n a đ ng kính AB n a đ ng trịn đ ng kính BA , nh c a đ ng ng trịn ng kính BA qua phép đ ng d ng Z(B, 1, -90o) Thay đ i m t ph n c a gi thi t ta c ng đ gi i t c tốn m i có cách ng t v i cách v i toán đ cho “ Trên đ ng tròn (O.R), cho m c đ nh A m t m di đ ng B D ng hình vng ABCD Tìm t p h p m C” D A O C B O’ A O” D O B - 44 - C Khi ta c ng tìm đ  qua phép đ ng d ng Z  A, (O, R) đ c qu tích m C B ch y đ    ng tròn O,R ho c O,R , nh c a đ 2,450       Z A, 2, 450 Ví d Cho m t hình vng ABCD M t đ ng th ng CD ng tròn (O,R) ho c Z A, 2, 450 v i O ' O nh c a O qua phép đ ng d ng Z A, 2,450 đ ng tròn  ng th ng  qua A c t ng th ng  qua A vng góc v i  c t đ E, th ng BC t i F Tìm t p h p trung m I c a đo n th ng EF L i gi i ฀ ฀  900  EAF Ta có DAB o Xét phép quay QA90 : AD  AB AE  AF Mà AD = AB nên ta có : AE = EF  AEF vuông cân  D  AI   EF AE  2 C E O AI  AE B A  AE AI  Ta có :  IAE ฀  450  I Suy xét phép đ ng d ng F Z(A, ,- 45o) : E  I - 45 -  ng M t khác, ta có E ch y đ đ ng th ng CD nên I ch y nh c a ng th ng CD qua phép đ ng d ng Z(A, ,- 45o) Suy t p h p trung m I c a đo n th ng EF nh c a đ CD qua phép đ ng d ng Z(A, ng th ng ,- 45o) Nh n xét : Khi E  D F  B I  O , O tâm hình vng ABCD Khi E  C I  B Do I ch y đ ng th ng OB V y t p h p trung m I c a đo n th ng EF đ Ví d Cho m t đ ng th ng BD ng th ng d m t m A c đ nh không thu c ฀  1v ) d V i m i m B  d , ta d ng m t tam giác vng cân ABC ( B Tìm t p h p m C B thay đ i L i gi i ฀ ฀  ACB  45o Tam giác ABC vng cân t i B nên ta có BAC Xét phép quay QA : B  B v i 45o A B  AC d o 45 B’ Khi ta có AB  AB mà AC = 2AB B m t đ đ Q 45o d B ng th ng d , nh c a ng th ng d phép quay 45o A C AC  2AB suy có phép v t VA : B  C Do t p h p , phép v t d A d VA : B  C , t p h p C m t đ d B’ 45o C ng th ng 45o - 46 - B d nh c a đ ng th ng d phép v t nói V y t p h p m C m t hai đ ng th ng, nh c a đ ng th ng d qua phép đ ng d ng Z(A, , 45o ) = VA QA45 o Nh n xét : Thay đ i m t ph n c a gi thi t k t lu n c a toán ta đ c m t toán m i có l i gi i t “ Cho m t đ ng t v i toán cho ng th ng d m t m A c đ nh không thu c d V i m i m B  d ta d ng m t tam giác đ u ABC Tìm t p h p tr ng tâm G c a tam giác B thay đ i d.” Ta c ng xét phép đ ng d ng A d (A, 3, 30 )  V(A, 3).Q(A, 30 ) bi n m B thành tr ng tâm G c a o o ABC Do đ thành đ C ng th ng d bi n G ng th ng d qua G V y d t p h p tr ng tâm G c a ABC m t hai đ đ B ng th ng, nh c a ng th ng d qua phép đ ng d ng nói Ví d Trong m t ph ng đ nh h ng,cho d m t đ ng th ng c đ nh O m t m c đ nh không thu c d, A m t m di đ ng d    D ng tam giác vuông cân OAA (t i A) cho ( OA,OA ) = a Tìm t p h p m A b G i G tr ng tâm c a  OAA Tìm t p h p m G L i gi i   a Ta có ( OA,OA ) = OA  OA nên xét phép  đ ng A’ d d d ng I H’ G A G0 - 47 O H d  Z( O, 2, ) : A  A V y t p h p m A nh c a A qua phép đ ng d ng nói M t khác t p h p m A ch y d nên t p h p m A ch y đ  ng th ng d , nh c a d qua phép đ ng d ng Z( O, 2, ) Cách d ng d : k OH vng góc v i d t i H D ng OH H đ ng ng th ng d vng góc v i OH t i H   i m G tr ng tâm c a  OAA nên ta có OG  OI , v i I d ng v i  OAA Khi đ b trung m c a AA   G i   (OA,OG) , ta có tan   khơng đ i Do góc  khơng đ i OI OG mà cos   M t khác    OA OA 3cos   tan  Do OG  OA Suy G nh c a A qua phép đ ng d ng Z(O, không đ i tho mãn tan   V y t p h p m G đ phép đ ng d ng Z(O, ,  ) v i  góc ng th ng d , nh c a đ ng th ng d qua ,  ) Cách d ng d : Tìm di m Go tr ng tâm c a  OHH d vng góc OGo t i Go - 48 - ng th ng K t lu n Phép bi n hình m t cơng c h u ích đ i v i tốn hình h c ph ng Khố lu n trình bày ng d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích Khoá lu n g m hai ph n: Ch ng H th ng ki n th c c b n Ch ng ng d ng phép bi n hình đ gi i tốn qu tích Trong trình nghiên c u em rút m t s k t lu n sau: Khi s d ng phép bi n hình vào gi i tốn qu tích cho ta l i gi i rõ ràng, ng n g n ti t ki m th i gian B t c l i gi i tốn qu tích c ng ph i có hai ph n b t bu c khơng th thi u đ c (thu n đ o) Tuy nhiên vi c ch ng minh hai ph n có th linh ho t theo nhi u ph ph ng pháp khác M t ng pháp s d ng phép bi n hình Khi s d ng phép bi n hình vào gi i tốn qu tích m t lúc c hai ph n đ u đ song tính ch t m t đ i m t c a phép bi n hình c ti n hành song ó u m đáng k c a phép bi n hình gi i tốn qu tích Do ki n th c h n ch v i v n kinh nghi m i c a b n thân, l i l n đ u tiên th c hi n m t đ tài nghiên c u khoa h c nên khoá lu n c a em không tránh kh i thi u sót h n ch Em r t mong nh n đ c s góp ý, ch b o c a th y t hình h c b n - 49 - Bài t p luy n t p Bài Cho hình bình hành ABCD m M, N, P, Q l n l t trung m c a c nh AB, CD, AD, BC Gi s O m c đ nh n m hình bình hành khơng thu c MN PQ Tìn t p h p m X Y thu c c nh c a hình bình hành cho O trung m c a đo n XY Bài Cho đ P thu c đ ng tròn (O) ba m A, B, C phân bi t V i m i m ng tròn ta xác đ nh P1 nh c a P phép đ i x ng ZA, P2 nh c a P1 phép đ i x ng ZB, P’ nh c a P2 phép đ i x ng ZC Tìm t p h p P’ P bi n thiên đ ng tròn (O) Bài Cho hai m c đ nh A B V i m i đ ng th ng x qua B ta d ng m A’ đ i x ng v i A qua x Tìm t p h p A’ x quay quanh B Bài Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có c nh BC