TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2 KHOA: TOAN
DANG THI THUY
UNG DUNG PHEP DONG DANG DE GIẢI BÀI TOAN QUY TICH TRONG
HINH HOC KHONG GIAN
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC Chuyén nganh: Hinh hoc
Trang 2TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2 KHOA: TOAN
DANG THI THUY
UNG DUNG PHEP DONG DANG DE GIAI BAI TOAN QUY TICH TRONG
HINH HOC KHONG GIAN
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC Chuyén nganh: Hinh hoc
Người hướng dẫn khoa học
Th.s NGUYEN VAN VAN
Trang 3LOI CAM ON
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn — người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Trang 4LOI CAM DOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn
Hà nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Trang 5MUC LUC
A-MO) DAU oosesssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssesssssssssssssssssssssssnessssssesssnessssesssees 1
B-NỘI DŨỮNG << 5< 5< TT 0000000050000 66 00 3 Chương 1: Cơ sở lý luậnn s 5 5- <5 5 5 E5 99 1 0908308595080 050 3
1.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian 2-27255+c+2s+<<cz 3
1.2 Phép biến hình afin - 25252 2x2 EEE211 112121 711111111121 21212 xe 4 1.3 Phép Gang 4a 5 1.4 Mét sé phép dang cur dc DISt ec eeececcessessessessessessessesessecsessessesessssesseeseeneees 6 1.5 Phép déng dang Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gÏa1n G52 G G5 99 9 9 9 9 0 0 009 609400 13 VN: an J0 13 2.2 Ứng dụng phép đồng dạng đề giải bài toán quỹ tích trong hình học KAONG GAN 13 2.3 Một SỐ ví dụ ccc HH HH Hư 14 2.4 Bài tập đề nghị 55-521 1221212212122121211212112121121211212112121212121 2 xe 31
KET LUAN ,ÔỎ 33
Trang 6A-MO DAU 1 Lý do chọn đề tài
Hình học có một vị trí rất quan trọng trong Toán học Nó là một môn học có tính hệ thống, chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác
của Toán học Do vậy, Hình học được coi là một môn học khó, đặc biệt là việc học hình học không gian cũng như học các phép biến hình trong không gian
Việc vận dụng các phép biến hình nói chung cũng như phép đồng dạng nói riêng đề giải quyết các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt là bài toán “qwÿ tích” giúp cho quá trình thực hiện trở nên đơn giản, dễ hiểu mà
không phải khi nào phương pháp thông thường cũng giải quyết được
Vì vậy từ niềm đam mê và cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian”
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này nhằm:
Củng có lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán
Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải một số bài toán quỹ
tích
3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng
Trang 74 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong không gian
Nghiên cứu về ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian
5 Phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lí luận, sách giáo khoa, sách giáo trình, sách tham khảo và một số
tài liệu liên quan
6 Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm: Chương I: Cơ sở lý luận
Trang 8B - NOI DUNG
Chuong 1:CO SO LY LUAN
1.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian 1.1.1 Định nghĩa
Giả sử T(T # Ø) là tập hợp mọi điểm trong không gian Một song ánh ƒ: T—>T được gọi là một phép biến hình của tập 7 fTOT Mt+->M' M' được gọi là ảnh của M và M được gọi là tao anh cua M’ qua phép biến hình ƒ Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất trên tập 7 là phép biến hình
1.1.2 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến hình
Định nghĩa: Giả sử ƒ và g là hai phép biến hình của tap T da cho, fi M L>M' và g: M'L>M'' Khi đó, tích của hai phép biến hình ƒ và g cũng
được gọi là phép biến hình Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích
của ƒ và ø, kí hiệu g s ƒ: MI_>M}'' hoặc gƒ): MI—> M``
Tóm lại tích của hai phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ
việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho
Cho n phép biến hình f;, ƒ„ ƒ; ƒ, với n>2 Tích của n phép biến hình
đã cho là một phép biến hình # được thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác
định và được kí hiệu là #= ƒ; 9 ƒ;; ° ƒ„; 9 o ƒ 9 ƒ¡ Trong đó ta thực hiện ƒ;
trước, rồi tiếp đến là ƒ, ƒ» ƒ„
1.1.3 Phép biến hình đảo ngược
Định nghĩa: Cho phép biến hình ƒ: ME > M'” Nếu tồn tại một phép biến
hình g:M '> M thì ta nói ø là phép biến hình đảo ngược của ƒ
Trang 9Định nghĩa: Phép biến hình ƒ của tập 7 được gọi là phép biến hình đối
hợp nếu ƒ= 1đ, khi đó ta có ƒ và phép biến hình nghịch đảo của ƒlà ƒ ` trùng nhau
Định nghĩa: Phép biễn hình ƒ của tập 7 biến mọi điểm M trong không gian thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất
1.1.5 Điểm bất động (điểm kép), hình bắt động, hình kép
Định nghĩa: Cho phép biến hình ƒ của tập 7 Điểm M của tập 7 được gọi
là điểm bắt động (điểm kép) của phép biến hình ƒ nếu ƒM) = M
Định nghĩa: Cho phép biến hình ƒ của tập 7 Hình H bộ phận của tập 7
được gọi là hình kép của phép biến hình ƒ nếu f(H) = H
Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình ƒ nếu ta có mọi
điểm của H bắt động đối voi f
1.1.6 Hai hình trùng nhau
Ta nói hai hình không gian (F,) và (F;) trùng nhau nếu mọi điểm của
hình này đều thuộc hình kia và ngược lại Hai hình trùng nhau được kí hiệu
là (F¡) = (F;) Nếu mọi điểm của (F;) đều thuộc (F;) thì ta nói (F;) là hình
con cua (F>)
1.2 Phép bién hinh Afin
1.2.1 Dinh nghia:
Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thắng được gọi là phép
biến hình afin hay gọi tắt là phép afin 1.2.2 Định lí:
Định lí I.I: Một phép biến hình ƒ của không gian được gọi là một phép
afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thắng hàng thành 3 điểm thắng hàng và
biến 3 điểm không thắng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng
Trang 10Tinh chat 1: Phép afin bién mat phang thanh mat phang
Tính chất 2: Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng Tính chất 3: Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thắng định hướng
Tính chất 4: Phép afin biến véc tơ tổng thành tổng các véc tơ tương ứng
Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng 1.2.4 Định lí về sự xác định phép afin
Định lí 1.2: Trong không gian cho hai tứ dién ABCD va A’B’C’D’ khi đó
tồn tại duy nhất một phép afin bién A, B, C, D 1an luot thanh A’, B’, C’, D’
1.2.5 Hai tứ diện cùng chiều, ngược chiêu
Định nghĩa: Trong không gian hai tứ diện ABCD và A'BˆC}*D' được gọi là cùng chiều (ngược chiều) nếu hai góc tam diện A.BCD và A’.B’C’D’ cing hướng (ngược hướng)
1.2.6 Phân loại phép aƒïn
Định nghĩa: Phép afin trong không gian được gọi là phép afin loại I nếu
hai tứ diện xác định nó là cùng chiều Ngược lại ta gọi là phép afin loại 2 1.3 Phép đẳng cự 1.3.1 Định nghĩa : Phép biến hình trong không gian bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm được gọi là phép đẳng cự 1.3.2 Tính chất:
Tinh chat 1: Phép đẳng cự là phép afin
Trang 11Định lí 1.3: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' bằng
nhau, khi đó tồn tại duy nhất một phép đẳng cự biến A, 8, C, D lần lượt thành
A’, B’,C’, D’
1.3.4 Phân loại phép đẳng cự
Định nghĩa: Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1 Ngược lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu
1.3.5 Định lí I.5:
Tích hai phép dời hình là phép dời hình
Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình
Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép
phản chiếu Phép đảo ngược của dời hình ( phản chiếu ) là phép đời hình (
phản chiếu )
1.3.6 Hai hình bằng nhau, hai hình đối xứng
Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình
bằng nhau Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối xứng
1.4 Một số phép đẳng cự đặc biệt
1.4.1 Phép tịnh tiến
a) Định nghĩa: Trong không gian cho véc tơ via một véc tơ hằng (tức là
véc tơ có hướng, phương, modun không đổi) Phép biến hình trong không
gian biến điểm # thành điểm M’ sao cho MM'=y được gọi là phép tịnh tién theo véc tơ v va ki hiệu T :ME>M"',v được gọi là véc tơ tịnh tiến
b) Tính chất:
Tinh chat 1: Phép tịnh tiến 7 là một phép dời hình bảo tồn phương
Trang 12Tính chất 2: Phép tịnh tiến 7 không có điểm bất động và có biến đổi
ngược Nếu v=0 thi phép tinh tién T là một phép đồng nhất Tính chất 3: Nếu A”, 8' là ảnh của A, 8 qua 7; thì AB= A''
Tính chất 4: Phép tịnh tiến T biến 4 điểm nằm trong một mặt phẳng thành 4 điểm nằm trong mặt phẳng
1.4.2 Phép đối xứng qua tâm
4) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một điểm O Phép biến hình
trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM '= -OM được gọi
là phép đối xứng qua tâm Ó và kí hiệu Đạ: M L> M', O được gọi là tâm đối
xứng
b) Tính chất:
Tính chất 1: Phép đối xứng Đọ là phép phản chiếu, là phép đối hợp và có
Ó là điểm bắt động duy nhất
Tinh chat 2: Néu A’, B’ la anh cua A, B qua Dg thi A'B'=—AB
Tính chất 3: Phép đối xứng Đọ biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng
1.4.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng
a) Dinh nghĩa: Trong không gian cho trước một đường thẳng (4) Phép
biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm 3° sao cho (4) là đường
trung trực của đoạn Ä⁄M' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng và kí
Trang 13Tính chất 3: Phép đối xứng Dia) biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng
1.4.4 Phép đối xứng qua mặt phẳng
a) Định nghĩa: Cho trước một mặt phẳng (œ) Phép biến hình trong không gian biến điểm # thành điểm 4 sao cho (œ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM”' được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng và kí hiệu Dia):
M +> M', mat phang (a) dugc goi la mat phang déi xứng
b) Tinh chất:
Tinh chat 1: Phép đối xing Dcqy 1a phép phản chiếu, là phép đối hợp và
mặt phẳng (ø) bất động duy nhất
Tinh chat 2: Néu A’, B' là ảnh của A, B qua D(a) thi A’B’=AB
Tính chất 3: Phép đối xứng Da) biến bốn điểm cùng nằm trong một
phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng 1.4.5 Phép quay quanh một trục trong không gian
a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thắng (đ) và góc phẳng
định hướng Ø Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’
sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
i) Cac diém M va M’ cing nằm trong mặt phẳng (œ) vuông góc với
đường thắng (4) tại điểm O I)OM = OM'
iii)Nếu chiều dương của mặt phẳng (z) là chiều quay của vặn nút chai
tiến theo chiều dương của trục (đ) thì (OM ',OM) =Ọ
Thì gọi là phép quay trong không gian quanh trục (đ), góc quay Ø
Kíhiệu: Q(/,Ø)hoặc Q7: M L->M'
Trang 14Tinh chat 1: Phép quay Q’ la phép doi hinh va truc quay (d) 1a đường thắng bắt động của phép quay
Nếu gy =180° thi phép quay 1a phép đối xứng qua (4)
Tính chất 2: Phép quay quanh (d) là phép đối hợp khi và chỉ khi
@=k.1800
Tinh chat 3: Néu A’, 8' là ảnh của A, B trong Q? thi A’B’=AB
Tính chất 4: Phép quay quanh (d) bién bén diém cing nằm trong một
phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng
1.5 Phép đồng dạng
1.5.1 Phép đồng dạng
a) Định nghĩa: Phép biển hình trong không gian biến cặp điểm M, N
thành cặp điểm M', N' tương ứng sao cho M°N' = k.MN (k là một hằng số
dương cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k va ki hiéu Z,, k 1a tỉ số đồng dạng b)Tinh chat: - Phép đồng dạng Z,, 1a phép afin - Phép đồng dạng 2 biến mặt cầu thành mặt cầu e)Định lí xác định phép đồng dạng Định lí I.5: Nếu trong không gian cho hai hệ bốn điểm đồng phẳng AB _BC_CD_DA' AB = BC = CD =———=k (k > 0) thì tồn tai DA
ABCD, A’B’C’D’ sao cho
duy nhất phép đồng dạng biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm
A’, B’,C’, D’
Chứng minh:
Trang 1510
A'B, =AB,A'C, = AC,A'D, = AD,BC, = BC, B,D, = BD,C,D, = CD Suy ra
tứ diện ABCD bang ti dién A'B,C,D
Từ đó theo định lý về sự xác định phép dời hình, tồn tại duy nhất phép dời
g, sao cho ø: AL> A',g:BL> B.,g:Cr>C,g:Dr> D,
Thực hiện tiếp phép vị tự tâm A' tỉ số k, sao cho Vi :A'>A,, Vi :B.> B,
V_:C bC)Vý.:D.E>D', Từ đó VỆ g=Z,, Z74,:AL>A,Z,:BL>B,
Z,:CE>C!,Z,:DE> D' Do phép dời hình là duy nhất, nên phép đồng dạng
là duy nhất
d)Định nghĩa hai hình đồng dạng
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một phép đồng dạng biến một trong hai hình thành hình còn lại
e)Phân loại
Phép đồng dạng Z,ñược gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó là phép afin loại I hay loại 2
1.5.2 Phép vị tự
a) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và số thực k#0 Phép
Trang 1611
Định nghĩa 1: Trong không gian cho trước một đường thẳng (đ) và một số k>0 Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M' sao cho IM'= kIM, trong đó ' là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (4) được gọi là phép co — dãn về (4) Kí hiệu C(,k):M > M"'
Định nghĩa 2: Cho trước một mặt phẳng (#) và một số & >0 Phép biến
hình trong không gian biến điểm A⁄ thành điểm A⁄' sao cho HM '=kHM, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (Ø) được gọi là phép co —
dãn về (œ) Kí hiệu C(,k): M E> M"
Néu k >1 thi C(a,k), C(d,k) 1a mot phép dan Nếu k <1 thi C(a,k), C(d,k) 1a mét phép co
Néu k =1 thi C(a,k), C(d,k) 1a mot phép déng nhat
Dinh ly I.6: Trong không gian cho hai đường thang (d), (d’) va một số k>0 Khi đó, tích của hai phép co - din C(d,k)va C(d',k) véi hai truc (d), (đ') vuông góc với nhau và cắt nhau tại Ø là một phép vi tu tam O, ti 86 k
Chung minh:
Ta chọn hệ trục toa d6 Oxy ma đường thắng (4), (đ') là các trục tọa độ
Với mỗi điểm M(x, y), C(d,k) bién M thanh M,(x,ky), C(d',k) bién M, thanh M,(kx,ky)
Vậy tích của hai phép co — dãn đó bién diém M thanh Ä⁄„ thỏa mãn điều
kiện OM, =kOM
Định lý 1.7: Cho ba mặt phẳng (Pđ).CP).(P) đơi một vng góc với
nhau và một số & >0 Khi đó, tích của ba phép co - dan C(F,k),C(P,,k),
C(P,,k) là một phép vị tự
Chứng mình: tương tự định lý 1.6, bạn đọc tự chứng minh
Trang 1712
eDinh li 1.7:
Trong không gian tích của một phép dời hình và một phép vị tự tý số hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng theo tỷ số & Phép đồng dạng là thuận hay nghịch tùy thuộc theo k âm hay dương
Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong không gian luôn có thế
được phân tích thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự hoặc theo thứ tự ngược lại mà tâm vị tự là tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc —k tùy theo phép
đồng dạng là thuận hay nghịch
Chú ý: k>0 thì Z, thuận k<0 thìZ, nghịch eDinh ly 1.8:
Trong không gian một phép đồng dạng Z,bao giờ cũng có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của một phép vị tự và một phép quay quanh trục
với tỷ số vị tự là k hoặc —& tùy theo Z, là phép đồng dạng thuận hay nghịch
® Định lí I.9:
Một phép đồng dạng khác đẳng cự trong không gian nếu không là phép vị tự thì có thể biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép
Trang 18Chuong 2: UNG DUNG PHEP DONG DANG DE GIAI BAI TOAN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1 Bài toán quỹ tích 2.1.1 Định nghĩa quỹ tích
Một hình (H) được gọi là quỹ tích của các điểm # có tính chất 7 (hay
tập hợp các điểm M có tính chất 7) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính
chất 7
2.1.2 Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất 7 là
một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
a)Phẩần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình (H)
b)Phẩần đảo:Mọi điểm thuộc hình (H) (hoặc hình (H')) đều có tính chất Giới hạn quỹ tích (nếu có)
Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những
điểm M thỏa mãn tính chất 7 là hình (H)
2.2 Ứng dụng phép đồng dạng để giái bài toán quỹ tích trong hình học không gian
Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích là dựa vào các tính chất cơ bản, các dạng chính tắc của phép đồng dạng để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, yếu tổ không đôi với điều kiện cần tìm của quỹ tích
Phương pháp chung: Đề tìm quỹ tích của điểm M”, ta sử dụng phép đồng
dạng thích hợp Z, :Ä⁄ E›> M', mà điểm M⁄ thuộc hình (H) đã biết trước nên
Trang 192-14
Do phép đồng dạng là một phép biến hình nên khi giải bài toán quỹ tích, phần mà sử dụng phép đồng dạng ta không cần phải chứng minh phần đảo của
no
2.3 Một số ví dụ
Ví dụ I1: Cho hai đường thẳng (d) va (d’) chéo nhau và vuông
góc với nhau Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiễu B của
A trên (d') và điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng (œ) vuông góc với (d°) Tìm quỹ tích điểm C khi A
thay đổi trên (d) _ Lời giải (4) Do (đ).L (đ) = tổn tại duy nhất mặt phẳng (2) chứa (d) và vuông góc với (đ°) Ae(d Ta có: | <( ) (d')L(@)
= hình chiếu B của A lên (đ”) là giao điểm của (đ') và (a)
Trang 2015
Ta có 8C = A2BA (do AABC vuông cân tại A)
Trên BA lấy B' sao cho BB'=\V2BA Mat khac, B cé dinh nén Vj?:Ar>B' — @) B’ va C déu thuéc (a), (d') L(@) Do 18B'= BC BB',BC) =45" hoặc (BB',BC) =-45" Nên ta có: :B'E>C — (2) Hoặc: Q”:B'L»C Từ (1) và (2) suy ra :
Z„;=02.VJ”:AL>C hoặc Z„ =Q7) V„":Ar»C
Mà Ae(đ) đo đó quỹ tích diém C là một trong hai đường thắng
(4'') là ảnh của (đ) qua phép đồng dạng thuận ^p-
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng (đ) (d,) và một đường tròn (0) Trên (d) ta lấy điểm A Hãy tìm quỹ tích điểm B trên (đ,) và C trên (O) sao cho tam giác 41BC vuông cân tại B và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (d,)
Trang 2116 *)Ous tich diém C Ae(d,) Do 4(d,) L(@)=> {A} =(4)(ø) Aec(ø) (đ,),(z) cố định=A có định
Ta có AABC vuông cân tại P> AC = J2AB Trén AB lay B’ sao cho AB'=A2AB Vậy VỊ”:BL>B' (1) AB'= AC Vi (AB',AC) =45° hoac (AB', AC) =-45° B vàC thuộc (#).(#) 1 (d,) =0Ÿ):B''>C (2) hoặc Q7) :B'+C
Từ (1) và (2) > Z 5 =O8 V}”:Bi»C hoặc Z; =0) V}”:BE>C
Mà Be (đở,) nên C thuộc một trong hai đường thắng (đ') là ảnh của (đ,) qua phép đồng dạng thuận Z 55
Mat khéc, C €(O) Do đó quỹ tích điểm € là giao diém cua (O) va mot
trong hai đường thẳng (đ') Như vậy, bài toán chỉ có nghiém khi (d’) va
đường tròn (Ó) có điểm chung
*) Quỹ tích điểm B
Để tìm quỹ tích điểm Z ta cần tiến hành làm ngược lại quá trình tìm C
Ban doc tự giải
Ví dụ 3: Cho hai đường thắng (d) và (4°) chéo nhau và vuông
góc với nhau Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiễu B của
Trang 2217
trong mat phang (a) vuông góc với (d°) Tìm quỹ tích trung điểm của các cạnh của tam giác ABC khi A thay đổi _ Lời giải” O Gọi 7, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA *) Quỹ tích điểm I Vì ï là trung điểm của AB> BI=— BA Mà 8 cố định nên ta có: VZ:AKI
Mặt khác, A thuộc (4), do đó quỹ tích điểm 7 là đường thang (a)
song song với (4)
*) Quỹ tích điểm J
Ta có: 8C =A2BA (do AABC vuông cân tại A)
v2
Vi J la trung diém cua “eee BA lay A, sao cho
Trang 2318 BJ = BA, bo + (BJ,B4)=45" hoặc (BJ,BA.)=-45" B va J thudc (@),(a) 1 (d') Vay: 08): AWS (2) hoic OF :A tJ v2 2 Từ (1) và (2) >Z 5 =O8,V,? : AL>J hoặc Z 5 = Ol Vp W,? :Atr>J 2 2
Mà A thuộc (đ), do đó quỹ tích điểm 7 là một trong hai đường thang (b) la anh của (4) qua phép đồng dạng thuận Z 5 2 *) Quỹ tích điểm K > ABP v5 4
Xét AAKB vuông tai A c6: BK=V AB’ + AK’ =,| AB? + “> AB
Trén BA lay M sao cho BM= s BẨ Vì B cố định nên Se V,: A> M (3) Ta có: AAKB vuông tại A, gọi B=ABK= (BA, BR) (B khong déi) AK 1 1 => tan B= nh B=arcig= BK = BM Do j (BK,BM)= Ø hoặc (BK,BM)=~/ K và M thuộc (z),(Z) L (đ') Vay OF, :MHK (4) hoặc @,/:M>K V5 =Q/V,° : AL>K hoặc 2z š š 8 yo AWK Tir (3) va (4) SZ, i
Mà A thuộc (đ), do đó quỹ tích điểm K là một trong hai đường thẳng (c) là ảnh của (4) qua phép đồng dạng thuận Lys
Trang 2419
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD co day la hinh vuông ABCD và cạnh bên SA vuông góc với (ABCD) M là một điểm thuộc đường tròn (O;R) nội tiếp ASBC Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (œ) qua M và
vuông góc voi BC, M’N la giao diém cia (ABCD) va (a) sao cho
AMNM' cân tại N Tìm quỹ tích trung diém AM’ khi M di động trên
đường tròn nội tiếp ASBC
_ Lời giải
AB BC (do ABCD là hình vuông)
SAL BC (do SAL (ABCD)) SA, AB cat nhau tai A
Ta có:
=> BC 1L (SAB)
Mặt khác, BC L (4) => BC LMN
Trang 2520
Vi AB LBC (do ABCD 1a hinh vuéng) va BC L M’N (do BC L (a)) > M’N // AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(NM, NM`) = (BS, BA) =À^ — (2 không đổi)
Mà ANMM' cân tại N NM=NM'
Mat khac, M và Ä⁄' thuộc mặt phẳng (œ) L BC
Do đó, ta có: Ø,:ME>M`' (3) hoặc Øc:ME>M' — Gọi 7 là trung điểm của AM" = ÄÏ=;.AMẺ Mặt khác A cố định nên ta có: 1 Vệ: M'>1.(4) Từ (3) và (4) ©Z¡ =V¿.Ø/;c,:M L> Ï hoặc SZ, =Vi Oyo) :MBI (BC) 2 2
Mà M thuộc đường tròn (Ø;), do đó quỹ tích trung điểm J của AM' thuộc đường tròn () là ảnh của đường tròn (Ó;#) qua phép đồng dạng Z, Với O' là ảnh của Ó qua phép đồng dạng thuận Z,
2 2
Vi du 5: cho hinh chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và
cạnh bên SA L(ABCD) Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (O;R) nội tiếp
A,SBC,ta xác định M, là hình chiếu của M trên (ABCD) và M, là hình chiếu của M, trên (SCD) Tim quỹ tích điểm M, khi M biến thiên trên
Trang 2722
=> AONJ = AO’NI (g.c.g) > ON] = O'NJ=>ONM = O'NM', ON =0’N Xét AONM va AO’NM’ cé: ONM = O'NM' va ON =O’N (chitng minh
trên), NM’ = NM (theo cach dung) > AONM = AO’NM’ (c.g.c)
=> OM’ = OM = R Vay M’ thudc duong tròn (O’;R) (*)
*) Ta có: MN LBC, MM, LBC (do M, là hình chiếu của M trên (ABCD)) => BC L(NMM,)
Ma (a) | BC, do dé (@) =(NMM,)
Mat khéc, (ABCD) 0 (NMM,) = NM, va (ABCD) O(a) = NM'
Vay NM'=NM,>N,M’, M, thang hang => M'N 1 BC,NM, =k,NM' , NM Khi đó, ta có phép co với trục BC, hệ số k,=———, NM' C(ĐC,k,):M '_>M, (1) NM Xét ANMM, vuéng tai M, > cosd =— =k, NM
*) Trong (ABCD) từ M, ké IM, 1 DC tail
Trén JM, lay M,' nam cing phia véi M, sao cho IM, '=k IM,
Khi đó, ta có phép co với trục CD, hệ số kị, C(CD,k,):M.tE>M,` (2)
Trang 2823
Ve =C(CD,k,).C(BC,k,):M'1 M,' voi k,=cosa (**) AD | DC (do ABCD là hình vuông)
SAL DC (do SAL (ABCD))
SA, AD cắt nhau tại A =>DC L(SAD) >DC LSD Mat khac, M, lahinh chiếu của M, trên (SCD) > M,M, L(SCP) *) Ta có: >M,M, LDC, mà IM, L DC, do đó DC L(M,M,1) >IM, L DC Vay SD//IM, (3) Vi AD LDC (do ABCD 1a hinh vuéng) va IM, L DC >M’N // AB (4)
Từ (3) và (4) = (DA, DS) = UM, IM ,) = IM,',IM,) = 2 =(BS, BA) (5) (do ASAD = ASAB ) Xét AIM,M, vuong tail >tgd= MM, => IM,= MM, IM , tga vay Me MM, tN MM, tin =I 1M, tgA cosAJM, sind IM, — sind => IM, = IM, ' (6) Từ (5), (6) và DC.L(M,M,1) ta có: O2,:M,'>M, (***) hoặc Q-2:M,'E> M, Kết hợp (**) và (***) ta được:
Zoca = Qep VE" :M'B M, hoic Z,,., =O, VO" :M'b M,
Trang 2924
Lấy diém M’ bat ky thuéc (O’;R)
Dựng mặt phẳng (2) qua M’ va vuéng góc với 8C Gọi M'N =(œ)m (ABCD) Dựng ANMM' cân tại N sao cho MN =(#)(SBC)
Dựng mặt phang (8) qua O' và vuông góc với BC Goi O’J = (B)A
(ABCD) Dung AJOO’ can tai J sao cho OJ = (8B) A(SBC)
Chứng minh tương tự phần thuận ta cũng được: OM = OM' = R Vậy M
thuộc đường tròn (O;#)
Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm M, là một trong hai đường tròn cos R x G } với O’’ 14 anh cua O’ qua phép đông dạng thuận Z cos
Vi du 6: Cho hai dwong thang (d) va (d’) chéo nhau Trén (d’)
lấy hai điểm A, B và trên (d) lấy C réi dwng hinh binh hanh ABCD
Tìm quỹ tích trung điểm I của 4D khi C chạy trên (4) _ Lời giải
9)
(4)
Trang 3025
Do A, B cé dinh nên BA=const Vậy ta có: TZ :CE> D (1) Gọi 7 là trung điểm của AD => Ai => AD 1 MAt khac, A cé dinh nén ta c6: V2:DHI (2) 1 Từ (7) và (2) suy ra: Z¡ =VệT:C> 1 2
Mà C thuộc đường thẳng (đ) Do đó, quỹ tích trung điểm 7 của AD
khi € chạy trên (đ) thuộc đường thắng (d’’) song song vdi (4)
Vi du 7: Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (a) chứa đường tròn tại A Gọi BC là một dây cung của đường tròn, vuông góc với QA va M là một điểm trên (4d)
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G cia AMBC khi BC cé định, M di động trên (d)
b) Khi BC di động, M cỗ định trên (d) Tìm quỹ tích J thuộc mặt phẳng (MAO) sao cho tứ giác AGJO là hình bình
hành
_ Lời giải
(4)
Trang 3126
a) Goil la giao điểm của BC va AO
=> I là trung điểm của BC Do G la trong tam cua AMBC
= iG-!m™
3
1
Ma BC cé dinh nén Icé dinh Do đó, ta có: V3 :MWHG
Vi M thu6éc (đ) nên quỹ tích trọng tâm G thuộc đường thang (d’) la anh
I
cua (d) qua phép vị tự V3
b) G là trọng tâm của AMBC => MG ==MI
wiry
MAt khac, M cé dinh Do do, tacéd: Vj}:ÏE>G (1)
Vi tu giac AGJO 1a hinh binh hanh nén GJ =AO
Mà ta lại có: OA=R=const, do đó Tz:0> J (2)
2
Từ (1) và (2) suy ra: — Z,=T,„Wjÿ:IE>J
3
Mà7 thuộc đoạn thang OA, nén J thuéc đoạn thang la anh cua doan
Trang 3227 - Khi I=A—7 là ảnh A, của A qua phép đồng dang Z, 3 2 Z,=TVi 2A A (4) 3 Từ (3) và (4) suy ra quỹ tích điểm J chính là đoạn OA, voi 0,A, =20A 3
Vi dụ8: Cho mặt cầu S(O;R), trên mặt cầu lấy hai điểm B, C cé
định và điểm A di động trên mặt cầu G là trọng tâm của tam giác
Trang 3328 Do d6: V3: AKG (1) Ta có: GBCF' là hình bình hành (theo cách dựng) =GF =BC Mà B, C cé dinh nén BC=const Vay T;.:0E> F (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2¡ =Tạ.V:A> F 3 Mà A thuộc mặt cầu S(Ø;R), do đó quỹ tích điểm Ƒ thuộc R s(ø5] Với O' là ảnh của Ø qua phép đồng đạng thuận Z,- 3
Ví dụ 9: Cho mặt cầu S(O;R),trên mặt cầu lấy hai điểm A, B cỗ
định và M di động trên mặt cầu Gọi N là trung điểm cia AM va dung
hình bình hành ABPN Tìm quỹ tích điểm P khi M thay đổi trên mặt cầu
Trang 3429 Taco: N la trung điểm của AM > AN =, 4M 1 Mà A cố định nên ƒ?:Mtr>N — () Vì ABPN là hình bình hành (theo cách dựng) => AB = NP Mặt khác, AB=cons/ nên T.„:N>P_ (2) 1 Tir (1) va (2) > Z, =T,.V2:M 1 P 2 ` ˆ ¬ :Ä ˆ {7k bs >
Ma M thuéc S(O;R), do do quy tich diém P thudc § (ø 2] Voi O là ảnh của Ó qua phép đồng dạng thuận Z,-
2
Ví dụ 10: Cho mặt cầu S(O;R), một đường thẳng (d) và điểm P cố
định Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu S(O;R) ta xác định điểm N dối
xứng với IM qua (d) Gọi I là trung điểm PN Tìm tập hợp điểm I khi
Trang 35Vi N déi xitng voi M qua (d)
= ộÑ là ảnh của M qua phép đối xứng qua (đ) Đ„ạ:MLE>N (d)° (1) Ta có: 7 là trung điểm cia PN => PI = 5 PN 1 Mặt khác, P cố định.Do đó: V¿:WMt>Ï (2) 1 Tw (1) va (2) suy ra: Z, =VỆ.Đựy: MtE>ÏI 2 Vậy I là ảnh của M qua phép đồng dạng Z, 2
Ma M thudc mat cau S(O;R), do đó tap hop điểm 7 thuộc mặt cầu s(ø) khi M thay đổi trên mặt cầu S(O;R) Voi O’ 1a anh của O qua phép đồng dạng thuận Z,
2
Ví dụ II: Cho mặt cầu S(O;R) và tam giác ABC với A, B, C cố định thuộc S(O;R) Với M bất kỳ thuộc S(O;R) ta xác định điểm Mì
sao cho AM'=2AM và v=2AM +AM` có giá vuông góc với mặt phẳng
(ABC) Tìm quỹ tích điểm IM° khi M thay đổi trên S(O;R)
Trang 36
Goi M, là trung điểm cia AM’ va N la trung diém cia MM, thi ta
c6: v=2AM +AM'=2AM +2AM,=4AN
Từ giả thiết giá của vecto v vuông góc với (ABC) suy ra N nam trên một đường thăng (4) đi qua A và vuông góc với (ABC)
Do A, B, C cố định nên (d) cố định
Ngoài ra vì AM, =2.AM'=2.2.AM =AM nên AAMM, cân tại A
Do đó M, đối xứng với M qua (4) Diy: MBM, (1)
Mặt khác Ä⁄, là trung điểm của AM'—= AM '=2AM,
Trang 3732
Tw (1) va (2) suy ra: Z,=V,.D iy: MBM!
Vì M thuéc S(O;R), do dé M’ thuéc mặt cầu S(O’;2R) voi O’ 1a ảnh của Ø qua phép đồng dạng thuận Z,
2.4.Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho mat cầu S(O;R), trén mặt cầu lay hai diém B, C cé dinh va diém A di động trên mặt cau, G la trọng tâm của tam giác ABC, I là
trung điểm của BC Tìm quỹ tích điểm H đối xứng với G qua J
Bài 2: Cho hình chóp $.ABC Trên đáy ABC lẫy điểm M Các
đường thắng đi qua M song song véi SA, SB, SC cat mặt phẳng (SBC) tai A’, (SCA) tai B’ va (SAB) tai C’ Goi M’ la giao điểm của SM và mặt
phẳng (A'B'C') Tìm quỹ tích điểm M”, khi # thuộc miền trong tam giác ABC
Bài 3: Cho 3 tia Óx, Øy, Óz đôi một vuông góc; A, B, C la ba điểm lần lượt trên Ox, Oy, Oz, G la trong tam cua tam giac ABC Gia su A, B
cố định, C di déng trén Oz Tim quy tich chan cac dwong trung tuyén vẽ từ A và của tam giác ABC Từ đó suy ra quỹ tich trong tam G cua tam giác ABC
Bài 4: Cho mặt cầu S(O;R), mot mat phẳng (a) va điểm P cố định
Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu $(O;Ñ) ta xác định điểm N đối xứng với
M qua (a) Goi / 1a trung diém PN Tìm tập hợp điểm ! khi M thay đổi
trên mặt cầu
Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD, M là một điểm chuyên động trong miền
tam giác ABC Gọi A', B', C' là hình chiếu của M lần lượt trên mặt 8CD,
Trang 3833
KET LUAN
Phần nội dung chính của khóa luận này là làm rõ ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian Sau quá trình
nghiên cứu, tôi đã tìm hiểu thêm được nhiều kiến thức mới, đúc rút cho mình được một số vấn đề về đề tài đã nghiên cứu
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên để tài không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy cô và bạn đọc, để công tác nghiên cứu khoa học sau này của tôi
được hoàn thiện hơn