ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

Việc vận dụng các phép biến hình nói chung cũng như phép đồng dạng nói riêng để giải quyết các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt là bài toán “qu ỹ tích” giúp cho quá trình thự

**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG

KHOA: TOÁN

**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Th.s Nguyễn

Văn Vạn – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành

Tôi xin cam đoan khóa luận này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo

Th.s Nguy ễn Văn Vạn

Hà nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên th ực hiện

Đặng Thị Thùy

B-N ỘI DUNG 3

Chương 1: Cơ sở lý luận 3

1.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian 3

1.2 Phép biến hình afin 4

1.3 Phép đẳng cự 5

1.4 Một số phép đẳng cự đặc biệt 6

1.5 Phép đồng dạng 9

Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình h ọc không gian 13

2.1 Bài toán quỹ tích 13

2.2 Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian 13

2.3 Một số ví dụ 14

2.4 Bài tập đề nghị 31

K ẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

A – M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học có một vị trí rất quan trọng trong Toán học Nó là một môn học

có tính hệ thống, chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác

của Toán học Do vậy, Hình học được coi là một môn học khó, đặc biệt là

việc học hình học không gian cũng như học các phép biến hình trong không gian

Việc vận dụng các phép biến hình nói chung cũng như phép đồng dạng nói riêng để giải quyết các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt là bài

toán “qu ỹ tích” giúp cho quá trình thực hiện trở nên đơn giản, dễ hiểu mà

không phải khi nào phương pháp thông thường cũng giải quyết được

Vì vậy từ niềm đam mê và cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy

giáo Th.s Nguy ễn Văn Vạn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng phép

đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian”

2 M ục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm:

Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn

và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán

Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải một số bài toán quỹ tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng

Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích

của hình học không gian

4 Nhi ệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong không gian

Nghiên cứu về ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lí luận, sách giáo khoa, sách giáo trình, sách tham khảo và một số tài liệu liên quan

6 C ấu trúc khóa luận

Ngoài phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm: Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

B – N ỘI DUNG Chương 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử T(T≠ ∅) là tập hợp mọi điểm trong không gian Một song ánh f:

T→T được gọi là một phép biến hình của tập T

1.1.2 Tích c ủa hai (hoặc nhiều) phép biến hình

Định nghĩa: Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, f: M

 M’ và g: M’  M’’ Khi đó, tích của hai phép biến hình f và g cũng

được gọi là phép biến hình Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích

của f và g, kí hiệu g ∘ 𝑓: M M’’ hoặc g(f): M M’’

Tóm lại tích của hai phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ

việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho Cho n phép biến hình f 1 , f 2 , f 3 ,… f n với n>2 Tích của n phép biến hình

đã cho là một phép biến hình F được thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định và được kí hiệu là F= f n ∘ f n-1 ∘ f n-2 ∘….∘ f 2 ∘ f 1 Trong đó ta thực hiện f 1

trước, rồi tiếp đến là f 2 , f 3 ,… f n

1.1.3 Phép bi ến hình đảo ngược

Định nghĩa: Cho phép biến hình f: M M’ Nếu tồn tại một phép biến

hình g M: 'M thì ta nói g là phép bi ến hình đảo ngược của f

1.1.4 Phép bi ến hình đối hợp, phép biến hình đồng nhất

Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối

hợp nếu 2

f = Id , khi đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là 1

f −

trùng nhau

Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T biến mọi điểm M trong không

gian thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất

1.1.5 Điểm bất động (điểm kép), hình bất động, hình kép

Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T Điểm M của tập T được gọi

là điểm bất động (điểm kép) của phép biến hình f nếu f(M) = M

Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T Hình H bộ phận của tập T

được gọi là hình kép của phép biến hình f nếu f(H) = H

Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu ta có mọi điểm của H bất động đối với f

Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng được gọi là phép

biến hình afin hay gọi tắt là phép afin

1.2.2 Định lí:

Định lí 1.1: Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phép

afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và

biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng

1.2.3 Tính ch ất:

Tính chất 1: Phép afin biến mặt phẳng thành mặt phẳng

Tính chất 2: Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng

Tính chất 3: Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng

Tính chất 4: Phép afin biến véc tơ tổng thành tổng các véc tơ tương ứng Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng

1.2.4 Định lí về sự xác định phép afin

Định lí 1.2: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ khi đó

tồn tại duy nhất một phép afin biến A, B, C, D lần lượt thành A’, B’, C’, D’

1.2.5 Hai t ứ diện cùng chiều, ngược chiều

Định nghĩa: Trong không gian hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ được gọi

là cùng chiều (ngược chiều) nếu hai góc tam diện A.BCD và A’.B’C’D’ cùng

hướng (ngược hướng)

1.2.6 Phân loại phép afin

Định nghĩa: Phép afin trong không gian được gọi là phép afin loại 1 nếu

hai tứ diện xác định nó là cùng chiều Ngược lại ta gọi là phép afin loại 2

Định lí 1.3: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng

nhau, khi đó tồn tại duy nhất một phép đẳng cự biến A, B, C, D lần lượt thành

A’, B’, C’, D’

1.3.4 Phân lo ại phép đẳng cự

Định nghĩa: Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin

loại 1 Ngược lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu

1.3.5 Định lí 1.5:

Tích hai phép dời hình là phép dời hình

Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình

Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép

phản chiếu Phép đảo ngược của dời hình ( phản chiếu ) là phép dời hình (

phản chiếu )

1.3.6 Hai hình b ằng nhau, hai hình đối xứng

Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình

bằng nhau Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối

theo véc tơ v và kí hiệu T M v: M', v

được gọi là véc tơ tịnh tiến

Tính chất 2: Phép tịnh tiến T v không có điểm bất động và có biến đổi ngược Nếu v=0 thì phép tịnh tiến T v là một phép đồng nhất

Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua T v thì  AB= A B' '

Tính chất 4: Phép tịnh tiến T v biến 4 điểm nằm trong một mặt phẳng thành 4 điểm nằm trong mặt phẳng

1.4.2 Phép đối xứng qua tâm

a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một điểm O Phép biến hình

trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM'= −OM được gọi

là phép đối xứng qua tâm O và kí hiệu Đ𝑂: M  M', O được gọi là tâm đối

xứng

b) Tính ch ất:

Tính chất 1: Phép đối xứng Đ𝑂 là phép phản chiếu, là phép đối hợp và có

O là điểm bất động duy nhất

Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ𝑂 thì A B' '= −AB

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ𝑂 biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.4.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng

a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một đường thẳng (d) Phép

biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho (d) là đường

trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng và kí

hiệu Đ(𝑑): M M', đường thẳng (d) được gọi là trục đối xứng

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ(𝑑) biến bốn điểm cùng nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.4.4 Phép đối xứng qua mặt phẳng

a) Định nghĩa: Cho trước một mặt phẳng (α) Phép biến hình trong

không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho (α) là mặt phẳng trung trực

của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng và kí hiệu Đ(𝛼):

Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ(𝛼) thì A’B’=AB

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ(𝛼) biến bốn điểm cùng nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.4.5 Phép quay quanh một trục trong không gian

a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng (d) và góc phẳng

định hướngϕ Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’

sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:

i) Các điểm M và M’ cùng nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng (d) tại điểm O

ii)OM = OM’

iii)Nếu chiều dương của mặt phẳng (α) là chiều quay của vặn nút chai

tiến theo chiều dương của trục (d) thì (OM OM ', )=ϕ

Thì gọi là phép quay trong không gian quanh trục (d), góc quay ϕ

Kí hiệu: Q d( , )ϕ hoặc Q dϕ: M M'

b) Tính chất:

Tính chất 1: Phép quay Q dϕlà phép dời hình và trục quay (d) là đường

thẳng bất động của phép quay

180

ϕ= thì phép quay là phép đối xứng qua (d)

Tính chất 2: Phép quay quanh (d) là phép đối hợp khi và chỉ khi

0

.180

k

ϕ = .

Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B trong Q dϕ thì A’B’=AB

Tính chất 4: Phép quay quanh (d) biến bốn điểm cùng nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.5 Phép đồng dạng

1.5.1 Phép đồng dạng

a) Định nghĩa: Phép biến hình trong không gian biến cặp điểm M, N

thành cặp điểm M’, N’ tương ứng sao cho M’N’ = k.MN (k là một hằng số dương cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k và kí hiệu Z , k k là tỉ số đồng dạng

b)Tính chất:

- Phép đồng dạng Z là phép afin k

- Phép đồng dạng Z k biến mặt cầu thành mặt cầu

c)Định lí xác định phép đồng dạng

Định lí 1.5: Nếu trong không gian cho hai hệ bốn điểm đồng phẳng

ABCD, A’B’C’D’ sao cho A B' ' B C' ' C D' ' D A' ' k

AB = BC = CD = DA = (k > 0) thì tồn tai duy nhất phép đồng dạng biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm

A’, B’, C’, D’

Chứng minh:

Trên tia A’B’, A’C’, A’D’ tương ứng lấy các điểm B C D sao cho 1, 1, 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

tứ diện ABCD bằng tứ diện A B C D ' 1 1

Từ đó theo định lý về sự xác định phép dời hình, tồn tại duy nhất phép dời

Phép đồng dạng Z kđược gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó

là phép afin loại 1 hay loại 2

1.5.2 Phép vị tự

a) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và số thực k ≠0 Phép

biến hình trong không gian biến mỗi M thành điểm M thỏa mãn OM'=kOM

được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k và kí hiệu V O k( , ) hoặc k

Định nghĩa 1: Trong không gian cho trước một đường thẳng (d) và một

số k >0 Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao

cho IM'=k IM, trong đó I là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (d) được

k > Khi đó, tích của hai phép co – dãn C d k( , )và C d k( ', ) với hai trục (d),

(d’) vuông góc v ới nhau và cắt nhau tại O là một phép vị tự tâm O, tỉ số k

Ch ứng minh:

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy mà đường thẳng (d), (d’) là các trục tọa độ

Với mỗi điểm M(x, y), C d k( , ) biến M thành M x ky , 1( , ) C d k( ', ) biến

• Định lí 1.7:

Trong không gian tích của một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số

hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng theo tỷ số k Phép đồng

dạng là thuận hay nghịch tùy thuộc theo k âm hay dương

Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong không gian luôn có thể

được phân tích thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự hoặc theo

thứ tự ngược lại mà tâm vị tự là tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc –k tùy theo phép

Một phép đồng dạng khác đẳng cự trong không gian nếu không là phép

vị tự thì có thể biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép quay quanh trục và một phép vị tự

Chương 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

2.1 Bài toán quỹ tích

2.1.1 Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của các điểm M có tính chất T (hay tập hợp các điểm M có tính chất T) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính chất T

2.1.2 Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

a)Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình (H)

b)Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình (H) (hoặc hình (H’)) đều có tính chất

T

Giới hạn quỹ tích (nếu có)

Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những

Phương pháp chung: Để tìm quỹ tích của điểm M’, ta sử dụng phép đồng

dạng thích hợp :Z k M M', mà điểm M thuộc hình (H) đã biết trước nên điểm M’ thuộc hình (H’) là ảnh của hình (H) qua phép đồng dạng Z k

Do phép đồng dạng là một phép biến hình nên khi giải bài toán quỹ tích, phần mà sử dụng phép đồng dạng ta không cần phải chứng minh phần đảo của

⇒ hình chiếu B của A lên (d’) là giao điểm của (d’) và (α)

Do (d’) và (α) cố định nên B cố định với mọi A∈( )d

Ta có BC = 2 BA (do ∆ABC vuông cân tại A)

Trên BA lấy B’ sao cho BB'= 2BA Mặt khác, B cố định nên

2 d B :

Mà A∈( )d do đó quỹ tích điểm C là một trong hai đường thẳng

(d’’) là ảnh của (d) qua phép đồng dạng thuận Z 2

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng ( )d , 1 (d2) và một đường tròn (O) Trên (d) ta lấy điểm A Hãy tìm quỹ tích điểm B trên (d2) và C trên (O) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( )d 1

_Lời giải_

B’ và C đều thuộc (α),

hoặc

*)Quỹ tích điểm C

( )( ) ( ) ( ) ( )

Ta có ∆ABC vuông cân t ại B⇒ AC = 2AB

Trên AB lấy B’ sao cho AB'= 2AB

Q− B C

Từ (1) và (2) ⇒ 0

1

45 2 ( )

2 d A :

Z =Q V BC hoặc 0

1

45 2 ( )

trong mặt phẳng (α) vuông góc với (d’) Tìm quỹ tích trung điểm của các cạnh của tam giác ABC khi A thay đổi

Ta có: BC = 2BA (do ∆ABC vuông cân tại A)

Vì J là trung điểm của BC 2

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và cạnh bên SA vuông góc với (ABCD) M là một điểm thuộc đường tròn (O;R) nội tiếp ∆SBC Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với BC, M’N là giao điểm của (ABCD) và (α) sao cho

∆MNM’ cân tại N Tìm quỹ tích trung điểm AM’ khi M di động trên

đường tròn nội tiếp ∆SBC

Vì AB⊥BC (do ABCD là hình vuông) và BC ⊥ M’N (do BC ⊥ (α))

Mà M thuộc đường tròn (O;R), do đó quỹ tích trung điểm I của

AM’ thuộc đường tròn ';

2

R O

∆SBC , ta xác định M là hình chi1 ếu của M trên (ABCD) và M là hình 2

chi ếu của M trên (SCD) Tìm qu1 ỹ tích điểm M khi M bi2 ến thiên trên (O;R)

_L ời giải_