THÔNG TIN TÀI LIỆU
Khoá lu n t t nghi p L ic m n hồn thành khố lu n em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y giáo – TS Khu t V n Ninh, t n tình ch b o giúp đ em su t trình th c hi n đ tài Em c ng xin chân thành c m n th y giáo khoa Tốn, qu n lý th vi n tr ng i h c s ph m Hà N i t o u ki n thu n l i đ em hoàn thành đ tài Xin chân thành c m n b n sinh viên nhóm đ tài, b n sinh viên l p K29B – Tốn giúp đ tơi Vì th i gian có h n nên ch c ch n đ tài c a em cịn nhi u thi u sót kính mong s đóng góp c a th y b n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2007 Sinh viên Nguy n Th Hi n Nguy n Th Hi n K29B – Toán Khoá lu n t t nghi p L i Cam đoan Khoá lu n t t nghi p đ c hoàn thành d is h ng d n c a Ti n S Khu t V n Ninh có s d ng sách tham kh o c a m t s tác gi Tơi xin cam đoan: Khố lu n k t qu c a riêng K t qu không trùng v i b t k c a tác gi công b N u sai tơi xin hồn tồn ch u trách nhi m Sinh viên Nguy n Th Hi n Nguy n Th Hi n K29B – Toán Khoá lu n t t nghi p M cl c Ch ` Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan 1.1 Các đ nh lý quan tr ng c a lý thuy t tích phân 1.2 Khơng gian Lp ,1 p 1.3 Tích ch p 1.4 M t s đ nh lý v không gian Banach không gian Hilbert ng 2: Phép bi n đ i Fourier 2.1 Chu i Fourier Ch Ch 2.2 Tích phân Fourier 10 2.3 Bi n đ i Fourier 10 ng 3: ng d ng c a phép bi n đ i Fourier 3.1 Gi i ph ng trình truy n nhi t 21 3.2 Gi i ph ng trình truy n nhi t khơng thu n nh t 22 3.3 Gi i ph ng trình trình truy n sóng 23 ng 4: Phép bi n đ i Laplace 4.1 Bi n đ i Laplace 4.2 Bi n đ i Laplace ng Ch 25 c 34 4.3 Tính khơng ch nh c a bi n đ i Laplace 37 4.4 Tích phân Duhamel 39 4.5 B ng đ i chi u g c nh 41 ng 5: ng d ng c a phép bi n đ i Laplace 5.1 ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i ph ng trình vi phân 5.2 ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i ph ng trình tích phân 49 Nguy n Th Hi n K29B – Toán 43 Khoá lu n t t nghi p m đ u Lý ch n đ tài: B môn ph ng trình vi phân ph ng trình tích phân m t mơn tốn c b n v a mang tính lý thuy t v a mang tính ng d ng r ng rãi Thông th ng ph ng trình vi phân ph ng trình tích phân đ th c ti n V t lý, K thu t, Sinh h c…Có nhi u ph ph ng trình vi phân ph c b t ngu n t ng pháp gi i ng trình tích phân m t nh ng ph ng pháp gi i cho hi u qu đ c bi t cao s d ng phép bi n đ i tích phân đ c bi t hai phép bi n đ i: bi n đ i Fourier Laplace Vì v y nghiên c u phép bi n đ i tích phân r t c n thi t đ i v i m i sinh viên chuyên ngành Toán, V t lý… Trong n m h c qua, h c v chu i Fourier, đ ng th c Paseval, b t đ ng th c Holder giáo trình gi i tích hàm, m t nh ng ti n đ đ nghiên c u phép bi n đ i Fourier, bi n đ i Laplace Ngồi đ có u ki n nghiên c u đ y đ , ph i n m đ Lesbesgue, lý thuy t hàm … c tích phân tìm hi u sâu v phép bi n đ i tích phân, em ch n đ tài: " ng d ng c a phép bi n đ i tích phân đ gi i ph ng trình vi, tích phân" đ th c hi n khoá lu n t t nghi p M c đích nghiên c u Nghiên c u đ nh ngh a tính ch t c a hai phép bi n đ i Fourier Laplace, nghiên c u ng d ng c a hai phép bi n đ i vào vi c gi i ph g trình vi phân ph ng trình tích phân c bi t sâu vào nghiên c u ng d ng cu phép bi n đ i Laplace Nhi m v nghiên c u Nguy n Th Hi n K29B – Toán Khoá lu n t t nghi p Nghiên c u m t s ki n th c liên quan Nghiên c u v phép bi n đ i Fourier Nghiên c u v ng d ng c a phép bi n đ i Fourier Nghiên c u v phép bi n đ i Laplace Nghiên c u v ng d ng c a phép bi n đ i Laplace ý ngh a lý lu n th c ti n Hai phép bi n đ i Fourier Laplace có hi u qu cao gi i ph ng trình vi, tích phân v y vi c nghiên c u đ tài có ý ngh a th c ti n cao.Nó giúp gi i m t s h ph ng trình tích phân ph c t p m t cách đ n gi n, có l i gi i ng n g n mà s d ng ph ng pháp khác cho l i gi i dài dòng, ph c t p Nguy n Th Hi n K29B – Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan 1.1 Các đ nh lý quan tr ng c a lý thuy t tích phân: nh lý 1.1 ( nh lý h i t đ n u): Cho dãy ( f n ) dãy t ng hàm kh tích (Lesbesgue) t p IRN Khi đó: f n h i t h.h v m t hàm kh tích cho supn fn fn f = f n x f ( x) dx n nh lý 1.2 ( nh lý h i t b ch n): Cho dãy ( f n ) dãy hàm (th c ho c ph c) kh tích Gi s : (a) f n (x) f (x) h.h (b) T n t i hàm f kh tích cho v i m i n , f ( x) g ( x) h.h Khi f kh tích fn f = f n x f ( x) dx n nh lý 1.3 (Fubini): Cho f kh tích 1 x Khi v i h u h t x 1 : F ( x,.) y F ( x, y) kh tích x K t lu n t F ( x, y)dy kh tích 1 2 ng t đ i vai trò x cho y , 1 cho H n n a ta có: 1 dx F ( x, y)dy = 2 2 dy F ( x, y)dx = 1 f ( x, y)dxdy nh lý 1.4 (Tonelli): Gi s : 2 F ( x, y) dy < Nguy n Th Hi n K29B – Toán h.h x 1 Khoá lu n t t nghi p 1 dx F ( x, y) dy < F kh tích 1 x 1.2 Không gian Lp : p 1.2.1 nh ngh a: Cho p R V i p ta đ nh ngh a: Lp () = f : IR (ho c C ); f đo đ Lp () = f : R (ho c C ); f đo đ p f p = f ( x) dx f 1.2.2 c f kh tích p c f , f ( x) C h.h ký hi u p = inf c; f ( x) c h.h nh lý nh lý 1.5: (B t đ ng th c Holder): Cho f Lp g Lp ' v i p Khi đó: f g L1 f g f p g p' nh lý 1.6 (Frischer - Riesz): (a) Lp không gian Banach v i p (b) Gi s f n dãy h i t v f không gian Lp ( p ), ngh a là: fn f p Th có dãy fn k k1,2 cho fnk ( x) f ( x) h.h k, f nk ( x) h( x) h.h v i h m t hàm Lp 1.3 Tích ch p: 1.3.1 nh ngh a: Cho hàm s f g xác đ nh R N hàm s f g xác đ nh b i: ( f* g )( x) R f ( x y).g ( y)dy v i gi thi t tích phân N đ c g i tích ch p c a f g Nguy n Th Hi n K29B – Toán t n t i Khoá lu n t t nghi p 1.3.2 nh lý: nh lý 1.7: Gi s f Lp ( R N ) v i p v i m i x R N hàm s y f ( x y).g ( y) kh tích R N f g Lp ( R N ) H n n a: f* g p f g p Ch ng minh: V i p k t qu rõ ràng Tr c h t ta xet tr ng h p p=1 đ t F ( x, y) f ( x y).g ( y) V i m i y ta có: F ( x, y) dx f ( y) f ( x y) dx g ( y) f dy F ( x, y) dx f g áp dung d nh lý Tonelli ta th y F L1 ( R N R N ) ) Theo đ nh lý Fubini đ F ( x, y) dy h.h x R N dx F ( x, y) dy f g ta ch ng minh tr Gi s ng h p p p Theo k t qu y f ( x y) g ( y) p c: ta bi t r ng v i m i x c đ nh hàm hàm kh tích ngh a là: y f ( x y) p ' g ( y) hàm thu c Lp ( R N ) M t khác : y f ( x y) 1/ p' Lp ' ( R) ( p ' s liên h p c a p ) d a vào b t đ ng th c Holder ta suy hàm: y f ( x y) g ( y) f ( x y) kh tích và: 1/ p g ( y) f ( x y) 1/ p' f ( x y) g ( y) dy f ( x y) g ( y) dy Ngh a f* g ( x) f * g ( x) f p p p p / p' 1/ p ( f )1 / p ' áp d ng k t qu tr ta có: f* g Lp f* g p p f g p f p Nguy n Th Hi n K29B – Toán p / p' p ng h p p Khoá lu n t t nghi p Ngh a là: f* g p f g p 1.4 M t s đ nh lý v không gian Banach không gian Hilbert nh lý 1.8(ánh x m ): Cho A m t "toàn ánh" t X lên Y gi s A n tính, b ch n Khi A(U ) m Y v i U m t t p m b t k X nh lý 1.9(Lax-Milgram): Cho H không gian Hilbert a: H H R (ho c C ) d ng song n tính liên t c H Ngh a gi c đ nh m t bi n a n tính theo bi n cịn l i và: a (u, v) M u v , u, v H Gi s a c ng b c H , ngh a có s cho : a (u, v) u , u H Khi v i m i phi m hàm n tính liên t c l : H t n t i nh t m t u l H ph thu c liên t c vào l , tho mãn: Nguy n Th Hi n K29B – Toán a (u l , v) l , v , v H Khoá lu n t t nghi p Ch ng 2: Phép bi n đ i Fourier 2.1 Chu i Fourier 2.1.1 nh ngh a: V i hàm f L1 , ngh a f kh tích Lesbesgue , ,ta đ nh ngh a chu i Fourier c a f chu i hàm l ng giác nh sau: a0 (a n cos nx bn sin nx) , đó: n 1 an f ( x ) cos nx dx , n 0,1,2, bn ' ' ' f ( x ) sin nx dx , n 1,2, ' ' ' M i liên h gi a (2.1) – (2.2) đ f ( x) ~ (2.1) (2.2) c ký hi u là: a0 (a n cos nx bn sin nx) n 1 2.1.2 S h i t : nh lý 2.1: Cho f L1 , N u f tho mãn u ki n Dirichlet , chu i Fourier c a fh it v hàm f liên t c, h i t v f ( x ) f ( x ) n u x m gián đo n thông th ng, h i t v f (x) t i m x , mà t i f ( ) f ( ) t i x n u f ( ) f ( ) t n t i Trong u ki n Dirichlet là: (i) T n t i f (a ), f (b ) f có bi n phân b ch n a, b (ii) Có h u h n m thu c a, b cho b lân c n tu ý c a nh ng m f có bi n phân b ch n ph n l i c a a, b 2.1.3 S h i t đ u: Nguy n Th Hi n K29B – Toán 10 Khoá lu n t t nghi p Ch ng 5: ng d ng c a phép bi n đ i Laplace 5.1: ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i ph ng trình vi phân: 5.1.1 Gi i ph Cho ph ng trình vi phân n tính có h s h ng s : ng trình: a y( n) a1 y( n1) a n1 y' a n y f ( x) (5.1) Trong a tho mãn u ki n ban đ u: y(0) y0 , y' (0) y0' , , y( n1) (0) y0( n1) (5.2) Gi s Ly(t ) Y( p); L f (t ) F ( p) (5.3) áp d ng đ nh lý v đ o hàm c a hàm g c ta có: Ly (t ) p Y( p) p y(0) y L yt (t ) pY( p) y0 '' ' (5.4) … ………………… L y( n) (t ) p nY( p) p n1 y0 p n2 y0' y0( n1) Thay (5.4) vào (5.1) ta đ c ph ng trình tốn t A( p).Y( p) B( p) F ( p) Hay Y( p) F ( p) B( p) (5.5) A( p) Trong A( p) a p n a1 p n1 a n (5.6) B( p ) y0 (a p n 1 a p n a n 1 ) y0' (a p n a p n 3 a n ) y0( n ) (a p a ) y0( n 1) a Gi s đ i v i pha an th c B( p ) B( p) t n t i q(t ) L1 A( p) A( p ) g (t ) L1 A( p ) F ( p) f (t ) g (t ) (5.8) A( p) Khi theo tính ch t ta có: L1 Nguy n Th Hi n K29B – Toán 44 (5.7) Khoá lu n t t nghi p Do nghi m c a ph ng trình vi phân đ c vi t d i d ng: y(t ) f g q (5.9) T c y(t ) 0 f ( ) g (t )d q(t ) (5.10) t TR ng h p đ c bi t n u y0 y0' y0( n1) B( p) Do ph ng trình đ Nghi m c a ph c vi t d i d ng Y( p) F ( p) (5.11) A( p) ng trình vi t y(t ) 0 f ( ) g (t )d (5.12) t Ví d 5.1:Gi i ph ng trình: y '' y v i u ki n ban đ u y0 y0' Gi i:L y nh Laplace v ph p 2Y( p) 4Y( p) Y( p) y(t ) ng trình ban đ u ta đ c: p p( p 4) 1 p ) ( 2 p p 22 1 cos 2t nghi m c a ph 2 Ví d 5.2: Gi i ph ng trình ban đ u ng trình vi phân sau: y" y ' 13 y e 2t v i u ki n ban đ u y(0) 2, y ' (0) Gi i: đ t Ly(t ) Y( p) L y nh Laplace v c a ph ng trình cho ta c: p 2Y( p) p 4( p.Y( p) 2) 13Y( p) Y( p) p 15 p 23 ( p p 13)( p 2) Suy Y( p) Y( p ) p2 17 21i 17 21i 1 p 3i p 3i p 18 18 p 3i 1 p 3i (17 21i ) (17 21i ) 18 ( p 2) p ( p 2) Nguy n Th Hi n K29B – Toán 45 Khoá lu n t t nghi p L y ngh ch nh ta đ c nghi m c a ph ng trình: 1 y(t ) e 2t e 2t (1 cos 3t 21sin 3t ) 9 5.1.2 Gi i ph ng trình vi phân n tính v i h s h ng s b ng cách s d ng công th c Duhamel: Gi s ta c n tìm nghi m c a ph ng trình: a y( n) a1 y( n1) a n1 y1 a n y f (t ) (5.13) Trong a v i u ki n ban đ u b ng không Gi i: Gi s bi t nghi m y1 (t ) c a ph ng trình a y( n) a1 y( n1) a n1 y1 a n y (5.14) Có cúng v trái nh (5.13),v ph i b ng v i u ki n ban đ u c ng b ng không: y1 (0) Ph ng trình tốn t đ i v i ph ng trình (5.13) (5.14) có d ng: A( p).Y( p) F ( p) (5.15) A( p).Y( p) p (5.16) T ta suy Y( p) pY1 ( p).F ( p) (5.17) Do theo đ nh lý Duhamel ta có: t y(t ) f (t ) y1 (0) f ( ) y1' (t )d H n n a y1 (0) ta nh n đ c nghi m c a ph ng trình (5.13) t y(t ) f ( ) y1' (t )d (5.18) Ví d 5.3:Gi i ph y'' y ng trình: v i nđi u ki n ban đ u y(0) y ' (0) t 1 e Gi i: Tr y1'' y1 1; c h t ta gi i toán Cauchy: y1 (0) y1' (0) Nguy n Th Hi n K29B – Toán 46 Khoá lu n t t nghi p Ph ng trình tốn t c a ph p 2Y1 ( p) Y1 ( p) Y1 ( p) ng trình th là: p 1 p p( p 1) p p y1 (t ) cht Theo cơng th c (3.18) ta có: t t e e t y(t ) sh(t )d d e 2(1 e ) t e t t d (e 1) e t t e d y(t ) e 0 e e d (e ) 0 e et et et ln 2 t e u ta đ c t e t udu e t u e d (e ) 0 e 1 u 1 u du t e t (u ln u ) e t ln( e t 1) ln Thay vào bi u th c ta đ y(t ) c nghi m c a ph ng trình e t e t e t t et e t e t t (e ln t ) sht ln (e t ) ln 2 2 2 sht ln 5.1.3.Gi i ph et 1 (1 te t e t ) 2 ng trình vi phân v i h s bi n thiên: Ví d 5.4: Gi i ph ng trình Bessel sau: ty '' y ' ty Gi i: L y bi n đ i Laplace v c a nph ( p 1)Y' pY trình ta đ ây ph c: Y( p) ng trình ta đ ng trình vi phân n tính c p Gi i ph C 1 p2 Nguy n Th Hi n K29B – Toán c: 47 ng Khoá lu n t t nghi p Do lim pY( p) lim p p Cp 1 p2 C M t khác lim pY( p) y0 y(0) p Do áp d ng đ nh lý: N u f (t ), f ' (t ) đ u hàm g c lim pF ( p) f (0) p T C y0 y(0) t y(t ) (1) (n!) n 1 n Ví d 5.5: Gi i ph t y(0) ta đ c nghi m c a ph ng trình Bessel là: 2n L0 (t ) ng trình: ty '' (1 t ) y ' y Gi i: L y bi n đ i Laplace v c a ph ng trình ta đ c: p 2Y py(0) y' (0) pY y(0) pY y(0) Y ' ' Khai tri n rút g n ta đ Gi i ph ng trình ta đ c ph ng trình: p( p 1)Y' (3 p 2)Y y(0) c: Y( p) c y(0) c h ng s p ( p 1) p tu ý Do 1 1 nên y(t ) c ct ce t y(0)e t p ( p 1) p p p Hay y(t ) c1e t c2 (t 1) Trong c y(0) \ c1 , c c2 5.1.4 Gi i h ph ng trình vi phân d đ n gi n cho ký hi u ta xét h ph x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3 f1 ' x2 a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 f x' a x a x a x f 31 32 33 3 i d ng chu n: ng trình n sau: (5.19) V i u ki n xi (0) bi i 1,2,3, ,bi h ng s Ký hi u Lxi Xi , L fi Fi , i 1,2,3, L y bi n đ i Laplace h ph Nguy n Th Hi n K29B – Toán ng trình (5.19) ta đ ch : 48 Khố lu n t t nghi p pX1 ( p) a11 X1 ( p) a12 X2 ( p) a13 X3 ( p) F1 ( p) b1 pX ( p) a 21 X1 ( p) a 22 X ( p) a 23 X3 ( p) F3 ( p) b2 pX ( p) a X ( p) a X ( p) a X ( p) F ( p) b 31 32 33 3 ( p a11 ) X1 ( p) a12 X2 ( p) a13 X3 ( p) F1 ( p) b1 Hay a 21 X1 ( p) ( p a 22 ) X2 ( p) a 23 X3 ( p) F2 ( p) b2 a X ( p) a X ( p) ( p a ) X ( p) F ( p) b 32 33 3 31 Gi i h (5.20) ta đ X1 ( p) F1 ( p) b1 c: 11 F2 ( p) b2 21 F3 ( p) b3 31 p a11 Trong a 21 a 31 ph n t t (5.20) a12 p a 22 a 32 a13 a 23 p a 33 (5.21) i1 ph n ph đ i s c a ng ng c a c t m t c a đ nh th c thu đ c t sau thay c t m t b ng c t ph n t t ji (5.22) Kí hi u g ij L1 Khi x1 (t ) g11 f1 g12 f2 g13 f3 b1 g11 b2 g12 b3 g13 (5.23) x' y Ví d 5.6: Gi i h sau: ' v i u ki n ban đ u: x(0) 1, y(0) 1 y x Nguy n Th Hi n K29B – Toán 49 Khoá lu n t t nghi p Gi i: Gi s Lx(t ) X( p); Ly(t ) Y( p) Khi h ph ng trình t ng đ ng pX ( p) x(0) Y( p) X ( p) pY( P ) y(0) v i : pX ( p ) Y( p) X ( p ) pY( p ) 1 Hay Gi i h đ c X ( p) 1 ; Y( P ) p 1 p 1 x(t ) e t t y(t ) e 5.2 ng d ng c a phép bi n đ i Laplace đ gi i ph ng trình tích phân 5.2.1 Gi i ph Xét ph ng trình vi tích phân: ng trình a y' (t ) a1 y(t ) a 0 y( )d f (t ) (5.24) t V i u ki n ban đ u y(0) b0 b0 , a , a1 , a h ng s Ta có th đ a ph ng trình v ph ng trình vi phân c p n u hàm y(t ) cho liên t c có đ o hàm riêng liên t c t ng khúc, ta s trình bày ph gi i nh toán t Laplace Khi s dung đ nh lý v nh c a tích phân: Ly(t ) Y( p), L y' (t ) pY( p) y(0) pY( p) b0 t Y( p) ta nh n đ L y( )d p a pY( p) b0 a1Y( p) a Suy Y( p) c ph ng trình : Y( p) F ( p) (5.23) p pF ( p) a b0 (5.24) a p a1 p a T l y ngh ch nh ta thu đ c nghi m y(t ) c a ph Ví d 5.5: Tìm nghi m c a ph ng trình tích phân sau: Nguy n Th Hi n K29B – Tốn ng trình 50 ng pháp Khoá lu n t t nghi p a y ' (t ) a y(t ) a y( )d f (t ) v i di u ki n ban đ u y(0) f (t ) t đ 1 , t c 0 , t c, c c cho d i d ng: f (t ) Gi i: Ta th y F ( p) L f (t ) Ta nh n đ c ph a a p a p e cp Y( p) p T Y( p) e cp p ng trình đ i v i nh c a ph ng trình tích phân là: e cp e cp 1 a p a1 p a a ( p1 p2 ) p p1 p p2 Trong p1 , p2 nghi m c a m u s Theo đ nh lý ta có th vi t hàm g c d y(t ) i d ng: (e p1t e p2t )h(t ) (e p1t p1c e p2t p2c )h(t c) a ( p1 p ) Trong kho ng t c nghi m ph i tìm có d ng: e p1t e p2t a ( p1 p ) y(t ) Còn đ i v i t nghi m ph i tìm có d ng: y(t ) (1 e p1c )e p1t (1 e p2c )e p2t a ( p1 p ) 3.2.2 Ph Xét ph ng trình Volterra lo i 2: ng trình Voltterra lo i 2: x ( x) f ( x) K ( x, t ) (t )dt (5.25) Gi s L ( x) ( p); L f ( x) F ( p); LK( x, t ) L( p) Ta có ph ng trình tốn t sau: ( p) F ( p) L( p).( p) (5.26) Nguy n Th Hi n K29B – Toán 51 Khoá lu n t t nghi p F ( p) (5.27) L( p) T ( p) Ví d 5.6: Gi i ph ng trình tích phân sau: x ( x) cos x ( x t ) (t )dt (5.28) Gi i: L y bi n đ i Laplace v c a ph ( p) c: p ( p) p 1 p Suy ( p) p3 p3 p3 ( p 1)( p 1) p p ng trình ta đ p p p p 2 p p 1 p 1 p 2 p p T ( x) (cos x chx) Ví d 5.7: Gi i ph ng trình: x ( x) sin x ( x t ) (t )dt (5.28) Gi i: Ta có: Lsin x Ph ( p) x ; L0 ( x t ) (t )dt L x2 ( x) F ( p) p 1 p ng trình cho chuy n thành: 1 ( p) p 1 p ( p) B ng ph p3 A Bp C Dp E 2 ( p 1)( p 1)( p p 1) p p p p ng pháp đ ng nh t th c ta tìm đ Nguy n Th Hi n K29B – Toán c: 52 Khoá lu n t t nghi p A B p 1 p 1 V y F ( p) C 2 6( p 1) 2( p 1) 3( p p 1) D E 1 1 p 1 Có L e x ; L (cos x sin x) ;s hang cu i có d ng: 6 p 1 2 2( p 1) 1 i , ta tính đ 2 ( p p1 )( p p2 ) v i p1, ( x) c th ng d t ng ng x x t (e cos x sin x 4e cos Ví d 5.8: Gi i ph ng trình: x ( x) x (t x) (t )dt (5.29) Gi i: Ph ng trình t ng đ ng v i: x ( x) x ( x t ) (t )dt (5.30) Ta có: Lx x 1 ; L 0 ( x t ) (t )dt Lx ( x) ( p) (v i L ( x) ( p) ) p p L y bi n đ i Laplace v c a ph ( p) ng trình (5.30) ta đ c: 1 ( p) p p ( p) Lsin x p 1 ( x) sin x Ví d 5.9: Gi i ph ng trình sau: ( x) x 6( x t ) 4( x t ) (t )dt (5.31) x Gi i: Ta có L1 x Nguy n Th Hi n K29B – Toán p2 53 Khoá lu n t t nghi p L 6( x t ) 4( x t ) 4 p p p x L 6( x t ) 4( x t ) (t )dt ( p ) p p p Khi l y bi n đ i Laplace v c a ph ng trình (5.31) ta đ ( p) ( p) p p p p ( p) p( p 2) A B C ( p 2)( p 1)( p 4) p p p B ng ph ng pháp đ ng nh t th c ta tìm đ 9 4 9( p 2) 9( p 1) 9( p 4) V y ( p ) ( x) x x 4 x e e e 9 Ví d 5.10: Gi i ph Gi i: Ph A c: B C c: ng trình: ( x) 0 (t x) (t )dt (5.32) x ng trình cho t ng đ ng v i ph ng trình sau: x ( x) ( x t ) (t )dt (5.33) x 1 ; L 0 ( x t ) (t )dt Lx ( x) ( p) l y bi n đ i p p Ta có L1 Laplace v c a ph ( p) ng trình (5.33) ta đ c: 1 ( p) p p ( p) p Lcos x ( x) cos x p 1 Ví d 5.11: Gi i ph ng trình sau: ( x) Nguy n Th Hi n K29B – Toán x x ( x t ) (t )dt (5.34) 24 54 Khoá lu n t t nghi p x x 4! 1 ; L ( x t ) (t )dt Lx ( x) ( p ) p p 24 24 p Gi i: Ta có: L L y bi n đ i Laplace v c a (5.34) ta đ ( p) 1 ( p) p p ( p) t c: 1 1 p Ta có: p ( p 1) p ( p 1) p p 1 x3 1 ( p) Lsin x G p L ( ) ; p4 p 1 t (x t)3 x3 L sin tdt L sin x G ( p). ( p) 6 d x (x t)3 L sin tdt p.G ( p ). ( p ) dx d x (x t)3 Dùng tích phân Duhamel ta suy ra: ( x) 0 sin tdt tích phân t ng dt ph n l n tích phân ta đ 5.2.3.Ph Xét ph c: ( x) x2 cos x ng trình Volterra lo i 1: ng trình Volterra lo i : x K ( x, t ) (t )dt f ( x) Ta đ t L f ( x) F ( p); LK( x, t ) L( p); L ( x) ( p) Ta có L( p).( p) F ( p) (5.35) ( p) F ( p) (5.36) L( p) Ví d 5.12: Gi i h ph ng trình sau: ( x) x x e ( xt ) (t )dt x ( x t ) (t )dt 0 0 (5.37) x x ( x) sh( x t )1 (t )dt e ( xt ) (t )dt 0 Gi i: t: L1 ( x) 1 ( p); L ( x) ( p) ta có: Nguy n Th Hi n K29B – Toán 55 Khoá lu n t t nghi p 1 ( p) ( p) 1 1 ( p) ( p) p 1 p p 1 1 ( p) ( p) p p 1 p 1 T ( p) p2 p 1 p3 p2 ; ( ) p p( p 1)( p 1) ( p 1)( p 1)( p 1) 2 V y: 1 ( x) e x sin x cos x ( x) (cos x chx) sin x Ví d 5.13:Tìm nghi m c a ph ng trình: y ' ( x) y( x 1) (5.38) v i hàm ban đ u y( x) y0 const x 0, y(0) y0 const Gi i: Nhân c v c a ph ng trình v i e px tích phân theo x v i c n t đ n ta có: e px y ' ( x)dx pY( p) y0 e px y( x 1)dx e p (t 1) y(t )dt 1 e p (t 1) y0 dx e p (t 1) y(t )dt 1 y (1 e p ) e p Y( p ) p Ph ng trình tốn t c a ph Y( p) y0 ng trình là: y0 (1 e p ) e p Y( p) p T Y y0 pe p 1 e y0 p p p p pe p( p e ) p( p e ) p p 1 y0 p e p p (1 ) p 1 e p e 2 p Y y0 1 p p p p e kp Hay Y y0 k p k 0 p ( x k ) k 1 y ( x ) y h( x k ) Do 0 k 0 (k 1)! n ( x k ) k 1 V i n x n y( x) y0 1 k 0 (k 1)! Nguy n Th Hi n K29B – Tốn 56 Khố lu n t t nghi p Ví d 5.14: Gi i ph ng trình: cos x sh( x t ) (t )dt (5.38) x Gi i: Ta có: L1 cos x p p p p ( p 1) x L sh( x t ) (t )dt Lshx. ( x) ( p) p 1 ( p) Ph ng trình nh ( p 1) p p p2 1 2p ( p) L2 cos x 1 p ( p 1) p p Do ( x) cos x Ví d 5.15: Gi i ph ng trình : x 0 sin( x t ) (t )dt x sin x (5.39) Gi i: ( p) t: L ( x) ( p) ; Lx sin x 2p Lcos x p2 1 V y ( x) cos x Ví d 5.16: Tìm nghi m c a ph x x x e ( xt ) (t )dt (5.40) Gi i: 2p ( p 1) 2 ng trình: t K ( x) e x kh vi K ' (0) Ta có: L x x2 3; p p x L e 2( xt ) (t )dt L e x ( x) ( p) p2 L y bi n đ i Laplace v c a ph ng trình (5.40) ta đ c: ( p) p2 p p ( p 4)( p 2) ( p) 3 p p p p Có L1 ; L x ; L x p p p V y ( x) x x2 Nguy n Th Hi n K29B – Toán 57 Khoá lu n t t nghi p Tài li u tham kh o ng ình áng, Bi n đ i tích phân, NXB Giáo D c 1997 W Rudin, Real and Complex Analysis, 3th edition, Mc Graw – Hill, Inc, 1987 ng ình áng, Lý thuy t tích phân, NXB Giáo D c 1997 Lê V n Tr c, Ph ng pháp toán cho v t lý, NXB i H c Qu c Gia Hà N i W Rudin, Pinciples of mathematical Analysis, 2nd, Mc Graw –Hill, Inc, 1964 Nguy n Th Hi n K29B – Toán 58 ... rãi Thơng th ng ph ng trình vi phân ph ng trình tích phân đ th c ti n V t lý, K thu t, Sinh h c…Có nhi u ph ph ng trình vi phân ph c b t ngu n t ng pháp gi i ng trình tích phân m t nh ng ph ng... lý thuy t hàm … c tích phân tìm hi u sâu v phép bi n đ i tích phân, em ch n đ tài: " ng d ng c a phép bi n đ i tích phân đ gi i ph ng trình vi, tích phân" đ th c hi n khoá lu n t t nghi p M c... ch t c a hai phép bi n đ i Fourier Laplace, nghiên c u ng d ng c a hai phép bi n đ i vào vi c gi i ph g trình vi phân ph ng trình tích phân c bi t sâu vào nghiên c u ng d ng cu phép bi n đ i
Ngày đăng: 30/06/2020, 20:33
Xem thêm: