Lời cảm ơn
Để hồn thành khố luận em xin bày to lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo — TS Khuất Văn Ninh, đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài này
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, các cơ chú quản lý thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hồn thành dé tai
Xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên trong nhĩm dé tài, cùng các bạn sinh viên trong lớp K29B — Tốn đã giúp đỡ tơi
Vì thời gian cĩ hạn nên chắc chắn đề tài của em cịn nhiều thiếu sĩt kính mong sự đĩng gĩp của thầy cơ và các bạn
Trang 2Lời Cam đoan
Khố luận tốt nghiệp này được hồn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Khuất Văn Ninh và cĩ sử dụng sách tham khảo của một số tác giả Tơi xin cam đoan:
Khố luận này là kết quả của riêng tơi
Kết quả này khơng trùng với bất kỳ của tác giả nào đã cơng bĩ
Trang 3Mục lục
Chương 1: Một số kiến thức liên quan
1.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân ` 1.2 Khơng gian /,1< p<œ
1.3 Tích chập
1.4 Một số định lý về khơng gian Banach và khơng gian Hilbert Chương 2: Phép biến đổi Fourier
2.1 Chuỗi Fourier 2.2 Tich phan Fourier 2.3 Biến đối Fourier
Chương 3: ứng dụng của phép biến đối Fourier 3.1 Giải phương trình truyền nhiệt
3.2 Giải phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất 3.3 Giải phương trình trình truyền sĩng
Chương 4: Phép biến đổi Laplace 4.1 Biến đối Laplace
4.2 Biến đối Laplace ngược
4.3 Tính khơng chỉnh của biến đổi Laplace 4.4 Tích phân Duhamel
4.5 Bảng đối chiếu gốc và ảnh
Chương 5: ứng dụng của phép biến đổi Laplace
Trang 4mớ đầu
1 Lý do chọn đề tài:
Bộ mơn phương trình vi phân và phương trình tích phân là một mơn tốn cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thơng thường các phương trình vi phân và phương trình tích phân được bắt nguồn từ thực tiễn trong Vật lý, Kỹ thuật, Sinh học Cĩ nhiều phương pháp giải các phương trình vi phân và phương trình tích phân và một trong những phương pháp giải cho hiệu quả đặc biệt cao là sử dụng phép biến đổi tích phân đặc biệt là hai phép biến đổi: biến đổi Fourier và Laplace Vì vậy nghiên cứu các phép biến đổi tích phân là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên các chuyên ngành Tốn, Vật lý
Trong 4 năm học qua, chúng ta đã học về chuỗi Fourier, đẳng thức Paseval, bat dang thức Holder trong giáo trình giải tích hàm, đĩ là một trong những tiền đề để nghiên cứu phép biến đổi Fourier, biến đổi Laplace Ngồi ra để cĩ điều kiện nghiên cứu đầy đủ, chúng ta phải nắm được tích phân Lesbesgue, lý thuyết hàm Đề tìm hiểu sâu về phép biến đổi tích phân, em đã chọn đề tài: "ứng dụng của phép biến đổi tích phân để giải phương trình
vi, tích phân" đề thực hiện khố luận tốt nghiệp
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của hai phép biến đổi Fourier và Laplace, nghiên cứu các ứng dụng của hai phép biến đổi này vào việc giải phườg trình vi phân và phương trình tích phân.Đặc biệt đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng cuả phép biến đổi Laplace
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Trang 5
Nghiên cứu một số kiến thức liên quan Nghiên cứu về pháp biến đỗi Fourier
Nghiên cứu về ứng dụng của phép biễn đổi Fourier Nghiên cứu về pháp biến đối Laplace
Nghiên cứu về ứng dụng của phép biễn đổi Laplace 4 ý nghĩa lý luận thực tiễn
Hai phép biến đối Fourier và Laplace cĩ hiệu quả cao trong giải phương trình vi, tích phân vì vậy việc nghiên cứu để tài này cĩ ý nghĩa thực tiễn cao.Nĩ giúp giải một số hệ phương trình tích phân phức tạp một cách đơn giản, cĩ lời giải ngắn gọn mà khi sử dụng phương pháp khác cho lời giải dài dịng, phức tạp
Trang 6
Chương 1: Một số kiến thức liên quan
1.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân:
Định lý 1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu):
Cho dãy (/,) là dãy tăng các hàm kha tich (Lesbesgue) trén tap Qc JR” sao
cho SUPn| f, <o, Khido: f, hoi tuhh trén 0 vé mot ham kha tich trén Q va lf -FI,= Ỉ f,x— f (x)|dx >0 khi n ->œ a Dinh lý 1.2 (Định lý hội tụ bị chặn): Cho dãy (7,) là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên O Giả sử: (a) f,(x) > f(x) h-h trén O (b) Tén tai ham f kha tich sao cho với mỗi ø, |[/@)|< ø() h.h trên Q Khi đĩ f khả tích và I/.=l,= | Q ƒ„x— ƒ@)|dx >0 khi no Dinh ly 1.3 (Fubini): Cho f khả tích trên O,xO, Khi đĩ với hầu hết x cQ,:
F(x,.)= yt} F(x, y) kha tich trén Q, va
xb [, F(x, y)dy kha tích trên Q,
Trang 7và |, &[|ƑŒ.y)dy < = khi đĩ Z khả tích trên O,xO,
1.2 Khơng gian r„ : 1< p<œ
1.2.1 Định nghĩa: Cho pe< & Với 1< p< s ta định nghĩa:
/(©) = {ƒ:O-—>IR(hoặc C); ƒ đo được và |/| khả tích
(@)= {f :Q—>R(hoacc ); ƒ đo được và ƒ, |/(x)<C|h.h } và ký hiệu ay Pax I/|,= mfl/@0<c|h.h } I/l,= i! f(x) Q 1.2.2 Dinh ly
Dinh ly 1.5: (Bat dang thire Holder):
Cho fe L’ vag € !7Vvới I<p<œ Khi đĩ: ƒ.geLvà
[IZ-el<l/I,.Isl„
Định ly 1.6 (Frischer - Riesz):
(a) là khơng gian Banach với 1< p<œ
(b) Giả sử (7,) là dãy hội tụ về ƒ trong khơng gian ¡7(1< p<œ), nghĩa là: ý, =/|, >0 Thế thì cĩ đãy con (Fu Vor sao cho f,, 0 > f@) hh Vk.|ƒ„ (+) < h(x) h.h với ø là một hàm trong L’ 1.3 Tích chập:
1.3.1.Định nghĩa: Cho 2 hàm số ƒ và gxác định trên R* thì hàm số ƒ *g xác định bởi: (ƒ.ø)œ)=[ „ƒ(—y).£Q@)dy với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại
được gọi là tích chập ca f vag
Trang 8
1.3.2.Định lý:
Định lý 1.7: Giả sử ƒ e1(R*)với I<p<œ khi đĩ với mỗi xe*hàm số y ƒ(x-y).g(y) khả tích trên ®Ÿ và ƒ *g e1”(R*) Hơn nữa:
I/-sl, <|I.lsl,
Ching minh:
Voi p=oo thi kết quả rõ ràng
Trước hết ta xet trường hợp p=l và đặt
FŒ,y)= ƒ(x~ y).g(y)
Với mọi y ta cĩ: [|F(x, y)dx=|ƒ(|[[f(x~ y)x=lsG)l|7|,<s
và [a[|lFG.y)4=|/l,|sl,<s=
ap dung dinh ly Tonelli ta thấy F e 1'(R* xR*)) Theo định lý Fubini được:
[IF(Œ.»)l@<œ h.h xe &*và [&[|F(x,y)dy <|ƒ| 8,
= ta đã chứng minh trong trường hợp p =1
Giả sử I<p<œ Theo kết quả trên ta biết rằng với mỗi x cố định hàm yE>|ƒ(x~ y)||g(y)|“ là hàm khả tích nghĩa là:
yE>|ƒŒ-— wir leo) là hàm thuộc !(R*) Mặt khác : ye>|ƒf(x—y)Ï”” e1(R) (plà số liên hợp của p) dựa vào bất đắng thức Holder ta suy ra hàm:
Vp 1p
y>|ƒ(x~— y||e(|=|#@~ y) sơ@lƒŒœ- y)
là khả tích và: [Ifo yillecn|av < (for yen)” ay)” dey”
Trang 9Nghĩa là: |ƒ.g » sil g „
1.4 Một số định lý về khơng gian Banach và khơng gian Hilbert Dinh lý 1.8(ánh xạ mở):
ChoA là một "tồn ánh" từ X lên Y va gia su A la tuyến tính, bị chặn Khi
đĩ A(U)mở trong Y với U là một tập mở bắt ky trong x Định lý 1.9(Lax-Milgram):
Cho H 1a khong gian Hilbert va a: HxH > ©
®=R (hodc® =C) la dang song tuyén tinh liên tục trên #7 Nghĩa là khi giữ cố định một biến thi a tuyén tinh theo biến cịn lại và:
law.v|< Mal vy
,Vu,V € A
Giả sử a cưỡng bức trên , nghĩa là cĩ sơ øz >0 sao cho :
a(u,v)= alu ? Vụ eH
Khi đĩ với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tuc 1: H > © t6n tại duy nhất một
u,cí phụ thuộc liên tục vào/, thoả mãn: a(,,v) =<l,y >,Vyc H
Trang 10
Chương 2: Phép biến đối Fourier 2.1 Chuỗi Fourier
2.1.1 Định nghĩa: Với hàm /ƒe/[—z,z] nghĩa là/ khả tích Lesbesgue trên|—z.z]|.ta định nghĩa chuỗi Fourier của / là chuỗi hàm lượng giác như sau: a “ : > +>'(a, cosnx +b, sin nx), trong do: n=l a, tf" f(x )cosnx qe dx ,n=0,1,2, (2.1) b, = tf f(x )sin nx dx xÌz ,n =1,2, (2.2) Mối liên hệ giữa (2.1) — (2.2) được ký hiệu là: a — ƒ#Œ) ~ “+ (4, cosnx + b, sin nx) n=l 2.1.2 Sự hội tụ:
Định lý 2.1: Cho /ƒe[_z.z] Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trong
(_—z.z) thì chuỗi Fourier của / hội tụ về /(+) tại các điểm xe(_—z,z) mà tại
đĩ hàm /ƒ liên tục, hội tụ về 2œ )+7% | nếu x là điểm gián đoạn thơng
thường, hội tụ về slew Fe] tại x=+z nếu ƒ(—z') và /(z-) tồn tại Trong đĩ điều kiện Dirichlet là:
(i) Tén tai f(a"), f(b) va f c6 bién phan bi chan trên [a,b]
(ii) Co hiru han diém thuéc [a,b] sao cho khi bỏ đi các lân cận tuỳ ý của
những điểm này thì ƒ cĩ biến phân bị chặn trên các phần cịn lại của [a,] 2.1.3 Sự hội tụ đều:
Trang 11
Định lý 2.2: Cho f eL'[-2,z] Gia sit rang ƒ bị chặn thoả mãn điều kiện
Dirichlet trên [_z,z] Giả sử f lién tục trên khoảng (w,v)—(—z.z) Khi đĩ chuỗi Fourier của ƒ hội tụ đều về / trên một đoạn bất ky [a,b]c (uv)
2.2 Tích phan Fourier:
Xét hàm ƒ e1!(R) ta dat: a, =_Ƒ ƒ(Œ)cosArdr — (2.3) ee
b,= +f f (t)sin Atdt qe (2.4)
Ta cho / liên kết với tích phân sau, gọi là tích phan Fourier:
ƒŒ)~ Ỉ “(a, cos Ax +b, sin Ax)da (2.5)
Ta thấy các cơng thức (3.1),(3.2), (3.3) tương tự như chuỗi Fourier của một hàm thuộc U[Ƒ z,z]
Định lý 2.3 (Định lý về sự hội tụ của tích phân Fourier ):
Cho ƒ e/(L) thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng mở hữu hạn Giả
str f(x*) va f(x) ton tại thì ta cĩ:
[ @, cos Ax-+b, sin Axjda = slr + for )] (2.6) Chứng mỉnh: Tham khảo chứng minh trong [1]
2.3 Biến déi Fourier:
2.3.1 Định nghĩa: Xét hàm ƒ<//(R) Vì Ê_70)coÃ0=x)ár la ham chan theo 4 nên ta cĩ: ƒ w= I" al” ƒŒ)cos qe 2+ 4Œ — x)đr nếu ƒ thoả mãn giả thiết
của định lý 2.3 và giả thiết liên tục tại x
Tuong tu ham 2b Ƒ ƒŒ)sin Äứ— x)đr là lẻ theo 4 nên
1 po 1 pe
in [afl rosin ag—xadr =0
Vậy f(y= Ữ da f(Olcos AG — x) -isin A(t — x) [it
27“ te
Trang 12
1 peo 0 =—| da x LAY ner dt 0 = kel in f6 “4 là Định nghĩa: Cho ƒ e 7'(R) là hàm xác định bởi: a 1 0 ở Ã Ae : 2
Ä)=—— “dt dug là biên đơi F
f(A) tk f@e“dt duge goi la bién d6i Fourier cua f Định lý 2.4: Giả sử ƒ e1'(®) thi f eC, voi C, là khơng gian các hàm số liên
tục, tiễn dần về 0 tại vơ cực Hơn nữa: Il <I Ching minh: Ta cĩ bất đăng thức trên được suy trực tiếp từ định nghĩa / khi ¿, —>¿ thì —itx dx le 2 —ø /6)=?@|<-—Ƒ.z@l
Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2|/(x)| và hội tụ từng điểm tới
Trang 13Cho trước e >0cĩ Cạ(#) trù mật trong 7/(R) nên ta tìm được hàm g lien tục trên R và triệt tiêu bên ngồi một đoạn bị chặn |— A,A]sao cho ||ƒ - sl, <é Tính liên tục đều của g cho ta I số 6 €(0,A) thỏa mãn
|g()— øgữ)| <(3A) ”.e,Vs,t e R.|s—|< ở
Vi vay suy ra |, - g,||, < £- Bằng cách đối biến ta cĩ: |ii|„ = |h„ |„ vớih e (R) Vậy: DU (f - 8), f,-8s), the = #,Ì„ +|g, - All, 8, —#i|, +|(s —#)/|, <3£,Vs,f,|s — | <ổ + P P + Bồ đề này áp dụng để chứng minh định lý 2.4
Định lý 2.5: Giả sử ƒ e/'() và / e (R).Đặt g(x) = val (Aje*da
(tich phan nay duoc hiéu theo nghia Lesbesgue).khi do:
(a) g eC, voi C, la khéng gian các hàm liên tục trén R va tién dan vé v6 cực
(b) f(x) = g(x) hau hết trên R
Ching minh:
(a): Được chứng minh đơn giản bằng cach suy ra tit bé dé 2.1
(b): Chứng minh khá phức tạp, cần nhiều kiến thức nên ta cĩ thể tham khảo
trong [2]
Cơng thức trong định lý 2.5 dẫn đến khái niệm về biến đổi Fourier ngược: 2.3.2 Biến đối Fuorier ngược:
Định nghĩa: Hàm x 1 [ F(A)e”ax được gọi là biến đổi Fourier ngược
^l2z*“
của F Tích phân (Theo nghĩa Lesbesgue) là xác định nếu Ƒ e /!(R)
Xét biến đối Fourier cĩ dạng khác:
Xét hàm ƒ e/!(R) với ƒ chan, thỏa mãn giả thiết của định lý 2.2 và ƒ liên
Trang 14
tục tại x Khi đĩ ta cĩ:
f(x)= + Ỉ “cos anf” f(t)cos aur yin + =f sin anf” f(t)cos sua ia
2 po N
= SỈ cos aff feos sar ia 7Zr 90 0
Cơng thức trên dẫn đến khái niệm về phép biến đối Fourier - Cosin của hàm
thuộc (R') Cho ƒ eU(R') ta định nghĩa phép biến đối Fourier — Cosin của
ƒlà hàm: F(4)= [EF roveos teas vim 0
Vậy nếu ƒ thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (z,b)c R* và
ƒ liên tục tại x thì theo định lý 2.2 ta cĩ: 2œ
f(x)= li F(Â)cos Âxdx we
Tương tự ta cĩ định nghĩa biến đổi Fourier — sin cua ham f €Z'(R*) la ham
Trang 15= * 17] z4 cos Ax 1 a |2[ ax - ~ vị = Zle cos Axi; +a["e sin And | a |2 Z2 $,2|-1+4 [27a siete 1 O<x<a Vi du 2: Cho f(x)=41/2 x=a 0 x>a
Khi đĩ thì bién d6i Fourier — Cosin của / là:
F(A)= 2 feos aut = = 4a z0 _ ÂÄ Do f thỏa mãn giả thiết định lý 3.1 nên ta cĩ i sin A A dA =4 va tich phan
͈ được hiểu là lim f’ 0 q—»s J0
Trang 16()= Ji ƒ(@+y)e “4 1 = ~iÂ0-y _ „i 2 = L0 dt =e f(A) Tính chất 3: Cho / e 1'(R) thỏa mãn sup ƒ e[—a.a] Ta cĩ Là hàm giải tích trên C
Chứng minh: Cĩ (4) = al fixe“ Ta dx > f € L(R) phai giải tích trên C
Tính chất 4: Cho dãy (ƒ,,)„-¡›, hội tụ trong /'(&).Khi đĩ dãy (ƒ„)„¬
hội tụ đều trên R Chứng minh: | f,(A)-f, (4) < 1 1 pe Fn CO ƒ,@) eH dx <f Tinh chat 5: Cho ƒ e 7'(R) Ta cĩ / liên tuc, bi chan va f(A) 0 khi Fr) -f,, (x)|dx —>0 Khi m,n —>œ |A| —>ằœ,
Chứng minh: Ta cĩ bị chặn do fa) < fF |foolax
Trường hợp / là hàm đặc trưng của [z,b|thì:
?@)= = [e>= aos và là hàm liên tục về tiến 0 khi
|A| >s
Nếu ƒ là hàm bậc thang thì f 1a t6 hop tuyến tính của các hàm đặc trưng Từ đĩ do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta cũng cĩ ƒ liên tục và tiến
về 0 khi |4| > 0
Cuối cùng nếu ƒ e/!(R), do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong 7!(R)ta
tìm được dãy các hàm bậc thang Œ )„-2 hội tụ trong U(R) về ƒ áp dụng
Trang 17
tính chất 4 ta cĩ dãy Cf, )nat.2,,,.h6i tu déu vé f trénR Suy ra f lién tuc a
tiến về 0 khi |A|—> œ
Tính chất 6: Cho ƒ <7/(R) thỏa mãn tính chất ƒ'e7'(®)và ƒ liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn Khi đĩ
(f) =i
Chứng minh: Vì / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:
ƒŒ@)= ƒ(0)+ Ỉ ƒ'œ)á: Hơn nữa: ƒ'e L'(R) nên về phải của đẳng thức trên cĩ
giới hạn khi x—>+s.Ngồi ra giới han đĩ phải bằng 0 vì ƒ e/!(R) Vậy: vệ l ~iÂx Lope in (PA) == [fe Wdx=—— Je aro) ese =iAf (A) = +iAƑ” 7004
Tính chất 7: Nếu ƒ cĩ đạo hàm bậc càng cao trong /'(R) thì ƒ hội tụ về 0
càng nhanh khi |4|—› ©, nghĩa là:
2 (rsa
#4=———
li
Diéu này cĩ được nhờ tính chất 6
Tinh chat 8: Cho f < r'(R).Nếu f” tồn tại và /' e1) thì fe L(R)
Chứng ninh: ƒ bị chặn do tính chất 5 và giản về 0 nhanh hơn _ khi [AJ > 0 Do tính chất 7 tir dé f eL'(R)
Trang 18
Tính chất 9: Cho ƒ eL(R) và thỏa mãn !.ƒ e/'(R) với 7 là ánh xạ đồng nhất
xr>x do đĩ người ta thường viết x.Đx) thay cho/.ƒ Khi đĩ / khả vi và
df = (-ilf)(A) cting cĩ thể viết (—i/Ư(4)
Chứng mỉnh: Cĩ
d 1 pe iw.) ip “ix
ial jag foe es) Feel aoe sa
đ v2 — 2 2$
on (A) = (-ixf (A)
Điều này cho thấy nếu f giảm càng nhanh thì cang tron
Tính chất 10: Với ƒ,g e'(R) và (ƒ *g)(x) = In cL!(R) Khi đĩ ta CĨ : (Ƒ*g)= 2 Chứng minh: áp dụng định lý Fubini ta cĩ: 20 = Lư *#)%)€ ”dš= Ỉ (F ƒŒ).gŒœ~ rat ea = Ễ rol Ễ a(x- ne dx = iZ f off g(uje du)y d: ( Sử dụng phép đổi biến: wu=x-t>x=u+t, du=dx) > f (Cf * exe dx = 27 si =Ƒ gine an ea =27.f (A)
Tinh chat 11: Gọi s là tập hợp các hàm khả vi vơ hạn và giảm nhanh Nghĩa
Trang 19Suy ra |x’ f (|< =
Bắt đẳng thức trên cho thấy x”./“ e 7!(R) Theo tính chat 9 thì
0)“ A) = GA) [Cin” fol
= (i) GA)" [x fol =Car’ [x cw]
Suy ra feS vi (x? f'n] <M va (2? f)'" EL (R)
Tính chất 11 cho thay phéo biến đổi Fourier 1a anh xa tir S vaoS Người ta cũng chứng minh được đây là 1 song ánh
2.4 Biến đối Fourier trong /7(R),l< p<2
sm 4Ä là một
Ta xét hàm ƒ e /!() là hàm chẵn ƒ(x) = e “"!,ø >0 thì (4) = Ệ
a
hàm khơng nằm trong 7!'(R) Mục này ta xét khả năng mở rộng địng nghĩa
biến đổi Fourier cho hàm : ƒ e !(R) với 1< p<2.Đặc biệt khi p=2 thi ta cd
kết quả rất quan trọng là biến đối Fourier bảo tồn cầu trúc khơng gian /(R) Định lý 2.6: (Plancherel - 1910) : Với mọi ƒ e /”(R),N > 0ta đặt
F,{f\(a) = xt ƒ@œ)e 24x khi đĩ :
(a) F„{7} hội tụ trong 12) đến một hàm F{/} khi é ->œ hơn nữa
IFU = [,IF4742 = [renee =|;
(b) Nếu ƒ e/?(R)¬1@) thì r{7}= Ê h.h trên R
(c) Dat ®„(+) = [ "FA f\Aedd thi â, hi t trong /7đ) đến f khi
Noo,
(d) Tốn tử F là một đắng cấu từ 7?(R) vào 7?(R)
Chứng minh : Với mọi f,, f, ¢S.Theo tính chất 11 ta cĩ : , Ệ e § c 7!{R)
Trang 20
Từ định lý 2.4 và định lý Fubini ta suy ra được : r @).ƒ,G)dy = = ợ FC )e^4Â Ƒ fx)dx ø 42 © A ( + i f On % (eae 4A = [,?.G@Ã@a ( Trong đĩ ƒ(x) là liên hợp của ƒ(+))
Suy ra £||, = |s||,.Vø < S.@) Trong đĩ ||, là chuẩn trong /2(R) Với ƒ e I?(R)
triệt tiêu bên ngồi đoạn bị chặn [—z,ø] thì cũng thuộc /!{®).Ta cĩ €Ƒ(-a,a) trù mật trong /?(—a,a) do đĩ cĩ một dãy hàm (ƒ,) c Cƒ(-a,a) hội tụ về f trong
P2(-a.a) dẫn đến hội tụ trong "'(—a,a) với bất đẳng thức Holder
7, — /Ì ta cĩ thê xem như ƒ, Š nêu nới
Si, =Ÿl› „„ <v2a L(a,a)
réngmién xac dinh của f, lên tồn R với ƒ, triệt tiêu bén ngoai(—a,a) nhuw vay 7, hội tụ về ƒ trong /(R) và/(R) Từ tính chất 4 của biến đối Fourier ta cĩ :
f, > ƒ đều trên R.(ee)
Theo (e) thi i -fal, =|f,-f,, do do (7,) là dãy Cauchy trong /7(£) hội tụ
trong L’(R) về mot ham g
Két hop (ee) và sir dung dinh ly Fischer — Riesz ta co:
f=geL(R)
f , f 2 =lim||f,|, =||f, (@**) Đúng cho hàm ƒ bắt kỳ trong 7?(&) noo)
= sll, = lim n—>el fr
và triệt tiêu bên ngồi một đoạn bị chặn
Trang 212 1 = idx
iy) J" fale Made = Fyl fA)
Theo (sss)thì |Z,/]l, =|Fel, =[Vfuls Và: |f,{7]- F„17ÌI, =|
= (F,{f}) la day cơ bản trong /?(R) nên hội tụ về một hàm F[/] trong /(R)
F1)
Fy — Ful, = [fu Fords
Vậy: |F{/]|, = lim| > = Jm ||, = | No!
= (a) được chứng minh
Xét trường hợp ƒ e (R)¬() Do 7„ hội tụ về / trong 7!(®) ( Chính là
Fyif})-
hoi tu déu vé f boi tinh chat 4 của biến déi Fourier)
Mặt khác F, {f} cing hdi ty trong 2(R) vé F{f} Vay f = F(f) bh trén R
Nghĩa là (b) được chứng minh Chứng minh (c) hồn tồn tương tự
Phần chứng minh tính chất tồn ánh của F tham khảo [2]
Trang 22Chương 3: ứng dụng của phép biến đối Fourier
3.1 Bài tốn giải phương trình truyền nhiệt
Bài tốn: Tìm nghiệm z(x,?) của phương trình vi phân sau:
2
ou =a" > 0,-00 < x < +00 (1) Ot Ox
Thoa man diéu kién ban dauu(x,0) = ƒ(x),—=œ < x< +œ và thoả mãn các điều
kiện: (ï) u,u,,u,„ liên tục, khả tích trên R theo biến x,vz >0 cố định (ii) VT > 0,3 € L(R): |u,(x,0)| <Q), Vt € [0,7] Vx
Giải: Ta biến đổi về trái của (1) như là hàm theo biến x ( xem 11a tham số) dùng tính chất ii) để cĩ thê lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, ta cĩ :
al u,(x,te “dx = tr ¬ =0) a ƒ 17”
Tương tự sử dụng ï) va tinh chat 6 của biến đổi Fourier ta bién déi Fourier về phải của (1) như là hàm theo biến x ta cĩ :
u,„(x.ĐŸ = 0Ã)28(4,0) =—8#â(A.t)
Trang 231 ¬ 1 bay 2) >i A,t = eo (4a -( eo 14a TT Ct) ( 2t f) 2aVm f Vay u((xt) = 1 c* !4a“r * f(x) 2 / da”, QaVat 1 7° ? /4a?t 3 re J(œ~#)-4£ =x)" 1 = 4a? "¬ ` dé Ví dụ 3.1 : Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt sau : 2 Mat = 60
Thoả mãn điều kiện về nhiệt độ ban đầu ¿ =0: „(x.0) = uạ(+) Và thoả mãn các điều kiện :
(i) z„u,„u, liên tục, khả tích trên R theo biến xvới vz >0 cố định
(1) v7 >0,3® e 1(R), „„(x,f) <@®(),v¡ e|0,7]Vx
Giải : áp dụng kết quả của bài tốn tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong trường hợp tổng quát ta cĩ ngay kết quả :
Nghiệm của phương trình đã cho là : ø(x,) = 1 [ e _Ẻ 4m (x— Ð) đệ
2Vat +”
Trang 242 ` ` = = as và thoa man diéu kién ban dau : V(x,7,0) = f(x,7) t x Ta chứng minh rằng hàm : u(x,t) = [vằœ.r —z)đr là nghiệm của bài tốn ban đầu : + Điều kiện ban đầu là hiển nhiên + Ta cĩ : —.~ ˆ or *0 Ot 2 2 _ got =[a2 VOT Dar ox” +0 Ox Ou Ou 735 -a Bye 7 Vt) ~ Fost) (ED) sea
_f' _ f' ” of) 4a? ur) ` "`
Do d6 u(x,t) = [Vx,z0-2)de =—[ def Cala’ dé la nghiém cia phuong trinh ban dau
Từ đĩ ta cĩ nghiệm của phương trình tổng quát : Ou ; Ơ?w oO =a ae FLO) là u(x,0) = g(x) -(£=z)” -(§~x)Ÿ , se :
na) = [ eH d+ [E5 nen đệ
Trang 25i, (x,t) + Zâ(x,0) = 0 â(x.0) = â(3).đ,(x.0) = 0
Đây là một phương trình vi phân thường, với mỗi 4 e & cố định ta tìm
nghiệm dạng : 2 = fe” (By eC) 2 2^ Từ đĩ | — 7*/4/=0 đ(x,0) = §(3).0,(x.0) =0 r>0 Suy ra: (7 +|AlÌ/ =0 ©z?+|A =0 ©z=#2|
Xét điều kiện ban đầu 2(x.0) = ệ(œ)
Trang 26Chương 4: Phép biến déi Laplace 4.1 Biến đối Laplace: 4.1.1.Hàm gốc: Định nghĩa: Cho hàm số / thoả mãn các tính chất sau: (i) f do duge trén(0,«) (ii) f tăng khơng nhanh hơn một hàm mũ khi t > «, nghia la: đz >0,3Ä/ >0, ƒ0|<M.e“,Vi>0
Số ø, =inf ø, với tất cả œ thoả mãn (ii) , được gọi là chỉ số tăng của ƒ Lưu ý cĩ thể (ii) khơng thoả mãn với z,.ầm cĩ các tinh chat (ji) - (ii) được gọi là hàm gốc
4.1.2 Định nghĩa biến đối Laplace:
Trang 27Giải: Ta cĩ biến đổi Laplace cua f(r) la: = 1 F(p) = Ỉ ee" dt = ele ư-p 1 bs =—— Vol Re(p-a)>0 1=0 a—p (p-#)
Ví dụ 4.3: Biến đối Laplace của hàm ƒ0)=¿" là:
F(p)Ï]e "trái = hee) -_1 en Pp | =e n+l? Rep >0 œ yO npe oo, | =nf tte dt ="/ tle dt t=O 0 D 0 Vi dụ 4.4 :Tìm biến đối Laplace của hàm ƒứ) =:”“,ø >—l.ø eQ Ta cĩ 0 0 tu F(p)= | “e "1“át = [ e” Op lu T(z+l TT pm p
Định lý 4.1: Cho ƒ là hàm gốc cĩ chỉ số tăng là øz„ Khi đĩ biến đối Laplace
F của ƒ là hàm giả tích trong miền Re p > ø„ Chứng miỉnh: Đặt r, là hàm định bởi:
F,(n) = [ ef (dt,
Với Rep>a,, thi day (F,),.,, hdi tu déu vé Ftrén miền Rep>a,+2e, voi e>0 bat ky That vay, voi moi pthudc mién Re p> a, +2¢, ta cd:
F,(p)—F(p)| < [ew ƒ)|& < Me edt
1 -
< MỊ e “đi =_—-e”°, fi £
va bat đẳng thức khơng phụ thuộc vào p trong miền Re p> øạ +2£, suy ra SỰ hội tụ đều trên miền đĩ
Trang 28
Ngồi ra với mỗi øe N,F, giải tích trên miền Re p > z Thật vậy,xét p cĩ định
sao cho Re p > øz, sử dụng định nghĩa hội tụ bị chặn của Lesbesgue, ta cĩ:
"1` ẽ.ẽ
F,(p)=m PS T—T PP =lim fr fe” at
—hi-I
= đu“ lim © lim dt = [ if (the "dt Ƒ —pt
Theo dinh ly cua Weierstrass, ch.1, ham F cũng giải tích trén mién Re p > a 4.1.4 Tính chất của biến đối Laplace:
Tinh chat 1: (tính chất tuyến tính):
Định lý 4.2: Cho các hàm gốc ƒ, cĩ các chỉ số tăng là ø,, biến đối Laplace là F.,k =1,2, n Khi đĩ biến đối Laplace cia hàm tổ hợp tuyến tính ƒ của các hàm ƒ,
f= Veh (t), c, la hang số,
k=l
la ham F xac dinh bởi:
F(p)= Yo, F„(p) với miền xác định Re p > maxø,
k=l
Chứng minh: Suy ra từ định nghĩa và tinh chất tuyến tính của tích phân
Trang 298 p}+Ø?`
L[sin /#i]= Rep> JIm/l
(e) r[ch/]= ne (c2 +e*2 | =—? Rep >|Re A} 2 p -B (d) L[shfr]= nh _e | = —? Rep >|Re fl 2 p -B Ví dụ 4.6: Cho ƒứ) =3hŒ)+2cos3r Tìm 7ƒ] Giải: Ta cĩ: Lf ]=3L[A(t)]+ 2L [cos 3¢] @ f]=3+22., p p+9 Ví dụ 4.7: Tìm hàm gốc của anh: 2 2 F(p)=—+—— Pp p +16 Giải: Ta viết biểu thức F(p) đưới đạng: 1 1 4 F(p)=2—+= (p) p 2d pre : Suy ra ƒŒ)= 2h) + s 4t Tính chất 2 (Tính chất đồng dạng): Định lý 4.3(Định lý đồng dạng): Cho hàm gốc ƒ cĩ chỉ số tăng là a, L[f]=F ,và c>0 là hănb 1> ƒ(eÐ]= pr> SF(P).Re p>cøy Chứng minh: Ta cĩ:
1[ƒ(eÐ]= ͈ ø”'(eĐár = NI f(u)du = ire)
Vi du 4.8: Tìm biến đổi Laplace cua ham f(t) =cosar
Trang 30
P Giai: Ta co: 1[f]=+ F2)=+-—*#— =" a a a p p +a 1+} — a Tương tự ta cĩ ngay với ƒứ) =sin ø thì r[sin ar]= + = a Tinh chat 3: Dinh ly 4.4: Cho L[f()]= F(p),Re p > a Dat: 0, /<z7 }“ | Ƒứ—e), tr Khi dé L(f,) = pre?’ F(p),Re p > a fC
Ching minh: Ta co:
Uf Mp) = foe" dt = [Pe fr a)at
= [) fave du =e"'F(p) Tinh chat 4(Tinh tién anh):
Định lý 4.5 (Định lý hỗn hợp): Cho Z[f]=F,f cĩ chỉ số tăng là ø,,2 là
hằng số Khi đĩ:
LÌe”.ƒŒ)]= F(p—A),Re p > a +Rea
Ching minh: Ta co:
Trang 31a) Do: L{cos pr]= —? — p +a? ^ r kK at pra nén theo tinh chat 4 ta suy ra Le cos prl= praise ; 8 b) Do: LÌgin đ#Ì= re nén theo tinh chat 4 ta suy ra rĂin e sin pr|= ora ar 1 a 1 c) Do: L[h@]=—, suy ra Lle Aw |= — Pp Pp +a Vi du 4.10: Tim ham gốc của ảnh F(p) =———— pˆ+2p+5 Giải: Ta viết lại biểu thức trên như sau: F0œ)=>_—^ , Ap +1)? +27]
Do Lfsin 2r]= wae ,nén Lie“ sin 2Ì= Gia? suy ra f(t) = se" sin 2r
Tinh chat 5 (Dao ham cua hàm gốc):
Dinh ly 4.6: Cho L[f]=F Gia sir f t6n tai va la ham géc, f*(0") t6n tai,
Vk =1n, thi ta c6:
Fr
fp ]=p'| ron ƒ0*)_ ƒ(0°) ere)
p Pp
Trang 32
+ ' + (N) + suy ra: p= p>[rip- 19-789 " fo |
Pp P P
Theo nguyên lý quy nạp ta cĩ điều phảI chứng minh Ví dụ 4.11:Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau:
P +2y -3y=e" 1 y(0) = y 0) =0
Giải: Đặt: Y = r[y] lấy biến đổi Laplace hai về của phương trình (1) ta cĩ:
pr 22 0)| gaff re] ay m= p p P pti 2 1 = P°'Y(p)+2Y(p)—3Y(p) = —— pti 3 1 = Y(p\(p’ +2p-3)=—— pt+l Y(@)= 1 ~_A, BC (p—Dip+3\p+D pl p+3 pti A= 8 Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được:‡ ø= ; c==? 4 A 1 1 1 Vay ay yỨ)=Q yứ)=_—-e'+—-e *“—=—-e" § 4 Tính chất 6( Đạo hàm của ảnh): Định lý 4.7: Cho L[f]=F, f cĩ chỉ số tăng là ø, thì ta cĩ:
L|CĐ" f@|E F"(p),ne N,Re p > ứ,
Chứng minh: Với Re p > øạ,ø„ là chỉ số tăng của hàm ƒ() thì tích phân
Trang 33i (-t)" feat ton tai với mọi n =1,2, n Ngồi ra ta cĩ : % củ £ "04t = [ “C82 (ái =(-1)" fr" fine "dt Suy ra 1|—" ƒ0)|= F®() Trường hợp đặc biệt: F (p) = r[—0)] Ví dụ 4.12: Ta cĩ: LỈrsin /#]= —LỈ— rsin al 2(— Tum ¡4 2pØ )- dp\(p? + By} (pe + By Tính chất 7( Tích phân của hàm gốc): Lp? sin Øt]= —L[(—Ðrsin Ør]=—
Định lý 4.8: Cho r[ƒ]= và / liên tục Khi đĩ ánh xạ th [ f(@dz cũng là hàm gốc ( nếu /liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của ƒ) và
df fede |=)
Chứng mỉnh: Đặt s() =[\f@lar thi g lién tuc suy ra do được Gọi a, 1a chi
số tăng của ƒ thì VO<e<1 tacé
Trang 34Dinh ly 4.9: Giá sử /[/]=Fvà rị LO là hàm gốc Khi đĩ
ƒ0]_ SỨ Cụ
420) = [/Fwdu trong do i} = Tim ep I
Ching minh: Dat g(t) = To = Lg] Theo tính chất 6 thì: G(p)=1|s@)]==1[7]=~ Vậy Ø là một nguyên hàm của —#Ƒ Ngồi ra g là hàm gốc với chỉ số tăng / ¿_—Rezt/#l œ nên: Gz < [re -(Rez *"|g0)#t < M.[ˆe Reet BH) gy = MPa = —Rez = 0 _ M Rez-/đ-I Trong đĩ Rez~f-1>0 suy ra lim G()=0và —G(p)=-G(p) + lim GŒ) = [“F())du sint Vi du 4.13: a) Tim biểu diễn của hàm ƒŒ)=—— t 0, œ Giải: Ta cĩ iene ‘)- Ỉ su = arctgq == _aretgp t pq +i 2 b) Tính tích phân 7 = Ẹ Tự, œ 7 = arctgq| =—-—arctgp p 2 0 2 ty Giải: Ta cĩ J = [— sin , 1 qt Tinh chat 9: Định lý 4.10: Giả sử r[Z]=F.1[g]=G ,ƒ và s lần lượt là các hàm gốc cĩ chỉ
Trang 35(fe gl= f f@g(t—t)dt|< [ir@se —?)dr< Mi EOF 2039621
=M> ern [eee Wd
< là” ay 2 Bo
~ (Meh By > ay
Bat dang thức sau cùng cĩ được bằng cách tinh trực tiếp tích phân
Vậy ƒ *ø là hàm gốc cĩ chỉ số tăng z„ < max{z,,/,}
Tiếp theo ta cĩ:
TU *8)]= ͈ e “Ệ ƒŒ)gữŒ—z)dadt = [ˆ ƒŒ)dr[” 6ˆ” gữ—z)át
=G0)|, ƒŒ)£ “4z = F(p)G()
4.2 Biến đỗi Laplace ngược:
Định lý 4.11: Cho hàm gốc ƒ trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục : >0chỉ số tăng là ø„ Khi đĩ ta cĩ:
f= sah err p)dp,x > a, (4.1)
Tích phân trong (4.1) được hiểu theo nghĩa giá trị chính và cơng thức này gọi là cơng thức Mellin
Ching minh: Voi x>a, dat zsứ)=e ”“ƒŒ) Ta cĩ s cũng trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục ; >0 Ngồi ra ta cĩ:
[ladl=[ e" f lat < Mee" dt
= ME e9 áp
Chọn ¿>0 sao cho x—øyT—£ >0 thì khi đĩ z khả tích
Trang 36và „TM _ 1 pe pe ay —w(x+iÂ) _ 1£ ia ” —w(x+iÂ)
Suy ra: e ro=—J fe ƒ00e dud =I dal’ fue "du
Do đĩ f= 5 fe" Foriada DOi biển p=x+/2 tả được điều phải
chứng minh
Chú thích: Vì về trái của cơng thức Mellin độc lập với x.x >ø„ nê tích phân trong về phái cĩ thé lay doc theo một đường thẳng x=a tuỳ ý sao cho z > ø, áp dụng định lý trên ta cĩ tính chất sau của phép bién déi Laplace:
Định lý 4.12: Cho các hàm gốc ƒ,g trơn từng khúc trên nửa trục >0 cĩ chỉ số tăng lần lượt là øz„./,> Giả sử ![7]= F,1[s]=G Khi đĩ ƒ - ø cũng là hàm gốc với chỉ số tăng là a, +B, va:
L[/ -g]= sgh FOG -v)dv Trong dé x>a,,Rep>x+B,
Chirng minh: Theo gia thiét f,¢ 14 hàm gốc nên ta cĩ:
|fO|<M,e" Vvt>0
|g(t)|<M,e" vt>0
[f.g)|<M,M,e" Vi>0
Dat M=M,.M, c6 a, =inf a, f, =inf B nén a, +f, =inf(a+ )
=> f-g laham géc cĩ chỉ số tăng ø„ + Ø, áp dụng cơng thức Mellin ta cĩ:
co 0 1 prio
Uf -g]= |e" £@.g@de = [ ene st [erronar a = 5 PF @dv fe g(ndt
= sah Feat p—v)d
Định lý 4.12: Cho hàm ƒ thoả mãn các điều kiện sau :
(i) F giai tich trong miền Re p > a,
Trang 37
(ii) Khi |p| trong mién Rep>a, thì ham F tiến về 0 đều theo
arg pe|- =,” &P 29
đi Với mọi x>ø, [ |F@+iyj@y<M trong dé M1 hang s6 Khi đĩ
ham F xac định trên Re p > ø, là biến đỗi Laplace của hàm xác định bởi
1 prtio pt
fO=—]J —e"F(p)dp Ami Jxie x >a
Định lý 4.13: Giả sử rằng thác triển giải tích của F trên nửa mặt pohăng trái
là một hàm giải tích đơn trị Giả sử /[ƒ]=F và p=œlà điểm chính quy của Cn P F nghia la F cé khai trién tai vo cu như sau: F(p) = Š (4.2) n=l Khi đĩ /@)=3`e„¡—, với r>0 (4.3) n=0 n n n+l Lại cĩ Lt" | = do đĩ định lý cũng cĩ nghĩa là: 1 Sean = SE Uf'] n=0 mo HỈ
Chúng ninh: Ta đi khảo sát sự hội tụ của chuỗi (4.2) Giả sử chuỗi (4.1) hội tụ bên ngồi đường trịn bán kính R, Khi đĩ: Cc re |F(p)| < — voi |p| =R, R, Từ đĩ ta cĩ đánh giá hé sé c,,, cua (4.1) 1 n n Cn = Ig PM dp<M,.R; 2 „ ©» (R n Suy ra Seale < uy ei” = Mehl n=0 n > an
Vậy chuỗi (4.3) hội tụ tuyệt đối và đều trên [—N,M] với N >0 tuỳ ý Hơn nữa tổng của chuỗi này là hàm gốc
Trang 38
Do tính hội tụ đều ta cĩ: N = tr" ZC N ZC 0 0 ee" c„¡.—)dt = mol [ err'dt=y Í e tát = e""' đt Ũ ps nel nÙ > nỊ Jo > n (, n= IN ) -y< os "na (4.4) 0 n=0 P n= : 2 , x eC, Oy xẻ z Ta đi khảo sát chuơi yey e"'t"dt VOi Rep=R, >R, tac6 n=o M1 Cnsal lƒ« ma < Ca [ie eh edt < lc Cnt — eke" dt nị |*N n oN nt +0 C n+l —Mu.„n ARM! so Ẹ e u du Cn TR = T(n+1) — |fsal RM Suy ra với Re p= R, > R, chudi yt = uf e"r"at hdi tu déu theo N no Mo) Mặt khác từng số hạng của chuỗi này tiễn về 0 khi N > nén tt (4.4) ta suy %= ra [ˆ e ` t “at = oe “1 suy ra điều phải chứng minh 70 =) P
4.3 Tính khơng chỉnh của biến đối Laplace ngược:
Bài tốn tìm hàm gốc của F cĩ thể xem như bài tốn giải phương trình tích
phân cấp 1 sau [ie "Fear = F(p) (4.5)
Xét phương trình tốn tir Af = g (4.6) trong đĩ A là tốn tử từ /?(R') vàốoc dinh boi Af = pt fier ƒứ)# bài tốn tim f thoa man phuong trinh (4.6) goi
là bài tốn khơng chỉnh vì cĩ thé vo nghiệm hoặc cĩ nghiệm khơng phụ thuộc
liên tục vào ø, nghĩa là sự nhiễu rất nhỏ của g cĩ thể dẫn đến sự nhiễu lớn của ƒ Ta sẽ khảo sát một cách chỉnh hố bài tốn này:
Trang 39
Người ta chứng minh được A là tốn tử tự liên hợp nghĩa là: A' = A Xét phương trình nhiễu sau: ý, + A*Aƒ, = A*g„ (4.7)
Ta cĩ A'Aƒ, = A?ƒ, =s> Ẹ (fers (tt Je" dp => Ẹ f cof [ap ar =f Ou 0 ƒ+s Và phương trình Aƒ = g viết lại đưới dang: d.0)+ 172514 = [ e "g0 48)
Người ta chứng minh phương trình (4.7) tương đương với phương trình biến
phân sau : ¿(ƒ,,v)+ (Aƒ,, Ay) =(g„, Ay),Vy e 1 (R) (4.9)
Trong đĩ (., ) là tích vơ hương trong /”(R') phương trình trên cĩ nghiệm duy nhất Định lý 4.14: Giả sử || - ø, ,<£ (4.10) và ƒ=Au ¡e1(R') (4.11) 1/2 1 2
Khi đĩ ths] “eh -e'? (4.12)
Ching minh: Vv € L’(R*) ta cé (Af, Av) = (g, Av)
E(f.V) + (Af, AV) = (g,,Av)
Trừ theo về 2 đẳng thức trên
được: eŒƒ„,v)+(AŒ, — ƒ), Ay) =(g, — 9, Av), Vv € LD’ (R*)
Voi v=f,-f thì eƒ,./,= ƒ)+||AV, - #)|Ệ =(g,=ø.AỢ, = /))
Hay ef, -f |, +|AU Pl, =e fe — f+ (8, — 8 ACF = ƒ))
Do (4.11) va bất đẳng thtre Cauchy — Schwartz ta co:
(ff, -— Pl =|(Aw f, - P| =| 4" Cf, — P| =| AC, — A)
Trang 40
£ 1 1 1
< [ul JAC — Pl <2|dŠ +2 |AƠ, =0], < 22° +2lA0, ~ ĐI
Từ đĩ suy ra (4.12) Mặt khác (4.9) tương đương với
f.=f ~dlz, +A'(A.ƒ, —g,)| (4.13) nghĩa la f, là điểm bất động của tốn tử
B:1ˆ(R`)—› Iˆ(R') xác định bởi Bƒ = ƒ —à|# + A*CAƒ — g„)| (4.14)
Bang cach chon a= oy nguoi ta ching minh duge B là tốn tử co với (E+]All) z 2 2 hệ sơ co là: Ø= I———— (+|Al[” Đặt /,(0)=0,//””=FŒ”") Ta cĩ if, fe -f, 2 +|f.-f il, 1 ee < — H2 gm 2 E2 <3 8”+ 2 é Nghĩa là /“? là nghiệm xấp xỉ của bài tốn ban đầu 4.4 Tích phân Duhamel Định lý 4.14(Định lý Duhamel): Gia st: L[f()]= F(p), L[g@]= G(p) Khi dé ta cĩ cơng thức: pF(p).G(p) = LÌ/0(0 + [ f@)g (t- dt}