Luận văn sư phạm Ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp

Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa : toán ********* Nguy n th d u ng d ng đa th c phân th c h u t vào đ is s c p KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Hà n i - 2008 is IH C Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa : toán *********** Nguy n th d u ng d ng đa th c phân th c h u t vào đ is s c p KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên ngành: IH C is Ng ih ng d n khoa h c HÀ TH THU HI N hà n i - 2008 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán L ic m n Sau m t th i gian nghiên c u, d i s giúp đ t n tình c a th y cô giáo b n sinh viên, khoá lu n c a em đ n hoàn thành Em xin chân thành c m n th y giáo khoa Tốn, th y cô t i s tr c ti p gi ng d y t o u ki n t t nh t cho em th i gian làm khố lu n Em xin bày t lịng bi t n sâu s c c a t i cô Hà Th Thu Hi n giúp đ em t n tình trình chu n b hồn thành khố lu n Do l n đ u làm quen v i công tác nghiên c u n ng l c b n thân h n ch nên khố lu n khơng tránh kh i thi u xót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n sinh viên đ khố lu n c a em đc hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên Nguy n Th D u Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán L i cam đoan Tơi xin cam đoan khố lu n t t nghi p cơng trình nghiên c u c a riêng tôi, không trùng v i kêt qu nghiên c u c a tác gi khác N u sai, tơi hồn tồn ch u trách nhi m Hà n i, tháng n m 2008 Sinh viên Nguy n Th D u Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Tốn L i nói đ u Trong nhƠ tr ng ph thơng, mơn Tốn gi m t v trí h t s c quan tr ng Nó giúp h c sinh h c t t môn h c khác, lƠ công c c a nhi u ngƠnh khoa h c, lƠ công c đ gi i quy t nhi u v n đ đ i s ng th c t Mu n h c gi i, đ c bi t h c gi i mơn tốn ph i luyên t p, th c hƠnh nhi u.NgoƠi vi c n m rõ lí thuy t, ph i lƠm nhi u bƠi t p i v i h c sinh, bƠi t p r t nhi u vƠ đa d ng nh ng th i gian h c t p h n h p ng th i em khó có u ki n ch n l c nh ng bƠi t p hay có tác d ng thi t th c cho vi c h c t p, rèn luy n vƠ phát tri n t h c tốn c a Trong mơn tốn, đa th c gi m t v trí h t s c quan tr ng Nó khơng nh ng lƠ đ i t ng nghiên c u c a đ i s mƠ cịn lƠ cơng c đ c l c c a gi i tích Tuy nhiên cho đ n nay, tƠi li u v đa th c ch a có nhi u, d ng bƠi t p v đa th c ch a đ c phơn lo i rõ rƠng vƠ h th ng hoá ch a đ y đ V i nh ng lí em ch n đ tƠi “ ng d ng đa th c phân th c h u t vào đ i s s c p” nh m phơn lo i, h th ng m t s bƠi toán v đa th c, phơn th c h u t vƠ ng d ng c a đ gi i bƠi tốn có liên quan T giúp em h c sinh THPT có thêm tƠi li u đ luy n t p vƠ th c hƠnh Bên c nh ta c ng th y rõ h n vai trò c a đa th c, phơn th c h u t nhƠ tr ng ph thông Hà N i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Nguy n Th D u Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Tốn M cl c L i nói đ u…………………………………………………………………….1 M c l c……………………………………………………………………… Ch ng Nh ng ki n th c liên quan ………………………………… 1.1 VƠnh đa th c m t n……………………………… 1.2 VƠnh đa th c nhi u n………………………………………11 1.3 a th c đ ng d ………………………………………………13 1.4 Phân th c h u t ………………………………………………14 Ch ng ng d ng c a đa th c m t n…………………………………….18 2.1 ng d ng 1: Xác đ nh đa th c……………………………………18 2.2 ng d ng 2: Ch ng minh m t s bƠi toán chia h t …………… 23 2.3 ng d ng 3: Tìm giá tr c a bi u th c đ i x ng đ i v i nghi m c a đa th c …………………………………………………………26 2.4 ng d ng 4: Gi i ph ng trình………………………………… 30 2.5 ng d ng 5: Tìm m c đ nh c a h hƠm s ………………… 33 Ch ng ng d ng c a đa th c nhi u n………………………………… 36 3.1 ng d ng 1: Phơn tích đa th c thƠnh nhơn t ………………….36 3.2 ng d ng 2: Ch ng minh h ng đ ng th c……………………… 38 3.3 ng d ng 3: Ch ng minh b t đ ng th c …………………………40 3.4 ng d ng 4: Gi i h ph 3.5 ng d ng 5: Ph Ch ng trình……………………………… 44 ng trình iơph ng…………………………… 47 ng ng d ng phơn th c h u t vƠo tìm ngun hƠm, tích phơn…… 50 K t lu n…………………………………………………………………… 56 TƠi li u tham kh o………………………………………………………… 57 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán ch ng Nh ng ki n th c liên quan 1.1.Vành đa th c m t n 1.1.1 Xây d ng vành đa th c m t n nh lí: Cho A lƠ m t vƠnh giao hốn có đ n v , kí hi u ph n t đ n v lƠ 1.G i P lƠ t p h p dƣy có d ng: P  (a0,a1 ,an , ) /  A, i  0,1 ,ai  0hÇu hÕt Trên P xác đ nh qui t c sau: Quy t c c ng: (a ,a1, a n , )  (b0 ,b1, ,bn , )  (a  b0 ,a1  b1 , ,a n  bn , ) Quy t c nhơn: (a ,a1, a n , ).(b0 ,b1, ,bn , )  (c0 ,c1, ,cn , ) V i c0  a b0 ; c1  a 0b1  a1b0 ; ck  a 0bk  a1bk1   a k b0 ; k  0,1, * (P, +, ) lƠ m t vƠnh giao hốn, có đ n v vƠ đ cg i lƠ vƠnh đa th c M i ph n t c a P lƠ m t đa th c Ch ng minh: +Hai quy t c c ng vƠ nhơn đơy lƠ hai phép tốn đ i s hai ngơi xác đ nh P: a  (a0,a1, ,an , )  P, b  (b0,b1, ,bn , )  P Ta có: ,bi  A   bi  A M t khác , bi = h u h t nên ai+bi= h u h t V y a  b P Khoá lu n t t nghi p T ng t : Nguy n Th D u – K30D Toán ,bi  A  bi  A  ck  A M t khác , bi = h u h t nên ck = h u h t V y a.b  P + (P,+,.) lƠ vƠnh giao hoán có đ n v - Phép + A có tính ch t k t h p, giao hốn nên phép + P c ng có tính ch t k t h p vƠ giao hoán Ph n t đ n v lƠ = (0,0,…,0,…) Ph n t đ i c a a lƠ -a = (a0, a1, , an , ) - (P,.) lƠ m t v nhóm giao hốn Phép nhơn có tính ch t phơn ph i đ i v i phép c ng vƠnh A; phép c ng vƠ phép nhơn có tính ch t k t h p, giao hốn nên phép nhơn P có tính ch t k t h p, giao hoán Ph n t đ n v = (1,0,…,0,…) - Ta c ng ki m tra đ * c phép nhơn có tính ch t phơn ph i đ i v i phép c ng a cách vi t t ng quát v cách vi t thông th ánh x ng f :A P a  (a,0 ,0) lƠ m t đ n c u vƠnh Do ta đ ng nh t a  A v i f (a)  P  A  P Các ph n t c a A c ng đ c g i lƠ đa th c Kí hi u x  (0,1,0, ) ta có x = (0,0,1,0 ) x = (0,0,0,1,0, ) …… x n  (0,0, ,0, 1, 0, )    n Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán  P    (a ,a1, ,a n , ) , a i  h u h t   n  N cho a n1  a n2      (a ,a1, a n ,0, )    (a ,0, )  (0,a1,0, )   (0, ,0,a n ,0, )  (a ,0, )  (a1 ,0, )(0,1,0, )   (a n ,0, 0, )(0, ,0,1,0, )  n  a  a1x   a n x n Cách vi t   a  a1x   a n x n cách vi t thông th ng Khi đó, thay cho P ta vi t lƠ A[x] A g i lƠ vƠnh c s , x lƠ n Các ph n t c a A[x] th ng đ c kí hi u lƠ f(x), g(x),… Ch ng h n, f (x)  a  a1x  a n x n ,a n  ; đó: a i x i g i lƠ h ng t th i; , a0 , an t ng ng g i lƠ h t th i, h t t do, h t cao nh t 1.1.2 Các tính ch t c a vành đa th c m t n a B c c a đa th c Cho f (x)  A x , f (x)  a  a1x  a n x n ,a n  N u f(x) = ta nói f(x) khơng có b c ho c có b c  N u f (x)  n đ c g i lƠ b c c a đa th c f(x) vƠ đ n = degf(x) Tính ch t: Gi s f(x), g(x) lƠ hai đa th c th c khác (i) N u f (x)  g(x)  deg (f (x)  g(x))  max{ deg f (x),deg g(x) } (ii) N u f(x).g(x)  deg(f(x).g(x))  deg(f(x)+deg g(x) b Phép chia đa th c * Phép chia có d c kí hi u lƠ: Khố lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán nh lí: Cho vƠnh đa th c A[x], A_ tr ng V i hai đa th c b t k f (x),g(x)  A[x],g(x)  t n t i nh t đa th c q(x), r(x)  A [x] cho : f(x)=g(x).q(x)+r(x), r(x) = ho c r(x)  deg r(x) < deg g(x) Ch ng minh: 1.S t n t i: N u f(x) =  q(x)=0, r(x)=0 N u f(x)  +) N u deg f(x) < deg g(x) ta vi t f(x) = g(x).0 +f(x) ta có q(x) = 0, r(x) = f(x) +) N u deg f (x)  deg g(x) ,gi s f (x)  a n x n  a n 1x n 1  a1x  a , a n  g(x)  b m x m  b m1x m1   b1x  b ,b m  Ch n h(x)  anbm1x nm  A[x] t f1(x) = f(x) - g(x) h(x)  A[x] N u f1(x) =  q(x) = h(x), r(x) = N u f1(x)  +) deg f1(x) < deg g(x)  q(x) = h(x), r(x) =f1(x) +) deg f1(x)  deg g(x) ta l p l i lí lu n trên, gi s : f1(x) = an1 x n1 + an11x n11  Ch n h1(x)  an1 bm1x n1m  A[x] t f2(x) = f1(x) - g(x) h1(x) A[x] N u f2(x) =  f1(x) = g(x) h1(x)  f(x) = g(x).h(x) + f1(x)= g(x).h(x) + g(x).h1(x)= g(x) ( h(x) + h1(x) 10 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán e) x  y4  xy3  x y BƠi 2: Ch ng minh r ng v i m i a, b > tho mƣn a + b =1 1  6 ab a  b Bài 3: Cho a, b, c > a + b + c  Ch ng minh r ng: 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab BƠi 4: Ch ng minh r ng v i s th c không ơm x, y b t k , ta có: a) x  2x3 y  2xy3  y4  6x y4 x  y3 xy ) ( b) 2 BƠi 5: Ch ng minh r ng b t đ ng th c sau v i x, y lƠ s th c b t k khác 0: x y2 x y    3(  ) y x y x BƠi 6: Cho a, b, c lƠ đ dƠi c nh c a tam gáic thì: a) 2(ab + bc +ca) > a2 + b2 + c2 b) (a2 + b2 + c2)(a + b + c) > 2(a3 + b3 + c3)  3abc 3.4 ng d ng 4: Gi i h ph ng trình 3.4.1 C s lí lu n Ta th ng g p h ph ng tình mƠ v trái lƠ đa th c đ i x ng n lƠ x, y, z … ta chuy n sang n m i: 48 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán 1  x  y  z, 2  xy  yz  zx, 3  x, y,z , vi c gi i ph s đ n gi n h n Sau tìm đ ng trình m i nƠy c giá tr c a 1, , ….ta tìm đ tr c a x, y, z 3.4.2 Các ví d Ví d 1: Gi i h ph x  y  z   ng trình :  x  y  z  x  y3  z3  xyz   L i gi i: t 1  x  y  z, Ta nh n đ  2  xy  yz  zx, 3  xyz    c h :  12  2   13  3 1  3    1  0,   3,   Khi x, y, z lƠ nghi m c a ph ng trình: t3 – 3t – = Ta th y t3 – 3t – =  (t + 1)(t2 – t – 2) =  (t + 1)2 (t – ) =  t  1  t  V y h đƣ cho có nghi m : ( -1, -1, 2) ; ( -1, 2, -1) ; (2, -1, -1) Ví d 2: x  y  z   Tìm s nguyên x, y, z tho mƣn  x  y3  z  36  xyz  36  49 c giá Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán L i gi i: t 1  x  y  z, 2  xy  yz  zx, 3  xyz Vì x, y, z  ฀ nên 1, , ฀    H đƣ cho tr thành  13  3 1  3  36     x, y, z lƠ nghi m c a ph       11    ng trình : t3 + 6t2 + 11t – =  ( t – 1) (t2 – 5t + 6) =  ( t – 1) ( t – 2) ( t – 3) =  t = 1; 2; V y h đƣ cho có nghi m lƠ: ( 1, 2, 3) ; ( 1, 3, 2) ; (2, 1, 3) ; (2, 3, 1) ; ( 3, 1, 2) ; ( 3, 2, 1) 3.4.3 Bài t p áp d ng BƠi 1: Gi i h ph ng trình sau:  x  y3   x  y   x  y  z  3   x  y3  z  27  x  y  z  113  50 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán x  y  z  a   x  y  z  b  x  y3  z  a   x  xy  y   4  x  y  17 3  x  y   4  x  y  x  y  a  ng trình sau:  x  y3  x  y2  b  Bài 2: Gi i vƠ bi n lu n h ph BƠi 3: Gi i h ph ng trình sau:  x y2  y2  x  2      13  x y  x  y  z  2   xy  yz  zx  1  xyz   13  x y z       1 13     x y z  xyz    3.5 ng d ng Ph ng trình iơph ng 51 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán 3.5.1 C s lí lu n: Xét ph ng trình mƠ bi u th c v có d ng đa th c đ i x ng c a bi n Tu theo bƠi tốn c th mƠ có cách gi thích h p Ta có th lƠm nh sau:  x  y  1 t (*)   xy  B c 1: Bi u di n ph ng trình ban đ u theo ph ng trình c a 1, Rút  theo  (1) +) Cách 1: T (*) vƠ (1) suy x, y lƠ nghi m c a ph ng trình t  1t  2 Cùng v i u ki n   suy u ki n c a  +) Cách 2: Do x, y lƠ s nguyên nên lƠ s th c Do v y c n u ki n k t h p v i (1) tìm u ki n c a  B c 2: Tìm x, y theo 1, 3.5.2 Các ví d : Ví d 1: Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình: x3 + y3 + = 3xy L i gi i:  x  y  1 t (1)   xy  Ph ng trình tr thƠnh:  13  3 1   3  ( )( 12     3 )  Vì x, y > nên   nên ta có 12  1   3     ( 12    1) (2) 52 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán T (1) vƠ (2) suy   x  y  1    xy  2  (1  1  1) nên x, y lƠ nghi m c a ph ng trình z  1z  (12  1  1) ph trình nƠy có nghi m ta c n có: 4    12   12      (  2)  3 3  1  V y 1     1, T x = y = Ví d 2: Tìm nghi m ngun c a ph ng trình: x+ y = x2 – xy + y2 L i gi i: t Khi đó, ph  x  y  1 (1)    xy  ng trình tr thƠnh    12  3    ( 12   )  x  y  1  Suy   xy (1  1 )  x, y lƠ nghi m c a ph ph ng trình x  1x  (12  2 )  ng trình có nghi m      12    3   1    ; Suy      ;      ;    53   ;         ng Khoá lu n t t nghi p Gi i t ng h ph Nguy n Th D u – K30D Tốn ng trình ta thu đ c nghi m c a ph ng trình ban đ u lƠ (1, 2); (2, 1); (2, 2); (1, 0); (0, 1); (0, 0) 3.5.3 Bài t p áp d ng Tìm ngi m nguyên c a ph ng trình sau: f(x, y) = 3(x2 – xy + y2) x2 + y2 – x – y = x2y2 = x2 + xy + y2 39(x + y) = 7(x2 + xy + y2) x3 – y3 = xy + 25 Ch ng ng d ng phân th c h u t vào tìm nguyên hàm, tích phân 4.1.C s lí lu n D a vƠo s phơn tích m t đa th c th c s thƠnh t ng đa th c th c s đ n 4.2.Ph ng pháp gi i 54 Khoá lu n t t nghi p Xét P(x)  Q(x) dx v Nguy n Th D u – K30D Toán i P(x) vƠ Q(x) lƠ đa th c (i) N u deg P(x)  deg Q(x) ta l p phép chia đa th c đ vi t P(x) R(x)  W(x)  Q(x) Q(x) v i deg R(x) < deg Q(x) (ii) N u deg P(x)  deg Q(x) ta phân tích P(x) thƠnh t ng c a phơn th c Q(x) đ n gi n theo m t ba qui t c sau: +) Qui t c 1: P(x) A A2 Am     m (x  a) x  a (x  a) (x  a) m +) Qui t c 2: P(x) M1x  N1 M2x  N2 Mnx  Mn     n 2 (Ax  Bx  C) Ax  Bx  C (Ax  Bx  C) (Ax  Bx  C) n (  B2  4AC  0) +) Qui t c 3: P(x)  (x  a) (Ax  Bx  C) n A1 A2 Am M1x  N1 Mn x  Nn        (x  a) (x  a) (x  a) m Ax  Bx  C (Ax  Bx  C) n m (  B2  4AC  0) Có th dùng thu t tốn clit ho c khai tri n Taylor đ có đ c s phơn tích Ta c ng có th tìm h s Ai , Mi , Ni … qui t c b ng cách đ ng nh t t s sau qui đ ng m u s chung cho v , ho c 55 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Tốn ta có th gán m t giá tr thích h p x nƠo ( th mƣu s ) sau đƣ qui đ ng m u s 4.3 Các ví d dx x  2x  Ví d 1: Tính tích phân sau: I   L i gi i: Ta có 1 A B    x  2x  (x  1)(x  3) x  x   A(x  3)  B(x  1)  x  2x  (x  1)(x  3)  = A (x + 3) + B(x - 1) Ch n x = , ta đ c = 4A  A = Ch n x = - , ta đ V y c = - 4B  B =  1 1  (  ) x  2x  x  x  3 1  )dx Suy I   ( x 1 x  3 dx dx  (  ) x 1 x  3  [ln x   ln x  ] x 1  ln x 3  ln 56 ng nên gán cho nghi m c a Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán 3x  3x  Ví d 2: Tìm nguyên hàm: I   x  3x  L i gi i: Ta có : 3x  3x  3x  3x   x  3x  (x  2)(x  1)2 3x  3x  A B C    Ta phân tích : x  3x  x  (x  1) x   3x2 + 3x + = A(x + 2) (x – 1) + B(x + 2) + C(x – 1)2 Ch n x = ta đ Ch n x = -2 ta đ Ch n x = ta đ c = 3B  B = c = 9C  C = c = - 2A + 2B + C  A = 3x  3x  3    V y x  3x  (x  1) x  x  3x  3x  3 V y   (   )dx x  3x  (x  1) x  x   3 (x  1)2 dx  2. dx dx  x 1 x2 (x  1) 1   2.ln x   ln x   c 1 =  2ln x   ln x   c x 1 =  ln(x  2)(x  1)  c x 1 Ví d 3: Tìm ngun hàm: x 7dx  (x  1)2 57 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán L i gi i : tu=x +1 Khi đó: du  4x dx    x  u   du  x 3dx x 7dx x x (u  1) du  (x  1)2   (x  1)2 dx   u  u 1 1 du (  )du   u2  u u2 1 1  ln u     c 4 4 1   ln(x  1)    c 4 x  1 Ví d Tính tích phân x 1 dx  x  1)  (x  1)(x L i gi i: Ta có: x 1 Ax  B C   (x  1)(x  x  1) x  x  x   x-1 = (Ax+B) (x+1) + C( x  x  )  x-1 = (A  C)x ) + (A+B+C)x + B + C A  C  A      A  B  C   B  B  C   C     58 Khoá lu n t t nghi p V y Nguy n Th D u – K30D Toán x 1 2x    (x  1)(x  x  1) x  x  x  Khi đó: x 1 0 (x  1)(x  x  1)dx = 1  ( (x 2x  )dx   x  1) x  2x  dx = dx  2 (x  x  1) x 1 0 1 = (ln x  x   ln x  ) x2  x  ) = (ln (x  1)2 = ln 4.4 Bài t p áp d ng Bài1: Tìm nguyên hàm sau: a) x x 1 dx (x  1) x3  dx b)  4x  x c) x xdx  3x  BƠi 2: Xác đ nh h ng s A , B cho 59 Khoá lu n t t nghi p f (x)  Nguy n Th D u – K30D Toán 3x  A B   3 (x  1) (x  1) (x  1) D a vƠo k t qu , tìm h ngun hƠm c a f(x) K t lu n BƠi khố lu n trình bƠy c th nh ng d ng tốn n hình v đa th cvƠ phơn th c h u t Lu n v n đ c chia thƠnh b n ch ng Ch ng trình bày m t cách t ng quát v nh ng lý thuy t liên quan đ n đa th c vƠ phơn th c 60 Khoá lu n t t nghi p h u t Ch ng 2, ch Nguy n Th D u – K30D Toán ng vƠ ch ng trình bƠy ng d ng c th c a đa th c m t n, đa th c nhi u n vƠ phơn th c h u t vƠo đ i s s c p Trong m i ph n ng d ng c th lƠ nh ng bƠi t p c th vƠ nh ng ph đ ng pháp đ c tr ng th ng s d ng đ gi i nh ng bƠi t p M t s ví d c khái quát lên m t l p bƠi c th V n đ đa th c t lu n v n em ch xin trình bƠy m t s Khố lu n đ ng đ i r ng nên ng d ng c a đa th c c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m vi c nghiên c u vƠ h c t p toán h c, giúp b n đ c h th ng l i ki n th c v đa th c, phơn th c h u t , có cách nhìn sơu h n v đa th c vƠ nơng cao hi u bi t toƠn di n v đa th c Tài li u tham kh o Nguy n H u i n (2006), a th c ng d ng, NXBGD, HƠ N i Phan Huy Kh i (2006), Ph ng trình nghi m nguyên, NXBGD, 61 Khoá lu n t t nghi p Nguy n Th D u – K30D Toán HƠ N i Ngô Thúc Lanh (1987), i s s h c – t p 3, NXBGD, HƠ N i Nguy n V n M u (2004), a th c đ i s phân th c h u t , NXBGD, HƠ N i Hồng Xn Sính (1998), is đ ic ng, NXBGD, HƠ N i Tuy n t p 30 n m t p trí tốn h c tu i tr , NXBGD, 1997 62 ... nay, tƠi li u v đa th c ch a có nhi u, d ng bƠi t p v đa th c ch a đ c phơn lo i rõ rƠng vƠ h th ng hoá ch a đ y đ V i nh ng lí em ch n đ tƠi “ ng d ng đa th c phân th c h u t vào đ i s s c p”... s 2.5.1 C s lí lu n - D a vƠo tính ch t đa th c b ng Cho đa th c f(x) = h t c a đa th c b ng khơng T suy đa th c b c n có nhi u h n n nghi m đa th c lƠ đa th c 2.5.2 Ph ng pháp gi i - G i M(x0,... ng ng d ng c a đa th c nhi u n 3.1 ng d ng 1: Phân tích đa th c thành nhân t 3.1.1 C s lí lu n Ta có th phơn tích thƠnh nhơn t đa th c đ i x ng b ng cách bi u di n đa th c qua đa th c đ i x ng