Luận văn sư phạm Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thơng L i c m n! Trong q trình làm khóa lu n, em nh n đ b o r t t n tình c a th y V c s giúp đ ch ng Thông Em xin chân thành c m n bày t lòng bi t n sâu s c t i th y Em c ng xin c m n s giúp đ c a th y giáo khoa Tốn, th y cô t i s Th vi n tr ng i h c s ph m Hà N i t o u ki n t t nh t giúp em hồn thành khóa lu n Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên H ng Th m H ng Th m K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông L i cam đoan Khóa lu n c a em đ V ng Thơng v c hoàn thành d is h ng d n c a th y i s c g ng c a b n thân Trong su t trình nghiên c u th c hi n khóa lu n em có tham kh o m t s tài li u c a m t s tác gi (đã nêu m c tài li u tham kh o) Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p k t qu nghiên c u c a b n thân em, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Sinh viên H ng Th m H ng Th m K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông M cl c Trang M đ u Ch ng Nh ng ki n th c liên quan đ n đ tài Ph n a th c m t n Xây d ng vành đa th c m t n 1.1 Xây d ng vành đa th c m t n 1.2 B c c a đa th c m t n Phép chia v i d 3 Nghi m c a đa th c 3.1 nh ngh a 3.2 Nghi m b i 3.3 nh lý Bezout 3.4 Công th c Viéte 3.5 L c đ Horner Ph n t đ i s , ph n t siêu vi t 5 i s đa th c Ph n a th c nhi u n Xây d ng vành đa th c nhi u n 1.1 Xây d ng vành đa th c nhi u n 1.2 B c c a đa th c nhi u n a th c đ i x ng 2.1 nh ngh a 2.2 Tính ch t Ch ng Nh ng toán đ i s s c p có liên quan đ n đa th c 11 Ph n i v i đa th c m t n 11 Bài toán Tr c c n th c H ng Th m m u 11 K32B- Toán Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Bài toán Nh n bi t đa th c khơng phân tích đ ng Thơng c 15 Bài toán Ch ng minh đa th c chia h t cho 17 Bài toán S d ng đ nh lý Viéte 21 4.1 D ng 1: Tính giá tr c a bi u th c đ i x ng K gi a nghi m 21 4.2 D ng 2: Tìm m i quan h gi a h s c a m t s ph ng trình b c ba, b c b n bi t m i quan h gi a nghi m c a 24 4.3 D ng 3: Tìm mi n giá tr c a tham s đ nghi m c a ph ng trình f  x, m  th a mãn K u ki n 30 Bài toán Ch ng minh đ ng th c 34 Bài tốn Tìm m c đ nh c a h đ th hàm s 36 Bài tốn Phân tích đa th c thành nhân t 40 Ph n i v i đa th c nhi u n 45 Bài toán Tr c c n th c m u 45 Bài tốn Phân tích đa th c thành nhân t 47 Bài toán Ch ng minh h ng đ ng th c tr ng h p có u ki n ho c khơng có u ki n 50 Bài toán Ch ng minh b t đ ng th c 52 Bài toán Xác đ nh ph Bài toán Gi i h ph Bài toán Gi i ph ng trình b c hai 56 ng trình 59 ng trình c n th c 62 Bài tốn Tìm nghi m nguyên c a ph Ch ng trình 65 ng K t lu n 69 Tài li u tham kh o 70 H ng Th m K32B- Toán Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông M đ u Lý ch n đ tài Trong nhà tr ng ph thơng, mơn tốn gi m t v trí h t s c quan tr ng Nó giúp h c sinh h c t t môn h c khác, công c c a nhi u ngành khoa h c c ng công c đ ho t đ ng đ i s ng th c t Mơn tốn có ti m n ng to l n vi c khai thác phát tri n n ng l c trí tu chung, rèn luy n thao tác ph m ch t t i s m t b ph n l n c a Toán h c, đa th c m t khái ni m c b n quan tr ng đ c s d ng nhi u không nh ng đ i s mà cịn Gi i tích, tốn cao c p toán ng d ng Tuy nhiên cho đ n nay, v n đ đa th c m i ch đ ch a đ c trình bày s l c, c phân lo i h th ng m t cách chi ti t Tài li u v đa th c cịn ít, ch a đ c h th ng theo d ng toán c ng nh ph ng pháp gi i, vi c nghiên c u v đa th c g p nhi u khó kh n V i lý trên, v i lòng say mê nghiên c u đ ch b o t n tình c a th y V ng Thông em m c s giúp đ , nh d n ch n đ tài: “Nh ng tốn đ i s s c p có liên quan đ n đa th c” đ làm khóa lu n t t nghi p, nh m phân lo i ,h th ng m t s toán v đa th c Bên c nh đó, c ng th y rõ vai trò c a đa th c mơn tốn nhà tr ng ph thơng M c đích nghiên c u Tìm hi u v nh ng tốn i s s c p có liên quan đ n đa th c m t n đa th c nhi u n it ng nghiên c u Các d ng toán c b n Ph i s s c p có liên quan đ n đa th c ng pháp nghiên c u Tham kh o tài li u, phân tích, so sánh, h th ng hóa H ng Th m K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Ch ng Thông ng Nh ng ki n th c liên quan đ n đ tài Ph n a th c m t n Xây d ng vành đa th c m t n 1.1 Xây d ng vành đa th c m t n Cho A vành giao hốn có đ n v ( kí hi u ) Khi đó, ta có t p h p: p   a , a1 , , a n ,  / a i  A, a i  h u h t, i  ฀  , v i hai phép toán: - Phép c ng: (a , a1 , , a n , )  (b0 , b1, , bn , )  ( a  b0, a1  b1, , a n  bn, ) - Phép nhân: (a , a1 , , a n , ).(b0 , b1, , bn, )  ( c0, c1, , cn, ) v i ck   a b , k  0,1, , n, i  j k i j l p thành m t vành giao hốn có đ n v  (1, 0, 0, , 0, ) Ta g i P vành đa th c, m i ph n t thu c P g i m t đa th c Ta có th chuy n cách vi t đa th c v d ng sau: Xét ánh x f: A P a  (a ,0, ,0, ) m t đ n c u vành Do v y, ta đ ng nh t a   v i ph n t f (a )  (a , 0, , 0, )  Khi đó, A vành c a P Kí hi u: x  (0,1, 0, , 0, ), Ta có: x2  (0, 0,1, 0, , 0, ), x3  (0, 0, 0,1, 0, , 0, ), H ng Th m K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông … xn  (0, ,0,1,0, ,0, )  n Khi đó, m i ph n t  , có th bi u di n nh t d i d ng:   a  a1 x   a n xn    x Thay cho P vi t   x g i vành đa th c c a n x , l y h t thu c   x g i đa th c c a n x đ A.M i ph n t c kí hi u là: f  x , g  x , 1.2 B c c a đa th c Cho f  x  a  a1 x   a n xn    x - N u a n  n đ c g i b c c a đa th c f  x Kí hi u: deg f  x  n - N u f  x  (đa th c khơng), ta nói f  x khơng có b c ho c có b c  Phép chia v i d Cho   x vành đa th c, A m t tr ng Khi đó, f  x , g  x    x v i g  x  , t n t i nh t q  x , r  x    x cho: f  x  g  x q  x   r  x  Trong đó: - N u r  x  ta nói f  x g  x   x - N u r  x  ta có: deg r  x  deg g  x ta g i q  x th ng, r  x d phép chia f  x cho g  x   x Nghi m c a đa th c 3.1 nh ngh a Cho K m t tr ng đó, A tr ng c a K M t ph n t   g i nghi m c a đa th c f  x    x n u ch n u f    H ng Th m K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Ta c ng có th nói  nghi m c a ph ng Thơng ng trình đ i s f  x  K N u deg f  x  n ph ng trình f  x  g i ph ng trình đ i s b c n  n  1 3.2 Nghi m b i Gi s k m t s t nhiên khác M t ph n t    g i nghi m b i k c a đa th c f  x    x n u ch n u f  x  x    không chia k h t cho  x    , k  ฀  k 1 3.3 - nh lý Bezout nh lý Bezout: Cho vành đa th c   x , f  x    x ,    Khi đó, d phép chia f  x cho  x    f   - H qu : Ph n t    nghi m c a đa th c f  x    x , A m t tr ng, ch f  x  x      x 3.4 Công th c Viéte f  x  a xn  a1 xn 1   a n 1 x  a n    x , deg f  x  n Cho Gi s f  x có n nghi m 1 ,  , ,  n   v i    f  x  a  x  1  x     x   n  Khi ta nhân th a s vào v i nhóm h s theo d ng đa th c chu n t c so sánh h s c a đa th c f  x , ta đ c công th c Viéte nh sau: 1      n   a1 ; a0 1  1    n 1 n  H ng Th m a2 ; a0 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông … 1  k    n k 1 n k   n   1 k ak ; a0 … 1  n   1 3.5 L n an a0 c đ Horner Cho f  x    x đa th c b c n f  x  a xn  a1 xn 1   a n 1 x  a n ,  tr Chia f  x cho  x      x , gi s th ng,    ng c a phép chia là: q  x  b0 xn1  b1 xn2   bn2 x  bn1 , bi  , i  0, n  ngh a là: a xn  a1 xn 1   a n 1 x  a n   x    b0 xn 1  b1xn 2   bn 2 x  bn 1   f   ng nh t h s ta l p đ a0  c b ng sau, g i l … a1 b1  a1   b0 b0  a c đ Horner: … an f    a n   bn 1 Ph n t đ i s , ph n t siêu vi t Gi s A m t tr ng c a m t tr g i ph n t đ i s tr H ng Th m ng K M t ph n t c  K , c đ c ng A n u t n t i đa th c f  x  0, f  x  A x : K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông f  c   ho c t n t i a , a1 , , a n  A không đ ng th i b ng không t t c : a0  a1c1   a n c n  , c  K n u không ph i ph n t đ i s A đ c g i ph n t siêu vi t A 5.1 i s đa th c nh ngh a C u trúc đ i s b (t p X   , ,., nhân vô h ng) th a mãn: +,  X , ,. l p thành m t vành +,  X, , K  l p thành m t K _ môđun ( K vành giao hốn có đ n v ) Có A x vành giao hốn có đ n v , ta xác đ nh thêm phép nhân vô h ng sau: n a  A, f  x    a i xi  A x i 0 n a f  x    a a i xi i 0 Ta có: A_ đ i s đa th c A x Gi s có K _ khơng gian vect X , h u h n chi u, gi s e1 , e2 , , en  c n s  x  X , x   a i ei i 1 n n i 1 j 1 Khi v i x, y  X , gi s x   ei ; y   b j e j n   n  n  xy    a i ei    b j e j    a i b j ei e j  i 1   j 1  i , j 1 5.2 Phép h p thành đa th c n m 10 j 0 Cho hai đa th c f  x   xi  A x ; g  x   b j x j  A x H ng Th m 10 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V G i x1 , x2 nghi m c a ph ng Thơng ng trình b c hai cho Theo công th c Viéte ta có: 1  x1  x2  1;  x1 x2  2 Theo gi thi t: y1  x16  x22 ; y2  x26  2x12 Do đó:  S    y1  y2    x16  x2  x26  x12   x    x2  x12 x2   x1  x2   x1 x2    2 2      x1  x2   x1 x2    x1  x2   x1 x2  3x12 x2    x1  x2   x1 x2          12  2   12  2  3 2    12  2     x12  x2               4 12   2    2  6 14  9 12 2  2 12  2 23  4     1  12  36   16    55  P  y1 y2  x16  x2  x  x12   x16 x26   x18  x28   x12 x2   26   18  8 16  2014 2  1612 23  2   4 2  64  1  16  80  128  32   16  434 V y ph ng trình b c hai c n tìm là: y2  55 y  434  5.4 Bài t p áp d ng Bài t p 1: V i giá tr c a a t ng bình ph ph ng nghi m c a ng trình x2   a   x   a  1  nh n giá tr nh nh t Bài t p 2: Gi s ph khác Xác đ nh ph Bài t p 3: L p ph b c 10 nghi m ph H ng Th m ng trình b c hai có hai nghi m phân bi t x1 , x2 ng trình b c hai có nghi m x1 x x2 x1 ng trình b c hai mà nghi m c a l y th a ng trình: x2  x  64 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Bài t p 4: G i x1 , x2 nghi m c a ph ph ng Thông ng trình x2  x   Xác đ nh ng trình b c hai có nghi m x12 x2 Bài t p 5: Gi s ph ng trình x2  px  q  có hai nghi m x1 , x2 khác khơng Hãy xác đ nh ph ng trình b c hai có nghi m Bài tốn 6: Gi i h ph 1 x2 x1 ng trình 6.1 C s lý lu n Ta hay g p h ph ng trình mà v trái c a ph đa th c đ i x ng c a n Trong tr ph ng trình thành h ph b n H ph ng trình h ng h p này, ta chuy n h ng trình mà n đa th c đ i x ng c ng trình m i th ng nh ng h ph h n r t nhi u, d gi i h n Sau gi i ph ng trình đ n gi n ng trình đ i s b c n 6.2 Thu t toán B c 1: Bi u di n t ng v trái c a ph ng trình qua đa th c đ i x ng c b n  i  i  1, n  c h m i n  i  i  1, n  Gi i h tìm  i B c 2: Ta thu đ B c 3: V n d ng công th c Viéte tìm nghi m c a h ban đ u 6.3 Ví d minh h a Ví d 1: Gi i h ph ng trình sau 3   x  y  65 I   2   x y  xy  20 Gi i  x  y  1  xy   t H ng Th m , u ki n 12  4    65 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông Ta đ a v trái c a ph ng trình h v đa th c c a đa th c đ i x ng c b n:   x  y  3xy  x  y  65 H I      xy  x  y  20   3 1  65   1  20   3.20  65   1  20   125   1  20      Các giá tr tìm đ c th a mãn u ki n   Do x, y nghi m c a ph ng trình: t  1t    ,ngh a ph ng t  trình: t  5t     t  V y h cho có nghi m hốn v c a (2;1), là:  2,1 1,  Ví d 2: Gi i h ph ng trình sau x  y  z   2  x  y  z  25  x3  y3  z3  27  Gi i t: 1  x  y  z   xy  yz  zx   xyz Ta đ a v trái c a ph ng trình h v đa th c c a đa th c đ i x ng c b n: H ng Th m 66 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông x2  y2  z2   12  2 x3  y3  z3   13  3 1  3 Do ta có h :      2  25    3 1  3  27     32  25       27   13  3 1    3        8   24  T công th c Viéte suy x, y, z nghi m c a ph ng trình: t  1t   t    ngh a ph ng trình: t  3t  8t  24      t  3 t        t  3 t  2 t  2  t    t  2  t  2  V y h cho có nghi m hốn v c a b 3;  2; 2 , là: 3; 2; 2  , 3; 2 2; 2  ,  2;3; 2  ,  2 2;3; 2  ,  2; 2 2;3 ,  2 2; 2;3 6.4 Bài t p áp d ng Bài t p 1: Gi i h ph H ng Th m ng trình sau 67 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông  x3  y3  35 a)  x  y   x2  xy  y2  b)   x  y  xy  Bài t p 2: Gi i h ph ng trình sau x  y  z   a )  x2  y2  z2  x3  y3  z3  xyz   13  x  y  z    1 13 b)     x y z  xyz    Bài t p 3: Gi i h ph ng trình sau  x4  y4  z4  113  a )  x3  y3  z3  27  x  y  z  3   x  y  z  2  xy  yz  zx  b)  x3  y3  z3   xyz  2  Bài t p 4: Gi i h ph ng trình sau x  y  z  a  a )  x2  y2  z2  b  x3  y3  z3  a  x  y  z   b)  x3  y3  z3  36  xyz   H ng Th m 68 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Bài toán 7: Gi i ph ng Thơng ng trình c n th c 7.1 C s lý lu n M t s ph gi i h ph ng trình c n th c mà vi c gi i có th chuy n v vi c ng trình đ i x ng thông qua vi c đ t n ph 7.2 Thu t toán B c 1: t n ph đ a ph ng trình c n th c v h ph ng trình đ i x ng B c 2: Gi i h ph B c 3: Thay giá tr c a n ph vào tìm giá tr c a n ban đ u ng trình đ i x ng tìm đ c giá tr c a n ph 7.3 Ví d minh h a Ví d 1: Gi i ph ng trình x8  8 x  Gi i i u ki n: x    8  x   8  x    t u  x  8, v   x; u, v  Suy ra: u  x  8, v4   x Ta có h : u  v   4 u  v  16 t: u  v   ; uv   , h tr thành:  2        2  H ng Th m   2 2  16 69 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông    2   2   2  16      8                   u , v nghi m c a ph    V i  ng trình: t  2t  Ph ng trình  u   t  v   x  8  có nghi m  , th a mãn u ki n      u   x  t    v     u , v nghi m c a ph   ng trình: t  2t   Ph V i  ng trình vơ nghi m V y nghi m c a ph Ví d 2: Gi i ph   x  8 ng trình cho là:  x  ng trình 8 x   x  27   8  x x  27   Gi i 8  x   27  x   x  27  i u ki n    t u   x, v  x  27; u, v  Suy ra: u   x; v3  x  27 2  u  v  3uv   u  v  uv   Ta có h :  3  u  v  35    u  v  3uv  u  v  35 H ng Th m 70 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông t   u  v;  uv , h tr thành: 12  3     1  31  35   12             35 1          u , v nghi m c a ph   V i  ph t t ng trình t  5t     ng trình t  1t    , ngh a  u     v  x     u  3  x  15   v  x  V y nghi m c a ph ng trình cho là:   x  15 7.4 Bài t p áp d ng Bài t p 1: Gi i ph ng trình sau a)4 x    x  b) x    82  x Bài t p 2: Gi i ph ng trình sau a ) 18  x  64  x  b)  x   Bài t p 3: Gi i ph x3   53  x   x  3 ng trình sau Bài t p 4: Gi i ph 1  x   x 1 2 ng trình sau a ) x 1  x   2x b) x3   x  H ng Th m 71 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Bài tốn 8: Tìm nghi m ngun c a ph ng Thơng ng trình 8.1 C s lý lu n V i d ng tốn tìm nghi m ngun c a ph ng trình khơng có m t thu t toán chung c mà tùy thu c vào t ng lo i toán c th ta l a ch n gi i pháp thích h p 8.2 Thu t toán B c 1: Bi u di n ph ng trình ban đ u theo ph ng trình c a  ,  Rút  theo  (1) Cách 1: T (1) suy x, y nghi m c a ph ng trình t  1t    v i u ki n   T suy u ki n c a  Cách 2: Do x, y s nguyên nên x, y s th c Do v y, c n u ki n: 12  4  K t h p v i (1) đ tìm u ki n c a  B c 2: Tìm x, y theo  ,  8.3 Ví d minh h a Ví d 1: Tìm nghi m ngun d ng c a ph ng trình sau x2  y2  x  y  xy (1) Gi i (1)   x  y  3xy   x  y  t x  y   , xy   Khi đó, ta có ph H ng Th m ng trình sau: 72 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p  12  3        x  y  1    xy      GVHD: GVC V  1  1 ng Thông    x, y nghi m c a ph ng trình t  1t    1  1  ph ng trình có nghi m    12  12  1     12    3   1  Do x, y nguyên   ,  nguyên x  y  x   1         xy  y   x   x  y  y 1  ho c          x   xy     y  ho c 1      lo i   ฀  x   x  y  y  ho c          x   xy     y  x  y  x    xy  y  ho c        V y nghi m nguyên c a ph ng trình là:  0;0  ,  0;1 , 1;0  , 1;  , 2;1, 2;  Ví d 2: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình sau x3  y3   3xy (2) H ng Th m 73 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông Gi i (2)   x  y  3xy  x  y    3xy t x  y   , xy   Khi ta có ph ng trình sau: 13  31   3       1  12    3   Vì x  0, y   1  x  y   1     x  y  1 ng x, y cho   xy      Do v y ta ph i tìm s nguyên d Suy x, y nghi m c a ph Ta có:   12    1  1  Ta có 12  1   3      ng trình t  1t       1  1    1 1  1    12  41    1    n u   3 x  y  x    xy  y 1 V y ta ph i có   x  y  Khi ta có  V y nghi m nguyên c a ph ng trình là: 1;1 8.4 Bài t p áp d ng Bài t p 1: Tìm nghi m nguyên c a ph  a )7  x  y  x2  xy  y2 ng trình sau  b) x2  y2  x  y  Bài t p 2: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình sau a ) x2 y2  x2  xy  y2 b) x3 y3  xy3  y2  x2  y  Bài t p 3: Tìm nghi m nguyên c a ph  a )39  x  y  x2  xy  y2 ng trình sau  b) x3  y3  xy  25 H ng Th m 74 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p H ng Th m GVHD: GVC V 75 ng Thơng K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Ch ng Thông ng K t lu n a th c có v trí quan tr ng Tốn h c, khơng nh ng đ i t ng nghiên c u ch y u c a i s mà cịn cơng c đ c l c c a Gi i tích Nó ph n ki n th c quan tr ng đ đ u c a b c ph thông c gi i thi u t nh ng n m d ng đ n gi n mà ta th ng g i bi u th c ch a ch đ i di n cho s Ngồi ra, lý thuy t đa th c cịn đ d ng nhi u toán cao c p, toán ng d ng Và c ng th cs ng xuyên g p nh ng toán v đa th c k thi h c sinh gi i, thi Olympic toán h c tr ng ph thơng Tuy khóa lu n trình bày ki n th c v đa th c nh ng toán đ i s s c p có liên quan đ n đa th c nh ng r t nh so v i l ng ki n th c v đa th c Khóa lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m vi c nghiên c u, giúp vi c d y h c h c t p mơn tốn tr ng ph thơng T khóa lu n có th giúp b n đ c nghiên c u sâu h n, r ng h n n a v đa th c Do l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u, th i gian n ng l c cịn h n ch nên khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n sinh viên Em xin chân thành c m n! ************************************** H ng Th m 76 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V ng Thông Tài li u tham kh o Nguy n H u i n (2003), a th c ng d ng, NXB Giáo d c a th c đ i s phân th c h u t , NXB Nguy n V n M u (2004), Giáo d c Ngô Thúc Lanh (1987), i s s h c t p 3, NXB Giáo d c Nguy n Ti n Quang (1987), Bài t p đ i s s h c t p 3, NXB Giáo d c is đ ic Hồng Xn Sính (1998), Tr n Ph ng, Lê H ng ng, NXB Giáo d c c (2002), Tuy n t p chuyên đ luy n thi đ i h c mơn tốn đ i s s c p, NXB Hà N i T p chí tốn h c tu i tr H ng Th m 77 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p H ng Th m GVHD: GVC V 78 ng Thơng K32B- Tốn ... ng Nh ng toán đ i s s c p có liên quan đ n đa th c 11 Ph n i v i đa th c m t n 11 Bài toán Tr c c n th c H ng Th m m u 11 K32B- Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: GVC V Bài toán Nh... 45 Bài tốn Phân tích đa th c thành nhân t 47 Bài toán Ch ng minh h ng đ ng th c tr ng h p có u ki n ho c khơng có u ki n 50 Bài toán Ch ng minh b t đ ng th c 52 Bài toán Xác... nghiên c u Tìm hi u v nh ng tốn i s s c p có liên quan đ n đa th c m t n đa th c nhi u n it ng nghiên c u Các d ng toán c b n Ph i s s c p có liên quan đ n đa th c ng pháp nghiên c u Tham kh o tài