Luận văn sư phạm Những bài toán về đa thức

Khóa lu n t t nghi p GVHD: V L IC M ng Thơng N Khóa lu n t t nghi p k t qu c a s c g ng c a b n thân em sau m t th i gian h c t p,nghiên c u v i s giúp đ c a th y Qua đây,em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a đ n th y cô giáo,đ c bi t th y V ng Thơng - ng i t n tình h ng d n em q trình hồn thành khóa lu n Em xin chân thành c m n ! Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên th c hi n Ph m Th Thu Th y Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông L I CAM OAN Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p k t qu c a trình h c t p, nghiên c u c a em Khóa lu n hồn thành c s nh ng ki n th c mà em đ c h c, m t s tài li u tham kh o s ch b o c a th y cô giáo, đ c bi t s h ng d n t n tình c a th y V ng Thông V i đ tài: "Nh ng bƠi tốn v đa th c ", khóa lu n khơng có s trùng l p v i khóa lu n khác Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên th c hi n Ph m Th Thu Th y Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông M CL C L i nói đ u Ch ng 1: Nh ng ki n th c c b n v đa th c có liên quan 1.1.Vành đa th c m t n 1.2 Vành đa th c nhi u n 10 Ch ng 2: M t s toán v đa th c m t n 14 2.1 Bài toán 1: Ch ng minh m t đa th c chia h t cho m t đa th c Tìm d mà khơng th c hi n phép chia 14 f  x, m g  x, m 20 2.2 Bài tốn 2: Tìm giá tr c a m đ 2.3 Bài toán 3: a th c b t kh quy 23 2.4 Bài toán 4: Bài toán nghi m c a đa th c Công th c Viet 27 2.5 Bài toán 5: ng d ng c a đ nh lí Viet vào gi i h ph 2.6 Bài tốn 6: Ph ng trình hàm đa th c 35 2.7 Bài tốn 7: Tìm Ch ng trình 32 c chung l n nh t c a đa th c 37 ng 3: M t s toán v đa th c nhi u n 41 3.1 Bài toán 1: Phân tích đa th c thành nhân t 41 3.2 Bài toán 2: Ch ng minh h ng đ ng th c 43 3.3 Bài toán 3: Ch ng minh b t đ ng th c 45 3.4 Bài toán 4: Tìm nghi m ngun c a ph 3.5 Bài tốn 5: Gi i h ph ng trình đ i x ng 48 ng trình d a vào đa th c đ i x ng 51 3.6 Bài tốn 6: Gi i ph ng trình c n th c d a vào đa th c đ i x ng 53 3.7 Bài toán 7: L p ph ng trình b c hai d a vào đa th c đ i x ng 54 3.8 Bài toán 8: Tr c c n th c m u 55 K t Lu n ………………………………………………………………… 59 Tài li u tham kh o……………………………………………………… 60 Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V L I NĨI ng Thơng U Lý ch n đ tƠi i s m t b ph n l n toán h c, đa th c khái ni m c b n quan tr ng Lý thuy t đa th c đ c p, toán ng d ng, toán s c p Trong ch c s d ng nhi u tốn cao ng trình ph thơng, đ i s h u h t nghiên c u v đa th c b c nh t, đa th c b c hai m t s đa th c d ng đ c bi t b c cao Tuy v y v n đ đa th c trình bày r i rác, ch a đ th ng m t cách chi ti t, ch a đ a ph ng pháp gi i t c phân lo i h ng minh Tài li u vi t v đa th c ch a nhi u nên vi c nghiên c u v đa th c khó kh n V i nh ng lí tơi ch n đ tài “Nh ng bƠi toán v đa th c” nh m phân lo i, h th ng m t s toán v đa th c ng d ng c a đ gi i m t s tốn có liên quan M c đích, nhi m v nghiên c u Tìm hi u tốn v đa th c m t n, đa th c nhi u n m t s toán liên quan it ng nghiên c u Các d ng toán c b n v đa th c Ph ng pháp nghiên c u c tài li u, phân tích, so sánh, h th ng hóa Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p CH 1.1 GVHD: V NG 1: NH NG KI N TH C V ng Thông A TH C CÓ LIÊN QUAN VƠnh đa th c m t n 1.1.1 Xơy d ng vƠnh đa th c m t n Cho A vành giao hốn có đ n v kí hi u Kí hi u P = {  a , a1 , , a n ,  ,  A, i  ฀ ,  h u h t } Trên P’ ta xác đ nh quy t c c ng nhân nh sau: (1)  a0 , a1, an ,   b0 , b1, , bn ,    a0  b0 , a1  b1, , a n  bn ,  (2)  a0 , a1, an , .b0 , b1, , bn ,    c0 , c1, , cn ,  Trong c0  a 0b0 c1  a 0b1  a1b0 ck  a 0bk  a1bk 1   a k 1b1  a kb0   ab ; i  j k i j k  0,1,2, Khi (P,+, ) l p thành m t vành giao hốn có đ n v g i vành đa th c Th t v y, ta có quy t c (1) (2) cho ta phép toán P * (P, +) m t nhóm giao hốn  Phép c ng có tính ch t giao hốn k t h p  Ph n t không  0,0, ,0,   Ph n t đ i c a  a0 , a1, , a n ,   a0 , a1, , a n ,  * (P, ) m t v nhóm giao hốn vì:  Do A giao hoán nên  ab i  j k i j  ba i  j k j i nên phép nhân giao hoán  Phép nhân A có tính ch t k t h p phân ph i đ i v i phép c ng nên phép nhân P c ng có tính ch t k t h p, phân ph i đ i v i phép c ng Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông  Ph n t đ n v 1,0, ,0,  Do P m t vành giao hốn có đ n v Xét ánh x f : A P a   a ,0, ,0,  Nh n th y f đ n c u vành nên ta đ ng nh t m i ph n t aA v i f  a   P t c a  f  a    a ,0, ,0,  Suy A vành c a P Xét dãy x   0,1,0, ,0,  Theo quy t c nhân: x2   0,0,1,0, ,0,  x3   0,0,0,1,0, ,0,  ……………………   xn   0, ,0,1,0,    n  Quy c x0  1,0, ,0,  Các ph n t c a P dãy  a0 , a1, , a n ,   h u h t nên ta có th gi s n s l n nh t đ a n  Khi m i ph n t P có th   a ,0, vi t  a , , a n ,0,    a ,0,    0, a1,0,     0, ,0,   n  n      a ,0, ,  1,0,    a1 ,0, . 0,1,0,    a n ,0,   0, ,0,1,0,    n   a  a1 x   a n xn D ng đ c g i d ng t c c a đa th c Khi P thay b ng A[x] g i vành đa th c c a n x Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V A vành c s , ph n t c a đ ng Thơng c g i đa th c c a n x, th ng kí hi u f(x), g(x), h(x), … nh ngh a 1.1:  Trong đa th c f  x  a x  a1x   a n xn  A[ x]  a i i  0, n h t c a đa th c   xi i  0, n h ng t c a đa th c a0 đ c g i h ng t t ; a n  đ c g i h t cao nh t 1.1.2 B c c a đa th c nh ngh a 1.2: Cho đa th c f  x  A[x] N u f  x  ta nói f  x đa th c khơng có b c ho c  N u f  x  ta g i ch s l n nh t n cho a n  c a đa th c f  x b c c a đa th c Kí hi u : deg f  x  n nh lí 1.1: Cho hai đa th c f  x , g  x  A[ x]* Khi đó: 1) N u f  x  g  x  deg  f  x  g  x   max deg f  x ,deg g  x 2) N u f  x.g  x  deg  f  x.g  x   deg f  x  deg g  x nh lí 1.2: N u A m t mi n nguyên, f  x g  x đa th c khác khơng c a vành A[x] f  x.g  x  deg  f  x.g  x   deg f  x  deg  g  x  H qu : N u A mi n nguyên A[x] mi n nguyên 1.1.3 Phép chia đa th c a, nh lí phép chia v i d nh lí 1.3: Gi s A m t tr ng Khi đó: f  x , g  x  A[x],g  x  ! q  x , r  x  A[x] cho f  x  q  x g  x  r  x Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông Trong r  x  ho c r  x  deg r  x  deg g  x Ta g i q  x th ng r  x d b, Phép chia h t nh ngh a 1.3 Cho đa th c f  x , g  x  A[x], g  x  Ta nói f  x chia h t cho g  x n u t n t i đa th c q  x  A[ x] cho f  x  g  x.q  x Ta kí hi u: f  x  g  x 1.1.4 Nghi m c a đa th c nh ngh a 1.4: Cho đa th c f  x  a  a1 x   a n xn  A[x] a, L y ph n t c b t kì thu c A, ph n t f  c   a  a1c   a nc n  A đ cg i giá tr c a đa th c f  x t i x  c N u f  c   c đ c g i nghi m c a đa th c f  x A nh lí Bézout b, Gi s A m t tr ng, c  A , f  x  A[x] D c a phép chia f  x cho x  c f  c  c, L c đ Horner Th c hi n phép chia đa th c f  x  a o xn  a1xn1   a n cho x  c ta đ h t c a đa th c th ng q  x  b0 xn1  b1 xn2   bn1 cho b i công th c b0  a ; b i  a i  c.bi 1 , i  1, n; r  a n  c.bn1 c a0 a1 … an-1 an b0 b1 … bn-1 r d, Nghi m b i vƠ tính ch t c a nghi m b i nh ngh a 1.5: Gi s A tr Ph m Th Thu Th y c ng, c  A, f  x  A[x],m ฀ , m  K32C Toán Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông c nghi m b i c p m n u ch n u f  x x  c  f  x không chia h t m cho  x  c  m1 - V i m = : c g i nghi m đ n - V i m =2 : c g i nghi m kép - V i m  : c g i nghi m b i b c m nh lí 1.4 ( nh lí c b n ) M i đa th c f  x v i h s ph c, b c n  n  1 có n nghi m ph c k c s b i c a m i nghi m e, nh lí Viéte Cho đa th c f  x  A[x], f  x  a n xn  a n1xn1   a1x  a  n  1 T n t i tr ng E  A ch a h t t t c nghi m c a f  x  a n  x  1  x     x   n  Trong 1, , , n nghi m c a f  x ta nh n đ c: a n1          n  an  a n1  1   1 n    2    n1 n  an    n a0  1  n   1 a n  Công th c cơng th c Viéte c bi t n =2 f  x  ax2  bx  c  a  0 b  1     a Công th c Viéte là:     c  a Ph m Th Thu Th y K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông  a  0 n = f  x  ax3  bx2  cx  d b          a  c  Công th c Viéte là: 1  1   2  a  d  1 2   a  1.1.5 i s đa th c  X  , ,.,x  th nh ngh a 1.6: C u trúc đ i s b a mãn u ki n sau: 1)  X, ,. l p thành m t vành 2)  X, ,x k  l p thành m t K – mơđun, K – vành giao hốn có đ n v A[x] vành đa th c n n a  A, f  x   a i x  A[ x] a f  x    a i a  xi i i 0 i 0 Ta có A – đ i s đa th c A[x] * Phép h p thành đa th c n f  x   xi  A[ x] Cho hai đa th c i 0 n g  x   b j x j  A[ x] j 0 n  f g  x  f [g  x ]= [g  x  ]i  A[ x] i=0 n  gf  x   b j [f  x  ]j j 0 B c c a đa th c h p thành nh h n ho c b ng tích b c c a đa th c * Phép l y đ o hàm n n Cho f  x   a i x A[ x] ; f  x   iai xi 1 đ o hàm c a đa th c f  x i i 1 Ph m Th Thu Th y ' i 1 10 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông 2   c4 a  b  a  b    c   2  4 11 4 c8 a  b  a  b    c   2   128 8 B ng quy n p ta ch ng minh đ c a  b  c  n s t nhiên b t kì, ta có: a 2n  b2n  2 n 1 c2n Ví d 2: Cho a,b s th c d ng th a mãn a  b  ab Ch ng minh r ng a b  L i gi i Theo gi thi t a , b   a  b  0, ab  a  b  ab           1     1  Do   12  4  nên 1         12       12     4 4 1    12         1  4  Do   nên     1  hay a  b  (đpcm) Ví d 3: Ch ng b t đ ng th c sau: a) (ab  bc  ca )2  3abc(a  b  c) a , b, c ฀ b) (a  b  c)(ab  bc  ca )  9abc a , b, c  ฀  L i gi i a) T (*) có: 12  3  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) (**) t x = ab , y = bc, z = ca Ta thay x, y, z vào (**) có: Ph m Th Thu Th y 49 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông (ab  bc  ca )2  3(ab2c  abc  a 2bc)  3abc(a  b  c) b) V i 1  a  b  c   ab  bc  ca   abc Khi theo k t qu c a a ta có:  22  31  (1) Th mà theo (*) có: 12  3 (2) Vì a, b, c > nên 1 , ,  Nhân v v i v c a (1) (2) ta đ c: 12 22  91  2  1   9  (a  b  c)(ab  bc  ca )  9abc (đpcm) 3.3.4 Bài toán áp d ng Bài 1: Ch ng minh b t đ ng th c sau 1, x6  y6  x5 y  xy5 x, y ฀ 2, x2  y2   xy  x  y 3,  x4  y4    x  y  4, x2  y2   xy   x  y  x, y ฀ x, y  ฀ x, y  ฀ Bài 2: Ch ng minh r ng a , b  th a mãn a  b  1  6 ab a  b Bài 3: Cho a,b,c >0 a  b  c  ch ng minh r ng : 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab Bài 4: Ch ng minh v i s th c không âm x, y b t kì ta có: a, x4  x3 y  xy3  y4  x2 y4 b, x3  y3  x  y      Ph m Th Thu Th y 50 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p 3.4 GVHD: V Bài tốn 4: Tìm nghi m ngun c a ph ng Thơng ng trình đ i x ng 3.4.1 C s lý lu n Xét ph ng trình mà bi u th c v có d ng đa th c đ i x ng c a bi n Tùy t ng toán mà có cách gi i thích h p 3.4.2 Ph ng pháp gi i   x  y t   xy Bi u di n ph  I ng trình cho theo ph ng trình c a 1, r i rút g n  theo  (*) Cách 1: T (*) h (I) suy x,y nghi m c a ph ng trình t  1t    V i u ki n   12  4  suy u ki n c a  Cách 2: Do x,y s nguyên, k t h p u ki n (*) tìm u ki n c a  Sau tìm x,y theo 1, 3.4.3 Ví d minh h a Ví d 1: Tìm s nguyên th a mãn ph ng trình : x  y  x2  xy  y2 1 L i gi i Ta có 1  x  y   x  y   3xy  2   x  y t   xy Khi (2) tr thành     3     12    x  y  1  V y ta ph i tìm s nguyên x,y th a mãn   12    xy   x,y nghi m c a ph Ph m Th Thu Th y ng trình : X   X  51  12    (3) K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thơng ng trình (3) có nghi m    ph  4  12     4   12      Vì x, y  ฀ nên 1  ฀ mà  1   1  1,2,3,4  N u   x = y =  N u  = ph ng trình (3) có nghi m Suy ph ng trình cho có nghi m  0,1 ; 1,0   (lo i)  N u  = ph ng trình (3) có d ng X  X   N u  = ph ng trình (3) có nghi m Suy ph ng trình cho có nghi m 1,2  ;  2,1  N u  = ph ng trình (3) có nghi m Suy ph ng trình cho có nghi m  2,2  V y ph ng trình cho có nghi m 1,2 ;  2,1 ;  2,2 ;  0,1; 1,0 ;  0,0  Ví d 2: Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình: x3  y3   3xy L i gi i x3  y3   3xy   x  y    3xy  x  y   3xy   x  y   3xy  x  y   3xy     x  y   3xy  x  y   3xy     13  3 2  3      1  12    3  1  V i  x  y  1   xy   Ph m Th Thu Th y 52 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông x, y  nên x  y         Vì   12     3  2  1  1  1 Ta tìm s nguyên d  x  y  1  ng x,y th a mãn :   xy      1 Suy x,y nghi m c a ph Ta có:    ng trình : X   X      1  *     ng trình (*) có nghi m    1  ph Suy ph V y ph ng trình (*) có nghi m kép X1  X2  ng trình cho có nghi m x  y  3.4.4 BƠi t p áp d ng Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình: 1,  x  y  3 x2  3xy  y2  2, x2  y2  x  y  3,  xy  x2  xy  y2 Ph m Th Thu Th y 53 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p 3.5 GVHD: V Bài toán 5: Gi i h ph 3.5.1 C s lý lu n ph H ph ng Thơng ng trình d a vào đa th c đ i x ng ng pháp gi i: ng trình mà v trái đa th c đ i x ng n x,y,z… ta chuy n sang n m i 1  x  y  z;  xy  yz  zx;  xyz Sau tìm đ c giá tr c a 1, , ta gi i ph ng trình b c đ tìm x, y, z 3.5.2 Các ví d minh h a Ví d 1: Gi i h ph ng trình  x3  y3   2  x y  xy  L i gi i   x  y t   xy    13  3 1    H cho tr thành     1    x  y  x        xy  y 1  V y h ph  x   ho c   y 1  6  6  6 ;1  ;1  ng trình cho có nghi m 1   ; 1   2 2    Ví d 2: Gi i h ph Ph m Th Thu Th y x  y  z  a  ng trình :  x2  y2  z2  b  x3  y3  z3  a  54 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông L i gi i   x  y  z  t   xy  yz  zx   xyz  H cho tr thành:    a a     a  b2   2      2  b   a 3          a  a  b2     Khi x,y,z nghi m c a ph ng trình: a  a  b2   a  b2 a  b2    t  a   t  t  at  t 0 2   t  a t  a   a  b2  t   t    b  a  ;|b|>|a|   2   1 V y nghi m c a h cho hoán v c a  a ;  b  a  ;   b  a   2   3.5.3 BƠi t p áp d ng Gi i h ph ng trình sau x  y  z   1,  x2  y2  z2  x3  y3  z3  xyz   x  y  z   2,  x2  y2  z2  14  x3  y3  z3  16  3  x  y  3,  4  x  y   x2 y2  y2  x2  12  4,     13  x y Ph m Th Thu Th y 55 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p 3.6 Gi i ph GVHD: V ng Thơng ng trình c n th c d a vƠo đa th c đ i x ng 3.6.2 C s lý lu n Bi n đ i đ a v h ph 3.6.2 Ph -B c 1: -B c 2: ng trình ch a đa th c đ i x ng c b n ng pháp gi i t n ph , đ a v h ph Gi i h ph ng trình ng trình 3.6.2 Ví d minh h a Ví d : Gi i ph ng trình sau: 1  x   x 1 2 L i gi i t u5  x; v x Khi u  v5    u  v   Ta có h sau:  5 u  v    5   5 1                     5  5               u  u   -V i  ho c  v  v    u  ph   v  ng trình có nghi m x   u    ph v   ng trình có nghi m x  Ph m Th Thu Th y 56 2 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p   -V i  ph    GVHD: V ng Thơng ng trình vơ nghi m 1 ng trình cho có nghi m x1  ; x2   2 V y ph 3.6.2 Bài t p áp d ng Gi i ph ng trình sau: 1, x    x 1 2, 29  x  77  x    3, x 35  x3 x  35  x3  30 3.7 Bài tốn 7: L p ph ng trình b c hai d a vào đa th c đ i x ng 3.7.1 C s lý lu n Dùng đa th c đ i x ng đ tính bi u th c ch a nghi m c a ph ng trình b c hai 3.7.2 Ph ng pháp gi i T công th c Viet ta đ a bi u th c ch a nghi m v đa th c đ i x ng 3.7.3 Ví d minh h a Ví d : L p ph z1  x16  x22 ; ng trình b c hai: z2  pz  q  (*) có nghi m z2  x26  x12 x1, x2 nghi m c a ph trình x2  x   (1) L i gi i Xét ph   x1  x2  ng trình (1), theo cơng th c Viet có:    x1 x2  3 Xét ph  z1  z2   p ng trình (*) theo cơng th c Viet có :   z1 z2  q Ph m Th Thu Th y 57 K32C Tốn ng Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thơng Khi  p  z1  z2  x16  x26   x12  x22   12  2 14  412   22   12  2   140 q  z1 z2  x16 x26   x18  x28   x14 x24   16   18  8 14  20 14 22  16 12 23  2 14   4 22   3  18  8.14. 3  20.14  3  16.12  3   3    3   833   V y ph ng trình b c c n tìm z  140 z  833  3.7.4 BƠi t p áp d ng Bài 1: L p ph ng trình b c hai x2  px  q  có x1  y16  y22 ; x2  y26  y12 y1, y2 nghi m c a ph nghi m ng trình y2  y   Bài 2: L p ph ng trình b c hai x2  px  q  có x1  y14  y22 ; x2  y24  y12 y1, y2 nghi m c a ph nghi m ng trình y2  y   Bài 3: L p ph ng trình b c hai có nghi m l y th a b c nghi m ng trình x2  12 x  11  c a ph 3.8 Bài toán Tr c c n th c m u 3.8.1 C s lý lu n N u m u s có d ng a  n b hay n a  n b ta ch c n áp d ng công th c sau:  x  y x  y  x2  y2 xn  yn   x  y   xn1  xn2 y   yn2 x  yn1  x2 n1  y2 n1   x  y   x2 n  x2 n1 y   xy2 n1  y2 n  Ph m Th Thu Th y 58 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông N u m u s có ba (hay nhi u h n) c n th c, ta tìm bi u th c ch a  nh m t nhân t th c sau th c hi n chia bi u th c khơng ch a c n m u 3.8.2 Ví d minh h a Ví d 1: Tr c c n th c m u bi u th c sau: 1  L i gi i Xét đa th c   x  x2  x  Ta th y m u s  c a m x  x3  Vì     nên d   Mà đa th c t i ti u th y m x   x nguyên t Ngh a t n t i nh ng đa th c h s nguyên cho: u  x  x  v x m x  d d ฀       v   m   u     u 2 1   Suy d 1     Khi d  u 3 3 3 3 3 Tìm u  x , v x d a vào thu t toán Euclide x3 8 x2  x  2 x2  x   x7 2x  x x2  x  x  13  13x  91 92 Ta có : 92   x2  x  1   x  13 x   Ph m Th Thu Th y 59 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông    x   4m x   x  1  x   x  13   x  52  m x  1   x  1 x  13     x   x  52  m x   4 x2  28 x  12   x Suy   x2  x  3  x   x  13 m x  23 Khi u  x   x2  x  ta có:   u 32 3  73    23 23 1  Ví d 2: Tr c c n th c m u c a bi u th c sau a b c L i gi i t a  x; b  y ; c  z  a  b  c  x y z  x2  y2  z2   x  y  z    xy  yz  zx   12  2 2 Ta có S2  x2  y2  z2  a  b  c  12  2 S4  x4  y4  z4  a  b2  c2  14  412  41  2 22 T ng h p S2 , S4 cho  đ c đ t thành th a s , ta có: S22  4S4   12  2    14  4 12  4 1  2 22    14  4 12  8 1    4 1   13  8   1 a b c    a b c Ph m Th Thu Th y    ab  bc  ac  a  b  c 60 a b c   a  b2  c2    abc K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông V y: a b c   a b c    ab  bc  ac  a  b  c a b c   a  b2  c2    abc 3.8.3 BƠi t p áp d ng Tr c c n th c m u bi u th c sau 1, 1  2, 3, 25   4, Ph m Th Thu Th y 61 23 1 25   n a , b, c  ฀ * n n a b c K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông K T LU N Trên toàn b n i dung đ tài “Nh ng bƠi toán v đa th c” mà tơi trình bày Khóa lu n đ t đ c m c đích nhi m v nghiên c u đ phân lo i h th ng m t s toán v đa th c Do ki n th c v đa th c t đ i r ng nên tơi m i trình bày đ c m t s toán th ng ng g p Q trình hồn thành đ tài giúp tơi có thêm ki n th c kinh nghi m Do l n đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, th i gian kh n ng b n thân h n ch nên khóa lu n c a tơi khơng tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a q th y b n Tôi xin chân thành c m n Ph m Th Thu Th y 62 K32C Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: V ng Thông TÀI LI U THAM KH O 1) Nguy n H u i n (2003), a th c ng d ng, Nxb GD Hà N i 2) Bùi Huy Hi n (2000), Bài t p đ i s ng d ng, Nxb GD Hà N i 3) Nguy n V n M u (2004), a th c phân th c h u t , NxbGD Hà N i 4) Hồng Xn Sính (1998), is đ ic ng, NxbGD Hà N i 5) Ngô Thúc Lanh (1987), i s s h c t p 1, NxbGD Hà N i 6) Ngô Thúc Lanh (1987), i s s h c t p 3, NxbGD Hà N i 7) T p chí tốn h c tu i tr Ph m Th Thu Th y 63 K32C Toán ... th c 37 ng 3: M t s toán v đa th c nhi u n 41 3.1 Bài toán 1: Phân tích đa th c thành nhân t 41 3.2 Bài toán 2: Ch ng minh h ng đ ng th c 43 3.3 Bài toán 3: Ch ng minh b t... cho m t đa th c Tìm d mà khơng th c hi n phép chia 14 f  x, m g  x, m 20 2.2 Bài tốn 2: Tìm giá tr c a m đ 2.3 Bài toán 3: a th c b t kh quy 23 2.4 Bài toán 4: Bài toán nghi... c c b n v đa th c có liên quan 1.1.Vành đa th c m t n 1.2 Vành đa th c nhi u n 10 Ch ng 2: M t s toán v đa th c m t n 14 2.1 Bài toán 1: Ch ng minh m t đa th c chia