Luận văn sư phạm Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình trung học phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ PHƯƠNG CÁC BÀI TỐN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Người hướng dẫn khoa học THẠC SĨ : DƯƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI - 2013 Khãa luËn tèt nghiÖp Trường ĐHSP Hà Nội LI CM N hon thành khóa luận này, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thạc sĩ Dương Thị Hà người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa luận Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp tơi hồn thành khóa luận thời hạn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới tập thể bạn sinh viên lớp, gia đình động viên giúp đỡ suốt thời gian nghiên cứu để tơi hồn thiện khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý, bổ sung ý kiến từ phía thầy bạn để khóa luận hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viờn thc hin Trnh Th Phng Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi, tơi nghiên cứu hồn thành sở kiến thức học, tài liệu tham khảo hướng dẫn tận tình giáo Dương Thị Hà Nó khơng trùng với kết người khác Nếu có sai sót tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên thực Trịnh Thị Phương Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MC LC Ni dung trang A: Mở Đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B: Nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Các kiến thức cần nhớ 1.2 Các kiến thức liên quan Kết luận chương 1………………………………………………………… 10 Chương 2: Bài tập thể tích 11 2.1 Bài tốn tính thể tích trực tiếp 11 2.1.1 Dạng tốn có sẵn đường cao 11 2.1.2 Dạng toán cần dựng đường cao 11 2.1.3 Dạng toán cần dựng đường cao phụ 31 2.2 Tính thể tích khối đa diện cách gián tiếp 36 2.3 Sử dụng phương pháp thể tích để tính khoảng cách 45 2.4 Các tốn thể tích khối đa diện có kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN 55 2.5 Các tốn so sánh thể tích 58 Kết luận chương 65 Kết luận…………………………………………………………………….66 Tài liệu tham khảo 67 TrÞnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường §HSP Hµ Néi A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng mơn học khó học sinh nhà trường trung học phổ thông Vì hình học mơn học có tính chặt chẽ, logic trừu tượng hóa cao mơn học khác Riêng hình học khơng gian - phận mơn hình học, ngồi tính trừu tượng cịn địi hỏi học sinh phải có kĩ tư cao Hình học khơng gian bước đầu học thấy khó song học thấy thú vị Do việc nghiên cứu hình học khơng gian cần thiết Trong khóa luận tơi sâu vào phần nhỏ hình học khơng gian thể tích khối đa diện Đây chủ đề có cấu trúc thi cao đẳng, đại học thường xuyên có mặt đề thi tuyển chọn học sinh giỏi trường trung học phổ thông Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ liên quan đến tập tính thể tích khối đa diện nên chọn nghiên cứu đề tài “Các tốn thể tích khối đa diện chương trình trung học phổ thơng” Là giáo viên tương lai nhận thấy việc nghiên cứu đề tài hợp lý có ý nghĩa thực tiễn Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu sở lí luận, hệ thống hóa tập thể tích nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh, nâng cao lực sư phạm cho giáo viên tăng hiệu dạy học mơn tốn trường THPT Phạm vi, đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tốn tính thể tích khối chóp, khối chóp đều, thể tích hình lăng trụ… tốn liên quan tới việc tính thể tích khối đa diện chương trình tốn trung học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sở lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm TrÞnh ThÞ Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường §HSP Hµ Néi B NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN Các kiến thức cần nhớ 1.1 Định nghĩa thể tích khối đa diện Như biết mặt phẳng, đa giác có diện tích Đó số đo phần mặt phẳng mà đa giác chiếm chỗ Tương tự vậy, khối đa diện chiếm phần không gian lớn nhỏ khác Thể tích khối đa diện số đo phần khơng gian mà chiếm chỗ Ở lớp học cơng thức tính thể tích số khối đa diện đơn giản Sau nói rõ cơng thức Để có công thức thế, thừa nhận khối đa diện tích số dương, thỏa mãn tính chất sau đây: 1) Hai khối đa diện tích 2) Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ 3) Khối lập phương có cạnh tích 1.1.1 Thể tích khối lăng trụ, khối chóp  Thể tích khối lăng trụ - Thể tích khối lăng trụ V = B.h, với - Thể tích khối hộp chữ nhật B: Diện tích đáy h: Chiều cao  V  a.b.c , với a, b, c kích thước hình hộp - Thể tích khối lập phương V  a3 , với a độ dài cạnh hình lập phương  Thể tích khối chóp - Cơng thức tính thể tích khối chúp Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tèt nghiÖp V  B.h , Với Tr­êng §HSP Hµ Néi B: Diện tích đáy h: Chiều cao  S  A D   B * Khối chóp H  C + Các cạnh bên + Đáy hình chóp đa giác + Hình chiếu vng góc đỉnh xuống đáy trùng với tâm đa giác đáy - Khối chóp tam giác + Các cạnh bên + Đáy tam giác + Hình chiếu vng góc đỉnh xuống đáy trùng với tâm tam giác đáy  - Khối tứ diện S + Tất cạnh + Tất mặt tam giác + Hình chiếu vng góc đỉnh xuống đáy trùng với tâm tam giác đáy  Khối tứ diện trường hợp đặc biệt khối chóp tam giác Trịnh Thị Phương A C O M  B Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Trường ĐHSP Hà Nội - Khi chúp t giỏc S + Tất cạnh bên + Đa giác đáy hình vng A D tâm O O + SO  (ABCD) C B 1.1.2 Tỉ số thể tích Cho khối tứ diện SABC A, B, C  điểm tùy ý khác S thuộc SA, SB, SC ta có V SABC V SABC   S SA SB SC SA SB SC  A C B C A B Khi tính thể tích khối đa diện ta phải tính độ dài đường cao diện tích đáy mà đại lượng chiều cao đáy đại lượng quen thuộc hình học phẳng (đoạn thẳng, tam giác, tứ giác…) Cho nên toán tính thể tích khối đa diện ta cịn sử dụng cỏc kin thc liờn quan nh sau: Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi 1.2 Các kiến thức liên quan 1.2.1 Tam giác - Cơng thức tính diện tích tam giác A c B abc 1 S ABC  a.h  ab.sin C  2 4R  pr  p ( p  a )( p  b)( p  c ) b h a ABC (với p  C H M abc , R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC) - Công thức đường trung tuyến AM  AB  AC BC  - Định lí hàm số Cos: a  b  c  2bc.cos A - Định lí hàm số Sin: a b c    R sin A sin B sin C 1.2.2 Tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A với BC  a, AC  b, AB  c ta có: + Định lí Pytago: BC  AC  AB + Tỷ số lượng giác tam B giác vuông a b c sin B  , cos B  a a b b tan B  , cot B  c c H c + BA2  BH BC ; CA2  CH CB h A b C + AB.AC = AH.BC Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp + Trường ĐHSP Hà Nội 1   2 AH AB AC + b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B + a b b  , b  c.tan B  c.cot C sin B cos C + Diện tích tam giác vng S ABC  AB AC 1.2.3 Tam giác cân A + Đường cao AH đường trung tuyến + Đường cao AH  BH tan B + S ABC  BC AH B H C 1.2.4 Tam giác + Đường cao tam giác h  AM  AB + Diện tích A S ABC  ( AB ) 1.2.5 Tứ giác đặc biệt B M C - Hình chữ nhật + Diện tích hình chữ nhật A B S ABCD  AB AD + Hai đường chéo hình chữ nhật cắt trung điểm đường O C D - Hỡnh vuụng Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Vy EH Trường ĐHSP Hµ Néi abc 2(a  c ) bc  2(a  c )( a  b2  c ) ac3 (a  b  c ) Bài (Theo đề thi Đại học khối D - 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = cm; AB = cm; BC = cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) S Hướng dẫn Xét tam giác ABC có BC  AC  AB  ABC tam giác vuông A E D Theo giả thiết ta có AD  (ABC) Gọi V thể tích tứ diện ABCD ta có C A V  AD.S ABC Có AD = cm, S ABC  B 1 AB AC  3.4  (cm2) 2  V  6.4  (cm3) Gọi H hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng (BCD) Ta có AH  3V S BCD * Tính SBCD Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABD, ADC, ABC ta thu BC = cm, DB = cm, DC = cm Áp dụng công thức Hê rông S  với p  p ( p  a) ( p  b) ( p  c) vào tam giác BCD CD  DB  BC    52 2 Ta tính S BCD  34 (cm2) TrÞnh ThÞ Phương 53 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp T ú AH Trường ĐHSP Hà Nội 34 (cm) 17 Vậy khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) 34 (cm) 17 Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn a) Gọi O tâm tam giác ABC, S.ABC hình chóp tam giác nên SO  (ABC) hay SO đường cao hình chóp S.ABC ฀  600 Theo giả thiết cạnh bên SA tạo với đáy góc 600 nên  SAO * Tính SO Tam giác ABC tam giác cạnh a nên AM  a a  AO  OB  OC  AM  3 S Xét tam giác vng SAO có SO  AO.tan 600  a a * Tính SABC A Ta có ABC tam giác cạnh a nên ta có S ABC  a C N O M B Vậy thể tích khối chóp S.ABC VS ABC a3 1 a2 a   S ABC SO  (đvtt) 3 12 b) Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC) Khi ta cú AH Trịnh Thị Phương 3VS ABC S SBC 54 Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội * Tớnh SSBC p dụng định lí Pytago vào tam giác vng SOC, SOB ta tính SB  SC  3a Từ áp dụng cơng thức Hê-rơng S  p ( p  a) ( p  b) ( p  c) vào tam giác a 13 SC  SB  BC 3a a SBC với p    Ta S SBC  2  AH  a3 3a  a 13 26 2.4 Các tốn thể tích khối đa diện có kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN a Cơ sở lí thuyết Đây coi dạng toán chưa lần có mặt đề thi đại học, cao đẳng từ năm 2002 đến (cho dù toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ với hàm số năm có mặt đề thi tuyển sinh) Các toán có nội dung sau: Thể tích khối đa diện dạng toán phụ thuộc tham số (tham số góc, độ dài cạnh), tốn địi hỏi xác định giá trị tham số để thể tích nhận giá trị lớn nhỏ Với toán giải theo bước sau: B1: Chọn tham số, thực chất chọn ẩn Ẩn góc  thích hợp khối đa diện, yếu tố độ dài B2: Với ẩn số chọn B1 ta coi yếu tố cho để tính thể tích V khối đa diện theo phương pháp biết B3: Đến nhiệm vụ toán hình học coi kết thúc Ta có hàm số f (x) với x  D mà cần tìm GTLN, GTNN Dùng bất đẳng TrÞnh ThÞ Phương 55 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường §HSP Hµ Néi thức sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số thông qua việc khảo sát hàm số b Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) = 2a Với giá trị , với  góc mặt phẳng bên đáy hình chóp, thể tích khối chóp nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giải Gọi M, N trung điểm S AD, BC ฀ =α Ta có SNM Do DA // BC  AD // (SBC) H D C  d ( A,( SBC ))  d ( M ,( SBC ))  MH  2a  MH  SN (H  SN) M ( Vì (MNS)  (SBC) nên MH  (SBC) ) Ta có MN  N O B A MH 2a  sin  sin  từ SO  ON tan   a sin  a  sin  cos cos Do VS ABCD a 1  2a  4a  S ABCD SO     3  sin   cos 3sin  cos (1) Từ (1) suy VSABCD nhỏ  sin α.cosα lớn Xét biểu thức P  sin  cos  cos (1  cos 2 )  cos  cos3 (2) Đặt x  cos (0 < x < 1) Xét hàm số y  x  x3 Ta có y   x Ta có bảng biến thiên sau: TrÞnh Thị Phương 56 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp x - y' y Trường ĐHSP Hà Nội  3 + 3 - +  3 3 x   Từ ymax = y    Vậy VSABCD nhận giá trị nhỏ là: a3  a  cos   3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với đáy (ABC) Giả sử SC  a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) cho thể tích khối chóp lớn Giải S ฀ ), ( ABC ))   Gọi (( SBC Ta có (SBC)  (ABC) = BC AC  BC (theo gt) a Suy SC  BC (theo định lý đường vng góc) B A  ฀   , SA = a.sin  AC = a.cos  SCA  V SABC  C 1 a cos  a3 S ABC SA  a sin   cos  sin  (1) 3 Từ (1)  VSABC nhận giá trị lớn biểu thức P  cos 2 sin  nhận giá trị lớn nhất, sin > nên Pmax 2 P2max  (1  sin α) sin t giỏ tr ln nht Trịnh Thị Phương 57 Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Ta có (1  sin  ) sin   Trường ĐHSP Hà Nội (1 sin )(1  sin  )2sin  Theo bất đẳng thức cosi  (1  sin  )  (1  sin  )  2sin   (1  sin  ).(1  sin  ).2sin      27   Từ Pmax = 2 3   sin   sin   sin   a3 3 Vậy VSABC nhận giá trị lớn  sin   27 2.5 Các tốn so sánh thể tích a Cơ sở lí thuyết Các tốn thuộc loại thường có dạng sau: Cho khối đa diện mặt phẳng (P) Mặt phẳng cắt khối đa diện theo thiết diện () Thiết diện () chia khối đa diện thành phần tích V1 V2 Bài tốn địi hỏi tìm tỉ số phần bị chia Nói riêng V1 tức so sánh thể tích V2 V1  ta nói thiết diện () chia khối đa diện V2 thành phần tương đương, tức chúng tích Cần lưu ý toán kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khơng có dạng trực tiếp thực chất nhiều tốn lại sử dụng đến việc so sánh thể tích Thật ví dụ 1, 2, loại để tính thể tích khối đa diện theo u cầu ta khơng trực tiếp tính mà thơng qua khối trung gian, sau tìm tỉ số thể tích khối đa diện cần tính với thể tích khối trung gian Từ thể tích khối trung gian (mà việc tính dễ dàng hơn) ta suy kết cần tính Như thực chất ví dụ giải tốn so sỏnh th tớch Trịnh Thị Phương 58 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Cỏc tập so sánh thể tích có lược đồ chung để giải sau: - Xác định thiết diện - Chọn hai phần để tính thể tích - Với phần chọn để so sánh thể tích với thể tích khối đa diện ban đầu Giả sử ta tính V1 = k.V (0 < k < 1) Khi tỉ số cần tìm V1 k  V2  k Trong mục ta sử dụng hai kết hiển nhiên sau: Bài toán cần trình bày phần mở đầu loại 2 Kết quen biết sau hình học phẳng Cho tam giác ABC, B C điểm cạnh AB AC (hoặc phần kéo dài nó) Khi ta có: S ABC  AB AC   S ABC AB AC C A B B C A A C B C B C B B C Để lấy làm ví dụ minh họa cho mục này, sử dụng thí dụ 1, 2, loại Ngồi xét thêm ví dụ có dạng “trực tiếp” địi hỏi so sánh thể tích hai phần khối đa diện bị chia thiết diện () cho trước Sau vài ví d Trịnh Thị Phương 59 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b Vớ d minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC Gọi M trung điểm SB Dựng thiết diện với hình chóp qua M, song song với SA song song với BC Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương Giải Kẻ MN // SA (N  AB), MQ // BC (Q  SC) S Kẻ NP // BC (P  AC)  QP // SA Thiết diện hình bình hành MNQP R Q Dễ thấy M, N, Q, P trung M điểm SB, AB, AC SC Gọi V1 thể tích phần hình chiếu nằm P A bên trái thiết diện MNPQ Từ M kẻ C N MR // AB (R  SA, có RS = RA) B Gọi S, h, V diện tích đáy tam giác ABC, chiều cao hình chóp, thể tích hình chóp Ta có RMQ.ANP hình lăng trụ có V1 = VS.RMQ + VRMQ.ANP  (1) S h S h V 3V 4V V      34 8  V2 = V - V1 = V  V1 = V2 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 600 Dựng thiết diện qua DC mặt phẳng phân giác góc tạo mặt phẳng (SDC), (ABCD) Thiết diện chia hình chóp thành phn V1, V2 Tớnh Trịnh Thị Phương V1 V2 60 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi Giải Gọi M, N trung điểm AB, CD S ฀  600 Theo giả thiết ta có SNM P Thiết diện phải tìm qua DC K ฀ Gọi NK phân giác SNM  thiết diện phải tìm qua DC NK C B Q M N O Vì DC // AB  DC // (SAB) Qua K kẻ đường thẳng QP // AB suy D A thiết diện phải tìm DQPC ฀  600  SMN Ta có SNM tam giác cân (SM = SN) Lại có SNM NK đường phân giác  SK = KM Vì QP // AB  Q, P trung điểm SA SB Gọi V1 phần thể tích hình S.QPCD Ta có V1=VS.QPD +VS.PDC 1 2 = VSABD  VSBDC   V2  V V 3V   8 5V V   V2 Ví dụ 3: Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD chia khối chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần S Giải Gọi giao hai đường chéo O, AM cắt SO M I, kẻ qua I đường thẳng song song E với BD cắt SB SD F E Như D thiết diện mà (P) cắt khối đa diện I F C O tứ giác AEMF A B Gi: Trịnh Thị Phương 61 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội V1  VS AEF , V2  VS EFM , V  VS ABCD V0  VSABD  VS CBD  V Vì M trung điểm SC I trọng tâm tam giác SAC suy ra: SI  SO (1) Vì EF // BD ta có tỉ số: SE SF SI    (theo (1)) SD SB SO Theo toán ta có V1 SA SE SF 2    3 V0 SA SD SB Và: (2) V2 SE SF SM 2     V0 SD SB SC 3 18 (3) Lấy (2) + (3) vế với vế ta được: V1  V2 2      VS AEMF  V1  V2  V0  V V0 9 3 Do thể tích phần cịn lại là: V  VS AEMF VAEMF ABCD V  V Tỉ số hai thể tích là: 3   2 Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC Gọi M trung điểm AA, mặt phẳng qua M, BC chia khối lăng trụ thành phần Tính tỉ số thể tích phần Giải Gọi cạnh tam giác a (BC = a ), chiều cao tam giác h Tức l AH = h Ta cú: Trịnh Thị Phương 62 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Néi VM ACBB  VM ABC  VB.CBM 1 1  BC AH AM  BC.BB AH 3  BC AH ( MA  BB) a 31  a2 h h  a     2  (1) B' A' C' B A H a a2 Mặt khác VLT  Bh  a h h 2 M C Vì thể tích cịn lại: VM BCC ' A '  VLT  VM ABCB ' Do a2 a2 a2  h  h h 8 VM ACBB  VM BCC A c Bài tập áp dụng Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD cắt BD F cắt AD E Tính tỉ số thể tích VD.CFE VD ABC Hướng dẫn Từ giả thiết AB = a CD = a , tam giác ABC vuông cân A suy tam giác CAD tam giác vuông cân C Mặt phẳng qua C vng góc với BD nên từ C kẻ CF vng góc với BD Trong mặt phẳng (ABD) kẻ FE vng góc với BD mặt phẳng qua C mặt phẳng (CFE) Do BD   CFE   BD  CE CE  BD  CE   ABD   CE  AD Ta cú: CE BA Trịnh Thị Phương 63 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Néi Do CAD vuông cân E trung điểm AD Xét tam giác vuông đồng dạng DFC DCB có: DF DC DF DC    DC DB DB DB D DF DC a2    Cho nên Hay: 2 DB DC  CB a  2a F a VD.CFE CD DE DF  VD ABC CD DA DB E B C 1   a a A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật , SA vng góc với đáy AB = a , AD = b, SA = c Lấy B, D theo thứ tự thuộc SB, SD cho AB vng góc với SB, AD vng góc với SD Mặt phẳng (ABD) cắt SC C Tính tỉ số thể tích VS ABC D VS ABCD S Hướng dẫn Kẻ AB' vng góc với SB, AD  SD  AB  SB  AB  SC (1) Vì   AB  BC ( BC  ( SAB )) B Tương tự a  AD  SD  AD  ( SDC )  AD  SC (2)   AD DC    SC  BC  Từ (1) (2)  SC  ( ABD)    SC  DC  D C B D A b C Vì ta kẻ B'C'  SC nối C'D' ta thiết diện (AB'D') cắt khối chóp AB'C'D' Các tam giác: SB'A SAB, SD'A SAD, SCA SAC đồng dạng với nhau, suy ta có tỉ số ng dng sau: Trịnh Thị Phương 64 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội SB ' SA SB ' SA2 c2     2; SA SB SB SB a c SD ' SA SD ' SA2 c2     SA SD SD SD b  c SC ' SA SC ' SA2 c2     SA SC SC SC a  b  c Ta có: VS AB ' C ' SB ' SC ' VS AD 'C ' SD ' SC ' VS AB 'C '  VS AD 'C ' SC '  SB ' SD '   ;       VS ABCD VS ABC SB SC VS ADC SD SC SC  SB SD   c2 c2 c2  c4          k a  b2  c2  a  c2 b2  c2   a  b2  c2   a  c2 b2  c2  Vậy VS AB ' C '  VS AB ' C ' V  k  S AB ' C ' D '  2k VS ABCD VS ABCD 2c  VS ABC D      2  2 VS ABCD ( a  b  c )  a  c b  c2  Kết luận chương Trên số dạng tập thường gặp đề thi hết học kì, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học Các dạng tập đưa tương ứng với số phương pháp giải cụ thể để giúp em học sinh nắm cách làm đồng thời ơn lại số kiến thức có liên quan Đây nguồn tài liệu tham khảo có ích cho quan tâm tới vấn đề Làm tốt dạng tập tức hiểu rõ mối quan hệ hình khơng gian Phân loại tập, hiểu u cầu tốn, tìm phương pháp làm vấn đề học sinh nên làm từ Chính chương tơi đưa số dạng tập phương pháp giải tương ứng với hi vọng giúp cho học sinh giảm bớt khó khăn làm việc với nhng bi toỏn tớnh th tớch Trịnh Thị Phương 65 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Néi KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: “Các tốn thể tích khối đa diện chương trình tốn trung học phổ thơng” Thơng qua ví dụ tập luyện tập đưa tương ứng với dạng rèn luyện kĩ vẽ hình, kĩ tính toán, khả tư cho học sinh Cùng tập xoay quanh có nhiều câu hỏi khác nhau, vấn đề khác Do đòi hỏi phải vận dụng tốt phương pháp để tìm lời giải hay ngắn gọn, xác cho tốn Khóa luận tổng hợp lại kiến thức lí thuyết thể tích khối đa diện chương trình tốn trung học phổ thông, đặc biệt kiến thức gắn liền với kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Từ đem lại kết cao kì thi Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian lực cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy bạn để khóa luận tơi hồn thiện TrÞnh ThÞ Phương 66 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường §HSP Hµ Néi TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn, NXB ĐHQGHN Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn hình, NXB Hà Nội Trần Phương - Bùi Minh Mẫn, Tuyển tập chuyên đề hình học, NXB ĐHQGHN Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2012), Hình học nâng cao 12, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Đỗ Trung Sơn, Phương pháp giải tốn hình học khơng gian 12, Nhà xuất trẻ TPHCM Tuyển tập đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng mơn tốn từ năm 2002 2012, Bộ giáo dục đào tạo w.w.w.d.violet.vn w.w.w.tailieu.vn Trịnh Thị Phương 67 Lớp K35E Toán ... tích 2) Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ 3) Khối lập phương có cạnh tích 1.1.1 Thể tích khối lăng trụ, khối chóp  Thể tích khối lăng... tập thể tích khối đa diện Từ có dạng tập tương ứng Trên sở với mục đích giúp học sinh có tài liệu thiết thực chủ đề thể tích khối đa diện chương trình tốn trung học phổ thơng Chương khóa luận. .. nghiên cứu Nghiên cứu tốn tính thể tích khối chóp, khối chóp đều, thể tích hình lăng trụ… tốn liên quan tới việc tính thể tích khối đa diện chương trình tốn trung học phổ thông Phương pháp nghiên cứu