Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình trung học phổ thông

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON TRNH TH PHNG CC BI TON V TH TCH KHI A DIN TRONG CHNG TRèNH TRUNG HC PH THễNG KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Phng phỏp dy hc Ngi hng dn khoa hc THC S : DNG TH H H NI - 2013 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LI CM N hon thnh khúa lun ny, tụi xin gi li cm n sõu sc ti thc s Dng Th H ngi ó tn tỡnh hng dn tụi sut quỏ trỡnh thc hin v to mi iu kin cho tụi hon thnh khúa lun ng thi, tụi cng xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ khoa Toỏn trng i Hc S Phm H Ni ó to iu kin giỳp tụi hon thnh khúa lun ỳng thi hn Cui cựng xin gi li cm n ti th cỏc bn sinh viờn cựng lp, gia ỡnh ó ng viờn giỳp tụi sut thi gian nghiờn cu tụi hon thin khúa lun ny Mc dự ó cú nhiu c gng song khúa lun khú trỏnh nhng thiu sút, rt mong nhn c s gúp ý, b sung ý kin t phớa thy cụ v cỏc bn khúa lun c hon thin hn Xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2013 Sinh viờn thc hin Trnh Th Phng Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LI CAM OAN Tụi xin cam oan khúa lun di õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi, chớnh tụi ó nghiờn cu v hon thnh trờn c s nhng kin thc ó hc, ti liu tham kho v s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo Dng Th H Nú khụng trựng vi kt qu ca bt kỡ ngi no khỏc Nu cú gỡ sai sút tụi xin hon ton chu trỏch nhim H Ni, thỏng nm 2013 Sinh viờn thc hin Trnh Th Phng Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MC LC Ni dung trang A: M u 1 Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu i tng, phm vi nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B: Ni dung Chng 1: C s lớ lun 1.1 Cỏc kin thc cn nh 1.2 Cỏc kin thc liờn quan Kt lun chng 10 Chng 2: Bi v th tớch 11 2.1 Bi toỏn tớnh th tớch trc tip 11 2.1.1 Dng toỏn cú sn ng cao 11 2.1.2 Dng toỏn cn i dng ng cao 11 2.1.3 Dng toỏn cn dng ng cao ph 31 2.2 Tớnh th tớch a din mt cỏch giỏn tip 36 2.3 S dng phng phỏp th tớch tớnh khong cỏch 45 2.4 Cỏc bi toỏn v th tớch a din cú kt hp vi vic tỡm GTLN, GTNN 55 2.5 Cỏc bi toỏn so sỏnh th tớch 58 Kt lun chng 65 Kt lun.66 Ti liu tham kho 67 Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội A M U Lý chn ti Hỡnh hc núi chung v hỡnh hc khụng gian núi riờng l mt mụn hc khú i vi hc sinh nh trng trung hc ph thụng Vỡ hỡnh hc l mụn hc cú tớnh cht ch, logic v tru tng húa cao hn cỏc mụn hc khỏc Riờng hỡnh hc khụng gian - l mt b phn ca mụn hỡnh hc, ngoi tớnh tru tng cũn ũi hi hc sinh phi cú k nng t cao Hỡnh hc khụng gian bc u hc thy khú song cng hc cng thy s thỳ v ú Do ú vic nghiờn cu hỡnh hc khụng gian l cn thit Trong bi khúa lun ny tụi s i sõu vo mt phn nh ca hỡnh hc khụng gian l th tớch a din õy l mt ch cú cu trỳc thi cao ng, i hc v thng xuyờn cú mt cỏc thi tuyn chn hc sinh gii cỏc trng trung hc ph thụng Nhm cung cp kin thc, rốn luyn k nng liờn quan n bi tớnh th tớch a din nờn tụi ó chn nghiờn cu ti Cỏc bi toỏn v th tớch a din chng trỡnh trung hc ph thụng L mt giỏo viờn tng lai tụi nhn thy vic nghiờn cu ti ny l hp lý v cú ý ngha thc tin Mc ớch nghiờn cu ca ti Nghiờn cu c s lớ lun, h thng húa cỏc bi v th tớch nhm tớch cc húa hot ng ca hc sinh, nõng cao nng lc s phm cho giỏo viờn v tng hiu qu dy hc mụn toỏn trng THPT Phm vi, i tng nghiờn cu Nghiờn cu cỏc bi toỏn tớnh th tớch chúp, chúp u, th tớch hỡnh lng tr v cỏc bi toỏn liờn quan ti vic tớnh th tớch a din chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu c s lớ lun, phng phỏp tng kt kinh nghim Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội B NI DUNG TI CHNG 1: C S L LUN Cỏc kin thc cn nh 1.1 nh ngha th tớch a din Nh chỳng ta ó bit mt phng, mi a giỏc cú mt din tớch ú l s o phn mt phng m a giỏc ú chim ch Tng t nh vy, cỏc a din chim nhng phn khụng gian ln nh khỏc Th tớch ca mi a din l s o ca phn khụng gian m nú chim ch lp di chỳng ta ó c hc cỏc cụng thc tớnh th tớch ca mt s a din n gin Sau õy chỳng ta s núi rừ hn v cỏc cụng thc ny cú nhng cụng thc nh th, chỳng ta tha nhn rng mi a din cú th tớch l mt s dng, tha cỏc tớnh cht sau õy: 1) Hai a din bng thỡ cú th tớch bng 2) Nu mt a din c phõn chia thnh nhiu a din nh thỡ th tớch ca nú bng tng th tớch ca cỏc a din nh ú 3) Khi lp phng cú cnh bng thỡ cú th tớch bng 1.1.1 Th tớch lng tr, chúp Th tớch lng tr - Th tớch lng tr V = B.h, vi - Th tớch hp ch nht B: Din tớch ỏy h: Chiu cao V a.b.c , vi a, b, c l kớch thc hỡnh hp - Th tớch lp phng V a3 , vi a l di cnh ca hỡnh lp phng Th tớch chúp - Cụng thc tớnh th tớch chúp Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp V B.h , Vi Trường ĐHSP Hà Nội B: Din tớch ỏy h: Chiu cao S A D B H C * Khi chúp u + Cỏc cnh bờn bng + ỏy ca hỡnh chúp l mt a giỏc u + Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh xung ỏy trựng vi tõm ca a giỏc ỏy - Khi chúp tam giỏc u + Cỏc cnh bờn bng + ỏy l tam giỏc u + Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh xung ỏy trựng vi tõm ca tam giỏc ỏy S - Khi t din u + Tt c cỏc cnh bng + Tt c cỏc mt u l cỏc tam giỏc u + Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh xung C A ỏy trựng vi tõm ca tam giỏc ỏy O Khi t din u l mt trng hp c B bit ca chúp tam giỏc u Trịnh Thị Phương M Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội - Khi chúp t giỏc u S + Tt c cỏc cnh bờn bng + a giỏc ỏy l hỡnh vuụng A D tõm O O + SO (ABCD) C B 1.1.2 T s th tớch Cho t din SABC v A, B, C l cỏc im tựy ý khỏc S ln lt thuc SA, SB, SC ta cú V SABC V SABC S SA SB SC SA SB SC A C B C A B Khi tớnh th tớch ca cỏc a din ta phi tớnh di ng cao v din tớch ỏy m cỏc i lng chiu cao v ỏy l nhng i lng quen thuc ca hỡnh hc phng (on thng, tam giỏc, t giỏc) Cho nờn cỏc bi toỏn tớnh th tớch a din ta cũn s dng cỏc kin thc liờn quan nh sau: Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.2 Cỏc kin thc liờn quan 1.2.1 Tam giỏc - Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc A c ABC 1 abc S ABC a.h ab.sin C 2 4R pr p ( p a )( p b)( p c ) b h B a (vi p C H M abc , R, r ln lt l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip v ni tip tam giỏc ABC) - Cụng thc ng trung tuyn AM AB AC BC - nh lớ hm s Cos: a b c 2bc.cos A - nh lớ hm s Sin: a b c R sin A sin B sin C 1.2.2 Tam giỏc vuụng Cho tam giỏc ABC vuụng ti A vi BC a, AC b, AB c ú ta cú: + nh lớ Pytago: BC AC AB + T s lng giỏc tam B giỏc vuụng a b c sin B , cos B a a b b tan B , cot B c c H c h + BA2 BH BC ; CA2 CH CB A C b + AB.AC = AH.BC Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp + Trường ĐHSP Hà Nội 1 2 AH AB AC + b a.sin B a.cos C , c a.sin C a.cos B + a b b , b c.tan B c.cot C sin B cos C + Din tớch tam giỏc vuụng S ABC AB AC 1.2.3 Tam giỏc cõn A + ng cao AH cng chớnh l ng trung tuyn + ng cao AH BH tan B + S ABC BC AH B H C 1.2.4 Tam giỏc u + ng cao ca tam giỏc u h AM AB A + Din tớch S ABC ( AB ) B M C 1.2.5 T giỏc c bit - Hỡnh ch nht + Din tớch hỡnh ch nht A B S ABCD AB AD + Hai ng chộo ca hỡnh ch nht bng v ct ti trung im ca mi O C D ng - Hỡnh vuụng Trịnh Thị Phương Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Vy EH Trường ĐHSP Hà Nội abc 2(a c ) bc 2(a c )( a b2 c ) ac3 (a b c ) Bi (Theo thi i hc D - 2002) Cho hỡnh t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng (ABC); AC = AD = cm; AB = cm; BC = cm Tớnh khong cỏch t im A ti mt phng (BCD) S Hng dn Xột tam giỏc ABC cú BC AC AB E D ABC l tam giỏc vuụng ti A Theo gi thit ta cú AD (ABC) Gi V l th tớch t din ABCD thỡ ta cú C A V AD.S ABC Cú AD = cm, S ABC B 1 AB AC 3.4 (cm2) 2 V 6.4 (cm3) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A xung mt phng (BCD) Ta cú AH 3V S BCD * Tớnh SBCD p dng nh lớ Pytago vo cỏc tam giỏc vuụng ABD, ADC, ABC ta thu c BC = cm, DB = cm, DC = cm p dng cụng thc Hờ rụng S vi p p ( p a) ( p b) ( p c) vo tam giỏc BCD CD DB BC 52 2 Ta tớnh c S BCD 34 (cm2) Trịnh Thị Phương 53 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp T ú AH Trường ĐHSP Hà Nội 34 (cm) 17 Vy khong cỏch t A ti mt phng (BCD) l 34 (cm) 17 Bi 4: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy bng a , cỏc cnh bờn SA, SB, SC u to vi ỏy mt gúc 600 a) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC b) Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (SBC) Hng dn a) Gi O l tõm ca tam giỏc ABC, S.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u nờn SO (ABC) hay SO chớnh l ng cao ca hỡnh chúp S.ABC Theo gi thit cnh bờn SA to vi ỏy mt gúc 600 nờn SAO 600 * Tớnh SO Tam giỏc ABC l tam giỏc u cnh a nờn AM a a AO OB OC AM 3 S Xột tam giỏc vuụng SAO cú SO AO.tan 600 a a * Tớnh SABC A C Ta cú ABC l tam giỏc u cnh a nờn ta cú S ABC a O M N B Vy th tớch chúp S.ABC l VS ABC 1 a2 a3 S ABC SO a (vtt) 3 12 b) Gi H l chõn ng cao h t A xung mt phng (SBC) Khi ú ta cú AH Trịnh Thị Phương 3VS ABC S SBC 54 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội * Tớnh SSBC p dng nh lớ Pytago vo cỏc tam giỏc vuụng SOC, SOB ta tớnh c SB SC 3a T ú ỏp dng cụng thc Hờ-rụng S p ( p a) ( p b) ( p c) vo tam giỏc a 13 SC SB BC 3a a SBC vi p Ta c S SBC 2 AH a3 3a a 13 26 2.4 Cỏc bi toỏn v th tớch a din cú kt hp vi vic tỡm GTLN, GTNN a C s lớ thuyt õy cú th coi l mt dng toỏn rt c bn mc dự cha mt ln cú mt cỏc thi i hc, cao ng t nm 2002 n (cho dự cỏc bi toỏn v giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht vi hm s hu nh nm no cng cú mt cỏc thi tuyn sinh) Cỏc bi toỏn ny cú ni dung c bn nh sau: Th tớch a din cỏc dng toỏn ph thuc mt tham s no ú (tham s ú cú th l gúc, hoc l di cnh), bi toỏn ũi hi xỏc nh giỏ tr ca tham s th tớch nhn giỏ tr ln nht hoc nh nht Vi cỏc bi toỏn ny c gii theo cỏc bc sau: B1: Chn tham s, thc cht l chn n n ny cú th l gúc thớch hp a din, hoc l mt yu t di no ú B2: Vi n s c chn B1 ta coi ú nh l mt yu t ó cho tớnh th tớch V ca a din theo cỏc phng phỏp ó bit B3: n õy nhim v ca bi toỏn hỡnh hc coi nh ó kt thỳc Ta cú mt hm s f (x) vi x D m cn tỡm GTLN, GTNN ca nú Dựng bt ng Trịnh Thị Phương 55 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội thc hoc s dng tớnh ng bin, nghch bin ca hm s thụng qua vic kho sỏt hm s b Vớ d minh Vớ d 1: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD m khong cỏch t A n mt phng (SBC) = 2a Vi giỏ tr no ca , vi l gúc gia mt phng bờn v ỏy ca hỡnh chúp, thỡ th tớch chúp l nh nht Tỡm giỏ tr nh nht ú Gii Gi M, N ln lt l trung im S ca AD, BC Ta cú SNM = H Do DA // BC AD // (SBC) D C d ( A,( SBC )) d ( M ,( SBC )) MH 2a M õy MH SN (H SN) ( Vỡ (MNS) (SBC) nờn MH (SBC) ) Ta cú MN N O B A MH 2a sin sin t ú SO ON tan a sin a sin cos cos Do ú VS ABCD 1 2a a 4a S ABCD SO 3 sin cos 3sin cos (1) T (1) suy VSABCD nh nht sin .cos ln nht Xột biu thc P sin cos cos (1 cos ) cos cos3 (2) t x cos (0 < x < 1) Xột hm s y x x3 Ta cú y 3x Ta cú bng bin thiờn sau: Trịnh Thị Phương 56 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp x - y' y Trường ĐHSP Hà Nội 3 + 3 - + 3 x T ú ymax = y Vy VSABCD nhn giỏ tr nh nht l: a3 a cos 3 Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn nh C v SA vuụng gúc vi ỏy (ABC) Gi s SC a Hóy tỡm gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABC) cho th tớch chúp l ln nht Gii S Gi (( SBC ), ( ABC )) Ta cú (SBC) (ABC) = BC AC BC (theo gt) a Suy SC BC (theo nh lý ng B A vuụng gúc) SCA , SA = a.sin v AC = a.cos V SABC C 1 a cos a3 S ABC SA a sin cos sin (1) 3 T (1) VSABC nhn giỏ tr ln nht v ch biu thc P cos sin nhn giỏ tr ln nht, vỡ sin > nờn Pmax v ch 2 P2max (1 sin ) sin t giỏ tr ln nht Trịnh Thị Phương 57 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta cú (1 sin ) sin Trường ĐHSP Hà Nội (1 sin )(1 sin )2sin Theo bt ng thc cosi thỡ (1 sin ) (1 sin ) 2sin (1 sin ).(1 sin ).2sin 27 T ú Pmax = 2 3 sin sin sin a3 3 Vy VSABC nhn giỏ tr ln nht l sin 27 2.5 Cỏc bi toỏn v so sỏnh th tớch a C s lớ thuyt Cỏc bi toỏn thuc loi ny thng cú cỏc dng sau: Cho mt a din v mt mt phng (P) Mt phng ny ct a din theo mt thit din () no ú Thit din () s chia a din thnh phn cú th tớch ln lt l V1 v V2 Bi toỏn ũi hi tỡm t s phn b chia Núi riờng nu V1 tc l so sỏnh th tớch V2 V1 thỡ ta núi thit din () chia a din V2 thnh phn tng ng, tc l chỳng cú th tớch bng Cn lu ý rng mc dự cỏc bi toỏn kỡ thi tuyn sinh i hc, Cao ng khụng cú dng trc tip nh th nhng thc cht nhiu bi toỏn li s dng n vic so sỏnh th tớch ny Tht vy cỏc vớ d 1, 2, loi tớnh th tớch a din theo yờu cu ta khụng trc tip tớnh nú m thụng qua mt trung gian, sau ú tỡm t s gia th tớch a din cn tớnh vi th tớch trung gian ny T th tớch trung gian (m vic tớnh d dng hn) ta suy kt qu cn tớnh Nh th thc cht ca cỏc vớ d ny l gii mt bi toỏn v so sỏnh th tớch Trịnh Thị Phương 58 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Cỏc bi v so sỏnh th tớch cú lc chung gii nh sau: - Xỏc nh thit din - Chn mt hai phn tớnh th tớch - Vi phn c chn so sỏnh th tớch ca nú vi th tớch ca a din ban u Gi s ta tớnh c V1 = k.V (0 < k < 1) Khi ú t s cn tỡm l V1 k V2 k Trong mc ny ta luụn s dng hai kt qu c bn hin nhiờn nh sau: Bi toỏn c bn cn trỡnh by phn m u ca loi 2 Kt qu quen bit sau õy hỡnh hc phng Cho tam giỏc ABC, B v C ln lt l cỏc im trờn cỏc cnh AB v AC (hoc phn kộo di ca nú) Khi ú ta cú: S ABC AB AC S ABC AB AC C A B C A A B C B C B C B C B ly lm vớ d minh cho mc ny, cú th s dng cỏc thớ d 1, 2, loi Ngoi chỳng ta i xột thờm cỏc vớ d cú dng trc tip ũi hi so sỏnh th tớch ca hai phn a din b chia bi thit din () cho trc Sau õy l mt vi vớ d Trịnh Thị Phương 59 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b Vớ d minh Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC Gi M l trung im ca SB Dng thit din vi hỡnh chúp qua M, song song vi SA v song song vi BC Chng minh thit din chia hỡnh chúp thnh hai phn tng ng Gii S K MN // SA (N AB), MQ // BC (Q SC) K NP // BC (P AC) QP // SA Thit din l hỡnh bỡnh hnh MNQP R Q D thy M, N, Q, P ln lt l trung M im ca SB, AB, AC v SC P Gi V1 l th tớch phn hỡnh chiu nm A bờn trỏi thit din MNPQ T M k C N MR // AB (R SA, v cú RS = RA) B Gi S, h, V ln lt l din tớch ỏy tam giỏc ABC, chiu cao hỡnh chúp, th tớch c hỡnh chúp Ta cú RMQ.ANP l hỡnh lng tr v cú V1 = VS.RMQ + VRMQ.ANP (1) S h S h V 3V 4V V 34 8 V2 = V - V1 = V V1 = V2 Vớ d 2: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cnh ỏy bng a , gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 600 Dng thit din qua DC v l mt phng phõn giỏc ca gúc to bi mt phng (SDC), (ABCD) Thit din chia hỡnh chúp thnh phn V1, V2 Tớnh Trịnh Thị Phương V1 V2 60 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Gii Gi M, N l trung im ca AB, CD S Theo gi thit ta cú SNM 600 P Thit din phi tỡm i qua DC K Gi NK l phõn giỏc ca SNM thit din phi tỡm i qua DC v NK C B Q M N O Vỡ DC // AB DC // (SAB) Qua K k ng thng QP // AB suy D A thit din phi tỡm chớnh l DQPC Ta cú SNM l tam giỏc cõn (SM = SN) Li cú SNM 600 SMN u NK l ng phõn giỏc SK = KM Vỡ QP // AB Q, P ln lt l trung im ca SA v SB Gi V1 l phn th tớch ca hỡnh S.QPCD Ta cú V1=VS.QPD +VS.PDC 1 2 = VSABD VSBDC V2 V V 3V 8 5V V V2 Vớ d 3: Khi chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh M l trung im cnh SC, mt phng (P) qua AM, song song vi BD chia chúp thnh phn Tớnh t s th tớch ca hai phn ú S Gii Gi giao hai ng chộo l O, AM ct SO M E ti I, k qua I ng thng song song I D vi BD ct SB v SD ti F v E Nh vy thit din m (P) ct a din l F C O t giỏc AEMF A B Gi: Trịnh Thị Phương 61 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội V1 VS AEF , V2 VS EFM , V VS ABCD V0 VSABD VS CBD V Vỡ M l trung im ca SC cho nờn I l trng tõm ca tam giỏc SAC suy ra: SI SO (1) Vỡ EF // BD thỡ ta cú t s: SE SF SI (theo (1)) SD SB SO Theo bi toỏn c bn ta cú V1 SA SE SF 2 V0 SA SD SB 3 V: (2) V2 SE SF SM 2 V0 SD SB SC 3 18 (3) Ly (2) + (3) v vi v ta c: V1 V2 2 VS AEMF V1 V2 V0 V V0 9 3 Do ú th tớch phn cũn li l: V VS AEMF VAEMF ABCD V V T s hai th tớch l: 3 2 Vớ d 4: Cho lng tr tam giỏc u ABC.ABC Gi M l trung im ca AA, mt phng i qua M, BC chia lng tr thnh phn Tớnh t s th tớch phn ú Gii Gi cnh tam giỏc u bng a (BC = a ), chiu cao tam giỏc u bng h Tc l AH = h Ta cú: Trịnh Thị Phương 62 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội VM ACBB VM ABC VB.CBM 1 1 BC AH AM BC.BB AH 3 BC AH ( MA BB) a 31 a2 a h h 2 B' A' C' B (1) M A H a a2 Mt khỏc VLT Bh a h h 2 C Vỡ vy th tớch cũn li: VM BCC ' A ' VLT VM ABCB ' Do vy a2 a2 a2 h h h 8 VM ACBB VM BCC A c Bi ỏp dng Vớ d Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A v AB = a Trờn ng thng qua C v vuụng gúc vi mt phng (ABC) ly im D cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD ct BD ti F v ct AD ti E Tớnh t s th tớch VD.CFE VD ABC Hng dn T gi thit AB = a v CD = a , tam giỏc ABC vuụng cõn ti A suy tam giỏc CAD l tam giỏc vuụng cõn ti C Mt phng qua C vuụng gúc vi BD nờn t C k CF vuụng gúc vi BD Trong mt phng (ABD) k FE vuụng gúc vi BD cho nờn mt phng qua C chớnh l mt phng (CFE) Do BD CFE BD CE CE BD CE ABD CE AD Ta cú: CE BA Trịnh Thị Phương 63 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do CAD vuụng cõn cho nờn E l trung im ca AD Xột tam giỏc vuụng ng dng DFC v DCB cú: DF DC DF DC DC DB DB DB D DF DC a2 Cho nờn Hay: 2 DB DC CB a 2a F a VD.CFE CD DE DF VD ABC CD DA DB E B C 1 a a A Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht , SA vuụng gúc vi ỏy v AB = a , AD = b, SA = c Ly B, D theo th t thuc SB, SD cho AB vuụng gúc vi SB, AD vuụng gúc vi SD Mt phng (ABD) ct SC ti C Tớnh t s th tớch VS ABC D VS ABCD S Hng dn K AB' vuụng gúc vi SB, AD SD AB SB AB SC (1) Vỡ AB BC ( BC ( SAB )) D C B Tng t D a AD SD AD ( SDC ) AD SC (2) AD DC SC BC T (1) v (2) SC ( ABD) SC DC B A b C Vỡ vy ta ch k B'C' SC v ni C'D' ta c thit din ca (AB'D') ct chúp l AB'C'D' Cỏc tam giỏc: SB'A v SAB, SD'A v SAD, SCA v SAC ng dng vi nhau, suy ta cú cỏc t s ng dng sau: Trịnh Thị Phương 64 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội SB ' SA SB ' SA2 c2 2; SA SB SB SB a c SD ' SA SD ' SA2 c2 SA SD SD SD b c SC ' SA SC ' SA2 c2 SA SC SC SC a b c Ta cú: VS AB ' C ' SB ' SC ' VS AD 'C ' SD ' SC ' VS AB 'C ' VS AD 'C ' SC ' SB ' SD ' ; VS ABCD VS ABC SB SC VS ADC SD SC SC SB SD c2 c2 c2 c4 k a b2 c2 a c2 b2 c2 a b2 c2 a c2 b2 c2 Vy VS AB ' C ' VS AB ' C ' V k S AB ' C ' D ' 2k VS ABCD VS ABCD VS ABC D 2c 2 2 VS ABCD ( a b c ) a c b c2 Kt lun chng Trờn õy l mt s dng bi c bn thng gp cỏc thi ht hc kỡ, thi tuyn sinh cao ng, i hc Cỏc dng bi a tng ng vi mt s phng phỏp gii c th giỳp cỏc em hc sinh cú th nm c cỏch lm ng thi ụn li mt s kin thc cú liờn quan õy s l ngun ti liu tham kho cú ớch cho nhng ang quan tõm ti ny Lm tt cỏc dng bi ny tc l chỳng ta ó cú th hiu rừ c mi quan h ca cỏc hỡnh khụng gian Phõn loi c cỏc bi tp, hiu c yờu cu bi toỏn, tỡm c phng phỏp lm l hc sinh nờn lm t bõy gi Chớnh vỡ vy chng ny tụi a mt s dng bi v phng phỏp gii tng ng vi hi vng cú th giỳp cho hc sinh gim bt nhng khú khn lm vic vi nhng bi toỏn tớnh th tớch Trịnh Thị Phương 65 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KT LUN Trờn õy l ton b ni dung ca khúa lun: Cỏc bi toỏn v th tớch a din chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng Thụng qua cỏc vớ d v cỏc bi luyn c a tng ng vi cỏc dng s rốn luyn k nng v hỡnh, k nng tớnh toỏn, kh nng t cho hc sinh Cựng mt bi nhng xoay quanh nú cú rt nhiu cõu hi khỏc nhau, cỏc khỏc Do ú ũi hi phi dng tt cỏc phng phỏp tỡm li gii hay v ngn gn, chớnh xỏc nht cho bi toỏn Khúa lun cng ó tng hp li nhng kin thc lớ thuyt c bn nht v th tớch a din chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng, c bit l nhng kin thc gn lin vi kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng T ú em li kt qu cao nht cỏc kỡ thi Mc dự ó cú nhiu c gng, song thi gian v nng lc cũn hn ch nờn khúa lun khụng th trỏnh c nhng thiu sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp quý bỏu t phớa thy cụ v cỏc bn khúa lun ca tụi c hon thin hn Trịnh Thị Phương 66 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TI LIU THAM KHO Nguyn Bỏ Kim, Phng phỏp dy hc mụn Toỏn, Nh xut bn i Hc S Phm H Ni Trn Phng, Bi ging trng tõm ụn luyn mụn Toỏn, NXB HQGHN Trn Phng, Tuyn cỏc chuyờn luyn thi i hc mụn Toỏn hỡnh, NXB H Ni Trn Phng - Bựi Minh Mn, Tuyn cỏc chuyờn hỡnh hc, NXB HQGHN on Qunh (Tng ch biờn), Vn Nh Cng (Ch biờn), Phm Khc Ban, Lờ Huy Hựng, T Mõn (2012), Hỡnh hc nõng cao 12, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam Trung Sn, Phng phỏp gii toỏn hỡnh hc khụng gian 12, Nh xut bn tr TPHCM Tuyn thi tuyn sinh i hc - Cao ng mụn toỏn t nm 2002 2012, B giỏo dc v o to w.w.w.d.violet.vn w.w.w.tailieu.vn Trịnh Thị Phương 67 Lớp K35E Toán [...]... K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 - Cỏch xỏc nh gúc + Gúc gia ng thng d v mt phng (P) Tỡm hỡnh chiu d ca d lờn mt phng (P) Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d + Gúc gia hai mt phng (P) v (Q) Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q) Tỡm trong (P) ng thng a d , trong mt phng (Q) ng thng b d Khi ú gúc gia (P) v (Q) l gúc gia 2 ng thng a v b 1.3 Bi tp th tớch trong sỏch giỏo khoa toỏn trung. .. nhau nm trong mt phng ỏy Trịnh Thị Phương 11 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 - Giao tuyn ca 2 mt phng phõn bit cựng cha nh v vuụng gúc vi ỏy - ng thng qua nh nm trong mt phng ( ) vuụng gúc vi ỏy, ng thi vuụng gúc vi giao tuyn ca ( ) v ỏy - Cho hỡnh chiu vuụng gúc ca nh lờn mt ỏy thỡ on ni nh v hỡnh chiu ca nú l ng cao Lu ý: Trong cỏc trng hp trờn cn ch cho hc sinh thy c trong. .. trờn ng phõn giỏc gúc A trong tam giỏc ABC (cng l trung tuyn do tam giỏc ABC u) T ú ta nờn v trung tuyn AM trc t ú lm c s cú SH v v sao cho SH ( ABC ) Vớ d 2: ( thi tuyn sinh i hc khi D - 2009) Cho hỡnh lng tr ng ABCABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ABC ti B Gi s AB a, AA 2a, AC 3a Gi M l trung im ca AC v I l giao im ca AM v AC Tớnh th tớch t din IABC Gii Do (AACC) (ABC) nờn trong (AACC) k IH AC (H... (h1 +h2) (trong ú h1, h2 ln lt l hai ng chộo 2 ca hỡnh thoi) 1 - Din tớch hỡnh thang: S (m1+m2).h (trong ú m1, m2, h ln lt l ỏy ln 2 v ỏy nh v chiu cao ca hỡnh thang) - Din tớch hỡnh bỡnh hnh S = m.h (trong ú m l ỏy, h l ng cao ca hỡnh bỡnh hnh) 1.2.6 Khong cỏch - Khong cỏch t mt im ti mt ng thng, mt mt phng Khong cỏch t im M ti mt ng thng a (hoc mt phng (P)) l khong cỏch gia hai im M v H, trong ú H... chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng ABCD cnh a , mt bờn SAD l tam giỏc u v nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy ABCD Gi M, N, P ln lt l trung im ca SB, BC, CD Tớnh th tớch ca t din CMNP Gii Gi H l trung im ca AD thỡ SH AD S Do (SAD) (ABCD) nờn M SH (ABCD) v SH a 3 (vỡ SAD l tam giỏc u 2 A cnh a ) K H D Trịnh Thị Phương B 18 N P C Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 K MK // SH (K HB) K... Gi M, N ln lt l trung im ca AD v SC Gi s I l giao im ca BM v AC Tỡm th tớch t din ANIB Gii Gi O l tõm ca ỏy ABCD Trong tam giỏc SAC cú NO l ng trung bỡnh a nờn NO // SA Tc l NO (ABCD) v NO 2 Ta cú VANIB = VNAIB = S 1 a S AIB NO S AIB 3 6 (1) Ta i tớnh din tớch AIB N A Xột hỡnh ch nht ABCD do MA = MD M 1 1 MA BC AI IC 2 2 1 AI AC 3 Trịnh Thị Phương B O D 19 C Lớp K35E Toán Khóa luận tốt... thng bi tp v th tớch mt cỏch tng i a dng v phong phỳ Trịnh Thị Phương 10 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 CHNG 2: BI TON TH TCH TRONG CHNG TRèNH TRUNG HC PH THễNG 2.1 Bi toỏn tớnh th tớch trc tip Phng phỏp gii cỏc bi toỏn dng ny thng c tin hnh nh sau: - Xỏc nh chiu cao ca khi a din cn tớnh th tớch Trong nhiu trng hp chiu cao ny c xỏc nh ngay t u bi, nhng cng cú trng hp vic xỏc... Gi I l trung im ca cnh AD Bit mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD Gii Vỡ (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi S ỏy (ABCD) nờn giao tuyn SI (ABCD) Vy SI l ng cao ca hỡnh chúp S.ABCD A K IH BC SH BC (nh lý 3 M B ng vuụng gúc) 600 N 0 Ta cú SHI 60 l gúc gia hai mt H D C phng (SBC) v (ABCD) Trong tam giỏc vuụng SIH ta cú Trịnh Thị Phương 17 Lớp K35E Toán Khóa... quy v bi toỏn tớnh th tớch khi a din Kt lun chng 1 Nh vy trong chng ny chỳng ta ó i tỡm hiu c s lớ lun v th tớch khi a din, tỡm hiu c cỏc kin thc liờn quan ti vn ny cng nh mt s lu ý khi lm bi tp v th tớch khi a din T ú cú nhng dng bi tp tng ng Trờn c s ú vi mc ớch giỳp hc sinh cú c mt ti liu thit thc v ch th tớch khi a din trong chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng Chng 2 ca khúa lun s i xõy dng mt h thng... V = AB AD.AA = a 3.a.a a 3 A 3 (vtt) B O Khi chúp OABCD cú ỏy v ng cao ging vi khi hp nờn M D A 3 1 a 3 VOABC D V 3 3 C B (vtt) b) Gi M l trung im ca BC ta cú: OM // DC (Vỡ OM l ng trung bỡnh ca D C BDC) OM (BBC) (Vỡ DC (BDC)) Trịnh Thị Phương 15 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 * Tớnh OM Ta cú OM DC a 3 2 2 * Tớnh SBBC 1 a2 Ta cú S BBC BB.BC 2 2 VOBB 'C ' 1 1 ... (ABCD) Trong tam giỏc vuụng SIH ta cú Trịnh Thị Phương 17 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp SI =IH.tan 600 = IH Trường ĐHSP Hà Nội (1) Gi M, N ln lt l trung im ca AB v BC Vỡ IN l ng trung bỡnh... BI TON TH TCH TRONG CHNG TRèNH TRUNG HC PH THễNG 2.1 Bi toỏn tớnh th tớch trc tip Phng phỏp gii cỏc bi toỏn dng ny thng c tin hnh nh sau: - Xỏc nh chiu cao ca a din cn tớnh th tớch Trong nhiu trng... a VOABC D V 3 C B (vtt) b) Gi M l trung im ca BC ta cú: OM // DC (Vỡ OM l ng trung bỡnh ca D C BDC) OM (BBC) (Vỡ DC (BDC)) Trịnh Thị Phương 15 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP