Những bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp kết cố gắng thân em sau thời gian học tập,nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô Qua đây,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo,đặc biệt thầy Vƣơng Thông - người tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên thực Phạm Thị Thu Thủy Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em Khóa luận hoàn thành sở kiến thức mà em học, số tài liệu tham khảo bảo thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Vƣơng Thông Với đề tài: "Những toán đa thức ", khóa luận trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên thực Phạm Thị Thu Thủy Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Những kiến thức đa thức có liên quan 1.1.Vành đa thức ẩn 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10 Chương 2: Một số toán đa thức ẩn 14 2.1 Bài toán 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức Tìm dư mà không thực phép chia 14 2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị m để f  x, m g  x, m  20 2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy 23 2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm đa thức Công thức Viet 27 2.5 Bài toán 5: Ứng dụng định lí Viet vào giải hệ phương trình 32 2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức 35 2.7 Bài toán 7: Tìm ước chung lớn đa thức 37 Chương 3: Một số toán đa thức nhiều ẩn 41 3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 41 3.2 Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức 43 3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức 45 3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 48 3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng 51 3.6 Bài toán 6: Giải phương trình thức dựa vào đa thức đối xứng 53 3.7 Bài toán 7: Lập phương trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng 54 3.8 Bài toán 8: Trục thức mẫu 55 Kết Luận ………………………………………………………………… 59 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 60 Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số phận lớn toán học, đa thức khái niệm quan trọng Lý thuyết đa thức sử dụng nhiều toán cao cấp, toán ứng dụng, toán sơ cấp Trong chương trình phổ thông, đại số hầu hết nghiên cứu đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai số đa thức dạng đặc biệt bậc cao Tuy vấn đề đa thức trình bày rải rác, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết, chưa đưa phương pháp giải tường minh Tài liệu viết đa thức chưa nhiều nên việc nghiên cứu đa thức khó khăn Với lí chọn đề tài “Những toán đa thức” nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức ứng dụng để giải số toán có liên quan Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn số toán liên quan Đối tƣợng nghiên cứu Các dạng toán đa thức Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông CHƢƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC CÓ LIÊN QUAN 1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hoán có đơn vị kí hiệu Kí hiệu P = {  a0 , a1 , , an ,  ,  A, i   ,  hầu hết } Trên P’ ta xác định quy tắc cộng nhân sau: (1)  a0 , a1, an ,   b0 , b1, , bn ,    a0  b0 , a1  b1, , an  bn ,  (2)  a0 , a1, an , .b0 , b1, , bn ,    c0 , c1, , cn ,  Trong c0  a0b0 c1  a0b1  a1b0 ck  a0bk  a1bk 1   ak 1b1  ak b0   ab ; i  j k i j k  0,1,2, Khi (P,+, ) lập thành vành giao hoán có đơn vị gọi vành đa thức Thật vậy, ta có quy tắc (1) (2) cho ta phép toán P * (P, +) nhóm giao hoán  Phép cộng có tính chất giao hoán kết hợp  Phần tử không  0,0, ,0,   Phần tử đối  a0 , a1, , an ,   a0 , a1, , an ,  * (P, ) vị nhóm giao hoán vì:  Do A giao hoán nên  ab i  j k i j  ba i  j k j i nên phép nhân giao hoán  Phép nhân A có tính chất kết hợp phân phối phép cộng nên phép nhân P có tính chất kết hợp, phân phối phép cộng Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông  Phần tử đơn vị 1,0, ,0,  Do P vành giao hoán có đơn vị Xét ánh xạ f : A  P a   a,0, ,0,  Nhận thấy f đơn cấu vành nên ta đồng phần tử a  A với f  a   P tức a  f  a    a,0, ,0,  Suy A vành P Xét dãy x   0,1,0, ,0,  Theo quy tắc nhân: x   0,0,1,0, ,0,  x3   0,0,0,1,0, ,0,  ……………………   x n   0, ,0,1,0,    n  Quy ước x  1,0, ,0,  Các phần tử P dãy  a0 , a1, , an ,   hầu hết nên ta giả sử n số lớn để an  Khi phần tử P   a ,0, viết  a0 , , an ,0,    a0 ,0,    0, a1,0,     0, ,0,   n  n      a0 ,0, ,  1,0,    a1 ,0, . 0,1,0,    an ,0,   0, ,0,1,0,    n   a0  a1 x   an x n Dạng gọi dạng tắc đa thức Khi P thay A[x] gọi vành đa thức ẩn x Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông A vành sở, phần tử gọi đa thức ẩn x, thường kí hiệu f(x), g(x), h(x), … Định nghĩa 1.1:  Trong đa thức f  x   a0 x  a1x   an x n  A[ x ]  a i i  0, n hệ tử đa thức   xi i  0, n hạng tử đa thức a0 gọi hạng tử tự ; an  gọi hệ tử cao 1.1.2 Bậc đa thức Định nghĩa 1.2: Cho đa thức f  x   A[x] Nếu f  x   ta nói f  x  đa thức bậc  Nếu f  x   ta gọi số lớn n cho an  đa thức f  x  bậc đa thức Kí hiệu : deg f  x   n Định lí 1.1: Cho hai đa thức f  x  , g  x   A[ x]* Khi đó: 1) Nếu f  x   g  x   deg  f  x   g  x    max deg f  x  ,deg g  x  2) Nếu f  x .g  x   deg  f  x .g  x    deg f  x   deg g  x  Định lí 1.2: Nếu A miền nguyên, f  x  g  x  đa thức khác không vành A[x] f  x .g  x   deg  f  x .g  x    deg f  x   deg  g  x   Hệ quả: Nếu A miền nguyên A[x] miền nguyên 1.1.3 Phép chia đa thức a, Định lí phép chia với dƣ Định lí 1.3: Giả sử A trường Khi đó: f  x  , g  x   A[x],g  x   ! q  x  , r  x   A[x] cho f  x   q  x  g  x   r  x  Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Trong r  x   r  x   deg r  x   deg g  x  Ta gọi q  x  thương r  x  dư b, Phép chia hết Định nghĩa 1.3 Cho đa thức f  x  , g  x   A[x], g  x   Ta nói f  x  chia hết cho g  x  tồn đa thức q  x   A[ x] cho f  x   g  x .q  x  Ta kí hiệu: f  x   g  x  1.1.4 Nghiệm đa thức a, Định nghĩa 1.4: Cho đa thức f  x   a0  a1 x   an x n  A[x] Lấy phần tử c thuộc A, phần tử f  c   a0  a1c   anc n  A gọi giá trị đa thức f  x  x  c Nếu f  c   c gọi nghiệm đa thức f  x  A b, Định lí Bézout Giả sử A trường, c  A , f  x   A[x] Dư phép chia f  x  cho x  c f  c  c, Lƣợc đồ Horner Thực phép chia đa thức f  x   ao x n  a1x n1   an cho x  c ta hệ tử đa thức thương q  x   b0 x n1  b1 x n2   bn1 cho công thức b0  a0 ; b i   c.bi 1 , i  1, n; r  an  c.bn1 c a0 a1 … an-1 an b0 b1 … bn-1 r d, Nghiệm bội tính chất nghiệm bội Định nghĩa 1.5: Giả sử A trường, c  A, f  x   A[x],m   , m  Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông c nghiệm bội cấp m f  x  x  c  f  x  không chia hết m cho  x  c  m 1 - Với m = : c gọi nghiệm đơn - Với m =2 : c gọi nghiệm kép - Với m  : c gọi nghiệm bội bậc m Định lí 1.4 ( Định lí ) Mọi đa thức f  x  với hệ số phức, bậc n  n  1 có n nghiệm phức kể số bội nghiệm e, Định lí Viéte Cho đa thức f  x   A[x], f  x   an x n  an1x n1   a1x  a0  n  1 Tồn trường E  A chứa hết tất nghiệm f  x   an  x  1  x     x   n  Trong 1, , , n nghiệm f  x  ta nhận được: an1          n  an  an1  1   1 n    2    n1 n  an    n a0  1  n   1 a n  Công thức công thức Viéte Đặc biệt n =2 f  x   ax  bx  c  a  0 b  1     a Công thức Viéte là:     c  a Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông  a  0 n = f  x   ax3  bx  cx  d b          a  c  Công thức Viéte là: 1  1   2  a  d  1 2   a  1.1.5 Đại số đa thức Định nghĩa 1.6: Cấu trúc đại số  X  , ,.,x  thỏa mãn điều kiện sau: 1)  X , ,. lập thành vành 2)  X , ,x k  lập thành K – môđun, K – vành giao hoán có đơn vị A[x] vành đa thức n n a  A, f  x    x  A[ x] a f  x     a  xi i i 0 i 0 Ta có A – đại số đa thức A[x] * Phép hợp thành đa thức n f  x    xi  A[ x] Cho hai đa thức i 0 n g  x    b j x j  A[ x] j 0 n  f g  x   f [g  x  ]= [g  x  ]i  A[ x] i=0 n  gf  x    b j [f  x  ]j j 0 Bậc đa thức hợp thành nhỏ tích bậc đa thức * Phép lấy đạo hàm n n Cho f  x    x A[ x] ; f  x    iai xi 1 đạo hàm đa thức f  x  i i 1 Phạm Thị Thu Thủy ' i 1 10 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông 2   c4 a  b  a  b    c   2  4 11 4 c8 a  b  a  b    c   2   128 8 Bằng quy nạp ta chứng minh a  b  c  n số tự nhiên bất kì, ta có: a 2n  b2n  2 n 1 c2n Ví dụ 2: Cho a,b số thực dương thỏa mãn a  b  ab Chứng minh ab  Lời giải Theo giả thiết a, b   a  b  0, ab  a  b  ab           1     1  Do   12  4  nên 1         12       12     4 4 1    12         1  4  Do   nên     1  hay a  b  (đpcm) Ví dụ 3: Chứng bất đẳng thức sau: a) (ab  bc  ca)2  3abc(a  b  c) a, b, c  b) (a  b  c)(ab  bc  ca)  9abc a, b, c    Lời giải a) Từ (*) có: 12  3  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) (**) Đặt x = ab , y = bc, z = ca Ta thay x, y, z vào (**) có: Phạm Thị Thu Thủy 49 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông (ab  bc  ca)2  3(ab2c  abc  a 2bc)  3abc(a  b  c) b) Với 1  a  b  c   ab  bc  ca   abc Khi theo kết a ta có:  22  31  (1) Thế mà theo (*) có: 12  3 (2) Vì a, b, c > nên 1 , ,  Nhân vế với vế (1) (2) ta được: 12 22  91  2  1   9  (a  b  c)(ab  bc  ca)  9abc (đpcm) 3.3.4 Bài toán áp dụng Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau 1, x6  y  x5 y  xy5 x, y  2, x2  y   xy  x  y 3, 8 x4  y    x  y  4, x  y   xy   x  y  x, y  x, y   x, y   Bài 2: Chứng minh a, b  thỏa mãn a  b  1  6 ab a  b Bài 3: Cho a,b,c >0 a  b  c  chứng minh : 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab Bài 4: Chứng minh với số thực không âm x, y ta có: a, x4  x3 y  xy3  y  x2 y b, x3  y  x  y      Phạm Thị Thu Thủy 50 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp 3.4 GVHD: Vương Thông Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình đối xứng 3.4.1 Cơ sở lý luận Xét phương trình mà biểu thức vế có dạng đa thức đối xứng biến Tùy toán mà có cách giải thích hợp 3.4.2 Phƣơng pháp giải   x  y Đặt    xy  I Biểu diễn phương trình cho theo phương trình 1, rút gọn  theo  (*) Cách 1: Từ (*) hệ (I) suy x,y nghiệm phương trình t  1t    Với điều kiện   12  4  suy điều kiện  Cách 2: Do x,y số nguyên, kết hợp điều kiện (*) tìm điều kiện  Sau tìm x,y theo 1, 3.4.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nguyên thỏa mãn phương trình : x  y  x  xy  y 1 Lời giải Ta có 1  x  y   x  y   3xy  2   x  y Đặt    xy Khi (2) trở thành     3     12    x  y  1  Vậy ta phải tìm số nguyên x,y thỏa mãn   12    xy   x,y nghiệm phương trình : X   X  Phạm Thị Thu Thủy 51  12    (3) K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Để phương trình (3) có nghiệm     4  12     4   12      Vì x, y   nên 1   mà  1   1  1,2,3,4  Nếu   x = y =  Nếu  = phương trình (3) có nghiệm Suy phương trình cho có nghiệm  0,1 ; 1,0   Nếu  = phương trình (3) có dạng X  X   (loại)  Nếu  = phương trình (3) có nghiệm Suy phương trình cho có nghiệm 1,2  ;  2,1  Nếu  = phương trình (3) có nghiệm Suy phương trình cho có nghiệm  2,2  Vậy phương trình cho có nghiệm 1,2 ;  2,1 ;  2,2 ;  0,1; 1,0 ;  0,0  Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3  y3   3xy Lời giải x3  y   3xy   x  y    3xy  x  y   3xy   x  y   3xy  x  y   3xy     x  y   3xy  x  y   3xy     13  3 2  3      1  12    3  1  Với  x  y  1   xy   Phạm Thị Thu Thủy 52 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông x, y  nên x  y         Vì   12     3  2  1  1  1  x  y  1  Ta tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn :   xy      1 Suy x,y nghiệm phương trình : X   X  Ta có:        1  *     Để phương trình (*) có nghiệm    1  Suy phương trình (*) có nghiệm kép X1  X  Vậy phương trình cho có nghiệm x  y  3.4.4 Bài tập áp dụng Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1,  x  y   3 x  3xy  y  2, x2  y  x  y  3,  xy   x  xy  y Phạm Thị Thu Thủy 53 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp 3.5 GVHD: Vương Thông Bài toán 5: Giải hệ phƣơng trình dựa vào đa thức đối xứng 3.5.1 Cơ sở lý luận phƣơng pháp giải: Hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng ẩn x,y,z… ta chuyển sang ẩn 1  x  y  z;  xy  yz  zx;  xyz Sau tìm giá trị 1, , ta giải phương trình bậc để tìm x, y, z 3.5.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x3  y   2  x y  xy  Lời giải   x  y Đặt    xy    13  3 1    Hệ cho trở thành     1    x  y  x        xy  y 1   x     y 1  6  6  6 ;1  ;1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1   ; 1   2 2    x  y  z  a  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x  y  z  b  x3  y  z  a3  Phạm Thị Thu Thủy 54 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Lời giải   x  y  z  Đặt   xy  yz  zx   xyz  Hệ cho trở thành:    a   a   a  b2   2      2  b          a   a  a  b2     Khi x,y,z nghiệm phương trình: a  a  b2   a  b2 a  b2  t  at  t   t  a   t  0 2   t  a t  a   a  b2  t   t    b  a  ;|b|>|a|   2   1 Vậy nghiệm hệ cho hoán vị  a;  b  a  ;   b  a   2   3.5.3 Bài tập áp dụng Giải hệ phương trình sau x  y  z   1,  x  y  z  x3  y  z  xyz   x  y  z   2,  x  y  z  14  x3  y  z  16  3  x  y  3,  4  x  y   x2 y  y  x  12  4,     13  x y Phạm Thị Thu Thủy 55 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp 3.6 GVHD: Vương Thông Giải phƣơng trình thức dựa vào đa thức đối xứng 3.6.2 Cơ sở lý luận Biến đổi đưa hệ phương trình chứa đa thức đối xứng 3.6.2 Phƣơng pháp giải - Bước 1: Đặt ẩn phụ, đưa hệ phương trình - Bước 2: Giải hệ phương trình 3.6.2 Ví dụ minh họa Ví dụ : Giải phương trình sau: 1  x   x 1 2 Lời giải Đặt u   x; v x Khi u  v5    u  v   Ta có hệ sau:  5 u  v    5   5 1                     5  5               u  u   - Với   v  v    u    phương trình có nghiệm x   v  u  1   phương trình có nghiệm x  v  Phạm Thị Thu Thủy 56 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông   - Với  phương trình vô nghiệm    1 Vậy phương trình cho có nghiệm x1  ; x2   2 3.6.2 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: 1, x    x 1 2, 29  x  77  x    3, x 35  x3 x  35  x3  30 3.7 Bài toán 7: Lập phƣơng trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng 3.7.1 Cơ sở lý luận Dùng đa thức đối xứng để tính biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai 3.7.2 Phƣơng pháp giải Từ công thức Viet ta đưa biểu thức chứa nghiệm đa thức đối xứng 3.7.3 Ví dụ minh họa Ví dụ: Lập phương trình bậc hai: z  pz  q  (*) có nghiệm z1  x16  x22 ; z2  x26  x12 x1, x2 nghiệm phương trình x  x   (1) Lời giải   x1  x2  Xét phương trình (1), theo công thức Viet có:    x1 x2  3  z1  z2   p Xét phương trình (*) theo công thức Viet có :   z1 z2  q Phạm Thị Thu Thủy 57 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Khi  p  z1  z2  x16  x26   x12  x22   12  2 14  412   22   12  2   140 q  z1 z2  x16 x26   x18  x28   x14 x24   16   18  8 14  20 14 22  16 12 23  2 14   4 22   3  18  8.14. 3  20.14  3  16.12  3   3    3   833   Vậy phương trình bậc cần tìm z  140 z  833  3.7.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Lập phương trình bậc hai x2  px  q  có nghiệm x1  y16  y22 ; x2  y26  y12 y1, y2 nghiệm phương trình y2  y   Bài 2: Lập phương trình bậc hai x2  px  q  có nghiệm x1  y14  y22 ; x2  y24  y12 y1, y2 nghiệm phương trình y2  3y   Bài 3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm lũy thừa bậc nghiệm phương trình x  12 x  11  3.8 Bài toán Trục thức mẫu 3.8.1 Cơ sở lý luận Nếu mẫu số có dạng a  n b hay n a  n b ta cần áp dụng công thức sau:  x  y  x  y   x  y x n  y n   x  y   x n1  x n2 y   y n2 x  y n1  x n1  y n1   x  y   x n  x n1 y   xy n1  y n  Phạm Thị Thu Thủy 58 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Nếu mẫu số có ba (hay nhiều hơn) thức, ta tìm biểu thức chứa  nhân tử sau thực chia biểu thức không chứa thức mẫu 3.8.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trục thức mẫu biểu thức sau: 1  Lời giải Xét đa thức   x   x  x  Ta thấy mẫu số  m  x   x3  Vì    Mà đa thức tối tiểu    nên dễ thấy m x    x  nguyên tố Nghĩa tồn đa thức hệ số nguyên cho: u  x   x   v  x  m  x   d d       v   m    u     u 2 1   Suy d 1     Khi d  u 3 3 3 3 3 Tìm u  x  , v  x  dựa vào thuật toán Euclide x3 8 x2  x  2 x  x   x7 2x  x7 x2  x  x  13  13x  91 92 Ta có : 92   x2  x  1   x  13 x   Phạm Thị Thu Thủy 59 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông    x    4m  x    x  1  x    x  13   x  52  m  x   1   x  1 x  13     x    x  52  m  x    4 x  28 x  12   x  Suy   x2  x  3  x    x  13 m  x   23 Khi u  x    x  x  ta có:   u 32 3  73    23 23 1  Ví dụ 2: Trục thức mẫu biểu thức sau a b c Lời giải Đặt a  x ; b  y ; c  z  a  b  c  x  y  z  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx    12  2 2 Ta có S2  x2  y  z  a  b  c  12  2 S4  x4  y  z  a  b2  c2  14  412  41  2 22 Tổng hợp S2 , S4 cho  đặt thành thừa số, ta có: S22  4S4   12  2    14  4 12  4 1  2 22    14  4 12  8 1    4 1   13  8   1 a b c    a b c Phạm Thị Thu Thủy    ab  bc  ac  a  b  c 60 a b c   a  b2  c2   8 K32C Toán abc Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Vậy: a b c   a b c    ab  bc  ac  a  b  c a b c   a  b2  c2    abc 3.8.3 Bài tập áp dụng Trục thức mẫu biểu thức sau 1, 1  2, 3, 25   4, Phạm Thị Thu Thủy 61 23 1 25   n a, b, c   * n n a b c K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông KẾT LUẬN Trên toàn nội dung đề tài “Những toán đa thức” mà trình bày Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề phân loại hệ thống số toán đa thức Do kiến thức đa thức tương đối rộng nên trình bày số toán thường gặp Quá trình hoàn thành đề tài giúp có thêm kiến thức kinh nghiệm Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian khả thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Phạm Thị Thu Thủy 62 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nxb GD Hà Nội 2) Bùi Huy Hiền (2000), Bài tập đại số ứng dụng, Nxb GD Hà Nội 3) Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức phân thức hữu tỷ, NxbGD Hà Nội 4) Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NxbGD Hà Nội 5) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 1, NxbGD Hà Nội 6) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NxbGD Hà Nội 7) Tạp chí toán học tuổi trẻ Phạm Thị Thu Thủy 63 K32C Toán [...]... 1.1.6 Đa thức đồng dƣ Định nghĩa 1.7: Cho   x  là đa thức khác không Ta nói những đa thức P  x  và Q  x  là đồng dư theo môđun đa thức   x  nếu [P  x   Q  x  ]  x  trong A[x] Kí hiệu P  x   Q  x   mod   x   Định lí 1.5: Cho   x  là đa thức khác không P  x  và Q  x  là hai đa thức P  x   Q  x   mod   x   khi và chỉ khi P  x  ,Q  x  cho cùng một đa thức. .. vành đa thức A x1, , xn  có n đa thức sau:  1  x1  x2   xn   x x   x x  x x   x x   x x  2 1 2 1 n 2 3 2 n n 1 n    n  x1 x2 x3 xn Được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản Phạm Thị Thu Thủy 15 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông c, Định lí cơ bản của đa thức đối xứng Mọi đa thức f  x1, , xn   A x1, , xn  là đa thức đối xứng thì tồn tại duy nhất đa thức. .. chia hết cho n đa thức   x   x 2  x  1 Phạm Thị Thu Thủy 25 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông 2.3 Bài toán 3: Nhận biết đa thức bất khả quy 2.3.1 Cơ sở lý luận - Dựa vào định nghĩa, tính chất của đa thức bất khả quy 2.3.2 Phƣơng pháp chung - Dùng tiêu chuẩn Eisenstein - Chứng minh bằng phản chứng - Chú ý: Đa thức bất khả quy trong   x  là đa thức bậc nhất Đa thức bất khả quy... ( p  P) ( Đặt x  y  1 ) 2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm của đa thức – Công thức Viéte ( p  P) (Đặt x  y  1 ) 2.4.1 Cơ sở lý luận Dựa vào định nghĩa và tính chất nghiệm của đa thức 2.4.2 Phƣơng pháp chung Sử dụng định lí Bezout, công thức Viéte và lược đồ Horner 2.4.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm những giá trị của tham số  sao cho những nghiệm 1, 2 ,3 của đa thức P  x   x3  2 x 2   x... 2.2.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm giá trị của a và b đề đa thức p  x   ax 4  bx 3  1 chia hết cho  x  1 2 Bài 2: Tìm n để p  x   x 4 n  x3n  x 2 n  x n  1 chia hết cho đa thức   x   x 4  x3  x 2  x  1 Bài 3: Trong   x tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không k,l,n để đa thức f  x   x3k  x3l 1  x3n2 chia hết cho x 4  x 2  1 Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho đa thức. .. dư khi chia cho   x  1.1.7 Đa thức bất khả quy Kí hiệu K là một trong các tập  ,  ,  Định nghĩa 1.8: Cho một đa thức P  x  không là đa thức bậc không với hệ số trong K gọi là bất khả quy trên K nếu nó không biểu diễn như một tích của hai đa thức khác đa thức bậc không với hệ số trong K với các bậc nhỏ hơn bậc của P  x  Định lí 1.6: Cho P  x  là một đa thức với hệ số trong tập K P  x...  1, n là các đa thức đối xứng cơ bản d, Đƣa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản gồm : Cách 1: Phương pháp hạng tử cao nhất Cách 2: Dùng phương pháp hệ tử bất định e, Tổng lũy thừa Định nghĩa 1.12: Cho k  0 là một số nguyên bất kì và x1, x2 , , xn là những số thực Đa thức đối xứng: Sk  x1k  x2k   xnk được gọi là tổng lũy thừa bậc k của x1, , xn Theo định lí cơ bản của đa thức đối xứng,... 3 Sk   1Sk 1   2 Sk 2   3 Sk 3 , k  4 Ở đây 1  x  y  z; 2  xy  yz  xz và  3  xyz Phạm Thị Thu Thủy 16 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN 2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức Tìm dƣ khi không thực hiện phép chia 2.1.1 Cơ sở lý luận - Sử dụng định nghĩa, tính chất phép chia hết - Phép chia với dư... của f  x  là nghiệm của g  x  Việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ được đưa về tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên Định lí 1.10: Nếu  p, q   1 và p là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên: q f  x   an x n   a1 x  a0 thì p là ước của a0, q là ước của an b, Đa thức với các hệ số thực và phức Định lí 1.11: Mọi đa thức f  x  với hệ số thực có bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm... f  x  Định lí 1.13: Mọi đa thức f  x    [x], deg f  x   n  1 thì f  x  có n nghiệm phức 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 1.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp Phạm Thị Thu Thủy 13 K32C Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thông Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1 Ta xây dựng được vành A1  A[ x1 ] là vành đa thức ẩn x1 lấy hệ tử có đơn ... trình hàm đa thức 35 2.7 Bài toán 7: Tìm ước chung lớn đa thức 37 Chương 3: Một số toán đa thức nhiều ẩn 41 3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 41 3.2 Bài toán 2:... 2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy 23 2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm đa thức Công thức Viet 27 2.5 Bài toán 5: Ứng dụng định lí Viet vào giải hệ phương trình 32 2.6 Bài toán 6:... đa thức qua đa thức đối xứng Việc phân tích đa thức đa thức đối xứng thường đơn giản nên việc phân tích đa thức thành nhân tử đơn giản 3.1.2 Phƣơng pháp giải Bước 1: Đưa đa thức đối xứng đa thức