Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán LờI CảM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với quan tâm, tạo điều kiện thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên, khóa luận tốt nghiệp em đến đ-ợc hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga tận tình bảo, h-ớng dẫn em suốt thời gian làm khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy, cô giáo tổ Đại số nói riêng khoa Toán tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội nói chung, động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè dành cho em trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đ-ợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận đ-ợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Đào Thị Hoài Linh Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán LờI CAM ĐOAN Khóa luận Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên đ-ợc hoàn thành cố gắng, nỗ lực thân giúp đỡ tận tình cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin cam đoan khóa luận không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Đào Thị Hoài Linh Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Mục lục Mở đầu Nội dung CHƯƠNG I: kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức ẩn 1.2 Nghiệm đa thức ẩn 1.3 Phép chia với d- 10 1.4 Công thức Viét 10 1.5 Đạo hàm đa thức 12 1.6 Đa thức đồng d- 12 1.7 Đa thức nhiều ẩn 14 1.8 Một số tính chất Số học 14 CHƯƠNG II: tồn nghiệm đa thức 2.1 Tính chất tồn nghiệm đa thức 19 2.2 Sự tồn nghiệm bội đa thức 20 CHƯƠNG III: nghiệm nguyên đa thức nguyên 3.1 Định nghĩa đa thức nguyên, nghiệm nguyên đa thức nguyên 22 3.2 Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên đa thức nguyên 23 3.2.1 Ph-ơng pháp sử dụng đa thức đồng d- 23 3.2.2 Ph-ơng pháp sử dụng tính chất Số học 25 3.2.3 Ph-ơng pháp đánh giá 37 3.2.4 Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức 41 3.2.5 Ph-ơng pháp xuống thang 44 3.2.6 Ph-ơng pháp xây dựng nghiệm 49 3.2.7 Ph-ơng pháp quy hệ ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai 51 Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 3.3 Nghiệm nguyên số ph-ơng trình đặc biệt 59 3.3.1 Ph-ơng trình Điôphăng 59 3.3.2 Ph-ơng trình Pitago 67 3.3.3 Ph-ơng trình Fermat 72 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Mở đầu Lý chọn đề tài Đa thức toán có liên quan chiếm vị trí quan trọng Toán học, đối t-ợng nghiên cứu trọng tâm có nhiều ứng dụng Đại số mà công cụ sắc bén Giải tích lý thuyết nội suy, lý thuyết tối -u Đặc biệt, toán nghiệm nguyên đề tài lý thú, đ-ợc đề cập nhiều ch-ơng trình toán học phổ thông, kì thi học sinh giỏi, thi Olympic Quốc tế Có toán dễ dàng tìm cách giải, có nhũng toán lôi nhà toán học chuyên nghiệp nghiệp d- hàng kỉ Hơn nữa, đ-ờng tìm cách giải toán đó, nhiều lý thuyết toán học đ-ợc sáng tạo với kết quan trọng Quá trình tìm lời giải cho toán Fermat ví dụ điển hình Đối với bậc THCS , THPT, dạng toán đa thức nghiệm nguyên đa thức đ-ợc đề cập đến, nhiên mức độ sơ l-ợc, ch-a phân loại đ-ợc dạng toán nh- ph-ơng pháp giải Hiện nay, ng-ời ta xây dựng đ-ợc nhiều ph-ơng pháp khác để giải toán nghiệm nguyên, bồi đắp cho trở thành phần toán sơ cấp đẹp lý thú Với lý với lòng say mê nghiên cứu đ-ợc giúp đỡ tận tình cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga, em chọn đề tài Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên làm khóa luận tốt nghiệp với mong muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp môn toán thông qua toán nghiệm nguyên Hy vọng khóa luận có ích quan tâm đến đa thức nghiệm nguyên đa thức nguyên Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Mục đích nghiên cứu B-ớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu nghiệm nguyên đa thức nguyên Nhiệm vụ nghiên cứu - Tập trung phân loại, hệ thống dạng toán nghiệm nguyên đa thức nguyên - Các ph-ơng pháp để tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình - Cách tìm nghiệm nguyên số ph-ơng trình đặc biệt Đối t-ợng nghiên cứu Nghiệm nguyên đa thức nguyên Ph-ơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - So sánh, phân tích, tổng hợp - Ph-ơng pháp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận em gồm ba ch-ơng: Ch-ơng I : Kiến thức chuẩn bị Ch-ơng II: Sự tồn nghiệm đa thức Ch-ơng III: Nghiệm nguyên đa thức nguyên Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán CHƯƠNG I: kiến thức chuẩn bị 1.1 đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn: Giả sử R vành giao hoán có đơn vị Gọi A tập hợp gồm tất dãy vô hạn f a0 , a1 , , an , R , i = 1,2, = hầu hết trừ số hữu hạn số i Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân A nh- sau: Giả sử f a0 , a1 , , an , A g b0 , b1 , , bn , A f g Khi f g a0 b0 , a1 b1 , , an bn , c0 , c1 , , cn , b j với k ck 0,1,2, i j k Khi đó, A với hai phép toán lập thành vành giao hoán, có đơn vị : = (1, 0, , 0,) Phần tử không vành = (0, 0, , 0,) Xét ánh xạ f : R r A (r, 0,, 0,) Ta có f đơn cấu Do đó, đồng r R với f (r ) A coi R nh- vành A Kí hiệu x = (0, 1, 0, 0,, 0, ) A Dễ thấy x2 = (0, 0, 1, 0,, 0, ) Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp xn Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán (0,0, ,0,1,0, ) n Thế với a R ta có a.x n (0, 0, , 0, a, 0, ) n Khi đó: với f f A , tồn n cho an a0 , a1 , , an , , 0, 0, an a1 x an x n a0 1.1.2 Định nghĩa: Vành A nói đ-ợc gọi vành đa thức ẩn x ( biến x ) với hệ tử R đ-ợc kí hiệu R[x] Mỗi phần tử R[x] đ-ợc gọi đa thức ẩn x, th-ờng kí hiệu f ( x), g ( x) Đa thức dạng ax n đ-ợc gọi đơn thức Giả sử f ( x) a0 có bậc n viết deg f ( x) a1 x an x n với an Khi đó, ta nói f (x) n Phần tử đ-ợc gọi hệ tử thứ i f (x) , an đ-ợc gọi hệ tử cao x i đ-ợc gọi hạng tử , a gọi hạng tử tự Bậc đa thức đ-ợc quy -ớc 1.2 nghiệm đa thức ẩn 1.2.1 Định nghĩa nghiệm đa thức: Cho K vành, A vành K Phần tử c K gọi nghiệm đa thức f (x) A[x] f (c) * Định lý: Mọi đa thức f (x) có bậc n tr-ờng K có không n nghiệm 1.2.2 Nghiệm bội: Phần tử c K , K A đ-ợc gọi nghiệm bội bậc k , k k k x c thức f (x) A[x] f ( x) x c f ( x) Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên * đa Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Đặc biệt: Nếu k = c đ-ợc gọi nghiệm đơn Nếu k = c đ-ợc gọi nghiệm kép 1.3 phép chia với d1.3.1 Định lý phép chia với dCho f ( x), g ( x) A[x] với A tr-ờng g (x) đa thức q( x), r ( x) f ( x) Khi tồn A[x] cho: g ( x) q( x) r ( x) deg(r ( x)) deg( g ( x)) Nếu r (x) 1.3.2 Định lý Bezout : Cho f (x) A[x], với A tr-ờng c phần tử thuộc A Khi d- phép chia f (x) cho x c f (c) * Hệ quả: Cho f (x) A[x], với A tr-ờng c phần tử thuộc A Khi đó: f (x) chia hết cho (x - c) c nghiệm f (x) 1.4 công thức viét 1.4.1 Dạng tổng quát: Cho đa thức f ( x) a0 x n Khi tồn tr-ờng E , , , n Suy : f ( x) a1 x n an x an K[x] , a0 K cho f (x) có n nghiệm E , giả sử a0 x x x n Đồng hệ tử f (x) , ta có công thức Viét: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 1 2 a1 a0 n 1 n n n a2 a0 i1 i2 ( 1) k ik i1 i2 ik i1 , ,ik 1, ,n ak a0 ( 1) n n an a0 1.4.2 Các dạng th-ờng gặp công thức Viét: * Công thức Viét đa thức bậc hai: Nếu đa thức f ( x) ax2 bx c (a x2 b a 0) có nghiệm x1 , x2 ta có: x1 x1 x2 c a * Công thức Viét đa thức bậc ba: Nếu đa thức f ( x) ax3 bx2 x3 b a cx d (a 0) có nghiệm x1 , x2 , x3 ta có: x1 x1 x2 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 d a c a 1.5 đạo hàm đa thức Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 10 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Ta có: b t d a x0 Suy cặp số x0 b y0 b t ; y0 d a t d ax0 by0 a t với t d c nghiệm (1) * Bây ta chứng minh tất nghiệm nguyên x , y (1) đ-ợc xác định bởi: x x0 y y0 b t d a t d với t Thật vậy, từ giả thiết ta có: ax by d c ax0 a,b by0 c Trừ vế với vế hai đẳng thức trên, ta đ-ợc: a( x x0 ) b( y y0 ) Suy ra: a b ( x x0 ) ( y y0 ) d d Đẳng thức chứng tỏ Mặt khác, Suy ra: hay x x0 a b , d d b | x d (2) b a | x x0 d d x0 , nên tồn t b t , thay vào (2) ta đ-ợc: y d cho: x y0 x0 b t d a t d Vậy nghiệm nguyên ph-ơng trình (1) có dạng: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 62 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán x y x0 y0 b t d a t d với t d a,b Chú ý: Nghiệm tổng quát (1) đ-ợc biểu thị d-ới dạng sau: x y x0 y0 b t d a t d với t d a,b * Cách tìm nghiệm riêng ph-ơng trình ax + by = c (1) +) Cách 1: Nhẩm nghiệm +) Cách 2: Dùng thuật toán Ơclit mở rộng Dựa vào Định lý tồn nghiệm ta thấy ph-ơng trình (1) có nghiệm nguyên (c1x1 , c1 y1) , d = (a, b) , c = dc1 , ax1 + by1 = d Nh- ta cần dùng thuật toán Ơclit mở rộng để tìm x1 , y1 cho : ax1 + by1 = d Từ tìm đ-ợc nghiệm riêng (c1x1 , c1 y1) (1) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình: 5x y Giải: Dùng ph-ơng pháp nhẩm nghiệm ta dễ dàng thấy ph-ơng trình cho có nghiệm riêng (3, 2) Vậy nghiệm tổng quát là: x 7t y 5t (t ) Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 63 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình: 62 x 120 y Giải: Dùng thuật toán Ơclit để tìm -ớc chung lớn 62 120: 120 = 1.62 + 58 ; 62 = 1.58 + ; 58 = 14.4 + ; = 2.2 ; Suy ra: (62, 120) = Cũng từ ta tìm đ-ợc x1 = - 29 , y1 = - 15 thỏa mãn: 62x1 + 120y1 = Do đó: 3.2 3.[( 29).62 ( 15).120] ( 87).62 ( 45).120 Suy ra: ph-ơng trình cho có nghiệm riêng 87, 45 Vậy nghiệm tổng quát ph-ơng trình cho là: x y 87 45 120 t 62 t x y 87 60t 45 31t (t ) * Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau: 14 x y Đáp số: x y 200 100 4t 200 7t (t ) Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau: 12 x 19 y 21 Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 64 Khóa luận tốt nghiệp Đáp số: Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán x 19t y 12t (t ) Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình: 8x 27 y Đáp số: 38 x 27t y 8t 3.3.2 Ph-ơng trình Pitago: Ph-ơng trình (nghiệm nguyên) x2 y2 z2 (1) gọi ph-ơng trình Pitago Bộ ba số nguyên d-ơng (x, y, z) thỏa mãn (1) gọi ba Pitago Ta nhận thấy (x, y, z) ba Pitago với d nguyên d-ơng, ba (dx, dy, dz) ba Pitago Vì lẽ ta cần quan tâm đến ba Pitago (x, y, z) mà ta có (x, y, z) = Khi x, y, z đ-ợc gọi ba Pitago nguyên thủy Bài toán : Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình Pitago Giải: * Tr-ờng hợp : z = * Tr-ờng hợp : z x=y=0 (0, 0, 0) nghiệm Chia hai vế ph-ơng trình cho z2 ta đ-ợc: x z Đặt: X : y z (2) x y ; Y: z z Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 65 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Ph-ơng trình (2) trở thành: X Suy ra: Y X2 + Nếu X x Khi đó: Y hay y Y2 1 X X (3) z Suy ra: x , , x nghiệm, x + Nếu X , chia hai vế ph-ơng trình (3) cho X , ta đ-ợc: Y X Đặt t Y Khi đó: X X X t2 X t2 t2 ; X X Y 2t t2 (4) Nhận xét: Với số hữu tỷ t ta có giá trị hữu tỷ X Y thỏa mãn (3) ng-ợc lại, giá trị hữu tỷ (3) có dạng (4) trừ tr-ờng hợp X 1,Y Vậy (4) công thức nghiệm tổng quát (3) Từ (4) ta có công thức nghiệm tổng quát (1) cách đặt t p, q , p, q , q p , q Ta có: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 66 Khóa luận tốt nghiệp X x z 1 Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán p2 q2 p2 q2 q2 p2 p2 q2 y z Y ; p q p2 q2 pq p2 q Bộ số nguyên sau thỏa mãn ph-ơng trình (1) x y z ( p q )m pqm (p (m ) q )m p, q số nguyên d-ơng, p > q , (p, q) = p, q chẵn lẻ khác Ví dụ 1: Xét ph-ơng trình Pitago x y2 z2 (1) Giả sử x , y , z ba Pitago nguyên thủy a, Chứng minh x , y , z đôi nguyên tố b, Chứng minh x, y không tính chẵn, lẻ z số lẻ Giải: a) Giả sử kết luận a) không đúng, tức x , y -ớc nguyên tố p x y Do x x2 y2 z , suy z p y Khi tồn p nên x y2 p , mà p Từ suy p -ớc số chung x , y , z Vì p > nên điều mâu thuẫn với x , y , z Suy ra: x , y ( x , y , z ba Pitago nguyên thủy) Hoàn toàn t-ơng tự, ta có x , z y , z Vậy x , y , z đôi nguyên tố Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 67 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán b) Giả sử kết luận b) không đúng, tức x, y có tính chẵn, lẻ Theo 1) ta có x , y lại x , y nên x y chẵn ( trái 2) 2k 1, từ x Do x y phải lẻ, nên x hay x (mod 4) T-ơng tự, y Từ đó, x y2 4k 1, 1(mod 4) (mod 4) Suy z a với số a 4k 2 (mod 4) Điều vô lý (mod 4) a 1(mod 4) Vậy giả sử sai, nên x, y không tính chẵn, lẻ Từ suy z số lẻ Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên không âm ph-ơng trình: x2 y 1997( x y ) (1) Giải: Do vế trái (1) nên vế phải (1) , suy x y Xét hai khả sau: 1) Nếu y (1) có dạng: x Suy ra: x x 1997 1997 x Vậy tr-ờng hợp (0, 0) (1997, 0) hai nghiệm nguyên không âm (1) 2) Nếu y x y nên x Bài toán quy tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình (1) Nhân hai vế (1) với ta đ-ợc: x2 y2 2.1997( x y ) x2 y2 x2 y 1997( x y ) Suy ra: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 68 Khóa luận tốt nghiệp hay x y Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán (x y)2 1997 x ( x y ) 2.1997( x y ) y 1997 (2) Do x, y nguyên d-ơng nên từ (2) suy ra: x y 1997 1997 x y 1997 Đặt u x y , v 1997 x y Bài toán trở tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình: u v 1997 (3) Do (3) ph-ơng trình Pitago, nên tồn số p, q nguyên d-ơng, p > q, (p, q) = p, q chẵn lẻ khác nhau, cho: Do p , q u ( p2 q2 ) v pq (4) (5) 1997 ( p q ) (6) k (mod 5) , với k k (mod 5) , với k (6) suy ra: p , q Mặt khác, p , q từ (6) suy ra: ,1, ; 1997 p,q 1, k (mod 3) , với k k (mod 3) , với k Kết hợp lại ta đ-ợc: p , q (mod5) nên từ ,1 ; 1997 (mod3) nên 1, k (mod15) , với k 1, ,11 ,14 Vì p > q nên ta có đánh giá sau: 1997 Suy ra: p p 1997 34 , 41 , 44 Bằng phép thử trực tiếp ta đ-ợc: p Khi đó: u 34 Từ q 29 315 ; v 1972 Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 69 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán x y 315 x y 25 x 170 y 145 x y 1972 x y 1862 x 1827 y 145 Vậy ph-ơng trình cho có nghiệm nguyên không âm sau đây: (0, 0) ; (1997, 0) ; (170,145) ; (1827,145) * Bài tập áp dụng: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: 4x2 y2 z2 Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: x2 9y2 4z 3.3.3 Ph-ơng trình Fermat: Bên lề sách Số học Điôphăng (xuất năm 1637), nhà toán học ng-ời Pháp , Fermat (1601 - 1665) viết nh- sau: Ph-ơng trình x n yn z n nghiệm nguyên d-ơng với n Tôi tìm đ-ợc cách chứng minh tuyệt diệu điều khẳng định này, nh-ng lề sách nhỏ nên trình bày Ph-ơng trình x n yn z n , với việc tìm nghiệm nguyên d-ơng đ-ợc gọi ph-ơng trình Fermat Khẳng định Phương trình x n có nghiệm nguyên d-ơng với n Xét ph-ơng trình : x n với n yn z n không gọi Định lý lớn Fermat yn zn Chú ý n số nguyên d-ơng ( n (1) ) , mà ứng với ph-ơng trình (1) có nghiệm nguyên d-ơng x , y , z , tức là: xn yn zn (2) Goi p -ớc số n Khi (2) viết lại d-ới dạng sau Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 70 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán x n p p y n p x ,y ,z nên từ (3) suy ph-ơng trình x p n p n p n p p z n p p (3) nghiệm nguyên d-ơng yp z p Do đó, nghiên cứu tồn nghiệm nguyên d-ơng (1), với n , ta cần xét tồn nghiệm (1) n số nguyên tố tr-ờng hợp n đủ Điều thấy đ-ợc qua ví dụ sau n Ví dụ 1: Giả sử ph-ơng trình x yn zn d-ơng n = n số nguyên tố (1) nghiệm nguyên Chứng minh ph-ơng trình (1) nghiệm nguyên d-ơng với số nguyên n Giải: Từ giả thiết suy cần xét với n > số nguyên tố Xét hai khả sau: 1) Nếu n lẻ: Khi đó: tồn -ớc nguyên tố p lẻ n Rõ ràng ph-ơng trình (1) nghiệm nguyên d-ơng trái lại, theo phần lập luận dẫn ph-ơng trình x p yp z p có nghiệm nguyên d-ơng Điều mâu thuẫn với giả thiết 2) Nếu n chẵn: lại có tr-ờng hợp sau: a, Nếu n 4k Do n > nên k Khi đó, ph-ơng trình (1) nghiệm nguyên d-ơng Vì trái lại, -ớc n nên suy ph-ơng trình x y4 z có nghiệm nguyên d-ơng Đó điều mâu thuẫn với giả thiết Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 71 Khóa luận tốt nghiệp b, Nếu n số lẻ Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 2(2k 1) Do n > nên 2k Vậy 2k 4k Giả thiết phản chứng, ph-ơng trình (1) có nghiệm nguyên d-ơng Vì 2k -ớc n nên n phải có -ớc số nguyên tố lẻ p Theo lập luận trên, ph-ơng trình x p yp z p có nghiệm nguyên d-ơng Điều vô lý Vậy (1) nghiệm nguyên d-ơng với số nguyên n Ví dụ 2: Chứng minh ph-ơng trình x4 y4 z2 (1) nghiệm nguyên d-ơng Giải: Giả sử ng-ợc lại, ph-ơng trình cho có nghiệm nguyên d-ơng Khi đó, theo nguyên lý cực hạn, tồn nghiệm nguyên d-ơng x0 , y0 , z , z0 nhỏ Ta có: x04 y04 z02 Tr-ớc hết ta chứng minh x0 , y0 nguyên tố chung chúng, x0 Từ đó: x04 p y04 Vì từ (2) suy z02 Vì x0 p y0 (2) Thật vậy, trái lại gọi p -ớc p y0 p p4 p4 p nên x0 px1 y0 py1 Thay vào (2) ta đ-ợc: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 72 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán p x14 Từ z02 y14 p suy z0 Khi đó: z0 z0 (3) p2 p z1 Thay vào (3) ta đến: x14 y14 z12 (4) Đẳng thức (4) chứng tỏ x1 , y1 , z1 nghiệm nguyên d-ơng (1) Nh-ng z1 p z1 với p số nguyên tố ) Điều mâu z ( z0 thuẫn với định nghĩa nghiệm x0 , y0 , z Vậy giả thiết phản chứng sai, tức x0 , y0 Viết lại (2) d-ới dạng x02 y02 z02 Từ suy x02 , y02 , z0 nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình Pitago: x2 Theo x0 , y y2 z2 (5) nên x02 , y02 suy x02 , y02 , z0 Vậy x02 , y02 , z0 ba Pitago (5) Do vai trò bình đẳng x y0 nên cho y 02 số chẵn Theo cấu trúc nghiệm ph-ơng trình Pitago suy ra: x02 y02 z0 m2 n 2mn m2 n với m, n số nguyên d-ơng, m (6) n , m, n m, n chẵn lẻ khác Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 73 Khóa luận tốt nghiệp Có: x02 n2 Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán m2 nên x0 , n , m nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình Pitago (5) nên x0 , n , m ba Pitago nguyên thủy Lại m, n (5) Nên ta lại có: x0 a b n 2ab m a b2 (7) với a, b số nguyên d-ơng, a Do y chẵn nên y0 Do a,b a, b chẵn lẻ khác y1 Khi theo (6) (7) ta có: y02 y12 b , a,b y12 ab a b 2mn 4ab a b abm nên a, m (8) b, m Vì lẽ đó, từ (8) ta đ-ợc: a a12 , b b12 , m m12 Thay vào phần (7) ta có: m12 a14 b14 a1 , b1 , m nghiệm nguyên d-ơng (1) Ta có: m1 m12 m m2 n2 z0 Điều mâu thuẫn với định nghĩa nghiệm x0 , y0 , z Suy giả sử ban đầu sai Vậy ph-ơng trình cho nghiệm nguyên d-ơng * Bài tập áp dụng: Chứng minh ph-ơng trình sau nghiệm nguyên d-ơng: x4 4y4 z2 Chứng minh ph-ơng trình sau nghiệm nguyên d-ơng: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 74 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán x4 y4 z4 KếT LUậN Nhà toán học ng-ời Anh Sylves viết: Toán học sách gói gọn tờ bìa mà ng-ời ta cần kiên nhẫn đọc hết nội dung, Toán học vùng mỏ quý mà ng-ời ta cần có thời gian để khai thác, Toán học cánh đồng bị bạc màu vụ mùa thu hoạch Vì thế, đ-ợc nghiên cứu từ sớm nh-ng đến Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên đối t-ợng nghiên cứu Toán học lôi quan tâm nhiều ng-ời Các toán nghiệm nguyên đa thức cách giải đa dạng phong phú Trong khuôn khổ khóa luận em đề cập đến số cách giải th-ờng dùng nh-: ph-ơng pháp sử dụng đa thức đồng d-, ph-ơng pháp đánh giá, ph-ơng pháp xuống thang cách tìm nghiệm nguyên ba ph-ơng trình đặc biệt ( ph-ơng trình Điôphăng, Pitago, Fermat ) Qua nghiên cứu, em rút đ-ợc số kết luận sau: Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 75 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán - Các toán tìm nghiệm nguyên đa thức nguyên th-ờng cách giải tổng quát Mỗi toán với số liệu riêng đòi hỏi cách giải riêng phù hợp - Một toán tìm nghiệm nguyên có nhiều cách giải khác kết hợp nhiều ph-ơng pháp Do đó, ng-ời học phải biết vận dung sáng tạo, linh hoạt kiến thức để lựa chọn cách giải ngắn gọn, xác Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên vấn đề lý thú sâu rộng, đòi hỏi thời gian tìm tòi Hy vọng nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy cô giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn ! TàI LIệU THAM KHảO Trong khóa luận em sử dụng tài liệu tác giả sau với tất trân trọng biết ơn: Phan Huy Khải, Ph-ơng trình nghiệm nguyên, Nhà xuất Giáo dục (2009) Nguyễn Vũ Thanh, Chuyên đề bồi d-ỡng toán cấp 2, Số học, Nhà xuất Trẻ (2001) Vũ Hữu Bình, Ph-ơng trình toán với nghiệm nguyên, Nhà xuất Giáo duc (2002) Ngô Thúc Lanh, Đại số số học, Nhà xuất Giáo dục (1982) Đậu Thế Cấp, Số học, Nhà xuất Giáo dục (2001) Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 76 [...]... nguyên của đa thức nguyên Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên 20 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 3.1 định nghĩa đa thức nguyên và nghiệm nguyên của đa thức nguyên * Định nghĩa 1: Đa thức f ( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an [x] với a0 0 đ-ợc gọi là đa thức nguyên * Định nghĩa 2: Cho đa thức f ( x) Số a0 x n a1 x n 1 an 1 x an thỏa mãn f ( ) [x] với a0 0 0 đ-ợc gọi là nghiệm. .. với a0 0 0 đ-ợc gọi là nghiệm nguyên của đa thức nguyên f ( x) * Một số kết quả: 1 Mọi nghiệm nguyên của đa thức với hệ số nguyên là -ớc của số hạng tự do 2 Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên 3 Nếu 1 là nghiệm nguyên của đa thức nguyên f ( x ) thì f (1) và 1 f ( 1) đều nguyên 1 4 Cho f ( x) là đa thức với hệ số nguyên Nếu các số f (0), f (1),... số nguyên d-ơng a, b sao cho p = a2 + b2 CHƯƠNG II: sự tồn tại nghiệm của đa thức Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên 17 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 2.1 tính chất về sự tồn tại nghiệm của đa thức * Định lý 1: Một đa thức bậc lẻ với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực * Định lý 2: Cho f (x) R[x] Nếu số phức là nghiệm của f (x) thì số phức liên cũng là nghiệm. .. số nguyên d-ơng cho tr-ớc, m 2 ) thì ph-ơng trình f ( x) 0 không có nghiệm nguyên 5 Cho f ( x ) là đa thức với hệ số nguyên Nếu f (0) v f (1) là những số lẻ thì ph-ơng trình f ( x) 0 không có nghiệm nguyên 3.2 Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức nguyên Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên 21 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 3.2.1 Ph-ơng pháp sử dụng đa. .. nghiệm nguyên là ( 2, 2 ) ; ( 0, 0 ) * Bài tập áp dụng: 1 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: y2 xy x 3 y 1 0 2 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: x3 8 y2 3 Giải ph-ơng trình sau trên tập số nguyên: xy x Đáp số: 0, 2 ; y 2 2, 0 ; 4, 2 ; 2, 4 3.2.2.2 Dùng tính chất số nguyên tố * Ph-ơng pháp chung: Th-ờng sử dụng một số tính chất sau của số nguyên tố: Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên. .. ph-ơng trình sau không có nghiệm nguyên: x2 y2 8z 6 Gợi ý: Xét d- 2 vế khi chia cho 8 3.2.2.Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của số học * Ph-ơng pháp chung: Sử dụng một số tính chất của số học để giải các bài toán nghiệm nguyên: 3.2.2.1 Dùng tính chất chia hết Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: 7( x y) 3 x 2 xy y2 (1) Giải: Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên 24 Khóa luận tốt... nghiệm nguyên của đa thức nguyên 12 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán * Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn: Xây dựng bằng ph-ơng pháp quy nạp: Cho R là vành giao hoán có đơn vị Ta xây dựng đ-ợc vành đa thức một biến R1 = R[x] là vành đa thức một biến x Khi đó, R1 là vành giao hoán có đơn vị Xây dựng đ-ợc vành đa thức R2 = R1[x] Lặp lại quá trình trên n lần, ta đ-ợc vành đa thức n biến... các nghiệm nguyên là 0,0 ; 4.5 ; 5,4 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình sau: x y xy Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên (1) 25 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Giải: Ta có: (1) x( y 1) y - Nếu y 1 thì không tìm đ-ợc x nguyên thỏa mãn - Nếu y 1 thì x Do x nguyên nên y 1 y 1 1 1 y 1 y 1 |1 nguyên y 1 y 1 1 y 1 1 y y 2 0 x x 2 0 Vậy ph-ơng trình có các nghiệm. .. đều là nghiệm của f ( x ) và mọi nghiệm bội bậc k của g ( x) đều là nghiệm bội bậc k của f ( x ) với k k Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên 19 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán Chứng minh: Giả sử f ( x) Mg ( x) Khi đó: f ( x) g ( x).h( x) là một nghiệm bội k của g ( x) thì g ( x) Nếu f ( x) k x x k q( x) q( x).h( x) là một nghiệm bội k của f ( x) (k ' k) Ng-ợc... A[x] , đa thức P(x) và Q(x) đồng d- theo môđun (x) nếu P( x) Q( x) Kí hiệu : P( x) ( x) Q( x) mod ( x) 1.6.2 Tính chất: Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên 11 Khóa luận tốt nghiệp Cho (x) Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán A[x] , (x) 0 Khi đó: a, Với mọi đa thức P(x) A[x] , ta có P( x) P( x) mod( ( x) b, Với ba đa thức P( x), Q( x), R( x) bất kì thuộc A[x] Nếu P( x) Q( x) mod ( x) và Q( ... CHƯƠNG III: nghiệm nguyên đa thức nguyên Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên 20 Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán 3.1 định nghĩa đa thức nguyên nghiệm nguyên đa thức nguyên. .. 2.1 Tính chất tồn nghiệm đa thức 19 2.2 Sự tồn nghiệm bội đa thức 20 CHƯƠNG III: nghiệm nguyên đa thức nguyên 3.1 Định nghĩa đa thức nguyên, nghiệm nguyên đa thức nguyên 22 3.2 Một... : Kiến thức chuẩn bị Ch-ơng II: Sự tồn nghiệm đa thức Ch-ơng III: Nghiệm nguyên đa thức nguyên Đa thức toán nghiệm nguyên đa thức nguyên Khóa luận tốt nghiệp Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán CHƯƠNG